КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Рибачук Людмила Віталіївна

УДК 517.9

УЗАГАЛЬНЕНІ ВИРОДЖЕНІ ГІПЕРГЕОМЕТРИЧНІ
ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

01.01.02 – диференціальні рівняння

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу та теорії ймовірностей
Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут"

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук, професор

Вірченко Ніна Опанасівна,

Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут",

професор кафедри математичного аналізу та теорії ймовірностей

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Лучка Антон Юрійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Поліщук Олена Борисівна,

Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут",

доцент кафедри математичної фізики

Захист відбудеться “22” жовтня 2007 р. о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 в Київському національному університеті

імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ-22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано “1” вересня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У другій половині ХХ сторіччя різко зріс інтерес до теорії спеціальних функцій, і в першу чергу, у зв’язку із значно ширшим застосуванням цих функцій у теорії диференціальних та інтегральних рівнянь. Теорія спеціальних функцій поступово виділилась у самостійний математичний предмет, засвідчуючи існування глибинних взаємозв’язків між різними областями математики, оскільки використовує розмаїтий апарат теорії функцій дійсної та комплексної змінних, теорії диференціальних та інтегральних рівнянь, теорії чисел, теорії дробового інтегро-диференціювання тощо.

Як відомо, спеціальні функції з’являються найчастіше при розв’язанні складніших звичайних лінійних диференціальних рівнянь із змінними коефіцієнтами, при розв’язанні диференціальних рівнянь з частинними похідними за допомогою методу розділення змінних, при знаходженні власних функцій диференціальних операторів у деяких криволінійних системах координат та ін. Наукові праці вітчизняних та зарубіжних учених Біцадзе О.В., Самка С.Г., Самойленка А.М., Лучки А.Ю., Перестюка М.О., Пташника Б.Й., Кілбаса А.О., Miller K.S., Podlubny I., Fisher M.J., Rooney P.G. та ін., що присвячені теорії диференціальних, інтегральних рівнянь, дробового інтегро-диференціювання та їх застосуванням, становлять вагомий внесок у розвиток і теорії спеціальних функцій.

Спеціальні функції відіграють важливу роль і в теорії інтегральних перетворень. Про це свідчать численні роботи з цієї тематики, зокрема, Акопяна С.А., Віленкіна Н.Я., Glaeske H.-J., Negrin E.R., Yakubovich S.B., Luchko Yu.F. та ін. А метод інтегральних перетворень виявився одним із найефективніших аналітичних методів розв’язання широкого класу крайових задач.

Розв’язання багатьох задач математичної фізики, звичайних диференціальних рівнянь, теорії ймовірностей та математичної статистики, теорії теплопровідності, аеромеханіки, квантової механіки, аеродинаміки, астрофізики, астрономії, біомедицини та ін. приводить до спеціальних функцій різної природи та складності. Різноманітність задач, що породжують спеціальні функції, веде до зростання кількості функцій — від найпростіших трансцендентних функцій до гіпергеометричних функцій різної природи.

Розвиток теорії спеціальних функцій (циліндричних та сферичних, еліптичних функцій, функцій Матьє, гіпергеометричних функцій, поліномів Лежандра, Ерміта, Кравчука, Якобі, Лагерра, Чебишева і т.д.) особливо стимулював питання про зображення функцій не тільки у вигляді тригонометричних рядів, а й у вигляді рядів за іншими спеціальними функціями, яке виникло з практики розв’язання конкретних задач.

Оскільки гіпергеометричні функції відіграють особливо важливу роль як в теорії, так і в застосуваннях, при розв’язанні багатьох задач в різноманітних галузях прикладної математики та фізики, тому ці функції та їх частинні випадки (функції Бесселя, функції Лежандра, ортогональні многочлени та ін.) виходять на перший план наукових досліджень в XX–XXI ст.

На початку XX ст. значно посилюється вивчення, дослідження, узагальнення гіпергеометричних функцій, а саме: гіпергеометричні функції узагальнюються на випадок двох та багатьох змінних; запроваджуються і параметрів, розглядаються різні випадки вироджених (конфлюентних) гіпергеометричних функцій. Бухгольц будує теорію вироджених гіпергеометричних функцій на базі функцій Віттекера, Трікомі бере за основу — функції Куммера, а Слейтер Л.Дж. об’єднує обидва підходи.

В останні десятиріччя посилився інтерес до узагальнення гіпергеометричних функцій за Райтом [Wright E.M.], досліджуються окремі випадки, що мають не тільки теоретичне, але і практичне значення. Важливі результати в цьому напрямку отримали Джрбашян М.М., Самко С.Г., Вірченко Н.О., Репін О.О., Chaudhry M.A., Srivastava H.M., Kiryakova V.S., Miller K.S., Podlubny I., Saigo M., Gorenflo R. та ін.

Особливо виявилися цінними для практики узагальнені конфлюентні гіпергеометричні функції. Вони вже знаходять широке застосування у математичній фізиці, атомній фізиці, астрофізиці, теорії ймовірностей, теорії кодування та ін. Окрім того, потрібно вказати і на ефективне використання цих функцій для обчислення невласних інтегралів, що відсутні в наявній науковій та довідковій літературі.

Враховуючи вищеподане, можна зробити висновок про доцільність подальшого глибшого дослідження узагальнених конфлюентних гіпергеометричних функцій та їх застосувань. Отже, роботи, що ведуться в цьому напрямку, є актуальними.

Дисертаційна робота і присвячена подальшому розвитку теорії узагальнених вироджених гіпергеометричних функцій та їх застосуванню в теорії інтегральних і диференціальних рівнянь, в теорії інтегральних перетворень, при обчисленні інтегралів тощо.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати дисертації отримано у рамках наукових досліджень, які проводились на кафедрі математичного аналізу та теорії ймовірностей Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”, зокрема, у рамках держбюджетної теми № 2951 Ф “Розробка нових математичних методів дослідження стохастичних систем та крайових задач математичної фізики”.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є подальше розвинення теорії спеціальних функцій шляхом запровадження нових узагальнень функцій гіпергеометричного типу, зокрема, конфлюентних гіпергеометричних функцій, гамма-, бета-, псі-, дзета-функцій, функцій Лагерра, функцій Вольтерра та ін.; дослідження властивостей запроваджених функцій; застосування в теорії диференціальних та інтегральних рівнянь, інтегральних перетворень, при обчисленні інтегралів та ін.

Об’єкт дослідження: нові узагальнені функції гіпергеометричного типу, диференціальні, інтегральні рівняння та інтегральні перетворення з цими функціями.

Предмет дослідження: основні властивості (диференціальні, інтегральні, функціональні співвідношення та ін.) нових узагальнених функцій гіпергеометричного типу; побудова та дослідження розв’язків інтегральних та диференціальних рівнянь, інтегральні перетворення з новими узагальненими функціями гіпергеометричного типу; обчислення нових інтегралів через функції гіпергеометричного типу.

Методи дослідження. Основні результати роботи отримано за допомогою методів теорії функцій дійсної та комплексної змінних, диференціальних та інтегральних рівнянь, теорії спеціальних функцій та інтегральних перетворень, дробового інтегро-диференціювання тощо.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

— запроваджено -, -узагальнені конфлюентні (вироджені) гіпергеометричні функції , ;

— доведено їх основні властивості (диференціальні, інтегральні, функціональні співвідношення та ін.);

— побудовано узагальнені ейлерові інтеграли ,
; , , , функції Вольтерра та ін., розглянуто їх частинні випадки;

— дано застосування узагальнених конфлюентних гіпергеометричних функцій в теорії інтегральних рівнянь, а саме,

розв’язано в замкненій формі:

· інтегральне рівняння Вольтерра I-го роду з -узагальненою конфлюентною гіпергеометричною функцією в ядрі;

· інтегральне рівняння Фредгольма I-го роду з функцією в ядрі;

· інтегральне рівняння Фредгольма I-го роду з узагальненою функцією Лагерра
в ядрі;

· інтегральне рівняння Фредгольма I-го роду з функцією

в ядрі;

· розглянуто дробове диференціальне рівняння, задачу Коші, розв’язок якої дано через функцію Райта;

— подано застосування конфлюентних гіпергеометричних функцій в теорії інтегральних перетворень, зокрема, побудовано нові узагальнення інтегральних перетворень Ламберта, Гурвіца; отримано інтегральні перетворення Ейлера, Лапласа, Мелліна від деяких запроваджених узагальнених функцій;

— розроблено методику застосування конфлюентних гіпергеометричних функцій в теорії інтегрування, що дало можливість подати деякі класи інтегралів через запроваджені узагальнені функції;

— розроблено методику, алгоритм та програму обчислення значень _узагальненої конфлюентної гіпергеометричної функції ;

— обчислено низку інтегралів, відсутніх у наявній довідковій та науковій математичній літературі.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер. Одержані результати з узагальнення спеціальних функцій є новими та поповнюють теорію спеціальних функцій. Розглянутий та обґрунтований в роботі метод узагальнення спеціальних функцій може бути успішно використаний в подальшій роботі з розвитку теорії спеціальних функцій, в теорії диференціальних та інтегральних рівнянь. Запроваджені узагальнені функції можуть застосовуватися до розв’язання багатьох задач теорії інтегральних рівнянь, диференціальних рівнянь цілого та дробового порядків, теорії інтегральних перетворень, математичної фізики, теорії ймовірностей та математичної статистики, в теорії кодування та ін.

Особистий внесок здобувача. Постановка задач, аналіз одержаних результатів належать науковому керівникові — професору, доктору фізико-математичних наук Н.О. Вірченко. Основні результати теоретичного і прикладного характеру отримано автором самостійно. З праць, написаних у співавторстві, в дисертаційну роботу включено лише результати, які отримано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися і обговорювалися на:

— X, XI Міжнародних наукових конференціях ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2004, 2006 рр.);

— Международной научной конференции “Актуальные проблемы математики и механики” (Казань, 2004 г.);

— Міжнародній математичній конференції ім. В.Я. Скоробогатька (Дрогобич, 2004 р.);

— XІX відкритій науково-технічній конференції молодих науковців (КМН_, Львів, 2005 р.);

— International Conference “Dynamical system modelling and stability investigation (DSMSI-2005)” (Kyiv, 2005);

— Міжнародній конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування” (Київ, 2005 р.);

— XIII, XIV Международных конференциях “Математика. Экономика. Образование” (Ростов-на-Дону, 2005, 2006 гг.);

— Второй Всероссийской научной конференции “Математическое моделирование и краевые задачи” (Самара, 2005 гг.);

— Sixth International Conference “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Kyiv, 2005);

— Восьмій Міжнародній науково-технічній конференції “АВІА-2007” (Київ, 2007 р.);

— міжвузівському науковому семінарі “Диференціальні рівняння та їх застосування. Спеціальні функції” (2005, 2006 рр.) (НТУУ “КПІ”, наук. керівник — д. ф._м. н., проф. Н.О. Вірченко);

— науковому семінарі кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь Київського Національного університету імені Тараса Шевченка (2007 р.) (керівники — академік А.М. Самойленко та член-кореспондент М.О. Перестюк).

Публікації. Основні результати дисертації викладено у 4 статтях, опублікованих у фахових виданнях, що входять до переліку ВАК України [1–4], 2 — у наукових виданнях Національного авіаційного університету, що входять до переліку ВАК України з технічних наук [5, 6], а також у 10 тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях [7–16].

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, 4 розділів, висновків, списку використаних літературних джерел, що налічує 133 найменування, та додатку. Повний обсяг дисертації — 144 сторінки, обсяг додатку — 10 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертації обґрунтовано актуальність теми, показано зв’язок роботи з науковими темами, сформульовано мету та задачі дослідження, висвітлено наукову новизну, практичне значення, апробацію та кількість публікацій.

У першому розділі подано стислий огляд літератури за тематикою дисертації, висвітлено сучасний стан вивчення проблем, споріднених до розглядуваних у даній дисертаційній роботі, наведено деякі відомості з теорії функцій гіпергеометричного типу.

У другому розділі запроваджуються - та -узагальнені конфлюентні гіпергеометричні функції, відповідно, , , досліджуються їх основні властивості, зокрема, подано інтегральні зображення, доведено низку функціональних, диференціальних та інтегральних співвідношень для цих функцій, розглянуто обчислення значень функції .

Запровадимо -узагальнену (за Райтом) конфлюентну гіпергеометричну функцію у вигляді:

, (1)

де — класична гамма-функція, — функція Фокса-Райта:

. (2)

При

у формулі (1) отримаємо -узагальнену конфлюентну гіпергеометричну функцію ;

при матимемо класичну конфлюентну гіпергеометричну функцію .

Підрозділ 2.1 присвячено дослідженню -узагальненої конфлюентної гіпергеометричної функції. А саме, для -узагальненої конфлюентної гіпергеометричної функції мають місце леми:

Лема 2.3 (узагальнення формул Koornwinder’а).

Якщо , то справедлива формула:

. (3)

Якщо , то маємо:

. (4)

Лема 2.4. При умовах існування функції справедливі співвідношення:

, (5)

, (6)

, (7)

. (8)

. (9)

У підрозділі 2.2 досліджується -узагальнена конфлюентна гіпергеометрична функція . Доведено основні властивості функції (диференціальні, інтегральні, функціональні співвідношення та ін.). Зокрема, справедлива лема:

Лема 2.5 (Основне інтегральне зображення ). Якщо ,

то функцію можна подати у вигляді:

. (10)

Розділ 3 присвячено застосуванню узагальнених вироджених гіпергеометричних функцій до нових узагальнень гамма-, бета-, псі- функцій, дзета-функцій Гурвіца, функцій Лагерра та Вольтерра. Зокрема, запроваджено наступні узагальнення:

-узагальнена гамма-функція :

, (11)

де

—функція (1).

-узагальнена бета-функція :

, (12)

де —

функція (1).

-узагальнена псі-функція :

. (13)

де

—функція (1).

-узагальнена -функція Гурвіца :

, (14)

де

— функція (1).

Узагальнена функція Гурвіца-Лерча:

, (15)

де .

Узагальнена функція Лагерра:

, (16)

де , — неціле число, і такі, що , — скінченні при ._

узагальнені функції Вольтерра:

, (17)

, (18)

, (19)

(20)

( ).

Розглянуто частинні випадки побудованих функцій, досліджено їх основні властивості, зокрема:

Узагальнені неповні -гамма-функції визначимо відповідно виразами

, (22)

, (23)

де

— _узагальнена конфлюентна гіпергеометрична функція.

Зауважимо, що якщо , в (22), (23), то одержимо класичні гамма-функції відповідно , .

Доведено теорему про зв’язок -узагальненої гамма-функції

з функцією Макдональда (теорема 3.6 підрозділу 3.1):

Теорема 3.6. Якщо , то справедлива рівність:

, (24)

де — функція Макдональда.

Доведено узагальнену формулу Рамануджана (Лема 3.4 підрозділу 3.2):

Лема 3.4. Якщо , то справедлива формула:

. (25)

У підрозділі 3.3 при в (13) розглянуто -узагальнену псі-функцію .

Теорема 3.12. Для -узагальненої псі-функції узагальнені формули Діріхле, Гауса, Біне матимуть відповідно вигляд:

; (26)

; (27)

. (28)

У підрозділі 3.4 при у (14) маємо -узагальнену -функцію Гурвіца :

, (29)

де .

Очевидно, що при матимемо відому класичну дзета-функцію Рімана , а при

— дзета_функцію Гурвіца .

Розділ 4 присвячено застосуванню запроваджених узагальнених функцій в теорії інтегральних, диференціальних рівнянь, в теорії інтегральних перетворень.

У підрозділі 4.1 розглядаються інтегральні рівняння Вольтерра I-го роду з узагальненою конфлюентною гіпергеометричною функцією, а саме:

, (30)

, (31)

де

— -узагальнена вироджена гіпергеометрична функція (1); — комплексно-значні функції, визначені майже для всіх із , належать класу ;

— шукана функція.

Детальніше досліджується рівняння (30). Для побудови розв’язку рівняння (30) доведено ряд необхідних лем і теорем.

Лема 4.1. Якщо — -узагальнена вироджена гіпергеометрична функція, ,

то інтеграл

(32)

( — комплексні параметри)

визначає функцію в .

Досліджено властивості оператора , зокрема:

Лема 4.2. Якщо

, то

; (33)

. (34)

Теорема 4.1. Якщо , то на виконується рівність

. (35)

Теорема 4.2. Якщо — комплексне число так, що існує в , то

. (36)

Теорема 4.3. Якщо , тоді для майже всіх справедлива рівність:

. (37)

Теорема 4.4. При умовах:

справедлива рівність

. (38)

Теорема 4.5 (про розв’язання інтегрального рівняння (30)). Якщо та існує,

— комплексно-значні функції, то для рівняння

, (30)

має єдиний розв’язок

. (39)

В теоремах 1–5 — оператор, що визначається виразом:

(40)

для майже всіх ; .

У підрозділі 4.3, використовуючи елементи дробового інтегро-диференціювання, розв’язано інтегральне рівняння Фредгольма 1-го роду з -узагальненою конфлюентною гіпергеометричною функцією в ядрі

, (41)

де

— класична гамма-функція, — шукана функція, при ; , — простір функцій: , — задана функція, — _узагальнена конфлюентна гіпергеометрична функція.

Для побудови розв’язку рівняння (41) доведено леми.

Лема 4.3. Якщо — комплексні параметри, ,

то справедлива формула:

, (42)

де — -узагальнена конфлюентна гіпергеометрична функція (1).

Лема 4.4. Якщо — комплексні параметри, ,
то справедлива формула:

, (43)

де оператор має вигляд:

, . (44)

Лема 4.5. Якщо — комплексні параметри, ,
то справедлива формула:

, (45)

де оператор визначений формулою (44).

Врахувавши леми 1–3, виконавши деякі перетворення початкового рівняння (41) та застосувавши формулу обернення інтегрального перетворення Лапласа, отримаємо розв’язок рівняння (41):

, (46)

де — обернений оператор Лапласа.

У підрозділі 4.4 розглянуто також задачу Коші для дробового диференціального рівняння з частинними похідними. Виявилось, що її розв’язок виражається через функцію Райта.

Диференціальне рівняння вигляду

(47)

,

з початковою умовою

, (48)

має розв’язок

, (49)

де — дробова похідна порядку ;

; — функція Райта:

. (50)

У підрозділі 4.5 розв’язано інтегральне рівняння Фредгольма 1-го роду з узагальненою функцією Лагерра в ядрі:

, (51)

де

— узагальнена функція Лагерра (16).

Лема 4.6. Якщо умови існування виконуються, то справедлива наступна композиція операторів:

, (52)

де — дробовий оператор типу Ердеї-Кобера

, (53)

і — оператор модифікованого перетворення Лапласа

. (54)

Теорема 4.8. Якщо ,

то розв’язок інтегрального рівняння (51) має вигляд:

, (55)

де — обернене перетворення Лапласа.

У підрозділі 4.6 розв’язано інтегральне рівняння Фредгольма 1-го роду з узагальненою конфлюентною гіпергеометричною функцією в ядрі:

, (56)

де

— _узагальнена конфлюентна гіпергеометрична функція.

Лема 4.7. Якщо умови існування виконуються, то справедлива наступна композиція операторів:

, (57)

де — дробовий оператор типу Ердеї-Кобера

, (58)

і — оператор модифікованого перетворення Лапласа

. (59)

Теорема 4.9. Якщо ,

то розв’язок інтегрального рівняння (56) має вигляд

, (60)

де — обернене перетворення Лапласа.

У підрозділі 4.7 запроваджено узагальнення інтегрального перетворення Ламберта у такій формі:

, (61)

де при , при

.

Доведено формулу обернення для узагальненого інтегрального перетворення Ламберта, а саме:

Теорема 4.10 (формула обернення узагальненого інтегрального перетворення Ламберта (61)). При

та при існуванні умов, сформульованих для справедливості формули (61), має місце рівність:

, (62)

де — узагальнена функція Гурвіца-Лерча (15),

. (63)

Подано приклади застосування узагальненого інтегрального перетворення Ламберта (61), зокрема якщо ,

то

. (64)

У підрозділі 4.8 запроваджено узагальнене інтегральне перетворення Гурвіца у такій формі:

, (65)

де

— функція при ; або

, . (66)

Подано приклади застосування узагальненого інтегрального перетворення Гурвіца, зокрема, якщо, то

(),

де — бета-функція, — конфлюентна гіпергеометрична функція.

У розділі 3, використовуючи інтегральні зображення для запроваджених узагальнених функцій, відповідні перестановки та перетворення, обчислено ряд нових інтегралів, що відсутні у наявній довідковій та науковій математичній літературі, наприклад:

; (67)

; (68)

, (69)

( , ).

У розділі 2 розроблено методику, алгоритм та програму обчислення значень _узагальненої конфлюентної гіпергеометричної функції , а саме, розроблено алгоритм та створено програму на алгоритмічній мові Pascal. Для забезпечення високої точності обчислень необхідні значення гамма–функцій знаходились через розклад Стірлінга–Соніна, швидкість збіжності якого є найбільшою. Експериментально досліджено вплив значень параметрів, що входять в цей розклад, на точність обчислюваних значень. Результати проведених експериментальних досліджень з використанням розробленої програми, добре узгоджуються з відомими теоретичними положеннями.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії узагальнених вироджених гіпергеометричних функцій та їх застосуванню в теорії інтегральних і диференціальних рівнянь, в теорії інтегральних перетворень, при обчисленні інтегралів тощо. У дисертації одержано такі нові результати:

1. запроваджено -, -узагальнені конфлюентні (вироджені) гіпергеометричні функції , ;

2. доведено їх основні властивості (диференціальні, інтегральні, функціональні співвідношення та ін.);

3. побудовано узагальнення гамма-, бета-, псі-, дзета-функцій, функцій Лагерра, функцій Вольтерра та ін., розглянуто їх частинні випадки;

4. дано застосування узагальнених конфлюентних гіпергеометричних функцій в теорії інтегральних рівнянь, а саме,

розв’язано в замкненій формі:

· інтегральне рівняння Вольтерра I-го роду з -узагальненою конфлюентною гіпергеометричною функцією в ядрі;

· інтегральне рівняння Фредгольма I-го роду з функцією в ядрі;

· інтегральне рівняння Фредгольма I-го роду з узагальненою функцією Лагерра в ядрі;

· інтегральне рівняння Фредгольма I-го роду з функцією в ядрі;

· розглянуто дробове диференціальне рівняння, задачу Коші, розв’язок якої дано через функцію Райта;

5. подано застосування конфлюентних гіпергеометричних функцій в теорії інтегральних перетворень, зокрема, побудовано нові узагальнення інтегральних перетворень Ламберта, Гурвіца; отримано інтегральні перетворення Ейлера, Лапласа, Мелліна від деяких запроваджених узагальнених функцій;

6. розроблено методику застосування конфлюентних гіпергеометричних функцій в теорії інтегрування, що дало можливість подати деякі класи інтегралів через запроваджені узагальнені функції;

7. розроблено методику, алгоритм та програму обчислення значень _узагальненої конфлюентної гіпергеометричної функції ;

8. обчислено ряд інтегралів, відсутніх у наявній довідковій та науковій математичній літературі.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Вірченко Н.О., Рибачук Л.В. -Узагальнені Ейлерові інтеграли // Доповіді НАН України. – 2003. – № . – С. 12–18.

2. Вірченко Н.О., Рибачук Л.В. Інтегральні перетворення -узагальнених функцій // Доповіді НАН України. – 2005. – № . – С. 7–12.

3. Вірченко Н.О., Рибачук Л.В. Про узагальнення -функції та інтегрального перетворення Ламберта // Доповіді НАН України. – 2006. – № 4. – С. 10–15.

4. Вірченко Н.О., Рибачук Л.В. Про нові узагальнення спеціальних функцій та їх застосування в теорії інтегральних перетворень // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. – 2006. – № . – С. 126–131.

5. Denysiuk V.P., Rybachuk L.V. Calculation of gamma functions significances // Proceedings of NAU. – 2005. – № . – С. 126–130.

6. Рибачук Л.В. Обчислення значень гіпергеометричних функцій в автоматизованих системах обробки даних // Проблеми інформатизації та управління: Збірник наукових праць: Випуск 13. – К.: НАУ, 2005. – С. –104.

7. Рибачук Л.В. Про деякі інтегральні перетворення із узагальненою дзета-функцією // Матеріали десятої Міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука. – К.: Задруга, 2004. – С. 506.

8. Рыбачук Л.В. О -обобщенной дзета-функции // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. . / Казанское математическое общество. – Казань: Изд-во Казанского математического общества, 2004. – С. –227.

9. Рибачук Л.В. Про -узагальнену Hurwitz дзета-функцію // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька. – Львів: поліграфічний центр вид-ва Національного ун-ту “Львівська політехніка”, 2004. –С. 188.

10. Rybachuk L.V. On some applications of the generalized hypergeometric functionInternational conference “Dynamical system modelling and stability investigation (DSMSI-2005)”. – Kyiv, 2005. – P. 235.

11. Рибачук Л.В. Про формулу Ліпшиця для узагальненої дзета-функції РіманаМіжнародна конференція “Диференціальні рівняння та їх застосування”. – К.:КНУ, 2005. – С. .

12. Rybachuk L.V. Hermite formula for the generalized Hurwitz zeta functionXIII Международная конференция “Математика. Экономика. Образование”. III международный симпозиум “Ряды Фурье и их приложения”. – Ростов-на-Дону, изд_во ООО “ЦВВР”, 2005. – С. 89–90.

13. Virchenko N.O., Rybachuk L.V. On the generalized Lambert transform // Труды Второй Всероссийской научной конференции “Математическое моделирование и краевые задачи”. Ч. 3: Секция “Дифференциальные уравнения и краевые задачи”. – Самара: Самарский гос. тех. ун-т, 2005. – С. –49.

14. Рибачук Л.В. Про деякі диференціальні та інтегральні рівняння з узагальненою конфлюентною гіпергеометричною функцією // Матеріали XI Міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука. – К.: Задруга, 2006. – С. .

15. Вирченко Н.А., Рыбачук Л.В. О некоторых дифференциальных и интегральных соотношениях для // XIV Международная конференция “Математика. Экономика. Образование”. IV международный симпозиум “Ряды Фурье и их приложения”. – Ростов-на-Дону, изд-во ООО “ЦВВР”, 2006. – С. 85.

16. Рибачук Л.В. Про застосування узагальнених гіпергеометричних функцій в теорії інтегральних, диференціальних рівнянь // Восьма Міжнародна науково-технічна конференція “АВІА-2007”. – К.: НАУ, 2007. – C. 14.26–14.29.

АНОТАЦІЇ

Рибачук Л.В. Узагальнені вироджені гіпергеометричні функції та їх застосування. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 — диференціальні рівняння. — Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена узагальненню вироджених (конфлюентних) гіпергеометричних функцій та їх застосувань до інтегральних, диференціальних рівнянь, інтегральних перетворень, у теорії інтегрального числення тощо. Запроваджено нові узагальнення вироджених гіпергеометричних функцій, гамма-, бета-, псі-функцій, дзета-функцій Гурвіца, функцій Лагерра та Вольтерра. Доведено інтегральні, диференціальні, функціональні співвідношення для запроваджених функцій. Обчислено низку інтегралів, відсутніх у наявній довідковій та науковій математичній літературі.

Побудовано розв’язки інтегрального рівняння Вольтерра I_го роду з -узагальненою конфлюентною гіпергеометричною функцією в ядрі та трьох інтегральних рівнянь Фредгольма I_го роду з -узагальненими конфлюентними гіпергеометричними функціями та з узагальненою функцією Лагерра в ядрах. Доведено відповідні теореми про існування та єдиність розв’язків цих рівнянь. Розв’язано задачу Коші для дробового диференціального рівняння з частинними похідними, розв’язок якої дано через функцію Райта.

Запроваджено нові узагальнення інтегральних перетворень Ламберта, Гурвіца. Доведено теорему про обернення узагальненого інтегрального перетворення Ламберта. Розглянуто приклади застосувань цих нових узагальнених інтегральних перетворень.

Ключові слова: -узагальнена вироджена (конфлюентна) гіпергеометрична функція; узагальнені гамма-, бета-, псі-, дзета-функції; інтегральні рівняння Вольтерра, Фредгольма I_го роду; узагальнені інтегральні перетворення Ламберта, Гурвіца.

Рыбачук Л.В. Обобщенные вырожденные гипергеометрические функции и их применение. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения. — Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию теории специальных функций путем введения новых обобщенных функций гипергеометрического типа. Введена -обобщенная (по Райту) вырожденная (конфлюэнтная) гипергеометрическая функция. Изучены частные случаи введенной обобщенной функции. Получен ряд интегральных, дифференциальных, функциональных соотношений. Доказаны теоремы об интегральных представлениях этих функций, в частности, через функцию Фокса-Райта. Разработана методика, алгоритм и программа вычисления значений -обобщенной вырожденной гипергеометрической функции.

С помощью -обобщенной вырожденной гипергеометрической функции получены новые обобщения классических функций, а именно гамма-, бета-, пси-функций, дзета-функций Гурвица, функций Лагерра и Вольтерра. Доказаны теоремы об обобщении формул Бине, Гаусса, Дирихле, Рамануджана, об интегральных представлениях для введенных функций. С помощью обобщенных специальных функций вычислен целый ряд новых интегралов, которые отсутствуют в справочной и научной литературе.

Дано применение обобщенных вырожденных гипергеометрических функций в теории интегральных уравнений, а именно: доказаны теоремы о существовании и единственности решений интегрального уравнения Вольтерра I-го рода с _обобщенной вырожденной гипергеометрической функцией в ядре, трех интегральных уравнений Фредгольма I_го рода с обобщенными вырожденными гипергеометрическими функциями и обобщенной функцией Лагерра в ядрах. Решена задача Коши для дробного дифференциального уравнения в частных производных, решение которой дано через функцию Райта.

Введены новые обобщения интегральных преобразований, а именно: обобщенные интегральные преобразования Ламберта, Гурвица. Доказана теорема о формуле обращения обобщенного интегрального преобразования Ламберта. Рассмотрены конкретные примеры применения этих обобщенных интегральных преобразований, в т.ч. интегральных преобразований Меллина, Эйлера, Лапласа.

Ключевые слова: -обобщенная вырожденная (конфлюэнтная) гипергеометрическая функция; обобщенные гамма-, бета-, пси-, дзета-функции; интегральные уравнения Вольтерра, Фредгольма I-го рода; обобщенные интегральные преобразования Ламберта, Гурвица.

Rybachuk L.V. Generalized confluent hypergeometric functions and their applications. — Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree by speciality 01.01.02 — differential equations. — Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2007.

The thesis is devoted to the generalization of confluent hypergeometric functions and their applications in the theory of integral, differential equations, integral transforms, in the theory of integral calculus etc. New generalizations of the confluent hypergeometric functions, gamma-, beta-, psi-functions, Hurwitz zeta-functions, Laguerre and Volterra functions are introduced. Integral, differential and functional relations for the introduced functions are proved. A number of integrals which are absent in available scientific publications are calculated.

Volterra and Fredholm integral equations of the first kind and Cauchy problem for the fractional differential equation with the partial derivatives are solved and investigated. The theorems about the existence and uniqueness of the solutions of these equations are given.

New generalizations of Lambert, Hurwitz integral transforms are constructed. Their applications are given.

Key words: -generalized confluent hypergeometric function; generalized gamma-, beta-, psi-, zeta-functions; Volterra, Fredholm integral equations of the first kind; generalized integral Lambert, Hurwitz transforms.