Національний університет “Львівська політехніка”

Рендзіняк Сергій Йосипович

УДК 621.372

Паралельні діакоптичні методи розрахунку динамічних режимів електричних кіл

05.09.05 – теоретична електротехніка

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора технічних наук

Львів-2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному університеті “Львівська політехніка” Міністерства освіти і науки України

Науковий консультант – | доктор технічних наук, професор
Стахів Петро Григорович,
завідувач кафедри теоретичної та загальної електротехніки Національного університету “Львівська політехніка” | Офіційні опоненти | доктор технічних наук,
старший науковий співробітник
Денисюк Сергій Петрович,
провідний науковий співробітник Інституту електродинаміки НАН України; | доктор технічних наук, професор
Костін Микола Олександрович,
завідувач кафедри теоретичних основ електротехніки Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту; | доктор технічних наук, професор
Матвійчук Ярослав Миколайович,
професор кафедри теоретичної радіотехніки та радіовимірювань Національного університету “Львівська політехніка”. | Провідна установа | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова Національної академії наук України |

Захист відбудеться 8 червня 2007 р. о 1300 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .052.02 у Національному університеті “Львівська політехніка” (79013, Львів-13, вул. С. Бандери, 12, ауд.114 головного корпусу).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” (79013, Львів, вул. Професорська, 1)

Автореферат розісланий 25 квітня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради, к.т.н., доц. Коруд В.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Наукова проблема паралельного розрахунку динамічних режимів нелінійних аналогових електричних кіл охоплює ряд завдань, пов’язаних з особливостями схем, типом математичного опису процесів у них, особливостями чисельного інтегрування відповідних диференціальних рівнянь і забезпеченням стійкості різницевих чисельних схем, що зумовлюється в першу чергу великим розкидом сталих часу. Процес комп’ютерного аналізу динамічних режимів вимагає великих часових витрат, які різко зростають з збільшенням розміру і складності схеми. Одним з шляхів прискорення розрахунку перехідних процесів є паралелізація обчислень. Це, зокрема, стимулюється стрімким на даний час розвитком паралельних обчислювальних структур (багатопроцесорних систем, кластерних систем, комп’ютерних локальних і глобальних мереж). Обчислювальні проблеми паралельного аналізу перехідних процесів вимагають формування спеціальних математичних моделей і всієї схеми, і її частин – підсхем. Значну увагу розв’язанню зазначених проблем, зокрема, створенню діакоптичних математичних моделей нелінійних електричних кіл приділено вітчизняними вченими Пуховим Г.Є., Шидловською Н.А., Мостовяком І.В., Михалевич Г.О. та ін., які заклали теоретичні засади для організації паралельних обчислень на сучасній комп’ютерній техніці. Однак переваги цих методів, у тому числі й методу підсхем Пухова Г.Є., найліпше виявляються підчас незалежного моделювання окремих частин схеми, що дозволяє поєднати процедуру формування математичної моделі підсхеми з аналізом її динамічних режимів і узгодженням розв’язків підсхем, зокрема, ітераційними методами. У х роках XX ст. Хечтел Г.Д., Санджованні-Вінчентеллі А., Норенков І.П., Петренко А.І., Сліпченко В.Г., Єлізаренко Г.М. та ін., які плідно працювали в цьому напрямку, виявили певні недоліки діакоптичного підходу, у першу чергу, із-за суттєвої нестійкості відповідних різницевих чисельних схем. Тому практичний розвиток отримали методи паралелізації процесу розрахунку динамічних режимів слабо жорстких схем, зокрема, цифрових, орієнтованих на застосування комбінованих чисельних схем з притаманними їм недоліками. Необхідність аналізу сучасних аналогових електричних кіл з сильнозв’язаними компонентами різної фізичної природи обумовлює актуальність наукової проблеми створення паралельних методів розрахунку динамічних режимів електричних кіл. Це вимагає створення нового математичного апарату узгодження підсхем з урахуванням їх динамічних і нелінійних властивостей. Такий підхід розширює клас схем, які можна аналізувати діакоптичними методами в напрямах зростання жорсткості електричних схем з врахуванням неоднорідності їх фізичної природи. Сучасний рівень обчислювальної техніки відкриває перспективи для розв’язання тих невирішених задач електротехніки, які поставлені в цільових програмах наукових досліджень НАН України.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи та впровадження її результатів безпосередньо пов’язані з цільовою програмою наукових досліджень НАН України “Наукові основи створення нових та підвищення ефективного використання традиційних джерел енергії”, планами науково-технічних робіт, виконаних у Національному університеті “Львівська політехніка”: ДБ/Діак “Застосування методів макромоделювання та діакоптики до розрахунку складних електротехнічних систем”, (№ держреєстрації 0198U002392, 1998-1999 рр.); ДБ/Чисен “Розроблення методів та паралельних алгоритмів розрахунку динамічних процесів неоднорідних електротехнічних систем”, (№ держреєстрації 0100U000500, 2000-2001 рр.); ДБ/Апріора “Створення методів, алгоритмів і програм для математичного та комп’ютерного моделювання динамічних процесів у електроенергетичних системах”, (№ держреєстрації 0102U001170, 2002-2003 рр.); ДБ/Паралель “Розроблення діакоптичних методів розрахунку динамічних режимів електроенергетичних систем на паралельних обчислювальних засобах”, (№ держреєстрації 0104U002307, 2004-2006 рр.).

Мета роботи. Метою дисертаційної роботи є розв’язання наукової проблеми аналізу динамічних режимів сильнозв’язаних аналогових нелінійних і неоднорідних електричних кіл методами паралельного розрахунку на основі нових підходів до узгодження розв’язків підсхем.

Задачі досліджень. Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:

– визначити особливості математичних моделей електричних кіл, придатних для паралелізації;

– провести систематизований аналіз особливостей паралелізації чисельних методів розрахунку систем звичайних диференціальних рівнянь і диференціальних рівнянь з частинними похідними, що описують процеси в електричних колах, та тенденцій розвитку паралельних обчислювальних комплексів;

– удосконалити існуючі методи узгодження підсхем та розробити новий метод узгодження підсхем з метою покращення стійкості паралельного обчислювального процесу;

– реалізувати розроблені алгоритми в програмному комплексі на базі локальної мережі з перспективою їх імплементації на інших паралельних обчислювальних структурах;

– провести оцінку ефективності та порівняльний аналіз паралельних діакоптичних методів розрахунку динамічних режимів аналогових нелінійних і неоднорідних електричних кіл на типових тестових схемах.

Об’єкт досліджень: динамічні режими аналогових нелінійних і неоднорідних електричних кіл.

Предмет досліджень: паралельні діакоптичні методи для розрахунку динамічних режимів електричних кіл.

Методи досліджень. В оcнову методів досліджень покладено діакоптичний підхід, запропонований Кроном, який реалізовано з допомогою спеціальних методів чисельного інтегрування, інтерпретація яких дається на схемному рівні. Для досягнення мети і розв’язання задач, що поставлені в дисертаційній роботі, використовувалися методи аналізу лінійних та нелінійних електричних кіл для формування діакоптичних математичних моделей підсхем і встановлення зв’язків між ними, теорія динамічних систем для побудови математичних макромоделей підсхем у вигляді системи алгебро-диференціальних рівнянь вхід-вихід, теорія звичайних диференціальних рівнянь і теорія стійкості для визначення області стійкості діакоптичних чисельних методів, явно-неявні чисельні методи інтегрування диференційних рівнянь для розрахунку перехідних процесів електричних кіл.

Наукова новизна одержаних результатів. До наукової новизни одержаних результатів відносяться розроблені оригінальні теоретичні засади нового використання теорії макромоделювання в діакоптиці. На відміну від відомих раніше результатів, вперше створено математичний апарат динамічного узгодження розв’язків підсхем з урахуванням їх динамічних та нелінійних властивостей, що значно розширило клас жорстких задач, придатних до моделювання паралельними діакоптичними методами, удоско-налено теорію підсхем, досліджено властивості нової чисельної різницевої схеми розрахунку перехідних процесів. Подальший розвиток отримали методи паралелізації розрахунків динамічних режимів електричних кіл.

Новими є такі наукові результати:

– запропоновано заступну схему нелінійної підсхеми в аналогових пристроях, яка відображає її поведінку на окремому кроці інтегрування, що дозволило розв’язати проблему розрахунку електричних схем;

– розвинуто теоретичні засади аналізу аналогових електричних кіл з використанням макромоделювання в діакоптиці, які принципово, через редукцію підсхем у багатополюсник, вирішують проблему стійкості релаксаційних неявних методів розрахунку перехідних процесів сильно зв’язаних жорстких схем, що дозволило аналізувати динамічні режими нелінійних аналогових електричних схем;

– вперше запропоновано метод динамічного узгодження розв’язків нелінійних аналогових підсхем з урахуванням їх динамічних та нелінійних властивостей, що значно розширило клас жорстких електричних схем для моделювання паралельними діакоптичними методами;

– удосконалено метод підсхем для формування неоднорідних динамічних моделей схем, що дало можливість моделювати компоненти електричних кіл різної фізичної природи і поданих відповідними їх математичними моделями;

– визначено умови стійкості чисельних різницевих схем розрахунку перехідних процесів з діакоптичним підходом, що дозволило визначити клас електричних схем для розрахунку динамічних режимів діакоптичними методами;

– визначено вимоги до обчислювальних засобів, придатних для паралелізації діакоптичних методів, що дало змогу окреслити оптимальний клас багатопроцесорних систем і локальних мереж з метою ефективного застосування сучасних паралельних обчислювальних структур.

Практичне значення одержаних результатів. Практичне значення результатів дисертаційної роботи полягає в застосуванні розроблених алгоритмів аналізу динамічних режимів аналогових електричних кіл з глибокими зворотними зв’язками на багатопроцесорних обчислювальних системах та в комп’ютерних мережах для підвищення їх ефективності. Для цього розроблено структуру даних обміну про стан підсхем між процесорами паралельної обчислювальної системи, що дозволило реалізувати розроблені алгоритми в програмному комплексі, адаптованому до роботи в локальних мережах типу Ethernet; проведено оцінку ефективності та порівняльний аналіз паралельних методів аналізу динамічних режимів ряду типових тестових схем, що дає підстави для ефективного моделювання електричних, електроенергетичних, радіоелектронних схем з новими складовими елементами, зокрема з механо-електронними інтегральними компонентами.

Отримані теоретичні і практичні результати впроваджено в 4 науково-технічних роботах за держбюджетною темою, виконаних у Національному університеті “Львівська політехніка”, у ВАТ ТКБР “Стріла” і використано в навчальному процесі.

Особистий внесок здобувача. Основні наукові, практичні та експериментальні результати одержані автором самостійно й опубліковані в працях [, , , ]. В опублікованих у співавторстві наукових працях автору дисертації належать:

в [] – методика розрахунку ефективності паралелізації методу роздільного інтегрування підсхем, розроблення алгоритмів розрахунку підсхем у локальній мережі, в [] – формування умов стійкості діакоптичної різницевої схеми, в [] – постановка задачі реалізації паралельних діакоптичних алгоритмів розрахунку динамічних режимів у локальній мережі, в [] – визначення критеріїв стійкості діакоптичної різницевої схеми на комплексній площині, в [] – вперше запропоновано метод узгодження підсхем з урахуванням їх динамічних та нелінійних властивостей, в [] – постановка задачі використання адаптивних діакоптичних методів аналізу динамічних режимів складних електронних систем в локальній мережі, в [] – методика побудови паралельних діакоптичних алгоритмів і дослідження особливостей розпаралелення алгоритму роздільного інтегрування, в [] – розв’язання питань паралелізації методу роздільного інтегрування підсхем і балансу завантаженості процесорів, в [] – постановка задачі організації паралельних обчислень прямими діакоптичними методами в локальній мережі, в [] – дослідження задачі моделювання складних схем, складених з компонент різної фізичної природи і функціонального призначення, в [] – постановка задачі розрахунку динамічних режимів електротехнічних кіл паралельними діакоптичними методами, в [] – огляд сучасних підходів до розпаралелення обчислювальних процесів і систематизація паралельних методів розрахунку систем диференціальних рівнянь, в [] – дослідження ефективності паралельних алгоритмів, в [] – дослідження ефективності паралельних релаксаційних алгоритмів розрахунку систем нелінійних диференціальних рівнянь, в [] – застосування методу роздільного інтегрування підсхем з розподіленими параметрами і підсхем з зосередженими параметрами, в [] – алгоритм узгодження підсхем у методі роздільного інтегрування і шляхи його удосконалення, в [] – розроблення методики узгодження розв’язків підсхем і перевірка адекватності динамічних режимів нелінійних електричних кіл.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися й обговорювалися на III Всесоюзній. наук.-техн. конф. “Проблемы нелинейной электротехники” Інституту проблем моделювання в енергетиці АН УРСР (1988 р.); Респ. наук.-метод. конф. “Використання персональних ЕОМ в навчальному процесі ВУЗу” (Львів, 1992 р.); Міжнар. наук.-техн. конф. “Проблеми фізичної та біомедичної електроніки” (Київ, 1996 р.); 2-й Міжнар. наук.-техн. конф. “Математичне моделювання в електротехніці, електроніці та електроенергетиці” (Львів, 1997 р.); Міжнар. наук.-техн. конф. “Проблеми фізичної та біомедичної електроніки” (Київ, 1998 р.); 5-й Міжнар. наук.-техн. конф. “Досвід розробки і застосування САПР в мікроелектроніці” CADSM'99 (Львів, 1999 р.); Міжнар. наук.-техн. конф. “Проблеми фізичної та біомедичної електроніки” (Київ, 1999 р.); Укр.-польськ. школі-семінарі “Актуальні проблеми теоретичної електротехніки: наука і дидактика” (Львів/Алушта, 1999 р.); 3-й Міжнар. наук.-техн. конф. “Математичне моделювання в електротехніці, електроніці та електроенергетиці” (Львів, 1999 р.); Міжнар. наук.-техн. конф. “Проблеми фізичної та біомедичної електроніки” (Київ, 2000 р.); Спільному укр.-польськ. школі-семінарі “Актуальні проблеми теоретичної електротехніки: наука і дидактика” (Соліна, Польща, 2000 р.); Спільному укр.-польськ. школі-семінарі “Актуальні проблеми теоретичної електротехніки: наука і дидактика” (Алушта, 2001 р.); Міжнародній конференції “Сучасні проблеми радіоелектроніки, телекомунікацій, комп’ютерної інженерії” TCSET’2002 (Львів/Славсько, 2002 р.); IVth International Workshop “Computational Problems of Electrical Engineering(Zakopane, Poland, 2002); 7th International Modelling Scholl of AMSEUAPL (Alushta, Ukraine, 2002); Спільному укр.-польськ. школі-семінарі “Актуальні проблеми теоретичної електротехніки: наука і дидактика” (Язлівець, 2003 р.); 8th International Modelling Scholl of AMSEUAPL (Alushta, Ukraine, 2003); VI Міжнар. наук-техн. конф. “Силовая электроника и энергоэффективность” СЭЭ’2003 (Харків, 2003 р.); 4-й Міжнар. наук.-техн. конф. “Математичне моделювання в електротехніці, електроніці та електроенергетиці” (Львів, 2003 р.); семінарі НАН України “Енергетичні і електромеханічні системи” (Львів, 2003 р.); Міжнар. наук.-техн. конф. “Проблеми сучасної електротехніки” (Київ, 2004 р.); VI International Workshop “Computational Problems of Electrical Engineering(Zakopane, Poland, 2004); 9th International Modelling School of AMSEUAPL (Alushta, Ukraine, 2004); Ювілейній науковій конференції, присвяченій 40-річчю кафедри радіофізики ЛНУ ім. І.Франка (Львів, 2004 р.); семінарі НАН України “Енергетичні і електромеханічні системи” (Львів, 2005 р.); XIII International Symposium on Theoretical Electrical Engineering ISTET05 (Lviv, 2005); 7th International Conference on Advanced Methods in the Theory of Electrical Engineering AMTEE05 (Pilsen, Czech Republic, 2005); VI Міжнар. наук-техн. конф. “Силовая электроника и энергоэффективность” СЭЭ’2005 (Харків, 2005 р.); Міжнар. конф. “Сучасні проблеми радіоелектроніки, телекомунікацій, комп’ютерної інженерії” TCSET’2006 (Львів/Славсько, 2006 р.); Міжнар. наук.-техн. конф. “Проблеми сучасної електротехніки” (Київ, 2006 р.); VII International Workshop “Computational Problems of Electrical Engineering” (Odessa, Ukraine, 2006).

Публікації. За темою дисертаційної роботи опубліковано 43 праці, з яких 20 статей у фахових наукових виданнях України та закордонних академічних виданнях.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, п’яти розділів, висновків, переліку використаних джерел і додатків. Загальний обсяг роботи – 303 сторінки, у тому числі 251 сторінка основного тексту, 101 рисунків і 21 таблиця, список використаних джерел з 240 найменувань на 26 сторінках і 6 додатків на 52 сторінках, що містять допоміжні експериментальні результати та акти про впровадження результатів роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі визначено актуальність теми дисертаційної роботи, встановлено зв’язок її з науковими програмами, планами і темами, поставлено мету і задачі дослідження, визначено новизну і практичне значення одержаних результатів, наведено результати апробації результатів дисертації.

У першому розділі виявлено особливості математичних моделей аналогових неоднорідних електричних кіл, орієнтованих на паралелізацію розрахунку динамічних режимів. Проведено огляд сучасних підходів і виявлення тенденцій паралелізації методів розрахунку динамічних режимів та розвитку паралельних обчислювальних комплексів, класифікацію паралельних алгоритмів розв’язання звичайних диференціальних рівнянь, визначено основні напрями паралелізації, зокрема, паралелізації релаксаційних методів, різнокрокових методів та методу роздільного інтегрування підсхем. Розглянуто особливості синхронізації паралельних процесів. Систематизовано сучасні комп’ютерні засоби реалізації паралельних обчислень, а саме: багатопроцесорні системи і комп’ютерні мережі. Сформульовано критерії оцінки ефективності паралельних алгоритмів.

Діакоптична математична модель електричного кола, адекватність якої визначається адекватністю математичних моделей компонент і топологією схеми, утворюється в результаті штучного поділу електричної схеми на частини з урахуванням взаємовпливу окремих частин за допомогою певної кількості додаткових величин, які моделюються, наприклад, керованими джерелами енергії. Схемну інтерпретацію аналізованого кола на основі діакоптичного підходу можна подати так, як показано на рис. , а, де багатополюсники N1, N2,…, NR є окремими частинами поділеної схеми (підсхемами). Стан їх визначається внутрішніми змінними x1, x2,…, xR і зовнішніми вхідними v та вихідними w змінними, які є спільними для суміжних підсхем. На рис. , б за методом Пухова зовнішні змінні відображено деякою дуальною системою джерел енергії, керованих зовнішніми змінними суміжної підсхеми. Такий підхід у теорії електричних кіл дозволяє сформувати зв’язки в багатозв’язаних колах за допомогою двомірних, а не багатомірних матриць. До структури підсхеми на сучасному рівні розвитку моделей елементів електротехнічних, електро-механічних і радіоелектронних схем входять джерела ЕРС і струму, нелінійні реактивні елементи, лінійні електричні опори (провідності) і лінійно керовані джерела енергії, довгі лінії (рис. ). З решти елементів формують вектор нелінійних функцій, розрахунок яких проводиться в інтегруючому програмному блоці.

а б

Рис. . Схемна інтерпретація методу підсхем (а) за допомогою додаткових джерел енергії (б).

а б

Рис. . Структура підсхеми з зосередженими (а) і розподіленими (б) параметрами як частини електричного кола.

Діакоптична математична модель, наприклад, електричної схеми з зосередженими параметрами подається системою диференціальних і алгебричних рівнянь

де – вектор внутрішніх змінних; – система диференціальних і алгебричних рівнянь, що описує динамічні процеси в r-й підсхемі;  – система топологічних рівнянь, що відображає взаємозв’язки підсхем; R – кількість підсхем.

Суть діакоптичного підходу полягає в незалежному розв’язуванні (чисельному інтегруванні) кожного рівняння , а також в узгодженні отриманих розв’язків шляхом розв’язання рівняння . Причому рівняння розв’язуються й упродовж певного часового проміжку, і на одній окремій ітерації узгодження.

Оскільки в кожному алгоритмі чисельного інтегрування можна виділити паралельну ділянку (частину незалежних обчислень) і послідовну ділянку (частину обчислень, вихідні результати яких є вхідними для наступних), де паралельні ділянки виконуються окремими процесорами, то порядок їх виконання визначає рівень паралелізації. Паралелізація чисельного розв’язку системи звичайних диференціальних рівнянь направляється трьома аспектами проблеми:

системним (проблемним) паралелізмом або просторовим паралелізмом – поділом системи звичайних диференціальних рівнянь через призначення одного рівняння або їх блоку кожному процесору для одночасного інтегрування: релаксаційні методи, методи модульного інтегрування, методи розподілу обчислень функціональних компонент на вільних процесорах, методи розщеплення складної системи на підсистеми і закріплення їх за різними процесорами, метод роздільного інтегрування підсхем;

методовим паралелізмом – розподілом обчислювальних операцій одного кроку інтегрування або блоку кроків між різними процесорами. Наприклад, розрахунок на підготовчому етапі різницевої схеми значень нелінійних функцій, на що найбільше витрачається процесорний час, на окремих процесорах, закріплення різних частин методу за процесорами;

часовим паралелізмом – одночасним інтегруванням на окремих процесорах визначеного числа послідовних часових кроків, тому його також називають кроковим. Через цю особливість він протирічить властивій перехідним процесам послідовності, рідко вживається і не набув достатнього розвитку.

Нехай певне нелінійне електричне коло подано математичною моделлю у вигляді системи диференціальних рівнянь стану в формі Коші

, , ,

де – вектор змінних стану, x0 – початкові умови.

Розпаралелення системи в просторі ґрунтується на поділі вектора змінних стану на підвектори

,

, ,…, ,

де S – число процесорів (рис. , а). Ця процедура веде за собою, як правило, й розподіл обчислювальних процесів *f за процесорами *f1,…, *fS (рис. , б)

Звичайно певному процесору призначають відповідну підсхему.

а б

Рис. . Розщеплення вектора змінних стану на підвектори.

Метод роздільного інтегрування підсхем природно вписується в схему розпаралелення системи (рис. ).

Рис. . Розпаралелення системи і розподіл обчислювальних ресурсів.

Внаслідок неминучого розривання неявних зв’язків між підсхемами виникає необхідність формування простої ітераційної процедури в межах одного кроку інтегрування для уточнення розв’язків підсхем. За таких умов створено низку релаксаційних методів, у яких процедура корекції незалежних змінних підсхем відбувається на різних етапах формування системи дискретизованих і лінеаризованих рівнянь підсхем. Зокрема, у методах, які враховують інерційні і нелінійні властивості окремих підсхем, доцільно ввести поняття кроку корекції розв’язків підсхем HК (рис. ), упродовж якого вони моделюються незалежно. Звичайно, крок корекції визначається найбільшим кроком інтегрування підсхем.

Рис. . Формування кроку корекції розв’язків підсхем.

Розподіл обчислювальних процесів проводиться на рівні сформованої моделі всієї схеми, чи заздалегідь поділеної великої схеми на частини. Якщо система нелінійних диференціальних рівнянь великої схеми, розділеної на частини, подана в формі Коші, то метод роздільного інтегрування підсхем відповідатиме блочній процедурі Гауса-Зайделя, запровадженій до блочної системи диференціальних рівнянь підсхем, доповнених алгебричними рівняннями зв’язку підсхем

де x1, …, xR – вектори змінних стану підсхем; v – вектор змінних зв’язку, J – номер додаткової ітерації для уточнення значення вектора змінних зв’язку, R – кількість підсхем. На певному часовому інтервалі, а саме, кроці корекції фіксу-ють значення змінних зв’язку, а системи диференціальних рівнянь кожної під-схеми розв’язують незалежно. Далі за рівняннями зв’язку визначають зовнішні змінні зв’язку, після перерахунку яких розв’язок диференціальних рівнянь повторюється, поки не буде отримана необхідна точність результатів (рис. ).

Рис. . Графічна інтерпретація методу роздільного інтегрування підсхем.

У другому розділі розглянуто основні діакоптичні математичні моделі підсхем, особливості встановлення зв’язку між ними, причини нестійкості діакоптичних чисельних процедур. Один з запропонованих шляхів удосконалення узгодження розв’язків підсхем полягає в урахуванні під час розрахунку певної підсхеми узагальненої інформації про динамічні властивості суміжних підсхем, отриманих шляхом заміни їх моделей згорнутими багатополюсниками, моделі яких подано відповідними алгебро-диференціальними рівняннями. Тоді змінні зв’язку, які вносять явну компоненту в різницеву чисельну схему і спричинюють її нестійкість, замінюються змінними стану еквівалентного багатополюсника, внаслідок чого обмеження кроку інтегрування визначаються тільки методом інтегрування підсхем і необхідною точністю результатів, що теоретично доведено для лінійних кіл і підтверджено експериментальними розрахунками.

Нехай деяка складна схема розділена на дві частини – підсхеми (рис. ).

Рис. . Встановлення зв’язку між підсхемами за допомогою додаткових зовнішніх змінних.

Між підсхемами встановлено два інформаційні канали: w1>v2 від першої підсхеми до другої та w2>v1 від другої підсхеми до першої, де w1 і w2 – вектори вихідних величин підсхем, v1 і v2 – вектори вхідних величин підсхем.

Системи алгебро-диференціальних рівнянь підсхем, наприклад, системи нелінійних диференціальних рівнянь у формі Коші та вихідні рівняння, у яких вихідні величини лінійно залежать від змінних стану та вхідних величин, набувають вигляду

де x1, x2 – змінні стану підсхем. Зв’язок між підсхемами встановлюється додатковими рівняннями зв’язку

,

де щодо матриці перестановлень F, як матриці з лише однією одиницею в кожному рядку і в кожному стовпчику, завжди чинне співвідношення

.

Вихідні рівняння підсхем і рівняння зв’язку розв’язуються відносно вхідних величин

,

де нові підматриці дорівнюють, відповідно, з урахуванням властивості , , ,.

Остаточно в системі рівнянь всієї нелінійної схеми відокремлюються матричні блоки окремих підсхем з диференціальних рівнянь

,

де, , ,.

Після застосування ітераційної процедури Гауса-Зайделя до систем та отримуємо систему рівнянь, яка відповідає методу роздільного інтегрування підсхем,

,

де J – номер ітерації. Порівняння системи , яку переважно інтегрують неявними методами, з отриманою системою показує, що основна матриця системи рівнянь стану суттєво відрізняється від аналогічної матриці системи всієї схеми , що безперечно змінює динамічні властивості нової системи , і, відповідно, розподіл власних значень перехідної матриці різницевої схеми чисельного методу, а, отже, й умови стійкості цієї чисельної схеми.

Один з шляхів удосконалення узгодження розв’язків підсхем полягає в урахуванні під час розрахунку деякої базової підсхеми інформації про динамічні властивості суміжних підсхем. Для цього запропоновано замінити їх згорнутими через редукцію лінійними динамічними багатополюсниками, поданих алгебро-диференціальними рівняннями, параметри яких динамічно коректуються після розв’язку рівнянь зв’язку.

Очевидно, що будь-яка редукція рівнянь супроводжується їх спрощенням. Для цього визначено додаткові умови, які уможливлюють цю дію.

Перша умова редукції системи рівнянь підсхеми: група рівнянь, яка описує базову підсхему, повинна співпадати з відповідною групою рівнянь всієї схеми.

Виділимо певну підсхему N1, решта підсхем замінимо деяким узагальненим лінійним багатополюсником N'2 (рис. ).

Рис. . Заміна нелінійної підсхеми спрощеним лінійним багатополюсником.

Нехай після редукції другої підсхеми число її змінних стану зменшиться до певної величини, а саме до числа змінних зв’язку, тоді

де матриці B'2 і D'2 квадратні і невироджені, матриця H2 залишається без змін.

У такому разі електрична схема описується системою рівнянь

,

де, , ,.

З умови тотожності систем і випливає рівність матриць та за умови

.

де розмірність вектора z2 співпадає з розмірністю вектора змінних зв’язку.

Подальше порівняння систем і , а саме зведення лівої частини другого рядка кожної з них до похідної від z2 через множення кожного рівняння зліва, відповідно, на матриці і , дає два рівняння

;

.

Перші складові цих рівнянь однакові за умови

,

тобто

.

Отже, порівняння складових з матричними компонентами, які пов’язані з вектором змінних стану базової підсхеми x1, дало змогу визначити параметри консервативних складових динамічного багатополюсника. Подальший аналіз складових вимагає порівняння неквадратних матриць, що потребує додаткових умов. Так дисипативні складові визначимо з другої умови редукції підсхеми: усталені режими вихідної та згорнутої математичних моделей підсхеми після завершення перехідного процесу повинні співпадати.

Якщо прийняти , тобто рівними нулеві струми конденсаторів та напруги котушок індуктивностей, що на схемотехнічному рівні відповідає вилученню конденсаторів та закороченню котушок індуктивностей, тоді й вектор . Для стійких підсхем математично ця умова означає однакові розв’язки систем алгебричних рівнянь, утворених з систем диференціальних рівнянь

;

.

Звичайно в програмних комплексах, де відлагоджено процедури формування систем рівнянь для знаходження вихідних величин, нескладно зробити заміну реактивних елементів на опори та провідності. У цьому випадку провівши відповідні матричні перетворення топологічних рівнянь, знаходимо залежність вектору змінних v2 від w2 у формі

,

де s2 – вектор інших складових, який зрештою ігноруємо. Далі замінимо вектор w2, отриманий після модифікації підсхеми, за другою формулою системи

.

Так змінні зв’язку дорівнюють

.

Виділивши складову з вектором у отриманому виразі та в , знаходимо

.

Нелінійні складові математичної моделі багатополюсника знаходимо безпосередньо прирівнюючи треті складові рівнянь

.

Наведені перетворення й умови достатні та не накладають додаткових вимог, окрім невиродженості квадратних матриць D'2 і B'2. Матриця B'2 є множником у всіх складових першого рівняння системи , тому цілком припустимо прийняти її одиничною. Матриця D'2 присутня у всіх складових цієї системи рівнянь як множник вектора , тому їх добуток також доцільно замінити вектором z2 згідно рівняння .

Отже, остаточно модифікована система рівнянь набуває вигляду

де

Опис цього багатополюсника вводять в програмний комплекс разом з описом 1-ої підсхеми, динамічно змінюючи його параметри під час розрахунку. Необхідно зазначити, що згідно алгоритму метода роздільного інтегрування підсхем параметри коректуються лише в момент узгодження підсхем, таким чином вектор x2 розглядається тут не як вектор стану, а як вектор параметрів з певними значеннями на J-й ітерації, власне як і вектор змінних зв’язку v2. Лінійні складові, наприклад, матриця , обчислюються лише один раз. Отже, сам багатополюсник приймається лінійним.

Математична модель багатополюсника подається безпосередньо у вигляді системи рівнянь або в вигляді заступної електричної схеми з керованими джерелами. Тип заступної схеми залежить від характеру певної пари полюсів багатополюсника.

А. Якщо k-та компонента вектора вхідних величин v2 – струм, то відповідна компонента вектора вихідних величин w2 і вектора змінних стану z2 – напруга. Тоді заступною схемою такого інформаційного каналу буде послідовно-паралельна схема з взаємними ємностями (рис. ). Відповідно, для підсхеми N1 керуючим сигналом буде напруга.

Рис. . Заступна модель лінійного багатополюсника відносно однієї пари зовнішніх полюсів (для відповідної пари полюсів підсхеми N1
вхідна величина – напруга, вихідна величина – струм).

Б. Якщо k-та компонента вектора вхідних величин v2 – напруга, то відповідна компонента вектора вихідних величин w2 і вектора змінних стану z2 – струм. Тоді заступною схемою такого інформаційного каналу буде паралельно-послідовна схема з взаємними індуктивностями (рис. ). Відповідно, для підсхеми N1 керуючим сигналом буде струм.

Рис. . Заступна модель лінійного багатополюсника відносно однієї пари зовнішніх полюсів (для відповідної пари полюсів підсхеми N1
вхідна величина – струм, вихідна величина – напруга).

На рис.  і показано також додаткові джерела постійної напруги і постійного струму, які моделюють відповідні значення нелінійних функцій і джерел живлення підсхем.

Порівняємо запропонований метод подання суміжних підсхем з відомими способами узгодження підсхем.

1. Нехай в заступній схемі багатополюсника відсутні реактивні елементи. Тоді згорнута підсхема описується системою алгебричних рівнянь , у якій вектор z2 стає звичайним сумарним вектором всіх постійних величин. На заступних схемах його компоненти в залежності від їх типу відображають, відповідно, джерелами постійної напруги (рис. ) або постійного струму (рис. ), які не мають чітко визначеного фізичного змісту і призначені лише для формального узгодження підсхем. Тому їх інколи назива-ють фіктивними джерелами, а параметри визначають за вищевказаним виразом.

Рис. . Заступна модель лінійного багатополюсника з фіктивним джерелом напруги та активними елементами відносно однієї пари зовнішніх полюсів
(для відповідної пари полюсів підсхеми N1 вхідна величина – напруга, вихідна величина – струм).

Рис. . Заступна модель лінійного багатополюсника з фіктивним джерелом струму та активними елементами відносно однієї пари зовнішніх полюсів
(для відповідної пари полюсів підсхеми N1 вхідна величина – струм, вихідна величина – напруга).

Такий метод узгодження підсхем відповідає методу врахування внутрішніх опорів підсхем.

2. Одночасне нехтування реактивних складових і активних втрат у заступних схемах багатополюсника приводить до рівняння , що означає повну заміну багатополюсника певним числом фіктивних джерел (рис. ). Саме такий метод узгодження відповідає традиційному методу роздільного інтегрування підсхем.

Рис. . Заступні моделі з фіктивними джерелами відносно однієї пари зовнішніх полюсів лінійного багатополюсника.

У загальному випадку, коли деяка складна схема розділяється не на дві, а більше число підсхем, то немає необхідності об’єднувати решту частину підсхем в одну. Достатньо мати для кожної підсхеми її повноцінну модель і спрощену заступну модель-багатополюсник, які зв’язані з іншими підсхемами однаковими рівняннями зв’язку. Тоді почерговий розрахунок, наприклад, трьох підсхем (рис. ) замінюється такими задачами, які показано на рис. .

Рис. . Розщеплення електричної схеми на три підсхеми.

а б

в

Рис. . Почерговий розрахунок: першої (а), другої (б) та третьої підсхеми (в).

Відповідні математичні моделі задач подано, наприклад, системами диференціальних рівнянь змінних стану в формі Коші

де x1, x2, x3 – змінні стану відповідно першої, другої і третьої підсхеми; z1, z2, z3 – змінні стану тих же підсхем після їх редукції.

Оцінку взаємних зв’язків лінійних підсхем та їх вплив на стійкість методу роздільного інтегрування проведено на прикладі RC-ланки (рис. ), система рівняння стану якої набуває вигляду

.

Рис. . RC-ланка (ціла схема).

Для скорочення записів у подальшому визначимо всі сталі часу через параметри елементів:, , де коефіцієнти, , дорівнюють відношенню відповідних параметрів елементів електричного кола.

Тоді запишемо систему рівнянь стану в компактному вигляді

,

де – матриця всієї схеми.

У табл.  наведено результати обчислення найбільшого значення відносного кроку інтегрування підсхем відомими чисельними схемами, коли встановлено зв’язки між ними за допомогою ідеальних фіктивних джерел (рис. , а), з врахуванням внутрішніх опорів підсхем (рис. , б) і новим способом через динамічні макромоделі підсхем (рис. , в).

Таблиця

Найбільше значення відносного кроку h/1

Ідеальні джерела енергії | Реальні джерела енергії | Динамічні макромоделі | Неявний метод Ейлера | Метод трапецій | Явний метод Ейлера |

а

б

в

Рис. . Способи встановлення зв’язку між підсхемами.

Перевірку запропонованого методу узгодження підсхем проведено також на прикладі простого мультивібратора (рис. ), який є дуже складним в сенсі стійкості обчислювального процесу.

Рис. . Схема простого мультивібратора.

Розрахунок двох частин мультивібратора за допомогою ідеальних джерел енергії показано на рис. , , а з врахуванням внутрішніх опорів підсхем – на рис. .

Рис . Схема мультивібратора, поділена на дві частини – підсхеми.

Рис . Результати розрахунку двох підсхем за допомогою ідеальних джерел енергії.

Рис . Результати розрахунку двох підсхем з врахуванням внутрішніх опорів.

Застосування запропонованого підходу суттєво покращує характеристики процесу обчислень. На рис. , показано результати узгодження розв’язків підсхем за допомогою динамічних макромоделей суміжних підсхем.

Рис. . Заміна сусідньої підсхеми лінійною заступною моделлю з реактивним елементом.

Рис. . Результати розрахунку мультивібратора, складеного з двох підсхем
з урахуванням динамічного зв’язку.

Наведені приклади показали, що на точність розрахунку значний вплив мають значення параметрів реактивних елементів заступних схем багатополюсників. У загальному випадку, коли ці параметри залежать від змінних стану як, наприклад, у математичній моделі біполярних транзисторів, необхідно на кожному кроці корекції зв’язків підсхем змінювати їх значення, що покращує точність розрахунку. У нашому випадку для підтвердження стійкості обчислювального процесу достатньо вказати сталі параметри, отримані в результаті редукції підсхем, з можливим їх уточненням.

У третьому розділі досліджено особливості реалізації паралельних алгоритмів розрахунку динамічних режимів електричних кіл на багатопроцесорних системах, а саме паралельній віртуальній машині PVM, за допомогою інтерфейсу передачі повідомлень MPI та комунікаційної бібліотеки Router. Розроблено базовий алгоритм розрахунку динамічних режимів на багатопроцесорних обчислювальних системах, який передбачає динамічний розподіл обчислювальних ресурсів. Проведено оцінку ефективності паралельного розрахунку динамічних режимів електричних кіл на багатопроцесорних обчислювальних системах.

Розподіл обчислювальних ресурсів доцільно виконувати на підставі характеристик, отриманих під час моделювання реальної задачі. Найменший час паралельного моделювання всіма процесорами визначається співвідношенням

,

де – час виконання процесором розрахунку r-тої підсхеми на інтервалі часу між корекціями змінних зв’язку; S – кількість процесорів; R – кількість підсхем, 1 ? S? R. З врахуванням того, що розподіл підсхем за процесорами в загальному випадку нерівномірний, оптимальний шлях розподілу полягає в застосуванні механізму перестановлень величин за групами підсхем Rs, призначених певному процесору , з метою мінімізації компонент

,

де.

Так отримуємо час паралельного моделювання підсхем між корекціями змінних зв’язку

,

який завжди буде не менший за час .

За такою схемою залишається ймовірність невдалого розподілу паралельних ресурсів тому, що вона будується на підставі інформації, отриманої на попередньому кроці корекції змінних зв’язку, а застосовується для поточного кроку.

Чисельна ефективність паралельного алгоритму залежить від часу виконання паралельного алгоритму обчислювальною системою з одним процесором T1 і часу виконання послідовного алгоритму без урахування паралелізму T0. У діючих програмних комплексах врахувати всі фактори реальних обчислень на сучасних обчислювальних системах практично неможливо. Тому доцільно прийняти, що час виконання послідовного алгоритму на одному кроці інтегрування функціонально залежить від складності факторизації матриці розміром m?m за степеневим рядом

.

Якщо підсистеми мають наближено однаковий розмір, то його можна врахувати заокругленим до цілого значенням m1 m/R, де R – кількість підсистем. Тоді

,

де J – число ітерацій за змінними зв’язку v; k – кількість змінних зв’язку; tm і ta – відповідно часи виконання операцій множення і додавання/віднімання. На рис.  подано залежність чисельної ефективності

конкретної багатопроцесорної системи, для якої шляхом розрахунку ряду тестових задач визначено такі значення апроксимаційних коефіцієнтів: C = .194 мс, a1 .121, a2 .00797, a3 .000511. Часи виконання операцій додавання і множення наближено однакові й рівні ta tm .8 нс.

Рис. . Залежність чисельної ефективності одного кроку інтегрування Enum від числа підсистем R.

З цих графіків можна визначити оптимальну кількість підсхем, на яку рекомендовано розщепляти схему. Враховуючи те, що ця величина навіть для великих за розмірами схем не перевищує десяти, вироблено рекомендацію не розщепляти занадто детально електричну схему на частини.

У четвертому розділі досліджено особливості розрахунку динамічних режимів електричних кіл у комп’ютерних мережах, визначено методи доступу до даних, пересилання даних у локальній мережі через дейтаграми та сеанси зв’язку, протоколи передавання даних, на підставі яких розроблено базовий алгоритм розрахунку в локальній мережі типу Ethernet. Виявлено шляхи мінімізації комунікаційних витрат та часу простоювання комп’ютерів. Розглянуто перспективи застосування протоколів стандарту TCP/IP і реалізації методів роздільного інтегрування в глобальній мережі.

Машинний час TR паралельного алгоритму розрахунку підсхем на окремих процесорах у локальній мережі на одному кроці корекції змінних зв’язку v складається з часу розв’язку рівнянь зв’язку tG; часу пересилання цих змінних по каналах зв’язку tV (практично пересилається кожній підсхемі не повний вектор v, а лише той підвектор, який містить лише власні її вхідні компоненти); часу розрахунку підсхеми tFr на одному кроці корекції змінних зв’язку; відповідно, для r-ої підсхеми, де , R – кількість підсхем; часу пересилання вектора змінних стану r-ої підсхеми по каналах зв’язку tXr:

.

Рівняння зв’язку виконується за час

,

де K1, K2 – коефіцієнти, які характеризують швидкодію комп’ютера і ефективність алгоритму матрично-векторного множення; mV, mXr -– розмір відповідно вектора змінних зв’язку і змінних стану r-ої підсхеми.

Аналогічно визначається час розрахунку окремої підсхеми

за умови інтегрування рівнянь стану підсхеми деяким неявним методом, який використовує процедуру розв’язку системи алгебричних рівнянь.

Кількість байтів, які необхідно переслати по мережі, залежить від внутрішнього відображення дійсних чисел у оперативній пам’яті процесора. Наприклад, дійсні числа з подвійною точністю займають у оперативній пам’яті 8 байт. Відповідно, час пересилання змінних зв’язку і змінних стану набуває значень

, ,

де KN – швидкість пересилання інформації у мережі, байт/с; K0 – час пересилання сталої ідентифікуючої інформації.

Отже, час розрахунку на одному кроці корекції змінних зв’язку сягає

,

де – загальне число змінних стану.

Як порівняння час розрахунку повної схеми на одному кроці послідовним алгоритмом на одному комп’ютері сягає

.

Нехай змінні стану рівномірно розподілені за підсхемами та число змінних зв’язку найменше, тобто велика схема розщеплюється по частинам за ланцюговою схемою, у такому разі

, ,

а найбільш ефективний варіант паралельного розрахунку підсхем у локальній мережі визначимо з виразу

за умови для достатньо великої схеми.

У найгіршому випадку, коли майже всі змінні стану зосереджені в одній підсхемі та , перший доданок виразу наближається до одиниці. Отже, цей доданок