КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Радченко Вадим Миколайович

УДК 519.21

ІНТЕГРАЛИ ЗА ЗАГАЛЬНИМИ ВИПАДКОВИМИ МІРАМИ

01.01.05 – теорія ймовірностей та математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі математичного аналізу механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор,

академік НАН України

Скороход Анатолій Володимирович,

Мічиганський університет

(м. Іст-Лансінг, США),

професор.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Дороговцев Андрій Анатолійович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу теорії випадкових процесів;

доктор фізико-математичних наук, професор

Кнопов Павло Соломонович,

Інститут кібернетики ім. В.М.Глушкова

НАН України,

завідувач відділу математичних методів

дослідження операцій;

доктор фізико-математичних наук, професор

Коваль Валерій Олександрович,

Житомирський державний технологічний

університет,

завідувач кафедри вищої математики.

Захист відбудеться “22” жовтня 2007 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (03022, м. Київ-22, пр-т Глушкова, 6, механіко-математичний факультет).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “11” вересня 2007 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради М.П. Моклячук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Головні об’єкти дослідження в даній роботі — випадкові міри, що задовольняють лише найбільш загальним вимогам, інтеграли від дійсних та випадкових функцій за ними, рівняння з цими інтегралами, траєкторії процесів, породжених такими випадковими мірами.

Актуальність теми. В теорії та застосуваннях аналізу випадкових функцій стохастичні інтеграли займають важливе місце. Вони були введені як природне узагальнення об’єктів теорії дійсних функцій, вони виявилися необхідними при записі рівнянь, що описують поведінку систем випадкового характеру. На основі поняття стохастичного інтеграла побудована теорія стохастичних інтегральних та диференціальних рівнянь. За останні десятиріччя ця математична теорія, активно розвиваючись, знайшла свої застосування в радіоелектроніці та електротехніці, квантовій механіці, теорії автоматичного керування, космічних дослідженнях. Стохастичними рівняннями описуються зміни на ринку фінансів та цінних паперів, що в останні роки значно підвищило інтерес спеціалістів-практиків до даної галузі математики.

Розвиток теорії стохастичних рівнянь та стохастичних інтегралів значною мірою проходить в напрямку узагальнення даних понять, розширення множин інтегровних процесів та випадкових мір, за якими беруться інтеграли. При цьому з’являється можливість розв’язання нових типів стохастичних рівнянь, отримання властивостей траєкторій широкого класу випадкових процесів. Для включення в розгляд нових математичних моделей реальних процесів і явищ важливою є задача розширення класу процесів, за якими беруться стохастичні інтеграли.

Поняття випадкової міри є природним узагальненням дійсної міри і є тісно пов’язаним з побудовою стохастичних інтегралів, властивостями випадкових процесів. Розробка загальної теорії випадкових мір, очевидно, почалася з робіт С. Бохнера, А. Прекопи і А. В. Скорохода. Надалі були докладно вивчені випадкові міри з незалежними приростами (А. В. Скороход), невід’ємні випадкові міри (Б. А. Севастьянов), розглянуто зв’язок з теорією точкових процесів (О. Калленберг). Випадкові міри стрибків є важливим об’єктом теорії мартингалів.

Вперше інтеграл за випадковим процесом розглянув Н. Вінер — це був інтеграл від дійсної функції за процесом броунівського руху. Його узагальненням став інтеграл за ортогональною випадковою мірою, побудований Г. Крамером. К. Іто побудував інтеграл від неупереджуючої випадкової функції за вінерівським процесом, а пізніше — і за пуасонівською випадковою мірою. Наступними кроками в даному напрямку стали конструкції інтеграла за мартингалом (П. Кореж, Х. Куніта і С. Ватанабе), за семімартингалом (П.-А. Мейєр, К. Долеан-Дед та ін.). Пізніше А.В. Скороход побудував узагальнений стохастичний інтеграл за гауссовою випадковою мірою, який визначений на широкому класі випадкових функцій, що не є обов’язково неупереджуючими (незалежно від нього, схожу конструкцію запропонував М. Хітсуда). Одночасно багатьма авторами вивчалися стохастичні інтегральні та диференціальні рівняння із вказаними об’єктами. При цьому на інтегратори завжди накладалася умова семімартингальності або існування відповідного розкладу в ряд в гільбертовому просторі.

Серед інших інтеграторів, останнім часом докладно досліджується фрактальний броунівський рух — гауссів процес, що є основою деяких моделей фінансових процесів і природних явищ (див., наприклад, роботи А. Н.Ширяєва і П. Черiдіто). Отримано властивості інтеграла за цим процесом (Л. Декрузефонд і А. С. Юстюнель, Ж. Мемін, Ю. Мішура і Е. Валкейла), результати про належність траєкторій просторам Бєсова (Д. Нуалар і Й. Окніне).

Для траєкторій випадкових процесів взагалі і стохастичних інтегралів зокрема важливими є різні властивості регулярності — неперервність, належність різним функціональним просторам. Останнім часом активно досліджується належність реалізацій випадкових процесів просторам Бєсова.

Перші твердження про належність траєкторій випадкових процесів просторам Бєсова на відрізку були доведені для броунівського руху і інтеграла Іто (Б. Ройнет). З. Цисельський, Г. Керкачарян і Б. Ройнет отримали достатні умови для гаусівських процесів, і, зокрема, показали належність відповідним просторам траєкторій дробового броунівського руху. Аналогічні результати для процесів Леві отримав В. Херен, для процесів Феллера — Р. Шиллінг. М. Целе показала, що належність траєкторій відповідним просторам Бєсова дозволяє визначати інтеграл за випадковим процесом.

Досліджувались узагальнені випадкові функції (у. в. ф.) та стохастичні рівняння в частинних похідних (СДРЧП), див. роботи І. М. Гельфанда і Н. Я. Віленкіна, Ю. А. Розанова, Х. Холдена та ін. і т. д. При цьому, як правило, випадковий вплив задавався -значними величинами і процесами. Дж. Б. Уолш показав, що розв’язки деяких СДРЧП можуть бути записані як інтеграли від дійсних функцій за визначеними ним мартингальними мірами. Б. Оксендал та ін. досліджували СДРЧП, в яких стохастичною складовою є білий шум, добутки випадкових величин (значень випадкових функцій) беруться в сенсі Віка, а стохастичний інтеграл розглядається в узагальненому сенсі Скорохода за вінерівським процесом. Рівняння, де стохастична складова є більш загального вигляду (наприклад, не має моментів), залишилися не дослідженими.

Однією з важливих областей застосування стохастичних інтегралів є фінансова математика. Рівняння, що описують зміни ціни акції або іншого цінного паперу, як правило, включають стохастичні інтеграли. Для моделі ціни, що керується вінерівським процесом з постійними коефіцієнтами, формули хеджування Європейського опціону колл були отримані ще Ф. Блеком і М. Шоулсом. Коли ж додатково ціна акції може мати випадкові стрибки в деякі моменти часу, задача знаходження явних формул хеджування була розв’язана лише в деяких частинних випадках (див. роботи Р. Мертона, Х. Фельмера, М. Швайцера). Загальні результати для середньоквадратичного хеджування і ціни акції, що є спеціальним семімартингалом, містяться в роботах М. Швайцера, але він не отримав явних формул для підрахунків. Практичне значення даної проблеми робить актуальним її дослідження.

Напрямок дисертаційної роботи близький до деяких досліджень векторнозначних мір. Особливо важливим для даної роботи є результат М. Талаграна про обмеженість значень -значної міри. С. Квапень і В. Войчинський дали конструкцію інтеграла від дійсної функції за -значною мірою, навели деякі елементарні його властивості, теорему про мажоровану збіжність (раніше аналогічну побудову було проведено в кандидатській дисертації пошукувача).

Отримання всіх цих результатів стимулювалося і внутрішньою логікою розвитку математичної теорії, і потребами практичних застосувань. Цілком природним напрямком продовження досліджень є побудова інтеграла за випадковою мірою, що задовольняє мінімально необхідному набору вимог, розв’язання рівнянь з такими випадковими мірами. При цьому включаються в розгляд інтегратори з усіх перерахованих моделей, розширюється клас розв’язуваних рівнянь. При дослідженні інтегралів за такими випадковими мірами виявляються властивості регулярності траєкторій процесів, що є наслідком лише мінімального набору умов.

Зв’язок роботи з науковими програмами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми №06БФ038-03 “Аналітичні та стохастичні методи дослідження динамічних систем”, яка входить до програми “Математичні проблеми природознавства та економіки” (номер державної реєстрації №0101U002472).

Мета і завдання дослідження. Об’єктом дослідження є стохастичні інтеграли, випадкові процеси, що є інтеграторами, стохастичні інтегральні та диференціальні рівняння.

Предмет дослідження — випадкові міри, що задовольняють лише умові -адитивності за ймовірністю, інтеграли за такими випадковими мірами від дійсних і деяких випадкових функцій, траєкторії процесів, породжених вказаними інтегралами.

Мета дослідження — доведення граничних теорем для інтеграла від дійсних функцій за загальними випадковими мірам, отримання умов належності просторам Бєсова і неперервності для траєкторій випадкових мір і побудованих інтегралів, розв’язання стохастичних рівнянь з такими інтегралами, вивід явних формул середньоквадратичного хеджування в моделях зі стрибками ціни акції.

Задачі дослідження:

1) для переходу до границі за ймовірністю в інтегралах від дійсних функцій за випадковою мірою при збіжності функцій довести критерій, аналогічний рівномірній інтегровності для випадку дійсних мір;

2) отримати умови переходу до границі за ймовірністю в інтегралах від дійсної функції за випадковими мірами при збіжності випадкових мір;

3) знайти умови збіжності за ймовірністю про нормованих інтегралів від дійсної функції за випадковою мірою при збіжності множин інтегрування;

4) визначити інтеграл від дійсної функцій за -скінченною випадковою мірою і довести для нього граничні теореми;

5) отримати умови належності просторам Бєсова траєкторій процесів, породжених випадковими мірами;

6) одержати умови неперервності траєкторій процесів, породжених випадковими мірами;

7) довести граничну теорему для інтегралів від випадкових функцій за дійсною мірою;

8) знайти розв’язки рівнянь теплопровідності і хвильового рівняння з випадковим впливом, що задається загальними випадковими мірами;

9) визначити симетричний стохастичний інтеграл за випадковою мірою від випадкових функцій, що задаються випадковими рядами з дійсними функціями;

10) знайти явні формули середньоквадратичного хеджування в моделях ціни акції зі стрибками.

Методи дослідження. Для досягнення поставленої в роботі мети використовуються методи теорії ймовірностей, теорії випадкових процесів, стохастичного аналізу, теорії міри, теорії векторнозначних мір. В розділі неодноразово використовувалися нерівності для розподілів лінійних комбінацій випадкових величин і зведення до твердження про обмеженість значень -значної міри. Отримана А. Камонт дискретна характеризація просторів Бєсова була основою при доведенні відповідної регулярності траєкторій випадкових мір в розділі . При дослідженні узагальнених випадкових функцій і стохастичних диференціальних рівнянь в частинних похідних в розділі було використано методи математичної фізики. На розклад Фельмера – Швайцера спирався вивід формул середньо-квадратич-ного хеджування в розділі .

Наукова новизна одержаних результатів.

1) Для дійсних функцій і випадкової міри встановлено критерій збіжності , аналогічний умові рівномірної інтегровності. Для рівномірної інтегровності множини функцій за випадковою мірою отримано критерій, що є аналогом теореми Валле-Пуссена.

2) Для дійсної функції і випадкових мір одержано умови збіжності . При цьому вводиться нове поняття рівномірної інтегровності функції за множиною випадкових мір, для нього також доведено аналог теореми Валле-Пуссена.

3) Для дійсної функції і випадкової міри отримано умови збіжності за ймовірністю .

4) Введено нове поняття -скінченної випадкової міри, що узагальнює поняття випадкової міри, і, наприклад, включає прирости випадкових процесів . Визначено інтеграл від дійсної функції за такою випадковою функцією множин. Для визначеного інтеграла доведено граничні теореми.

5) Доведено, що неперервні траєкторії випадкових мір на належать просторам Бєсова. Аналогічний результат на брусах в одержано при деяких додаткових умовах. Цим узагальнюються результати, отримані Б. Ройнетом, З. Цисельським, Г. Керкачаряном, Д. Нуаларом та іншими для деяких вузьких класів випадкових процесів.

6) Доведено неперервність за параметром та верхньою межею траєкторій інтегралів за випадковими мірами від дійсних функцій, що задовольняють умову Гельдера з показником, більшим за 1/2.

7) Для інтеграла від випадкової функції за дійсною скінченною мірою одержано еквівалентність його потраєкторного означення і означення через наближення простими функціями. Доведено твердження про збіжність за ймовірністю послідовності .

8) Для рівняння теплопровідності і хвильового рівняння відносно невідомих узагальнених випадкових функцій з випадковим впливом, що задано інтегралом за випадковою мірою, знайдено розв’язки. На відміну від попередніх результатів в даному напрямку, на випадкову складову рівняння накладаються слабші умови, і, зокрема, не вимагається наявності моментів. Отримані в роботі граничні теореми для інтегралів за випадковими мірами дають умови стійкості вказаних розв’язків.

9) Для випадкових функцій вигляду знайдено умови їх інтегровності за випадковою мірою, доведено граничні теореми для інтеграла.

10) Виведено явні формули середньоквадратичного хеджування для випадку, коли ціна акції керується вінерівським процесом і додатково має випадкові стрибки. Розглянуто дві моделі: коли моменти стрибків невипадкові і відомі наперед, і коли моменти стрибків породжені однорідним процесом Пуассона. Вивід явних формул ґрунтувався на розв’язанні загальних рівнянь, отриманих М. Швайцером.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичне значення. Деякі результати мають практичне значення. Результати даної дисертаційної роботи можуть бути застосовані для аналізу стохастичних систем, попередня інформація про поведінку яких є мінімальною, і ми не можемо накладати спеціальні умови на випадкові міри, пов’язані з даними системами. Такі системи з’являються в прикладних задачах радіотехніки, механіки, квантової фізики, фінансового ринку. Отримані результати дають можливість розглядати нові класи стохастичних рівнянь. Властивості розв’язків цих рівнянь випливають із знайдених в роботі властивостей стохастичних інтегралів.

Показано, що важливі властивості регулярності траєкторій випадкових процесів можна отримувати з -адитивності за ймовірністю відповідної випадкової функції множин.

Отримані в роботі явні формули середньоквадратичного хеджування можуть бути застосовані на практиці при роботі на фінансових ринках.

Особистий внесок здобувача. Всі результати даної дисертаційної роботи отримані здобувачем особисто.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації розглядалися на конференціях:

1. Ймовірнісні моделі процесів стійкості та надійності (м. Донецьк, 1990 р.).

2. Перша та Сьома міжнародні наукові конференції ім. академіка М. Кравчука (м. Київ, 1992 р., 1998 р.).

3. Міжнародна математична конференція ім. Гана (м. Чернівці, 1994 р.).

4. Перша українсько-скандинавська конференція “Стохастичні динамічні системи” (м. Ужгород, 1995 р.).

5. 22-і Європейські збори статистиків та 7-а Вільнюська конференція з теорії ймовірностей та математичної статистики (м. Вільнюс, 1998 р.).

6. Третя українсько-скандинавська конференція з теорії ймовірностей та математичної статистики (м. Київ, 1999 р.).

7. Міжнародна конференція “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі та статистиці” (м. Київ, 2001 р.).

8. Міжнародна конференція “Стохастичний аналіз та його застосування” (м. Львів, 2001 р.).

9. Міжнародна конференція, присвячена 90-річчю з дня народження Б. В. Гнеденка (м. Київ, 2002 р.).

10. Міжнародна конференція “Колмогоров і сучасна математика”, присвячена 100-річчю з дня народження А. М. Колмогорова (м. Москва, 2003 р.).

11. Міжнародна конференція “Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі та статистиці II” , присвячена пам’яті А. Я. Дороговцева (м. Київ, 2004 р.).

12. Міжнародна конференція “Сучасна стохастика: теорія і застосування” (м. Київ, 2006 р.).

Матеріали дисертації викладалися на семінарах з теорії ймовірностей та випадкових процесів в Київському національному університеті ім. Тараса Шевченка, Інституті математики НАН України (м. Київ), Інституту кібернетики НАН України (м. Київ), Інституті прикладної математики та механіки НАН України (м. Донецьк), НПУ “Київський політехнічний інститут”, семінарах зі стохастичного аналізу та фрактального аналізу університету м. Єна (Німеччина).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 29 роботах. Всі роботи є особистими публікаціями здобувача. Серед них одна монографія], 21 стаття в наукових журналах–22], 7 публікацій тез доповідей–29].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, восьми розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 225 найменувань. Повний обсяг роботи складає 314 сторінок, обсяг основної частини — 256 сторінок.

Я висловлюю щиру подяку своєму науковому керівнику і консультанту, академіку НАН України професору А. В. Скороходу за постановку задачі, цінні поради і підтримку при проведенні дослідження.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовується актуальність теми, визначено об’єкт, предмет, мету та задачі дослідження, висвітлюється питання про наукову новизну, теоретичне і практичне значення роботи, апробацію отриманих результатів, кількість публікацій.

В розділі подано огляд літератури за темою дисертації, розглядається сучасний стан досліджень в напрямках, близьких до даної роботи.

В розділі вводяться основні поняття та означення, що використовуються на протязі всієї роботи. Серед них відзначимо наступні.

Нехай — повний ймовірнісний простір, — довільна множина, — довільна -алгебра підмножин , — простір класів еквівалентності випадкових величин з топологією збіжності за ймовірністю.

Означення .1. Випадковою мірою називається -адитивне відображення

Далі через будемо позначати випадкову міру. Відмітимо, що на , взагалі кажучи не накладаються умови невід’ємності, існування моментів, узгодженості з потоком -алгебр.

В підрозділі .1 наводяться різні приклади випадкових мір. Нехай , — -алгебра борельових підмножин . Якщо , є квадратично інтегровним мартингалом або дробовим броунівським рухом з індексом Хюрста , то

є випадковою мірою на вказаній .

Приклад 2.3. (С. Квапень, В. Войчинський) Розглянемо випадок, коли — процес з незалежними приростами, траєкторії якого неперервні справа і мають границі зліва. Для покладемо

Ми будемо вживати позначення

Тоді випадкова функція множин продовжується до випадкової міри на вказаній борельовій тоді і тільки тоді, коли

Для випадкової величини будемо використовувати наступну квазінорму:

.

Означення 2.2. Множина називається -нехтовною, якщо м. н.

Означення .4. Випадкова функція множин визначена на , називається абсолютно неперервною відносно випадкової функції множин  визначеної на , якщо

Зокрема, можуть бути випадковими мірами, дійсними функціями множин на .

Означення .5. Субмірою будемо називати функцію множин для якої виконуються умови:

(i)

(ii)

(iii)

Також подаються з посиланнями формулювання деяких відомих тверджень, важливих для нас надалі, зокрема, теореми про обмеженість значень -значної міри, узагальнень теорем Віталі – Гана – Сакса та Никодима.

В розділі  подано побудову інтеграла від дійсної функції за випадковою мірою, докладно вивчені його властивості. Одержано значну кількість граничних теорем про збіжність за ймовірністю таких інтегралів. Побудова інтеграла спирається на загальну схему Ф. Тюрпена. Показано, що умови, накладені в цій загальній схемі, виконуються в нашій ситуації.

Для простої функції

стандартним чином покладемо

Означення .1 Вимірна функція називається інтегровною за випадковою мірою якщо існує послідовність простих функцій така, що

(в супремумі беруться прості функції

Тоді покладемо

Для інтегровної та покладемо

Всюди далі в розділах –4 через ми позначаємо дійсні вимірні функції, визначені на . Через позначимо множину дійсних вимірних обмежених функцій на . Кожна функція з  є інтегровною за будь-якою .

Далі доводяться теореми про збіжність за ймовірністю послідовностей вигляду

Твердження про збіжність у векторних просторах послідовностей для інтегралів від дійсних функцій за загальними векторними мірами отримували Ф. Тюрпен, Ж.-К. Массе (при цьому на векторні міри накладалися певні умови обмеженості). Деякі граничні теореми для інтегралів за випадковими мірами містяться в роботах С. Квапеня і В. Войчинського. В теоремах дисертації вимагається виконання слабших, ніж у вказаних роботах, умов для можливості граничного переходу в даній ситуації (відповідні границі розглядаються в підрозділі .2). Аналоги тверджень дисертації про збіжність послідовностей іншого вигляду здобувачу невідомі.

В формулюваннях нижче використовується збіжність за субмірою , визначена стандартно.

Означення .2.

Тут і далі береться збіжність при , якщо не вказано інше.

В наших міркуваннях важливе значення має поняття рівномірної інтегровності в інтегралах за випадковою мірою.

Означення .5. Множина інтегровних за функцій , називається рівномірно інтегровною за якщо

Теорема .7. Нехай функції інтегровні за є абсолютно неперервною відносно субміри та Тоді еквівалентними є наступні твердження:

(i) інтегровна за та

(ii) інтегровна за та

(iii) множина функцій рівномірно інтегровна за

Як приклад, в цій теоремі можна брати субміру

Збіжність за такою субмірою  ми ще називаємо збіжністю за випадковою мірою . Збіжність -м.в. — це збіжність всюди, крім -нехтовної множини.

З останньої теореми виводиться аналог теореми Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла. Для перевірки умови рівномірної інтегровності доведено наступний аналог теореми Валле-Пуссена.

Теорема .9. Для того, щоб множина функцій інтегровних за випадковою мірою , була рівномірно інтегровною за , необхідно і достатньо, щоб існувала вимірна функція така, що

та набір випадкових величин

обмежений за ймовірністю.

Також отримано наступний аналог теореми Бепо Леві.

Теорема 3.10. Нехай дано функції всі інтегровні за і такі, що ряд збігається за випадковою мірою . Нехай для кожної збігається за ймовірністю ряд . Тоді функція є інтегровною за і

.

Доведено аналог критерія Лебега інтегровності в сенсі Рімана. Нехай — довільний предкомпактний метричний простір, — борельова -алгебра підмножин , — деяке розбиття ( неперетинні, ), позначає його діаметр, . Для функції розглянемо інтегральну суму

Ми говоримо, що інтегровна в сенсі Рімана на за , якщо існує границя .

Теорема 3.2. Нехай функція є вимірною та обмеженою.

Якщо множина точок , в яких не є неперервною, є -нехтовною, то

. (3.2)

Нехай послідовність розбиттів , що подрібнюються, є такою, що для кожних множина точок , що не є внутрішніми точками , -нехтовна. Нехай -алгебра породжується набором множин та для будь-яких існує . Тоді множина точок , в яких не є неперервною, -нехтовна та виконується рівність (3.21).

В підрозділі .3 досліджено збіжність інтегралів за послідовністю випадкових мір. Вводиться наступне означення.

Означення .9. Нехай дано множину випадкових мір та функцію інтегровну за всіма Тоді називається рівномірно інтегровною за випадковими мірами якщо

Для перевірки даної рівномірної інтегровності зручними є наступні твердження.

Теорема 3.13. Нехай дано випадкові міри та такі, що

Тоді еквівалентними є наступні твердження:

(i) значення рівномірно обмежені за ймовірністю;

(ii) існує така послідовність що та ряд збігається м. н.;

(iii) існує така послідовність що та ряд збігається за ймовірністю.

Наслідок 3.4. Нехай дано випадкові міри та такі, що

 м. н.

Тоді значення рівномірно обмежені за ймовірністю.

Далі отримано граничну теорему для інтегралів при збіжності випадкових мір.

Теорема .16. Нехай дано випадкові міри та а також функцію інтегровну за всіма Якщо виконуються умови:

(i) для кожної множини

(ii) значення рівномірно обмежені за ймовірністю;

(iii) функція є рівномірно інтегровною за

то є інтегровною за та

.

Якщо

,

то виконуються умови (i) та (ii).

Якщо дана є інтегровною за та

,

то має місце (iii).

Наслідок .6. Нехай дано випадкові міри та а також функцію інтегровну за всіма Якщо виконуються умови:

(i)

(ii) м. н.

(iii) функція є рівномірно інтегровною за

то є інтегровною за та

.

Зокрема, умова (iii) тут виконується, якщо функція обмежена.

Отримано аналог теореми Валле-Пуссена для перевірки рівномірної інтегровності за

Із застосуванням теореми .16 отримано наступну граничну теорему.

Теорема 3.20. Нехай дано випадкові міри та а також функції всі інтегровні за Для того, щоб мала місце збіжність

необхідно і достатньо, щоб одночасно виконувались умови

Також показано, що для обмежених функцій інтеграли можна наблизити за допомогою де кожна визначається через значення на скінченній кількості множин (не залежних від ) та значення деякої дійсної міри (теорема .22). Для інтегровних функцій отримано умови рівності

,

точне формулювання є наступним.

Теорема 3.23. Нехай функція інтегровна за випадковою мірою Тоді вимірна функція буде інтегровною за випадковою мірою

тоді і тільки тоді, коли буде інтегровною за При цьому буде

.

Отримано наступну загальну граничну теорему, тобто твердження про збіжність за ймовірністю послідовностей вигляду

.

Теорема 3.24. Нехай дано випадкові міри та функції та і для кожного інтегровні за Нехай виконуються умови:

(i) ;

(ii) значення рівномірно обмежені за ймовірністю;

(iii) функція є рівномірно інтегровною за

(iv) -м. в., .

Тоді еквівалентними є наступні дві умови:

(v) ;

(vi) є інтегровною за та

.

В підрозділі .4 отримано твердження про існування та значення границь за ймовірністю величин

Наведемо одне з них.

Теорема 3.25. 1) Нехай дано такі, що

а також та . Якщо множина випадкових величин

обмежена за ймовірністю, то

2) Існують випадкова міра на борельових підмножинах та борелівcькі такі, що для будь-якої неспадної з

існує така, що

В підрозділі .5 для розглянуто простір , що складається з вимірних функцій , для яких інтегровна за на , і збіжність в якому означає прямування

Доведено наступне твердження про повноту цього простору.

Теорема 3.27. Нехай та дано послідовність , . Для того, щоб існувала така, що в , необхідно і достатньо виконання умови

Також доведено аналог теореми Віталі – Каратеодорі про наближення значень інтеграла інтегралами від напівнеперервних функцій. Отримано наступний критерій інтегровності в термінах збіжності ряду.

Теорема 3.29. Функція є інтегровною за тоді і лише тоді, коли для будь-якої збігається за ймовірністю ряд

.

В розділі вводиться поняття -скінченної випадкової міри, що дещо узагальнює поняття випадкової міри. Дане поняття та означення інтеграла за -скінченною випадковою мірою є новими, вперше одержаними є результати про існування вказаних інтегралів та граничні теореми для них. Тим самим, наприклад, дано можливість розглядати інтеграли по випадкових процесах на .

Означення .1 Випадкова функція множин називається -скінченною випадковою мірою, якщо існує представлення

(4.1)

при якому для будь-якого визначено набір випадкових величин , що є випадковою мірою.

Далі позначає -скінченну випадкову міру.

Означення .2 Вимірна функція називається інтегровною за -скінченною випадковою мірою якщо інтегровна за на будь-якому із представлення.1) та для будь-якої існує

Тоді покладемо рівним значенню останньої границі.

Далі доводяться граничні теореми про збіжність за ймовірністю визначених тут інтегралів.

Теорема .3. Нехай функції та є такими, що для кожного  з представлення.1) існує субміра на така, що

і звуження на є випадковою мірою, абсолютно неперервною відносно Нехай кожна є інтегровною за Тоді еквівалентними є наступні твердження:

(i) інтегровна за та

(ii) інтегровна за та

(iii) існує функція інтегровна за така, що

Наступний факт можна вважати узагальненням теореми Лебега для -скінченних випадкових мір.

Наслідок 4.2. Нехай функції та є такими, що на кожному з представлення.1)

Нехай кожна є інтегровною за та існує функція інтегровна за така, що всі Тоді також інтегровна за та

З теореми .3 виводиться, що інтегровність функції та величина інтеграла не залежать від конкретного вигляду представлення.1).

Теорема 4.4. Нехай є інтегровною за за означенням .2 для даного представлення.1). Тоді є інтегровною за при будь-якому іншому представленні вигляду.1), при якому задовольняє означенню .1 -скінченної випадкової міри. При цьому величини інтегралів при цих двох означеннях на кожній будуть співпадати м. н.

Отримано наступну граничну теорему.

Теорема .5 Нехай дано -скінченні випадкові міри та а також функцію інтегровну за всіма Нехай на будь-якому із представлення (4.1) для кожна також є звичайною випадковою мірою, інтегровна за на та

Тоді еквівалентними є наступні умови:

(i) інтегровна на за та

(ii)

Також одержано твердження про збіжність за ймовірністю значень

В розділі  отримано твердження про властивості траєкторій випадкових процесів, породжених випадковими мірами. Тим самим показано, що з нашого загального означення випадкової міри випливають конкретні властивості реалізацій відповідних випадкових процесів. Також розглядаються регулярні випадкові міри та інтеграли від випадкових функцій за дійсними мірами.

В підрозділі .1 подано один з центральних результатів дисертаційної роботи — про належність траєкторій випадкових мір просторам Бєсова. Така належність для реалізацій процесів розглядається в значній кількості робіт, але загалом було розглянуто досить обмежений клас процесів, і для кожного класу використовувалися свої методи доведення, часто досить громіздкі.

В даній роботі доведено наступні твердження.

Теорема .1. Нехай , — борельова і процес , має неперервні траєкторії. Тоді для будь-яких , траєкторія , з ймовірністю 1 належить простору Бєсова .

Теорема .2. Нехай , — борельова, процес , має неперервні траєкторії. Тоді для будь-яких траєкторія з ймовірністю 1 лежить в просторі Бєсова .

Теорема .3. Нехай , — борельова і процес , має неперервні траєкторії. Нехай для даної існує дійсна скінченна міра на така, що для будь-якої вимірної з умови випливає інтегровність за на .

Тоді для будь-яких , траєкторія , з ймовірністю 1 належить простору Бєсова .

В підрозділі .2 основну увагу приділено неперервності траєкторій стохастичних інтегралів. Наведемо деякі результати.

Нехай — довільна множина, функція для кожного фіксованого інтегровна за по змінній . Тоді можна розглянути випадкову функцію

(5.21)

Теорема .4. Нехай , — борельова, — метричний простір. Припустимо, що для кожного неперервна на і для деяких і всіх

Тоді випадкова функція має модифікацію з неперервними на траєкторіями.

Теорема .5 Нехай , — борельова, процес , має неперервну модифікацію. Припустимо, що функція є такою, що для деяких для всіх буде

Тоді випадкова функція має модифікацію з неперервними на траєкторіями.

Таким чином, для належності траєкторій процесу простору Бєсова важливими є дві властивості — неперервність траєкторій і можливість продовження значень приростів до випадкової міри. Для інтегралів за параметром отримано умови наявності обох цих властивостей, звідки і отримується вказана регулярність траєкторій.

Теорема 5.6. Нехай і виконуються наступні умови:

(i) інтегровна за для кожного ;

(ii) є абсолютно неперервною на функцією для кожного ;

(iii) функція , рівна варіації на , інтегровна за .

Нехай випадкова функція задана рівністю (5.21). Тоді випадкова функція множин продовжується до випадкової міри на -алгебрі борельових підмножин .

Наслідок 5.. Нехай , — борельова, і виконуються наступні умови:

(i) для деяких і всіх буде ;

(ii) є абсолютно неперервною на функцією для кожного ;

(iii) функція , рівна варіації на , інтегровна за .

Нехай випадкова функція задана рівністю (5.21). Тоді для будь-яких , існує модифікація , всі траєкторії якої належать простору Бєсова .

Для траєкторій процесів , розглянутих в теоремі .5, отримано достатні умови збіжності в метриці простору Бєсова.

Теорема 5.7. Нехай , — борельова, процес , має неперервну модифікацію. Припустимо, що функції є такими, що для деяких для всіх буде

та рівномірно збігаються до на . Розглянемо випадкові процеси

Тоді для будь-яких і неперервних модифікацій буде

В підрозділі .3 розглядаються функції множин що при кожному фіксованому є скінченними знакозмінними мірами — знакозмінні міри, залежні від (далі — з.м.з. ). Відмітимо, що вони не обов’язково є випадковими елементами в множині мір. Інтеграли від випадкових функцій за ними визначаємо як інтеграли Лебега при кожному фіксованому Для таких з.м.з. в роботі вивчаються питання їх диференційовності.

Означення .3 Нехай дані з.м.з. та Будемо говорити, що функція інтегровна за для кожного фіксованого (крім множини ймовірності нуль), є похідною Радона – Никодима за якщо

м. н.

Теорема .8. Нехай алгебра зліченно-породжена, дано з.м.з. та Для того, щоб існувала похідна Радона – Никодима за необхідно і достатньо, щоб для кожного фіксованого (крім множини ймовірності нуль) виконувалось

Наступне твердження дає достатню умову існування похідної Радона – Никодима, яке може бути більш зручним для перевірки — наприклад, коли значення та є випадковими величинами з відомим сумісним розподілом.

Теорема .9. Нехай алгебра породжена зліченною алгеброю , дані з.м.з. та Для того, щоб існувала похідна Радона – Никодима за достатньо, щоб

В підрозділі .4 дається означення інтеграла від випадкової функції (в. ф.) за невід’ємною дійсною заданою на скінченною мірою як границі інтегралів від простих випадкових функцій, обґрунтовується коректність такого означення та описується клас інтегровних в. ф.

Простими називаються в. ф. вигляду

Для них стандартним чином покладемо

Означення 5.7. В. ф. називається інтегровною за , якщо існує така послідовність простих в. ф. що:

(i) для -майже всіх

(ii) набір випадкових величин обмежений за ймовірністю.

При цьому для покладемо

.

Наступна теорема визначає умови інтегровності в. ф. в сенсі нашого означення.

Теорема 5.13. В. ф. є інтегровною в сенсі означення 5.7 тоді і тільки тоді, коли існують -вимірна в. ф. та сепарабельна в. ф.  такі, що для -майже всіх

та

При цьому для кожної

(тут в правій частині взято інтеграл при кожному фіксованому ).

Для таких інтегралів з використанням позначення

доводиться наступне твердження.

Теорема .14. Нехай — інтегровні за мірою в. ф., для яких існують такі сепарабельні в. ф. що

-м. в.

та набір випадкових величин

обмежений за ймовірністю.

Якщо — така в. ф., що

то інтегровна за та для всіх

.

В підрозділі .5 доведено твердження про добуток випадкової та дійсної мір.

Нехай дано вимірні простори та , — випадкова міра на , — скінченна дійсна невід’ємна міра на . Позначимо .

Теорема 5.16. Існує єдина випадкова міра на така, що для будь-яких буде . При цьому для будь-якої , інтегровної за на , для кожного фіксованого , крім -нехтовної множини, функція інтегровна за на , а функція інтегровна за на . Тоді також виконується рівність

.

Рівність кратного інтеграла іншому повторному доведено при деяких додаткових умовах.

Теорема 5.17 Нехай і — борельова. Нехай функція обмежена, вимірна й існують та такі, що для всіх буде

Тоді для міри , визначеної в теоремі 5.16

.

Тут інтеграл від випадкової функції за дійсною мірою  розглядається в сенсі означення .7.

В розділі розглянуто узагальнені випадкові функції (у. в. ф.) та рівняння в частинних похідних з загальними випадковими мірами. Показано, що досліджені в розділах і 4 інтеграли від дійсних функцій є засобом для запису розв’язків рівнянь, а одержані для цих інтегралів граничні теореми дають умови неперервної залежності розв’язків від параметрів рівняння.

СДРЧП та у. в. ф. досліджувались в багатьох публікаціях, але всі автори припускали наявність моментів розглядуваних випадкових величин, часто — і мартингальні властивості процесів. В даній роботі такі умови не накладаються.

Нехай — множина всіх нескінченно диференційованих функцій з компактним носієм, . Збіжність в визначаємо стандартним чином — для послідовності функцій їх носії мають бути рівномірно обмежені, а всі похідні рівномірно збігатися.

Означення .1. Узагальненою випадковою функцією називається лінійне неперервне відображення .

Аналогічним чином визначаються узагальнені випадкові функції повільного зростання (у. в. ф. п. з.) на — просторі Шварца швидко спадних функцій . Відповідні простори у. в. ф. та у. в. ф. п. з. позначаємо через і . В підрозділі .1 розглянуто деякі важливі для нас властивості і .

В підрозділі .2 отримано розв’язки рівняння теплопровідності і хвильового рівняння з доданками, породженими випадковими мірами.

Нехай , — вимірна функція, неперервна за при кожному фіксованому , і — випадкові міри на борельових підмножинах , для деякої інтегровної за функції буде . Розглядається рівняння теплопровідності відносно невідомого процесу що для кожного є у. в. ф. п. з.:

Похідна тут береться за ймовірністю.

Використаємо в позначеннях фундаментальний розв’язок класичного рівняння теплопровідності:

Теорема .1. Процес зі значеннями в , що задається рівністю

буде розв’язком задачі (6.8)–(6.9).

Єдиність отриманого розв’язку доведено при додатковій умові.

Теорема 6.2. Нехай і — два такі розв’язки задачі.8)–(6.9), що для , будь-якого і

з умови

випливає

Тоді для всіх буде м. н.

Аналогічним чином отримано розв’язок наступного хвильового рівняння при розмірності простору :

(тут — -скінченні випадкові міри на борельових підмножинах в , що є випадковими мірами на будь-якій кулі). Вид розв’язку аналогічний класичний формулі Д’Аламбера.

Теорема 6.3. Процес зі значеннями в , що задається рівністю

буде розв’язком задачі.18)—(6.20).

Єдиність даного розв’язку також отримано при певних обмеженнях.

Теорема 6.4. Нехай і — два такі розв’язки задачі.18)—(6.20), що для , будь-якої для

з умови

випливає

Тоді для всіх буде

В підрозділі .3 доведено, що при розмірності у. в. ф., породжені -скінченними випадковими мірами (що є випадковими мірами на будь-якому відрізку), мають модифікації, що є випадковими елементами в множині узагальнених дійсних функцій.

В розділі  визначається та вивчається інтеграл від випадкової функції вигляду

(7.1)

де всюди — випадкові величини на , — вимірні функції з . Ряд.1) для кожного , крім -нехтовної підмножини , повинен збігатися за ймовірністю безумовно.

Означення .1. В. ф. називається інтегровною за випадковою мірою якщо для неї існує представлення вигляду.1) таке, що для будь-якої послідовності ряд збігається за ймовірністю безумовно.

Тоді для кожної