Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Стасюк Ігор Зиновійович

УДК 517.9

ПРОДОВЖЕННЯ МЕТРИЧНИХ СТРУКТУР

01.01.01 – математичний аналіз

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі геометрії і топології

Львівського національного університету імені Івана Франка

Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

Зарічний Михайло Михайлович,

декан механіко-математичного факультету

Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Лопушанський Олег Васильович,

завідувач відділу функціонального аналізу

Інституту прикладних проблем механіки і математики

імені Я.С. Підстригача, м. Львів

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Никифорчин Олег Ростиславович,

завідувач кафедри алгебри та геометрії

Прикарпатського національного університету

імені Василя Стефаника

Провідна установа:

Інститут математики НАН України, м. Київ

Захист відбудеться “29”червня 2007 р. о 15 год. на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 35.051.18

у Львівському національному університеті імені Івана Франка

за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд 377.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського

національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів,

вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розіслано “22”травня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради ___________ Тарасюк С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Задача продовження відображень є однією з фундаментальних математичних задач; теореми про продовження займають важливе місце в топології і функціональному аналізі. Зокрема, до таких теорем належать теореми Тітце-Урисона про продовження неперервних функцій, заданих на замкненій підмножині нормального топологічного простору, та теорема Гана-Банаха про продовження лінійних функціоналів. На даний момент існує розгалужена теорія продовження неперервних функцій 1 Pelczynski A. Linear extensions, linear averagings, and their applications to linear topological classification of spaces of continuous functions // Dissertationes Math. – 1968. – Vol.58.. Паралельно, хоча, можливо, не до такого рівня, як теорія продовження функцій, розвивається теорія продовження метрик. Початок дослідженням у цьому напрямку заклала класична робота Ф. Гаусдорфа 1930 року, в якій доведено, що кожна метрика, яка породжує топологію замкненого підпростору метризовного топологічного простору, може бути продовжена до неперервної метрики на всьому просторі. Результат Ф. Гаусдорфа, який фактично є варіантом теореми Тітце про продовження неперервних функцій, неодноразово перевідкривався та отримував нові доведення у роботах Р. Бінга, П. Бекона, Х. Торуньчика та інших авторів. Різні автори розглядали також задачі продовження метрик зі спеціальними властивостями. Зокрема, Й. Лууккайнен довів, що кожну ліпшицеву метрику, задану на замкненій підмножині метричного простору, можна продовжити до ліпшицевої метрики на всьому просторі.

Новий етап досліджень заклала проблема існування лінійних операторів продовження конуса псевдометрик, означених на замкненій підмножині метризовного топологічного простору, сформульована та частково розв'язана Ч. Бессагою у 80-х роках минулого століття. Раніше результати про існування сублінійних операторів продовження псевдометрик одержували Нгуен Ван Ку та Нгуен То Ню 2Nguyen Van Khue, Nguyen To Nhu. Two extensors of metrics // Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Sci. Math. – 1981. – Vol.29, № 5-6. – P.285-291.. Повний розв'язок згаданої задачі одержав Т. О. Банах. Подальше узагальнення такого типу результатів пов'язане з проблемою знаходження операторів продовження (псевдо)метрик із змінною областю визначення. Оператори одночасного продовження неперервних псевдометрик (ультраметрик), визначених на замкнених підмножинах компактного метризовного (нульвимірного) топологічного простору, нещодавно розглядалися у роботах М.М. Зарічного та Е.Д. Тимчатина 3Tymchatyn E. D., Zarichnyi M. On simultaneous linear extensions of partial (pseudo)metrics // Proc. Amer. Math. Soc. – 2004. – Vol.132. – P.2799-2807. 4Tymchatyn E. D., Zarichnyi M. A note on operators extending partial ultrametrics // Comment. Math. Univ. Carolinae. – 2005. Vol.46, №3. – P.515-524.. Отримані оператори неперервні у рівномір-ній топології та володіють рядом додаткових властивостей (зокрема, лінійність для випадку псевдометрик та збереження максимуму двох ультраметрик зі спільною областю визначення для випадку ультраметрик). Природньо виникає проблема існування та побудови аналогів операторів одночасного продовження метричних структур, неперервних в різних топологіях на множинах часткових (псевдо)метрик (наприклад, топологія Фелла при ототожненні псевдометрик з їхніми графіками, гіпографіками, топологія поточкової збіжності, ліпшицева топологія). При цьому можна вимагати збереження спеціальних властивостей (псевдо)метрик, таких, як неперервність, ліпшицевість, напівнеперервність, накладати умови на область визначення псевдометрик (опуклі множини і тіла, замкнені, компактні множини, ланцюги компактних підмножин вихідного простору та ін.). Актуальною виявилася задача знаходження однорідних операторів одночасного продовження часткових ультраметрик та рівномірно незв'язних метрик, визначених на замкнених підмножинах компактних нульвимірних метризовних топологічних просторів із збереженням всіх властивостей конструкції М.М. Зарічного - Е.Д. Тимчатина. Природньо постає також питання існування неперервних операторів продовження ультраметрик у некомпактному випадку та сімей узгоджених ультраметрик.

У напрямку описаної проблематики виконана дана дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науково-дослідними роботами “Тополого-алгебраїчні структури та їх застосування” (номер державної реєстрації МТ-224Ф). Робота виконана на кафедрі геометрії і топології механіко-математичного факультету Львівського національного університету імені Івана Франка.

Мета і завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи – побудувати та встановити властивості операторів продовження метричних структур, заданих на ряді топологічних просторів, розглянути при цьому різноманітні способи топологізації множин часткових (псевдо)метрик.

Об'єктом дослідження є метричні структури, визначені на підпросторах топологічних просторів, та оператори продовження таких структур.

Предметом дослідження є властивості та умови існування операторів продовження метричних структур для ряду топологічних просторів.

Зокрема, завданнями дослідження є–

опис властивостей операторів продовження псевдометрик та метрик, визначених на опуклих компактних підмножинах локально опуклого топологічного простору, опуклих тілах в евклідовому просторі;–

введення та встановлення властивостей конструкцій одночасного продовження часткових ультраметрик, визначених на замкнених підмножинах нульвимірного компактного метризовного топологічного простору, а також продовження ультраметрик з фіксованою областю визначення у некомпактному випадку;–

опис операторів продовження часткових псевдометрик, визначених на замкнених підмножинах локально компактного нульвимірного топологічного простору;–

продовження (псевдо)метрик зі спеціальними властивостями, а саме рівномірно незв'язних метрик, ліпшицевих метрик, грубо рівномірних метрик.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації отримано наступні нові результати:–

одержано опис властивостей операторів продовження неперервних, напівнеперервних та ліпшицевих (псевдо)метрик, заданих на опуклих компактних підмножинах локально опуклого компактного топологічного простору. При цьому множини (псевдо)метрик наділені топологіями Фелла, В'єторіса, ліпшицевою топологією, топологіями поточкової та рівномірної збіжності;–

побудовано однорідні оператори одночасного продовження неперервних ультраметрик, визначених на замкнених підмножинах нульвимірного компактного метризовного топологічного простору. Цей результат є посиленням відповідного результату Е.Д. Тимчатина та М.М. За----річного і дає позитивну відповідь на питання про існування однорідних операторів продовження ультраметрик, які володіють всіма властивостями конструкції Е.Д. Тимчатина та М. М. Зарічного;–

отримано оператор продовження неперервних ультраметрик, заданих на фіксованій підмножині нульвимірного сепарабельного некомпактного топологічного простору. Цей результат є аналогом результату Т.О. Банаха та Ч. Бессаги для випадку неперервних ультраметрик;–

побудовано методи продовження рівномірно незв'язних метрик, визначених на замкнених підмножинах нульвимірних компакних топологічних просторів;–

описано оператор продовження сімей узгоджених ультраметрик, визначених на ланцюгах замкнених підмножин нульвимірного топологічного простору;–

побудовано оператор продовження грубо рівномірних метрик, визначених на замкненому підпросторі власного метричного простору. Цей результат є узагальненням результату М. М. Зарічного про продовження асимптотично ліпшицевих метрик.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані у теорії операторів, загальній топології, метричній геометрії.

Особистий внесок здобувача. Результати, викладені у дисертації, отримані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися на

1) міжнародній конференції “Комплексний аналіз та його застосування” (Львів, 26-29 травня 2003 р.);

2) Першій літній школі з топологічної алгебри і функціонального аналізу (Козева, 22-31 липня 2003 р.);

3) конференціях молодих вчених із сучасних проблем математики та механіки імені академіка Я. С. Підстригача (Львів, 24-26 травня 2004 р. та 24–27 травня 2005 р.);

4) міжнародній конференції “Геометрична топологія, нескінченновимірна топологія, абсолютні екстензори, застосування” (Львів, 26-30 травня 2004 р.);

5) міжнародній конференції “Аналіз та суміжні питання” (Львів, листопад 2005 р.);

6) семінарі “Топологія та її застосування” кафедри геометрії і топології Львівського національного університету імені Івана Франка (травень 2003 р., лютий 2004 р., грудень 2005 р.);

7) засіданні наукового семінару з геометричної топології Люблянського інституту математики, фізики і механіки (Словенія, червень 2006 р.);

8) Четвертій літній школі з алгебри, топології, функціонального і стохастичного аналізу (Козева, 17-29 липня 2006 р.);

9) Львівському міжвузівському семінарі з функціонального аналізу.

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 6 наукових статтях у виданнях, включених у перелік ВАК України, та 4 тезах доповідей наукових конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається з переліку позначень, вступу, 5 розділів, висновків та списку використаних джерел. Обсяг дисертації – 136 сторінок.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівникові професорові М.М. Зарічному.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі “Огляд літератури за темою дослідження” наведено огляд основних результатів, що стосуються продовження метричних структур. Зокрема, згадуються відомі теореми Гаусдорфа, Бінга про існування продовження метрики з підпростору топологічного простору на вихідний простір. Відзначено новий етап досліджень у даному напрямку, який пов'язаний із побудовою лінійних операторів продовження (псевдо)метрик. Наведені теореми Ч. Бессаги, Т.О. Банаха, М.М. Зарічного, О. Піхурка, в яких стверджується існування та досліджуються властивості таких операторів. Перелічені також результати М.М. Зарічного та Е.Д. Тимчатина про існування операторів одночасного продовження неперервних (псевдо)метрик та ультраметрик із змінними областями визначення для компактних метризовних топологічних просторів.

У другому розділі “Означення та допоміжні результати” наведено огляд допоміжних результатів та означень, які стосуються теорії гіперпросторів, включають деякі теореми про селекції для багатозначних відображень.

Третій розділ “Лінійні оператори продовження псевдометрик, визначених на опуклих підмножинах локально опуклих просторів” складається з п'ятьох підрозділів та висновків. Він присвячений вивченню властивостей операторів продовження псевдометрик, визначених на опуклих підмножинах локально опуклих просторів. У підрозділі 3.1 розглянуто оператор продовження напівнеперервних зверху псевдометрик. Розглянемо опуклий метризовний компактний підпростір деякого локально опуклого топологічного простору і позначимо через множину його непорожніх компактних опуклих підмножин. Надалі будемо також вживати позначення для множини всіх непорожніх замкнених підмножин довільної множини . Для будь-якого позначимо через множину всіх напівнеперервних зверху псевдометрик на та через

–

множину всіх часткових напівнеперервних зверху псевдометрик. Будемо також використовувати позначення , якщо . Означимо топологію на так. Ототожнюючи кожну псевдометрику з її гіпографіком

розглядаємо простір як підпростір простору з топологією Фелла Beer G. Topologies on closed and closed convex sets. – Kluwer Academic Publishers, 1993.. Вважаємо, що на також задана топологія Фелла. Основним результатом підрозділу 3.1 є така теорема.

Теорема 3.1. Нехай – опуклий метризовний компактний підпростір деякого локально опуклого простору. Тоді існує відображення , яке має такі властивості для довільних псевдометрик та чисел :

1) є продовженням псевдометрики на простір ;

2) , якщо ;

3) – неперервне відображення.

У підрозділі 3.2 розглянуто оператор продовження напівнеперервних зверху метрик, визначених на фіксованій замкненій опуклій підмножині простору . Позначимо через та множини всіх напівнеперервних зверху метрик, заданих відповідно на та на , розглядаючи ці множини як підпростори .

Теорема 3.2. Нехай – опуклий метризовний компактний підпростір локально опуклого простору, – замкнена опукла підмножина простору . Тоді існує оператор , який задовольняє наступні умови для довільних чисел таких, що та метрик :

1) є продовженням псевдометрики на простір ;

2) ;

3) – неперервне відображення.

Підрозділ 3.4 розділу 3 присвячений продовженню ліпшицевих псевдометрик, визначених на опуклих замкнених підмножинах метризовного локально опуклого простору з деякою фіксованою метрикою, що породжує його топологію. Для довільної множини розглянемо множини та ліпшицевих псевдометрик, визначених відповідно на та . Тоді

–

множина часткових ліпшицевих псевдометрик, які визначені на елементах множини .

Теорема 3.4. Існує відображення , яке має наступні властивості для довільних , :

1) – продовження псевдометрики на простір ;

2) ;

3) оператор зберігає ліпшицеву константу;

4) звуження неперервне в топологіях поточкової та рівномірної збіжності, а також в ліпшицевій топології на множинах та для кожної множини ;

Четвертий розділ дисертації “Однорідні оператори одночасного продовження ультраметрик” присвячений розгляду задачі одночасного продовження неперервних ультраметрик, визначених на непорожніх замкнених підмножинах нульвимірного компактного топологічного простору. Ця проблема нещодавно розглядалася М.М. Зарічним та Е.Д. Тимчатином, які побудували неперервний у рівномірній топології оператор продовження, що зберігає вимір Асуада ультраметричного простору та операцію взяття поточкового максимуму. Проте оператор, побудований у їх праці, не є однорідним. Основні теореми розділу 4 стверджують існування однорідних операторів продовження часткових ультраметрик.

Нехай – нульвимірний компактний метризовний топологічний простір. Розглянемо множину усіх непорожніх компактних підмножин простору , наділену топологією В'єторіса. Для довільної непорожньої компактної підмножини простору позначимо через множину всіх неперервних ультраметрик, заданих на , і розглянемо множину часткових ультраметрик

заданих на елементах множини . Припустимо, що кожна ультраметрика ототожнюється зі своїм графіком .

Для довільної ультраметрики нехай

Для будь-якої множини множина замкнена відносно операції взяття поточкового максимуму двох ультраметрик та множення ультраметрики на додатнє число. Нехай

для довільних .

Основним результатом підрозділу 4.1 є наступна теорема.

Теорема 4.1. Існує оператор , який має наступні властивості для довільних :

1) ;

2) ультраметрика є продовженням ультраметрики ;

3) і у випадку, коли = і ;

4) – неперервне відображення.

Для фіксованої множини розглянемо підпростір простору , що складається з обмежених числом ультраметрик, заданих на .

Твердження 4.1. Для кожного , звуження відображення на підпростір простору є неперервним відносно топології поточкової збіжності на та .

Основним результатом підрозділу 4.2 є теорема, яка стверджує, що існує однорідний оператор продовження часткових ультраметрик, який володіє всіма властивостями оператора, побудованого Е.Д. Тимчатином та М.М. Зарічним.

Теорема 4.2. Існує відображення , яке має наступні властивості для довільних :

1) неперервне;

2) звуження неперервне в топології поточкової збіжності на та для довільної компактної підмножини простору , ;

3) – продовження ультраметрики на ;

4) ;

5) , якщо ;

6) для довільного ;

7) .

Основним результатом підрозділу 4.3 розділу 4 є узагальнення попередньої теореми, яке охоплює клас рівномірно незв'язних метрик. При цьому метрика на множині називається -рівномірно незв'язною David G., Semmes S. Fractured fractals and broken dreams: Self-similar geometry through metric and measure // Oxford Lecture Ser. Math. Appl. – Vol.7. – Oxford University Press. – 1997., якщо існує число таке, що для довільної скінченної сім'ї елементів множини виконується умова

Відомо, що метричний простір є рівномірно незв'язним (тобто метрика на множині – рівномірно незв'язна) тоді і лише тоді, коли метрика бі-ліпшицево еквівалентна деякій ультраметриці на множині . Нескладно переконатися, що кожна ультраметрика є насправді 1-рівномірно незв'язною метрикою.

Твердження 4.4. Оператор продовження ультраметрик, розглянутий у теоремі 4.2, зберігає неперервні рівномірно незв'язні метрики, задані на компактних підмножинах нульвимірного компактного метризовного простору . Крім цього, якщо – часткова -рівномірно незв'язна метрика, то – -рівномірно незв'язна метрика на .

Аналогічно, як і в попередніх підрозділах розділу 4 можна розглядати множину неперервних рівномірно незв'язних метрик, визначених на множині , в топології В'єторіса. Тоді

Сформулюємо основний результат підрозділу 4.3.

Теорема 4.3. Існує відображення , яке має наступні властивості для довільних :

1) неперервне;

2) звуження неперервне в топології поточкової збіжності на та для довільної компактної підмножини простору ;

3) – продовження рівномірно незв'язної метрики на ;

4) ;

5) , якщо ;

6) для довільного ;

7) .

П'ятий розділ “Оператори продовження ультраметрик та псевдометрик у нульвимірних та власних просторах” присвячено побудові операторів продовження ультраметрик та псевдометрик, визначених на замкнених підмножинах нульвимірних топологічних просторів, а також операторів продовження грубо рівномірних метрик. При цьому не вимагається умова компактності вихідного простору. Зокрема, у підрозділі 5.1 побудовано оператор продовження неперервних ультраметрик, визначених на фіксованій підмножині сепарабельного нульвимірного метризовного топологічного простору. Основним результатом цього підрозділу є така теорема.

Теорема 5.1. Нехай – нульвимірний сепарабельний метризовний топологічний простір, – довільна замкнена підмножина простору така, що . Тоді існує оператор

який для будь-яких має такі властивості:

1) – продовження ультраметрики на ;

2) і для кожного ;

3) неперервний відносно топології поточкової збіжності на множинах та .

У підрозділі 5.2 розглядається задача продовження сімей узгоджених ультраметрик, визначених на ланцюгах компактних підмножин нульвимірного топологічного простору. Основним результатом підрозділу є узагальнення теореми Богатого Богатый С. А. Метрически однородные пространства // Успехи мат. наук – 2002. вып. 2(344). – Т.57. – С.2-22., доведеної для випадку сім'ї з двох узгоджених ультраметрик.

Нехай – нульвимірний метризовний топологічний простір. Нехай – довільна скінченна сім'я попарно різних непорожніх компактних підмножин множини , а – її нерв. Називатимемо сім'ю ланцюгом компактних підмножин простору , якщо нерв є деревом, тобто зв'язним графом без циклів. Якщо – ланцюг, то множини називаються його ланками. З означення ланцюга зрозуміло, що довільна сім'я його ланок, яка складається принаймні з трьох попарно різних елементів, має порожній перетин.

Нехай – фіксований ланцюг, – його ланки. Розглянемо сім'ю неперервних узгоджених ультраметрик, визначених на елементах ланцюга , тобто таких ультраметрик, що за умови, що , . Позначимо через комбінацію відображень , тобто таке відображення

що за умови, що , . Тоді справедливою є наступна теорема.

Теорема 5.2. Нехай – ланцюг компактних підмножин нульвимірного метризовного топологічного простору , , , – його ланки. Тоді для кожної сім'ї неперервних узгоджених ультраметрик, визначених на ланках ланцюга , існує неперервна ультраметрика , визначена на множині така, що , (тут – комбінація ультраметрик ). Крім цього, якщо , – дві сім'ї узгоджених неперервних ультраметрик, заданих на ланках , , ланцюга , а – комбінації відповідно першої та другої сімей, то

У підрозділі 5.3 розглянуто оператор продовження неперевних псевдометрик, означених на замкнених підмножинах нульвимірного метризовного локально компактного топологічного простору. Нехай – локально компактний нульвимірний сепарабельний метризовний простір і нехай – метрика, що породжує топологію на . Для кожного розглянемо множину неперервних псевдометрик, заданих на , а також множину всіх часткових псевдометрик

Введемо топологію Фелла на множині часткових псевдометрик простору . Кожну псевдометрику з ототожнимо з її графіком

і розглядатимемо простір як підпростір простору .

Для довільної множини та дійсного числа множину всіх псевдометрик з , обмежених числом , наділимо топологією підпростору. Тоді множину

можна розглядати як підпростір простору .

Для кожного розглянемо множину всіх псевдометрик з , одностайно рівномірно неперервних на компактних підмножинах простору . Останнє означає, що для довільних та компактної підмножини простору існує число таке, що для будь-яких , і таких, що і , маємо . Припустимо, що множина наділена топологією підпростору і нехай

Тоді справедливою є така теорема.

Теорема 5.4. Нехай – локально компактний метризовний нульвимірний топологічний простір. Тоді існує оператор , який володіє наступними властивостями для будь-яких та :

1) – продовження псевдометрики на ;

2) для довільного звуження неперервне.

3) звуження неперервне.

4) , якщо .

Підрозділ 5.4 розділу 5 присвячено побудові оператора продовження деякого підкласу класу грубо рівномірних метрик, визначених на власному метричному просторі. Метрика , визначена на метричному просторі , називається грубо рівномірною, якщо існує функція

така, що для довільних . Наступна теорема є узагальненням теореми М. М. Зарічного про продовження асимптотично ліпшицевих метрик.

Теорема 5.6. Нехай – замкнена підмножина власного метричного простору . Нехай – неперервна метрика, задана на множині , для якої існують функція та ввігнута неперервна неспадна функція

такі, що для будь-яких і , . Тоді метрику можна неперервно продовжити до грубо рівномірної метрики на , яка індукує вихідну топологію простору .

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена побудові та вивченню властивостей операторів продовження метричних структур. Зокрема, розглянуто лінійні неперервні оператори одночасного продовження напівнеперервних зверху, неперервних та ліпшицевих (псевдо)метрик, визначених на замкнених опуклих підмножинах та опуклих тілах локально опуклих топологічних просторів. При цьому на множині часткових псевдометрик введено топології Фелла (при ототожненні кожної псевдометрики з її субграфіком чи графіком), поточкової та рівномірної збіжності.

Отримано ряд результатів пов'язаних з побудовою та описом властивостей однорідних операторів одночасного продовження неперервних ультраметрик, визначених на замкнених підмножинах нульвимірного компактного метризовного топологічного простору. Основні теореми є подальшим розвитком результатів, нещодавно отриманих М.М. Зарічним та Е.Д. Тимчатином. Зокрема, доведено існування однорідного оператора одночасного продовження неперервних ультраметрик, який володіє всіма властивостями відображення, побудованого М.М. Зарічним та Е.Д. Тимчатином. Встановлено, що даний оператор також може бути використаний для розв'язання аналогічної задачі продовження рівномірно незв'язних метрик.

Побудовано однорідний оператор продовження неперервних ультраметрик, визначених на фіксованій замкненій підмножині нульвимірного некомпактного сепарабельного метризовного топологічного простору.

Отримано оператор одночасного продовження сімей узгоджених неперервних ультраметрик, визначених на ланцюгах компактних підмножин нульвимірного метризовного топологічного простору.

Доведено теорему про існування оператора продовження деякого підкласу класу грубо рівномірних метрик, визначених на фіксованій замкненій підмножині власного метричного простору. Цей результат є узагальненням теореми М.М. Зарічного про продовження асимптотично ліпшицевих метрик.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Стасюк І. З. Продовження напівнеперервних псевдометрик // Прикл. проблеми мех. і мат. – 2004. – Т.2. – С.88-95.

2. Стасюк І. З. Оператори продовження часткових ультраметрик, неперервні в топології поточкової збіжності // Вісник ЛНУ, Серія мех.-мат. – 2005. – Вип. 64. – С.273-279.

3. Стасюк І. З. Оператори одночасного продовження часткових ультраметрик // Мат. методи і фіз.-мех. поля. – 2006. – Т.49. – № 2. – С.27-32..

4. Стасюк І. З. Оператори одночасного продовження псевдометрик, заданих на опуклих тілах в евклідовому просторі // Наук. Вісник Черн. Унів.: Зб. наук. праць, Вип. 314-315, Математика. – Чернівці: Рута, 2006. – С. 173-180.

5. Stasyuk I. Z. On a homogeneous operator extending partial ultrametrics // Mat. Stud. – 2004. – Vol.22, №1. – P.73-78.

6. Stasyuk I. Z. On operators extending uniformly disconnected merics // Mat. Stud. – 2006. – Vol.26, №1. – P.101-104.

7. Stasyuk I. Z. Extending partial ultrametrics // Конференція молодих учених із сучасних проблем математики та механіки, Львів, травень 2004. – Тези доповідей . – С. 186-188.

8. Stasyuk I. Z. Extending pseudometrics defined on closed convex subsets of // Міжнародна конференція “Geometric Topology, Infinite-Dimensional Topology, Absolute Extensors, Applications”, Львів, травень 2004. – Тези доповідей. – С. 75-76.

9. Stasyuk I. Z. Extending partial pseudometrics in the Euclidean space // Конференція молодих учених із сучасних проблем математики та механіки, Львів, травень 2005. – Тези доповідей. – С. 252.

10. Stasyuk I. Z. Simultaneous extension of partial ultrametrics // Міжнародна конференція “Analysis and related topics”, Львів, листопад 2005. – Тези доповідей. – С. 102.

АНОТАЦІЯ

Стасюк І. З. Продовження метричних структур. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 – математичний аналіз. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2007.

Вводяться конструкції та досліджуються властивості операторів продовження метричних структур. Побудовані неперервні в топології Фелла оператори одночасного продовження напівнеперервних зверху (псевдо)метрик, визначених на опуклих компактних підмножинах локально опуклих топологічних просторів. Розглянуто задачу продовження ліпшицевих псевдометрик. Отримано ряд результатів, пов'язаних з побудовою та описом властивостей однорідних операторів одночасного продовження неперервних ультраметрик та рівномірно незв'язних метрик, визначених на замкнених підмножинах нульвимірних компактних метризовних топологічних просторів. Доведене існування однорідного неперервного в топології поточкової збіжності оператора продовження ультраметрик, визначених на замкненій підмножині некомпактного нульвимірного топологічного простору. Побудовано оператор продовження сімей узгоджених ультраметрик, визначених на ланцюгах підмножин нульвимірного топологічного простору. Розглянута задача продовження грубо рівномірних метрик, визначених на замкненій підмножині метричного простору.

Ключові слова: псевдометрика, оператор продовження, ультраметрика, однорідність, неперервність.

ABSTRACT

Stasyuk I. Z. Extension of metric structures. – Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Science degree on the speciality 01.01.01 – Mathematical Analysis, Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2007.

The thesis is devoted to constuction of operators which extend metric structures and investigation of their properties. Continuous with respect to the Fell topology operators extending upper semicontinuous (pseudo)metrics defined on compact convex subsets of locally convex topological spaces are constructed. The problem of extending Lipschitz pseudometrics defined on convex sets is considered. Results concerning the existence of homogeneous continuous with respect to the uniform topology operators extending continuous ultrametrics and uniformly disconnected metrics in zero dimensional metrizable compact spaces are obtained for variable domains. The existence of a homogeneous operator which is continuous with respect to the pointwise convergence topology is proved for the case of a noncompact space and a fixed domain. Extension operators for families of ultrametrics and coarsely uniform metrics are constructed.

Key words: pseudometric, extension operator, ultrametric, homogeneity, continuity.

АННОТАЦИЯ

Стасюк И. З. Продолжение метрических структур. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. Львовский национальный университет имени Івана Франко, Львов, 2007.

Диссертация состоит из списка обозначений, введения, пяти разделов, выводов и списка использованных источников.

В первом разделе “Обзор литературы по теме исследования” приведены основные результаты, касающиеся продолжения метрических структур. В частности, приведены теореми Гаусдорфа, Бинга о существовании продолжения метрики с подпространства топологического пространства на исходное пространство. Отмечен новий етап исследований в данном направлении, связанный с построением линейных операторов продолжения (псевдо)метрик. Сформулированы теоремы Ч. Бессаги, Т.О. Банаха, М.М. Заричного, О. Пихурко, в которых утверждается существование и изучаются свойства таких операторов.

Во втором разделе “Определения и вспомагательные факты” содержатся вспомагательные результаты и определения из теории гиперпространств, а также некоторые теоремы о селекции для многозначных отображений.

В третьем разделе “Линейные операторы продолжения псевдометрик, определенных на выпуклых подмножествах локально выпуклых пространств” рассмотрены непрерывные линейные операторы продолжения полунепрерывных, липшицевых (псевдо)метрик, определенных на замкнутых выпуклых подмножествах локально выпуклых топологических пространств. При этом множества частичных (псевдо)метрик рассмотрены в топологиях Фелла, липшицевой топологии, а также в топологиях равномерной и поточечной сходимости.

Четвертый раздел “Однородные операторы одновременного продолжения ультраметрик” диссертационной работы посвящен построению и исследованию свойств однородных операторов одновременного продолжения непрерывных ультраметрик и равномерно несвязных метрик, определенных на замкнутых подмножествах нульмерного компактного метризуемого топологического пространства. Доказано существование непрерывных однородных операторов продолжения ультраметрик, обладающих рядом дополнительных свойств. Основные результаты раздела являются развитием результатов М.М. Заричного и Э.Д. Тимчатина.

Построение и последующее изучение свойств операторов продолжения ультраметрик и псевдометрик, заданных на подмножествах нульмерных метризуемых топологических пространств и собственных метрических пространств, проведены в пятом разделе “Операторы продолжения ультраметрик и псевдометрик в нульмерных и собственных пространствах”. К основным результатам раздела можна отнести теорему о существовании однородного оператора продолжения непрерывных ультраметрик, определенных на фиксированном замкнутом подмножестве нульмерного некомпактного сепарабельного метризуемого топологического пространства. Построенный оператор сохраняет максимумы и является непрерывным в топологии поточечной сходимости. Получены результаты, касающиеся продолжения семей согласованных ультраметрик в нульмерном пространстве, а также грубо равномерных метрик, определенных на подпространстве собственного метрического пространства.

Ключевые слова: псевдометрика, оператор продолжения, ультраметрика, однородность, непрерывность.

____________________________________________________

Підписано до друку 03.05.2007 р. Формат 60 90/16.

Папір офсетний. Ум. друк арк. 1.1. Тираж 100. Зам № 166.

Видавничий центр ЛНУ ім. І.Франка. 79000 Львів, вул. Дорошенка, 41.