КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

БУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

ШКРИЛЬ ОЛЕКСІЙ ОЛЕКСАНДРОВИЧ

УДК 539.3

ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РУЙНУВАННЯ ПРИЗМАТИЧНИХ ТІЛ НА ОСНОВІ НАПІВАНАЛІТИЧНОГО МЕТОДУ СКІНЧЕНИХ ЕЛЕМЕНТІВ

01.02.04 — Механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті будівництва і архітектури (КНУБА) Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник кандидат технічних наук, доцент

Пискунов Сергій Олегович,

Київський національний університет будівництва і архітектури, доцент кафедри будівельної механіки

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, старший науковий cпівробітник

Савченко Віталій Григорович

Інститут механіки ім. С.П.Тимошенка НАН України, головний науковий співробітник

кандидат технічних наук

Сідяченко В’ячеслав Григорович

Інститут проблем міцності ім. Г.С.Писаренка НАН України,

старший науковий співробітник

Провідна установа Національний технічний університет України “Київський
політехнічний інститут”, кафедра динаміки та міцності машин і опору матеріалів, Міністерство освіти і науки України, м. Київ

Захист відбудеться “30” березня 2007 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.04 у Київському національному університеті будівництва і архітектури за адресою:

03680, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету будівництва і архітектури за адресою:

03680, м. Київ, Повітрофлотський просп., 31

Автореферат розісланий “20” лютого 2007 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради

д.т.н., проф. О.А. Киричук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На сьогоднішній день в машинобудуванні, енергетиці та інших галузях техніки актуальним є визначення можливості експлуатації відповідальних елементів конструкцій при наявності в них тріщин. До таких об’єктів відносяться лопатки ГТД, елементи їх з’єднань з дисками та інші деталі і вузли енергетичних установок. Вони можуть знаходитися під дією довільного розподіленого в просторі статичного або циклічного навантаження, що спричиняє суттєво неоднорідний напружено-деформований стан. Визначення несучої здатності тіл з тріщинами потребує обчислення параметрів механіки руйнування, а при циклічному навантаженні – визначення ресурсу на основі моделювання розвитку тріщини. Необхідність обчислення параметрів лінійної і нелінійної механіки руйнування виникає також при експериментальному визначенні їхніх критичних значень в стандартних зразках.

Для розвязання задач механіки руйнування реальних обєктів найбільше розповсюдження здобув метод скінчених елементів (МСЕ). Значна кількість досліджуваних елементів конструкцій являють собою неоднорідні призматичні тіла, в тому числі – змінної площі поперечного перерізу з довільними граничними умовами, розрахунок яких найбільш доцільно виконувати в межах напіваналітичного методу скінчених елементів (НМСЕ). Проведений аналіз літературних джерел показав, що питання розробки на основі НМСЕ чисельних методів розв’язання просторових нелінійних задач механіки руйнування та моделювання розвитку тріщин при циклічному навантаженні не знайшло відображення в наукових публікаціях. Тому розробка на основі НМСЕ ефективних методів розв’язання вказаного класу задач є актуальною проблемою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відповідності до загального плану наукових досліджень кафедри будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури (КНУБА) і Науково-дослідного інституту будівельної механіки КНУБА (НДІБМ КНУБА) за темами 2ДБ–2001 „Створення фундаментальних основ сучасних компютерних технологій визначення ресурсу та підвищення надійності і довговічності деформівних систем та елементів двигунів і енергетичних установок теплової та атомної енергетики України” (№ держ. реєстрації 0101U003404) та 4ДБ–2004 “Створення теорії та методів розрахунку відповідальних просторових елементів машинобудівних конструкцій при наявності початкових тріщин” (№ держ. реєстрації 0104U003287), що виконувались за напрямком 05 ”Нові комп’ютерні засоби та технології інформатизації суспільства” за дорученням Міністерства освіти і науки України. Автор брав безпосередню участь у виконанні цих науково-дослідних робіт як співвиконавець.

Мета і завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у створенні на основі напіваналітичного методу скінчених елементів ефективних підходів до визначення параметрів лінійної та нелінійної механіки руйнування, розробці ефективних алгоритмів моделювання розвитку тріщин при циклічному навантаженні в призматичних неоднорідних тілах складної форми та застосуванні розроблених підходів для отримання нових розв’язків прикладних задач механіки руйнування.

Мета роботи досягається вирішенням наступних завдань:–

отримання розвязувальних співвідношень НМСЕ для неоднорідного призматичного скінченого елемента із змінною за характерним напрямком площею поперечного перерізу;–

розробка в межах НМСЕ процедури обчислення коефіцієнта інтенсивності напружень (КІН) прямим методом ;–

розробка ефективного алгоритму моделювання розвитку тріщин в просторових тілах при дії циклічного навантаження;–

реалізація на основі НМСЕ методики обчислення J-інтеграла, що забезпечує його інваріантність в дискретних моделях;–

реалізація програмного забезпечення для автоматизованого розв’язування нелінійних задач механіки руйнування;–

аналіз достовірності отримуваних результатів шляхом порівняння із відомими розв’язками тестових задач і дослідження збіжності в залежності від числа невідомих скінченоелементної моделі, а при моделюванні нелінійних процесів – додатково від величини кроків за навантаженням;–

розв’язання нових задач про визначення параметрів механіки руйнування і моделювання росту тріщини в просторових тілах.

Обєктом дослідження є нелінійне деформування призматичних тіл з початковими тріщинами та процес розвитку в них тріщин під дією циклічного навантаження.

Предметом дослідження є величини параметрів лінійної і нелінійної механіки руйнування та час розвитку тріщин в призматичних неоднорідних тілах.

Методи дослідження. Дискретизація призматичних тіл змінної площі поперечного перерізу виконується на основі НМСЕ. Для моделювання довільних граничних умов застосовано систему функцій, що грунтується на використанні поліномів Міхліна і Лагранжа. Розв’язання нелінійних задач виконується на основі крокового алгоритму моделювання процеса навантаження. Розв’язання отриманої на кожному кроці системи нелінійних рівнянь МСЕ здійснюється на основі методу блочних ітерацій з верхнєю релаксацією. Пластичне деформування матеріалу описується за теорією текучості Мізеса. Моделювання розвитку тріщини від дії циклічного навантаження виконується на основі диференційних залежностей, що пов’язують змінення довжини тріщини із КІН. Вірогідність і збіжність отримуваних результатів досліджено шляхом розв’язання тестових задач.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:– 

вперше отримані розвязувальні співвідношення НМСЕ для призматичного скінченого елемента зі змінною за характерним напрямком площею поперечного перерізу;– 

розроблено ефективний алгоритм моделювання розвитку тріщин в просторових тілах при дії циклічного навантаження;– 

реалізовано новий підхід по обчисленню J-інтеграла, що забезпечує його інваріантність до контура інтегрування в дискретних моделях МСЕ; – 

отримані нові результати розв’язання просторових задач про визначення параметрів лінійної і нелінійної механіки руйнування та розвиток тріщин втоми.

Практичне значення одержаних результатів полягає у реалізації розроблених методів обчислення параметрів механіки руйнування та алгоритму моделювання розвитку тріщини у вигляді програмного забезпечення із високим рівнем автоматизації обробки результатів розрахунку. Отримані результати використано в НДІБМ КНУБА при виконанні держбюджетної науково-дослідних робіт за темами 2ДБ–2001 та 4ДБ–2004. Результати дисертаційної роботи можуть застосовуватись у різних галузях техніки для визначення несучої здатності деталей та конструкцій, що являють собою призматичні тіла, при появі в них тріщин.

Особистий внесок здобувача в розробку наукових результатів полягає у наступному: отримані розвязуючі співвідношення НМСЕ – вирази матриці жорсткості і вектора вузлових реакцій для неоднорідного призматичного скінченого елемента із змінною вздовж утворюючої площею поперечного перерізу; реалізовано методику обчислення J-інтеграла за величинами напружень та градієнтів переміщень і досліджено виконання умови його інваріантності в дискретних моделях; реалізовано новий підхід до обчислення J-інтеграла за величинами вузлових реакцій та переміщень, що забезпечує його інваріантність до контура інтегрування в дискретних моделях; розроблено ефективний алгоритм моделювання розвитку тріщин в призматичних тілах під дією циклічного навантаження; розроблені програмні засоби, що реалізують алгоритми автоматичного розв’язування просторових задач нелінійної механіки руйнування; проведене чисельне обґрунтування достовірності отримуваних розв’язків шляхом дослідження їх збіжності та порівнянням із результатами, отриманими при застосуванні інших скінченоелементних баз. Отримані нові розв’язки прикладних задач механіки руйнування про визначення параметрів механіки руйнування та моделювання розвитку тріщин втоми.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідались та обговорювались:–

на VI та VII Міжнародних молодіжних науково-практичних конференціях “Людина і космос” (м. Дніпропетровськ, 2004 та 2005 рр.);–

на Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (м. Дніпропетровськ, 2005 р.);–

на Міжнародній науково-технічній і методичній конференції “Актуальні проблеми математики, механіки і комп’ютерних технологій” (м. Хмельницький, 2005 р.)–

на 63-66 науково-практичних конференціях Київського національного університету будівництва і архітектури (м. Київ, 2003-2006 рр.).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на кафедрі будівельної механіки КНУБА (м. Київ, 2006 р.).

Публікації. Результати дисертаційної роботи опубліковані в 12 наукових працях, з них: у фахових наукових журналах і збірниках – 6; у публікаціях матеріалів міжнародних і вітчизняних конференцій та конгресів – 6.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел і додатку. Загальний обсяг дисертації становить 172 сторінки, у тому числі 119 сторінок основного тексту, 95 рисунків, 8 таблиць, список використаних джерел із 229 найменувань на 23 сторінках, додаток на одній сторінці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми, визначені мета і задачі досліджень, наведена загальна характеристика роботи.

У першому розділі на підставі огляду літературних джерел надана оцінка стану досліджень за темою дисертації та вибраний напрямок досліджень.

Формування теоретичних засад механіки руйнування пов’язано з класичними роботами Гріффітса, Ірвіна, Орована, Райса, Черепанова, Дагдейла. Подальший розвиток теорії і методів розв’язання задач механіки руйнування був здійснений вітчизняними вченими Андрейківом О.Є., Леоновим М.Я., Панасюком В.В., Савруком М.П., Трощенком В.Т., Яснієм П.В., а також в роботах Андерсена Т., Броєка Д., Єкоборі Т., Партона В.З., Работнова Ю.Н., та інших вчених. Розвитку застосування метода скінчених елементів до задач механіки руйнування присв’ячені роботи Атлурі С., Брокса В., Морозова Є.М., Нікішкова Г.П., Сіраторі М.

Значна кількість досліджуваних елементів конструкцій являють собою призматичні тіла, розрахунок яких найбільш доцільно виконувати в межах НМСЕ. Розвитку теорії та практичного застосування НМСЕ до широкого кола задач механіки деформівного твердого тіла присв’ячені роботи Баженова В.А., Гуляра О.І., Сахарова О.С., Рассказова О.О., Лантух-Лященка А.І., Савченка В.Г., Шевченка Ю.М. Зокрема застосування НМСЕ для визначення параметрів лінійної механіки руйнування знайшло відображення в роботах Баженова В.А., Гуляра О.І., Пискунова С.О., Сахарова О.С., де показана більша ефективність НМСЕ в порівнянні з традиційним МСЕ для задач такого типу.

У випадку лінійного деформування опис НДС в околі вершини тріщини здійснюється за допомогою КІН. При наявності пластичних деформацій для оцінки тріщиностійкості конструкцій використовують J-інтеграл Черепанова-Райса. Розвиток тріщини при дії циклічного навантаження найчастіше описується диференційними залежностями, що пов’язують прирощення довжини тріщини із КІН.

У другому розділі викладені загальні співвідношення теорії пружнопластичності, розв’язувальні співвідношення для призматичних скінчених елементів (СЕ) змінної площі поперечного перерізу, та алгоритм розв’язання систем лінійних рівнянь НМСЕ.

При використанні НМСЕ дискретизація призматичних тіл проводиться в межах поперечного перерізу. Вздовж вісі z3' застосовується один неоднорідний призматичний СЕ. Розглядаються призматичні тіла з поперечними та поздовжніми тріщинами (рис.1).

а) | б)

Рис. 1. Дискретизація призматичних тіл з поперечними (а) та поздовжнімиб) тріщинами

Для урахування змінення площі поперечного перерізу призматичних тіл для випадку умов деформування, наближених до поздовжнього розтягу, розроблений призматичний СЕ із змінною за характерним напрямком площею поперечного перерізу, урахування якої здійснюється на основі корегування визначника метричного тензору в точках інтегрування m:

,

де – площа поперечного перерізу в точці інтегрування .

Розподілення переміщень у межах поперечного перетину СЕ описується білінійним законом; а в напрямку утворюючої переміщення апроксимуються розкладенням за системою координатних функцій – поліномам Лагранжа (l = , 1) і Міхліна (l = 2,....L).

У відповідності до моментної схеми СЕ компоненти тензору деформацій подані відрізками ряду Маклорена.

Вирази матриці жорсткості і вектора вузлових реакцій , отримані виходячи з варіаційного принципу Лагранжа, мають вигляд:

,

де – вектор амплітудних напружень:

, ;

,

де – матриця фізико-механічних характеристик СЕ:

, ,

.

Розв’язання нелінійних задач виконується на основі крокового алгоритму моделювання процеса навантаження. Розв’язання системи лінійних рівнянь виконується за методом блочних ітерацій з верхнєю релаксацією.

У третьому розділі приведена методика обчислення КІН та описаний алгоритм моделювання розвитку тріщини при дії циклічного навантаження.

Обчислення КІН проводиться прямим методом за результатами визначення НДС в околі вершини тріщини. Результати розв’язання тестових задач засвідчили ефективність методики в широкому діапазоні довжин тріщини і збіжність при використанні різних СЕ баз.

Рост тріщини описується диференційними залежностями вигляду залежності Періса, яка пов’язує величини КІН з приростами розмірів тріщини на протязі кількості циклів навантаження :

,

де – константи матеріалу.

Алгоритм моделювання розвитку тріщини при циклічному навантаженні базується на дискретному поданні процесу руйнування у вигляді сукупності кроків, кожний з яких моделює циклів навантаження. На кожному кроці m характерні розміри тріщини в кожній точці фронту i визначаються за формулами:

, , , (1)

де і – величини КІН в точці i, що відповідають розмірам тріщини і ; – параметр, що визначає схему чисельного інтегрування рівняння (1).

Величини приростів розмірів тріщини відкладають вздовж нормалей до поточної конфігурації фронту тріщини.

Перебудова сіткової області проводиться шляхом зміщення вузлів сітки на величину, пов’язану із на даному кроці. Таким чином змінюється лише геометрія скінченоелементної моделі, а її топологія залишається незмінною.

Ефективність крокового алгоритму суттєво залежить від ряду чинників, зокрема величини кроку за кількістю циклів та обсягу обчислень на кожному кроці, схеми екстраполювання КІН, процедури перебудови сіткової області.

Дослідження збіжності розв’язку задачі про дію циклічного навантаження на пластину з центральною тріщиною показало, що для моделювання розвитку тріщини на протязі циклів з точністю до 2% при необхідно 60 кроків (рис.2).

Рис.2. Залежність довжини тріщини від кількості циклів навантаження
при розв’язанні задачі за різну кількість кроків:

1– 3 кроки; 2– 6 кроків; 3– 15 кроків; 4– 30 кроків; 5– еталон

При визначенні ресурсу реальних об’єктів, що характеризуються більш складним характером НДС, ця величина може зростати на порядок і більше, отже для дискретних моделей із кількістю невідомих порядку десятків тисяч і більше, моделювання процесу розвитку тріщини стає проблематичним через значні обсяги обчислень.

Зважаючи на поступове та незначне змінення конфігурації фронта тріщини і, відповідно, геометрії сітки при малих відношеннях незначним є також відхилення полів напружень і коефіцієнтів матриці жорсткості на двох послідовних кроках. Таким чином при розв’язанні системи рівнянь НМСЕ на кожному кроці можна використовувати значення параметрів НДС і коефіцієнтів матриці жорсткості, отриманих на попередніх кроках. Застосування першого з цих припущень дозволяє змешити обчислювальні витрати майже на порядок (до 9 разів) за рахунок прискорення збіжності ітераційного процесу розв’язання систем лінійних рівнянь, а впровадження зменшення кількості обчислень матриці жорсткості – до 14 разів. Дослідження можливості змінення в формулі (1) виявили, що його змінення від 0 до 0.5 дозволяє зменшити кількість кроків розв’язання задачі більше ніж вдвічі.

Достовірність розробленого алгоритму підтверджено розв’язанням задачі про розвиток еліптичної тріщини в нескінченому тілі (рис.3,а). Отриманий у вигляді кола (рис.3,б) контур розвинутої тріщини співпадає з відзначеною в монографії Г.П.Черепанова стійкою формою розповсюдження еліптичної тріщини.

а) | б)

Рис.3. Зміна конфігурації фронту тріщини через кожні 8 кроків задачі (б)
в нескінченому тілі під дією циклічного навантаження (а)

У четвертому розділі досліджено методи обчислення J-інтеграла в дискретних моделях за формулою, що складена для континуальних областей:

, (2)

де – величина повної енергії деформування, в загальному випадку , при пружному деформуванні ; – тензор напружень, – тензор деформацій, – зовнішня нормаль до поверхні інтегрування F; – вектор, що визначає напрямок розвитку тріщини в точці фронта, де обчислюється J–інтеграл; – проекція нормалі на напрямок вектора ; – градієнт переміщень.

На основі НМСЕ проведено реалізацію одного з традиційних методів обчислення J-інтеграла, що ґрунтується на безпосередньому інтегруванні із використанням напружень та градієнтів переміщень та нового методу, в якому використовуються величини вузлових реакцій та переміщень. Для визначення J-інтеграла за величинами напружень та градієнтів переміщень навколо відповідної точки фронту виділяють об’єм з характерним розміром Д (рис.4,а).

Зважаючи на форму СЕ в МСЕ цей об’єм зручно обирати у вигляді призми, грані якої утворюють поверхню інтегрування. Конкретизація загального виразу J-інтеграла на цих поверхнях дозволяє отримати розрахункові співвідношення для його визначення.

З урахуванням скінченоелементної дискретизації тіла, для покомпонентного подання J–інтеграла отримаємо:

,

де – загальна кількість СЕ, крізь які проходить обраний для обчислення J–інтеграла контур; – кількість СЕ, що містять кутові точки контуру; – довжина контуру в межах і-го СЕ; W – енергія деформування СЕ.

Розв’язання тестових прикладів засвідчило, що в двовимірній постановці використання прямокутних контурів, сторони яких розташовані на відстані 3-5 СЕ від вершини тріщини (), дозволяє отримувати величини J-інтеграла з точністю близько 2%.

В той же час при розв’язанні задачі про згин призматичного тіла з боковим надрізом в просторовій постановці, було виявлено, що зміна контура інтегрування призводить не тільки до кількісних, а й якісних відмінностей в розподіленні J-інтеграла вздовж фронта тріщини порівняно з еталонним розв’язком, отриманим через величини КІН, обчислені прямим методом (рис.4,б).

а) |

б)

Рис.4. Поверхня інтегрування J-інтеграла (а); графік розподілу J-інтеграла вздовж фронту тріщини в призматичному тілі з боковим надрізом (б)

Це обумовлено невідповідністю характеру розподілення параметрів НДС в дискретних моделях вимогам, сформульованим для визначення інваріантного J-інтеграла в межах континуальних областей.

Для усунення зазначених недоліків і вірогідного обчислення J–інтеграла в дискретних моделях вперше реалізовано підхід, який ґрунтується на його визначенні через переміщення і вузлові реакції (метод реакцій).

Використовуючи контур довільної форми, що проходить в напрямку вісі через середини СЕ, і по границях СЕ, в напрямку вісі (рис.5,а), формулу визначення J–інтеграла (2) можна подати як суму інтегралів обчислених по ділянкам контура S1 , S2 , S3 , S4:

(3)

а) |

б)

Рис.5. Контур довільної форми для визначення J–інтеграла

Виразимо напруження, градієнти переміщень, та енергію через величини вузлових реакцій та переміщень СЕ (рис.5,б)

,

, .

Підставляючи ці величини в (3), отримаємо дискретне подання формули J–інтеграла (4):

(4)

Рис.6. Розташування контура інтегрування для двох станів тіла | Для отриманого виразу J–інтеграла можна теоретично довести його дорівнювання нулю по замкненому контуру в сіткових областях з постійним . З цією метою розглянемо дві підобласті тіла, які зміщені одна від одної на (рис.6). Запишемо наступну тотожність:

.

Згідно із теоремою Клапейрона, перший складник може бути поданий як різниця величин робіт вузлових реакцій на відповідних переміщеннях цих підобластей:

.

Другий складник подамо у вигляді добутку різниць переміщень на суму вузлових реакцій:

.

З урахуванням теореми взаємності робіт Бетті можна зробити висновок, що запропоновані подання складників інтеграла по замкненому контуру дорівнюють один одному. Таким чином J–інтеграл, обчислений по замкненому контуру згідно формули (5), дорівнює нулю:

. (5)

Оскільки фрагмент, що розглядається, знаходиться в стані рівноваги, то всі реакції внутрішніх вузлів підобластей будуть дорівнювати нулю. Тому формули (5) і (4) еквівалентні.

Розв’язок задачі про згин призматичного тіла з боковим надрізом показав суттєві переваги розробленого підходу порівняно з традиційним. Виявилось, що величина J–інтеграла (5) не залежить від контуру інтегрування і співпадає з еталоном. Це також було підтверджено при застосуванні інших СЕ баз. Слід відзначити, що для нової методики збіжність досягається при використанні як ортогональних так і косокутних дискретних моделей.

При зростанні рівня деформацій пластичності похибка безпосереднього обчислення величини J–інтеграла за величинами напружень та градієнтів переміщень зростає із збільшенням контуру, навіть якщо він є замкненим і обминає зону пластичності. Це підкреслює необхідність використання методу реакцій, який, як показали проведені дослідження, дозволяє отримувати інваріантні величини J–інтеграла при наявності розвинених деформацій пластичності.

У п’ятому розділі із застосуванням розроблених методик та алгоритмів отримані результати розв’язання прикладних задач.

При розв’язанні задачі про визначення КІН в хрестоподібному зразку при одновісному і двовісному розтязі показаний збіг результатів, отриманих в двовимірній і просторовій постановках.

На основі розробленого алгоритму моделювання розвитку тріщини при дії циклічного навантаження проведено моделювання руйнування лопатки газової турбіни (рис.7,а). Лопатка являє собою тіло складної форми із змінною площею поперечних перерізів і наявністю закручування вздовж вісі z3’. Отриманий на основі тривимірного МСЕ розподіл напружень є суттєво неоднорідним як по висоті, так і в межах поперечних перерізів лопатки. Урахування закручування та змінної площі поперечних перерізів в НМСЕ здійснено із використанням призматичних СЕ змінної площі поперечного перерізу. Збіжність розподілу КІН вздовж фронту початкової тріщини (рис.8,а) досліджено із використанням дискретних моделей з 12, 24, 48 СЕ вздовж фронту тріщини. Розподіл КІН визначений на сітці при 12 СЕ (рис.7,б) при загальній кількості невідомих близько 39000.

а) | б)

Рис.7. Розрахункова схема (а) і дискретна модель лопатки з тріщиною (б)

Результати моделювання росту тріщини із урахуванням збіжності показали, що розвиток тріщини відбувається прискорено. Після 8.5Ч108 циклів навантаження тріщина розповсюджується більше ніж на половину товщини стінки лопатки (рис.8,б). Після цього руйнування всієї стінки відбувається менш ніж за 0.125Ч108 циклів навантаження. Додатковий ресурс експлуатації пов'язаний із зростанням тріщини складає 12% від основного. Величина ресурсу, визначена на основі розв’язання задачі про розвиток бокової тріщини в пластині є майже на порядок меншою. Таким чином, визначення ресурсу, пов’язаного із ростом тріщини потребує розв’язання задачі в просторовій постановці.

а) | б)

Рис.8. Збіжність КІН (а) і розмірів тріщини (б) в залежності від СЕ моделі

Із використанням методу реакцій було проведено визначення J-інтеграла в компактному зразку при пружнопластичному деформуванні (рис.9). Традиційно розрахунок компактного зразка здійснюється в умовах плоскої деформації. Отримана в цьому випадку залежність J-інтеграла від прикладеного навантаження збігається з еталоном. Зважаючи на те, що товщина компактного зразка обмежена, його розрахунок потрібно виконувати в просторовій постановці.

а) | б)

Рис.9. Компактний зразок (а), та дискретна модель НМСЕ (б)

Вірогідність визначення пружного НДС в тривимірній постановці підтверджена результатами отриманими на інших СЕ базах. При цьому розподіл J-інтеграла вздовж фронту тріщини виявився нерівномірним (рис.10,а). При збільшенні рівня пластичних деформацій ця нерівномірність збільшується, як і різниця між значеннями J-інтеграла, обчисленими в двовимірній і просторовій постановках (рис.10,б).

а) |

б)

Рис.10. Розподіл J-інтеграла вздовж фронту тріщини при зростанні рівня навантаження (а) і залежність J-інтеграла від навантаження на бічних поверхнях та в середньому перерізі компактного зразка (б)

Таким чином, для вірогідного визначення параметрів нелінійної механіки руйнування необхідним є дослідження деформування таких об’єктів в тривимірній постановці.

ВИСНОВКИ

Основні результати, отримані в дисертаційній роботі полягають у наступному:

1. Як свідчить проведений аналіз літературних джерел, існуючі чисельні методи обчислення J-інтеграла в дискретних моделях не забезпечують його інваріантність, а алгоритми моделювання розвитку тріщини не враховують еволюційного характеру зміни НДС при розв’язанні систем рівнянь.

2. Вперше на основі напіваналітичного методу скінчених елементів розроблено ефективні підходи до розв’язання задач нелінійної механіки руйнування просторових призматичних тіл та моделювання розвитку тріщин в просторових тілах при циклічному навантаженні.

В ході виконання роботи вирішено наступні проблеми:

·

·

·

·

3. Вірогідність отриманих в дисертаційній роботі результатів обгрунтовується шляхом розвязання тестових задач і дослідженнями збіжності результатів в залежності від числа невідомих скінченоелементної моделі а при моделюванні нелінійних процесів – від величини кроків за навантаженням;

4. Отримано нові розвязки прикладних задач. При розв’язанні задачі про розтяг хрестоподібного зразка з тріщиною результати тривимірного і двовимірного розрахунку виявились майже ідентичними, що свідчить про доцільність розв’язання таких задач в двовимірній постановці. Результати моделювання розвитку тріщини і визначення додаткового ресурсу експлуатації лопатки ГТД під дією циклічного навантаження свідчать, що з появою тріщини ресурс експлуатації не вичерпується і може бути збільшеним до моменту надбання тріщиною критичних розмірів. На прикладі компактного зразка показано необхідність проведення його розрахунку в тривимірній постановці.

5. Результати роботи можуть бути застосовані в наукових і проектно-конструкторських установах, при дослідженні процесів деформування просторових тіл з початковими тріщинами, при проведенні розрахунків на міцність і прогнозуванні ресурсу відповідальних елементів конструкцій в машинобудуванні, енергетиці, на транспорті.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Баженов В.А., Гуляр О.І., Пискунов С.О., Сахаров О.С., Сахарова О.М, Шкриль О.О. Ефективність методів обчислення параметрів механіки руйнування двовимірних задач // Опір матеріалів і теорія споруд: Наук.- техн. збірник – К.: КНУБА, 2003.- Вип. 72.- С. 106-115.

2. Гуляр О.І., Пискунов С.О., Сахаров О.С., Шкриль О.О. Визначення коефіцієнтів інтенсивності напружень в призматичних тілах з тріщинами // Опір матеріалів і теорія споруд – К.: КНУБА, 2003.- Вип. .73. - С.73-84.

3. Гуляр О.І., Пискунов С.О., Сахаров О.С., Шкриль О.О. Алгоритм моделювання розвитку тріщини в просторових тілах із застосуванням напіваналітичного метода скінчених елементів // Опір матеріалів і теорія споруд: Наук.- техн. збірник – К.: КНУБА, 2004.- Вип. 75.- С. 13-26.

4. Пискунов С.О., Рутковський В.А., Шкриль О.О. Призматичний скінчений елемент змінної геометрії // Опір матеріалів і теорія споруд: Наук.- техн. збірник – К.: КНУБА, 2005.- Вип. 76.- С. 83-90.

5. Баженов В.А., Гуляр О.І., Пискунов С.О., Сахаров О.С., Шкриль О.О. Особливості визначення J–інтеграла для дискретних моделей метода скінчених елементів // Опір матеріалів і теорія споруд: Наук.- техн. збірник – К.: КНУБА, 2005.- Вип. 77.- С. 43-64.

6. Баженов В.А., Гуляр А.И., Пискунов С.О., Шкрыль А.А. Определение ресурса лопатки газовой турбины в условиях ползучести на основе континуальной механики разрушения // Проблемы прочности, 2006. – №4. – с. 87-93.

7. Гайдайчук В.В., Пискунов С.О., Барабаш М.С., Кобієв В.Г., Сизевич Б.І., Шкриль О.О. Аналіз ефективності застосування програмного комплекса “NASTRAN” при розрахунках стержневих, оболонкових і масивних тіл // Збірник тез доповідей 65 науково-практичної конференції КНУБА, Київ, 2004. – с.22.

8. Гуляр О.І., Пискунов С.О.,Сахаров О.С., Шкриль О.О. Алгоритм моделювання розвитку тріщини в просторових тілах із застосуванням напіваналітичного метода скінчених елементів // Збірник тез доповідей 65 науково-практичної конференції КНУБА, Київ, 2004. – с.26.

9. Пискунов С.О., Шкриль О.О. Определение ресурса пространственных тел с трещинами при циклическом нагружении // VІ Міжн. Молодіжна науково-практична конференція "Людина і космос". – Збірник тез. Дніпропетровськ: НЦАОМУ, 2004. – с.322.

10. Баженов В.А., Пискунов С.О., Сахаров О.С., Шкриль О.О. Визначення тривимірного пружнопластичного напружено-деформованого стану просторових тіл з тріщинами // Матеріали міжнародної наукової конференція "Математичні проблеми технічної механіки" Дніпропетровськ, 2005. – с. 44-45.

11. Пискунов С.О., Шкриль О.О. Достоверность определения параметров механики разрушения на основе метода конечных элементов при наличии деформаций пластичности // VІІ Міжнародна молодіжна науково-практична конференція "Людина і космос". – Збірник тез. Дніпропетровськ: НЦАОМУ, 2005. – с.240.

12. Шкриль О.О. Визначення ресурсу призматичних тіл з початковими тріщинами при дії циклічного навантаження // Наукова конференція молодих вчених, аспірантів і студентів КНУБА (Київ 17-19 жовтня 2006). – Збірник тез. К.: КНУБА, 2006. – с.12-13.

У спільних роботах [1, 2] розглянута методика визначення КІН в призматичних тілах. В [4, 6] наведені співвідношення для призматичного СЕ змінної площі поперечного перерізу. В [3] показані результати розв’язання тестових задач. В [3, 8, 9, 12] описаний алгоритм моделювання розвитку тріщини в призматичних тілах при дії циклічного навантаження. В роботах [1, 5, 10, 11] представлений опис і реалізація методів визначення J-інтеграла.

АНОТАЦІЯ

Шкриль О.О. Чисельне моделювання руйнування призматичних тіл на основі напіваналітичного методу скінчених елементів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Київський національний університет будівництва і архітектури Міністерства освіти і науки України, Київ, 2007.

Розроблено підходи до визначення параметрів механіки руйнування і моделювання росту тріщин в просторових призматичних тілах. Отримані розвязувальні співвідношення напіваналітичного методу скінчених елементів для призматичних тіл із змінною площею поперечного перерізу, розроблено алгоритм моделювання розвитку тріщин при циклічному навантаженні, що враховує еволюційний характер руйнування при розв’язанні систем рівнянь МСЕ, реалізовано методику обчислення J-інтеграла, що забезпечує його інваріантність в дискретних моделях МСЕ. Вірогідність результатів підтверджена дослідженнями їх збіжності і порівнянням із результатами інших авторів. Отримано нові розв’язки прикладних задач про визначення КІН в хрестоподібному зразку з тріщиною, моделювання розвитку тріщини в лопатці газової турбіни та визначення J-інтеграла в компактному зразку.

Ключові слова: призматичні тіла, нелінійна механіка руйнування, коефіцієнт інтенсивності напружень, J-інтеграл, розвиток тріщин втоми.

АННОТАЦИЯ

Шкрыль А.А. Численное моделирование разрушения призматических тел на основе полуаналитического метода конечних элементов. – Рукопись.

Дисертация на соискание научной степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Киевский национальный университет строительства и архитектуры Министерства образования и науки Украины, Киев, 2007.

На основе полуаналитического метода конечных элементов (ПМКЭ) разработаны эффективные подходы для решения задач нелинейной механики разрушения пространственных призматических тел и моделирования развития трещин в пространственных телах при циклической нагрузке.

Учет изменения площади поперечного сечения в призматических телах в условиях деформирования, приближенных к продольному растяжению, выполняется на основе выведенных разрешающих соотношений для призматического конечного элемента с переменной вдоль характерного направления площадью поперечного сечения, учет которой осуществляется на основе коррекции определителя метрического тензора в точках интегрирования.

Решение нелинейных задач выполняется на основе пошагового алгоритма моделирования процесса загружения. Решение системы линейных уравнений ПМКЭ осуществляется методом блочных итераций с верхней релаксацией.

Вычисление КИН осуществляется прямым методом на основе результатов определения напряженно-деформированного состояния (НДС) в окрестности вершины трещины. Описание развития трещины выполняется на основе дифференциальных зависимостей типа Пэриса. Алгоритм моделирования развития трещины базируется на дискретном представлении процесса разрушения в виде совокупности шагов, по количеству циклов нагрузки. Величины приращений длины трещины откладывают вдоль нормалей к текущей конфигурации фронта трещины. Перестроение сеточной области проводится путем смещения узлов сетки на величину, связанную с приращением длины трещины на данном шаге. Таким образом изменяется только геометрия конечно-элементной модели, а ее топология остается неизменной.

Для уменьшения вычислительных затрат при решении системы уравнений ПМКЭ на каждом шаге используются значения параметров НДС и коэффициентов матрицы жесткости, полученных на предыдущих шагах. Использование обоих подходов уменьшает вычислительные затраты более чем на порядок, что подтверждено решением тестовых задач.

Вычисление J-интеграла осуществляется методом напряжений (на основе напряжений и градиентов перемещений) и методом реакций (на основе узловых перемещений и реакций). Для определенного круга задач метод напряжений позволяет получать достоверные результаты. Решение задачи об изгибе призматического тела с боковой трещиной позволило выявить тенденцию увеличения погрешностей вычисления как величины J–интеграла, так и его значений по замкнутому контуру, полученных методом напряжений при использовании контуров любой размерности. Таким образом использование этого традиционного подхода в пространственных задачах не обеспечивает независимости J–інтеграла от пути интегрирования. При этом не выполняется как условие независимости результата от размеров контура интегрирования, так и условие равенства нулю по замкнутому контуру. Попытка достижения необходимой точности результатов требует сгущения конечно-элементной сетки до достижения характерными размерами КЭ величин, которые на два порядка меньше чем длина трещины, что приводит к значительным вычислительным затратам. В условиях пластического деформирования погрешность определения J–інтеграла при изменении контура интегрирования значительно больше и возрастает при увеличении пластических деформаций. Однако, в случае нелинейного деформирования имеются ограничения на уменьшение контура интегрирования. Таким образом, метод вычисления J–интеграла с использованием напряжений и градиентов перемещений может стать непригодным при вычислении J–интеграла в пространственных нелинейных задачах механики разрушения.

В то же время подход, который базируется на использовании при вычислении J–интеграла величин узловых реакций и перемещений (метод реакций), является свободным от перечисленных недостатков, обеспечивает сохранение инвариантности J–интеграла как при упругом так и при упругопластическом деформировании.

При решении задачи о растяжении крестообразного образца с трещиной результаты трехмерного и двумерного рассчетов оказались почти идентичными, что свидетельствует о целесообразности решения таких задач в двумерной постановке. Результаты моделирования развития трещины и определения дополнительного ресурса эксплуатации лопатки ГТД под действием циклической загрузки свидетельствуют, что с появлением трещины ресурс эксплуатации не исчерпывается и может быть увеличенным до момента приобретения трещиной критических размеров. Результаты распределения J–интеграла вдоль фронта трещины в компактном образце при наличии упругопластических деформаций показали необходимость его рассчета в пространственной постановке.

Ключевые слова: призматические тела, нелиненая механика разрушения, коэффициент интенсивности напряжений, J-интеграл, развитие усталостных трещин.

SUMMARY

Shkril A.A. Numerical modelling of fracture of prismatic bodies using half-analytical finite element method. – Manuscript.

Disertation for a degree of candidate of technical sciences in the field 01.02.04. – Mechanics of solid deformatte bodies. – Kyiv National University of Civil Engineering and Architecture, the Ministry for Education and Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

Elaborated are approaches to finding some parameters of fracture mechanics and of modeling crack propagation in three-dimensional prismatic bodies. Resolving relations of half-analytical finite element method for prismatic bodies with variable cross-section area are obtained. Elaborated is an algorithm to model crack propagation in case of cyclic loading, which, while solving a finite element method originated system of equations, consideres evolutional character of fracturing. Technics for computing J-integral, that garantees its being invariant in discrete models of finite element method, is tested. Accuracy of results obtained is verified by analysis of convergence and by comparing them with results of other autors. New solutions of practically important problems related to finding stress intensity factors for a cross-like specimens are obtained, modeled is crack propagation in gas turbine blades, and a value of J-integral in a compact specimen is computed.

Key-words: prismatic body, non-linear fracture mechanics, stress intensity factor, J-integral, weary cracs propagation.