МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМ. Ю.ФЕДЬКОВИЧА

Мороз Володимир Вікторович

УДК 517.958

ЗАПРОВАДЖЕННЯ СКІНЧЕННИХ

ГІБРИДНИХ ІНТЕГРАЛЬНИХ ПЕРЕТВОРЕНЬ

01.01.02 диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидита фізико-математичних наук

Чернівці 1999

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано на кафедрі вищої математики та комп'ютерних застосувань Технологічного університету Поділля (м.Хмельницький) Міністерства освіти України.

Науковий керівник: | доктор фізико-математичних наук,

Ленюк Михайло Павлович,

професор кафедри диференціальних рівнянь

Чернівецького державного університету

ім. Ю.Федьковича.

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук,

професор Городецький Василь Васильович,

завідувач кафедри алгебри і геометрії

Чернівецького державного університету

ім. Ю.Федьковича;

кандидат фізико-математичних наук,

Конет Іван Михайлович,

професор кафедри геометрії та методики викладання

математики Кам’янець-Подільського педагогічного

університету.

Провідна установа: | Національний університет ім. Тараса Шевченка,

кафедра диференціальних та інтегральних рівнянь,

Міністерство освіти України, Київ.

Захист відбудеться “___” ___________ 1999 року о __ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 76.051.02 в Чернівецькому державному університеті ім. Ю.Федьковича за адресою:

274012, м.Чернівці, вул. Університетська, 28.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького державного унівеситету ім. Ю.Федьковича (вул. Лесі Українки, 23).

Автореферат розісланий “___”__________ 1999 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради |

Садов’як А.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

Актуальність теми. Розвиток i вдосконалення виробництва на сучасному етапi науково-технiчного прогресу пов'язанi з широким застосуванням композитних матерiалiв у рiзного роду технологiчних процесах, зварному виробництвi, атомнiй енергетицi та космiчнiй технiцi, радiотехнiцi та радiоелектронiцi, будiвництвi споруд та будинкiв. Серед численних задач, якi виникають при розрахунках на мiцнiсть, надiйнiсть i довговiчнiсть в експлуатацiї конструкцiйних елементiв машин та механiзмiв, при конструюваннi машин i проектуваннi iнженерних споруд важливе мiсце займають задачi розрахунку температурних полiв i викликаних ними температурних напружень, а також задачi дослiдження напруженого стану тонкостiнних елементiв конструкцiй, якi працюють на кручення. Крiм того, останнiм часом методи математичного моделювання активно застосовуються при розв'язаннi задач промислової екологiї (наприклад, при розробцi технологiй вилучення домiшок в гетерогенних системах).

Якщо вважати, що: а) дослiдження кiнетики цiлого ряду фiзичних i хiмiко-технологiчних процесiв еквiвалентне задачам стацiонарної або нестацiонарної теплопровiдностi; б) композити це, як правило, обмеженi кусково-однорiднi тiла, які складаються з декiлькох матерiалiв, що мають рiзнi фiзико-механiчнi характеристики, то ми приходимо до необхiдностi розв'язання лiнiйних диференцiальних рiвнянь з розривними (кусково-постiйними) коефiцiєнтами в обмежених областях.

Одним з ефективних методiв розв'язання такого класу задач є метод скiнченних iнтегральних перетворень. Найбiльш поширеними серед них є скiнченнi iнтегральнi перетворення Фур'є, Ганкеля, Лежандра, Ермiта, Вебера та iн. Вони дозволяють будувати точнi аналiтичнi розв'язки задач математичної фiзики неоднорiдних середовищ.

Проблемi запровадження вiдсутнiх в математичнiй лiтературi скiнченних гiбридних iнтегральних перетворень для розв'язання задач математичної фiзики неоднорiдних (кусково-однорiдних) середовищ i присвячена дана кандидатська дисертацiя.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Теоретичні та практичні завдання дисертаційної роботи виконувались згідно плану наукових досліджень пріоритетного напрямку розвитку науки і техніки Технологічного університету Поділля (м.Хмельницький) в рамках науково-дослідної теми: “Екологічно чиста енергетика та ресурсозберігаючі технології” (постанова Верховної Ради України, №2705-XI від 16.10.92) та плану наукових досліджень кафедри диференціальних рівнянь Чернівецького державного університету ім. Ю.Федьковича в рамках науково-дослідної теми: “Нерегулярні крайові задачі для параболічних рівнянь математичної фізики неоднорідних середовищ”, № держреєстрації 0197V014404.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є побудова та математичне обгрунтування скінченних гібридних інтегральних перетворень (ГІП), породжених на ()-складовому сегменті гібридним диференціальним оператором штурма-ліувіллівського типу, та їх застосування для розв’язання типових задач математичної фізики неоднорідних структур. В основу проведених досліджень покладено спектральну теорію розгортання за власними функціями задачі ШтурмаЛіувілля для звичайних диференціальних рівнянь з неперервними коефіцієнтами. Математичне обгрунтування скінченних ГІП грунтується на основних положеннях теорії узагальнених функцій, математичного та функціонального аналізу, теорії крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь.

Наукова новизна дисертаційної роботи полягає в наступному:

·

· вивчено властивості власних елементів задачі Штурма-Ліувілля: сформульовано і доведено теорему про дискретний спектр, теореми про узагальнену ортогональність та повноту відповідної йому системи власних вектор-функцій;

· сформульовано і доведено аналог теореми Стєклова В.А. про розвинення вектор-функції в абсолютно й рівномірно збіжний ряд Фур'є за системою власних вектор-функцій задачі Штурма-Ліувілля на кусково-однорідному сегменті;

· сформульовано і доведено теорему про наявність основної тотожності інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора, що дає можливість побудувати алгебру гібридного диференціального оператора, а значить виключити його із розгляду;

· встановлено асимптотичні формули та рівняння для знаходження власних елементів задачі Штурма-Ліувілля на кусково-однорідному сегменті;

· запроваджено всеможливі скінченні гібридні інтегральні перетворення з операторами Фур'є та Бесселя, що чергуються на кусково-однорідному сегменті;

· одержані скінченні гібридні інтегральні перетворення застосовано для розв'язання типових задач математичного аналізу та математичної фізики неоднорідних середовищ:

а) задачі про підсумовування поліпараметричних функціональних рядів, що містять тригонометричні функції та функції Бесселя;

б) задачі про структуру пружних полів, які виникають при крученні кусково-однорідного циліндричного стержня у результаті дії зосередженого осесиметричного навантаження;

в) задачі про структуру нестаціонарних температурних полів, які виникають в кільцевидній кусково-однорідній пластині у результаті дії зосередженого на кожній ділянці теплового джерела;

г) задачі про структуру хвиль, які виникають при коливанні кусково-однорідної струни у результаті дії на її кожну ділянку збурених сил.

Практичне значення. Запроваджені в дисертації скінченні гібридні інтегральні перетворення можуть бути застосовані для побудови точних аналітичних розв’язків алгоритмічного характеру достатньо широкого класу задач теплопровідності, пружності, гідромеханіки, електростатики, задач теорії коливань, задач кручення неоднорідних об’єктів та ін. з метою вивчення впливу степеня неоднорідності.

Апробація результатів дисертації. Основнi результати, одержанi в дисертацiйнiй роботi, доповiдались на наукових семiнарах кафедри вищої математики та комп’ютерних застосувань Технологiчного унiверситету Подiлля (м.Хмельницький), на кафедрi диференцiальних рiвнянь Чернiвецького державного унiверситету iм. Ю.Федьковича, на Сьомiй мiжнароднiй науковiй конференцiї iменi академiка М.Кравчука (м.Київ, КПI, 1998р.), Мiжнароднiй науковiй конференцiї “Сучаснi проблеми математики” (м.Чернiвцi, ЧДУ, 1998р.), науковiй конференцiї викладачiв, спiвробiтникiв та студентiв, присвяченої 120-рiччю заснування Чернiвецького унiверситету (м.Чернiвцi, ЧДУ, 1995р.), науково-практичнiй конференцiї “Науковi основи сучасних прогресивних технологiй” (м.Хмельницький, 1994р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у наукових працях [1–12], список яких подано в кінці автореферату.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації є новими і належать автору. З 12 публікацій, що відображають основний зміст дисертації, чотири [6, 8–10] написано у співавторстві з доктором фіз-мат. наук, проф. М.П.Ленюком. Співавтору належить постановка задач та обговорення результатів.

Структура, зміст та обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг дисертації 128 сторінок друкованого тексту. Список літератури містить 84 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМIСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі до дисертації обгрунтовано актуальність теми, зроблено короткий огляд літератури за тематикою дисертації, а також подано загальну характеристику дисертації.

У першому роздiлi зроблено постановку задачi Штурма-Лiувiлля на -складовому сегментi, вивчено властивостi власних елементiв цiєї задачi (виписана структура власних вектор-функцiй та характеристичне рiвняння для знаходження власних чисел, доведено теорему про диск-ретний спектр), сформульовано i доведено аналог теореми Стєклова В.А. про розвинення вектор-функцiї в абсолютно й рiвномiрно збiжний ряд Фур'є за системою власних вектор-функцiй задачi Штурма-Лiувiлля, сформульовано i доведено теорему про наявнiсть основної тотожностi iнтегрального перетворення гiбридного диференцiального оператора, встановлено асимптотику власних чисел та власних вектор-функцiй задачi Штурма-Лiувiлля.

Розглянемо на множинi

задачу Штурма-Лiувiлля: побудувати обмежений розв'язок сепаратної системи лiнiйних однорiдних звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку:

(1)

за крайовими умовами

(2)

та умовами спряження

, , . (3)

У рiвностях (1)–(3) числовий параметр, оператор , функцiї , , дiйснi функцiї дiйсної змiнної, . При цьому будемо вважати, що , , неперервнi на iнтервалi функцiї, , , , , , .

Означення 1. Розв'язком крайової задачі (1)(3) називається така вектор-функція , кожна компонента якої є двічі неперервно диференційовною на інтервалі функцією, задовольняє рівняння (1), в точках спряження компоненти та задовольняють умови спряження (3), а компоненти і крайові умови (2) на кінцях інтервалу і .

Означення 2. Ті значення параметра , при яких існують нетривіальні розв'язки крайової задачі (1)(3), називаються власними числами, а відповідні їм вектор-функції власними вектор-функціями.

Розв'язок крайової задачi (1)(3) будується методом функцiй Кошi i має вигляд:

(4)

,

в припущеннi, що корiнь характеристичного рiвняння

.(5)

У рiвностях (4), (5) приймають участь величини та функцiї:

, (6)

,,

,

, фундаментальна система розв'язкiв -го рiвняння системи (1), довiльна стала.

Означення 3. Крайова задача (1)(3) називається узагальнено самоспряженою, якщо для двох довільних двічі неперервно диференційовних на вектор-функцій та , що задовольняють крайові умови (2) та умови спряження (3), існують додатні числа , такі що

. (7)

Теорема 1. Для того, щоб крайова задача (1)(3) була узагальнено самоспряженою необхідно й досить, щоб числа () визначались із рекурентних співвідношень

. (8)

Доведення теореми одержується інтегруванням двічі частинами лівої частини рівності (7) та врахування крайових умов та умов спряження.

Теорема 2. Система власних вектор-функцiй крайової задачi (1)(3) узагальнено ортогональна на множинi з вагою , тобто

(9)

Тут квадрат норми вектор-функцiї , вагова функцiя.

Доведення теореми випливає iз узагальненої самоспряженостi задачi (1)(3).

Теорема 3. Кожному власному числу крайової задачi (1)(3) вiдповiдає тiльки одна власна вектор-функцiя.

Доведення теореми проводиться методом вiд супротивного.

Теорема 4. Коренi рiвняння утворюють дискретний спектр: простi, дiйснi, симетрично розташованi вiдносно точки , їх модулi утворюють монотонно зростаючу послiдовнiсть з єдиною граничною точкою в плюс нескiнченностi.

Те, що коренi утворюють монотонно зростаючу послiдовнiсть, випливає з того, що нулi цiлої аналiтичної функцiї не мають скiнченної граничної точки. Дiйснiсть коренiв одержується iз протирiччя, яке виникає, якщо припустити, що корiнь комплексний. Простота коренiв доводиться методом вiд супротивного. Протирiччя встановлюється iз системи тотожностей , у випадку двократного кореня.

Теорема 5 (Стєклова В.А.). Довiльна, двiчi неперервно диференцiйовна на множинi вектор-функцiя, що справджує крайовi умови (2) та умови спряження (3) крайової задачi (1)(3) може бути розвинена в абсолютно й рiвномiрно збiжний на кожному компакті множини ряд Фур'є за системою власних вектор-функцiй цiєї задачi.

Доведення. Вважаємо, що система власних вектор-функцiй нормована. Оскiльки , , то можемо записати рiвностi:

, , (10)

де деяка цiлком певна, визначена з допомогою вектор-функцiї , та оператора , неперервна на множинi вектор-функцiя.

Оскiльки вектор-функцiя справджує умови спряження i крайовi умови задачi (1) (3), то за допомогою функцiй впливу () цiєї задачi одержуємо рiвностi

або пiсля перемноження їх на рiвностi

(11)

Тут

(12)

ядра iнтегрального оператора в (11).

Поставимо тепер крайову задачу (1) (3) в iнтегральнiй формi вiдносно функцiй за допомогою функцiй впливу

.

Ця постановка означає, що власнi числа та власнi вектор-функцiї задачi (1)(3) є вiдповiдно характеристичними числами i з точнiстю до множника характеристичними вектор-функцiями системи iнтегральних рiвнянь

. (13)

Характеристичнi вектор-функцiї цiєї системи, очевидно, узагальнено ортонормованi з вагою . Дiйсно, , де узагальнено ортонормованi з вагою власнi вектор-функцiї крайової задачi. Тому

.

Ядра (12) системи iнтегральних рiвнянь (13) неперервнi при , рiвномiрно обмеженi по , а отже, iнтегровнi з квадратом за змiнною , так що

. (14)

Як функцiї змiнної їх можна формально розвинути в ряд Фур'є за системою характеристичних вектор-функцiй, тобто

,

де за означенням

,

бо, згiдно з (13)

. (15)

Отже, маємо спiввiдношення

, . (16)

При цьому для ряду в правiй частинi спiввiдношення (16) виконується нерiвнiсть Бесселя

,

яка з урахуванням (14) у цьому випадку набуває вигляду

. (17)

Неперервну на вектор-функцiю в (11) також можна формально розвинути в ряд Фур'є за системою ортонормованих вектор-функцiй :

, . (18)

При цьому в зв'язку з нерiвнiстю Бесселя

, (19)

тобто ряд з членами збiгається.

Розвинемо формально в ряд Фур'є за системою вектор-функцiй також лiву частину рiвностi (11). Матимемо спiввiдношення:

, (20)

де за означенням

. (21)

Тут коефiцiєнти Фур'є, якi визначаються за допомогою рiвностi (18). При встановленнi рiвностi (21) враховано неперервнiсть функцiй, змiнено порядок iнтегрування, використано тотожнiсть (15) та симетричнiсть ядер (12).

Спiввiдношення (20) з урахуванням (21) запишеться у виглядi

, . (22)

Доводиться, що цей ряд збiгається абсолютно й рiвномiрно та має своєю сумою функцiю , тобто, що

.

Отже, враховуючи рiвнiсть i скоротивши останню рiвнiсть на , матимемо

, (23)

,

де ряд (23) збiгається до .

Теорема доведена.

Теорема 6. Ортонормована з вагою система власних вектор-функцій крайової задачі (1)(3) повна на множині інтегровних з квадратом вектор-функцій.

Доведення. Нехай довільна, кусково-неперервна вектор-функція, інтегровна з квадратом на множині . Побудуємо двічі неперервно-диференційовну на цій множині вектор-функцію , яка справджує крайові умови (2) і з заданою точністю апроксимує в середньому функцію , тобто виконується нерівність

.

Така функція завжди існує і практично може бути побудована, як наприклад, інтерполяційний кубічний сплайн.

Для вектор-функції існує рівномірно апроксимуючий многочлен власних нормованих функцій

, ,

тобто для виконується рівномірна нерівність

.

Використовуючи нерівність і взявши , , після множення на та інтегрування від до , одержимо нерівності.

,

що й треба було довести, оскільки при цьому при .

Ряд Фур'є (23) визначає пряме й обернене скiнченне ГIП, породжене на -складовому сегментi гiбридним диференцiальним оператором :

, (24)

. (25)

З метою застосування скiнченних ГIП до розв'язання вiдповiдних задач математичної фiзики неоднорiдних структур наведемо основну тотожнiсть iнтегрального перетворення гiбридного диференцiального оператора, замiнивши в (1) на (,) i ввiвши до розгляду характеристичну функцiю .

Теорема 7. Нехай вектор-функцiя двiчi неперервно-диференцiйовна на , задовольняє умови спряження (3) та крайовi умови

, . (26)

Тодi справедлива основна тотожнiсть iнтегрального перетворення гiбридного диференцiального оператора:

(27)

.

Доведення теореми одержується безпосередньо, якщо проiнтегрувати двiчi частинами лiву частину (27) i врахувати властивостi вектор-функцiй , i .

У другому роздiлi запроваджено скiнченнi ГIП, породжені на кусково-однорідному сегменті всеможливими розташуваннями диференціальних операторів Фур'є та Бесселя , що чергуються, починаючи з диференціального оператора Фур’є або Бесселя. Внаслідок ідентичності наведемо результати підрозділу 2.5.

Розглянемо задачу побудови обмеженого на множині

нетривіального розв’язку сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь

, , (28)

, ,

за крайовими умовами

, (29)

та умовами спряження

, ; . (30)

У рівностях (28)–(30) , , , , , , , .

Безпосередньо перевіряється, що за комноненти розв’язку крайової задачі (28)–(30) можна взяти функції:

,

(31)

, ;

,.

Побудуємо спектральну функцію

і вагову функцію

.

Теорема 8. Якщо функція , задовольняє крайові умови (2) та умови спряження (3), то справджується формула розвинення функції за системою в рівномірно й абсолютно збіжний ряд Фур'є

. (32)

Ряд Фур'є (32) породжує пряме та обернене cкінченне ГІП Фур'є Бесселя Фур'є ... Бесселя Фур'є на множині :

(33)

. (34)

При цьому справджується основна тотожність інтегрального перетворення гібридного диференціального оператора :

(35)

.

Третiй роздiл носить прикладний характер. Вiн складається з чотирьох підрозділів.

У першому пiдрозділі методом скiнченного ГIП Ганкеля 1-го роду Фур'єБесселя...Фур'єБесселя пiдсумовано одну сiм'ю полiпараметричних функцiональних рядiв, що мiстять тригонометричнi та цилiндричнi функцiї Бесселя. Сформульовано i доведено теорему, яка обгрунтовує одержанi формули пiдсумовування.

У другому пiдрозділі методом скiнченного ГIП Фур'єБесселяФур'є...БесселяФур'є розв'язано задачу про структуру пружних полiв, якi виникають при крученнi жорстко закрiпленого кусково-однорiдного цилiндричного стержня в результатi дiї зосередженого на кожнiй дiлянцi бiчної поверхнi осесиметричного навантаження.

Третiй підрозділ присвячений дослiдженню структури нестацiонарних температурних полiв у кiльцевиднiй кусково-однорiднiй пластинi, якi виникають у результатi дiї зосередженого на кожнiй дiлянцi теплового джерела, методом ГIП Ганкеля 2-го роду Фур'є Бесселя ... Бесселя Фур'є.

Четвертий підрозділ присвячений побудовi розв'язку задачi про коливання обмеженої кусково-однорiдної струни, один кiнець якої не закрiплений, в результатi дiї на її кожну дiлянку масових сил методом ГIП Ганкеля 2-го роду Фур'є Бесселя ... Фур'є Бесселя.

ВИСНОВКИ

Основні результати, одержані в дисертаційній роботі полягають в наступному:

1.Досліджено властивості власних елементів задачі Штурма-Ліувілля і, як наслідок, встановлено теорему про дискретний спектр.

2. Сформульовано і доведено аналог теореми В.А.Стєклова про розвинення вектор-функції в ряд Фур'є за системою власних вектор-функцій задачі Штурма-Ліувілля; доведено повноту системи власних вектор-функцій.

3.Запроваджено скінченні ГІП на кусково-однорідному сегменті з операторами штурма-ліувіллівського типу.

4. Сформульовано і доведено теорему про наявність основної тотожності інтегрального перетворення диференціального оператора, яка дозволяє застосовувати отримані скінченні ГІП для побудови у замкнутій формі розв'язків відповідних задач математичної фізики неоднорідних структур.

5. Встановлено асимптотичні формули та рівняння для визначення власних чисел та вектор-функцій задачі Штурма-Ліувілля.

6. Запроваджено скінченні ГІП, породжені операторами Фур'є та Бесселя, що чергуються, на полярній осі.

7. Запроваджені скінченні ГІП застосовано до розв'язання типових задач математичної фізики неоднорідних структур:

а) задачі про структуру пружних полів, які виникають при крученні кусково-однорідного циліндричного стержня в результаті силового навантаження;

б) задачі про структуру нестаціонарних температурних полів, які виникають в кільцевидній кусково-однорідній скінченній пластині в результаті дії зосередженого на кожній ділянці теплового джерела;

в) задачі про структуру пружних хвиль, які виникають при коливанні обмеженої кусково-однорідної струни в результаті дії на її кожну діляну масових сил;

г) задачі підсумовування однієї сім'ї поліпараметричних функціональних рядів, що містять тригонометричні функції та циліндричні функції Бесселя методом скінченного ГІП Ганкеля 1-го роду Фур'є Бесселя ... Фур'є Бесселя.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Мороз В.В. Скiнченнi гiбриднi iнтегральнi перетворення Фур'є Бесселя Фур'є ... Фур'є Бесселя // Доп. НАН України. 1998. N10. С. 4448.

2. Ленюк М.П., Мороз В.В. Конечные гибридные интегральные преобразования Ханкеля первого рода Фурье Бесселя ... Бесселя Фурье // Дифференц. уравнения. 1998. Т.34. N9. C. 12861288.

3. Мороз В.В. Скiнченнi гiбриднi iнтегральнi перетворення Фур'є Бесселя Фур'є ... Бесселя Фур'є // Вiсник Київського унiверситету. Серiя: фiз.-мат. науки. 1998. Вип. 2. С. 101106.

4. Мороз В.В. Один клас скiнченних гiбридних iнтегральних перетворень // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. C. 189191.

5. Мороз В.В. Теорема Стєклова про розвинення в ряд Фур'є вектор-функцiй // Iнтегральнi перетворення та їх застосування. Київ: Iн-т математики НАН України, 1996. C. 159168.

6. Мороз В.В. Скiнченнi гiбриднi iнтегральнi перетворення Ганкеля 2-го роду Фур'є Бесселя ... Бесселя Фур'є // Iнтегральнi перетворення та їх застосування до крайових задач. Київ: Iн-т математики НАН України, 1997. Вип. 15. C. 139144.

7. Ленюк М.П., Мороз В.В. Пiдсумовування однiєї сiм'ї полiпараметричних функцiональних рядiв методом скiнченного гiбридного iнтегрального перетворення Ганкеля 1-го роду Фур'є Бесселя ... Фур'є Бесселя // Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь: Зб. наук. пр. Київ: Iн-т математики НАН України. 1998. Вип. 1(17). C. 136 153.

8. Мороз В.В. Скiнченнi гiбриднi iнтегральнi перетворення Ганкеля 2-го роду Фур'є Бесселя ... Фур'є Бесселя // Вiсник Технологiчного унiверситету Подiлля. Серiя 3. Соцiально-гуманiтарнi i природничi науки 1997, N 1. С. 7479.

9. Мороз В.В., Ленюк М.П. Скiнченнi гiбриднi iнтегральнi перетворення. Київ, 1997. 42 c. (Препр. / НАН України. Iн-т математики; 97.7).

10. Ленюк М.П., Мороз В.В. Про розвинення в ряд Фур'є вектор-функцiй. // Мат. наукової конференцiї викладачiв, спiвробiтникiв та студентiв, присвяченої 120-рiччю заснування Чернiвецького унiверситету, Чернiвцi, 1995. Т.2. – C.95.

11. Мороз В.В. Запровадження скiнченних гiбридних iнтегральних перетворень типу (Фур'є, Бесселя, Фур'є, ... Бесселя, Фур'є) // Матерiали Сьомої Мiжнародної конференцiї iм. академiка М.Кравчука. Київ, КПІ, 1998. С. 349.

12. Мороз В.В. Iнтегральнi перетворення, породженi диференцiальним оператором 2-го порядку з кусково-неперервними коефiцiєнтами // Cучаснi проблеми математики: Мат. Мiжн. наук. конф. Част. 2. Київ: Iн-т математики НАН України, 1998. C. 142144.

АНОТАЦIЇ

Мороз В.В. Запровадження скiнченних гiбридних iнтегральних перетворень. Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.02 диференціальні рівняння. Чернівецький державний унiверситет ім.Ю.Федьковича. Міністерство освіти України, Чернівці, 1999.

Запроваджено та математично обгрунтовано скiнченнi гiбриднi iнтегральнi перетворення на ()-складовому сегментi, породженi диференцiальними операторами штурма-лiувiллiвського типу. Застосовано одержані скiнченні гiбридні iнтегральні перетворення до розв'язання типових задач математичної фiзики неоднорiдних структур.

Ключові слова: скiнченнi гiбриднi iнтегральнi перетворення, дискретний спектр, спектральна функцiя, узагальнена самоспряженiсть, узагальнена ортогональнiсть.

Moroz V.V. Introduction of finite hybrid integral transforms. Manuscript.

Thesis for to obtaining of the degree of Candidate of Physics and Mathematics Sciences on speciality 01.01.02 Differential equations, 1999.

The finite hybrid integral transforms in reference to ()-constituent segment, that were born by differential operators of Shturma-Liuvill’s type, are introduced and substantiated mathematically in the thesis. The obtained finite hybrid integral transforms have been used for the solution on typycal problems of mathematical physics of non-gomogeneous structures.

Key words: finite hybrid integral transforms, discrete spectrum, spectral function, generalized self-conjugency, generalized orthogonality.

Мороз В.В. Введение конечных гибридных интегральных преобразований. Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 дифференциальные уравнения. Черновицкий государственный университет им. Ю.Федьковича. Министерство образования Украины, Черновцы, 1999.

Одним из эффективных методов решения задач математической физики является метод интегральных преобразований. Для решения линейных задач математической физики с непрерывными коэффициентами широко применяются классические интегральные преобразования Фурье, Ханкеля, Лежандра, Ермита, Вебера и др. В связи с широким применением композитных материалов в технике и технологиях возникла острая необходимость в построении таких интегральных преобразований, которые давали бы возможность алгебраизации дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными коэффициентами.

Это и определило направление диссертационной работы, посвященной построению и математическому обоснованию гибридных интегральных преобразований, порожденных на ()-составном сегменте гибридным дифференциальным оператором штурма-лиувилливского типа, и их применению к решению типичных задач математической физики неоднородных структур.

Научная новизна полученных в дисертации результатов сводится к следующему:–

найдены собственные элементы обобщенно самосопряженной задачи Штурма–Лиувилля на -составном сегменте для обычного дифференциального уравнения второго порядка с кусочно-неперерывными коэффициентами;–

изучены свойства собственных элементов задачи Штурма–Лиувилля: сформулирована и доказана теорема о дискретном спектре, теоремы об обобщенной ортогональности и полноте соответствующей ему системы собственных вектор-функций;–

сформулирован и доказан аналог теоремы Стеклова В.А. о разложении вектор-функции в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по системе собственных вектор-функций задачи Штурма–Лиувилля на кусочно-однородном сегменте;–

сформулирована и доказана теорема об основном тождестве интегрального преобразования гибридного диференциального оператора, что позволяет построить его алгебру и, следовательно, исключить из рассмотрения;–

получены асимптотические формулы и уравнения для собственных элементов задачи Штурма–Лиувилля на кусочно-однородном сегменте;–

введены всевозможные конечные гибридные интегральные преобразования с чередующимися на кусочно-однородном сегменте операторами Фурье и Бесселя;–

введенные конечные гибридные интегральные преобразования применены к решению типичных задач математического анализа и математической физики неоднородных сред:

а) задачи о суммировании полипараметрических функциональных рядов, содержащих тригонометрические функции и функции Бесселя;

б) задачи о структуре упругих полей, возникающих при кручении кусочно-однородного цилиндрического стержня в результате действия сосредоточенной осесимметричной нагрузки;

в) задачи о структуре нестационарных температурных полей возникающих в кусочно-однородной пластине в результате действия сосредоточенного на каждом участке теплового источника;

г) задачи о структуре волн, возникающих при колебании кусочно-однородой струны в результате действия на ее каждый участок возмущенных сил.

Ключевые слова: конечные гибридные интегральные преобразования, дискретный спектр, спектральная функция, обобщенная самосопряженность, обобщенная ортогональность.