НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ
Требенко Оксана Олександрівна
УДК 519.41/47
ГРУПИ ІЗ НАДДОПОВНЮВАНИМИ
І -СЕПАРУЮЧИМИ ПІДГРУПАМИ
01.01.06 ? алгебра і теорія чисел
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Київ ? 2007
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Інституті математики НАН України.
Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук,
старший науковий співробітник
ЧЕРНІКОВ Микола Сергійович,
Інститут математики НАН України,
провідний науковий співробітник
відділу алгебри.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор
ВЕДЕРНІКОВ Віктор Олександрович,
Московський міський педагогічний
університет (Росія), професор кафедри
алгебри, геометрії і методики їх викладання;
доктор фізико-математичних наук, професор
ПЕТРАВЧУК Анатолій Петрович,
Київський національний університет
імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри
алгебри та математичної логіки;
Захист відбудеться ``5 '' лютого 2008 р. о 1500 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.03 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.
З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.
Автореферат розісланий ``2 '' січня 2008 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради В.В. Сергейчук
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Вивчення будови і властивостей груп за заданими властивостями підгруп ? один із основних напрямків в теорії груп. Саме тут було отримано чимало фундаментальних результатів, що збагатили теорію груп відкриттям та описом багатьох конкретних видів груп. Такі дослідження було започатковано роботами Р.Дедекінда, Г.А.Міллера, Г.Морено і О.Ю.Шмідта. З'явившись в області скінченних груп і збагативши її істотними результатами, цей напрямок досліджень поширився потім і на нескінченні групи. При цьому було отримано багато важливих понять сучасної теорії груп, нові методи досліджень. Серед найбільш важливих об'єктів досліджень було виділено класи локально скінченних і бінарно скінченних груп, періодичних груп, локально розв'язних і локально нільпотентних груп, локально ступінчастих груп, класи Куроша-Чернікова. Вагомий внесок в розвиток цього напряму зробили С.І.Адян, Р.Бер, Б.А.Верфріц, Дж.Вільсон, Ю.М.Горчаков, В.М.Глушков, Р.І.Григорчук, І.І.Єрьомін, Д.І.Зайцев, М.І.Каргаполов, О.Кегель, А.Г.Курош, Л.А.Курдаченко, А.І.Мальцев, Ю.І.Мерзляков, А.Ю.Ольшанський, Б.І.Плоткін, Д.Ю.Робінсон, А.В.Рожков, А.І.Созутов, Я.П.Сисак, В.І.Сущанський, М.Томкінсон, Г.Хайнекен, Б.Хартлі, Ф.Холл, В.С.Чарін, М.С.Черніков, С.М.Черніков, В.П.Шунков та ін.
Велику роль для розвитку цього напрямку зіграли монографії А.Г.Куроша, С.М.Чернікова, Д.Ю.Робінсона, О.Г.Кегеля і Б.А.Верфриця, С.І.Адяна, А.Ю.Ольшанського, Ю.М.Горчакова. Слід також відзначити відомі монографії М.С.Чернікова, М.Томкінсона, Б.Амберга, С.Франсіозі і Ф.Джованні, нові монографії В.П.Шункова, В.І.Сєнашова і В.П.Шункова, А.М.Попова, А.І.Созутова і В.П.Шункова, що містять ряд фундаментальних результатів.
Численні результати в цьому напрямі пов'язані із групами, що мають широку в тому чи іншому розумінні систему доповнюваних підгруп. Тут вирізняються результати, одержані в школах С.М.Чернікова (Н.В.Чернікова, М.І.Каргаполов, Ю.М.Горчаков, А.П.Петравчук, Д.І.Зайцев, В.С.Чарін та ін.), В.П.Шункова (М.С.Черніков, Н.М.Сучков та ін.), К.Кристенсеном, А.С.Кондратьєвим, Л.С.Казаріним, В.А.Ведерніковим, В.С.Монаховим, М.Курціо, О.Бечтелом і ін. Нагадаємо, що підгрупа A групи називається доповнюваною в G, якщо в групі G існує така підгрупа B, що G=AB і . При цьому B називається доповненням до A в G. Накладання умови доповнюваності на підгрупи із тієї чи іншої достатньо широкої системи підгруп групи істотно впливає на будову групи та її властивості. Класичним прикладом тут є теорема Ф.Холла (1937) про розв'язність скінченної групи, в якій всі силовські примарні підгрупи мають доповнення. В зв'язку із цією теоремою виникло питання щодо вивчення скінченних груп, в яких доповнюються всі підгрупи. Ф.Холлом (1937) було одержано наступний критерій: в скінченній групі G кожна підгрупа має доповнення тоді і лише тоді, коли G є надрозв'язною групою з елементарними абелевими примарними підгрупами. Повний конструктивний опис груп, всі підгрупи яких доповнюються, було отримано значно пізніше Н.В.Черніковою (1953). В її роботах такі групи було названо цілком факторизованими.
В зв'язку із роботами Н.В.Чернікової і Ф.Холла в середині 50-х років ХХ ст. С.М.Черніковим було сформульовано загальну задачу вивчення груп з деякою заданою системою доповнюваних підгруп. Вивчались, зокрема, групи із доповнюваними абелевими (неабелевими, елементарними абелевими) підгрупами, нормальними (неінваріантними), нескінченними (нескінченними абелевими/неабелевими), примарними (непримарними, нормальними непримарними) підгрупами.
В 1973 р. виник новий підхід до узагальнення цілком факторизованих груп, пов'язаний з поняттям сепаруючої підгрупи, введеним С.М.Черніковим. Великі можливості цього нового напряму було продемонстровано в роботах М.С.Чернікова і С.О.Довженко, Д.Кеппіта, П.П.Баришовця, О.В.Співаковського та ін. Нагадаємо, що власна підгрупа групи називається C-сепаруючою, якщо кожна підгрупа групи G, що не міститься в підгрупі , доповнюється в групі G (С.М.Черніков). В роботах О.В.Співаковського та ін вивчались скінченні групи, що мають хоча б одну доповнювану в усій групі C-сепаруючу підгрупу. М.С.Черніков поставив автору загальну задачу щодо вивчення довільних груп із (необов'язково доповнюваною) -сепаруючою підгрупою.
Легко бачити, що для підгрупи K групи G, що не належить до C-сепаруючої підгрупи групи G, довільна підгрупа, яка містить K, має доповнення в G. У зв'язку з цим М.С.Черніков сформулював загальну задачу вивчення груп із деякою фіксованою підгрупою X такою, що кожна підгрупа групи G, яка містить X, доповнюється в G. Підгрупа X називається наддоповнюваною підгрупою групи G (В.А.Крекнін, 2005). В групі із C-сепаруючою підгрупою обов'язково знайдеться примарна циклічна наддоповнювана підгрупа. А тому автору була поставлена і більш конкретна задача: вивчення груп із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою. Розв'язанню поставлених задач присвячена дана дисертація.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відділі алгебри Інституту математики НАН України і пов'язана з науковими дослідженнями в рамках теми № 0101U000527 ``Теорія матричних задач як зображень маркованих колчанів і узагальнення розв'язних груп''.
Мета і завдання дослідження. Метою роботи є вивчення груп із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою та груп із C-сепаруючою підгрупою. Для реалізації даної мети було поставлено такі завдання:*
Дослідити примарні локально ступінчасті групи із наддоповнюваною циклічною підгрупою.
* Дослідити RN-групи з наддоповнюваною циклічною примарною підгрупою.
* Дослідити локально ступінчасті групи з C-сепаруючою підгрупою.
* Встановити взаємозв'язок між класом всіх груп із C-сепаруючою підгрупою і класом всіх груп із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою.
Об'єктом дослідження є групи із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою та групи із C-сепаруючою підгрупою.
Предметом дослідження є властивості груп із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою та груп із C-сепаруючою підгрупою.
Методи дослідження. В дисертації використовуються методи абстрактної теорії груп.
Наукова новизна одержаних результатів. Всі основні результати дисертації є новими. Найважливіші з них:
1. Встановлено, що примарна локально ступінчаста група із наддоповнюваною циклічною підгрупою є локально скінченною, майже елементарною абелевою і нільпотентною. Показано також, що вимога належності групи до класу локально ступінчастих груп є істотною.
2. Встановлено, що RN-група з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою (p ? просте) є локально скінченною, розв'язною, фінітно апроксимованою. Знайдено оцінку ступеня розв'язності такої групи в залежності від порядку наддоповнюваної циклічної підгрупи. Проведено дослідження її p-підгруп. Аналогічні результати отримано для періодичної локально ступінчастої групи без інволюцій, що має таку ж наддоповнювану підгрупу.
3. Доведено, що локально майже розв'язна група з C-сепаруючою підгрупою є локально скінченною і розв'язною.
4. Встановлено, що локально ступінчаста група з C-сепаруючою підгрупою є локально скінченною, розв'язною, фінітно апроксимованою. Проведено дослідження її примарних підгруп.
5. Показано, що клас всіх груп із C-сепаруючою підгрупою є власним підкласом класу всіх груп із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою.
Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані в дослідженнях з теорії груп, зокрема, при подальшому вивченні груп з тією чи іншою системою доповнюваних підгруп. Одержані результати також можуть бути використані при проведенні спецкурсів для студентів математичних спеціальностей університетів.
Особистий внесок здобувача. Всі результати, що ввійшли в дисертаційну роботу, одержані самостійно або за особистою участю автора. А саме: теореми 3.1, 3.3, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 5.2, 5.3 належать здобувачеві, теореми 3.2, 5.1, 5.4 отримано спільно із М.С.Черніковим при однаковому внеску співавторів, а теорему 3.4 ? спільно із В.А.Крекніним і М.С.Черніковим при однаковому внеску співавторів.
Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися і обговорювалися на:
* Семінарі відділу алгебри Інституту математики НАН України (керівник семінару ? д. ф.-м. н. проф. Ю.А.Дрозд);
* Семінарі ''Теорія груп'' Інституту математики НАН України (керівник семінару ? д. ф.-м. н. М.С.Черніков);
* Розширеному алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка, присвяченому 60-річчю професора В.І.Сущанського (27-29 грудня 2006 р.);
* Науковій конференції пам'яті д. ф.-м. наук, проф. С.С.Левіщенка (Національний педагогічний університет ім. М.П.Драгоманова, Київ, 2006 р.);
* Міжнародній науковій конференції ''Сучасні проблеми математики та її застосування у природничих науках та інформаційних технологіях'' (Харків, березень 2007);
* Міжнародній науково-практичній конференції ''Сучасні напрями теоретичних і прикладних досліджень '2007'' (Одеса, березень 2007);
* Конференції ''Групи і їхні дії'' (Бедлево (Польща), липень 2007);
* VI Міжнародній Алгебраїчній Конференції в Україні (Кам'янець-Подільський, липень 2007);
* Міжнародній Алгебраїчній Конференції ''Класи груп, алгебр і їх застосування'' (Гомель, липень 2007);
* Міжнародній конференції ''Алгебра і її застосування'' (Красноярськ, серпень 2007).
Публікації. Всі основні результати дисертаційної роботи опубліковано з повними доведеннями в чотирьох роботах [1?4] у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, а також в тезах і матеріалах наукових конференцій [5?12].
Структура і обсяг роботи. Робота складається зі Вступу, Розділів 1?5, Висновків і Списку використаних джерел, який містить 167 найменувань. Повний обсяг дисертації ? 135 сторінок, з яких Список використаних джерел займає 22 сторінки тексту.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У Вступі обґрунтовано актуальність дослідження і важливість питань, що розглядаються, сформульована мета досліджень, викладено зміст роботи.
Основна частина роботи складається з п'яти розділів. На початку кожного розділу, починаючи з Третього, подається короткий зміст підрозділів даного розділу.
У Розділі 1 дається огляд літератури, пов'язаної з тематикою досліджень, що проводяться здобувачем.
У Розділі 2 подано необхідні означення та деякі допоміжні результати.
У Розділі 3, що складається із трьох підрозділів, вивчаються примарні локально ступінчасті групи з наддоповнюваною циклічною підгрупою. Встановлено, зокрема, що такі групи є локально скінченними, нільпотентними, майже елементарними абелевими. Показано, що вимога належності групи G до класу локально ступінчастих груп є істотною.
Нагадаємо, що група називається локально ступінчастою, якщо кожна її неодинична скінченнопороджена підгрупа має підгрупу скінченного неодиничного індексу (С.М.Черніков, 1970). Клас локально ступінчастих груп дуже широкий. Всі локально скінченні, розв'язні і локально розв'язні, фінітно апроксимовані групи, лінійні, радикальні в сенсі Б.І.Плоткіна групи, RN-групи (а отже, і групи всіх класів Куроша-Чернікова) є локально ступінчастими.
У підрозділі 3.1 наведено основні леми, які використовуються у подальшому викладенні. Зокрема, встановлено замкненість класу груп із наддоповнюваною підгрупою X за підгрупами, що містять X, і за їх гомоморфними образами (леми 3.2, 3.3).
Вивченню властивостей примарної локально ступінчастої групи із наддоповнюваною циклічною підгрупою присвячено підрозділ 3.2. Основними його результатами є теореми 3.1 і 3.2.
Теорема 3.1. Нехай G ? локально ступінчаста p-група з наддоповнюваною підгрупою порядку . Тоді:
i. G ? локально скінченна.
ii. G містить нормальну елементарну абелеву підгрупу скінченного індексу, що ділить m!, для якої .
iii. G має скінченну експоненту.
iv. G ? нільпотентна.
В силу наступної теореми вимога належності групи G в теоремі 3.1 до класу локально ступінчастих груп є істотною.
Теорема 3.2. Для довільного достатньо великого простого p існує не локально ступінчаста 2-породжена p-група така, що A ? нескінченна проста група, всі власні підгрупи якої мають порядок p, і H ? наддоповнювана підгрупа порядку p групи G.
В підрозділі 3.2 встановлено також такий результат, що має самостійний інтерес.
Лема 3.4 Нехай n ? деяке натуральне число і нехай група G має деяку локальну систему скінченнопороджених підгруп F таких, що:
i. Фактор-група F/J(F) ? періодична.
ii. Якщо K ? нормальна підгрупа скінченного індексу групи F, то фактор-група F/K розв'язна і її ступінь розв'язності не перевищує n.
iii. Якщо K ? неодинична підгрупа скінченного індексу в F, то в K існує істинна підгрупа L скінченного індексу.
Тоді G ? розв'язна, локально скінченна і ступінь її розв'язності не перевищує n.
У підрозділі 3.3 встановлено, зокрема, метабелевість локально ступінчастої p-групи з наддоповнюваною циклічною підгрупою при , а також показано, що умова є істотною (див. далі теореми 3.3 і 3.4).
Теорема 3.3. Нехай p ? непарне просте число, G ? група і . Тоді наступні твердження еквівалентні:
i. G ? локально ступінчаста p-група з наддоповнюваною підгрупою .
ii. ? p-підгрупа, що має елементарне абелеве p-доповнення в G.
iii. ? p-підгрупа і в G існує елементарна абелева p-підгрупа B, така, що .
iv. ? наддоповнювана підгрупа групи G, і G ? нільпотентна метабелева локально скінченна p-група, що має нормальну елементарну абелеву підгрупу скінченного індексу.
Теорема 3.4. Для довільного натурального числа існує скінченна 2-група G з наддоповнюваною циклічною підгрупою, комутант якої неабелев і має клас нільпотентності l.
У Розділі 4, що складається із трьох підрозділів, досліджуються RN-групи з наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою. RN-групи складають дуже важливий і широкий підклас класу локально ступінчастих груп. Наприклад, до цього класу належать групи всіх класів груп Куроша-Чернікова, всі локально розв'язні та локально гіперабелеві групи, радикальні в сенсі Б.І.Плоткіна тощо.
У підрозділі 4.1 викладено попередні результати. Зокрема, показано, що примарні локально ступінчасті групи (а такі групи вивчались у попередньому розділі) є RN-групами (твердження 4.1). Доведено, що в групі із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою порядку m порядок довільної елементарної абелевої нормальної підгрупи обмежений деяким числом, що залежить тільки від m (твердження 4.1). А також доведено локальну скінченність локально розв'язної групи зі скінченною наддоповнюваною підгрупою (твердження 4.3).
У підрозділі 4.2 встановлено локальну скінченність, розв'язність та фінітну апроксимованість RN-групи з наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою і знайдено оцінку ступеня розв'язності такої групи (див. наступну теорему).
Теорема 4.1. Нехай G ? RN-група з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою порядку m. Тоді:
i. G ? розв'язна і локально скінченна.
ii. У випадках, коли , , і , для ступеня розв'язності d(G) групи G відповідно мають місце наступні нерівності: , , і (), де .
iii. G ? фінітно апроксимована.
В доведенні теореми 4.1 активно використовуються підходи із [3].
Із теореми 4.1 безпосередньо випливають наступні твердження.
Наслідок 4.1. Нехай G ? локально гіперабелева група з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою порядку m. Тоді справедливі твердження (i) ? (iii) із теореми 4.1.
Наслідок 4.2. Нехай G ? локально розв'язна група з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою порядку m. Тоді справедливі твердження (i) ? (iii) із теореми 4.1.
Наслідок 4.3. Нехай G ? радикальна в сенсі Б.І.Плоткіна група з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою порядку m. Тоді справедливі твердження (i) ? (iii) із теореми 4.1.
Аналогічні властивості мають місце для періодичної локально ступінчастої група без інволюцій (див. теорему 4.2).
Теорема 4.2. Нехай G ? періодична локально ступінчаста група з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою порядку m, причому . Тоді справедливі твердження (i) ? (iii) із теореми 4.1.
Із останньої теореми випливають такі твердження.
Наслідок 4.4. Нехай G ? локально скінченна група з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою порядку m, причому . Тоді G ? розв'язна і справедливі твердження (ii) та (iii) із теореми 4.1.
Наслідок 4.5. Нехай G ? періодична фінітно апроксимована група з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою порядку m, причому . Тоді справедливі твердження (i) та (ii) із теореми 4.1.
У підрозділі 4.3 проводиться дослідження p-підгруп RN-групи з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою (див. наступну теорему).
Теорема 4.3. Нехай G ? RN-група з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою . Тоді кожна p-підгрупа групи G нільпотентна, майже елементарна абелева і розв'язна ступеня . У випадку, коли , кожна p-підгрупа групи G є метабелевою.
Для періодичної локально ступінчастої групи без інволюцій отримано аналогічне твердження (див. наступну теорему).
Теорема 4.4. Нехай G ? періодична локально ступінчаста група з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою, причому . Тоді кожна p-підгрупа групи G метабелева, нільпотентна, майже елементарна абелева.
У Розділі 5, що складається із п'яти підрозділів, вивчаються локально ступінчасті групи з C-сепаруючою підгрупою. Встановлено властивості таких груп і проведено дослідження їх примарних підгруп. Встановлено взаємозв'язок між класом груп із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою і класом груп із C-сепаруючою підгрупою.
У підрозділі 5.1 доведено, зокрема, замкненість класу груп із C-сепаруючою підгрупою за підгрупами, що не містяться в ній (лема 5.1), і за гомоморфними образами (лема 5.2). Показано також, що перетин всіх підгруп , де H ? C-сепаруюча підгрупа групи G, а ? деякий автоморфізм групи G, є C-сепаруючою підгрупою групи G, фактор-група за якою є цілком факторизованою, а разом із тим, локально скінченною метабелевою (твердження 5.3).
У підрозділі 5.2 отримано таку теорему.
Теорема 5.1. Нехай G ? локально майже розв'язна група з C-сепаруючою підгрупою. Тоді G ? локально скінченна і локально розв'язна.
Теорема 5.1 істотно узагальнює таке твердження.
Наслідок 5.1. (В.А.Крекнін, О.В.Співаковський Крекнин В.А., Спиваковский А.В. Об одном классе групп, имеющем C-сепарирующие подгруппы // Укр. мат. журн. ? 1986. ? 38, №6. ? С. 729-733.). Скінченна група з C-сепаруючою підгрупою є розв'язною.
Зауважимо, що при доведенні теореми 5.1 не використовуються фундаментальні теореми теорії скінченних простих груп, що є істотним в роботі .
У підрозділі 5.3 вивчаються властивості локально ступінчастих груп із C-сепаруючою підгрупою. Основним його результатом є теорема.
Теорема 5.2. Нехай G ? локально ступінчаста група з C-сепаруючою підгрупою. Тоді:
i. G ? розв'язна і локально скінченна.
ii. G ? фінітно-апроксимована.
Безпосередньо із даної теореми випливають наслідки.
Наслідок 5.2. Локально скінченна група з C-сепаруючою підгрупою є розв'язною і фінітно апроксимованою.
Наслідок 5.3. Локально розв'язна група з C-сепаруючою підгрупою є розв'язною, локально скінченною і фінітно апроксимованою.
Наслідок 5.4. Фінітно апроксимована група з C-сепаруючою підгрупою є локально скінченною і розв'язною.
Наслідок 5.5. Лінійна група з C-сепаруючою підгрупою є локально скінченною, розв'язною і фінітно апроксимованою.
Наслідок 5.6. Радикальна в сенсі Б.І.Плоткіна група з C-сепаруючою підгрупою є локально скінченною, розв'язною і фінітно апроксимованою.
Нагадаємо, що W0-група ? це група, що має зростаючий нормальний ряд з майже локально нільпотентними факторами (Б.І.Плоткін).
Наслідок 5.7. W0-група з C-сепаруючою підгрупою є локально скінченною, розв'язною і фінітно апроксимованою.
У підрозділі 5.4 проведено дослідження примарних підгруп локально ступінчастої групи із C-сепаруючою підгрупою і отримано таку теорему.
Теорема 5.3. Нехай G ? локально ступінчаста група з C-сепаруючою підгрупою. Тоді знайдеться просте число p таке, що кожна p-підгрупа групи G є нільпотентною, майже елементарною абелевою і розв'язною ступеня , і для кожного простого кожна q-підгрупа групи G є елементарною абелевою.
У підрозділі 5.5 встановлено взаємозв'язок між класом груп із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою і класом груп із -сепаруючою підгрупою (див. теорему 5.4).
Теорема 5.4. Клас всіх груп із C-сепаруючою підгрупою є власним підкласом класу всіх груп із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою.
Автор висловлює глибоку вдячність своєму науковому керівнику д. ф.-м. н. М.С.Чернікову за постановку задач і наукове керівництво даною роботою.
ВИСНОВКИ
Дисертація присвячена дослідженню груп із наддоповнюваною підгрупою. Основні результати дисертаційної роботи можна підсумувати таким чином:
* Досліджено властивості примарної локально ступінчастої групи з наддоповнюваною циклічною підгрупою. Встановлено, що така група є локально скінченною, розв'язною, нільпотентною, майже елементарною абелевою. Показано, що вимога належності групи до класу локально ступінчастих груп є істотною.
* Досліджено властивості RN-групи з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою. Встановлено, що така група є локально скінченною, розв'язною і фінітно апроксимованою. Знайдено оцінку ступеня розв'язності такої групи в залежності від порядку наддоповнюваної підгрупи. Проведено дослідження її p-підгруп. Аналогічні результати отримано для періодичної локально ступінчастої групи без інволюцій.
* Досліджено властивості локально ступінчастої групи з C-сепаруючою підгрупою. Встановлено, що така група є локально скінченною, розв'язною і фінітно апроксимованою. Проведено дослідження примарних підгруп локально ступінчастої групи з C-сепаруючою підгрупою.
* Показано, що клас всіх груп із C-сепаруючою підгрупою є власним підкласом класу всіх груп із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
[1] Chernikov N.S., Kreknin V.A., Тrebenko O.O. A generalization of completely factorizable groups // Matematychni Studii. ? 2005. ? 23, №2. ? P. 129-135.
[2] Chernikov N.S., Тrebenko O.O. Groups in which all subgroups not contained in some proper fixed one are complemented // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. ? 2005. ? 2, №3. ? С. 273-278.
[3] Chernikov N.S., Тrebenko O.O. RN-groups with a supercomplemented cyclic p-subgroup // Bull. Univ. Kiev. Ser. Phys. Math. ? 2007. ? №1. ? P. 46-49.
[4] Тrebenko O.O. On groups with a supercomplemented subgroup // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. ? 2006. ? 3, №4. ? С. 153-164.
[5] Chernikov N.S., Trebenko O.O. RN-groups with supercomplemented p-subgroups // Тези наук. конф. пам'яті д. ф.-м. наук, проф. Левіщенка С.С. (Київ, 7 жовтня 2006 р.) ? Київ: Вид-во НПУ імені М.П.Драгоманова, 2006 р. ? С.58.
[6] Trebenko O.O. On groups with a supercomplemented primary cyclic subgroup // Сборник материалов Международной научной конференции ''Современные проблемы математики и ее приложения в естественных науках и информационных технологиях'' // Под ред. проф. Г.Н.Жолткевича. ? Харьков: ХНУ, 2007. ? С. 12-14.
[7] Trebenko O.O. On locally graded groups with a supercomplemented subgroup // Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции ''Современные направления теоретических и прикладных исследований '2007''. ? Том 21. Физика и математика, География, Геология. ? Одесса: Черноморье, 2007. ? С.52-53.
[8] Chernikov N.S., Trebenko O.O. Locally almost solvable groups with a C-separating subgroup // A conference ''Groups and Their Actions'' (Bedlewo, July 1--7, 2007). ? http://mat.polsl.pl/groups/abstracts.dvi. ? P.7.
[9] Trebenko O. On locally graded groups with a C-separating subgroup // Abstracts of Talks. VI International Algebraic Conference in Ukraine (Kamyanets-Podilsky, July 1?7, 2007). ? 2007. ? P. 201.
[10] Требенко О.А. Группы со сверхдополняемой подгруппой // Международная алгебраическая конференция ''Классы групп, алгебр и их приложения'', 9?11 июля 2007 г., посвященная 70-летию со дня рождения Л.А.Шеметкова: Тезисы докладов. ? Гомель: Гомельский гос. ун-т им. Ф.Скорины, 2007. ? С.128-129.
[11] Chernikov N.S., Trebenko O.O. Supercomplemented and -separating subgroups of the group // Международная алгебраическая конференция ''Классы групп, алгебр и их приложения'', 9?11 июля 2007 г., посвященная 70-летию со дня рождения Л.А.Шеметкова: Тезисы докладов. ? Гомель: Гомельский гос. ун-т им. Ф.Скорины, 2007. ? С.8-9.
[12] Требенко О.А. Обобщения вполне факторизуемых групп // Международная Конференция ''Алгебра и ее приложения'' (Красноярск, 12-18 августа 2007 г.), посвященная 75-летию со дня рождения проф. В.П.Шункова: Тезисы сообщений. ? 2007. ? С. 133-134.
АНОТАЦІЇ
ТРЕБЕНКО О.О. Групи із наддоповнюваними і C-сепаруючими підгрупами. ? Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.06 ? алгебра і теорія чисел. ? Інститут математики НАН України, Київ, 2007.
Досліджуються групи із наддоповнюваними і C-сепаруючими підгрупами. Встановлено, що локально ступінчаста p-група з наддоповнюваною циклічною підгрупою є локально скінченною, розв'язною, нільпотентною, майже елементарною абелевою. Показано, що при така група є метабелевою. Для кожного достатньо великого простого p побудовано приклад не локально ступінчастої (а разом з тим і нерозв'язної) p-групи із наддоповнюваною циклічною підгрупою.
Встановлено, що RN-група з наддоповнюваною циклічною p-підгрупою є локально скінченною, розв'язною і фінітно апроксимованою. Знайдено оцінку ступеня розв'язності такої групи в залежності від порядку наддоповнюваної підгрупи. Проведено дослідження її p-підгруп. Аналогічні результати отримано для періодичної локально ступінчастої групи без інволюцій.
Встановлено, що локально ступінчаста група з C-сепаруючою підгрупою є локально скінченною, розв'язною і фінітно апроксимованою. Проведено дослідження примарних підгруп локально ступінчастої групи з C-сепаруючою підгрупою.
Показано, що клас всіх груп із C-сепаруючою підгрупою є власним підкласом класу всіх груп із наддоповнюваною примарною циклічною підгрупою.
Ключові слова: наддоповнювана підгрупа, C-сепаруюча підгрупа, локально ступінчаста група, RN-група, примарна група.
ТРЕБЕНКО О.А. Группы со сверхдополняемыми и -сепарирующими подгруппами. ? Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 ? алгебра и теория чисел. ? Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.
Исследуются группы со сверхдополняемыми и C-сепарирующими подгруппами. Установлено, что локально ступенчатая p-группа со сверхдополняемой циклической подгруппой является локально конечной, разрешимой, нильпотентной, почти элементарной абелевой. Показано, что при такая группа ? метабелева. Для каждого достаточно большого простого p построен пример не локально ступенчатой (а вместе с тем и неразрешимой) p-группы со сверхдополняемой циклической подгруппой.
Установлено, что RN-группа со сверхдополняемой циклической p-подгруппой локально конечна, разрешима и финитно аппроксимируема. Найдена оценка ступени разрешимости такой группы в зависимости от порядка сверхдополняемой подгруппы. Проведено исследование ее p-подгрупп. Аналогичные результаты получены для периодической локально ступенчатой группы без инволюций.
Установлено, что локально ступенчатая группа с C-сепарирующей подгруппой локально конечна, разрешима и финитно аппроксимируема. Проведено исследование примарных подгрупп локально ступенчатой группы с C-сепарирующей подгруппой.
Показано, что класс всех групп с C-сепарирующей подгруппой является собственным подклассом класса всех групп со сверхдополняемой примарной циклической подгруппой.
Ключевые слова: сверхдополняемая подгруппа, C-сепарирующая подгруппа, локально ступенчатая группа, RN-группа, примарная группа.
TREBENKO O.O. Groups with supercomplemented and C-separating subgroups. ? Manuscript.
Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.06 ? Algebra and Number Theory. ? Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.
Groups with supercomplemented and C-separating subgroups are investigated. It is established that a locally graded p-group with a supercomplemented cyclic subgroup is locally finite, solvable, nilpotent and almost elementary abelian.
It is proved that for , such group G is metabelian. Moreover, it is shown that G may be presented in the form where and not necessarily or B is normal in G. The condition is essential as shows the example constructed.
The condition for the group to be locally graded is very essential. Indeed, for each sufficiently large prime p, an example of non-locally graded (and, at the same time, non-solvable) group of the form , where A is an infinite simple group with all proper subgroups of order p, H is a supercomplemented subgroup of order p and H acts on A regularly, is constructed.
It is established that an RN-group with a supercomplemented cyclic p-subgroup is locally finite, solvable and residually finite. An estimation of the derived length of such group depending on the order of the supercomplemented cyclic subgroup is found.
An investigation of p-subgroups of an RN -group with a supercomplemented cyclic p-subgroup is carried out. It is shown that each p-subgroup of such group is nilpotent, almost elementary abelian. It is established that the derived length of an arbitrary p-subgroup of such group does not exceed 3. Moreover, in the case , each its p-subgroup is metabelian.
For a periodic locally graded group without involutions similar results are obtained. It is shown that such group is locally finite, residually finite and solvable of the derived length depending on the order of the supercomplemented cyclic subgroup. Each its p-subgroup is metabelian, nilpotent, almost elementary abelian.
It is established that a locally graded group G with a C-separating subgroup is locally finite, solvable and residually finite. An investigation of its primary subgroups is carried out. It is proven that for some prime p, such group possesses a cyclic supercomplemented p-subgroup, each p-subgroup of G is nilpotent, almost elementary abelian and solvable of derived length , and each q-subgroup of G with is elementary abelian.
It is shown that the class of all groups with a C-separating subgroup is a proper subclass of the class of all groups with a supercomplemented primary cyclic subgroup.
Keywords: supercomplemented subgroup, C-separating subgroup, locally graded group, RN-group, primary group.
Підписано до друку 26.12. 2007. Формат 60x84/16. Папір офс. Офс. друк.
Фіз. друк. арк. 1,5. Умов. друк. арк. 1,4.
Тираж 100 пр. Зам. 298.
Інститут математики НАН України,
01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.