НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Торба Сергій Миколайович

УДК 517.518.832/.984.46

Операторний підхід до прямих і обернених

теорем теорії наближень

01.01.01 — математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Горбачук Мирослав Львович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу диференціальних рівнянь

з частинними похідними.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Макаров Володимир Леонідович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу обчислювальної математики;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Кашпіровський Олексій Іванович,

Національний університет "Києво-Могилянська академія",

доцент кафедри математики

Захист відбудеться “15” січня 2008 р. о 15 годині на засі-данні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “10” грудня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.

загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Дослідження прямих та обернених теорем починається з робіт 1910–1912 років Валле Пуссена, Джексона, Бернштейна та інших. Вони були продовжені багатьма вченими (Н.І. Ахієзер, М.Г. Крейн, Ж. Фавар, Б.В. Стєчкін, С.М. Нікольський, А.Ф. Тіман, А. Зігмунд, В.К. Дзядик). Ще й досі в теорії наближень залишається багато важливих і не розв’язаних задач, зокрема таких, як поширення прямих та обернених теорем на нові класи функцій та встановлення найкращих значень сталих у відповідних нерівностях.

У 1968 році М.П. Купцов запропонував узагальнення класичних модуля неперервності та модуля гладкості, використовуючи поняття С0-групи операторів, а в 1975 році О.П. Терьохін довів прямі та обернені теореми теорії наближень, беручи замість оператора диференціювання генератор ізометричної групи у банаховому просторі.

М.Л. Горбачуком (1993р.) був запропонований операторний підхід до задач наближення, який дав змогу з єдиної точки зору не тільки отримати чимало класичних прямих та обернених теорем, але й розширити їх клас.

Відкритим залишалося питання поєднання запропонованого М.П. Купцовим модуля неперервності з підходом М.Л. Горбачука та узагальнення результатів на максимально широкий клас С0-груп (не обов’язково ізометричних) у банаховому просторі. В цій роботі за такий клас груп взято досить широкий клас, а саме неквазіаналітичні групи, і за допомогою побудованого Ю.І. Любичем та В.І. Мацаєвим апарату спектральних підпросторів отримано аналоги класичних прямих та обернених теорем для генератора неквазіаналітичної групи в банаховому просторі.

Багато задач математичної фізики зводиться до розв’язання диференціально-операторного рівняння х' + Ах = 0. Точний розв’язок цього рівняння записується за допомогою еволюційної півгрупи, але її точне визначення в багатьох випадках важке або взагалі неможливе. Тому побудова наближень цієї півгрупи та дослідження швидкості їх збіжності до точного розв’язку є актуальною задачею.

Розв’язанню цієї задачі присвячено багато праць, зокрема М.Л. Горбачук та В.В. Городецький (1984р.) побудовали поліноміально-операторні наближення півгрупи U(t) = e-tA на основі розкладу експоненти за поліномами Лагерра. Експоненціально збіжні наближення розв’язків рівняння х' + Ах = 0 знайдено О.І. Кашпіровським та Ю.В. Митником (1998 та 2002рр.).

В роботах І.П. Гаврилюка, В.Л. Макарова та їх учнів (1994–2006рр.) запропоновано й розвинуто, використовуючи також розклад експоненти за поліномами Лагерра, інший метод наближення розв’язків розглядуваного рівняння, відомий як метод перетворення Келі, а для інтегральної похибки наближення знайдено оцінки, дуже близькі до точних. Але залишилося відкритим питання знаходження точних апріорних оцінок цієї похибки, що рівносильно установленню прямих і обернених теорем для методу перетворення Келі. Відповідь на це питання також дається в дисертації.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась відповідно до загального плану досліджень відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними Інституту математики НАН України в рамках науково-дослідницької теми “Теорія диференціально-операторних рівнянь над архімедовими та неархімедовими полями” (№ державного замовлення 0106U000431).

Мета і завдання дослідження. Мета роботи — з єдиної операторної точки зору дослідити прямі та обернені теореми теорії наближень; встановити аналоги нерівностей Джексона і Бернштейна і на їх основі довести прямі й обернені теореми теорії наближень, використовуючи запропоновані М. П. Купцовим узагальнення модулів неперервності, побудовані на понятті C0-групи, та цілі вектори експоненціального типу як об’єкти, за допомогою яких наближається довільний вектор гільбертового або банахового простору; поширити результати на максимально широкий клас C0 -груп та застосувати одержані теореми до методу наближення Рітца; а також довести прямі та обернені теореми у випадку наближеного розв’язання задачі Коші для диференціально-операторних рівнянь методом перетворення Келі.

Робота виконана за допомогою апарату операційного числення для самоспряженого оператора, методів теорії функцій комплексної змінної та апарату спектральних підпросторів неквазіаналітичних операторів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Для довільного самоспряженого оператора в гільбертовому просторі одержано прямі та обернені теореми, що відображають зв’язок між степенем гладкості вектора відносно оператора, k-м модулем гладкості та швидкістю прямування до нуля найкращого наближення цілими векторами експоненціального типу; доведено непокращуваність сталих, що фігурують у нерівностях типу Джексона, встановлено аналог нерівності Бернштейна–Нікольського.

2. Одержані прямі і обернені теореми застосовано до знаходження точних апріорних оцінок похибки наближення розв’язків операторних рівнянь методом Рітца.

3. Для неквазіаналітичних операторів у банаховому просторі з’ясовано зв’язок цілих векторів експоненціального типу зі спектральними підпросторами таких операторів, побудовано новий клас інтегральних ядер наближення, за допомогою якого отримано пряму теорему наближення (нерівність типу Джексона); доведено аналоги нерівності Бернштейна й обернену теорему наближення.

4. Одержані прямі та обернені теореми в банаховому просторі застосовано до задач наближення цілими функціями у просторах Lp(R,µ) з вагою, що зростає на нескінченності.

5. Для інтегральної оцінки швидкості збіжності методу наближеного розв’язання операторного рівняння першого порядку в гільбертовому просторі встановлено непокращувану (за порядком) оцінку, а також знайдено найкраще значення сталої у відповідній нерівності; доведено обернену теорему наближення та досліджено необхідність умов в її формулюванні.

6. Дано характеризацію початкових векторів задачі Коші нескінченної гладкості класів Жевре в термінах швидкості збіжності інтегральної нев’язки наближеного розв’язку цієї задачі.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота є теоретичного характеру. Цінність одержаних результатів полягає у розвитку єдиного операторного підходу до задач теорії наближень та поширенні і узагальненні класичних результатів з наближення тригонометричними та алгебраїчними поліномами на наближення векторів банахового простору цілими векторами експоненціального типу неквазіаналітичного оператору. Одержані в дисертації результати мають і практичну цінність, оскільки можуть бути використані при розв’язуванні конкретних початково-крайових задач для параболічних рівнянь математичної фізики, які допускають абстрактну операторно-диференціальну постановку.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що виносяться на захист, одержано автором особисто. У спільних працях співавторам належить постановка проблем, обговорення ідей і підходів, аналіз доведених тверджень і прикладів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на семінарах відділу диференціальних рівнянь з частинними похідними Інституту математики НАН України, київського семінару з функціонального аналізу (керівники: академік НАН України Березанський Ю.М., член-кореспондент НАН України Горбачук М.Л., член-кореспондент НАН України Самойленко Ю.С.), а також на конференціях:

· Шістнадцята Кримська осіння математична школа-симпозіум КРОМШ-2005 (Крим, Ласпі-Батиліман, 17–29 вересня 2005р.).

· Міжнародна конференція "‘Сучасний аналіз та застосування (MAA 2007)"’, присвячена сторіччю з дня народження М.Г. Крейна (Одеса, 9–14 квітня 2007р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 5 працях, із них: у фахових наукових журналах — 4, у збірнику тез доповідей — 1.

Структура й об’єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 74 найменування.

Загальний обсяг роботи — 117 сторінок друкованого тексту.

основний зміст

У першому розділі зроблено стислий огляд розвитку прямих та обернених теорем теорії наближень та стану сучасних досліджень в цій галузі.

Розділи 2 та 3 присвячені дослідженню наближень векторів гільбертових та банахових просторів цілими векторами експоненціального типу оператора A, який є генератором C0-групи. Класичні прямі та обернені теореми цієї теорії базуються на поняттях найкращого наближення поліномами (алгебраїчними або тригонометричними) та понятті модуля неперервності. Наведемо операторні узагальнення цих понять.

Нехай A — замкнений лінійний оператор зі щільною областю визначення D(A) у банаховому просторі (X, ¦·¦) над полем комплексних чисел, крім того, i A є генератором C0 -групи U(t).

Позначимо через C?(A) множину всіх нескінченно диференційовних векторів оператора A:

Для числа > 0 покладемо:

,

Елементи простору E(A) називаються цілими векторами експоненціального типу оператора A. Під типом (x,A) вектора xE(A) розумітимемо число

Для довільного xX покладемо

тобто Er(x,A) — найкраще наближення елемента x цілими векторами y експоненціального типу оператора A, для яких (y,A)r. При фіксованому x Er(x,A) не зростає, при цьому Er(x,A) > 0, r, для довільного xX тоді і тільки тоді, коли множина E(A) цілих векторів експоненціального типу оператора A є щільною в X.

Для xX, tR+=(0,) та kN визначимо узагальнені модулі гладкості як

де

Якщо A — оператор диференціювання, то група U(t) є групою зсувів, а цілі вектори експоненціального типу в цьому випадку є тригонометричними поліномами.

В теорії наближення природно виникає питання знаходження класу операторів A, для яких множина цілих векторів експоненціального типу є щільною. Таким класом є клас неквазіаналітичних операторів. Група U(t), породжена оператором A з цього класу, задовольняє умову

| (1)

Умова (1) близька до необхідної.

Для побудови наближень вводиться клас інтегральних ядер, який узагальнює класичні ядра наближення, такі як

та .

Позначимо через A клас функцій a : R R, що задовольняють такі умови:

(I) б() є вимірною і обмеженою на довільному відрізку [-T,T] R;

(II) б(t) > 0 t R;

(III) a(t1 + t2) ? a(t1) a(t2), t1,t2R;

(IV) .

Згадані вище ядра мають вигляд

де | (2) | (3) | а Qk — послідовність додатних чисел, така, що ряд є збіжним і Qn>?, n>?, S вибирається так, щоб задовольняти умові = 1.

Наступні дві леми характеризують побудовані інтегральні ядра.

Лема 3.1. Нехай aA. Тоді функція Kб: CC вигляду (2) задовольняє властивості:

1) Kб(t) ? 0, t R;

2) ;

3)

Покладемо

K,r(z):=rK(rz), z C, r (0,?).

Лема 3.2. Для довільного r(0,?) існує константа така, що для всіх nN має місце нерівність

, tR.

За допомогою ядра Kб,r будується лінійний оператор наближення

,

що діє на всьому X. Його значення є цілими векторами експоненціального типу, що не перевищує r і дають змогу встановити нерівності типу Джексона (прямі теореми наближень).

Теорема 3.1. Нехай група {U(t) : tR} задовольняє умову (1). Тоді для довільного kN існує константа mk = mk(A) > 0, така, що для всіх xX має місце нерівність

Наслідок 3.1. Нехай xD(Am), mN0. Тоді для довільного kN0

де MU(t)=sup-t r t||U(r)||, константи mn (nN) ті ж самі, що й в теоремі 3.1.

Наслідок 3.2. Нехай xD(Am), mN0. Тоді

де константи mn (nN) ті ж самі, що й в теоремі 3.1.

Через L() позначається побудований Ю.І. Любічем та В.І. Мацаєвим спектральний підпростір оператора A. Спектральні підпростори визначені для всіх сегментів ? дійсної вісі і характеризуються такими властивостями:

1) Оператор A визначений на всьому L() і обмежений на ньому;

2) L() інваріантний відносно A;

3) спектр частини A? оператора A, індукованої в L(), складається з перетину спектра оператора A з внутрішністю сегмента ? і, можливо, кінців сегмента ?. При цьому, якщо кінець сегмента ? не входить у спектр оператора A, то він не входить у спектр оператора A?;

4) якщо деякий підпростір L, на якому оператор A визначений всюди та обмежений, інваріантний відносно A і при цьому спектр індукованої в L частини оператора A входить в ?, то LL().

Наступна лема установлює зв’язок між спектральними підпросторами оператора A та його цілими векторами експоненціального типу.

Лема 3.3. Для довільного a>0 виконується

де через a(A) позначено множину цілих векторів експоненціального типу оператора A, тип яких не перевищує a.

Лема 3.3 дає змогу використати апарат спектральних підпросторів для дослідження наближень. За допомогою цього апарату в роботі отримано аналог нерівності Бернштейна та обернену теорему теорії наближень.

Теорема 3.2 (аналог нерівності Бернштейна). Для довільного xE(A), тип якого не перевищує деякого числа a ? 1, має місце нерівність

||Anx|| cnan||x||,

де стала cn не залежить від x та a і зростає повільніше за експоненту, тобто для довільного > 0 знайдеться така стала cє, що cn ? cє(1+) для всіх натуральних n.

Теорема 3.3 (обернена теорема). Нехай щ(t) — функція типу модуля неперервності, тобто:

1) щ(t) є неперервною і неспадною при tR+;

2) щ(0)= 0;

3) с>0 t[0,1] (2t) c(t).

Крім того, нехай виконується умова

4) .

Якщо для вектора xX існують nN та m > 0 такі, що

то xD(An) і для кожного kN існує стала mk > 0 така, що

У гільбертовому просторі результати теорем 3.1, 3.2 та 3.3 покращено. Знайдено точні значення відповідних сталих, результати поширено на вектори нескінченної гладкості.

Для зростаючої послідовності чисел {mn} позначимо через простір нескінченно диференційовних векторів x оператора A, для яких

і покладемо . Один із підходів до вивчення просторів , де A є самоспряженим оператором у гільбертовому просторі, базується на теоремі типу Пелі Вінера, яка асоціює вивчення просторів з дослідженням просторів D(G(A)), де функція G() пов’язана з {mn} формулою.

В роботі отримано низку результатів, що покращують теорему 3.1 і узагальнюють класичні нерівності типу Джексона та результати Черниха М.І., а саме установлені наступні твердження.

Теорема 2.1. Нехай G()— невід’ємна парна функція на R, неспадна на R+. Тоді для довільного xD(G(A)) та для всіх kN, r > 0

(4) | причому для довільних kN та r>k існують оператор Ar та вектор xrD(G(Ar)) такі, що друга нерівність у (4) перетворюється на рівність.

Наслідок 2.5. Нехай G(л) задовольняє умови теореми 2.1. Тоді для довільного xD(G(A)), xKerA, та для будь-якого kN

(5) | Зауважимо, що стала в (5) із наслідку 2.5 не може бути покращеною.

При G(A)=||m, R, m>0, має місце

Наслідок 2.6. Якщо m > 0, то для xD(|A|m) і kN

Наступна лема встановлює точне значення сталої cn в теоремі 3.2 і аналогом результату Бернштейна–Нікольського.

Лема 2.1. Нехай G(л) задовольняє умови теореми 2.1. Нехай також xE(A) і (x,A).. Тоді

Для покращення результатів теореми 3.3 розглянемо деяку парну, неперервну, монотонно зростаюча при л > 0 функцію G(л). Нехай — монотонна послідовність додатних чисел, така, що

| (6) | і деяка послідовність чисел , така, що

1) 0=0;

2) n+1 > n, nN0, n, n;

3) .

Тоді вірною є така

Теорема 2.4. Нехай для вектора xH, деякої послідовності чисел , яка задовольняє (6) та послідовності , що задовольняє умови 1) – 3), виконується нерівність

.

Тоді xD(G(A)).

Умови теореми 2.4 близькі до необхідних. Якщо припустити, що послідовність додатних чисел є такою, що

1) cn+1>cn, nN0, cn, n;

2) ;

3)

то існують самоспряжений оператор A і вектор x0D(G(A)), для яких

Теорема 2.4 дає змогу отримати обернені теореми для наближень гладких векторів.

Наслідок 2.8. Нехай для вектора x і деякої сталої m > 0 має місце нерівність

Тоді xD(An).

Наслідок 2.8. Нехай для вектора x і деяких сталих m > 0, c > 0

Тоді, де.

Наведемо застосування одержаних результатів до наближеного розв’язання операторних рівнянь методом Рітца. Розглянемо рівняння

Ax = y, | (7) | де A — додатно визначений самоспряжений оператор з дискретним спектром в гільбертовому просторі H, yH, xD(A) — шуканий розв’язок рівняння (7). Через H+ позначимо поповнення множини D(A) за нормою ||·||+, породженою скалярним добутком

(x,y)+ = (Ax,y).

За умов на оператор A, зазначених вище, рівняння (7) має єдиний розв’язок xD(A) і, згідно з принципом Діріхле, знаходження цього розв’язку еквівалентне відшуканню вектора uD(A), на якому функціонал

заданий на D(A), досягає свого мінімуму. Нехай — повна лінійно незалежна система векторів із D(A) (так звана координатна система), і

Позначимо через xn вектор, на якому F(z) набуває мінімального значення на Hn. Вектор xn називається наближеним за Рітцом розв’язком рівняння (7).

Якщо координатну систему вибрати так, щоб вона утворювала ортонормований власний базис деякого самоспряженого додатно визначеного оператора B, спорідненого з A в тому розумінні, що D(A) = D(B), то нев’язка.

Мають місце теореми.

Теорема 2.6. Якщо xD(B), 1, то для будь-якого kN

де — власні значення оператора B.

Теорема 2.7. Нехай щ(t) задовольняє умови теореми 2.3. Якщо для xD(B), nN, 1 виконується нерівність

то xD(B).

У четвертому розділі дисертації розглядається задача Коші для операторного рівняння

(8) | де A — самоспряжений додатно визначений оператор (A?гI, г > 0) у гільбетровому просторі H. Розв’язок цієї задачі має вигляд

Розклад експоненти в ряд за ортогональними поліномами Лагерра Ln та операторне числення для самоспряженого оператора A дозволяє записати формальний вираз для операторної експоненти

(9) |

що діє в H.

Розглянемо точний розв’язок

(10) |

і за наближення використаємо частинну суму ряду (10)

(11) |

Вираз (11) можна інтерпретувати наступним чином: розглядається послідовність стаціонарних задач

завдяки чому нестаціонарне рівняння (8) “дискретизується” і зводиться до послідовності стаціонарних рівнянь з незмінними правою та лівою частинами, і за їх допомогою виписується наближений розв’язок

(12) |

Основна властивість многочленів Лагерра — їх ортогональність у просторі L2 з вагою e-t, t > 0. Відповідно, розглядається інтегральна нев’язка наближення

(13) |

Припустимо, що вектор x0 має деякий степінь гладкості відносно оператора A. Тоді стверджується наступне твердження.

Теорема 4.1. Нехай x0D(A), 0. Тоді

(14) |

Теорема 4.1 покращує результат, наведений в монографії І.П. Гаврилюка та В.Л. Макарова, завдяки знаходженню точної сталої у (14).

Розглянемо послідовність дійсних чисел, для якої

1) cN > 0;

2) cN — монотонно зростають (не спадають);

3) .

Такими послідовностями є, наприклад, та інші. Має місце

Теорема 4.4. Нехай для деякого x0H, послідовності, що задовольняє умови (1)-(3), та деякого > 0 виконується нерівність

Тоді x0D(A).

Показано також, що умова (3) на послідовність є близькою до необхідної, тобто у разі розбіжності ряду, можна побудувати приклад оператора A та вектора x0, для яких x0D(A).

Для векторів нескінченної гладкості з просторів G{в}, в ? 0, та G(в), в > 0, доведено прямі та обернені теореми, які дають характеризацію відповідних класів у термінах швидкості прямування до нуля інтегральної нев’язки.

Наслідок 4.1. Наближення xN(t) має експоненціальну швидкість збіжності у середньому до x(t) тоді і лише тоді, коли x0 є цілим вектором експоненціального типу оператора A.

Теорема 4.7. Включення x0G{в}(A) має місце тоді і тільки тоді, коли існують сталі c > 0, c’ > 0, такі, що

Включення x0G(в)(A) справджується тоді і тільки тоді, коли для довільного c > 0 знайдеться стала така, що

Висновки

В першому розділі дисертаційної роботи зроблено огляд літератури за темою дисертації. Другий та третій розділ містять результати досліджень з апроксимації векторів банахового простору цілими векторами експоненціального типу неквазіаналітичного оператора. Четвертий розділ присвячено дослідженню швидкості збіжності наближеного методу розв’язання операторної задачі Коші, в основі якого лежить розклад експоненти в ряд за поліномами Лагерра. Отримано такі результати.

1. Для самоспряженого оператора в гільбертовому просторі встановлено прямі та обернені теореми для векторів як скіннченої, так і нескінченної гладкості; результати застосовано до наближеного розв’язання операторних рівнянь методом Рітца.

2. Для неквазіаналітичного оператора в банаховому просторі встановлено прямі та обернені теореми для векторів скінченної гладкості; отримані результати застосовано до наближень у просторах Lp з вагою на прямій та до наближень в Lp(Rm).

3. Для наближеного розв’язування операторної задачі Коші одержано прямі та обернені теореми для інтегральної нев’язки як у випадку початкових векторів скінченної гладкості, так і у випадку початкових даних з класів Жевре типу Рум’є та Бьорлінга.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Горбачук М.Л., Грушка Я.І., Торба С.М. Прямі й обернені теореми в теорії наближень в гільбертовому просторі // Доп. НАН України. – 2004. – №9. – С. 20-25.

2. Горбачук М.Л., Грушка Я.І., Торба С.М. Прямі й обернені теореми в теорії наближень методом Рітца // Укр. мат. журн. – 2005. – Т. 57, №5. – С. 633-643.

3. Торба С.М. Прямі та обернені теореми наближених методів розв’язування абстрактної задачі Коші // Укр. мат. журн. – 2007. – Т. 59, №6. – С. 838-852.

4. Grushka Ya., Torba S. Direct Theorems in the Theory of Approximation of Banach Space Vectors by Exponential Type Entire Vectors // Methods Funct. Anal. Topology. – 2007. – Vol. 11, №3. – P. 267-278.

5. Grushka Ya., Torba S. Direct Theorems in the Theory of Approximation of the Banach Space Vectors by Entire Vectors of Exponential Type // International Conference “Modern Analysis and Applications” dedicated to the centenary of Mark Krein (Odessa, April 9-14, 2007): Book of abstracts. – 2007. – P. 56-57.

Автор щиро вдячний науковому керівникові М. Л. Горбачуку за постановку задач, постійну увагу до роботи, корисні поради і продуктивне обговорення.

Анотації

Торба С.М. Операторний підхід до прямих і обернених теорем теорії наближень — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 — математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена прямим та оберненим теоремам теорії наближень векторів банахового простору цілими векторами експоненціального типу необмеженого оператора, який є генератором неквазіаналітичної C0-групи, оцінкам похибки наближених розв’язків задачі Коші для диференціально-операторних рівнянь методом Келі.

В роботі для довільного самоспряженого оператора в гільбертовому просторі одержано прямі та обернені теореми, що відображають зв’язок між степенем гладкості вектора відносно оператора, k-м модулем гладкості та швидкістю прямування до нуля найкращого наближення цілими векторами експоненціального типу; доведено непокращуваність сталих, що фігурують у нерівностях типу Джексона, встановлено аналог нерівності Бернштейна–Нікольського. Для неквазіаналітичних операторів у банаховому просторі з’ясовано зв’язок цілих векторів експоненціального типу зі спектральними підпросторами таких операторів, побудовано новий клас інтегральних ядер наближення, за допомогою якого отримано пряму теорему наближення (нерівність типу Джексона); доведено аналоги нерівності Бернштейна й обернену теорему наближення. Отримано нові прямі та обернені теореми для наближень неперервних функцій на прямій цілими функціями першого роду в просторах Lp з вагою. Досліджено швидкість збіжності наближених розв’язків операторних рівнянь методом Рітца та диференціально-операторних рівнянь методом Келі.

Ключові слова: прямі та обернені теореми, нерівності Джексона та Бернштейна, неквазіаналітичні оператори, точність методу, найкращі сталі.

Торба С.Н. Операторный подход к прямым и обратным теоремам теории приближений. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 — математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена прямым и обратным теоремам теории приближений векторов банахового пространства целыми векторами экспоненциального типа неограниченного оператора, который генерирует неквазианалитическую C0-группу, оценке ошибки приближенных решений задачи Коши для дифференциально-операторных уравнений методом Кэли.

В конструктивной теории функций известны прямые и обратные теоремы для приближения периодических функций на отрезке тригонометрическими полиномами, непрерывных на отрезке функций — алгебраическими многочленами, ограниченных на прямой функций — целыми функциями экспоненциального типа. Цель диссертационной работы состоит в дальнейшем развитии подхода к получению таких теорем с единой (операторной) точки зрения и его применению к получению оценок точности приближения решений операторных и дифференциально-операторных уравнений соответственно методом Ритца и методом преобразования Кэли.

В работе для произвольного самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве получены прямые и обратные теоремы, устанавливающие связь между степенью гладкости вектора относительно оператора, k-м модулем гладкости и скоростью стремления к нулю наилучшего приближения целыми векторами экспоненциального типа; доказана неулучшаемость постоянных, которые фигурируют в неравенствах типа Джексона, получен аналог неравенства Бернштейна–Никольского. Для неквазианалитических операторов в банаховом пространстве установлена связь целых векторов экспоненциального типа со спектральными подпространствами таких операторов, построен новый класс интегральных ядер приближения, при помощи которого получена прямая теорема приближения (неравенство типа Джексона); доказаны аналоги неравенства Бернштейна и обратная теорема приближения. Получены новые прямые и обратные теоремы для приближений непрерывных функций на прямой целыми функциями первого рода в пространствах Lp с весом, который растет на бесконечности.

Найдены точные априорные оценки ошибки приближения решений операторных уравнений в гильбертовом пространстве методом Ритца. Исследована скорость сходимости приближенного решения задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения первого порядка в гильбертовом пространстве методом Кэли. Для интегральной оценки скорости сходимости приближенного метода установлена неулучшаемая (относительно порядка) оценка, также найдено наилучшее значение постоянной в соответствующем неравенстве; доказана обратная теорема приближения и исследована необходимость условий в ее формулировке. Дана характеризация начальных векторов задачи Коши бесконечной гладкости класса Жевре в терминах скорости сходимости интегральной невязки приближенного решения этой задачи.

Ключевые слова: прямые и обратные теоремы, неравенства Джексона и Бернштейна, неквазианалитические операторы, точность метода, наилучшие константы.

Torba S.M. An operator approach to the direct and inverse theorems of the approximation theory — Manuscript.

Thesis for the Candidate degree by speciality 01.01.01 — mathematical analysis. Institute of Mathematics of the National Academy of Ukraine, Kyiv, 2007.

The thesis is devoted to the investigation of the direct and inverse theorems of the approximation theory of the Banach space vectors by exponential type entire vectors of some non-quasianalytic unbounded operator which is the generator of a C0-group, to the accuracy estimates of approximate solving of Caushy problem for differential-operator equations by Cayley method.

In the thesis for arbitrary self-adjoint operator in the Hilbert space direct and inverse theorems representing the relation between the vector degree of smoothness respect to the operator, k-th modulus of continuity and the convergence rate of the best approximation by exponential type entire vectors, are obtained; unimprovability of Jackson-type inequality constants is proved, analogues of the Bernstein inequalities are established. For the non-quasianalytic operators in the Banach space the connection between exponential type entire vectors and spectral subspaces of such operators is determined, new class of integration kernels are constructed, with the help of it direct theorem of approximation (Jackson-type inequality) is obtained; analogues of the Bernstein inequality and inverse theorem are proved. New direct and inverse theorems for approximation of the continuous functions by entire function of order 1 in the weighted Lp are obtained. The rate of convergence of approximate solutions of the operator equations by Rietz method and of the differential-operator equations by Cayley method is investigated.

Key words: direct and inverse theorems, Jackson and Bernstein-type inequalities, non-quasianalytic operators, accuracy order, unimprovable constants.