Київський університет імені Тараса Шевченка

НОВІКОВ Борис Володимирович

УДК 512.664.4

КОГОМОЛОГІЇ НАПІВГРУП–-

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ-1999

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Харківському державному університеті

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

МІХАЛЬОВ Олександр Васильович, професор, проректор, Московський державний університет

ім. М. В. Ломоносова, м. Москва

доктор фізико-математичних наук,

ПОНІЗОВСЬКИЙ Іосиф Соломонович, професор кафедри вищої математики, Російський державний гідрометеорологічний університет, м. Санкт-Петербург

доктор фізико-математичних наук,

ПРОТАСОВ Ігор Володимирович, професор кафедри дослідження операцій, Київський університет імені Тараса Шевченка, м. Київ

Провідна установа: Львівський державний університет ім. І. Франка,

м. Львів

Захист відбудеться 30.08.1999 р. о 14-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою 252127, м. Київ-127, проспект акад. Глушкова, 6, Київський університет ім. Т.Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці університету за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 14.07.1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради КИРИЧЕНКО В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Методи гомологічної алгебри протягом майже півсторіччя успішно використовуються для розв’язання задач у різноманітних розділах математики. Класичним прикладом є використання когомологій фундаментальних груп топологічних просторів в алгебраїчній топології. Необхідно відзначити також піонерські роботи

Д. К. Фаддєєва по побудові когомологій груп як апарата для дослідження поширень груп.

З когомологіями напівгруп справа обстоїть інакше. Хоча вони розглядалися вже А. Картаном і С. Ейленбергом у "Гомологічній алгебрі " (і навіть раніше – у статтях С. Ейленберга і С. Маклейна 1945 – 51 рр.), але вони не залучали до себе серйозної уваги алгебраїстів. Це викликано в першу чергу тим, що шрайерові поширення, пов'язані з 2- і 3-вимірними когомологіями Ейленберга – Маклейна (надалі ми будемо називати їх ЕМ-когомологіями), не грають такої ролі при дослідженні побудови напівгруп, як у теорії груп. Пізніше з’явився ряд робіт ([15 – 17] та ін.), у яких по різноманітних (нешрайерових) типах поширень побудовано нові конструкції когомологій напівгруп. Стало ясно, що застосування гомологічних методів у теорії напівгруп не вичерпується ЕМ-когомологіями.

Проте дослідження ЕМ-когомологій напівгруп продовжувалося. Першою фундаментальною роботою в цьому напрямку можна вважати статтю У. Нико [19], у якій вивчалися когомології різноманітних типів напівгруп, що мають ядро Сушкевича (найменший двобічний ідеал), і, зокрема, описано когомології цілком простих напівгруп (відзначимо, що в цій роботі зроблено також спробу зв'язати когомологічну вимірність із поняттям складності напівгрупи, введеним Роудсом і ін.).

Мало значення і робота Б. Мітчелла [18], у якій, зокрема, вивчалася когомологічна вимірність напівгруп. Мітчелл довів, що так звана частково свободна напівгрупа (свободний твір свободної групи і свободної напівгрупи) має когомологічну вимірність, яка дорівнює 1, і припустив по аналогії з відомою теоремою Столлінгса-Суона, що вірно й зворотне. Проте, дисертантом у 1982 р. був опублікований контрприклад до гіпотези Мітчелла, і таким чином, питання про властивості напівгруп вимірності 1 залишилося відкритим. Надалі ряд алгебраїстів [10, 20] розглядав питання про когомологічну вимірність деяких різновидів напівгруп.

Ще одна некласична конструкція когомологій з'явилася в результаті вивчення проективних зображень напівгруп [7]. При цьому мультиплікатор Шура являється не групою, а комутативною інверсною напівгрупою. Остання є, як відомо, напівструктурою груп, яка, у свою чергу, описується за допомогою спеціальної конструкції так званих 0-когомологій. Окремий випадок 0-когомологій (коли дія напівгрупи на модулі тривіальна), був розглянутий У. Кларком [11] при вивченні будови деяких матричних алгебр.

Пізніше дисертантом було показано, що 0-когомології являються корисними і для обчислення ЕМ-когомологій напівгруп; саме з їхньою допомогою був побудований вищезгаданий контрприклад до гіпотези Мітчелла.

Нарешті відзначимо серію робіт Хейла, Ларсона і Суідлера [12 –14, 21], у яких побудовано так званий моноїд Брауера, що описує клас сильно примарних асоціативних алгебр подібно тому, як група Брауера класифікує центральні прості алгебри. У дисертації показано, що вивчення моноїда Брауера теж зводиться до 0-когомологій.

Наведений вище короткий огляд показує, що зараз когомології напівгруп не тільки представляють самостійний інтерес, але і знаходять застосування в інших розділах алгебри. Тим більш актуальним стає питання про розробку методів їхнього обчислення. Цьому напрямку присвячено значну частину дисертації. Крім того, у ній викладаються результати застосування 0-когомологій до вивчення властивостей моноїда Брауера і досліджуються напівгрупи когомологічной вимірності 1.

У дисертації переважно використовуються методи гомологічної алгебри, теорії категорій і теорії напівгруп.

Зв'язок із науковими програмами і темами. Роботу виконано на кафедрі теорії функцій і функціонального аналізу механіко-математичного факультету Харківського державного університету.Дослідження, які легли в основу даної дисертаційної роботи, проводилися відповідно до

1) НДР "Дослідження в теорії напівгруп і суміжних галузях математики'' (1994-95 рр., номер реєстрації 0194U012799);

2) НДР "Дослідження з теорії напівгруп і гомологічної алгебри''

(1996-97 рр., номер реєстрації 0197U009308).

Метою дисертації є:

а) застосування 0-когомологій до дослідження властивостей моноїда Брауера;

б) побудова теорії часткових когомологій напівгруп і використання їх до обчислення ЕМ-когомологій;

в) вивчення властивостей когомологічной вимірності напівгруп (в першу чергу, напівгруп із скороченням).

Наукова новизна, теоретична і практична цінність. Введено поняття модифікації групи, за допомогою якого отримано нові властивості моноїда Брауера.

Запропоновано нову конструкцію часткових когомологій напівгруп, вивчено їхні властивості (у тому числі котроєчне зображення і зв'язок із ЕМ-когомологіями). З їхньою допомогою знайдено групи ЕМ-когомологій деяких класів напівгруп і, зокрема, наведено серію контрприкладів до гіпотези Мітчелла.

Доведено, що напівгрупи із скороченням когомологічної вимірності 1 вкладаються до свободної групи. У комутативному випадку для таких напівгруп отримано повне описання.

Всі одержані в дисертаційній роботі результати є новими.

Практичне значення отриманих результатів. Результати і методи дисертації можуть бути застосовані в теорії асоціативних алгебр (для класифікації алгебр за допомогою часткових когомологій), для вивчення напівгруп і інших алгебраїчних систем малої когомологічной вимірності, для виявлення зв'язків між теорією напівгруп і алгебраїчною топологією. Вони також можуть бути використані в навчальному процесі при читанні лекцій по спеціальним курсам "Гомологічна алгебра", "Теория напівгруп" і "Когомології груп і напівгруп" на механіко-математичних і фізико-математичних факультетах вищих навчальних закладів України III і IV рівня акредитації.

Особистий внесок здобувача. Усі надруковані роботи з теми дисертації виконано без співавторів, за винятком [36] і [40] (співавтори – О. С. Кащєєва і К. Йорджев).

У обох статтях дисертанту належать постановки задач, а також доведення теорем 1.1, 1.2 у [36] і доведення усіх теорем у [40].

На захист виносятся наступні основні положення:

1. Вивчення за допомогою часткових когомологій властивостей моноїда Брауера; опис деяких типів модифікацій груп.

2. Побудова і властивості часткових когомологій напівгруп; застосування до обчислення класичних груп когомологій.

3. Дослідження різноманітних класів напівгруп когомологічної вимірності 1.

Усі результати дисертації являються математичними теоремами, доведеними на прийнятому в сучасної математиці рівні строгості.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на таких конференціях, симпозіумах і семінарах:

XVI Всесоюзна алгебраїчна конференція – Ленінград, 1981;

XVII Всесоюзна алгебраїчна конференція – Мінськ, 1983;

XVIII Всесоюзна алгебраїчна конференція – Кишинів, 1985;

XIX Всесоюзна алгебраїчна конференція – Львів, 1987;

X Всесоюзний симпозіум з теорії груп – Мінськ, 1986;

III Всесоюзний симпозіум з теорії напівгруп – Свердловськ, 1988;

Розширений алгебраїчний семінар Київського університету імені Тараса Шевченка, присвячений 100-річчю з дня народження академіка О. Ю. Шмідта – Київ, 1991;

Розширений алгебраїчний семінар Київського університету імені Тараса Шевченка, присвячений 80-річчю фундатора кафедри алгебри і математичної логіки проф. Л. А. Калужніна – Київ, 1994;

Міжнародний колоквіум з напівгруп – Сегед, Угорщина, 1994;

Міжнародна конференція з алгебри, логіки і дискретної математики – Ніш, Югославія, 1995;

Другий Європейський математичний конгрес – Будапешт, Угорщина, 1996;

Міжнародна конференція з теорії зображень і комп'ютерної алгебри в Київському університеті імені Тараса Шевченка – Київ, 1996;

Міжнародна алгебраїчна конференція, присвячена пам'яті проф.

Л. М. Глускина – Слов'янськ, 1997.

Тези доповідей надруковано в [41 – 47].

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 25 роботах, з них – 18 статей [22 – 40] , у тому числі 2 статті із співавторами ([36] і [40]).

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, окремого розділу "Позначения і визначення'', п'яти глав і списку літератури.

Докладніше:

глава 1 "0-Когомології і моноїд Брауера" містить 5 розділів;глава 2 "Часткові когомології" містить 7 розділів;глава 3 "Напівгрупи когомологічної вимірності 1" містить 4 розділи;глава 4 "Когомології та рефлективні підкатегорії" містить 5 розділів;

глава 5 "Загальна теорія когомологій напівгруп" містить 4 розділи.

Загальний обсяг дисертаційної роботи складає 281 стор. Список літератури містить 122 найменування.

ЗМІСТ РОБОТИ

Кожна глава починається з нульового розділу "Попередні відомості", що містить додаткову інформацію, необхідну для читання наступних розділів цієї глави.

Нагадаємо спочатку одне з визначень ЕМ-когомологій напівгрупи.

Нехай S – довільна напівгрупа, A – будь-який S-модуль (надалі ми розглядаємо тільки ліві модулі). Через Cn(S, A) позначаєтся група всіх n-місцевих відображень

f: S S A

(група n-вимірних коланцюгів); кограничний оператор

n : Cn(S, A) Cn+1(S, A)

задається наступним чином:

n f(x1, ..., xn+1) = x1f(x2, ..., xn+1) +

Тоді n n-1 = 0, тобто Im n-1 = Bn(S, A) (група n-вимірних кограниць) Кer n = Zn(S, A) (група n-вимірних коциклів) і групи EM-когомологій визначаються як

Hn(S, A) = Zn(S, A) / Bn(S, A).

Главу 1 присвячено застосуванню апарату 0-когомологий, розробленого автором раніше [6]. У розділі 1.1 наводяться необхідні відомості про 0-когомології та теоретико-категорна інтепретація одержаних конструкцій.

Для довільної напівгрупи S з нулем 0-модулем над S називається абелева (адитивна) група A, для якій визначено множення

S \ 0 A A,

що задовольняє для всіх s, t S \ 0, a,b A таким умовам:

s(a + b)=sa + sb,

st 0 s(ta)=(st)a.

n-Вимірним 0-коланцюгом зветься часткове n-місцеве відображення із S в A, визначене на всіх таких наборах (s1,, sn), що

s1sn 0. Кограничний оператор задається, як і для ЕМ-когомологій, наведеною вище формулою, і рівність n n-1 = 0, залишається у силі; когомології, що з'являються при цьому, названі в [16] 0-когомологіями і позначаються через . Для 0-коциклів і 0-кограниць використовуються позначення і відповідно.

Основним у цієї главі є розділ 1.2, де наведено застосування 0-когомологій до дослідження моноїда Брауера, визначеного в серії робіт Хейла, Ларсона і Суідлера [12 – 14, 21] для класифікації сильно примарних асоціативних алгебр.

Для визначення цього класу алгебр зафіксуємо основне поле K і будемо в подальшому розглядати тільки скінченно вимірні алгебри над K.

Нехай F/K – скінченне сепарабельне поширення. Центральна проста F-алгебра B зветься нормальною над K, якщо кожна проста компонента (напівпростої) алгебри B K Bop ізоморфна повній матричній алгебрі над центром цієї компоненти.

Під мінімальним точним модулем розуміється точний модуль, що не має власних точних підмодулів.

K-Алгебра A зветься сильно примарною над K, якщо для неї виконуються наступні умови:

1) якщо J – радикал алгебри A, то факторалгебра A/J являється сепарабельною, простою і нормальною над K;

2) якщо A = B J – розкладення Веддербеpна – Мальцева (таке існує в силу сепарабельності A/J), то A являється мінімальним точним B K Bop-модулем відносно дії (x K yop)a=xay для x, y B, a A.

Наприклад, центральні прості алгебри являються сильно примарними.

Нехай тепер, як і вище, L – нормальне поширення поля K, G – група Галуа цього поширення. Позначимо через P клас усіх сильно примарних над K алгебр A = B J, таких, що центр прямого доданку B знаходиться в L.

В роботі Хейла [13] показано, що на P можна так ввести еквивалентність і добуток на класах цієї еквивалентності, що отримаємо моноїд, який позначається M(G, L) і зветься (відносним) моноїдом Брауера. Ми не будемо описувати цю еквивалентність і відповідний добуток, тому що їхні визначення займають досить багато місця і не використовуються подалі. Відзначимо тільки, що на класі центральних простих алгебр вони зводяться до відомих конструкцій для групи Брауера и що в [13] побудовано також і абсолютний моноїд Брауера поля K, який являється об'єднанням моноїдів вигляду M(G, L), коли L пробігає всі (скінченні) нормальні поширення поля K.

Для скінченного нормального поширення L поля K із групою Галуа G визначення моноїда Брауера M(G, L) відрізняється від визначення групи когомологій Галуа H2(G, L) тільки тим, що коцикли можуть приймати і нульові значення. В результаті цього моноїд Брауера M(G, L) являється (комутативною) інверсною напівгрупою і, таким чином, напівструктурою абелевих груп M(G, L), де пробігає множину всіх ідемпотентів моноїда M(G, L).

Групи M(G, L) допускають описання у термінах 0-когомологій. Саме, у таблиці множення напівгрупи G0 = G0 (група з зовнішньо приєднаним нулем) зітремо зміст деяких її клітин і впишемо в них 0, так, щоб нова операція була асоціативною. Отримана напівгрупа називається модифікацією групи G. Зокрема, визначаючи для даного ідемпотенту на G 0 нову операцію :

ми одержуємо модифікацію, що позначаємо через G.

Як показують наступні дві пропозиції, моноїд Брауера визначається модифікаціями:

Лема 1.2.1 Існує взаємно однозначна відповідність між ідемпотентами моноїда Брауера M( G, L) і модифікаціями групи G.

Пропозиція 1.2.4. , де L* – мультиплікативна група поля L, – друга група 0-когомологій моноїда G.

У [14, 21] для вивчення полуструктури ідемпотентів моноїда Брауера використовуються деякі частково упорядковані множини, названі "субтрактивними знизу частково упорядкованими G-орбітами".

А саме, нехай, як і раніш, G – скінченна група, (Q, <) – частково упорядкована множина з найменшим елементом q і задано дію

G Q Q : (g,x) g x,

таку, що G Q = Q. Множна Q зветься субтрактивною знизу частково упорядкованою G-орбитою, якщо для будь-яких g, h G, таких, що g q < h q, виконується умова

f G g q < f q < h q g-1f q < g-1h q

У дисертації показано, що використання для цієї мети модифікацій більш переважно (див., напр., наслідок 1.2.5).

Позначимо через H підгрупу обратимих елементів модифікації G. Вкладення H 0 G індукує гомоморфізм

У [14] при деяких додаткових умовах встановлюється ін’єктивність відображення . Ми обчислюємо Ker в іншій ситуації:

Теорема 1.2.6. Нехай модифікація G коммутативна (і, отже, H, будучи підгрупою центру групи G, нормальна). Позначимо через P підполе нерухомих щодо H елементів з L. Тоді має місце точна послідовність

Запропоноване в дисертації поняття модифікації групи може представляти, можливо, і самостійний інтерес. Проте повне описання модифікацій являється досить важкою задачею навіть для просто улаштованих груп, що ілюструється в розд. 1.3 на прикладі доссових модифікацій простої циклічної групи.

Нехай G – довільна скінченна група. Назвемо її модифікацію

S = G0()

доссовою (за аналогією з відомою умовою Досса вкладення напівгрупи до групи), якщо

a,b S (a S) (b S) 0 (а b S) (b a S)

Зазначимо, що для доссових модифікацій 0-когомології являються тривіальними:

Наслідок 1.3.2. Якщо S – доссова модифікація, то для будь-якого 0-модуля А.

Надалі нехай G = a | ap = 1 являється циклічною групою простого порядку p 3 з породжуючим елементом a, а S – її комутативною доссовою модифікацією, що відрізняється від G0() (тобто x y = 0 для деяких x, y G).

Опишемо комутативні доссові модифікації з двома і трьома породжуючими елементами. При цьому елемент ak (ступінь відносно групової операції) будемо позначати через bk, коли він розглядається як елемент модифікації; таким чином, (n разів).

Теорема 1.3.3. Якщо комутативна доссова модифікація S групи G, являється 2-порожденою, то

де 1 k p-1, 2 m p-1.

Наслідок 1.3.4. Кількість всіх різних (але, можливо, ізоморфних) комутативних 2-породжених доссових модифікацій групы G дорівнює

(p-1)(p-2)/2.

В випадку, коли модифікація 3-породжена, ситуація виявляється більш складною:

Теорема 1.3.6. Якщо комутативна доссова модифікація S групи G, являється 3-порожденою, то для відповідним засобом вибраного породжуючого елемента a

де 2 m p-2.

У розділі 1.4 показано прийоми обчислення 0-когомологій модифікацій на прикладі циклічної групи п'ятого порядку.

Основні результати цієї глави опубліковано в [23, 25, 32].

Можливість прикладення 0-когомологій до різноманітних алгебраїчних задач (проективні зображення напівгруп, матричні алгебри, моноїди Брауера, обчислення ЕМ-когомологій) приводить до постановки питання про їх узагальнення шляхом переходу від 0-коланцюгів до довільних (наскільки це можливо) часткових функцій на напівгрупі. Таке дослідження проводиться в главі 2.

Нагадаємо визначення рефлективної підкатегорії.

Підкатегория D категорії C зветься рефлективною, якщо кожному об'єкту C C зіставлено об'єкт RD(C) D (який зветься D-рефлектором об'єкту C) і морфізм

D(C): C RD(C),

такі, що для будь-якого D D діаграма

однозначно доповнюється до комутативної морфізмом з

HomD (RD(C), D).

Ми будемо також використовувати в назві рефлектора прикметник, що відповідає імені рефлективної підкатегорії. Наприклад, якщо C – категорія напівгруп, а D – підкатегорія груп, то D-рефлектор будемо звати також груповим рефлектором.

Для побудови часткових когомологій та попереднього виявлення їхніх властивостей зручно використовувати модулі не над напівгрупами, а над частковими групоїдами. Нехай X – деякий частковий групоїд. (Лівим) X-модулем зветься адитивна абелева група A, для якої визначено дію

X A A,

задовольняючу для усіх x, y X, a, b A таким умовам:

x(a+b)=xa+xb,

xy x(ya) = (xy)a.

Гомоморфізмом X-модуля A в X-модуль B зветься гомоморфізм абелевих груп f : A B такий, що

х X a A f(хa) = хf(a).

Категорія X-модулів позначається через Mod X.

Для даного часткового групоїда X() розглянемо напівгрупу X(), породжену множиною X з визначаючими співвідношеннями вигляду

хy = хy,

де х,у X і хy . З відомих властивостей напівгрупи, що задана визначаючими співвідношеннями, витікає

Лема 2.1.1. Категорія напівгруп Sem являється рефлективною підкатегорією в категорії часткових групоїдів PG; точніше, X являється напівгруповим рефлектором часткового групоїда X, а природне відображення

: X X–

рефлекторним морфізмом.

Крім того:

Лема 2.1.2. Категорії Mod X і Mod X являються ізоморфними.

Наслідок 2.1.3. Mod X являється абелевою категорією, що містить досить багато ін'єктивних і проективних об'єктів.

Надалі ми цікавитимось тількі тими частковими групоїдами, які являються підмножинами напівгруп.

Нехай S – будь-яка напівгрупа. Назвемо підмножину X S корнем напівгрупи S, якщо S = X і вкладення X до S індукує ізоморфізм S X. Легко довести, що X являється корнем в S тоді і тільки тоді, коли

S= X | xy = z (x, y, z X).

Наприклад, напівгрупа S являється своїм корнем, оскільки S = S. Якщо задане довільне зобаження напівгрупи

S = a1, , am | P1 = Q1, , Pn = Qn,

то підмножина, що складається з усіх породжуючих елементів a1,, am і усіх підслів слів Pi і Qi (1 i n) в абетці a1, , am, являється корнем (причому легко бачити, що кожний корінь можна одержати аналогічним способом).

Перейдемо до визначення часткових когомологій.

Першим кроком у цьому напрямку є визначення одновимірного часткового коланцюга (або X-коланцюга) як функції на фіксованій підмножині X S, що породжує напівгрупу S. При цьому значення часткового коланцюга беруться з деякого X-модуля A. Далі, позначимо через Xn множину усіх наборів

(n разів)

у яких xi xi+1…xj X для будь-яких i, j таких, що 1 i j n. Тоді n-вимірний частковий коланцюг визначається як відображення Xn у A. Визначаючи звичайним засобом кограничні гомоморфізми, ми одержуємо групи часткових когомологій Hn(S, X, A). Частинними випадками цієї конструкції являються ЕМ-когомології (при X = S) і 0-когомології (якщо S містить 0 і X = S \ 0).

Для підмножини X напівгрупи S, що розглядається як частковий групоїд, рефлекторний морфізм

: X X,

очевидно, являється вкладенням. Тому X можна також розглядати як підмножину в X, і при цьому множини Xn не зміняться. Отже, має місце ізоморфізм

Hn (S, X, A) Hn (X, X, A),

і, таким чином, при вивченні часткових когомологій можна обмежитися випадком, коли X – корінь напівгрупи S.

Вкладення X S індукує гомоморфізми

Легко перевірити, що є ізоморфізмом. Тому закономірне питання: чи є ізоморфізмами при n > 0?

Пропозиція 2.1.4. Нехай X – корінь напівгрупи S, A – довільний X-модуль. Тоді – ізоморфізм.

Наслідок 2.1.5. Нехай X – корінь напівгрупи S, A – довільний X-модуль. Тоді – мономорфізм.

У загальному випадку в умовах наслідку 2.1.5 може не бути ізоморфізмом (відповідний приклад наведено в кінці цього розділу).

На вивчення часткових когомологій напівгрупи впливає існування в ній одиничного елементу. Наприклад, при включенні одиниці до кореня ускладнюється, взагалі кажучи, процес обчислення часткових когомологій. Тому представляється доцільним розглянути окремо специфічні властивості когомологій моноїдів. Таке дослідження проведено в розділі 2.2.

Нехай S – деякий моноїд з одиницею 1, X – його підмножина, що його породжує (яка не обов'язково є коренем) і містить 1, A – довільний унітарний X-модуль. Введемо позначення T = X \ 1.

Теорема 2.2.1. Нехай виконується наступна умова: якщо x, y X і xy = 1, то x = y = 1. Тоді відображення

,

що індукується вкладенням , являється ізоморфізмом для усіх n 0.

Звідси, зокрема, випливає, що зовнішнє приєднання одиниці до напівгрупи не впливає на її часткові когомології:

Наслідок 2.2.2. Нехай U = Y – будь-яка напівгрупа, U1 (відповідно Y1) – результат зовнішнього приєднання до U одиниці (відповідно Y1 = Y {1}). Тоді

Hn (U, Y, A) Hn (U1, Y1, A).

Відзначимо, що обмеження на X в теоремі 2.2.1 є істотним. Як приклад наведемо такий цікавий факт:

Пропозиція 2.2.4. Нехай G – скінченна група. Тоді

Hn (G,G \{1}, A) = 0

для будь-якого G-модуля A при n |G|.

Для порівняння нагадаємо, що ЕМ-когомології групи скінченного порядку залишаються нетривіальними при довільному, як завгодно великому, n.

У цьому ж розділі вводиться поняття нормалізованих часткових когомологій. А саме, частковий коланцюг f Cn( S, X, A) називається нормалізованим, якщо f(x1,…, xn) = 0 як тільки xi = 1 для деякого i n. Істотним способом визначаються групи нормалізованих X-когомологій, які будемо позначати через NHn (S, X, A). Наступне ствердження є узагальненням добре відомого результату для когомологій груп [5]:

Теорема 2.2.6. Якщо підмножина X S задовольняє умові теореми 2.2.1, то

для усіх n 0.

Більш повну інформацію про часткові когомології можна одержати за допомогою конструкції котроєчних когомологій, запропонованої М. Барром і Дж. Беком [8, 9]. Необхідність у її використанні пояснюється тим, що часткові когомології напівгруп, взагалі говорячи, не є похідним функтором, і до них не можна ужити техніку Картана – Ейленберга. Притягнення ж теорії Барра – Бека дозволяє визначити загальний підхід до вивчення часткових когомологій.

Для цього в розділі 2.3 визначається категорія PSem, об'єктами якої є пари (T, Y), де Y – підмножина в напівгрупі T, а морфізм

визначається як гомоморфізм напівгруп , для якого (Y) міститься в Z.

Для об'єкта (T, Y) PSem будується свободна напівгрупа FY на множині Y, що складається із символів виду y, взаємно однозначно відповідаючим елементам y Y. Об'єкту (T, Y) ставиться у відповідність об'єкт (FY, ), де

= { y1…yn | ( y1, …, yn ) Yn }

Ця відповідність продовжується до ендофунктора G категорії PSem, і після визначення підхожим способом природних перетворень

: G G 2 і : G IPSem

ми одержуємо котрійку (G, , ).

Зафіксуємо тепер деякий об'єкт (S, X) PSem і позначимо через PSem S кома-категорію (згідно з визначенням її об'єктами являються морфізми T S категорії PSem, а морфізмами – комутативні діаграми, що містять ці об'єкти). Тоді котрійка (G, , ) індукує котрійку () у категорії PSem S, завдяки чому в категорії PSem S визначається функтор когомологій Hn(T, Y, A)G від аргумента (T, Y). Ця конструкція і дає шукане описання часткових когомологій у термінах теорії Барра – Бека:

Теорема 2.3.4. Hn(T, Y, A)G Hn+1(T, Y, A) для будь-яких n>0.

Отримані результати дозволяють нам використовувати часткові когомології для обчислення ЕМ-когомологій у тих випадках, коли вдається відшукати в даній напівгрупі "добрий" корінь. Цей зв'язок встановлюється в розділах 2.4 і 2.5.

В розділі 2.4 вводиться поняття каноничного кореня та розглядаються його властивості, необхідні для подальшого. Саме, нехай X – корінь напівгрупи S. Зображення s = x1… xn елемента s S у вигляді добутку елементів xі X, такого, що xi xi+1 … xj X для будь-яких i, j, задовольняючих нерівностям 1 i < j n, назвемо редукованим розкладанням. Корінь X назвемо каноничним, якщо кожний елемент із S має єдіне редукованене розкладання.

Наприклад, множина всіх елементів напівгрупи S являється каноничним коренем. Базис свободної напівгрупи F = a1,, аn | також являється, звичайно, каноничним коренем. Менш тривіальний приклад каноничного кореня дає підмножина свободної напівгрупи

B = {b (i, j,) = ai aj | i j } F,

яка породжує F з визначаючими співвідношеннями

b (i, j,) b (k, l,) = b (i, j,, k, l,)

при i j . k l .

Для перевірки кореня на каноничність нам потрібний один результат з [36]. Стосовно до нашої ситуації теорема 1 цієї статті формулюється так:

Лема 2.4.1. Нехай X – корінь напівгрупи S = M R, що задовольняє умовам:

1) M X;

2) кожне визначаюче слово з R міститься в X;

3) для будь-яких єлементів a, b, c S з того, що ab, bc X випливає abc X.

Тоді X являється каноничним.

Нарешті, накладемо ще одну додаткову вимогу на X. Корінь X назвемо J-коренем, якщо для будь-яких x, y, z X із xy = x, yz = z випливає xz X.

Наприклад, в напівгрупі із скороченням без одиниці кожний корінь являється J-коренем.

Наслідок 2.4.4. Нехай X – каноничний J-корінь напівгрупи S. Якщо x1,, xn X і xixi+1 X для усіх 1 i n-1, то (x1,, xn) Xn.

Наступне ствердження являється основним результатом другої глави:

Теорема 2.5.1. Якщо X – канонічний J-корінь напівгрупи S, то являється ізоморфізмом для усіх n 0.

Основу доведення цієї теореми складає побудова стягуючої гомотопії, підібраної належним чином.

Як ілюстрацію застосування отриманих результатів про часткові когомології у розділі 2.6 обчислено ЕМ-когомології деяких типів напівгруп.

Нехай

S = a, b1, b2 , … | aP= Q –

така напівгрупа, що визначальні слова P і Q не містять літери a, і Sор позначає напівгрупу, антиізоморфну напівгрупі S.

Теорема 2.6.2. Hn(S, A) = 0 для будь-якого S-модуля A і для довільних n 2.

Теорема 2.6.2 дає серію контрприкладів до гіпотези Мітчелла (див. нижче).

Когомології антиізоморфної напівгрупи

Sор = < a, b1, b2 , … | Pа = Q >

побудовані складніше. Для їхнього описання нам буде зручно ввести визначення аналога похідної Фокса [4] для напівгруп.

Нехай F = b1, b2, - довільна свободна напівгрупа. Нехай елемент x F записано у вигляді

x = x1 bi x2 bi xn-1 bi xn,

де слова xk F не містять букви bi. Похідною слова x по bi назвемо елемент напівгрупової алгебри ZF1:

якщо при цьому x1 = , то перший доданок в дорівнює 1; якщо буква bi входить до x, то покладаємо

Наприклад, якщо то

Теорема 2.6.6. Для будь-якого Sор-модуля A

а) H2 (Sор, A) A /B, де

б) Hn (Sор, A) = 0 для усіх n 3.

Розглянемо тепер інший приклад.

Нехай напівгрупа T породжується своєю піднапівгрупою U і елементом p U таким чином, що

T = U, p | Up = p (p U),

і Top – напівгрупа, антиiзоморфна до T.

Теорема 2.6.7. Для будь-якого T-модуля A

а) H1 (T, A) A /( p – 1)A,

б) Hn (T, A) = 0 для усіх n 2.

Теорема 2.6.8. Нехай A – довільний Top-модуль, A1 – адитивна група модуля A, що розглядається як Top-модуль із тривіальним множенням. Гомоморфізми

n: Hn (Top, A) Hn (U, A),

що індуковані вкладенням U Top, включаються до довгої точної послідовності

Теореми 2.6.7 і 2.6.8 дають можливість побудувати приклад напівгрупи, що має в категорії лівих модулів когомологічну вимірність, дорівнюючу 1, а в категорії правих модулів – когомологічну вимірність, дорівнюючу нескінченності. А саме, в попередніх теоремах візьмемо адитивну групу кільця Z9 як А, а мультиплікативну групу його обратимих елементів – як U. Дія U на A співпадає із множенням в кільці Z9. Тоді H n (T, A) = 0 і Hn (Top, A) Z3 при n 2.

Главу 3 присвячено дослідженню когомологічної вимірности напівгруп (переважно із скороченням). Когомологічна вимірність напівгрупи S позначається через cd S і розуміється в нашому контексті як мінімальне ціле невід’ємне число n, таке що Hn+1 (S, A) = 0 для будь-якого S-модуля A.

У розділі 3.1 вивчаються гомологічні властивості піднапівгруп адитивної напівгрупи Nr невід’ємних цілочисельних векторів.. Піднапівгрупа S Nr називається об'ємною, якщо вона не міститься у власному підпросторі простору Rr, і рясною, якщо знайдеться такий вектор f , що f + e(і) S для усіх ортів e(і).

Пропозиція 3.1.4. Кожна об'ємна напівгрупа S Nr ізоморфна рясній.

Позначимо через [Con S] сукупність цілочисельних точок, що містяться в опуклому замкненому конусі, натягнутому на S (у дійсному просторі Rr).

Теорема 3.1.6. Кожна скінченно породжена рясна піднапівгрупа S Nr містить ідеал виду I = v + [Con S] для деякого елемента v S.

Це ствердження узагальнює відому властивість піднапівгруп із N, відповідно до якого кожна така піднапівгрупа ізоморфна піднапівгрупі, яка містить промінь [n, ) для деякого натурального n.

Викладені вище результати дають змогу одержати інформацію про цілочисельне кільце ZS напівгрупи S Nr. Щоб не було непорозумінь при використанні цілих чисел як коефіцієнтів в ZS, з одного боку, і як координат елементів з S, з другого, ми будемо замість Nr розглядати свободний комутативний моноїд M = x1,, xr, а замість S – ізоморфну до неї напівгрупу SM, що складається з усіх мономів вигляду , де (p1,, pr) S. Для скорочення введемо позначення

,

де p = (p1,, pr).

Згідно з пропозицією 3.1.4 ми можемо обмежитися випадком, коли S – рясна напівгрупа. Зафіксируємо елемент f S, для якого f + e(i) S при усіх i r.

Нагадаємо, що фундаментальним ідеалом IP напівгрупового кільця ZS зветься ядро гомоморфізму

Таким чином, ідеал IP як модуль над ZS породжуеться усіма

eлементами вигляду s - 1 (s P).

Теорема 3.1.7. Фундаментальний ідеал ISM напівгрупового кільця ZSM породжується як ZSM-модуль многочленами

Наслідок 3.1.8. Фундаментальний ідеал довільної напівгрупи S Nr являється скінченно породженим.

Підкреслимо, що наслідок 3.1.8 залишається справедливим і для нескінченно породжених піднапівгруп.

Більш детальний розгляд одновимірного випадку дозволяє дати повне описання комутативних напівгруп когомологічной вимірності 1 із скороченням:

Теорема 3.1.9. Для комутативной напівгрупи S із скороченням

cd S = 1 тоді і тільки тоді, коли S є ізоморфною або до групи Z, або до піднапівгрупи напівгрупи N.

Розділ 3.2 є допоміжним (для розділу 3.3), хоча і представляє самостійний інтерес.

По-перше, тут дано один критерій для когомологічної вимірності модуля:

Лема 3.2.1. Нехай R – будь-яке кільце, A – лівий модуль над R, n – кограничний оператор проєктивної резольвенти модуля A. Тоді n можна розглядати як коцикл, що належить до Zn+1(A, Imn). Коцикл n являється когомологічним нулю тоді і тільки тоді, коли проективна вимірність модуля A не перевищує n.

По-друге, в цьому розділі досліджено властивості одного типу систем рівнянь у напівгрупах.

Нехай S позначає напівгрупу iз скороченням когомологічної вимірности 1. Назвемо систему рівностей у напівгрупі S

циклічною (тут n >1). Циклічна система зветься разложимою, якщо ai aj S для деяких i j, і приводимою, якщо ai S aj S для деяких i, j, таких, що i j, i j 1 (mod n). Циклічну систему при n 3 ми вважаємо неприводимою.

Теорема 3.2.4. Циклічна система (1) приводима при n > 3.

Теорема 3.2.5. Якщо n = 3, то для системи (1) знайдуться такі елементи zi S (1 i 3), що a1 z1 = a2 z2 = a3 z3.

Ці теореми допускають топологічну інтепретацію. Розглянемо симпліціальний комплекс, вершинами якого являються елементи напівгрупи S, а n-мірними гранями – набори (a1 , …, an+1 ), ai S, для яких

Тоді кожний замкнутий шлях у цьому комплексі стягується. Зокрема

якщо S є моноїдом, то такий комплекс буде лінійно зв’язним і його фундаментальна група тривіальна.

За аналогією з гіпотезою Гані – Ейленберга для груп (позитивне вирішення якої пізніше одержало назву теореми Столлінгса – Суона [1]) Б. Мітчелл [18] припустив, що напівгрупа зі скороченням когомологічної вимірності 1 повинна бути так званою частково свободною (тобто свободним добутком свободної групи і свободної напівгрупи).

У статтях [24] і [26] дисертантом побудовано контрприклади до гіпотези Мітчелла. Крім того, у [26] сформульовано нове припущення (послаблена гіпотеза Мітчелла): якщо напівгрупа зі скороченням має когомологічну вимірність, дорівнюючу 1, то вона вкладається в групу (причому остання автоматично являється свободною згідно з теоремою Столлінгса – Суона).

У розділі 3.3 дано позитивне вирішення ослабленої гіпотези Мітчелла:

Теорема 3.3.3. Напівгрупа зі скороченням когомологічной вимірності 1 вкладається до свободної групи.

Доведення теореми 3.3.3 засновується на результатах попереднього розділу, а також на одній достатній умові вкладення напівгрупи до групи,

яку одержав Н. Було.

Відзначимо, що з результатів розділу 2.6 випливає, що зворотне ствердження невірне.

Основні результати цієї глави опубліковано в [28, 29, 34, 35, 37].

Інший підхід до дослідження напівгруп когомологічної вимірности 1 (не обов'язково із скороченням) здійснюється в главі 4. Він заснований на використанні поняття рефлективної підкатегорії і розглядається в розділі 4.1. Якщо D – рефлективна підкатегория категорії напівгруп Sem (наприклад, підкатегория груп, напівструктур груп, цілком простих, інверсних або кліффордових напівгруп), то рефлекторний морфізм індукує гомоморфізм груп когомологій

n : Hn (R (S) , A) Hn (S, A),

де R(S) – рефлектор напівгрупи S в категорії D.

З використанням добре відомих зв'язків між одновимірними когомологіями і напівпрямими добутками одержано такі результати (нижче через A R (S) позначено напівпрямий добуток):

Теорема 4.1.1. Нехай S – довільна напівгрупа, A – модуль над R (S). Якщо A R (S) D, то 1 являється ізоморфізмом.

Наслідок 4.1.2 Нехай D – рефлективна підкатегорія категорії Sem, S Sem, R(S) – D-рефлектор напівгрупи S.

1) Якщо A R(S) D для будь-якого R(S)-модуля A, то 2 являється мономорфізмом.

2) Якщо R(S) є моноїдом і A R(S) D для будь-якого унітарного R(S)-модуля A, то 2 являється мономорфізмом.

Зокрема , це буде так, якщо D являється категорією груп, цілком простих напівгруп або кліффордових напівгруп (пропозиція 4.1.3). Звідси випливає, що властивість "мати когомологічну вимірність 1" спадкується рефлекторами указаних типів.

Використання такого підходу показане на прикладі описання цілком простих напівгруп когомологічної вимірности 1.

Нехай T = M(G; I, ; P) – цілком проста напівгрупа з сендвіч-матрицею P = (pi), N – нормальний дільник в G, породжений елементами pi ( , i I), причому з точністю до ізоморфізму ми можемо вважати, що p1i = p1 = e.

Лема 4.14. G/N являється груповим рефлектором напівгрупи T.

Теорема 4.1.5. Якщо цілком проста напівгрупа T = M(G; I, ; P)

має когомологічну вимірність 1, то:

1) факторгрупа G/N свободна;

2) група G свободна;

3) множина {pi | 1, i 1}, якщо вона не є пустою, являється базисом в породженій єю (свободній) підгрупі групи G.

Наслідок 4.1.6. Якщо напівгрупа має когомологічну вимірність 1, то її цілком простий рефлектор задовольняє умовам 1)-3) теореми 4.1.5.

У зв'язку з можливими застосуваннями до теорії когомологій з’явилась необхідність більш детально вивчити властивості групових рефлекторів напівгруп. При цьому виникає деякий клас часткових групоїдов (названих у дисертаційній роботі Z-партоїдами), що тісно пов'язані з графом ділимості напівгрупи. Властивості Z-партоїдів досліджуються в розділі 4.2. За їхньою допомогою у розділі 4.3 (теорема 4.3.8) узагальнюється метод побудови групового рефлектора для напівгрупи із скороченням, який запропоновано Kліффордом і Престоном [3].

Частковий групоїд, що з'являється при цьому, має такий вид. Припустимо без утрати загальності, що S містить одиницю. Розглянемо орієнтований граф з елементами із S як вершинамі; a і b сполучені ребром (із початковою вершиною a), якщо b = ax для