Інститут прикладної математики і механіки

Наумова Марина Анатоліївна

УДК 517.956

УСЕРЕДНЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
В ОБЛАСТЯХ З ТОНКИМИ ПОРОЖНИНАМИ

01.01.02 — диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Донецьк — 1999

Дисертацiєю є рукопис.

Робота виконана в Донецькому державному унiверситетi, Міністерство освіти України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Скрипник Ігор Володимирович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, директор.

Офiцiйнi опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Базалій Борис Васильович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, завідувач відділом рівнянь математичної фізики;

кандидат фізико-математичних наук, Панкратов Леонід Сергійович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, старший науковий співробітник.

Провiдна установа: Інститут математики НАН України, м. Київ, відділ рівнянь з частинними похідними.

Захист дисертацiї вiдбудеться «19» листопада 1999 року о 15.00 годинi на засiданнi спецiалiзованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою:

340114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бібліотеці Інституту приклад-ної математики і механіки НАН України за адресою:

340114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розicланий «13» жовтня 1999 року.

Вчений секретар спецiалiзованої вченої ради ____________________ Ковалевський О.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Різноманітні задачі гідродинаміки, теорії пружності та інших розділів фізики та механіки приводять до необхідності вивчення сильно неоднорідних середовищ та фізичних процесів, які в них протікають. Математичний опис таких середовищ та процесів зводиться до двох проблем: усереднення крайових задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними, що мають швидкоколивні коефіцієнти та усереднення диференціальних операторів в областях складної структури. Головною метою цих задач є побудова усереднених задач для рівняння з простими коефіцієнтами, або в простій області, до розв’язків яких збігаються (при певних умовах) розв’язки початкових задач.

Питання усереднення крайових задач в областях складної структури вперше були розглянуті в 60-ті роки в роботах В.О. Марченка та Є.Я. Хруслова. Вони розглядали лінійні крайові задачі в перфорованих областях, які одержані із фіксованої області шляхом викидання великої кількості дрібних компонент, які не перетинаються.

В середині 70-х років з’явились перші результати з усереднення крайових задач для рівнянь з періодичними швидкоколивними коефіцієнтами в роботах Е. Де Джорджі та С. Спаньоло, Е. Санчес-Паленсія, А. Бенсуссана, Ж.-Л. Ліонса та Дж. Папаніколау, Н.С. Бахвалова, О.А. Олійник.

В подальшому теорія усереднення набула інтенсивного розвитку в роботах багатьох математиків, насамперед, Є.Я. Хруслова, Н.С. Бахвалова, О.А. Олійник, С.М. Козлова, І.В. Скрипника, В.В. Жикова, А.А. Панкова, Дж. Даль Мазо, Ф. Мюра, К. Сбордоне, Е. Санчес-Паленсія та ін.

З проблемами усереднення крайових задач з частинними похідними тісно пов’язана теорія G-збіжності операторів та Г-збіжності функціоналів. Вивченню питань цієї теорії присвячені роботи таких математиків, як Е. Де Джорджі, С. Спаньоло, Т. Франзоні, А.А. Панкова, О.А. Олійник, С.М. Козлова та багатьох інших. Питанням G-збіжності, Г-збіжності та усереднення для нелінійних еліптичних операторів та інтегральних функціоналів зі змінною областю визначення присвячені роботи А.А. Ковалевського.

Суттєвого розвитку набуло питання усереднення крайових задач в змінних областях в роботах Є.Я. Хруслова. Він розробив варіаційні методи дослідження асимптотичної поведінки розв’язків задач Діріхле та Неймана для лінійних рівнянь в перфорованих областях неперіодичної структури, отримав достатні, а в деяких випадках і необхідні, умови збіжності розв’язків задач, які розглядаються, до розв’язків усереднених задач у термінах збіжності спеціальних числових характеристик перфорованих областей. Методи, які запропонував Є.Я. Хруслов, були розвинені у роботах Л.С. Панкратова, Л.В. Берлянда, І.Ю. Чудіновича, Є.В. Свіщевої, та інших.

Задачі Діріхле для нелінійних рівнянь другого порядку в областях складної неперіодичної структури вперше були досліджені І.В. Скрипником. Ним були розроблені методи усереднення задач Діріхле для квазілінійних еліптичних рівнянь в послідовності перфорованих областей та вивчені ці задачі у випадках об’ємного та поверхневого розподілу «зерен». Суть цих методів полягає в побудові асимптотичного розкладу послідовності розв’язків задач, які розглядаються, вивченні поведінки членів цього розкладу. Використовуючи асимптотичний розклад, установлюють достатні умови збіжності послідовності розв’язків задач в перфорованих областях та будують усереднену задачу для граничної функції. Дослідження членів асимптотичного розкладу та виведення граничного рівняння базується на поточкових та інтегральних оцінках розв’язків спеціальних модельних нелінійних задач, отриманих І.В. Скрипником. Подальшого розвитку ці методи набули в роботах І.В. Скрипника, А.І. Прокопенко, І.І. Скрипника, Д.В. Ларіна.

Методи, запропоновані для вивчення нелінійних еліптичних задач Діріхле в перфорованих областях, були використані при вивченні усереднення нелінійних параболічних задач в перфорованих областях в роботах І.В. Скрипника та С.А. Ламонова.

До останнього часу усереднення нелінійних задач Діріхле найбільш детально було проведено у випадку порожнин або малого діаметру (області з дрібнозернистою межею) або розташованих в околах ліній (області з каналами). Відзначимо, зокрема, принцип адитивності відносно розбиття множин порожнин на підмножини, який доведено було лише для так перфорованих областей.

Тому актуальним було дослідження задач усереднення для квазілінійних еліптичних та параболічних рівнянь другого порядку в послідовності більш загальних областей з порожнинами, створення для таких задач методів асимптотичного аналізу.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов’язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Донецького державного університету, вона була виконана в рамках державної теми Г-97/25 «Нелінійні граничні задачі».

Мета та задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи — усереднення нелінійних еліптичних та параболічних задач Діріхле в областях з тонкими порожнинами, які містяться в околах гладких многовидів різної розмірності. Для досягнення цієї мети необхідно розв’язати такі задачі:

одержати інтегральні та поточкові оцінки розв’язків відповідних модельних нелінійних еліптичних та параболічних задач;

побудувати асимптотичний розклад для послідовності розв’язків задач, які розглядаються та довести збіжність усіх його членів;

з’ясувати умови, при яких існують усереднені задачі у фіксованій області та побудувати їх;

довести, що розв’язки початкових задач збігаються до розв’язків цих усереднених задач.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше розглянуто проблему усереднення крайових задач для нелінійних еліптичних та параболічних рівнянь другого порядку в послідовності областей з порожнинами, які містяться в тонких околах гладких многовидів різної розмірності. Вивчено характер збіжності послідовностей розв’язків таких задач до розв’язків відповідних усереднених задач, одержані достатні умови збіжності цих послідовностей, побудовані крайові задачі для граничних функцій. Для цього побудовані асимптотичні розклади, в тому числі коректори для наближення послідовностей розв’язків таких задач, встановлені точні оцінки розв’язків модельних крайових задач для нелінійних еліптичних та параболічних рівнянь другого порядку в області з тонкою порожниною. Принциповим є встановлення певної збіжності градієнтів розв’язків, що є важливим при усередненні нелінійних задач в областях з тонкими порожнинами.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані для вивчення прикладних фізико-механічних проблем, які моделюються нелінійними еліптичними та параболічними крайовими задачами в областях складної структури.

Особистий внесок дисертанта. Роботи [3-6] написані дисертантом в співавторстві з науковим керівником. Керівнику належать постановка задачі та метод дослідження. Дисертанту належать встановлення умов геометричного характеру та доведення основних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались та обговорювались на об’єднаному семінарі відділу нелінійного аналізу та відділу рівнянь математичної фізики ІПММ НАН України (керівники: доктор фіз.-мат. наук, професор, академік НАН України І.В. Скрипник, доктор фіз.-мат. наук, професор Б.В. Базалій); наукових семінарах кафедри диференціальних рівнянь ДонДУ (зав. кафедрою: кандидат фіз.-мат. наук В.Л. Мельников); VIII Республіканській конференції «Нелинейные задачи математической физики и задачи со свободной границей» (м. Донецьк, 1991 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-6].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків й списку використаних джерел. Обсяг дисертації — 150 машинописних сторінок, список літератури містить 103 найменування.

основний зміст дисертації

У вступі дається короткий аналіз сучасного стану проблеми і обгрунтовується актуальність теми, формулюються мета та задачі дослідження, наукова новизна, практичне значення, апробація та структура роботи.

У першому розділі розглянуті спеціальні модельні нелінійні задачі в областях з тонкою порожниною. Для розв’язків цих задач отримані різні інтегральні та поточкові оцінки.

В підрозділі 1.1 вивчається модельна задача Діріхле для квазілінійного еліптичного рівняння другого порядку.

Нехай — ціле число, , , та позначимо

,

при . Будемо вивчати поведінку розв’язків крайової задачі

, (1)

, (2)

де F — замкнена множина, яка міститься в Q’.

Припускаємо, що функції , i=1,...,n визначені при та задовольняють умови:

а) неперервні по p при майже всіх , вимірні по x при будь-якому p, при , i=1,...,n;

б) існують додатні сталі такі, що при всіх значеннях виконані нерівності

,

, i=1,...,n

з деяким .

Нехай — простір С. Л. Соболева функцій з нормою

та — підпростір , який складається із функцій, що задовольняють на нульові крайові умови.

Методами теорії монотонних операторів просто доводиться розв’язність задачі (1),(2) в , коли, наприклад, додаткова умова

вірна при . Нехай — функція класу , яка дорівнює одиниці на F. Функцію називаємо розв’язком задачі (1),(2), якщо та для довільної функції виконана інтегральна тотожність

.

В цьому підрозділі доводяться ряд попередніх інтегральних та поточкових оцінок, а далі показується спосіб покращання цих оцінок, який призводить в подальшому до основного результату підрозділу — теореми 1.

Теорема 1. Припустимо, що виконані умови а), б). Тоді існує стала K, яка залежить тільки від m, n, , така, що для розв’язку u(x,k) задачі (1),(2) вірна оцінка

.

В підрозділі 1.2 досліджується спеціальна модельна нелінійна параболічна задача в області з тонкою порожниною.

Нехай F — замкнена множина, яка міститься у циліндрі

,

де — ціле число, , . Позначимо:

.

Отримаємо оцінку розв’язку задачі

(3)

(4)

при .

Нехай — підпростір С. Л. Соболева функцій з нормою

,

— гільбертовий простір зі скалярним добутком.

Припустимо, що функції , i=1,...,n визначені при та задовольняють умови:

a1) при майже всіх x,t функції , i=1,...,n неперервні по p та для всіх p ці функції вимірні по x,t, при i=1,...,n ;

a2) з додатною сталою виконані нерівності, i=1,...,n.

Припустимо також, що функція визначена при , належить та задовольняє умови:

f1) при ;

f2) з додатною сталою виконані нерівності.

При сформульованих припущеннях просто доводиться розв’язність задачі (3),(4) в просторі , з нормою.

Через позначимо підпростори цих просторів, які складаються з функцій, що задовольняють відповідно на , нульові крайові умови.

Під розв’язком задачі (3),(4) розуміємо функцію , таку, що та при будь-яких , виконана інтегральна тотожність.

Використовуючи метод, запропонований в підрозділі 1.1, доводиться наступна теорема, яка є основним результатом підрозділу 1.2.

Теорема 2. Припустимо, що виконані умови a1), a2), f1), f2). Тоді існує стала К, яка залежить лише від , така, що для розв’язку u(x,t) задачі (3),(4) вірна оцінка

.

Наприкінці в підрозділі 1.3 вивчається ще одна модельна параболічна задача, яка необхідна для дослідження усереднення сімейства нелінійних параболічних крайових задач.

Розглядається квазілінійна параболічна задача

, (5)

(6)

при , , де , дорівнює одиниці при , нулю при та така, що . Тут , зберігаються всі позначення та умови a1), a2), f1), f2), які введенні в підрозділі 1.2.

Аналогічно теоремі 2, отримана основна оцінка розв’язку задачі (5),(6).

Теорема 3. Припустимо, що виконані умови a1), a2), f1), f2). Тоді існує стала К, яка залежить лише від , така, що для розв’язку u(x,t) задачі (5), (6) вірна оцінка

.

В другому розділі розглядається нелінійна еліптична задача Діріхле в областях з тонкими порожнинами.

В підрозділі 2.1 даються постановка задачі та основні означення. Доводяться різні допоміжні твердження та формулюється основний результат розділу.

Припустимо, що функції , j=0,...,n, визначені при x, які належать обмеженій області класу в та задовольняють умови:

а1) неперервні по u, p при майже всіх , вимірні по x при будь-яких u, p, при , , j=1,...,n;

а2) існують додатні сталі такі, що при деяких , , та всіх знач еннях виконані нерівності

де

Відзначимо, що функції можемо вважати даними, які задовольняють умови а1) та а2) при .

Сформулюємо припущення на послідовність областей. Припускаємо, що для будь-якого натурального числа s при i=1,2,...,I(s) визначені поверхні в розмірності та додатні числа які задовольняють з незалежними від i, s додатними сталими наступні умови:

b1) де

b2) існують гладкі многовиди , s=1,2,..., i=1,...,I(s), l=1,..., L(i,s) вимірності такі, що при довільних виконуються включення ,

де

тут і далі для множини

,

де — відстань від точки x до множини G;

b3) при будь-якому s=1,2,... порядок сімей множин

,

не перевершує числа ; мають місце включення при i=1,...,I(s), l=1,...,L(i,s).

При цьому порядком скінченої сім’ї множин будемо називати найбіль-ше ціле число p, для якого є p+1 множин даної сім’ї зі спільною точкою.

Припустимо, що виконані наступні умови відносно поверхонь :

l1) для довільних s=1,2,..., i=1,...,I(s), l=1,...,L(i,s) існують дифеоморфізми класу , , такі, що

відповідно;

l2) існує незалежна від i,s,l додатна стала така, що виконані нерівності

при ,

при ,

де — якобієва матриця відображення u(x) в точці x.

Припустимо, що при будь-якому s

,

та розглянемо послідовність крайових задач

(7)

(8)

для деякої функції .

Для таких задач при великих s практично неможливо реалізувати наближені методи знаходження розв’язків, тому виникає питання про можливість наближеної заміни задачі (7),(8) простою задачею того ж виду у фіксованій області, до розв’язку якої збігаються розв’язки задачі (7), (8) при .

Використовуючи методи загальної теорії монотонних операторів, можна довести існування розв’язку задачі (7),(8) та оцінку

з незалежною від s сталою R. Продовжимо функцію на , покладаючи її рівною f(x) зовні . Отримана таким чином функція належить і задовольняє оцінку

з незалежною від s сталою R1. Отже, можливо добути з {} слабко збіжну підпослідовність до деякої граничної функції . Далі можна вважати, що до слабо збігається вся послідовність {}.

Визначимо при числові послідовності рівностями

,

,

, при,

, при,

де, — стала, яка залежить тільки від .

Розглянемо при s=1,2,..., множини

.

Зобразимо як , де — об’єднання всіх тих зв’язних компонент множини , яким належать точки , які задовольняють умові. Представимо як таким чином, щоб діаметр кожної з множин не перевищував . В підрозділі доводиться, що це розбиття можливо здійснити таким чином, щоб для множин, виконувались наступні твердження:

існує незалежне від s, i число таке, що

а) при фіксованих s, i множини попарно не перетинаються;

b) має місце включення

.

Для формулювання основного результату розділу визначимо при s=1,2,..., , k=1,...,K(i,s) функції як розв’язки допоміжної крайової задачі. Для довільної відкритої множини та замкнутої множини F, яка міститься в , позначимо при функцію як розв’язок задачі

(9)

де — фіксована функція класу , яка дорівнює одиниці в . Однозначна розв’язність задачі (9) виходить із загальної теорії монотонних операторів.

Визначимо при s=1,2,..., , k=1, ..., K(i,s)

.

Припускаємо виконання наступної умови:

с) існує неперервна функція така, що для довільної кулі виконана рівність

(10)

причому наближення до границі в (10) є рівномірним по на будь-якому обмеженому інтервалі змінювання . В (10) — множина тих пар (i,k), для яких , k=1,...,K(i,s) та , де — центр кулі мінімального радіусу, який містить , .

Основним результатом розділу 2 є наступна теорема.

Теорема 4. Нехай виконані умови a1), a2), b1)-b3), l1), l2), c), та — слабко збіжна до послідовність розв’язків задачі (7), (8). Тоді послідовність сильно збігається в при будь-якому і функція є узагальненим розв’язком задачі

(11)

(12)

Доведенню цієї теореми присвячені підрозділи 2.2, 2.3.

В підрозділі 2.2 будуємо асимптотичний розклад послідовності , який базується на вилученні головного члена за допомогою функцій , досліджуємо характер збіжності членів цього розкладу за допомогою інтегральних та поточкових оцінок функції .

В підрозділі 2.3 будуємо крайову задачу (11), (12) для граничної функції на основі асимптотичного розкладу.

В третьому розділі розглядаємо нелінійну параболічну задачу в областях з тонкими порожнинами.

В підрозділі 3.1 даємо постановку задачі та основні означення, доводимо різні допоміжні твердження та формулюємо основний результат розділу 3.

Нехай — обмежений циліндр , де — довільна обмежена область в класу . Припустимо, що функції , j=0,...,n визначені при та задовольняють умови:

a1) неперервні по u, p при майже всіх , вимірні по x, t при будь-яких при , j=0,...,n ;

a2) існують додатні сталі такі, що при всіх значеннях x, t, u, p виконані нерівності

,

,

де .

Для довільної функції g(x,t), яка визначена та інтегровна в позначимо через — перетворення Фур’є g(x,t) по змінній t.

Через , де , позначимо простір функцій зі скінченою нормою

.

Припускаємо, що виконана умова:

f) функція f(x,t) визначена при , дорівнює нулю при t<0, належить в циліндрі до простору та задовольняє нерівність

c деякою сталою N.

Перейдемо до формулювання припущень на послідовність областей. Припустимо, що для кожного натурального числа s при i=1,2...,I(s) визначені поверхні в вимірності та додатні числа , які задовольняють з незалежними від i, s додатними сталими , наступні умови

b1) , де ,

та умови b2), b3), l1), l2), з п. 2.1.

Припускаємо, що при кожному s=1,2,... та розглянемо послідовність квазілінійних параболічних задач

, (13)

, (14)

(15)

з деякою відомою функцією g(x), визначеною в .

Переходячи до нової невідомої функції шляхом віднімання будь-якого розв’язку рівняння (13) в можлива заміна умови (15) на наступну

. (16)

При умовах a1), a2), f) та будь-якому буде досліджуватись розв’язність задачі (13), (14), (16) в просторі , норма в якому дається рівністю

.

Під розв’язком задачі (13),(14),(16) розуміємо таку функцію , що та при будь-яких , вірна інтегральна тотожність

.

Аналогічно підрозділу 2.1, вважаємо, що фіксована послідовність узагальнених розв’язків задачі (13),(14),(16) {} слабко збігається в до деякої функції .

Для заданої пари значень (i,s) таких, що s=1,2,..., поділимо відрізок [0,T] на М(i,s) відрізків рівної довжини точками так, щоб . Визначимо при нескінченно диференційовані функції , m=1,...,M(i,s), , e=0,...,M(i,s), які задовольняють умови:

1) носії функцій містяться відповідно в інтервалах

, ,

значення їх належать відрізку [0,1];

2) при виконується тотожність

;

3) при всіх значеннях , s=1,2,..., вірні нерівності

.

Для формулювання основного результату розділу 3 визначимо при s=1,2,..., , k=1,...,K(i,s) функцію як розв’язок наступної задачі:

,

,

,

де — функція класу , яка дорівнює одиниці в , множини визначені в підрозділі 2.1.

Припускаємо виконання наступної умови:

с) існує неперервна функція така, що для довільної кулі виконана рівність

, (17)

причому наближення до границі в (17) є рівномірним по на будь-якому обмеженому інтервалі змінювання . В (17) — множина тих (i,k,m), для яких , k=1,...,K(i,s), m=1,...,M(i,s) та , де — центр кулі мінімального радіусу, який містить .

Основним результатом розділу є наступна теорема.

Теорема 5. Нехай виконані умови а1), a2), f), b1)-b3), l1), l2), c) та —послідовність розв’язків задачі (13), (14), (16), яка слабко збігається до в . Тоді функція є розв’язком задачі

, (18)

, (19)

(20)

Доведенню цієї теореми присвячені підрозділи 3.2, 3.3.

В підрозділі 3.2 побудований коректор для наближення послідовності , вивчена асимптотична поведінка цієї послідовності.

В підрозділі 3.3 здійснений граничний перехід в рівнянні на основі асимптотичного розкладу, який введений в підрозділі 3.2, побудована початково-крайова задача (18)-(20) для граничної функції .

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вперше досліджене питання усереднення нелінійних еліптичних і параболічних крайових задач в областях з тонкими порожнинами та отримані наступні основні результати:

1. Доведені інтегральні та поточкові оцінки спеціальних модельних нелінійних еліптичних і параболічних крайових задач.

2. Вивчена асимптотична поведінка послідовності розв’язків задач Діріхле для нелінійних еліптичних рівнянь другого порядку в областях з тонкими порожнинами, побудований коректор для наближення такої послідовності розв’язків.

3. Доведена сильна збіжність градієнтів розв’язків в з p<m та побудована крайова задача для граничної функції.

4. Досліджена асимптотична поведінка розв’язків нелінійних параболічних крайових задач в послідовності областей з тонкими порожнинами, побудований коректор для наближення послідовності розв’язків таких задач.

5. Вивчена збіжність градієнтів розв’язків та побудована крайова задача в неперфорованій області.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

1.

1.

1.

1.

1.

АНОТАЦІЇ

Наумова М.А. Усереднення нелінійних крайових задач в областях з тонкими порожнинами. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 — диференціальні рівняння. Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1999.

Дисертацію присвячено питанням усереднення нелінійних еліптичних та параболічних крайових задач в областях з тонкими порожнинами. В роботі отримані інтегральні та поточкові оцінки розв’язків спеціальних модельних нелінійних еліптичних та параболічних крайових задач. Досліджена асимптотична поведінка послідовності розв’язків задач, що розглядаються, отримані достатні умови збіжності розв’язків цих нелінійних крайових задач. Впроваджені коректори для наближення таких послідовностей розв’язків. Встановлена певна збіжність градієнтів розв’язків. Для граничних функцій побудовані крайові задачі в фіксованих областях.

Ключові слова: усереднення, області з тонкою порожниною, еліптичні та параболічні крайові задачі, поточкова оцінка, послідовність розв’язків, асимптотична поведінка, гранична функція.

Наумова М.А. Усреднение нелинейных граничных задач в областях с тонкими полостями. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения. — Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1999.

Диссертация посвящена вопросам усреднения граничных задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений второго порядка в областях сложной структуры — областях с тонкими полостями.

Изучена специальная модельная квазилинейная эллиптическая задача с граничным условием Дирихле в области с тонкой полостью. Для решения этой задачи, используя некоторую модификацию метода Мозера, получены различные предварительные интегральные и поточечные оценки. Предложен метод их уточнения, который приводит, в итоге, к получению основной оценки, играющей важную роль при изучении усреднения нелинейных эллиптических граничных задач в областях с тонкими полостями.

Рассмотрены специальные модельные квазилинейные параболические задачи в области с тонкой полостью, оценки решений которой используются при изучении усреднения нелинейных параболических граничных задач в областях с тонкими полостями. Доказаны различные интегральные и поточечные оценки решений этих задач. Основные поточечные оценки получены путем перенесения метода, предложенного при изучении модельной нелинейной эллиптической задачи на случай рассматриваемых параболических задач.

Рассмотрена проблема усреднения граничных задач для нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в последовательности областей с полостями, которые содержатся в тонких окрестностях гладких многообразий разной размерности. Установлен ряд условий геометрического характера на последовательность областей, которые играют важную роль при изучении усреднения поставленной нелинейной эллиптической задачи в последовательности областей сложной структуры. С помощью полученных оценок решений специальных модельных задач изучено асимптотическое поведение последовательности решений рассматриваемых нелинейных эллиптических задач. Доказана сильная сходимость градиентов решений изучаемых задач, что важно при усреднении нелинейных задач в последовательности областей с тонкими полостями. Построен корректор для приближения последовательностей решений таких задач, с помощью чего изучен характер сходимости таких последовательностей к решениям соответствующих усредненных задач в фиксированной области. Получены достаточные условия сходимости последовательностей решений рассматриваемых нелинейных задач Дирихле для указанных выше областей. Построена граничная квазилинейная эллиптическая задача для предельной функции в усредненной неперфорированной области. Сформулирован принцип аддитивности относительно разбиения множества полостей на подмножества, который был ранее доказан лишь для случая областей с мелкозернистой границей и областей с каналами.

Изучен вопрос усреднения начально-краевых задач для нелинейных параболических уравнений второго порядка в последовательности областей с полостями, которые содержатся в тонких окрестностях гладких многообразий разной размерности. Установлены условия геометрического характера на последовательность областей, которые играют важную роль при изучении усреднения поставленной нелинейной параболической задачи в последовательности областей сложной структуры. Для этого построено асимптотическое разложение последовательности решений рассматриваемых задач, изучено поведение всех его членов на основе полученных интегральных и поточечных оценок специальных модельных квазилинейных параболических задач, доказана сильная сходимость остаточного члена этого асимптотического разложения. Получены достаточные условия сходимости последовательностей решений рассматриваемых нелинейных параболических задач в указанных выше областях к решениям соответствующих усредненных задач в неперфорированной области. Построен корректор для приближения таких последовательностей решений, с помощью чего изучен характер сходимости последовательностей квазилинейных параболических начально-краевых задач в областях с тонкими полостями. Принципиальным является установление определенной сходимости градиентов решений, что важно при усреднении рассматриваемых нелинейных задач в областях сложной структуры. Построена начально-краевая квазилинейная параболическая задача для предельной функции в фиксированной неперфорированной области. Указано выполнение принципа аддитивности относительно разбиения множества полостей на подмножества.

Ключевые слова: усреднение, области с тонкой полостью, эллиптические и параболические краевые задачи, поточечная оценка, последовательность решений, асимптотическое поведение, граничная функция.

Naumova M.A. Homogenization of nonlinear boundary value problems in domains with thin cavities. — Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree by speciality 01.01.02 — differential equations. — The Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Science of Ukraine, Donetsk, 1999.

The dissertation is devoted to the questions of homogenization of nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems in domains with thin cavities. The integral and pointwise estimates of solutions of special model nonlinear elliptic and parabolic boundary value problems are obtained. The asymptotic behavior of a sequence of solutions of problems under consideration is studied. Sufficient conditions of convergence of solutions of these nonlinear boundary value problems are obtained. Correctors for approximation of such sequences of solutions is introduced. Certain convergence of gradients of solutions are obtained. Boundary value problems in fixed domains for limit functions are constructed.

Key worlds: homogenization, domains with thin cavities, elliptic and parabolic boundary value problems, pointwise estimate, sequence of solutions, asymptotic behavior, limit functions.