Чернівецький Національний Університет

імені Юрія Федьковича

Вікторовська Юлія Юріївна

УДК 535.2

Сітки Сингулярностей

в оптичних полях

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.04.05 – оптика, лазерна фізика

Чернівці – 2007

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Чернівецькому національному університеті
імені Юрія Федьковича Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Мохунь Ігор Іванович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича,

професор кафедри кореляційної оптики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Бекшаєв Олександр Янович,

Одеський національний університет

ім. І.І.Мечникова, провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор

Савчук Андрій Йосипович,

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича,

завідувач кафедри

фізики напівпровідників і наноструктур

Провідна установа: Таврійський національний університет

ім. В.І.Вернадського, м. Сімферополь.

Захист дисертації відбудеться 23.02.2007 р. о 15 на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.76.051.01 при Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича, за адресою: 58012, м. Чернівці 12, вул. Коцюбинського, 2.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича за адресою: 58012, м. Чернівці 12, вул. Лесі Українки, 23.

Автореферат розісланий 22.01. 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради М.В.Курганецький

Загальна характеристика роботи

Сингулярна оптика, як галузь сучасної оптики почала розвиватися наприкінці 20-го сторіччя.

Суттєва роль фазових сингулярностей визнана після публікації циклу статей Дж. Ная і М. Беррі [1,2], які ввели нову концепцію в хвильову теорію, що заснована на фазових сингулярностях у хвильовому полі. В оптичних полях уперше сингулярності були розглянуті Б.Я. Зельдовичем і його групою [3]. Вагомий внесок у дослідження систем фазових вихорів зроблений І. Фройндом та його колегами: вони розглянули сітки оптичних дислокацій у скалярному полі [4,5]. І. Фройндом сформульовано фундаментальний знаковий принцип, що пов’язує знаки топологічних зарядів сусідніх вихорів. Саме такі системи, сітки вихорів, об’єднаних знаковим принципом, визначають якісну поведінку фази поля у будь-якій його точці. Принципи сингулярного аналізу векторних полів сформульовані Дж. Наєм і Дж. Хайналом [6]. Поляризаційні сингулярності оптичних полів розглянуті в працях І.І. Мохуня і О.В. Ангельського [7-9]. Ними встановлені взаємозв’язки між векторними сингулярностями різного типу, сформульований знаковий принцип для векторного поля.

Проте залишається ціла низка недосліджених питань, а саме, у який спосіб сингулярні характеристики поля пов’язані з його традиційними параметрами та їх поведінкою. Наприклад, як пов’язані характеристики поляризаційних сингулярностей та традиційні величини, якими характеризуються векторні поля: компоненти матриці когерентності, параметри Стокса.

Ще одним аспектом проблеми є те, що поле, в області, яка безпосередньо прилягає до оптичної сингулярності, “абсолютно” гладке, без “розривів” і підпорядковується фундаментальним рівнянням, що описують електромагнітне поле. Проте наявність сингулярності будь-якого з параметрів поля повинна привести до деяких фізичних особливостей польової структури нею створеною. Виникає питання, у чому полягає фізичний прояв оптичних сингулярностей, прояв, що характеризується специфічною поведінкою фізичної системи, на яку діє електромагнітна хвиля?

Як відомо, електромагнітну хвилю можна охарактеризувати енергією та імпульсом. “Пряма силова” (“енергетична”) дія електромагнітної хвилі на деяку фізичну систему асоціюється з вектором Умова-Поінтінга, який безпосередньо пов’язаний з моментом імпульсу. У працях [10,11] Л.Ален і М.Паджет досліджували наявність та ідентифікацію моменту імпульсу в однорідно поляризованих оптичних полях. Ними показано, що в околі скалярного вихору існує так званий орбітальний момент імпульсу поля. Очевидно, що аналогічні польові структури повинні виникати в околі векторних сингулярностей. Природно, що для поля загального типу характеристики компонент вектора Умова-Поінтінга (в тому числі і поперечної: модуль і орієнтація) можуть розглядатися як деякі просторово-розподілені параметри поля. Такі розподіли повинні мати особливості, включаючи і сингулярності, які будуть визначати специфічну поведінку моменту імпульсу векторного поля. Додамо, що сингулярності вектора Умова-Поінтінга повинні бути пов’язані з характеристиками традиційних сингулярностей, оскільки вони характеризують поведінку параметрів того самого фізичного об’єкта.

Отже, актуальність дисертаційного дослідження викликана необхідністю більш досконалого вивчення сингулярностей оптичних полів, як скелетону поля, встановлення взаємозв’язку між сингулярностями різного типу, традиційними характеристиками оптичних полів і параметрами сіток особливих точок поля.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, результати якого представлено у дисертації, виконувалось у відповідності з програмою наукової тематики кафедри кореляційної оптики Чернівецького національного університету „Дослідження нових можливостей розв’язання оберненої діагностичної задачі в оптиці шляхом використання уявлень фрактальної оптики і хаосу” № держреєстрації ДР0197U014408 (2002-2004 рр.).

У рамках цієї теми дисертантом досліджено взаємозв’язок між традиційними характеристиками оптичних полів і параметрами сіток особливих точок поля та проведений аналіз сингулярностей вектора Умова-Поінтінга.

Метою дисертаційної роботи було побудова сіток сингулярностей вектора Умова-Поінтінга для електромагнітного поля загального виду і встановлення взаємозв’язку цих множин з традиційними оптичними сингулярностями, встановлення взаємозв’язку між параметрами сіток особливих точок векторного поля та його традиційними усередненими характеристиками.

Для досягнення мети розв’язувалися такі конкретні задачі:

· Аналітичне та експериментальне дослідження взаємозв’язку параметрів системи сингулярностей, особливих точок векторного поля та традиційних усереднених поляризаційних характеристик.

· Аналітичне та експериментальне дослідження, комп’ютерне моделювання поведінки вектора Умова-Поінтінга в полях загального типу.

· Встановлення взаємозв’язку характеристик сингулярностей вектора Умова-Поінтінга з параметрами традиційних сингулярностей оптичного поля.

Об’єкт дослідження – електромагнітні поля.

Предметом дослідження є сингулярності та інші особливості векторних полів, які утворюються при взаємодії випромінювання з фізичними об’єктами.

У роботі використовувалися методи кореляційного аналізу, сингулярної оптики, топології, інтерферометрії, поляриметрії, голографії.

Наукова новизна полягає в тому що:

1. Уперше встановлений взаємозв’язок між усередненими поляризаційними характеристиками векторного поля, якими прийнято описувати електромагнітне поле з параметрами системи особливих точок поля (вихорів різниці фаз, сідлових точок різниці фаз, азимута поляризації), які визначають якісну поведінку векторного поля в кожній його точці.

2. Уперше доведено, що дисперсія різниці фаз (дисперсія азимуту поляризації) ортогональних компонент, що відповідає різним рівням інтегральної деполяризації векторного поля, є функцією середньої відстані між найближчими вихорами одного знаку, які відносяться до різних ортогональних компонент.

3. Уперше продемонстровано, що у скалярних полях пасивні миттєві сингулярності є точковими дефектами поперечної складової вектора Умова-Поінтінга і характеризуються тим, що миттєвий момент імпульсу в невеликому околі таких сингулярностей дорівнює нулю. Крайові миттєві сингулярності скалярних полів є протяжними дисклінаціями поля і виникають уздовж ліній, які збігаються з еквіфазними лініями поля. Вихрові сингулярності усередненого вектора Умова-Поінтінга скалярного поля збігаються з позиціями фазових вихорів поля. Позиції пасивних сингулярностей у скалярному полі співпадають з позиціями стаціонарних точок фази поля.

4. Уперше показано, що позиції вихрових сингулярностей миттєвого вектора Умова-Поінтінга векторного поля найчастіше співпадають з позиціями дисклінацій. Проте вони можуть виникати і в середині області з неоднорідною поляризацією. Дисклінації не обов’язково відповідають вихровим сингулярностям і в цьому випадку збігаються з пасивними сингулярностями поперечної складової вектора Умова-Поінтінга. При виникненні на контурі двох вихрових сингулярностей у цій же точці народжуються додаткові миттєві пасивні сингулярності векторного поля, які після виникнення залишають контур.

5. Вихрові сингулярності усередненого вектора Умова-Поінтінга у векторному полі асоціюються з -точками з негативним топологічним індексом. Хіральність вихрових сингулярностей визначається закручуючим фактором хвилі в області, у якій перебувають вихрові сингулярності. Пасивні сингулярності асоціюються з позитивними -точками.

6. Уперше аналітично та експериментально доведено, що в околі негативних -точок виникає усереднений орбітальний момент імпульсу електромагнітного поля.

7. Уперше показано, що позиції сингулярних точок вектора Умова-Поінтінга зсуваються щодо позицій -точок при асиметрії розподілів градієнтів фаз і градієнтів модулів амплітуд ортогональних компонент векторного поля. Величина зсуву визначається співвідношенням величин цих градієнтів.

Практичне значення одержаних результатів

Отримані результати є теоретичною основою розробки оптичних пінцетів нового типу, що дозволяє створювати оптичні засоби контролю та керування параметрами технологічних процесів, які оперують з об’єктами мікронних і субмікронних розмірів незалежно від оптичних характеристик мікрооб’єктів. Представлена розробка може бути використана в мікроелектроніці, прецизійній хімії, фармакології, мікробіології та інших галузях науки і техніки.

Установлений зв’язок між усередненими параметри Стокса і характеристиками компонентних вихорів може бути покладений в основу розробки нових методів і апаратури вимірювання поляризаційних характеристик векторного поля.

Достовірність наукових результатів дослідження поведінки вектора Умова-Поінтінга у векторних і скалярних полях, а також дослідження взаємозв’язку параметрів системи сингулярностей та традиційних усереднених поляризаційних характеристик оптичних полів забезпечене даними експериментальних досліджень і даними комп’ютерного моделювання, застосуванням сучасних методів аналізу та вимірювання характеристик оптичних полів, методів інтерферометрії. За отриманими в роботі даними зроблені оцінки, результати яких збігаються з відомими даними, опублікованими в науково-технічній літературі.

Особистий внесок здобувача. Автор брав участь у постановці задачі та проведенні експериментальних досліджень [1,2,4-13]. Комп’ютерне моделювання в роботах [1, 2, 5] проведене особисто автором, окрім того, у роботах [4,7-9] автор брав участь у проведенні комп’ютерного моделювання.

Апробація результатів роботи

Результати досліджень, викладених у дисертації, доповідалися й обговорювались на таких наукових конференціях: 5th, 6th, і 7th International Conferences of Correlation Optics (Chernivtsi, 2001, 2003, 2005), NATO Advanced Research Workshop “Singular Optics’2003” (Kiev, 2003), International seminar “Optical Twezers” (Bucharest, Romania, 2003), International conference “Photon04”(Glasgow, Great Britain 2004), SPIE International Symposium Optical Science and Technology Denver, USA, 2004), International Conference “ATOM’2004” (Bucharest, Romania, 2004).

Публікації. Результати дисертаційного дослідження опубліковано в 13 статтях, перелік яких дається в кінці автореферату.

Структура та обсяг роботи.

Дисертація складається з вступу, чотирьох розділів і списку використаної літератури, що містить 123 найменування праць . Роботу викладено на 132 сторінках машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі досліджень, визначено наукову новизну і практичну цінність отриманих результатів, подано інформацію про апробацію роботи та публікації автора, а також коротко викладено зміст дисертації за розділами.

Перший розділ містить короткий огляд літератури з сингулярної оптики та стану проблеми досліджень тонкої структури електромагнітних полів на сьогодні. Розглянуті основні топологічні характеристики сингулярностей оптичного поля, такі як топологічний заряд і топологічний індекс.

Для векторного поля можна ввести множину поляризаційних сингулярностей: сітки -точок (точки поля, в яких воно поляризоване циркулярно) та систему -контурів, уздовж яких поле поляризоване лінійно. У працях [7-9] показано, що характеристики -точок і -контурів пов’язані з параметрами вихорів ортогональних компонент, а сама система поляризаційних сингулярностей формує скелетон векторного поля, якій визначає його поведінку у будь-якій точці.

Поляризаційні параметри, що характеризують світлове поле, такі як елементи матриці когерентності, параметри Стокса і т.д. [12], історично вводились для опису поляризаційних характеристик квазімонохроматичних, некогерентних і т. ін. пучків. У результаті, для отримання даних параметрів, у будь-якому випадку, проводиться інтегрування за просторовими координатами і часом. Виникає питання. Чи можна ввести подібні локальні характеристики для довільної точки в просторі чи у часі? Відповідь на це питання позитивна, як мінімум, для когерентних неоднорідних полів.

Для таких полів, у силу лінійності операцій усереднення, параметри Стокса, елементи матриці когерентності – є простими інтегралами за площею аналізу від відповідних локальних параметрів.

Виникає питання. Як такі усереднені параметри взаємопов’язані зі специфічними структурами векторного поля, такими як поляризаційні сингулярності, області поля з сідловими точками поляризаційних параметрів?

Базуючись на вже відомих поняттях “традиційних” оптичних сингулярностей - фазових вихорах і поляризаційних сингулярностях - пояснюються причини розгляду сингулярностей вектора Умова-Поінтінга.

Зауважимо, що в області оптичної сингулярності поле “абсолютно” гладке, без “розривів” і підпорядковується рівнянням Максвела. На деякій відстані від -точки поворот осей еліпсів поляризації реально характеризує відмінність у поляризаційних характеристиках поля. В безпосередній близькості від “сингулярності” еліпси мало відрізняються від кіл, і такі параметри як головна фаза, азимут, не потрібні для опису стану поля в -точці. Додамо, що часова поведінка вектора поля в -точці (на -контурі) і біля неї практично однакова. З іншого боку, наявність сингулярності будь-якого з параметрів поля повинна привести до деяких фізичних особливостей польової структури нею створеною. Виникає питання, у чому полягає фізичний прояв оптичних сингулярностей, прояв, який характеризується специфічною поведінкою фізичної системи, на яку діє електромагнітна хвиля.

Як відомо, енергетична дія електромагнітної хвилі на деяку фізичну систему асоціюється з вектором Умова-Поінтінга, який безпосередньо пов’язаний з моментом імпульсу поля. Однак, на відміну від моменту імпульсу, вектор Умова-Поінтінга не „прив’язаний” до точки прикладання (осі моменту). Водночас, інформація про поведінку цього вектора дозволяє легко перейти до аналізу самого моменту імпульсу поля в довільній області. Для поля загального типу просторові розподіли характеристик компонент вектора Умова-Поінтінга повинні мати особливості, включаючи і сингулярності. Можна очікувати, що як і традиційні оптичні сингулярності, сингулярності вектора Умова-Поінтінга об’єднуються в сітки, які повинні (хоча б на якісному рівні) визначати поведінку вектора Умова-Поінтінга в будь-якій точці.

Очевидно, що характеристики таких сингулярних множин, поведінка вектора Умова-Поінтінга повинні бути пов’язані з характеристиками сіток традиційних сингулярностей.

Виходячи з цього, аналіз сингулярностей вектора Умова-Поінтінга, встановлення відповідних топологічних закономірностей є актуальною задачею.

Другий розділ присвячений встановленню взаємозв’язку між параметрами сіток особливих точок векторного поля та його традиційними усередненими характеристиками.

Припустимо, що лазерний пучок з досить великою довжиною когерентності освітлює розсіюючий об'єкт, у загальному випадку з випадково розподіленими оптичними характеристиками. При цьому об'єкт відповідає такому класу розсіювачів, що когерентні характеристики розсіяного поля зберігаються і в далекій зоні формується когерентне випадкове спекл-поле. У малому тілесному куті, обмеженому розміром площадки фотоприймача, можна вважати, з високою точністю, що характеристики поля статистично однорідні й розподілені в площі аналізу за Гаусовим законом.

Можна показати, що в цьому випадку параметри Стокса , нормовані до одиниці, виражені через лінійно-поляризовані ортогональні компоненти, можуть бути виражені так:

. (1)

де – дисперсія різниці фаз у сідлових точках різниці фаз, – ефективна різниця фаз. Як бачимо з (1), усереднені параметри Стокса пов’язані з дисперсією різниці фаз у сідлових точках різниці фаз. Відзначимо, що пов'язана з величиною середньої відстані між найближчими вихорами одного знаку , що відносяться до різних компонент. При повністю „скорельованих” ортогональних компонентах (однорідно-поляризоване поле) и =0 координати нулів компонент повністю збігаються. При збільшенні , відстань між такими вихорами починає збільшуватися. Граничний випадок = – це повністю інтегрально-деполяризоване поле. Можна зробити висновок, що є деякою функцією : .

Ця залежність може бути отримана, наприклад, з даних комп'ютерного моделювання. Рівень “інтегральної деполяризації” був обраний як поляризаційний параметр, що характеризує усереднені поляризаційні характеристики векторного поля.

Зауважимо, що характер поведінки різниці фаз не залежить від ефективної різниці фаз і сідлові точки та вихорі різниці фаз своїх позицій не змінюють. Відбувається лише зміна форми, розміру і положення -контурів.
-контури мають найменший розмір (у всякому випадку для невеликих рівнів інтегральної деполяризації), коли ефективна різниця фаз дорівнює . Розміри таких областей в векторному полі з достатньо малою інтегральною деполяризацією порівняні з потроєною відстанню між центрами компонентних вихорів одного знаку.

Як відомо, структура -компонент поля залежить від орієнтації базису розкладу. З іншого боку, відомо, що ця залежність зникає, якщо поле представляти як суперпозицію циркулярно-поляризованих компонент. У цьому випадку різниця фаз компонент прямо пов'язана з азимутом поляризації, а сідлові точки різниці фаз є сідловими точками азимута. Тому можна провести аналогічний розгляд для такого базису розкладу. Параметри Стокса набувають вигляду:

, (2)

де , – середні інтенсивності лівоциркулярної та правоциркулярної компонент відповідно, – переважний азимут поляризації, а – дисперсія азимута поляризації в його сідлових точках.

Параметри Стокса і середня відстань між найближчими вихорами одного знаку ортогональних компонент отримані не тільки в результаті комп'ютерного моделювання, але й експериментально визначені для різних рівнів деполяризації. Як тест-об'єкти обрані розсіюючі тонкі полімерні плівки. При цьому рівні деполяризації розсіяного поля близькі до рівнів деполяризації, для яких проводилося комп'ютерне моделювання.

Схема експериментального дослідження представлена на рисунку 1. Циркулярно поляризований пучок направлений на вхід інтерферометра Маха-Цандера. В одному із плечей інтерферометра, у фокусі об'єктива 10, розташований розсіювач (тонка полімерна плівка). Така експериментальна схема забезпечувала: аналіз поля розсіювання в досить малому тілесному куті і формування поля в далекій зоні, з відповідним масштабом спеклів, безпосередньо після об'єктива. На виході інтерферометра розташовувався Стокс-пара для виміру інтегральних параметрів Стокса. Циркулярно-поляризований опорний пучок і поляризатор 13 забезпечували визначення позиції та знаку кожного компонентного вихору методом, описаним в [8].

На рис. 2 зображено взаємозв'язок між рівнем деполяризації та відношенням усередненої відстані між вихорами до довжини кореляції. Рис. 3 ілюструє залежність параметрів Стокса і від відношення усередненої відстані між компонентними вихорами одного знака до довжини кореляції.

Як видно, всі залежності практично лінійні і спостерігається добра відповідність між даними, отриманими комп'ютерним моделюванням і експериментальними дослідженнями.

Отже, характеристики поляризаційних сингулярностей, системи особливих точок (вихорів різниці фаз, -точок, сідлових точок різниці фаз, азимута поляризації) визначають не тільки якісну поведінку векторного поля в кожній його точці, але й однозначно пов'язані з його усередненими поляризаційними характеристиками.

У третьому розділі розглядаються сингулярності вектора Умова-Поінтінга у скалярних полях. У загальному випадку аналітично дослідити поведінку вектора Умова-Поінтінга досить складно, розгляд проводився при умові виконання параксіального наближення, яке найчастіше реалізується на практиці. Однак, на відміну від традиційного підходу, [10] розглядалися не тільки усереднений у часі, але і миттєвий вектор Умова-Поінтінга. Для отримання співвідношень для вектора Умова-Поінтінга скалярного поля були зроблені такі припущення:

1. Поля, що розглядаються, є абсолютно когерентними.

2. Розповсюдження хвиля відбувається у вільному просторі і виконується умова параксіального наближення.

За цих умов можна отримати таку систему для компонент вектора :

, ,

(3)

,

– напруженості електричного поля, – модулі амплітуд і фази компонент відповідно, – їх похідні і , – кругова частота світлового коливання, – хвильове число, – швидкість світла.

Як випливає з цих співвідношень, при виконанні параксіального наближення компоненти вектора Умова-Поінтінга можуть бути записані як функції, що визначаються лише -компонентами електричного поля. Саме ці співвідношення та їх версії і були базовими при проведенні дисертаційного дослідження.

Конкретизуємо поняття скалярного поля у відповідності з умовами нашого аналізу. В нашому випадку під скалярним полем ми розуміли лінійно-поляризоване поле, оскільки для однорідно еліптично-поляризованого поля поведінка вектора Умова-Поінтінга може бути достатньо складною і нетривіальною. Як приклад, у еліптично-поляризованої хвилі може виникати так званий спіновий момент імпульсу [10].

На основі „скалярної версії” рівнянь (3) миттєві сингулрності виникають у двох випадках:

1. Усі три компоненти дорівнюють нулю в певний момент часу. Цей випадок відповідає випадку виникнення дисклінації.

2. Тільки поперечна компонента дорівнює нулю. Ця ситуація відповідає одночасній рівності нулю величин і .

Виходячи з цього, виникнення дефекту вектора Умова-Поінтінга при одночасній рівності нулю всіх трьох компонент потребує уточнення поняття дисклінації для скалярного поля. На відміну від векторного поля, де дисклінації “точкові” дефекти, в скалярному полі вони є рухомими “крайовими” дефектами. Більше того, точкові дисклінації не існують у скалярному полі. Таку ситуацію можна пояснити базуючись на неперервності поля і того факту, що амплітуда лінійно-поляризованої хвилі в кожній точці поля два рази за період коливання набуває нульового значення. Поперечна компонента обертається навколо центра вихору з подвійною частотою коливання хвилі. Напрямок обертання визначається знаком топологічного заряду вихору.

Часова поведінка поперечної компоненти для певної області випадкового скалярного поля ілюструється рисунком 4. Крайові дисклінації обертаються навколо центрів вихорів поля у відповідності зі знаками їх топологічних зарядів. Дисклинації, які обертаються в різних напрямках, що відповідають відповідним сусіднім вихорам, сходяться в сідлових точках фази (рис. б,в,г) і знову розходяться в напрямку, ортогональному до напрямку їх зближення (рис. 4a). Напрям руху дисклінацій указано на рисунках білими стрілками.

Другий тип миттєвих дефектів, що виникають у скалярному полі - це дефекти поперечної складової вектора Умова-Поінтінга, що відповідають її нульовому значенню і ненульовому значенню -компоненти. Такі сингулярності мають точковий характер. Можливі реалізації точкових сингулярностей можуть бути зведені до типів, представлених на рисунку 5. На відміну від вихрових сингулярностей, усереднених за просторовими координатами і малим інтервалом часу момент імпульсу поля дорівнює нулю в невеликому околі такої сингулярності. Тому надалі будемо називати сингулярності такого типу “пасивними”.

З рисунка 5, видно, що пасивні сингулярності можуть характеризуватися як додатним (сингулярність типу “зірка” – рис. 5б,д), так і від’ємним (сингулярність типу “сідло” – рис. 5a) індексом Пуанкаре. Сусідні пасивні сингулярності різних знаків об’єднуються лініями струму поперечної складової вектора Умова-Поінтінга у сингулярні сітки. Причому сідловий характер від’ємної сингулярності забезпечує топологічний зв’язок між додатними дефектами. Тому такі сингулярності народжуються і зникають парами ((+) и (–) сингулярність) без утворення додаткових дефектів.

Рух таких сингулярностей підпорядковується певним закономірностям. Точкові пасивні сингулярності обов’язково проходять через усі стаціонарні точки фази й інтенсивності.

Легко можна показати, що усереднення базових скалярних співвідношень дасть такий результат:

, (4)

де – усередненні компоненти вектора Умова-Поінтінга, – модуль амплітуди, – похідні від фази, – кругова частота світлового коливання, – швидкість світла.

Як і в попередньому випадку, існує можливість виникнення двох типів сингулярностей:

1. Усі компоненти усередненого вектора Умова-Поінтінга дорівнюють нулю (рис. 5б,в). Цей випадок відповідає усередненій вихровій сингулярності, локалізованій у центрі вихору. Модуль амплітуди нульовий. В області центру вихору спостерігається “класична” прецесія вектора Умова-Поінтінга, яка відповідає так званій вихровій сингулярності (рис. 5б,в). Обидва випадки, асоціюються з позитивним індексом Пуанкаре . Тому для повної характеристики такої сингулярності необхідно ввести додатковий параметр типу хіральність . Нехай додатна хіральність (рис. 5в) відповідає прецесії вектора за годинниковою стрілкою, а від’ємна (рис. 5б) характеризує протилежно спрямовану прецесію.

2. Дорівнює нулю тільки поперечна компонента (рис. 5a,г,д). Це випадок усереднених пасивних сингулярностей. Їх координати збігаються з координатами стаціонарних точок фази поля. Напрям розповсюдження енергії в цих точках збігаються з віссю . Саме ці точки поля “задають” переважний напрям розповсюдження скалярної хвилі.

Від’ємні (сідлові) пасивні сингулярності забезпечують топологічний зв’язок між вихровими сингулярностями з однаковою хіральність, тоді як сусідні вихори з різним напрямом прецесії вектора Умова-Поінтінга з’єднуються лініями струму поперечної компоненти цього вектора безпосередньо.

У четвертому розділі розглядаються сингулярності вектора Умова-Поінтінга у векторних полях.

Миттєві сингулярності вектора Умова-Поінтінга виникають у точках поля, де спостерігається дисклінація або нуль поперечної компоненти цього вектора.

Як відомо, дисклінації є точковими дефектами векторного поля [1,6]. Дисклінації пересуваються вздовж -контурів, народжуються і зникають. Кількість їх на -контурі може змінюватися тільки на парне число, тобто як і всі топологічні дефекти вони виникають і зникають тільки парами [1]. Рух дисклінацій, їх взаємозв'язок, взаємозв'язок з іншими польовими структурами відбувається відповідно до топологічних зв'язків і закономірностей. Тому події, асоційовані із сингулярностями вектора Умова-Поінтінга, що народжені дисклінаціями, підпорядковуються аналогічним закономірностям.

З рівняння (3) не випливає ніяких обмежень щодо знаку сингулярності, асоційованої з дисклинацією. Більше того, позитивні миттєві дефекти вектора Умова-Поінтінга можуть бути як вихровими, так і пасивними. Цей факт ілюструється результатами комп'ютерного моделювання, наведеними на рисунку 6. Зауважимо, що такі дефекти можуть обидва бути вихровими, тобто обидві сингулярності характеризуються однаковими індексами Пуанкаре і відрізняються лише хіральністю. Різниці в хіральності досить для забезпечення зв'язку між народженими вихорами Умова-Поінтінга, але не досить для утворення топологічного зв'язку з іншими польовими структурами.

Виходячи із цього, можливі два випадки народження і зникнення сингулярностей вектора Умова-Поінтінга, асоційованих з дисклінаціями:

1. На -контурі народилися дві подібні вихрові сингулярності. Вони володіють різною хіральністю, а їхні індекси Пуанкаре однакові (позитивні). Виходячи із закону збереження сумарного топологічного індексу, паралельно народженню цих сингулярностей у тій же точці поля (на -контурі) повинно відбутися народження двох негативних дефектів. Природно, що це пасивні сингулярності, які відразу ж після акту народження залишають
-контур і йдуть у середину область з еліптичною поляризацією. Так з’являються або зникають чотири дефекти поля поперечної компоненти вектора Умова-Поінтінга.

2. Другий випадок відповідає народженню позитивної та негативної сингулярностей, асоційованих з дисклінацією. У цьому випадку народжуються (зникають) лише дві сингулярності вектора Умова-Поінтінга.

Народження й анігіляція сингулярностей може супроводжуватися появою і зникненням додаткових сингулярностей. У загальному випадку геометричне місце точок таких сингулярностей не пов’язане з -контуром. Подібні сингулярності можуть з’являтися незалежно від народження дисклінацій. При цьому такі сингулярності можуть бути як пасивними, так і вихровими.

Виникнення сингулярності усередненого вектора Умова-Поінтінга в області елементарних поляризаційних комірок пов'язане з наявністю в цій області -точок з певними характеристиками.

Тип сингулярності (вихрова або пасивна) залежить від співвідношення знаків топологічного заряду головної фази -точки і закручуючого фактора в області аналізу. Вихрова сингулярность виникає у випадку, коли ці знаки різні. Пасивна сингулярність утвориться, коли знаки і однакові. Співвідношення між топологічним зарядом та індексом -точки представляється наступним чином:

(5)

У такому випадку можна стверджувати, що вихрова сингулярність поперечної компоненти вектора Умова-Поінтінга відповідає -точкам з негативним індексом (або просто негативним -точкам) і пасивний дефект вектора виникає неподалік від позитивних -точок. Хіральність синуглярності визначається знаком закручуючого фактора хвилі області, де розташована негативна -точка. Поперечна компонента вектора Умова-Поінтінга циркулює навколо „Поінтінг-вихору” за годинниковою стрілкою в області з правою поляризацією (, ) і вона прецесує у протилежному напрямку в регіонах з лівою поляризацією (, ).

У цьому випадку модуль поперечної складової поводиться аналогічно своїй поздовжній складовій і відбувається “ротація” поля у часі навколо
-точки з подвійною частотою світлового коливання. Напрямок ротації визначається лише знаком топологічного заряду головної фази.

Усереднений за часом (по одному періоду коливань хвилі ) момент імпульсу поля в області має вигляд:

(6)

де – потужність вихрового пучка в області .

Завдяки фазовій або амплітудній асиметрії, що виникає хоча б в одній з ортогональних компонент, сингулярність поперечної складового вектора Умова-Поінтінга, а значить, і точка прикладання максимального усередненого моменту імпульсу поля зсувається щодо позиції -точки. Цим і пояснюється, що в загальному випадку позиції -точок і позиції сингулярностей вектора Умова-Поінтінга не збігаються.

Елементарна поляризаційна комірка з -точкою в середині області, обмеженої замкнутим -контуром, сформована методом суперпозиції циркулярно-поляризованого вихрового пучка й ортогонально-поляризованої опорної хвилі з Гаусовим розподілом інтенсивності.

Експериментальне розташування, що використовується для дослідження орбітального моменту імпульсу поля наведене на Рис.7.

Лінійно-поляризований пучок He-Ne лазера спрямовується в інтерферометр Маха-Цандера (елементи 2-8). Цей пучок перетворюється в ортогонально циркулярно-поляризовані пучки за допомогою чвертьхвильових пластинок 3,6. Один з них проходить через вихрову комп’ютерно-синтезовану голограму 7. Після цієї голограми утворюється циркулярно-поляризований вихор. На виході інтерферометра формується поляризаційно-неоднорідне поле, що містить -точку. Далі результуюче поле фокусується за допомогою мікрооб'єктива 11 у площину зразка з мікрочастинками 12 і формує оптичну пастку. Результат впливу пучка на мікрочастинки спостерігається за допомогою оптичної системи 13,14 з CCD-камерою. Для формування оптичної пастки використовувався -мікро-об'єктив з одиничною апертурою. Поперечні розміри пастки 8 – 10 мкм.

Знак орбітального моменту імпульсу (напрямок впливу поля в поперечній площині) можна легко змінювати вибором дифракційного порядку після вихрової голограми 7. Відомо [13], що вихори, сформовані в позитивному і негативному дифракційному порядках, відрізняються знаком топологічного заряду.

Аналізатор 9 міг вводитися в пучок після інтерферометра з метою візуалізації поляризаційної модуляції в пастці. Позиції вихору поляризаційної проекції співпадають з координатами точок, у яких спостерігаються дисклінації Ная, що рухаються уздовж -контуру під дією часових змін векторного поля.

В якості тест-об’єкта були обрані мікрочастинки в мастилі. Поведінка захопленої пасткою частки ілюструється рисунками 8 і 9.

a) b) c) d a) b) c) d)

Рис. 8 Рис. 9

Як видно з рисунка 8, захоплена частка обертається за годинниковою стрілкою. Період обертання частинки близько 4-5 секунд. Рисунок 9 відповідає ситуації, коли знак вихору, який формує поляризаційну пастку, змінювався на протилежний, що відповідає зміні знаку орбітального моменту імпульсу. Частинка починала обертатися проти годинникової стрілки зі значно меншою швидкістю. У цьому випадку період обертання становив близько 8-10 секунд. Розходження між періодами обертання в першому і другому випадку може бути пояснено тільки тим, що в першій ситуації спіновий момент впливає на частинку в тому ж напрямку, що і орбітальний, а при зміні топологічного заряду -точки спіновий момент компенсує орбітальний.

Наступний результат (рисунок 10) ілюструє вплив орбітального моменту імпульсу поля на маленьку поглинаючу темну частинку, захоплену темним дифракційним кільцем, яке оточує поляризаційну пастку.

З рисунка видно, що частинка обертається по межі “головної” області пастки. Такий характер обертання частинки можна пояснити тільки наявністю орбітального моменту імпульсу поля. Розмір частинки сягав величини порядку 2-4 мкм. Період обертання 0.5-1 секунда.

Додамо, що існування орбітального моменту імпульсу в околі -точки цікаво не тільки з фундаментального погляду, але може бути використано й у прикладному аспекті для створення світлих поляризаційних пасток з контрольованим орбітальним моментом імпульсу поля.

У висновках викладено найбільш важливі наукові та практичні результати, отримані в дисертаційній роботі.

Основні результати та Висновки

У результаті проведення дисертаційного дослідження виявлено новий тип сингулярностей електромагнітної хвилі – сингулярності вектора Умова-Поінтінга. Аналітично та експериментально встановлено взаємозв’язок: між системами таких сингулярностей з множинами традиційних оптичних сингулярностей; між параметрами сіток особливих точок векторного поля та традиційними усередненими характеристиками цього поля.

На основі отриманих результатів можна зробити такі висновки:

1. Усереднені поляризаційні характеристики векторного поля однозначно визначаються параметрами систем особливих точок (вихорів різниці фаз, сідлових точок різниці фаз, азимута поляризації), які утворюють скелетон поля.

2. Дисперсія різниці фаз ортогональних компонент (дисперсія азимуту поляризації) визначається середньою відстанню між найближчими вихорами одного знаку, що відносяться до різних ортогональних компонент.

3. Пасивні миттєві сингулярності скалярних полів є точковими дефектами поперечної складової вектора Умова-Поінтінга і характеризуються відсутністю миттєвого моменту імпульсу поля в невеликому околі таких сингулярностей. Крайові миттєві сингулярності скалярних полів є протяжними дисклінаціями поля і виникають уздовж ліній, які збігаються з еквіфазними лініями поля. Координати усереднених вихрових сингулярностей вектора Умова-Поінтінга скалярного поля збігаються з позиціями фазових вихорів поля. Координати усереднених пасивних сингулярностей у скалярному полі збігаються з позиціями стаціонарних точок фази поля.

4. Координати миттєвих сингулярностей вектора Умова-Поінтінга векторного поля найчастіше збігаються з позиціями миттєвих нулів поля. Проте вони можуть виникати і в середині області з неоднорідною поляризацією. Сингулярності вектора Умова-Поінтінга, які асоціюються з дисклінаціями, можуть і не відповідати вихровим сингулярностям. У цьому випадку вони є пасивними сингулярностями поперечної складової цього вектора. При виникненні на контурі двох вихрових сингулярностей у цій же точці народжуються додаткові миттєві пасивні сингулярності векторного поля, які після виникнення залишають контур.

5. Вихрові сингулярності усередненого вектора Умова-Поінтінга у векторному полі пов’язані з -точками з негативним топологічним індексом. Хіральність вихрових сингулярностей визначається закручуючим фактором хвилі в області. Пасивні усереднені сингулярності вектора Умова-Поінтінга векторного поля відповідають позитивним -точками. Локалізація сингулярностей вектора Умова-Поінтінга і -точок у загальному випадку різна.

6. В околі негативних -точок виникає момент імпульсу електромагнітного поля внаслідок сумарної дії спінового та орбітального моментів. В околі позитивних -точок момент імпульсу поля дорівнює нулю внаслідок взаємної компенсації спінового та орбітального моментів.

7. Позиції сингулярних точок вектора Умова-Поінтінга зсуваються щодо позицій -точок під впливом асиметрії розподілів градієнтів фаз і градієнтів модулів амплітуд ортогональних компонент векторного поля. Величина зсуву визначається співвідношенням величин цих градієнтів.

ЛІТЕРАТУРА, ЩО ЦИТУВАЛАСЯ

1. J.F.Nye. Natural focusing and fine structure of light. – Institute of physics publishing, Bristol and Philadelphia. – 1999. – 328 p.

2. M.V.Berry. Singularities in waves and rays. // Physics of defects. Les Houches Session XXXV, 28 July - 29, August 1980. - Amsterdam: North-Holland. – 1981. – P. 453-543.

3. Н.Б.Баранова, Б.Я.Зельдович. Дислокации поверхности волнового фронта и нули амплитуды. // ЖЭТФ. – 1981. – Т.80. – Вып.5. – С. 1789-1797.

4. I.Freund, N.Shvartsman and V.Freilikher. Optical dislocation networks in highly random media. // Opt. Comm. – 1993. – V. 101. – P. 247-264.

5. I. Freund and N. Shvartsman. Wave-field phase singularities: The sign principle. // Physical Review. – 1994. – V. 50. – № 6. – P. 5164-5172.

6. J.F.Nye, J.V.Hajnal. The wave structure of monochromatic electromagnetic radiation. // Proc. R. Soc. Lond. – 1987. – A. 409. – P. 21-36.

7. O. Angelsky, R. Besaha, A. Mokhun, I. Mokhun, M. Sopin, M. Soskin, M. Vasnetsov. Singularities in vectoral fields. // SPIE Proc. – 1999. – V. 3904. – P. 40-55.

8. O.V. Angelsky, A.I. Mokhun, I.I. Mokhun, M.S. Soskin, Interferometric methods in diagnostics of polarization singularities. // Phys. Rev. E. – 2002. – V. 65. – 036602(5).

9. O. Angelsky, A Mokhun., I. Mokhun, M. Soskin. The relationship between topological characteristics of component vortices and polarization singularities. // Opt. Comm. – 2002. – V. 207. – P. 57-65.

10. L. Allen, M.J. Padgett and M. Babiker. The orbital angular momentum of light. – E.Wolf, Progress in optics XXXIX 1999, Elsevier Science B.V. – 1999. – 256 p.

11. L. Allen, M.J. Padgett. The Poynting vector in Laguerre-Gaussian beams and the interpretation of their angular momentum density. // Opt. Comm. – 2000. – V. 184. – P. 67 71.

12. М. Борн, Э. Вольф Основы оптики. Пер. с англ. – М.: Наука. – 1973. – 719 c.

13. I.V. Basisty, M.S. Soskin, M.V. Vasnetsov. Optical wavefront dislocations and their properties. // Opt. Comm. – 1995. – V. 119. – P. 604-612.

Список праць, опублікованих автором

1. R.Brandel, A.Mokhun, I.Mokhun, Ju.Viktorovskaya. Fine structure of heterogeneous vector field and his space averaged polarization characteristics. // Opt. Appl. – 2006. – V. 36. – N1 P. 79-95

2. I. Mokhun, R.Brandel and Ju.Viktorovskaya. Angular momentum of electromagnetic field in areas of polarization singularities // UJPO. – 2006. – V.7. – N2. – P. 63-73.

3. I.Mokhun, A.Mokhun and Ju.Viktorovskaya. Singularities of the Poynting vector and the structure of optical fields // UJPO. – 2006. – V.7. – N3. – P. 129-141.

4. Р. Брандель, Ю. Вікторовська, А. Мохунь, І. Мохунь. Зв’язок тонкої структури неоднорідного векторного поля і його усереднених поляризаційних характеристик. // Наук. Вісник ЧНУ, Фізика, електроніка. – 2005. – вип. 261. – С. 49-56.

5. I. Mokhun, D. Byrkovets, A.Gogynets, Ju. Viktorovskaya. Computer simulation of the referenceless holography algorithm for transmitted data encryption and decryption.// Proc. SPIE. – 2002. – V. 4607. – P. 148-152.

6. A. Arkheluk, R. Brandel I. Mokhun, Ju. Viktorovskaya. Angular momentum of electromagnetic field in areas of optical singularities. // Proc SPIE. – 2004. – V. 5477. – P. 47-54.

7. I. Mokhun, A. Mokhun, Ju. Viktorovskaya, D. Cojoc, O. Angelsky, E. Di Fabrizio. Orbital angular momentum of inhomogeneous electromagnetic field produced by polarized optical beams. // Proc. SPIE. – 2004. – V. 5514. – P. 652-662.

8. I. Mokhun, A. Mokhun, Ju. Viktorovskaya, D. Cojoc, E. Di Fabrizio. Angular momentum of inhomogeneous polarized field.// Proc. SPIE. – 2005. – V. 5972. – P. 23-29.

9. R. Brandel, A. Mokhun, I. Mokhun, Ju. Viktorovskaya. Space averaged polarization characteristics of inhomogeneous vector field. // Proc. SPIE. – 2005. – V. 5972. – P. 38-45.

10. R. Brandel, A. Mokhun, I. Mokhun, Ju. Viktorovskaya, I. Kurchenko, I. Davidenko, I. Sidorchuk. Optical trapping and manipulation micro objects with different optical characteristics. // Proc. SPIE. – 2005. – V. 5972. – P. 46-50.

11. A. Mokhun, I. Mokhun, Ju. Viktorovskaya. . .// Proc. SPIE. – 2006. – V. 6254. – P. 64-72.

12. I. Mokhun, A. Mokhun, Ju. Viktorovskaya. . // Proc. SPIE. – 2006. – V. 6254. – P. 73-82.

13. I. Mokhun, A. Angelskaya, A. Mokhun, J. Viktorovskaya. .// Proc. SPIE. – 2006. – V. 6254. – P. 83-88.

Анотація

Вікторовська Ю.Ю. Сітки сингулярностей в оптичних полях. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.04.05 – „Оптика, лазерна фізика”. – Чернівецький національний університет, Чернівці, 2006.

Побудована система сингулярностей поля вектора Умова-Поінтінга для поля загального типу. Сформульовані топологічні закономірності для дефектів такого