Національний університет “Львівська політехніка”

Яворський Богдан Іванович

УДК 621.391:519.22

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ СИГНАЛУ

ЗІ СТОХАСТИЧНИМИ ЗСУВАМИ СПЕКТРУ

ТА МЕТОДИ ЙОГО ЕФЕКТИВНОГО ВИЯВЛЕННЯ

01. 05. 02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Львів — 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Тернопільському державному технічному університеті

імені Івана Пулюя Міністерства освіти та науки України

Науковий консультант: | доктор фізико-математичних наук, професор

Драґан Ярослав Петрович,

Національний університет „Львівська політехніка” Міністерства освіти та науки України,

професор

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Яворський Ігор Миколайович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка

Національної академії наук України, м. Львів,

завідувач відділу

доктор технічних наук, професор

Юхимчук Сергій Васильович,

Вінницький національний технічний університет

Міністерства освіти та науки України,

завідувач кафедри

доктор технічних наук, професор

Крилов Віктор Миколайович,

Одеський національний політехнічний університет

Міністерства освіти та науки України,

професор

Провідна установа: | Інститут космічних досліджень Національної академії наук України та Національного космічного агентства України, м. Київ, відділ „Системного аналізу та керування”

Захист відбудеться “29” жовтня 2007 р. о 13 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .052.05 Національного університету "Львівська політехніка" (79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12).

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Національного університету “Львівська політехніка” (79013, Львів, вул. Професорська, 1).

Автореферат розісланий “14” вересня 2007р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор технічних наук Р.А. Бунь

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При запровадженні радіомоніторингу первинним завданням є виявлення радіосигналу. Особливо актуальним є завдання ефективного (швидкого, вірогідного, обмеженою кількістю засобів) виявлення спеціальних радіосигналів (координаційний план № 9 проекту 53/10 Міністерства освіти України, 1997 р.; постанова Кабінету Міністрів України від 9 грудня 1999 р. № про концепцію розвитку зв'язку України до 2010 р.). Посеред таких радіосигналів найбільше застосування мають радіосигнали зі стохастичними зсувами спектру. Потрібні швидкість та вірогідність виявлення їх досягаються, але завдяки застосуванню великої кількості засобів, зокрема, цифрової обчислювальної техніки (наприклад, системи „Луч”, „Свєтозар”, „Барвінок”, АРК, „Родея”, 3238НР тощо). Забезпечення достатніх швидкості та вірогідності виявлення обмеженими засобами постає важливою науково-технічною проблемою.

Відомі алгоритми ефективного виявлення простого (вузькосмугового) радіосигналу у суміші його з шумом випливають з методу вибору найбільш правдоподібного рішення. Цей метод побудовано на базі статистичної теорії вибору рішення (T.C.F.R.A.M.J.E.Тоді для спектральних моделей радіосигналу та шуму (у тому числі стохастичних, з ґаусовими розподілами), побудовано конструктивний критерій виявлення радіосигналу (B.A. Котельнiков, R.H.U.nander, І.W.T.D.W.W.A.J.A.P.M.J.M.та ін.). Спектральні моделі є лінійними формами, базис яких є власними функціями оператора зсуву у часі (A. Колмогоров, J.N.) чи кореляційного оператора (M.K.M.иve, A.J.D.D.а коефіцієнти визначаються скалярним добутком суміші радіосигналу та шуму на базис. Тобто, для простих радіосигналів ефективним за критерієм „складність”/„швидкість-вірогідність” є метод виявлення, побудований для представлення суміші сигналу та шуму лінійною формою у, як уточнено пізніше (J.бjek, T.E.функційному просторі з відтвірним кореляційним ядром. Цей метод пристосовано й для складніших випадків — сингулярних радіосигналів та шумів (І.М. Аміантов, Л.А. Вайнштейн, В.Д. Зубаков, Р.Л. Стратонович, Ю.Г. Сосулін, В.І. Тіхонов, С.Е. Фалькович, R.I.F.C.L.A.R.E. Kalman, R.S.радіосигналів зі стохастичними параметрами (В.Г. Рєпін, П.Ф. Поляков, Р.Л. Стратонович, Г.П. Тартаковскій, А.П. Тріфонов) та радіосигналів, спектр яких піддається стохастичним зсувам (Л.Є. Варакін, Г.І. Тузов, K.D.E.A.K.H. Li, K.W.E.та ін.). При цьому застосовуються секвенційні (послідовнісні) методи адаптації засобів виявлення до радіосигналу за його спектрально-статистичними ознаками (R.A.А. Колмогоров, А.М. Шіряєв, J.J.Це дає змогу отримати швидке, вірогідне, але також складне виявлення. Коли спектр радіосигналу піддається стохастичним зсувам, обчислювальна складність виявлення зростає суттєво. Потрібні швидкість та вірогідність виявлення забезпечуються збільшенням кількості апаратури, що зменшує його ефективність.

Аналіз систем виявлення сигналів зі стохастичними зсувами спектру показав, що ефективність їх в основному визначається методом пристосування до зсувів спектру засобів визначення а) спектральних характеристик сигналу (пристроїв АЦП — аналогово-цифрового перетворення та ЦСА — цифрового спектрального аналізу) та б) статистики виявлення. При цьому оптимізуються часові інтервали ЦСА сигналу, параметри та характеристики попередньої обробки його, банків багатоканальних вузькосмугових фільтрів тощо.

Достатні швидкість, вірогідність виявлення, широкий частотний діапазон АЦП і ЦСА з одного боку, низька складність обчислень з другого боку є суперечливими вимогами, коли для зображення сигналу зі стохастичними зсувами спектру та шуму застосовують лінійні, спектральні моделі. Такі моделі не мають засобів для означення стохастичних зсувів спектру, що є причиною зростання обчислювальної складності при розв’язуванні завдання виявлення сигналу.

Ефективне виявлення можливе або при наявності відомостей про суміш сигналу зі шумом , про значення часових (час кореляції) та частотних (ширина спектру) її носіїв та про вираз норми (енергії) , або при наявності математичної моделі у просторах з нормами, базисами та скалярними добутками, у яких враховано стохастичні зсуви спектру. Побудова і використання математичних моделей сигналу зі стохастичними зсувами спектру та шуму для забезпечення виявлення його обмеженою кількістю засобів й з достатніми швидкістю та вірогідністю у сукупності складають важливу науково-прикладну проблему. Її вирішення є актуальним.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Теоретичні дослідження та практична робота за темою дисертації проводилися при виконанні планових НДР у Тернопільському державному технічному університеті імені Івана Пулюя за тематикою визначення в реальному масштабі часу навантаження та характеристик продуктивності інформаційних потоків, їх системного контролю та моніторингу при максимальному застосуванні цифрових обчислювальних засобів. Дослідження започатковано при виконанні НДР за темою Д – „Контролер і системне програмне забезпечення кольорової півтонової динамічної візуалізації оцінок параметрів і характеристик моделей фізичних полів”, інвентарний номер держ. реєстрації U000183, 1991-1995 рр., програма „Фундамент” з космічного приладобудування, Національне космічне агентство України.

Базовими для підготовки та подання дисертаційної роботи були НДР:

а) ДІ  – „Система екологічно-медичного моніторингу довкілля”, інвентарний номер держ. реєстрації U001720, 1997-2000 рр.;

б) ВК-501 – „Дослідження і розробка методів та засобів виявлення евентуальних та ритмічних сигналів”, інвентарний номер держ. реєстрації U007000, 2001-2004 рр.

Здобувач приймав як безпосередню участь у виконанні всіх наведених НДР, так і керував їх проведенням.

Мета і задачі дослідження. Метою дослідження є розроблення математичних моделей сигналу зі стохастичними зсувами спектру для побудови методів достатньо швидкого та вірогідного виявлення його обмеженою кількість засобів. Для її досягнення розвязано такі задачі:

-

-

-

-

-

-

Об'єктом досліджень є процес достатньо швидкого та вірогідного виявлення сигналу зі стохастичними зсувами спектру обмеженими засобами.

Предметом досліджень є математичні моделі сигналу зі стохастичними зсувами спектру після аналогово-цифрового перетворення його, які забезпечують побудову методів достатньо швидкого та вірогідного виявлення такого сигналу обмеженими засобами.

Методи досліджень базуються на положеннях енергетичної теорії сигналів і систем (ЕТСС) для ідентифікації структури та параметрів математичних моделей сигналу зі стохастичними зсувами спектру після його АЦП, статистичної теорії рішень для ідентифікації параметрів моделі, опуклого та функціонального аналізу для розроблення методів ефективного оптимального налаштування засобів виявлення сигналів.

Науковa новизна отриманих результатів:

-

-

-

-

-

-

-

Практичне значення отриманих результатів. Результати роботи уможливлюють ефективне виявлення сигналу зі стохастичними зсувами спектру — спрощення апаратури, збільшення швидкості та вірогідності виявлення. Практична цінність результатів дисертаційної роботи полягає у придатності розроблених моделей для застосування при побудові різноманітних радіотехнічних систем контролю радіоелектронної обстановки — у довкіллі, каналах лінійного звязку, навігації, локації. Це стало визначальним для розроблення й впровадження алгоритмічного і програмного забезпечення пристроїв АЦП та ЦСА у різних системах.

Окремі результати впроваджено у таких радіотехнічних системах:

-

-

-

-

-

-

Результати роботи використовуються у навчальному процесі низки вищих освітніх закладів України.

Зростання кількості комунікаційних, локаційних і керуючих радіотехнічних систем з сигналами зі стохастичними зсувами спектру, уможливлення їх неліцензованого застосування показує, що значення розроблених моделей зростатиме.

Особистий внесок здобувача в опубліковані у співавторстві роботи визначається такими науковими положеннями та результатами:

1, 37 — встановлення та обґрунтування існування взаємно-однозначної відповідності між спектральними зображеннями слабко періодичної функції і еквідистантними оцінками значень її статистик;

1, 6, 16 — встановлення існування індикаторних функцій, які визначають базис спектрального зображення слабко періодичного випадкового процесу, вибір та застосування їх;

1, 2-4, 13, 31-33 — встановлення підстав для впорядкування зображень нестаціонарних сигналів і засобів аналізу їх та побудова методу впорядкування;

1, 10, 12 — обґрунтування вибору варіації спектрального зображення слабко періодичної функції за критерій для екстремальної параметричної адаптації визначення цього зображення;

8, 9, 11 — обґрунтування вибору варіації зображення слабкоперіодичного сигналу за критерій для вибору базису зображення;

14 — встановлення методу індексації спектральних компонент слабкоперіодичного сигналу та побудова індексного лічильника для виконання індексації;

19-21, 23 — адаптивні структури спектрального аналізу сигналів у базисах спектральних розкладів неперервних, слабко періодичних функцій та методи синтезу їх;

17, 27, 38 — встановлення необхідності метрологічного нормування спектральних характеристик слабко періодичних сигналів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційних досліджень апробовано на:

Науково-технічній конференції "Методы представления и обработки случайных сигналов и полей", 1989 р., м. Харків;

Міжрегіональній науково технічній конференції "Цифровая обработка сигналов в системах связи и управления", 1992 р., м. Львів;

ХІІ науково-технічному семінарі "Статистический синтез и анализ информационных систем", 1992 р., м. Черкаси;

І, ІІ, ІІІ міжнародних конференціях "Обробка сигналів і зображень та розпізнавання образів" УкрОБРАЗ-92,94,96 (1992, 1994, 1996 рр.), м. Київ;

ІІ науково технічній конференції "Прогресивні матеріали, технології та обладнання в машино- і приладобудуванні", 1993 р., м. Тернопіль;

І Європейській конференції з аналізу та прогнозування сигналів ECSAP-97, 1997 р., м. Прага (Чехія);

IV міжнародній конференції з розпізнавання образів та обробки зображень PRIP-97, 1997 р., м. Мінськ (Білорусь);

ІV Українській конференції з автоматизації управління “Автоматика 97”, 1997 р., м.Черкаси;

Міжнародних конференціях "Modern Problems of Radio Engineering, Telecommunication and Computer Science" TCSET'2002-2004 (2002, 2004 рр.), Львів-Славсько;

ІІ міжнародній науково-технічній конференції "Оптоелектронні інформаційні технології "Фотоніка- ОДС 2002", м. Вінниця;

Міжнародній конференції "Functional Analysis and its Applications" 2002, м. Львів;

Міжнародній конференції з індуктивного моделювання „МКІМ-2002”, м. Львів;

Першому міжнародному радіоелектронному форумі "Прикладная радиоэлектроника. Состояние и перспективы развития" 2002 р., м. Харків.

В цілому робота обговорювалася у ТДТУ імені Івана Пулюя (м. Тернопіль), НДІ комплексної автоматизації (м. Донецьк), Національному університеті ”Львівська політехніка”, Інституті космічних досліджень НАН та НКА України (м. Київ).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 42 наукові праці у виданнях України та за кордоном, у тому числі: монографія 1, 21 стаття у фахових наукових виданнях [2-22], авторське свідоцтво 23, навчальний посібник], статті у рецензованих збірниках наукових праць], статті та тези у матеріалах наукових конференцій 28-42. Роботи [5, 7, 15, 18, 22, 24-26, 28-30, 34-36, 39-42 опубліковані одноосібно.

Обсяг та структура дисертації. Дисертація складається з вступу, семи розділів, висновку, викладених на 252 сторінках, списку літератури з 150 назв на 14 сторінках, додатків на 65 сторінках. Загальний об’єм роботи — 342 сторінки.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано її мету та завдання, наведено об’єкт, предмет та методи дослідження, визначено наукову новизну, практичне значення й особистий внесок автора, подано відомості про апробацію і впровадження результатів дослідження.

У першому розділі проаналізовано та систематизовано відомості про роль лінійних математичних моделей при побудові ефективних обчислювальних методів виявлення радіосигналів, зокрема, зі стохастичними зсувами їх спектру та врахуванням шуму АЦП їх.

Ефективними у розглядуваному сенсі методами виявлення відомих радіосигналів є методи, побудовані на байєсовій концепції статистичної теорії вибору рішень. Вони втілені у структури та алгоритми приймачів стійких (інваріантних) до змін імовірності виявлення (А.Г. Зюко, Д.Д. Кловський, Б.Р. Левін, В.Г. Рєпін, Р.Л. Стратонович, П.Ф. Поляков, А.А. Сікарев, Г.П. Тартаковский, В.І. Тихонов, А.П. Тріфонов, Г.І. Тузов, А.І. Фалько, Я.З. Ципкін, В.В. Шахгільдян, М.С. Ярликов, D.H.L.Trees, E.A.W.E.та ін.). Для ґаусової моделі розподілу імовірностей водночас теоретично коректні та практично конструктивні критерії виявлення побудовані на базі лінійної, спектрально-кореляційної теорії.

Застосуванням розподілів з марківською випадковою структурованістю, поліґаусових розподілів та лінійних розкладів розподілів (В.М. Артємєв, І.Є. Казаков, Ю.П. Кунченко, П.Ф. Поляков та ін.) розроблено адаптивні до відомих змін спектру сигналу методи оптимального виявлення його (П.Ф. Поляков, В.П. Поляков E.A., Geraniotis, W.E.та ін.).

Аналіз відомих методів виявлення показав, що глобальний екстремум критерію оптимальності виявлення, адаптація виявлення можливі завдяки властивості опуклості його критерію — функціоналу від спектру сигналу. Оскільки опуклість властива спектрально-кореляційним функціям, то детально проаналізовано застосування спектральних моделей сигналу зі стохастичними зсувами спектру при побудові функціоналу правдоподібності.

Установлено, що байєсівські методи виявлення сигналу з відомими параметрами стохастичних зсувів спектру адекватні застосованій для побудови їх спектральній моделі, бо тоді спектральний аналіз вдається синхронізувати з часовими зсувами спектру.

На рис. наведено спектрограми компютерного моделювання АЦП та ЦСА когерентних з вузько смуговима) та зі стохастичними стрибками несучої частотиб) радіосигналу у суміші з адитивним білим гаусовим шумом.

(а) |

(б)

Рис. . Спектрограми: (а) — амплітудномодульованого радіосигналу, та (б) — цього ж сигналу з псевдовипадковими стрибками несучої частоти. Вісь абсцис —час t, с, вісь ординат — частота , Гц.

Аналіз спектрограм показав, що АЦП та ЦСА суттєво не спотворюють розподіл енергії по частоті, що уможливлює з врахуванням відомих параметрів епох зсувів спектру достатньо точне визначення статистики виявлення і достатньо вірогідне виявлення сигналу.

При невідомих параметрах стохастичних зсувів спектру спектральний аналіз необхідно виконати для всієї, широкої смуги частот. Практично когерентний ЦСА тоді не вдається здійснити.

На рис. наведено результати широкосмугового ЦСА суміші шуму та сигналу (рис. ) зі стохастичними зсувами спектру, коли початок сигналу відомий (а), та невідомий (б). Вони ілюструють сукупний вплив АЦП, шуму каналу та ЦСА на отриманий спектр.

Аналіз ілюстрацій показує, що з урахуванням вираження спектральних амплітуд через рівень сірого (чи псевдоколір) широкосмугові АЦП та ЦСА сигналу зі стохастичними зсувами спектру вирівнюють розподіл енергії по частоті так, що логарифм відношення енергій сигналу до сукупного шуму стає <  дБ. Це унеможливлює коректну побудову функціоналу відношення правдоподібностей і вірогідне виявлення сигналу.

(а) |

(б)

Рис. . Вплив АЦП на результат когерентного (а) та некогерентного (б) ЦСА радіосигналу зі стохастичними зсувами спектру; вісь абсцис — час, с; вісь ординат — частота, Гц.

На рис. зображено типові потенційні характеристики виявлення (залежність імовірності виявлення від логарифму відношення енергій сигналу до шуму, SNR).

На рис. а) наведено характеристики виявлення вузькосмугового сигналу (рис. , а), а на рис. б) — такі ж характеристики, але сигналу зі стохастичними зсувами спектру і з врахуванням впливу його АЦП на результати ЦСА (рис. , б). Вони ілюструють зменшення вірогідності виявлення при некогерентності АЦП та ЦСА до сигналу. Такі характеристики використано при обґрунтуванні адекватності математичної моделі сигналу зі стохастичними зсувами спектру після АЦП під час її верифікації.

Аналіз публікацій показав, що для підвищення вірогідності виявлення радіосигналу методи виявлення ускладнюють з метою зменшення кореляційних зв’язків, які виникають від некогерентності до сигналу процесів АЦП та ЦСА. При цьому отримують взаємну незалежність спектральних складових сигналу і шуму, необхідну для побудови функціоналу відношення правдоподібностей, інваріантність їх до трансляцій у часові, до АЦП та до стохастичних зсувів спектру. Проте тоді ефективність виявлення зменшуються (зростає обчислювальна складність, що для заданих швидкості та вірогідності приводить до зростання кількості обладнання).

(а) |

(б)

Рис. . Типові характеристики виявлення радіосигналу у суміші з гаусовим шумом при некогерентному АЦП та ЦСА суміші (вісь абсцис — логарифм відношення сигнал/шум АЦП, дБ; вісь ординат — імовірність виявлення при імовірності марної тривоги:  — 0,1,  — 0,01,  — 0,001)

Виникає задача структурної ідентифікації спектральної моделі сигналу зі стохастичними зсувами спектру після АЦП для побудови функціоналу відношення правдоподібності.

Другою задачею є врахування шумів широкосмугового АЦП сигналу зі стохастичними зсувами спектру при побудові функціоналу відношення правдоподібностей в межах цієї моделі, а третьою — задача параметричної ідентифікації моделі цифрового сигналу зі стохастичними зсувами спектру для визначення значення статистики та характеристик виявлення стандартними методами. При цьому встановлено, що якщо появляються взаємнокорельовані спектральні складові, то спектральні метрологічні характеристики коректно шукати у гільбертових просторах, побудованих в ЕТСС (Є. Гладишев, Л. Гудзенко, Я.П. Драган, В.О. Омельченко, Є. Слуцький, І.М. Яворський, A.Lapiere, R.E.L.W.A.H.L.та ін.), засобами якої виражено такі характеристики для низки сигналів.

Установлено номенклатуру лінійних базисів, що забезпечать необхідні спектральні розклади. Ними є базиси зображення слабко періодичних функцій, яке подається виразом (А. Безикович, М.М. Боголюбов, П. Боль, Г. Бор, та ін.), де:  — спектральні коефіцієнти,  — цілочислові індекси, . Оскільки при цьому виникає потреба у належному виборі значень частот , то виникає наступна задача — обґрунтування та побудови критерію екстремальної адаптації параметрів АЦП та ЦСА до стохастичних зсувів спектру. За такий критерій взято метрику, у вираз якої параметри входять аргументами, й адаптацію параметрів подано виразом

,

де  — метрика спеціально побудованого, відповідного до сигналу зі зсувами спектру простору , а знак означає необхідність адаптації. Це є підставою для розв’язання задачі метрологічного нормування спектру, необхідного у практиці застосування його для побудови функціоналу відношення правдоподібностей з урахуванням шуму каналу, АЦП та ЦСА.

Розв’язання виявленої низки задач веде до вирішення актуальної, практично важливої науково-прикладної проблеми — використання лінійних форм для побудови математичної моделі сигналу зі стохастичними зсувами спектру, що уможливлює розроблення обчислювальних методів його ефективного виявлення.

У другому розділі обґрунтовано вибір напрямку ідентифікації структури лінійної математичної моделі оцифрованого сигналу зі стохастичними зсувами спектру.

Вперше установлено взаємно-однозначну відповідність між спектральними зображеннями й значеннями еквідистантних статистик відліків сигналу зі стохастичними зсувами спектру після його широкосмугового АЦП. Цю відповідність установлено шляхом застосування для спектрального зображення сигналу базису з власних функцій оператора, за ядро якого взято автокореляційну функцію сигналу.

Необхідною умовою існування спектрального зображення АЦП від суміші, де  — сигнал, а  — шум, яке має потрібні для побудови функціоналу відношення правдоподібності та критерію адаптації параметрів АЦП та ЦСА властивості, виявилася належність його до гільбертового простору. Тоді моделями АЦП та ЦСА є лінійні оператори, а суміш, неперервних випадкових процесів (фундаментального стаціонарного та додаткового нестаціонарного ), що належать гільбертовому простору, є адекватною до результату АЦП від сигналу , де  — період дискретизації, знаком позначено квантування, . Таким чином створено підґрунтя для нового методу побудови критерію визначення оптимальних параметрів пристроїв АЦП та ЦСА, побудови алгоритму адаптації ЦСА сигналу зі стохастичними зсувами спектру, нормування спектральних метрологічних характеристик для обчислення тестової статистики виявлення і, заодно, підвищення ефективності виявлення спрощенням апаратури та адаптацією її характеристик.

Достатньою умовою існування спектрального зображення АЦП від є існування оператора АЦП з параметрами: а) дискретизації; б) квантування; в) когерентності.

Дискретизацію (а) виражено узагальненою дельта-функцію, а квантування (б) — функціональним рядом

,

де  — ядра, що означують нелінійність квантування. Результати аналізу застосованих виразів дискретизації та квантування уможливили врахування властивості (в) когерентності АЦП використанням індикаторної функції.

Індикатором враховано некратність частот дискретизації і базисних функцій та розбито множину відліків сигналу на підмножини некорельованих відліків. Ці підмножини залежно від типу зсувів спектру виражено лінійними формами (спектральними зображеннями)

,

де  — базис,  — випадкова міра,  — випадкова функція,  — випадкові величини, що визначаються на підмножинах некорельованих відліків. Знаком позначено неперетинне об’єднання.

Установлено, що через несумірність періоду дискретизації з періодами зсувів, базисних функцій спектру та затримкою в АЦП і врахуванням квантування відліків нестаціонарна складова суміші є випадковим періодично стаціонарним процесом.

У термінах нової спектральної моделі спектральне зображення означено як лінійну форму в оснащеному гільбертовому просторі — варіанті гільбертового простору над гільбертовим простором. Оснащення будується за автокореляційною функцією оцифрованого сигналу зі стохастичними зсувами спектру.

Установлено, що алгебричною структурою математичної моделі цифрового сигналу відносно операції згортки є кільце з одиницею над полем комплексних функцій. Простори кільця ізоморфні, отже квадратичні функціонали від функцій, які їм належать, рівні, а варіації функцій з простору спектральних представлень максимальні. Тоді спектральні представлення відповідають умовам метрологічного нормування, спектри сигналу та шуму від його АЦП — некорельовані. Це означає, що побудову функціоналу відношення правдоподібності можна здійснити інтерпретацією його відомих виразів, і веде до отримання виразів байєсівської статистики виявлення, характеристик виявлення та критерію параметричної адаптації АЦП та ЦСА до зсувів спектру.

У третьому розділі здійснено параметричну ідентифікацію структури моделі шуму АЦП сигналу зі стохастичними зсувами спектру.

Для параметричної ідентифікації застосовано індикаторні функції зсувів спектру. Їх побудовано на підставі того, що за умови некогерентності моментів відліків сигналу під час його АЦП до самого сигналу (до базисних функцій представлення сигналу), до епох зсувів спектру сигналу виникає стохастичність в значеннях АЦП. Множина цих значень на скінченому інтервалі розбивається на еквівалентні підмножини за умовою замкнутості виникаючих при цьому циклічних повторів в цих значеннях. Параметри циклів визначаються типом числа (ціле, раціональне, ірраціональне), що виражає відношення періодів гармонік чи епох до періоду дискретизації. Цим самим означено індикатор відображення послідовності зі значень АЦП на послідовність векторів. Значення їхніх компонентів залежать від часу затримки АЦП, різниці між значенням коду і значенням сигналу. Оскільки кожен з векторів інваріантний до перестановки його компонентів, то послідовність їх виражено інтегралом зі стохастичною мірою — функцією розподілу імовірностей значень компонентів. Ця міра залежить від часу і тому є нескінченновимірною. Але, оскільки її означено за допомогою індикатора, то факт її опуклості, а звідси й безмежної подільності, уможливив виразити результат АЦП сигналу зі стохастичними зсувами спектру за допомогою стохастичного інтегралу і гармонізовні зображення: конгруенцію (ізоморфізм Лоева - Колмогорова) та ізоморфізм. Цим враховано вплив стохастичних зсувів спектру сигналу на результат його ЦСА.

Розроблено метод врахування впливу зсувів спектру через тип його гармонізовності. Коли нестаціонарна стохастична складова з декомпозиції цифрового сигналу — періодично корельований випадковий процес (ПКВП), то значення її спектральних компонент визначаються індикаторною функцією. На рис. наведено блок-схему генератора цієї функції, а на рис.  — його застосування.

Рис. . Генератор індексів для стаціонарних компонент сигналу ( — нестаціонарна випадкова складова,  — імпульси дискретизації,  — рециркуляційні регістри,  — кількість компонент,  — період корельованості)

Значення “1” (індекс відбору) та номер рециркуляційного регістра вказують приналежність і-го відліку до спектральної компоненти , де М — перше наближення кількості всіх компонент, ..

Ці індекси, циркулюючи у відповідних до компонент рециркуляційних регістрах, ініціюють відповідні до компонент ключі (рис.  а) у відповідні моменти часу (через період корельованості) та відбір коду з послідовності кодів від АЦП. На рис. а) наведено блок-схему обчислювача оцінки математичного сподівання відліку, а на рис. б) — блок-схему обчислювача вектора математичного сподівання компонент. Цей вектор піддається потім цифровому спектральному аналізу.

При виборі значення враховувалося значення періоду корельованості , а кількість значень кожної компоненти визначалося з умови наближення значень її статистики до значень ефективної статистики.

Розроблені алгоритми індексування застосовано у компонентному, когерентному та фільтровому методах аналізу сигналу після його АЦП.

(а) |

(б)

Рис. . Блок-схеми обчислювачів оцінки математичного сподівання стаціонарної компоненти — (а) та математичного сподівання всіх стаціонарних компонент нестаціонарної випадкової складової — (б).

Оскільки стохастичні нестаціонарні складові цифрового сигналу зі стохастичними зсувами спектру для його кожної гармонічної складової є гармонізовні, то спектральні компоненти стохастичної складової кожної гармонічної складової підсумовуються з квадратом, що уможливлює визначення функціоналу відношення правдоподібності за результатом ЦСА.

Четвертий розділ присвячено обґрунтуванню та побудові критерію екстремальної адаптації параметрів пристроїв (алгоритмів) АЦП та ЦСА до сигналу зі стохастичними зсувами спектру за результатами спектрального аналізу його аналогово-цифрового перетворення.

Означено спектр нестаціонарної стохастичної складової для сигналу зі стрибками несучої частоти:

де  — випадкова міра,  — компоненти, ,  — період корельованості. Оскільки його енергія скінченна, то спектр визначено на базі теорії ПКВП спектрами її випадкових стаціонарних компонент :

Вперше встановлено екстремальні властивості варіації цього спектру та на цій базі розроблено метод адаптивного визначення періоду корельованості — параметру АЦП та ЦСА. На рис. наведено експериментально визначені математичні сподівання тестової періодичнокорельованої послідовності, отримані при пошуку періоду корельованості Т підбиранням пробного періоду Tр.

(а) |

(б) |

(в)

Рис. . Ансамблі реалізацій стохастичної складової тестового сигналу (а — Тр = 20, б — Тр = Т= 25, в — Тр = 27 інтервалів Td; вісь ординат — значення відліків стохастичної складової; неперервною лінією виділено одну з реалізацій)

Обчислені значення - варіації (усередненої суми квадратів приростів послідовності математичних сподівань, визначеної за алгоритмом роботи схеми з рис. (б)) такі: а — , б — , в — . Максимальну варіацію має математичне сподівання при TрТ, оскільки за цієї умови вказана послідовність математичних сподівань більш рельєфна.

Критерій максимальної варіації застосовано для адаптивного вибору базису спектрального зображення. Таким базисом виявився базис, побудований з власних функцій оператора  — формування стохастичних зсувів спектру радіосигналу. Оскільки він за означенням допускає оператор зсуву U:, то базис визначено через власні функції оператора з відтвірним кореляційним ядром. Оператор зсуву унітарний, його власними функціями є регулярні узагальнені функції . Кореляційний оператор сигналу зі стохастичними зсувами спектру стрибками несучої частоти через періодичність його ядра виявився ермітовим, що стало підставою застосування оснащеного гільбертового простору.

Встановлено у випадку гармонізовності відліків взаємно-однозначну відповідність між спектрами неперервного і оцифрованого сигналу зі стохастичними зсувами спектру, що підтверджує коректність застосування методів ЕТСС при побудові адаптивних до стохастичних зсувів спектру засобів ЦСА.

У пятому розділі для обґрунтування можливості побудови методу визначення спектральних метрологічних характеристик сигналу зі стохастичними зсувами спектру сформульовано умови, застосування яких уможливлює побудову функціоналу відношення правдоподібності та виразів статистик виявлення, і розроблено засоби для перевірки виконання цих умов.

Побудовано алгоритм генерування цифрового тестового ПКВП для перевірки побудованих методів та алгоритмів. Тестову послідовність визначено за допомогою генератора індексів, зображеного на рис. , оцифрованого гармонічного сигналу.

Означено типи ергодичності АЦП сигналу зі стохастичними зсувами спектру, які визначають коректність оцінки , де k — номер гармонічної складової розкладу оцифрованого гармонічного сигналу, l — номер компоненти розкладу спектральним, синфазним (когерентним), компонентним або фільтровим методами. Тоді ці оцінки можна підсумовувати з квадратом за індексами, що визначаються, наприклад, „діагоналями” спектральних бімір (по компонентах) для сигналу зі стрибками несучої частоти. Встановлено, що для статистик кожної з гармонічних складових досить розгляду першого члену функціонального ряду розкладу зображення квантування при АЦП. Критерії параметричної адаптації алгоритмів для визначення оцінок будуються на базі таких сумарних статистик.

Означено властивості індикаторів, базисних функцій і спектрів, що забезпечують опуклість варіації оцінок спектрів. Наявність цих властивостей забезпечує глобальний екстремум варіації оцінки спектральних метрологічних характеристик, на підставі чого гарантується ефективність параметричної адаптації ЦСА.

У шостому розділі побудовано метод визначення спектральних метрологічних характеристик сигналу після АЦП, вирази яких погоджено з існуючими стандартами. Це уможливило застосувати ці характеристики для побудови характеристики виявлення сигналу та порівняти досягнуті результати виявлення з відомими.

На рис. наведено стандартні спектрограми тестового амплітудно модульованого радіосигналу (несуча частота — 5 кГц, частота модуляції —50 Гц). На рис. а) — спектрограма дискретного (мс), а на рис. б) — цифрового радіосигналу (6 двійкових розрядів коду знак-модуль для амплітуди, рівної ). На рис. в) — спектрограма дискретного сигналу зі стрибками несучої частоти, а на рис. г) — такого ж цифрового сигналу. Рис. а, в, г) відповідають рис. а, б) та рис. а).

(а) |

(б)

(в) |

(г)

Рис. . Спектрограми тестового амплітудно модульованого радіосигналу (вісь абсцис — час, с; вісь ординат — частота, Гц)

З урахуванням того, що значення спектрів виражає рівень сірого (чи псевдоколір), на рис. можна побачити, що навіть когерентні АЦП та ЦСА (до зсувів спектру сигналу) розподіляють сукупну енергію спектру по всій смузі розсіювання частоти так, що логарифм відношення енергій сигналу до шуму у цій смузі стає <  дБ. Тому стандартний некогерентний широкосмуговий аналіз унеможливлюється. Проте, видимі локальні зосередження спектру виказують можливість його виявлення за результатами спектрального аналізу, який враховує цю його особливість (стохастичні зсуви) за допомогою відповідних спектральних метрологічних характеристик.

Спектральні характеристики визначають також вірогідність виявлення сигналу, спектр якого є зі стохастичними зсувами, в межах байєсового підходу. При заданій імовірності марної тривоги імовірність виявлення залежить від SNR і визначає ефективність системи обчислень в цілому. Як такі спектральні метрологічні характеристики взято нормовані спектральні компоненти. За їх допомогою побудовано функціонал відношення правдоподібності та вирази для визначення ймовірності виявлення факту присутності сигналу.

Практично побудовано відмінний від стандартного (з кореляційним чи узгодженим прийомом та з різними перетвореннями радіосигналу тощо) обчислювальний метод виявлення — з адаптацією параметрів АЦП та ЦСА за значенням варіації біжучих спектральних компонент. Адаптація здійснюється й на рівні структур АЦП та ЦСА.

Розвинуто теоретичні основи для нормування спектральних метрологічних характеристик — на базі теорії ПКВП. Перетворення АЦП-ЦСА вважається лінійним оператором, де  — гільбертів функційний простір з базисом, А — обмежений оператор, що допускає оператор зсуву (унітарний оператор). Тоді сигнал і простір розбивається на два взаємно ортогональних підпростори з базисами з розкладом функції, для якого. Для кореляційного (додатного) оператора такий розклад існує для y. Існування розкладу для радіосигналу можливе за умови ядерності оператора, коли. Тоді для побудови розкладу х виявився необхідним триплет (позитивний, основний, негативний) гільбертових просторів — оснащений за ядерним кореляційним оператором гільбертовий простір.

Означено спектральні метрологічні характеристики нестаціонарної випадкової складової цифрового сигналу зі стохастичними зсувами спектру, тобто компоненти , де k номер гармонічної складової розкладу, l — номер її компоненти. Значення елементів множини інваріантні до моменту часу початку спостереження, а самі множини є фізично змістовними й математично повними.

Встановлено необхідні (обмеженість енергетичних характеристик) та достатні (інваріантність оператора АЦП-ЦСА до унітарного чи ермітового кореляційного оператора) умови існування спектральних метрологічних характеристик і повноту множини цих характеристик.

Для радіосигналу з обмеженою енергією чи потужністю оцінювання його метрологічних характеристик після АЦП як нестаціонарних (періодично корельованих) автоматично дає частинні результати, коли є стаціонарність.

У сьомому розділі розроблені моделі та обчислювальні методи виявлення сигналу верифіковано шляхом застосування їх для побудови пристроїв ефективного виявлення радіосигналу зі стохастичними зсувами спектру стрибками несучої частоти.

Описано метод синтезу структур алгоритмів ЦСА радіосигналу зі стрибками несучої частоти на базі застосування спектральних метрологічних характеристик, нормованих в межах розвинутої на цей випадок ЕТСС. Оптимальні параметри АЦП, структуру алгоритму ЦСА такого сигналу зі стохастичною нестаціонарною складовою від АЦП знайдено за екстремумом варіації спектральних метрологічних характеристик.

На рис. , а подано блок-схему діючого макету адаптивного аналізу сигналу та виявлення сигналу зі стрибками несучої частоти. Цифрами позначено: 1 – 3, 5 — елементи цифрового каналу зв’язку ДИС – КГТ; 6 — кабелі зв’язку приймачів з БОЦ; 7 —АЦП; 4, 8, 11 — цифровий канал зв’язку ДИС –БОЦ; 9, 10 —цифровий канал зв’язку БОЦ – СТО; 12, 13 — лінія зв’язку КГТ – дисплей ДВК; 14, 19, 20 — цифровий канал зв’язку СТО – диспетчер; 15 18 — цифровий каналу зв’язку ДИС ДВК.

ЦСА було виконано на 2-розрядних модульних мікропроцесорах (типу Intel ), розрядність чисел становила 12, код — знак-модуль. Період дискретизації  — 40 мкс. ЦСА виконувався за час   с.

Алгоритм адаптації пристроїв АЦП та ЦСА подано на рис. , б. Через пульт ДВК (діалогово–обчислювальний комплекс) вводяться початкові наближення періоду кореляції, кількість компонент, імовірність марної тривоги та інші дані для аналізу і виявлення сигналу зі стохастичними стрибками спектру, а від системи ШСП (широкосмугового прийому) поступає прийнятий сигнал (блок ) на АЦП блоку оцифровки (БОЦ, блок 2) й у пам’ять з прямим доступом ПЗ (блок 5). За введеними даними в ДВК розраховуються дані для формування стаціонарних компонент диспетчером (ДИС, блок та рис. ) та ЦСА (спецпроцесори спектрального аналізу, блок 6). За послідовними значеннями варіації (блок ) визначається необхідність в адаптації даних для аналізу сигналу (блок ). Проміжні (оперативні) результати ЦСА при адаптації виводяться на кольоровий графічний термінал (КГТ).

На рис. наведено спектри, визначені за допомогою діючого макету (рис. 8, а).

(а) |

(б)

Рис. . Блок-схема (а) радіотехнічної системи наземного виявлення сигналу зі стохастичними зсувами спектру та (б) — алгоритм її роботи у режимі виявлення.

Під час адаптації пристроїв АЦП та ЦСА до стохастичних стрибків спектру сигналу (див. рис. ), при виявленні останнього у шумах широкосмугового АЦП, отримано спектри компонент з різною варіацією.

Спектри компонент, визначені за алгоритмом ШПФ кореляційних компонент, знайдених при неоптимальних параметрах їх відбору, наведено на рис. а-в), а на рис. 9г-е) — при знайдених адаптацією параметрах. Причому, на рис. 9а, г) — для вузькосмугового радіосигналу, (б, д) — цього ж радіосигналу зі стрибками несучої та (в, е) — зі стрибками несучої та АЦП. Спектрам, визначеним при неоптимальних параметрах такого ЦСА, властива мала рельєфність, їх варіація низька і навпаки, що й використано для адаптації параметрів.

(а) |

(б) |

(в)

(г) |

(д) |

(е)

Рис. . Спектральні компоненти радіосигналу зі стохастичними стрибками спектру (абсциса — номери компонент, ордината — номери частот, апліката — потужність, в умовних одиницях)

Досягнуто збігу результатів автоматичної екстремально- параметричної адаптації за критерієм максимуму D- варіації спектральних компонент при апріорно заданих початкових значеннях параметрів, та результатів інтерактивної адаптації після експерименту.

Роздільна здатність аналізу становила не менше 0,1 Гц у смузі частот = 10000 Гц.

При порівнянні спектрограм на рис. б) та рис. а) і спектральних компонент рис. д, е) видно, що спектри шуму та сигналу розподіляються по компонентах, які визначаються часовою структурою спектру сигналу.

Для ПКВП спектр зосереджується на частотних "діагоналях" квадрату (номери компонент  номери частот, рис. ), які задаються виразом , де М — кількість спектральних компонент, а значення визначається частотними параметрами радіосигналу — смугою для зсувів, частотою несучої та типом її модуляції тощо.

Математичне сподівання та дисперсія відношення сигнал/шум для функціоналу відношення правдоподібності визначаються після адаптації АЦП та ЦСА за розподілом енергії по частотних діагоналях — значеннями аплікати на рис. ( визначає розподіл по частоті енергії самого сигналу) за виразами:

, .

На рис. наведено типові характеристики виявлення, отримані для сигналу зі спектром, наведеним на рис. б).

(а) |

(б)

Рис. . Типові характеристики виявлення сигналу зі стохастичними зсувами спектру (див. також рис. б; дисперсія додаткового білого нормального каналу шуму для (а) — 0,09, для (б) — 0,16).

Характеристики виявлення обчислено за формулою, отриманою модифікацією відомої формули шляхом підстановки виразів та:

,

де — поріг виявлення, який визначається за енергією шуму каналу значеннями, , коли сигнал відсутній, де — інтеграл імовірності (Лапласа), — задана імовірність марної тривоги.

При комп’ютерному обчислювальному експерименті для тестових та експериментальних сигналів при однакових з локально-оптимальними методами імовірностях виявлення досягнуто: виграш у SNR на (0,5-1) дБ, такий же за величиною час ЦСА у всій смузі при тій же роздільній здатності і високий коефіцієнт розпаралелення у зв’язку з можливістю виконання ЦСА по компонентах одночасно, що зменшує у два рази степінь поліноміальної обчислювальної складності.

У додатку для верифікації математичних моделей та ілюстрації методів аналізу і виявлення сигналу наведено тексти програм: визначення спектральних компонент когерентним, компонентним та фільтровим методами, спектрального аналізу, визначення значення статистики виявлення,