НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Юсенко Костянтин Андрійович

УДК 517.98

Структурні теореми для *-алгебр,

породжених наборами проекторів

01.01.01 — математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Островський Василь Львович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, доцент

Кругляк Станіслав Аркадійович,

Інститут підготовки кадрів

зовнішньої розвідки України, професор;

кандитат фізико-математичних наук, доцент

Подколзін Гліб Борисович,

Навчально-науковий комплекс

“Інститут прикладного системного аналізу”

в структурі НТУУ “КПІ”, доцент.

Захист відбудеться  “25” грудня 2007 р. о  15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий  “21” листопада 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк A.C.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Однією із важливих теорем алгебри є теорема про приведення невиродженими перетвореннями довільної ермітової матриці до діагонального вигляду. Нескінченновимірне узагальнення цієї теореми — це спектральна теорема Гільберта-Шмідта-Вейля-фон Неймана про розклад самоспряженого оператора у прямий інтеграл, яка дає опис структури оператора з точністю до унітарної еквівалентності. Проте вже у випадку двох самоспряжених операторів подібні теореми одержати складно, а задача унітарної класифікації пар обмежених самоспряжених операторів стала еталоном складності (є *-дикою).

Разом з тим, у деяких випадках, набори самоспряжених операторів, що задовольняють деяким співвідношенням, можуть бути описані за допомогою спектральної теореми, аналогічної випадку одного оператора (Дж. фон Нейман, М.Г. Крейн, Ю.М. Березанський, І.М. Гельфанд, А.Г. Костюченко, Ю.С.амойленко, В.Л. Островський та ін.).

У дисертаційній роботі досліджуються набори самоспряжених операторів, cума котрих кратна скалярному оператору (такі набори, зокрема, виникають як нескінченновимірний аналог відомої задачі Г. Вейля про суму двох ермітових матриць). Для дослідження цієї задачі зручно використовувати мову *-алгебр та їх зображень: вивчати найпростіші, із точністю до унітарної еквівалентності, зображення відповідного співвідношення, тоді опис загальних наборів можна отримати як пряму суму (чи прямий інтеграл) найпростіших. Інволютивні алгебри, що розглядаються у роботі, породжені набором самоспряжених твірних та низкою співвідношень поліноміального типу. Застосувавши до кожної твірної спектральний розклад, ці алгебри можна розглядати як *-алгебри, породжені наборами проекторів. Теорія зображень таких алгебр тісно пов’язана з теорією ортоскалярних зображень колчанів та із теорією зображеннь деформованих препроективних алгебр.

З іншого боку, опис нерозкладних та шурівських (brick, транзитивних) об’єктів у категорії систем підпросторів лінійного простору (Ш. Бреннер (1967), І.М. Гельфанд та В.О. Пономарьов (1971), Л.О. Назарова (1968), В. Длаб та К. Рінгель (1976), П. Донован та М. Фрейслих (1973) та ін.) пов’язаний із *-зображеннями алгебр, породжених набором проекторів (з ними можна можна пов’язати систему підпросторів, беручи підпростори як образи відповідних проекторів). У дисертації вивчається взаємозв’язок між незвідними *-зображеннями таких алгебр та шурівськими системами підпросторів.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України у відділі функціонального аналізу згідно із загальним планом дослідження в рамках науково-дослідної роботи “Спектральна теорія операторів та її застосування до задач математичної фізики”.

Номер державної реєстрації 0101U000321.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є дослідження класу інволютивних алгебр, пов’язаних із зірчастими графами; дослідження та опис множин параметрів, при яких існують *-зображення таких алгебр; дослідження взаємозв’язків між незвідними зображеннями таких алгебр та транзитивними системами підпросторів у скінченновимірному гільбертовому просторі.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Отримано повний опис множини параметрів, при яких існують четвірки проекторів у деякому гільбертовому просторі, лінійна комбінація яких дорівнює скалярному оператору.

2. Для *-алгебр, пов’язаних з розширеними графами Динкіна, досліджено структуру множини параметрів, при яких існують *-зображення таких алгебр. Отримано необхідні та достатні умови, за яких такі множини нескінченні.

3. Отримано необхідні та достатні умови, за яких усі транзитивні системи з 4-x підпросторів у скінченновимірному гільбертовому просторі породжуються четвірками лінійно пов’язаних проекторів.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Отримані результати можуть бути використані в подальшому вивченні *-алгебр, асоційованих із зірчастими графами, та при дослідженні транзитивних систем підпросторів з деякими співвідношеннями між підпросторами.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану дослідження, постановка завдань належать науковому керівникові В.Л. Островському. Доведення всіх результатів дисертації проведено автором самостійно. Зі спільної роботи [3] (В.Л. Островський, Ю.П. Москальова, К.А. Юсенко) у дисертацію ввійшли лише результати, які доведені дисертантом самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації неодноразово доповідалися та обговорювалися на семінарі ”Алгебраїчні проблеми функціонального аналізу” (Інститут математики НАН України, Київ; керівник семінару — член-кореспондент НАН України доктор ф.-м. наук Ю.С. Самойленко) та на таких конференціях і школах:

· VI міжнародна конференція "Симетрія в нелінійній математичній фізиці", Київ, Інститут математики, 20-26 червня 2005 р.;

· International Workshop "Algebraic versus analytic representations", Kiev, Institute of Mathematics, December, 2005;

· IV літня математична школа ”Алгебра, топологія, функціональний та стохастичний аналіз” (Львів, Козьова, 17-29 липня 2006 р.).

· Кримська осіння математична школа-симпозіум (Ласпі, Крим, 16-29 вересня 2006р.);

· Міжнародна математична конференція, присвячена 100-літтю від дня народження М.Г. Крейна "Modern Analysis and Application", Одеса, 9-14 квітня 2007 р.,

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-4].

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 56 найменувань.

Загальний обсяг роботи — 110 сторінок друкованого тексту.

Автор висловлює щиру та глибоку подяку своєму науковому керівнику Василю Львовичу Островському за постійну увагу і підтримку.

Основний зміст

У першому розділі викладено основні положення теорії інволютивних алгебр та їх зображень. Розглянуто клас інволютивних алгебр, асоційованих із зірчастими графами та проведено огляд останніх результатів стосовно *-зображень таких алгебр. Наведено взаємозв’язок між такими алгебрами і ортоскалярними зображеннями графів та наведено конструкцію фунторів Кокстера, які стануть основним інструментом у вивченні *-зображень введених алгебр.

Другий розділ присвячений наступній задачі: нехай зафіксована вага, тобто вектор з такий, що його компоненти впорядковані за зростанням:

Задача полягає у тому, щоб дослідити, при яких існують четвірки проекторів у деякому сепарабельному гільбертовому просторі такі, що їх лінійна комбінація

(1)

Інша задача полягає в тому, щоб для усіх , при яких рівність (1) можлива, описати всі, з точністю до унітарної еквівалентності, незвідні набори таких проекторів. Зауважимо, що А.А. Кириченком досліджувалися можливі пари при яких існують чотири проектори, що задовольняють наведене співвідношення. Такі пари складають деяку підмножину простору , яка була описана в термінах нерівностей на компоненти ваги, тобто як область обмежена набором гіперплощин. Проте отримати безпосередню відповідь на поставлену задачу, користуючись результатами А.А. Кириченка, виявилося складно. У дисертації запропоновано інший підхід до розв’язання поставленої задачі.

Задачу можна сформулювати на мові *-алгебр та *-зображень: розглядається асоціативна, комплексна *-алгебра , що породжена четвіркою проекторів та співвідношенням (1):

(2)

Опис множини параметрів (позначатимемо її ), при яких алгебра має хоча б одне *-зображення, і є метою другого розділу.

При роз’язуванні цієї задачі було використано техніку функторів Кокстера, що введені у роботах І.М. Гельфанда, І.Н. Бернштейна, В.О. Пономарьова, С.А. Кругляка. Дані функтори встановлюють еквівалентність між категоріями зображень алгебр при різних вагах та параметрах , переводячи незвідні об’єкти у незвідні. Дію цих функторів можна записати як дію на парах так:

де Ключовою теоремою другого розділу є наступна теорема:

Теорема 2.1.1 Довільне незвідне зображення алгебри можна отримати, діючи функтором (TS) на деяке одновимірне зображення певної алгебри .

Оскільки можна досить просто описати всі одновимірні зображення співвідношення (1), то задача полягає у комбінаторному переборі допустимих варіантів. Виявилося, що множина містить нескінченну множину значень параметра тоді і тільки тоді, коли

Справедливою є теорема:

Теорема 2.1.2 Множина містить нескінченну множиною з граничною точкою тоді і тільки тоді, коли . Причому якщо така умова виконується, то:

1. Якщо то ;

2. Якщо то

3. Якшо то .

Взагалі, якщо нерівність не виконується, то опис множини тривіальний і автоматично отримується, маючи аналогічну множину, для трійки проекторів. В іншому разі така множина завжди нескінченна і у найбільш загальному випадку для довільної ваги містить 11 різних множин, які відповідають різним векторам узагальненої розмірності.

Твердження 2.1.1 Поряд із нескінченною множиною в міститься також скінченна множина , яка визначається так:

1. Якщо то

2.

3. Якщо то

4.

5. Якщо то O.

Повний опис множини дає наступна теорема:

Теорема 2.3.1 Множина тих , при яких алгебра має зображення, описується формулою:

?= ??0 ?1 ?i2?3 ?4 ?j5

де

Усю множину отримуємо симетричним відображенням відносно та приєднанням точки.

Цікаве запитання: за яких умов на вагу існують зображення у точці. Незвідні зображення такої алгебри завжди не більш ніж двовимірні, оскільки ця алгебра — це алгебра зі стандартною поліноміальною тотожністю (-алгебра).

Твердження 2. Незвідні двовимірні четвірки проекторів такі, що

існують тоді і тільки тоді, коли .

У другому розділі також показано, як можна отримати, наприклад, опис множин для спеціальних ваг та , і проведено опис всіх можливих векторів узагальненої розмірності *-зображень алгебри .

У третьому розділі дисертаційної роботи розглядається узагальнення задачі, яка ставилася в другому розділі. Можна поставити аналогічну задачу для довільної ваги , пов’язуючи з нею *-алгебру, породжену набором з n проекторів:

Задача опису множини , у випадку якщо , досліджувалася у роботах С.А. Кругляка, В.І. Рабановича та Ю.С. Самойленка. Виявилося, що у випадку n>4, окрім дискретних серій значень параметра , існує неперервна множина значень , а задача опису усіх незвідних *-зображень такої алгебри — це *-дика задача. Задача опису множини для довільної ваги також складна, тому доцільно профакторизувати алгебру за додатковими співвідношеннями ортогональності між деякими проекторами. Такі додаткові співвідношення в алгебрі зручно задавати графом, вершини якого відповідатимуть проекторам, та розміщувати їх на одній гілці графа в тому випадку, якщо існує відповідне співвідношення ортогональності між проекторами. Наприклад, для алгебри

граф Г з вагою та матиме вигляд

Тепер задача формулюється так:

1. Описати множину можливих пар , при яких *-алгебра має *-зображення. Таку множину позначатимемо .

Для кожної фіксованої ваги описати множину можливих , при яких алгебра має *-зображення. Таку множину позначимо .

1. Для кожної пари описати всі незвідні, з точністю до унітарної еквівалентності, *-зображення алгебри .

Складність розв’язання цих задач істотно залежить від графа Г. У роботі М. Власенко, А. Мелліта та Ю.С. Самойленка показано, що якщо граф Г — це граф Динкіна типу

То — скінченновимірна, якщо граф Г — розширений (евклідовий) граф Динкіна типу

то алгебра — нескінченновимірна поліноміального росту, і нарешті коли Г — ні граф Динкіна, ні розширений граф Динкіна, то алгебра містить вільну алгебру з двома самоспряженими твірними (в цьому випадку задача 2 може виявитися дуже складною).

Третій розділ присвячений задачі про опис множини , у випадку, якщо граф Г— це розширений граф Динкіна . Зауважимо, що повна відповідь у випадку, коли , була отримана в другому розділі.

Зокрема встановлено наступне:

Теорема 3.2.1 Нехай Г — розширений граф Динкіна. Множина нескінченна тоді і тільки тоді, коли всі компоненти ваги задовольняють наступні дві умови:

де

Доведення останньої теореми здійснювалося конструктивним чином: для кожного розширеного графа Динкіна будувалася нескінченна множина значень параметра , при яких існують зображення алгебри для фіксованої ваги , що задовольняє умови теореми. Зауважимо, що у випадку коли вага не задовольняє умовам теореми, то структуру незвідних зображень відповідної алгебри можна досить легко описати, і вона еквівалентна структурі зображень алгебри, що асоційована зі звичайним графом Динкіна.

Теорема 3.3.1 Нехай граф Г — це розширений граф Динкіна. Якщо множина — нескінченна, то вона містить єдину граничну точку.

Також досліджується питання, за яких умов на ваги , існують зображення алгебр на гіперплощині . Наступна теорема дає відповідь на поставлене питання:

Теорема 3.3.2 Нехай граф Г — це розширений граф Динкіна та вага на Г така, що задовольняє умовам

Тоді існує зображення алгебри .

Зауважимо, що якщо вага не задовольняє умовам теореми, то існування зображень легко перевіряється шляхом звуження задачі на відповідний звичайний граф Динкіна.

Останній, четвертий, розділ дисертації присвячений розкриттю взаємозв’язків між шурівськими об’єктами у категорії систем підпросторів у лінійному просторі та між незвідними *-зображеннями алгебр . Система з n підпросторів — це об’єкт, який задається так: фіксується гільбертів простір H та набір Hi з n підпросторів у ньому. Морфізми між такими об’єктами — це лінійні обмежені оператори, які залишають інваріантними відповідні підпростори. Якщо морфізми деякого об’єкту у себе — це лише скалярні оператори, то такий об’єкт будемо називати шурівським (часто такі об’єкти ще називають транзитивними або ’brick’-об’єкти). У випадку, якщо n<5, опис транзитивних об’єктів для скінченновимірних лінійних просторів був отриманий Ш. Бреннер. Коли n<4, такі системи існують у не більш ніж двовимірних просторах. Коли n=4, системи існують для довільних розмірностей і структурний опис суттєво залежить від важливого цілочисельного інваріанта — індекса дефекта системи, який задається так:

Виявилося, що з точністю до ізоморфізму та перестановки підпросторів у системі існують чотири дискретні серії транзитивних систем з дефектами відповідно . Для нульового дефекта існують тривіальна одновимірна транзитивна система та континуальна сім’я двовимірних транзитивних систем, що параметризується комплексною площиною без двох точок.

З іншого боку, Ю.П. Москальова та Ю.С. Самойленко показали, що такі системи виникають як набори образів незвідних проекторів, які задовольняють співвідношення

з усіма можливими , при яких існують такі проектори у деякому гільбертовому просторі, що задовольняють останнє співвідношення. Причому це взаємно однозначна відповідність. Тобто довільну транзитивну систему можна отримати, взявши потрібне число та незвідний набір відповідних проекторів, і навпаки, довільний набір незвідних проекторів, сума яких кратна скалярному оператору, задає деяку транзитивну систему.

Природно виникло питання: чи існують ваги, відмінні від одиничної, при яких існує взаємно однозначна відповідність між транзитивними системами з чотирьох підпросторів та між наборами образів незвідних проекторів, що задовольняють

для всіх можливих ? Можна переконатися, що незвідні набори таких проекторів насправді задають транзитивні системи. У четвертому розділі проводиться аналіз того, за яких умов можна отримати всі транзитивні системи. З четвіркою проекторів, які задовольняють останнє лінійне співвідношення, пов’язується *-алгебра та вивчається аналогічне питання для її незвідних *-зображень.

Твердження 4.2.1 1. Якщо вага задовольняє умову

то всі незвідні *-зображення алгебри породжують усі транзитивні системи чотирьох підпросторів з індексом дефекту .

2. Якщо вага задовольняє умову

то всі незвідні *-зображення алгебри породжують усі транзитивні системи чотирьох підпросторів з індексом дефекту .

Останнє твердження — це необхідні та достатні умови на вагу , за якої незвідні зображення алгебри породжують усі транзитивні системи чотирьох підпросторів з індексом дефекта .

Наслідок 4.2.1 Незвідні *-зображення алгебри породжують усі транзитивні системи чотирьох підпросторів з індексом дефекта тоді і тільки тоді, коли вага задовольняє умову:

Наступне твердження фактично дає негативну відповідь на поставлене питання, оскільки лише одиничні ваги породжують усі транзитивні четвірки підпросторів з індексом дефекта:

Твердження 4.2.2 Незвідні *-зображення алгебри породжують усі транзитивні системи чотирьох підпросторів з індексом дефекта тоді і тільки тоді, коли вага одинична.

Залишилося нез’ясованим питання, чи існують такі відмінні від одиничної ваги , що четвірки проекторів, які задовольняють співвідношення

(3)

породжують усі транзитивні системи підпросторів з нульовим індексом дефекта. Незвідні набори таких проекторів не більш ніж двовимірні, оскільки відповідна *-алебра, породжена таким співвідношенням, — це -алгебра. Коли вага одинична, то множина двовимірних зображеннь влаштована як сфера без трьох точок. Ю.С. Самойленко та Ю.П. Москальова показали, що можна вибрати такий гомеоморфізм між областю параметризації незвідних двовимірних зображень (сфера без трьох точок) та комплексною площиною без двох точок, який породжує ізоморфізм між набором образів проекторів та транзитивними системами з нульовим індексом дефекта. Якщо вага відмінна від одиничної, область параметризації двовимірних незвідних зображень, взагалі кажучи, не гомеоморфна сфері без трьох точок. Для доведення цього факту ми користуємося явними формулами для зображень, отриманими в роботі C.А. Кругляка, Л.О. Назарової та А.В. Ройтера. Справедливою є теорема:

Теорема 4.3.1 Двовимірні проектори , що задовольняють (3), породжують усі двовимірні транзитивні системи підпросторів з нульвих індеском дефекту тоді і тільки тоді, коли

Також встановлений наступний факт:

Наслідок 4.1.1 Нехай для пари у просторі H існує незвідний набір проекторів такий, що

тоді існує таке число і незвідний набір проекторів у просторі ,

для яких системи та

ізоморфні як системи підпросторів.

Висновки

У дисертаційній роботі досліджено структурні особливості інволютивних алгебр, асоційованих з розширеними графами Динкіна. Одержано такі результати:

1. Отримано повний опис множини параметрів, при яких існують четвірки проекторів у деякому гільбертовому просторі, такі що їхня лінійна комбінація дорівнює скалярному оператору.

2. Для *-алгебр, пов’язаних з розширеними графами Динкіна, досліджено структуру множини параметрів, при яких існує *-зображення таких алгебр. Отримано необхідні та достатні умови, за яких такі множини нескінченні.

3. Отримано необхідні та достатні умови, за яких усі транзитивні системи з 4-x підпросторів у скінченновимірному гільбертовому просторі породжуються четвірками лінійно пов’язаних проекторів.

Список опублікованих праць здобувача

за темою дисертації:

1. Юсенко К.А. Про четвірки проекторів, пов’язаних лінійним співвідношенням // Укр. мат. журн. – 2006. – Т. , № 9. – C. –1295.

2. Yusenko K.A. On existence of *-representations of certain algebras related to extended Dynkin graphs // Methods Funct. Anal. Topology. – 2006. – Vol. , № . – P. –204.

3. Yulia Moskaleva, Vasyl Ostrovskyi, and Kostyantyn Yusenko. On quadruples of linearly connected projections and transitive systems of subspaces // Methods Funct. Anal. Topology. – 2007. – Vol. , № . – P. – 49.

4. Kostyantyn Yusenko. On parameters sets of algebras when Г is an extended Dynkin diagram // Тези доп. Міжнар. наук. семінару. "Algebraic versus analytic representations". – Київ, 2005. – С. .

5. Yulia Moskaleva, Vasyl Ostrovskyi, and Kostyantyn Yusenko. On quadruples of linearly connected projections and transitive systems of subspaces // Тези доп. Міжнар. наук. конф., присвяченої 100-літтю М. Крейна. – Одеса, 2007. – С. .

Анотації

Юсенко К.А. Структурні теореми *-алгебр, породжених наборами ортопроекторів. — Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 — математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

У дисертаційній роботі проведено дослідження *-алгебр, асоційованих із зірчастими графами. Такі алгебри виникають як узагальнення відомої проблеми Германа Вейля про суму двох ермітових матриць. Зокрема, в роботі досліджено випадок, коли зірчастий граф — це розширений граф Динкіна. Для графа отримано повний опис множини параметрів, за яких відповідна алгебра має *-зображення. З’ясовано, за яких умов незвідні зображення породжують усі транзитивні системи з чотирьох підпросторів. Для інших розширених графів Динкіна досліджено структурні властивості множин параметрів, при яких відповідні алгебри мають *-зображення. Зокрема встановлено необхідні та достатні умови, за яких такі множини нескінченні.

Ключові слова: *-алгебри, теорія зображень, ортопроектори, оператори, системи підпросторів, транзитивні та нерозкладні системи, графи Динкіна, функтори Кокстера.

Юсенко К.А. Структурные теоремы для *-алгебр, порожденных наборами проекторов. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 — математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.

0.2cm

Диссертационная работа посвящена дальнейшему исследованию *-алгебр, ассоциированных со звездными графами. Такие алгебры возникают как обобщение известной проблемы Германа Вейля о сумме двух эрмитовых матриц. В целом работа посвящена случаю, когда звездный граф — это расширенный граф Дынкина. В частности, изучаются множества параметров, при которых соответствующие графы имеют *-представления, а также изучается взаимосвязь представлений таких алгебр с транзитивными системами подпространств в конечномерных гильбертовых пространствах.

Работа состоит из введения, четырех глав, выводов и списка использованных литературных источников. Во введении освещен исторический аспект научных проблем, рассматриваемых в диссертационной работе, сформулирована цель работы и дается краткая характеристика ее результатов. В первой главе изложены основные положения теории представлений *-алгебр, дается формальное описание алгебр, ассоциированных со звездными графами, и проводится построение функторов Кокстера, которые используются для построений всех неприводимых *-представлений исследуемых алгебр.

Вторая глава посвящена случаю, когда звездный граф — это граф , иными словами, эта глава посвящена изучению неприводимых четверок проекторов, линейная комбинация которых кратна скалярному оператору. Для соответствующей алгебры получено полное описание множества параметров, при которых существуют *-представления, описано множество возможных векторов обобщенной размерности, установлены условия, при которых существуют представления такой алгебры в граничном случае.

Третья глава диссертации посвящена изучению произвольного расширенного графа Дынкина. Разработана методика, которая позволяет описывать множества параметров, при которых существуют представления соответствующих алгебр. Оказалось, что точно описать такие множества комбинаторно трудно, однако получено их структурное описание. В частности, показано, что они всегда дискретны. Получены необходимые и достаточные условия, при которых такие множества бесконечны.

Четвертая глава изучает взаимосвязь между *-представлениями алгебры, ассоциированной с графом , и транзитивными четверками подпространств в конечномерных гильбертовых пространствах. В категории наборов подпространств можно выделить два типа простейших объектов: 1) неразложимые, то есть те, которые не представляются в виде прямой суммы двух нетривиальных объектов; 2) транзитивные (или шуровские), то есть те, для которых алгебра эндоморфизмов тривиальна. Когда в конечномерном пространстве число подпространств равно четырем, полные списки неразложимых объектов получили И.М. Гельфанд с В.А. Пономарёвым, а транзитивных Ш. Бреннер. С каждым конечномерным представлением алгебры, ассоциированной с графом , можно связать набор подпространств как образы образующих алгебры. В 2005 году Ю.П. Москалёва и Ю.С. Самойленко получили достаточные условия на параметры таких алгебр, при которых существует один к одному соответствие между неприводимыми представлениями алгебр и транзитивными наборами из четырех подпространств. В диссертационной работе проводится дальнейшее исследование этого вопроса, а именно: для произвольных допустимых наборов параметров алгебр изучается “насколько много“ транзитивных систем способны породить такие алгебры. Получен критерий для существования взаимнооднозначного соответствия.

Ключевые слова: *-алгебры, теория представлений, ортопроекторы, операторы, системы подпространств, транзитивные и нерозложимые системы, графы Дынкина, функторы Кокстера.

Yusenko K.A. The structure theorems for *-algebras generated by the families of projections. — Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.01 — mathematical analysis. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

0.2cm The thesis is devoted to the subsequent development of the *-algebras connected with star-shaped graphs. Such algebras arise as the generalization of well-known H.Weyl’s problem about the sum of two hermitian matrices. In work we investigate the case when the star-shaped graph is the extended Dynkin graph. For the case we got the full description of the parameters set for which the algebra has a *-representation. We also found the condition under which there exist one-to-one correspondence between irreducible representations and transitive systems of subspaces. For other extended Dynkin graphs we investigate the structure properties of the parameters set for which the corresponding algebras have *-representations. Given the condition under which such sets are infinite.

Key words: *-algebras, representation theory, projections, operators, systems of subspaces, transitive and indecomposable systems, Dynkin graphs, Coxeter functors.

Підписано до друку 16.11.2007. Формат 60 84/16. Папір офс. Офс. друк.

Фіз. друк. арк. 1,5. Умов. друк. арк. 1,4.

Тираж 100 пр. Зам. 266. Безкоштовно.

Інститут математики НАН України,

01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.