Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Юрченко Наталія Василівна

УДК 512.86

ПРО СКІНЧЕННІ ПІДГРУПИ ПОВНОЇ ЛІНІЙНОЇ

ГРУПИ НАД ОБЛАСТЯМИ ЦІЛІСНОСТІ

01.01.06 — алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри Ужгородського національного університету.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

ГУДИВОК Петро Михайлович,

Ужгородський національний університет,

завідувач кафедри алгебри.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

БОДНАРЧУК Юрій Вікторович,

Національний університет "Києво-Могилянська

академія", м. Київ,

завідувач кафедри математики;

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник,

БОНДАРЕНКО Віталій Михайлович,

Інститут математики НАН України, м. Київ,

провідний науковий співробітник відділу алгебри.

Захист відбудеться __21 січня_ 2008 року о _14.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий __18 грудня__ 2007 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В. В. Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Ще в 1960 р. Д. О. Супруненко1

1 Супруненко Д. А. Линейные р-группы // Докл. АН БССР. – 1960. – 4, № . – С. –235. описав всі з точністю до спря-женості силовські р-підгрупи повної лінійної групи над алгебраїчно замкнутим полем. Згодом цей результат був узагальнений Р. Т. Вольвачевим.2 2 Вольвачев Р. Т. р-подгруппы Силова полной линейной группы // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1963. 27, № . – С. –1054. Описання силовських р-підгруп повної лінійної групи над довільним полем, запропоноване Р. Т. Вольвачевим, для р вия-вилось неповним, про що вперше відмічено в роботі С. Ледхам-Гріна і В. Плескена.3 3 Leedham-Green C. R., Plesken. Some remarks of Sylow subgroups of general linear groups // Math. Z. 1986. – 191. – P. 529–535. Повне описання силовських 2-підгруп повних матричних груп над полем Т одержав В. С. Конюх.4 4 Конюх В. С. О линейных р-подгруппах // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1987. – № . – С. –8. В. М. Петечук5 5 Петечук В. М. Линейные р-группы над телами // Докл. АН Украины. Сер. мат. наук. – 1997. – № . – С. –24. запропонував свій підхід до описання силовських р-підгруп в повних мат-ричних групах над довільним полем.

Якщо K – довільне комутативне кільце з одиницею, то задача про спряженість, а також задача про ізоморфізм силовських р-підгруп групи GL(n, K) далекі до повного розв’язання. Якщо K = – кільце цілих раціональних чисел, то задачу про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n,) розв’язав П. М. Гудивок.6 6 Гудивок П. М. О силовских р-подгруппах полной линейной группы над кольцом целых чисел // Алгебра и анализ. – 1990. –

2, № . – С. –128. Задача про ізоморфізм силовських р-підгруп в групі GL(n,) розв’язана П. М. Гудивком та В. П. Рудьком.7 7 Gudivok. M., Rudko. P. On isomorphism of sylow subgroups of the general linear group over the ring of integers // Journal

of Mathematical Sciences. – 2000. – 102, № . – Р. –4008.

Також розв’язується задача про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n, K), де K – повне дискретно нормоване кільце характеристики нуль з полем лишків характеристики .8 8 Гудивок П. М. О силовских подгруппах полной линейной группы над полными дискретно нормированными кольцами //

Укр. мат. журн. – 1991. – 43, № –8. – С. –924. –9 9 Гудивок П. М., Кирилюк А. А. Силовские р-подгруппы полной линейной группы над дискретно нормированными кольцами // Докл. АН УССР. Сер. А. – 1979. – № . – С. –329.

В. П. Платонов110 Платонов В. П. Конечность минимальных неприводимых линейных групп // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1975. – № . – С. –97.0 показав, що всяка мінімальна незвідна підгрупа повної лінійної групи GL(n, S) (S – довільне поле) скінченна. Д. О. Супруненко111 Супруненко Д. А. Минимальные неприводимые разрешимые линейные группы простой степени // Труды Моск. матем. об-ва.– 1973. – 29. – С. –234.1 і В. П. Юферев112 Юферев В. П. Классификация минимальных неприводимых линейных групп простой степени // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1974. – № . – С. –10.2 описали з точністю до спряженості мінімальні незвідні розв’язні підгрупи групи GL(p, S) (p – просте число). Аналогічна задача розв’язана для груп GL(p2,) 113 Гудивок П. М., Капитонова Ю. В., Рудько В. П. О конечных неприводимых подгруппах группы GL(n, Z) // Кибернетика. – 1986. – № . – С. –16.3 і GL(pq,), де q – просте число (р > q) і q не ділить р – .114 Супруненко Д. А. Подпространства, порожденные строками циркулянтов, и минимальные неприводимые линейные группы // Матем. сб. – 1985. – 127. – С. –54.

4 Т.І. Копилова досліджувала властивості мінімальних незвідних розв’язних підгруп групи GL(p2, S), де S – алгебраїчно замкнуте поле1

15 Копылова Т. И. О минимальных неприводимых разрешимых линейных группах // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1978. – № . – С. –22.5 і описала мінімальні незвідні нільпотентні підгрупи групи GL(p2, S).116 Копылова Т. И. Минимальные неприводимые нильпотентные линейные группы степени рs // Изв АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. – 1979. – № . – С. –34.

6

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов’язана з тематикою наукових досліджень кафедри алгебри Ужгородського національного університету (номер державної реєстрації 0198V007796).

Мета дослідження:* 

вивчення силовських підгруп повної лінійної групи над деякими областями ціліс-ності;* 

описання мінімальних незвідних р-підгруп, мінімальних незвідних нільпотентних підгруп, мінімальних незвідних розв’язних підгруп повних матричних груп над деякими полями.

Задачі дослідження:* 

розв’язати задачу про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n, K), де K – об-ласть головних ідеалів характеристики нуль, р – просте число, необоротне в K. Дослідити питання про ізоморфізм силовських р-підгруп групи GL(n, K). Описати з точністю до ізоморфізму незвідні силовські 2-підгрупи групи GL(2,) над деякими кільцями головних ідеалів Z;* 

з’ясувати, при яких умовах існують з певними властивостями силовські р-підгрупи в групі GL(р, R), де R – кільце цілих величин скінченного розширення поля р-адичних чисел містить первісний ко-рінь степеня рn з одиниці. Знайти деякі силовські р-підгрупи групи GL(р, R);* 

дослідити існування попарно неізоморфних силовських р-підгруп в повній лінійній групі GL(р, R) (n > 1) над кільцем R всіх цілих алгебраїчних чисел;* 

дати класифікацію неспряжених мінімальних незвідних р-підгруп груп GL(n,()) (р – просте число, p = 1,   1) і GL(р(р – ),), а також мінімальних незвідних нільпотент-них підгруп групи , де р1, рs – різні непарні прості числа, р1 < p2 < … < ps (rj  1, );* 

описати з точністю до ізоморфізму мінімальні незвідні р-підгрупи груп GL(р2,()) і GL(р2(р – ),); знайти деякі класи мінімальних незвідних розв’язних підгруп групи GL(pq,), де p і q – прості числа, p q і q ділить р – .

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі отримано такі результати:* 

Вивчаються з точністю до спряженості і ізоморфізму силовські р-підгрупи повної лінійної групи GL(n, K) над областю головних ідеалів K характеристики нуль. Вперше розв’язується задача про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n, K) (n > 1), якщо р – необоротне в K.* 

Описуються з точністю до ізоморфізму незвідні силовські 2-підгрупи групи GL(2,) над деякими кільцями головних ідеалів Z.* 

Нехай кільце R цілих величин скінченного розширення поля р-адичних чисел міс-тить первісний корінь степеня рn з одиниці. Вперше показується, що: 1) якщо р 2 і n = 1, то в групі GL(р, R) міститься по крайній мірі (р – ) незвідних силовських р-підгруп попарно різних порядків; 2) якщо р 2 і n > 1, то в групі GL(р, R) існують абелеві силовські підгрупи типів (рn, p2), ... , (рn, рn); 3) якщо р і n > 2, то в групі GL(2n – 1, R) існує абелева силовська 2-підгрупа типу (2n, n).* 

Вперше доводиться, що в повній лінійній групі GL(n, R) (n > 1) над кільцем R всіх цілих алгебраїчних чисел існує нескінченно багато попарно неізоморфних силовських р-підгруп.* 

Вивчаються мінімальні незвідні розв’язні підгрупи груп GL(n,) і GL(n,()) ( р ,   , р – просте число). Вперше описані мінімальні незвідні р-підгрупи груп GL(рr,()) (r  2) і GL(рs(p – 1),) (s  2).* 

Знайдені деякі класи мінімальних незвідних розв’язних підгруп групи GL(pq,), де р і q (р > q) – прості числа і q ділить р – .

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичне значення. Вони також можуть бути використані при подальшому вивченні силовських р-підгруп повних лінійних груп над деякими кільцями.

Особистий внесок здобувача. Основні результати, які ввійшли в дисертацію, одержані дисертантом самостійно. Частина результатів, які ввійшли в підрозділи 2.2 і 3.2, одержані разом з П. М. Гудивком та В. П. Рудьком.

Апробація результатів роботи. Результати, які викладені в дисертаційній роботі, доповідались і обговорювались на таких семінарах і конференціях:* 

алгебраїчних семінарах кафедри алгебри Ужгородського національного університету (Ужгород, 2000–2006);* 

Міжнародній алгебраїчній конференції в рамках Українського математичного кон-гресу, присвяченого пам’яті М. В. Остроградського (Ужгород, 2001);* 

й, 56-й, 57-й, 58-й, 59-й, 60-й, 61-й підсумкових конференціях професорсько-викла-дацького складу УжНУ (Ужгород, 2001–2007);* 

Десятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2004);* 

Одинадцятій міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2006).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в працях [1–9], 6 з яких надруковано у виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 39 найменувань. Повний обсяг робо-ти становить 129 сторінок, з них 124 сторінки загального змісту та 5 сторінок списку вико-ристаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі ”Огляд літератури” наведені відомі результати про силовські підгрупи повної лінійної групи над полем.

У другому розділі ”Про силовські підгрупи повної лінійної групи над областю ціліс-ності” досліджується питання про спряженість та ізоморфізм силовських підгруп повної ліній-ної групи над деякими областями цілісності. Розділ починається оглядом основних резуль-татів про силовські р-підгрупи повної лінійної групи над кільцем цілих раціональних чисел (підрозділ 2.1 ”Попередні відомості”). В підрозділі 2.2 ”Про силовські р-підгрупи повної лінійної групи над областями головних ідеалів” основними результатами є розв’язання задачі про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n, K), якщо р – необоротне в області K головних ідеалів характеристики нуль. Знайдені, залежні від р і K, достатні умови ізоморфізму силовських р-підгруп повної лінійної групи над кільцем K головних ідеалів характеристики нуль. Описуються з точністю до ізоморфізму незвідні силовські 2-підгрупи групи GL(2,) над деякими кільцями головних ідеалів Z.

Нехай K – область цілісності з одиницею, GL(n, K) – повна лінійна група над кільцем K, тобто гру-па всіх оборотних матриць порядку n над кільцем K.

Нехай   р) – цикл довжини р і Ср  – циклічна порядку р група підста-новок степеня р. Нехай Н – підгрупа групи GL(t, K). Позначимо через

Wp(H) = H  Cp (1)

сплетіння групи Н і групи підстановок Cp. Група Wp(H) міститься в GL(pt, K) і є напівпрямим добутком нормальної підгрупи Нр і циклічної порядку р підгрупи, породженої матрицею р  Еt, де р – матриця підстановки і Еt – одинична матриця порядку t.

Нехай р – просте число, Rp – така область головних ідеалів з полем відношень F ха-рактеристики нуль, що число р необоротне в Rp.

Лема .2. Нехай Н – неодинична незвідна силовська р-підгрупа групи GL(s, Rp). Тоді Wp(H) є незвідною силовською р-підгрупою групи GL(sр, Rp). Якщо ж Н є силовською р-під-групою групи GL(s, F), то Wp(H) є силовською р-підгрупою групи GL(sр, F), за винятком випадку, коли виконуються наступні умови: р , s = 1, H = 1, –1 і в полі F існує такий елемент , що 2 2.

Нехай далі – корінь степеня р з одиниці,   ; dр = (F() : F); Slр(T) – силовська р-підгрупа мультиплікативної групи Т* області ціліс-ності Т; Рр Slр(F()); K – кільце цілих над Rp величин поля F() (якщо р , то K K2); – матриця оператора множення на   F() у фіксованому фундаментальному базисі поля F(), – матриця порядку dр над полем F; – матриця над F, отримана з матриці Аij) над F() заміною всіх матричних елементів ij  F() на матриці– підгрупа в GL(dрn, F) (G – підгрупа в GL(n, F()).

Основні результати підрозділу сформульовані в наступних теоремах:

Теорема .2. Нехай р > 2, dр > 1 і |Pр| > p. Силовські р-підгрупи групи GL(n, Rp) ізомор-фні тоді і тільки тоді, коли n < dр.

Теорема 2.2. Нехай р 2, (F(i) F) , (i2 –1) і |Sl2(F(i))| > . Силовські 2-підгрупи групи GL(n, R2) (n > 1) не ізоморфні.

Теорема .2. Нехай   Rp ( p ,   ) та |Pр| > 2p. В групі GL(n, Rp) (n > 1) існують неізоморфні силовські р-підгрупи.

Теорема .2. Нехай р > 2 і   Rp ( p ,   ). Силовські р-підгрупи групи GL(n, Rp) (n > 1) ізомор-фні тоді і тільки тоді, коли |Pр| = p і n = 2.

Теорема 5.2. Нехай силовські р-підгрупи групи GL(n, Rp) ізоморфні. Тоді виконується одна з наступних умов:

1) n = 1 або n < dр, якщо dр > 1;

2) p > 2, |Pр| = p і n < 3dр;

3) р , |P2|  4 і n  .

Теорема .2. Нехай р > 3, |Pр| = p і 1 dр < p – 1. Силовські р-підгрупи групи GL(n, Rp) ізоморфні тоді і тільки тоді, коли n < 2dр.

Теорема .2. Нехай р > 2. Силовські р-підгрупи групи GL(n, Rp) (n > 1) спряжені тоді і тільки тоді, коли dр > 1 і виконується одна з наступних умов:

1) n < dр;

2) n = dр, |Pр| = p і Rp[] – кільце головних ідеалів.

Введемо деякі позначення. Припустимо, що 2 – простий елемент в R2 і K = R2[i] – кільце головних ідеалів. Кожний елемент в F(i) однозначно представимо у виді  i (,   F). Нормою N(z) елемента z =  i (,   F) назвемо

Очевидно, що

нормене відображення N : K*   є гомоморфізмом груп.

Нехай

Введемо відображення

Очевидно, – гомоморфізм груп.

Теорема 8.2. Силовські 2-підгрупи групи GL(n, R2) (n > 1) спряжені в цій групі тоді і тільки тоді, коли n = 2, |P2| = 2 і виконуються наступні умови:

Розглянемо силовські 2-підгрупи групи GL(2,) над деякими кільцями головних ідеалів

діедра порядку 8 є силовською 2-підгрупою в групах GL(2,), GL(2,), єдиною, з точністю до спряженості, в останній з цих груп.

Лема .2. Циклічна порядку 4 група Н, що породжена матрицею

буде силовською 2-підгрупою групи GL(2,).

Лема .2. В умовах леми 23.2 група Н є незвідною підгрупою в GL(2,).

Теорема .2. Нехай Z – кільце головних ідеалів. З точністю до ізоморфізму гру-па GL(2,) має точно дві незвідні силовські 2-підгрупи – це групи D4 і Н.

Доведення теореми 10.2 випливає із лем 23.2–24.2. Відмітимо при цьому, що в умовах теореми 10.2 незвідність над кільцем Z тягне за собою незвідність над полем Q.

Прикладами кілець Z, що задовільняють умові теореми 10.2, є кільця з d = 31, 47, 127. Згідно теореми Дірихле про арифметичні прогресії, існує нескінченно багато простих чисел d виду (2).

В підрозділі 2.3 ”Про силовські р-підгрупи повної лінійної групи над кільцем цілих Р-адичних чисел” розглядається кільце R цілих величин скінченного розширення F поля р-адичних чисел, що містить первісний корінь n степеня рn із одиниці і t – простий елемент в R такий, що n –  td,   R*, R* – мультиплікативна група кільця R. Нехай силовська р-підгрупа Р групи R* має порядок рn, тобто Р = n.

Нехай р-підгрупа Gn(p) групи GL(p, F) є сплетіння Р Ср групи Р і циклічної порядку р групи Ср підстановок, породженої циклом (12...р). Група Gn(p) породжується діагональною матрицею і матрицею b підстановки (12...р):

Gn(p) а diag[n, , …, ], b  GL(p, R). (3)

Група Gn(p) – незвідна підгрупа в групі GL(p, R) і її порядок рівний рnp + 1. Відмітимо, що при р або при р і n > 1 силовські р-підгрупи групи GL(p, F) спряжені в цій групі з підгрупою Gn(p). На початку розділу сформульовані, а далі доведені наступні теореми.

Теорема .2. Нехай р > 2 і n = 1. В групі GL(p, R) існують принаймні

(р – ) незвідні силовські р-підгрупи попарно різних порядків.

Групове кільце L = RСр перетворимо в RGn(p)-модуль, в R-базисі

1, b, …, bp – 1 (4)

якого матриці операторів a і b співпадають з матрицями a і b відповідно (див. (3)).

Нехай далі р > 2 і n = 1. Для доведення теореми 11.2 введемо позначення

(5)–

R-підмодуль в L, R-базис якого вказано в дужках.

Введемо в розгляд деякі підгрупи в групі G. Нехай

Ці підгрупи утворюють нормальний ряд

порядки факторів якого рівні р.

Для кожного модуля Lj введемо в розгляд матрицю Tj переходу від R-базиса (4) в L до R-базиса (5) в Lj (j = 2, …, p – 1). Окрім цього, нехай Lp = L і Tp = E. Нехай далі

Група Vj (j = 1, …, p – 1) буде підгрупою групи GL(p, R).

Твердження .2. Групи V2, …, Vp – 1 є силовські р-підгрупи групи GL(p, R).

Теорема .2. Нехай p > 2 і n > 1. В групі GL(p, R) існують силовські р-підгрупи, які є абелевими групами типів (рn, p2), …, (рn, pn) відповідно.

Нехай p > 2 і n > 1, 2  k  n,   = k – первісний корінь степеня рk із одиниці,  n,  1,

(E – одинична матриця). Тоді Hk – абелева типу (рn, pk) підгрупа групи GL(p, R).

Твердження .2. Групи Hk (k = 2, …, n) є силовські р-підгрупи групи GL(p, R).

Теорема 12.2 є наслідком твердження 4.2.

Теорема .2. Нехай p = 2 і n > 2. В групі GL(2n – 1, R) існує силовська 2-підгрупа, що є абелевою групою типу (2n, 2n).

Нехай р , n > 1,  = n, dn – діагональна матриця порядку 2n – 1, діагональними еле-ментами якої є всі первісні корені степеня 2n із одиниці (d1 = –1, d2 = diag[i, –i], (i2 = –1) і т. д.).

Нехай b = diag[, dn – 1, …, d2, d1] + Jt(0) (Jt(0) – жорданова клітка порядку t з нулем по діагоналі) – елемент порядку 2n в групі GL(2n – 1, R).

Твердження .2. При n > 2 абелева типу (2n, n) група Н а Е, b (E – одинична матриця) буде силовською 2-підгрупою групи GL(2n – 1, R).

В підрозділі 2.4 ”Силовські р-підгрупи повної лінійної групи над кільцем всіх цілих алгебраїчних чисел” R – кільце всіх цілих алгебраїчних чисел. Доводиться наступна теорема:

Теорема .2. В групі GL(n, R) (n > 1) існує нескінченно багато попарно неізоморфних силовських р-підгруп.

Доведення опирається на ряд допоміжних результатів.

Нехай Т – поле всіх алгебраїчних чисел, С – поле комплексних чисел, n – первісний корінь степеня pn із одиниці, Рр n | n = 1, 2, … – силовська р-підгрупа мультиплікативних груп R*, T*, С* кільця R та полів Т і С відповідно. Нехай Gp = Pp  Cp – сплетіння групи Рр  GL(1, R) і циклічної порядку р групи Ср підста-новок степеня р, породженої циклом   р). Введемо в розгляд деякі підгрупи групи Gp. Нехай

де Е – одиниця групи GL(р, R), в dj корінь n знаходиться на j-му місці діагоналі.

Нехай Нn = An, b, де b – матриця підстановки .

Нехай n = n – 1, n = 1, 2, … і L – RGp-модуль з R-базисом {e1, …, ep} буде таким, що для кожного лінійного оператора g  Gp його матриця у вказаному базисі співпадає з матри-цею g. Нехай–

вільний над кільцем R підмодуль в L з вказаним R-базисом u1, …, up.

Нехай Тn – матриця переходу від R-базису е1, …, еp в R-модулі L до R-базису u1, …, up в R-підмодулі Mn цього модуля:.

Нехай Vn = HnTn (n = 2, 3, …).

Теорема .2. Групи Vn (n = 2, 3, …) утворюють нескінченну серію попарно неізоморфних незвідних силовських р-підгруп в групі GL(p, R).

Лема .2. Нехай Н – така незвідна силовська р-підгрупа в групі GL(m, R), яка містить всі скалярні матриці Е (  Рр). Тоді сплетіння G = H  Ср групи Н з циклічною порядку р групою підстановок Ср буде незвідною силовською р-підгрупою групи GL(mр, R).

Теорема .2. Нехай

W0(Vn) = Vn, Wj(Vn) = Wj – 1(Vn)  Cp (j > 1).

Тоді групи Wj(Vn) (n = 2, 3, …) утворюють нескінченну серію попарно неізоморфних незвідних си-ловських р-підгруп в групі GL(pj +1, R) (j  0).

Теорема 18.2 є наслідком леми 42.2 і теореми 17.2.

Теорема .2. Нехай m m0 + m1p +    + msps – р-ічний розклад натурального числа m  p. Тоді групи

утворюють нескінченну серію попарно неізоморфних силовських р-підгруп в групі GL(m, R).

Нехай далі р > 2. Введемо в розгляд деякі матриці і деякі матричні групи. Нехай Js(0) – верхньотрикутна клітка Жордана порядку s з нулями по діагоналі

(Er – одинична матриця порядку r). Очевидно, Bs – абелева типу (р, р) р-підгрупа в групі GL(s, R), Bst – абелева типу (р, рn) р-підгрупа в групі GL(s , R).

Лема .2. Нехай 1  s  p. Група Bs є максимальна абелева р-підгрупа групи GL(s, R).

Теорема .2. Нехай 1  s  p – . Абелеві групи Bst (t = 2, 3, …) утворюють нескін-ченну серію попарно неізоморфних силовських р-підгруп групи GL(s , R).

З теорем 19.2–20.2, як наслідок, випливає теорема 15.2.

У третьому розділі ”Про мінімальні незвідні підгрупи повної лінійної групи над по-лем” вивчаються мінімальні незвідні розв’язні підгрупи груп GL(n,) і GL(n,()) (p = 1,   1, p – просте число) при деяких n. Описуються мінімальні незвід-ні р-підгрупи груп GL(pr,()) (r  2) і GL(рs(p – 1),) (s  2).

В підрозділі 3.1 ”Про мінімальні незвідні р-підгрупи повної лінійної групи над по-лем” дається класифікація неспряжених мінімальних незвідних р-підгруп груп GL(р,()) і GL(р(р – ),), а також мінімальних незвідних нільпотентних підгруп групи де ri  1, p1, …, pt – різні непарні прості числа, p1 < p2 <    < pt. Описані з точністю до ізо-морфізму мінімальні незвідні р-підгрупи груп GL(р2,()) і GL(рs(p – 1),). Зокрема дове-дені наступні теореми.

Теорема .3. Нехай (s  1, ri  1, p1, …, pt – різні непарні прості числа, p1 < p2 <    < pt). В групі GL(n,) існує мінімальна незвідна р-підгрупа Н (р  ) тоді і тіль-ки тоді, коли n = (pr) (r  2, – функція Ейлера). Якщо r = 1, то в GL(p – 1,) міститься з точністю до спряженості єдина мінімальна незвідна підгрупа Н порядку р. При n = (p2) (р  ) в GL(n,) з точністю до спряженості містяться дві мінімальні незвідні р-підгрупи: циклічна група порядку р2 і неабелева група Н порядку р3 з ехрН р.

Лема .3. Нехай парне натуральне число n (n > 2) не ділиться на 4 і в групі GL(n,) існує скінченна незвідна нільпотентна підгрупа G. Тоді G буде р-групою (р > 2) або прямим добутком р-групи на групу порядку 2 і, при цьому, n = (p – 1)pr (r  0).

Нехай в умові теореми 3.3 s = 1 (тобто n – парне число, що не ділиться на 4). Тоді ця теорема разом з лемою 5.3. дає описання з точністю до спряженості всіх мінімальних незвідних нільпотентних підгруп групи GL(n,). Такими підгрупами можуть бути лише р-групи порядку рr (r  3).

Теорема .3. Нехай G = G1      Gk, де Gj – незвідна pj-підгрупа в групі GL(nj,) (n = n1    nk, nj > 1, pj – непарне просте число, , pj  pi при j  i). Група G буде мінімальною незвідною нільпотентною підгрупою групи GL(n,) тоді і тільки тоді, коли група Gj буде мінімальною незвідною підгрупою в групі GL(nj,) (j = 1, …, k).

Теорема .3. Нехай Нj(Gj) – скінченна незвідна підгрупа групи GL(nj,) (nj > 1), П(Нj)= П(Gj) (П(Нj) – множина всіх простих чисел, що ділять порядок |Нj| групи Нj; j = 1, 2), (|Н1|, |Н2|) = 1 і (|G1|, |G2|) = 1. Підгрупи Н Н1  Н2 і G G1  G2 групи GL(n,) (n1 n1n2) спря-жені тоді і тільки тоді, коли спряжені підгрупи Нj і Gj в групі GL(nj,) (j = 1, 2).

Теореми 4.3–5.3 зводять описання з точністю до спряженості мінімальних незвідних нільпотентних підгруп непарного порядку в GL(n,) до відповідного описання мінімальних незвідних матричних р-груп над полем Q.

Далі, використовуючи теорію індукованих зображень, доводяться дві теореми (тео-рема 6.3 та теорема 7.3). Сформулюємо наслідки з цих теорем, позначивши F =() (p= 1,   1, p – просте число).

Наслідок .3. Нехай Н – скінченна група порядку n. В групі GL(n, F) існує мінімальна незвідна підгрупа, яка ізоморфна розширенню елементарної абелевої р-групи з допомогою групи Н.

Наслідок .3. Нехай Н – група порядку рk. В групі GL((р – )рk,) існує мінімальна незвідна р-підгрупа, яка ізоморфна розширенню елементарної абелевої р-групи з допомогою групи Н.

Наслідок .3. Нехай Н – група порядку n. В групі GL(n,) існує мінімальна незвідна підгрупа, яка ізоморфна розширенню елементарної абелевої 2-групи з допомогою групи Н.

Далі розглядається питання про незвідні р-підгрупи групи GL(n, F) та мінімальні незвідні р-підгрупи групи GL(р2, F).

Нехай Н – мінімальна незвідна р-підгрупа в GL(n, F) і G = Wp(H) = H  Cp

(Cp – цикліч-на група порядку р) – підгрупа в GL(nр, F). Тоді G – мінімальна незвідна р-підгрупа групи GL(nр, F).

Введемо наступні позначення для деяких елементів групи GL(р, F):

або супровідна матриця многочлена хр – ),

аj (j = 2, …, p – 1) – такі діагональні матриці, що b–1ajb = ajaj – 1,

= diag[, 1, …, 1] b – супровідна матриця многочлена хр – .

Нехай G – мінімальна незвідна р-підгрупа групи GL(р2, F). Нехай Н – нормальна індекса р підгрупа в групі G і G Н, с (ср  Н). За теоремою Кліфорда Н – звідна. Можливі два випадки: Н – однорідно звідна і Н – неоднорідно звідна.

1) Нехай G – мінімальна незвідна р-підгрупа групи GL(р2, F) і група G містить одно-рідно звідну нормальну підгрупу Н індекса р. Тоді з точністю до спряженості число таких груп G рівно 2р – і дається описання цих груп.

2) Нехай Н – неоднорідно звідна, тоді мінімальна незвідна р-підгрупа групи GL(р2, F) є напівпрямим добутком елементарної абелевої групи порядку рр  та циклічної групи порядку р2.

В дисертаційній роботі дається описання з точністю до ізоморфізму всіх мінімальних незвідних р-підгруп групи GL(р2, F). Нехай – супровідна матриця полінома Фр(х) поділу круга на р частин і Q() – ізоморфне полю F, поле матриць порядку р – . Замінивши елементи поля F на елементи поля Q(), ми одержимо описання мінімальних незвідних р-підгруп групи GL((р3), Q) ( – функція Ейлера).

В підрозділі 3.2 ”Про мінімальні незвідні розв’язні підгрупи повної лінійної групи над полем” знайдені деякі класи мінімальних незвідних розв’язних підгруп групи GL(pq,), де р і q (p > q) – прості числа і q ділить р – . У випадку, коли q не ділить р – , мінімальні незвідні розв’язні підгрупи групи GL(pq,) описані Д. О. Супруненко. Позначимо:

Z2 – поле з двох елементів;

– найбільше натуральне число таке, що q ділить р – ;

m – показник, якому належить 2 за модулем р;

– найбільше невід’ємне ціле таке, що q ділить m;

– первісний корінь степеня q із одиниці за модулем р, вибраний так, що T = a, b – група з твірними а та b і визначальними співвідношеннями:

(будемо вважати, що група T міститься в групі T + 1; для цього покладемо a = a1 і b = cq).

Як випливає із результатів Т. І. Копилової, групи T1, T + 1 ізоморфні мінімальним транзитивним розв’язним групам підстановок степеня pq. В даному підрозділі основним є наступний результат.

Нехай q ділить р – . Для кожної групи Tj (1  j   + 1, – найбільше натуральне число таке, що q ділить р – ) існують такий Z2Tj-модуль Vj і такий лінійний функціонал j: Vj  Z2, що індекс стабілізатора Nj цього функціонала в групі Tj дорівнює pq. Нехай (Vj  Tj) – напівпрямий добуток адитивної групи простору Vj та групи Tj і – зображення, яке індукується лінійним характером : Vj  Nj  1; –1. Тоді група буде мінімальною незвідною розв’язною підгрупою групи GL(pq,).

Більш точніше результати про порядки мінімальних незвідних розв’язних підгруп приведено в таблиці.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі вивчаються силовські р-підгрупи повної лінійної групи над областями головних ідеалів характеристики нуль, а також над полями Q і Q() (p= 1,   1). Розв’язана задача про спряженість силовських р-підгруп групи GL(n, R) (n >1), якщо р – необоротне в області R головних ідеалів характеристики нуль. Одержано також ряд, залежних від р і R, достатніх умов ізоморфізму силовських р-підгруп групи GL(n, R). У випадку, коли кільце R цілих величин скінченного розширення поля р-адичних чисел містить первісний корінь степеня рn з одиниці, показується, що: 1) якщо р > 2 і n = 1, то в групі GL(p, R) міститься по крайній мірі (р – ) незвідних силовських р-підгруп попарно різних порядків; 2) якщо р 2, то в групі GL(р, R) існують абелеві силовські підгрупи типів (pn, p2), …, (pn, pn); 3) якщо р  і n > 2, то в групі GL(2n – 1, R) існує абелева силовська 2-підгрупа типу (2n, 2n). Доводиться, що в групі GL(n, R) (n >1) над кільцем R всіх цілих алгебраїчних чисел існує нескінченно багато попарно неізоморфних силовських р-підгруп. Описуються з точністю до ізоморфізму незвідні силовські 2-підгрупи групи GL(2,) над деякими кільцями головних ідеалів Z. Також вивчаються мінімальні незвідні розв’язні підгрупи груп GL(n,) і GL(n, F), де F =() (p = 1,   1). Дається класифікація неспряжених мінімальних незвідних р-підгруп груп GL(р, F) і GL(р(р – ),), а також мінімальних незвідних нільпотентних підгруп непарного порядку групи де р1, рs – різні непарні прості числа, р1 < p2 < … < ps (rj  1, j = 0,1, …, s – 1). Описуються з точністю до ізоморфізму мінімальні незвідні р-підгрупи груп GL(р2, F) і GL(р2(р – ),). Знаходяться деякі класи мінімальних незвідних розв’язних підгруп групи GL(pq,), де p і q – різні прості числа і q ділить р – .

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гудивок П. М., Рудько В. П., Юрченко Н. В. О силовских р-подгруппах полной ли-нейной группы над областями главных идеалов // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. – 2001. – С. –46.

2. Гудивок П. М., Рудько В. П., Юрченко Н. В. Про мінімальні незвідні підгрупи повної лінійної групи над полем // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. – 2003. – С. –42.

3. Юрченко Н. В. Про силовські 2-підгрупи групи GL(2,) // Наук. вісник Ужго-род. ун-ту. Сер. матем. і інформ. – 2004. – С. –112.

4. Рудько В. П., Юрченко Н. В. Про силовські підгрупи повної лінійної групи над кіль-цем // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. – 2005. – С. –120.

5. Рудько В. П., Юрченко Н. В. Про силовські 2-підгрупи повної лінійної групи над полем характеристики нуль // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. – 2006. – С. –136.

6. Юрченко Н. В. Про силовські р-підгрупи повної лінійної групи над кільцем всіх цілих алгебраїчних чисел // Наук. вісник Ужгород. ун-ту. Сер. матем. і інформ. – 2006. – С. –143.

7. Юрченко Н. В. Про ізоморфізм силовських р-підгруп повних лінійних груп над деякими кільцями // Міжнар. алгебр. конф. Тези доп. – Ужгород, 2001. – С. .

8. Юрченко Н. В. Про мінімальні незвідні р-підгрупи повної лінійної групи над деякими полями // Матеріали Х міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. – К., 2004. – С. .

9. Юрченко Н. В. Про силовські підгрупи повної лінійної групи над кільцем // Мате-ріали ХІ міжнар. наук. конф. ім. акад. М. Кравчука. – К., 2006. – С. .

АНОТАЦІЇ

Юрченко Н. В. Про скінченні підгрупи повної лінійної групи над областями цілісності. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний

університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

У роботі розв’язана задача про спряженість силовських р-підгруп повної лінійної групи над областю R головних ідеалів характеристики нуль, в якій просте число р – необоротне. Знайдені, залежні від р і R, достатні умови ізоморфізму силовських р-підгруп повної лінійної групи над кільцем R головних ідеалів характеристики нуль. Знайдені умови існування певного класу силов-ських р-підгруп в групі GL(р, R) у випадку, коли R – кільце цілих величин скінченного розширення поля р-адичних чисел містить первісний корінь степеня рn з одиниці. Дово-диться існування нескінченно багато попарно неізоморфних силовських р-підгруп в GL(n, R) (n > 1) над кільцем R всіх цілих алгебраїчних чисел.

Описані мінімальні незвідні р-підгрупи груп GL(pr,()) (r  2) (p = 1,   1, p – про-сте число) і GL(рs(p – 1),) (s  2). Знайдені деякі класи мінімальних незвідних розв’язних підгруп групи GL(pq,), де p і q – прості числа (p > q), q ділить р – .

Ключові слова: повна лінійна група, силовські р-підгрупи, мінімальні незвідні р-підгрупи, мінімальні нільпотентні підгрупи, мінімальні розв’язні підгрупи.

Юрченко Н. В. О конечных подгруппах полной линейной группы над областями целостности. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.

В диссертационной работе изучаются силовские р-подгруппы полной линейной группы над областями главных идеалов характеристики ноль, а также над полями Q и Q() (p= 1,   1). Решена задача о сопряженности силовских р-подгрупп группы GL(n, R) (n >1), если р – необратимо в области R главных идеалов c полем частных F ха-рактеристики ноль. Пусть – корень степени р из единицы,   ; dр = (F() : F); Рр – силовская р-подгруппа мультипликативной группы F()* поля F(). Показано, что при р > 2 силовские р-подгруппы группы GL(n, R) (n > 1) сопряжены тогда и только тогда, когда dр > 1 и выполняется одно из условий: 1) n < dр; 2) n = dр, |Pр| = p і R[] – кольцо главных идеалов.

Найдены также, зависимые от р и R, достаточные условия изоморфизма силовських р-подгрупп группы GL(n, R). В случае, когда кольцо R целых величин конечного расширения поля р-адических чисел содержит первообразный корень степени рn из единицы показывается, что: 1) если р > 2 и n = 1, то в группе GL(p, R) имеется по крайней мере (р – ) неприводимых силовских р-подгрупп попарно разных порядков; 2) если р 2, то в группе GL(р, R) существуют абелевые силовские подгруппы типов (pn, p2), …, (pn, pn); 3)  если р  и n > 2, то в группе GL(2n – 1, R) существует абелевая силовская 2-подгруппа типа (2n, 2n). Доказывается, что в группе GL(n, R) (n >1) над кольцом R всех целых алгебраических чисел существует бесконечно много попарно неизоморфных силовских р-подгрупп. Описываются с точностью до изоморфизма неприводимые силовские 2-подгруппы группы GL(2,) над некоторыми кольцами главных идеалов Z. Также изучаются минимальные неприводимые разрешимые подгруппы групп GL(n,) и GL(n, F), где F =() (p = 1,   1). Дается классификация несопряженных минимальных неприводимых р-подгрупп групп GL(р, F) и GL(р(р – ),), а также минимальных неприводимых нильпотентных подгрупп нечетного порядка группы где р1, рs – разные непарные простые числа, р1 < p2 < … < ps (rj  1, j = 0,1, …, s – 1). Описываются с точностью до изоморфизма минимальные неприводимые р-подгруппы групп GL(р2, F) и GL(р2(р – ),). Находятся некоторые классы минимальных неприводимых разрешимых подгрупп группы GL(pq,), где p и q – разные простые числа и q делит р – .

Ключевые слова: полная линейная группа, силовские р-подгруппы, минимальные неприводимые р-подгруппы, минимальные нильпотентные подгруппы, минимальные разрешимые подгруппы.

Yurchenko N.V. On finite subgroups of the general linear group over integral domains. – Manuscript.

Thesis for obtaining the degree of Candidate of sciences in physics and mathematics in speciality 01.01.06 – algebra and number theory. – Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2007.

Let R be a principal ideal domain of the characteristic zero and р is not invertible element of R. The problem of the conjugation of Sylow р-subgroups of the general linear group over R has been solved in the manuscript. Depended on R and р sufficient conditions of the isomorphism of Sylow р-subgroups of the general linear group over the principal ideal domain R of the characteristic zero have been founded. The conditions of existence of some Sylow р-subgroups of the group GL(р, R), where R is the ring of integers of the finite extension of the field of р-adic numbers such that containes primitive рn-th root of identity, have been founded. Let R be the ring of all algebraic integers. It has been proved that there are infinity many pairwise nonisomorphic Sylow р-subgroups of the general linear group GL(n, R) (n >1).

All minimal irreducible р-subgroups of the groups GL(pr,()) (r  2) (p = 1,   1, p is prime) and GL(рs(p – 1),) (s  2) have been described. Some classes of minimal irreducible solvable subgroups of the group GL(pq,), where p and q are primes (p > q) and q divides р – , have been founded.

Keywords: the general linear group, Sylow р-subgroup, minimal irreducible р-subgroups, minimal nilpotent subgroups, minimal solvable subgroups.