НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

ЮЗЕФОВИЧ Роман Михайлович

УДК 621.77: 621.314

СТАТИСТИЧНИЙ АНАЛІЗ І МОДЕЛЮВАННЯ

СТОХАСТИЧНИХ ЦИКЛІЧНИХ НАВАНТАЖЕНЬ

ПРИ ДОСЛІДЖЕННІ ВТОМИ ЕЛЕМЕНТІВ КОНСТРУКЦІЙ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Львів – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-механічному інституті ім. Г.В.Карпенка Національної академії наук України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Яворський Ігор Миколайович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В.Карпенка НАН України,

завідувач відділу “Відбору і обробки стохастичних сигналів”

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Яцимірський Михайло Миколайович,

Державний науково-дослідний інститут

інформаційної інфраструктури

Міністерства транспорту та зв’язку України і НАН України,

провідний науковий співробітник

кандидат технічних наук, старший науковий співробітник

Кулинич Ярослав Петрович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В.Карпенка НАН України,

відділ “Фізико-математичних основ неруйнівного контролю та діагностики”,

старший науковий співробітник

Провідна установа: Державне підприємство “Львівський науково-дослідний радіотехнічний інститут” Міністерства промислової політики України, м. Львів.

Захист відбудеться “15” червня 2007 р. о 16.00 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.05 у Національному університеті “Львівської політехніка” за адресою: 79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12.

З дисертацією можна ознайомитися у науково-технічній бібліотеці Національного університету “Львівської політехніка” за адресою: 79013, м. Львів, вул. Професорська, 1.

Автореферат розіслано “__” травня 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Бунь Р.А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Для оцінки ступеня втомного пошкодження вузлів і деталей машин необхідно знати дійсні зміни в часі напружень у цих елементах механічної системи. Ці напруження виникають у результаті сумісної дії збурюючих сил, що є джерелами поступового погіршення якості будь-якого механічного обладнання, яке експлуатується протягом тривалого часу. Збурюючі сили зумовлені багатьма джерелами і мають стохастичний характер. Фактори, що впливають на такі випадкові збурення, – це характеристики технологічних мікронерівностей поверхонь, які дотикаються, пульсації зусиль зчеплення в зубчастих передачах і т. п. Оцінити сумарний вплив усіх цих сил шляхом прямого вимірювання напружень неможливо. Однак можна проводити виміри вібрацій машини під час її роботи. Якщо вважати, що елементи машини є пружними та ізотропними, то можна побудувати просту залежність між вібраційним процесом, вимірюваним у деякій зовнішній точці, і напруженнями у певному елементі всередині машини. У першому наближенні така залежність може бути прийнята лінійною. Тоді процес зміни напружень в часі можна описати опосередковано, приписавши йому всі ті властивості, якими володіє вібраційний процес. А це означає, що математична модель зміни напружень у часі може бути побудована на основі математичної моделі сигналу вібрацій. Важливими рисами такого сигналу є стохастичність і повторюваність. Остання зумовлена циклічністю роботи різноманітних механізмів. Як показали дослідження, проведені у Фізико-механічному інституті ім. Г.В.Карпенка НАН України, для аналізу цих властивостей сигналів вібрацій успішно можуть бути використані їх моделі у вигляді періодично корельованих випадкових процесів (ПКВП). Ця модель описує як регулярні зміни сигналів вібрацій, так і періодичні властивості флуктуацій. Власне використання характеристик стохастичної повторюваності дають можливість проводити діагностику дефектів вже на ранніх стадіях їх зародження. Дослідження стохастичної повторюваності сигналів навантажень на основі їх математичної моделі у вигляді ПКВП, визначення основних параметрів їх ритмічної структури, аналіз з їх використанням рівня втомних пошкоджень певних механізмів та їх поєднань – це ті актуальні питання, що досліджуються в даній роботі.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалася в рамках державних бюджетних тем Національної академії наук України “Розробка методів виявлення та визначення характеристик прихованих періодичностей для задач технічної діагностики” (2000-2003, Постанова Бюро відділення ФТПМ НАН України № 8 від 16.05.2000 р., номер державної реєстрації 0100U004868), “Моделювання і аналіз сигналів зі стохастичною повторюваністю при розробці віброакустичних та електромагнітних пошуково-вимірювальних систем” (2004-2006, Постанова Бюро відділення ФТПМ НАН України № 9 від 13.05.2004 р., номер державної реєстрації 0104U004179) та договору № .4/282 від 01.04.2004 р. “Розробка методології та нових технічних засобів вібродіагностики підшипникових вузлів та зубчастих передач” в рамках програми “Проблеми ресурсу і безпеки експлуатації конструкцій, споруд та машин” (замовлення Національної академії наук України, номер державної реєстрації 0104U004571). У цих роботах автор приймав участь як виконавець.

Метою роботи є побудова математичних моделей стохастичних вібраційних навантажень у вигляді ПКВП та дослідження накопичення втомних пошкоджень в елементах конструкцій на основі комп’ютерного симуляційного моделювання.

Для досягнення поставленої мети в роботі розв’язані такі задачі:

- проведено теоретичне дослідження властивостей когерентних і компонентних оцінок математичного сподівання і кореляційної функції стохастичних вібраційних навантажень, а також оцінок їх коефіцієнтів Фур’є, що отримуються на основі неперервних і дискретних реалізацій;

- для обґрунтованої на основі результатів обробки експериментальних даних ПКВП-моделі циклічних вібраційних навантажень проведено аналіз залежності похибок оцінювання від довжини відрізка реалізації, кроку дискретизації та параметрів апроксимацій, запропонованих для опису їх кореляційної структури;

- проаналізовано вплив міри нестаціонарності циклічних навантажень на властивості оцінок характеристик їх стаціонарного наближення;

- проведено порівняльний аналіз когерентних і компонентних методів оцінювання імовірнісних характеристик циклічних навантажень;

- створено комп’ютерні симуляційні моделі вібраційних навантажень і на їх основі з використанням програмного забезпечення методу “краплі дощу” проаналізовано виникаючі втомні пошкодження.

Об’єктом дослідження роботи є стохастичні циклічні навантаження, що виникають під впливом вібраційних процесів.

Предметом дослідження є математичні моделі вібраційних навантажень у вигляді ПКВП, методи оцінювання їх імовірнісних характеристик та виникаючі під дією таких навантажень втомні пошкодження.

Методи дослідження: математичне моделювання, методи Фур’є-аналізу, методи теорії і статистики періодично корельованих випадкових процесів, комп’ютерне моделювання.

Наукова новизна результатів роботи полягає в розробці нового підходу до побудови імовірнісних моделей циклічних навантажень у вигляді ПКВП, виявлення на цій основі нових їх закономірностей, що відіграють суттєву роль при оцінці втоми елементів конструкцій. При цьому:

- вперше обґрунтовано модель стохастичних циклічних навантажень у вигляді ПКВП та запропоновані апроксимаційні вирази для опису їх кореляційної структури;

- для вібраційних циклічних навантажень виведено вирази для зміщення й дисперсії когерентних і компонентних оцінок математичного сподівання та кореляційної функції, що описують їх залежності від довжини реалізації, кроку дискретизації та параметрів апроксимацій; отримані співвідношення є основою для кількісної оцінки вірогідності результатів обробки реальних даних та обґрунтованого вибору її параметрів;

- показано, що нестаціонарність циклічних навантажень суттєво змінює чисельні значення похибок оцінювання (до 50а також їх властивості як функцій зсуву;

- виявлено, що для досліджуваного типу циклічних навантажень похибки компонентних оцінок характеристик є значно меншими, ніж похибки когерентних;

- показано, що для забезпечення близької якості дискретних і неперервних оцінок характеристик навантажень величина кроку дискретизації повинна бути значно меншою від тієї його максимальної величини, що забезпечує відсутність ефектів накладання при гармонічному аналізі ПКВП;

- з використанням комп’ютерних симуляційних моделей циклічних навантажень, на основі методу “краплі дощу”, показано, що при переході від стаціонарної до періодично нестаціонарної моделі циклічних навантажень суттєво змінюється їх циклічна структура, і швидкість росту втомних пошкоджень при врахуванні нестаціонарності значно підвищується.

Практичне значення отриманих результатів. При виконанні дисертаційної роботи створено програмне забезпечення для обчислення похибок оцінювання характеристик циклічних навантажень – зміщення, дисперсії, абсолютної та відносної середньо квадра-тичної похибки, вхідними параметрами якого є довжина відрізка реалізації, крок дискретизації, та параметри, що описують кореляційну структуру навантажень. Воно дає змогу обґрунтувати такі параметри статистичної обробки, які забезпечать наперед задану величину точності оцінювання параметрів циклічних навантажень на основі експериментальних даних. Остання є необхідною для побудови ПКВП-моделі навантаження, а також їх комп’ютерної симуляції.

З використанням методу “краплі дощу” створено програмне забезпечення для підрахунку, на основі реальних записів навантажень та їх симуляцій, кількості циклів
з відповідними амплітудами і середніми значеннями та відображенням їх за допомогою відповідних гістограм. Його використання при відомій кривій деякого конструкційного матеріалу дає можливість оцінити ресурс того чи іншого механізму при його експлуатації в реальних умовах.

Реалізація науково-технічних результатів. Теоретичні та практичні результати, отримані у дисертаційній роботі, використано у науково-дослідних роботах відділу “Від-бору і обробки стохастичних сигналів” Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України. Розроблене автором програмне забезпечення і методика використову-вались при виконанні розділу “Розробка методів і нових технологічних засобів неруйнівного контролю та діагностики стану матеріалів і виробів тривалої експлуатації” програми “Проблеми ресурсу і безпеки експлуатації конструкцій, споруд і машин”. Апаратно-програмний комплекс, у створенні якого автор дисертації приймав участь, використовувався для аналізу накопичення пошкоджень при циклічних навантаженнях
у вантажопідйомних механізмах у ВАТ “Дрогобицький завод автомобільних кранів”. Розроблений дисертантом пакет комп’ютерних програм для аналізу й прогнозування станів стохастичних систем використовується також у навчальному процесі у Дрого-бицькому державному педагогічному університеті імені Івана Франка.

Особистий внесок автора. Результати, що становлять основу дисертаційної роботи, отримані автором самостійно. У роботах, написаних у співавторстві, здобувачеві належить: вивід і аналіз формул для стохастичних характеристик когерентних оцінок математичного сподівання, кореляційної функції, їх коефіцієнтів Фур’є, обчислення когерентних оцінок характеристик вібраційних навантажень, аналіз результатів обробки [2, ]; обчислення оцінок спектральних характеристик циклічних навантажень за допомогою когерентного методу, аналіз результатів обробки [3, ]; вивід та аналіз формул для стаціонарної і нестаціонарної частин дисперсії оцінок кореляційних компонентів, їх порівняння [4]; алгоритми й програма для обчислення гістограми розподілів циклів вібраційних навантажень та коефіцієнта пошкодження за допомогою методу “краплі дощу”, аналіз результатів [13-15]; вивід та аналіз формули для дискретної компонентної оцінки математичного сподівання циклічних навантажень [5, ]; обчислення коефіцієнта накопичення втомного пошкодження підшипникового вузла при періодично корельованому вібраційному навантаженні [6, ]; вивід і аналіз формул для характеристик дискретної оцінки регулярних навантажень, отримання співвідношень для вибору кроку дискретизації [7]; аналіз оцінок кореляційних компонентів циклічних навантажень з метою обґрунтованого вибору параметрів обробки [20].

Апробація результатів дисертаційної роботи. Окремі положення дисертації доповідались на міжнародних та українських науково-технічних конференціях і читаннях: 6-й, 7-й та 8-й Всеукраїнських міжнародних конференціях “Обробка сигналів і зображень та розпізнавання образів” (Київ, 2002, 2004, 2006); 10-й Міжнародній науковій конференції “Теорія і техніка передачі, приймання і обробки інформації” (Харків-Туапсе, 2004); 8-й міжнародній науково-технічній конференції ЛЕОТЕСТ “Фізичні методи та засоби контролю середовищ, матеріалів та виробів” (Славське, 2003); 33-й Всепольській конференції із застосувань математики (Варшава, Польща, 2004); 2-му Міжнародному науково-практичному форумі “Карпатський трамвай” (Іршава-Вигода-Львів, 2003); 16-й, 17-й, 18-й і 19-й Відкритих науково-технічних конференціях молодих науковців і спеціалістів Фізико-механічного інституту ім. Г.В.Карпенка НАН України (Львів, 2001 –2003, 2005); Наукових читаннях, присвячених пам’яті академіка Я.С.Підстригача (Львів, 2001).

Наукові результати дисертаційної роботи доповідались й обговорювалися на наукових семінарах відділу № “Відбору і обробки стохастичних сигналів” (2002 – ), а також на спільному семінарі з відділом № “Структурна механіка руйнування та оптимізація властивостей матеріалів” Фізико-механічного інституту ім.Г.В.Карпенка НАН України (м.Львів, 2003).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 20 наукових праць, з них 7 статей
у наукових фахових виданнях із переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновку і списку літератури (122 найменування). Загальний обсяг роботи 174 сторінки, із них 149 сторінок основного тексту, 55 рисунків та 1 таблиця.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі наведено загальну характеристику роботи, обґрунтовано її актуальність, показано зв’язок з науковими програмами, сформульовано мету та задачі дослідження, наукову новизну і практичне значення отриманих результатів, наведено дані про використання та апробацію результатів роботи.

У першому розділі “Математичні моделі циклічних навантажень і оцінка втоми матеріалів” наведено огляд відомих підходів до аналізу процесу накопичення втомних пошкоджень в елементах конструкцій, підданих реальним, змінним у часі напруженням.

Проведено аналіз математичних моделей циклічних навантажень у вигляді детермінованих періодичних функцій та стаціонарних випадкових процесів. Показана їх суперечливість: якщо детерміновані моделі, хоч в ідеалізованій формі, описують циклічну структуру навантажень, то в характеристиках стаціонарної моделі така структура навантажень аж ніяк не відображається. Останню можна трактувати як суперпозицію гармонічних складових, випадково модульованих по фазі, яка має рівномірний розподіл на інтервалі. При такому поданні характеристики процесу не залежать від фаз гармонічних складових і описують тільки усереднені за часом кореляційні зв’язки, а також усереднену потужність циклів. Об’єднати в одній моделі опис як повторюваності, так і стохастичності циклічних навантажень дає можливість їх подання у вигляді моделей ПКВП.

ПКВП – це періодично нестаціонарний в широкому розумінні випадковий процес
з інваріантними відносно зсувів на період математичним сподіванням і кореляційною функцією

Вперше ПКВП зустрічаються в роботах Л.І.Коронкевича. Ця модель була застосована ним для опису властивостей розв’язків диференціальних рівнянь з періо-дичними коефіцієнтами і випадковою правою частиною.

Кореляційні і спектральні властивості ПКВП вивчалися в роботах С.М.Ритова, Є.Г.Гладишева, Л.І.Гудзенко, Х.Огури, А.Папуліса, У.Гарднера, Л.Френкса та Г.Харда. Основи послідовної теорії ПКВП з обмеженою середньою потужністю були розроблені Я.П.Драганом. І.М.Яворським розроблені основи статистичного аналізу цього класу нестаціонарних випадкових процесів, сформульована і розв’язана на його основі задача виявлення прихованих періодичностей. Цей підхід дістав розвиток в подальших роботах І.М.Яворського, В.Ю.Михайлишина, О.М.Панасюк, І.Ю.Ісаєва, О.П.Драбича.

Математичне сподівання і кореляційна функція ПКВП можуть бути подані у вигляді рядів Фур’є:

Математичне сподівання описує регулярну періодичну складову циклічних навантажень, а коефіцієнти є параметрами форми цієї складової. Кореляційна функція описує періодичну мінливість пов’язань між значеннями флуктуаційних циклічних навантажень, її значення при нульовому зсуві, тобто дисперсія, визначає потужність цих навантажень. Коефіцієнти, які називають кореляційними компонентами, є параметрами форми періодичної зміни цих характеристик.

Модель ПКВП, як окремі випадки, містить детерміновані періодичні моделі і моделі у вигляді стаціонарних випадкових процесів, її частковими випадками також є подання, що об’єднують два перші: адитивна, мультиплікативна, полігармонічна тощо. Взаємодія повторюваності і стохастичності в моделі ПКВП описується амплітудною і фазовою випадковими модуляціями окремих гармонічних складових ряду Фур’є. Імовірнісні характеристики ПКВП відображають закономірності таких модуляцій.

Модель стохастичних циклічних навантажень у вигляді ПКВП може бути верифікована на основі обробки реальних експериментальних даних. Напруження в елементах механічної системи виникають у результаті сумісної дії багатьох збурюючих сил. Оцінити сумарний вплив усіх цих сил шляхом прямого вимірювання напружень неможливо. Однак, можна проводити виміри вібрацій машини під час її роботи. Якщо вважати, що елементи машини є пружними та ізотропними, то в першому наближенні можна прийняти просту залежність між вібраційним процесом і напруженням:, – коефіцієнт пропорційності, котрий сумарно враховує вплив характе-ристик матеріалу, жорсткості системи та демпфірування. Процес тоді можна описати опосередковано, приписавши йому всі ті властивості, якими володіють вібрації.

Результати досліджень, проведених у Фізико-механічному інституті ім. Г.В.Карпен-ка НАН України (І.М.Яворський, В.Ю.Михайлишин, І.Ю.Ісаєв, О.П.Драбич) показали, що сигнали вібрацій підшипників кочення і зубчастих передач описуються ПКВП. Виходячи з вищесказаного, приходимо до висновку, що циклічні навантаження можна описати процесами, які виникають у відповідних механізмах. У кожному конкретному випадку ПКВП-структура вібраційних навантажень може бути досліджена з використан-ням методів оцінювання ПКВП – когерентного, компонентного та методу найменших квадратів. З використанням методів статистики ПКВП досліджено структуру навантажень, які виникають у підшипниках швидкохідного шпинделя машини для навивання вольфрамової спіралі електроламп, що працювала в усталеному режимі. Як показали результати обробки, зміни в часі оцінок математичного сподівання і кореляційної функції мають яскраво виражений періодичний характер. При цьому оцінка математичного сподівання може бути апроксимована за допомогою перших п’яти гармонічних складових, а в розкладі Фур’є автокореляційної функції найбільш суттєвими за величиною є нульовий і другий кореляційні компоненти. Їх залежності від зсуву можна апроксимувати за допомогою формул:

Як показують результати дослідження структури сигналів вібрації інших механізмів, запропоновані співвідношення можуть використовуватись і в багатьох інших ситуаціях.

З використанням формул (1)–(3) можна детально проаналізувати властивості оцінок імовірнісних характеристик стохастичних циклічних навантажень, обчислити конкретні значення показників якості оцінювання, а також вирішити зворотню задачу – вибрати такі параметри статистичної обробки, які забезпечують наперед задані показники якості оцінювання. Власне ці питання й аналізуються в наступних розділах.

У другому розділі “Когерентний кореляційний аналіз стохастичних циклічних навантажень” досліджено властивості когерентних оцінок математичного сподівання, кореляційної функції, а також отриманих на їх основі оцінок компонентів Фур’є цих характеристик. Ці властивості конкретизовано для вибраного типу вібраційних циклічних навантажень.

Кореляційний аналіз стохастичних циклічних навантажень, що описується ПКВП, містить наступні завдання. По-перше, це оцінювання періодичного в часі математичного сподівання , , а також коефіцієнтів Фур’є , які є оптимальними параметрами для опису форми регулярної складової сигналу. По-друге, це оцінювання автокореляційної функції, яка залежить від двох аргументів і . Різні властивості змін функції відносно аргументів і зумовлюють різні підходи до оцінювання цих змін. Періодичність автокореляційної функції, а також математичного сподівання відносно часу , обумовлює один з можливих методів оцінювання – усереднення відліків сигналу, що відбираються через період , або відповідних добутків:

, ,(4)

.(5)

Оскільки для періодичної функції таке усереднення дає її значення в точках, які відповідають початкам відліків, то є підстава стверджувати, що у випадку ПКВП, характеристики якого задовільняють певні умови, аналогічні операції будуть зменшувати вплив флуктуаційних складових. Такий метод оцінювання називають когерентним. Знання характеристик для всіх дає можливість оцінювати компоненти і на основі перетворення Фур’є:

,.(6)

При такому оцінюванні автокореляційної функції і кореляційних компонентів зсув є параметром, який можна змінювати. Можливості когерентного методу оцінювання, його ефективність, очевидно, можна дослідити тільки при проведенні аналізу статистичних властивостей оцінок характеристик.

Оцінка математичного сподівання (4) є незміщеною:. Її дисперсія є періодичною функцією часу

,(7)

при цьому

,.(8)

Підставляючи вирази (1)–(3) до формул (6)–(7), отримуємо співвідношення, яке визначає дисперсію оцінки математичного сподівання циклічних навантажень для довільного моменту часу в залежності від числа періодів усереднення і параметрів, що описують кореляційну структуру флуктуаційних навантажень. Графіки функції для різних і конкретних значень таких параметрів, які відповідають реальним ситуаціям, подані на рис. .

Оцінки коефіцієнтів також є незміщеними, а їх дисперсії мають вигляд

,.(9)

Ці величини залежать тільки від нульового кореляційного компонента. Залежність дисперсії від номера проявляється у зміні частоти косинусної вагової функції. Як показує подальший аналіз формул (9), з використанням співвідношень (1)–(3), основними параметрами, які визначають величини дисперсій (9), є і та декременти заникання кореляційних зв’язків і . На основі виведених формул можна обчислити конкретні чисельні значення дисперсій (таблиця ).

Рис. . Залежність дисперсії

когерентної оцінки математичного сподівання від часу і кількості періодів усереднення. | Рис. . Залежність зміщення

когерентної оцінки кореляційної функції від часу і кількості періодів усереднення, ().

Таблиця 1. Значення відносних середньоквадратичних похибок оцінок компонентів математичного сподівання в залежності від кількості періодів усереднення

Оцінка кореляційної функції (5) є асимптотично незміщеною. Для скінчених ,
її зміщення можна подати у вигляді

(10)

При, коефіцієнти і, з точністю до знаку, співпадають з коефі-цієнтами , (формула (8)). Величина (10) з ростом має вигляд заникаючих осциляцій (рис. ). Заникає вона і з ростом зсуву . Проте, як випливає з виведених формул, швидкість такого заникання є меншою, ніж швидкість заникання кореляційних компонентів. Тому відносна помилка оцінювання збільшується з ростом зсуву. Інтервал, для якого відносна помилка є меншою від певного заданого значення, можна визначити на основі виведених у роботі виразів для конкретних значень параметрів сигналу і числа періодів.

Періодичною в часі є також дисперсія оцінки кореляційної функції (5)

, (11)

при цьому

, ,

де величини, для гаусового навантаження є кореляційними компо-нентами процесу. Періодичні зміни дисперсії (11) заникають з ростом (рис. 3). Проте з ростом зсуву ця величина не прямує до нуля, а має вигляд незаникаючих осциляцій, середнє значення яких також не дорівнює нулю. Амплітуди осциляцій визначаються характеристиками нестаціонарності сигналу, а середнє значен-ня – характеристиками стаціонарного на-ближення. Амплітуди осциляцій змен-шуються з ростом числа періодів усеред-нення . Цю важливу властивість дисперсії оцінки необхідно враховувати при обробці реальних даних.

Оскільки кореляційні зв’язки флуктуа-ційних навантажень заникають до нуля, то відносна середньоквадратична помилка оці-

нювання швидко зростає з ростом зсуву . А це спричинює необхідність усічення корелограми.

Зміщення оцінок кореляційних компонентів визначаються коефіцієнтами ряду (10),
а їх дисперсії мають вигляд

,(12)

.(13)

Як показано в роботі, нестаціонарність навантажень відіграє важливу роль при аналізі вірогідності оцінювання. Неврахування її може привести до значних похибок при обчисленні величин (12)–(13). Проаналізувати вплив нестаціонарності можна шляхом виділення складових дисперсій (12)–(13), що залежать тільки від нульового кореляційного компонента – стаціонарної частини, і складових, що залежать від вищих кореляційних компонентів – нестаціонарної частини. Співвідношення між цими частинами залежить від ступеня нестаціонарності навантажень, тобто від різниць і, а також значення. Чим більші ті величини, тим більшою є необхідність врахування нестаціонарності при обчисленні показників вірогідності оцінювання.
У роботі виявлено, що для деяких значень параметрів, відношення нестаціонарної до стаціонарної частини може бути більшим, ніж . Для великих зсувів стаціонарна частина є постійною, у два рази меншою від її значень при . Середньоквадратичні похибки оцінок кореляційних компонентів швидко зростають з ростом зсуву, що робить неможливим вірогідне оцінювання кореляційних компонентів для значень зсувів, які лежать поза межами певного інтервалу. Значення збільшуються при збільшенні числа періодів усереднення . Конкретні рекомендації по вибору точки усічення корелограми можуть бути зроблені на основі співвідношень, виведених
у роботі.

Дискретні оцінки коефіцієнтів і можна побудувати на основі заміни інтегралів (6) відповідними інтегральними сумами. Така заміна приводить до появи додаткових похибок, які перш за все проявляються у так званому накладанні: появі додаткових складових у формулах для зміщення (накладання першого роду) і дисперсії оцінок (накладання другого роду). Накладання першого роду при оцінюванні коефіцієнтів відсутнє, якщо крок дискретизації задовільняє умову, де – номер найвищої гармонічної складової математичного сподівання, а при оцінюванні кореляційних компонентів – умова, – номер найвищого кореляційного компонента, що не дорівнює нулю. Дискретні оцінки тоді є незміщеними, а зміщення дискретних оцінок є такими ж, як при неперервному оцінюванні. Накладання другого роду при формуванні дискретних оцінок можна уникнути, якщо величину вибрати згідно нерівності, а дискретних оцінок – згідно нерівності. Дисперсії дискретних оцінок тоді відрізняються від дисперсій неперервних настільки, наскільки інтегральні суми відрізняються від відповідних інтегралів. Допустима різниця між цими величинами може служити критерієм для вибору кроку дискретизації. Використовуючи значення параметрів, отриманих за реальними даними, проведені обчислення на основі виведених у роботі формул, які показують, що дисперсії неперервних і дискретних оцінок будуть близькими за величиною, коли, а оцінок –. Зауважимо, що ефекти накладання будуть відсутні вже відповідно при і. При таких кроках дисперсії дискретних оцінок будуть на порядок більшими. Цей результат пояснюється швидким заниканням кореляційних зв’язків флуктуаційних навантажень і їх коливним характером.

Когерентні оцінки математичного сподівання і кореляційної функції ПКВП, як випливає з формул (4) і (5), використовують тільки одне значення сигналу, яке відповідає інтервалу. У компонентних оцінках

, ,

де

, ,

використовуються інтегральні перетворення відрізків реалізації, що дає більшу інформацію про властивості характеристик. Тому можна сподіватися, що у випадку, коли автокореляційна функція навантажень суттєво змінюється за зсувом в межах інтервалу довжиною , компонентні оцінки матимуть більшу вірогідність, ніж когерентні. Очевид-но, що різниця між ефективністю когерентних і компонентних статистик залежить від конкретних значень параметрів, що описують структуру флуктуаційних навантажень.

Третій розділ “Компонентне оцінювання імовірнісних характеристик вібраційних навантажень” присвячений дослідженню властивостей компонентних оцінок.

Компонентний метод оцінювання можемо застосовувати тоді, коли маємо апріорні дані про число гармонічних складових в розкладах Фур’є кожної з імовірнісних характеристик, яка оцінюється. Про це число можемо судити на основі аналізу фізичних умов протікання процесу, а також результатів обробки експериментальних даних за допомогою когерентного методу. Очевидно, що при цьому треба сподіватися зменшення вірогідності оцінювання при збільшенні числа гармонічних складових.

Дисперсія компонентної оцінки математичного сподівання можна подати у вигляді, аналогічному до (7). Як і при когерентному оцінюванні, для вибраної моделі циклічних навантажень, ця формула містить нульову і другу гармонічну складові:

,(14)

(15)

(16)

У наведених формулах, крім залежностей від відповідних кореляційних компонентів, мають місце також залежності від числа гармонік математичного сподівання. На основі співвідношень (14)–(16) може бути оцінена точність виділення регулярного ходу циклічних навантажень за допомогою компонентного методу. Ці формули також є основою для розв’язання оберненої задачі: обґрунтованого вибору такої довжини відрізка реалізації, яка б забезпечувала задану точність статистичної обробки. Часові залежності дисперсії компонентної оцінки, обчисленої для різних і параметрів апроксимації знайдених на основі реальних даних, графічно представлені на рис. . Величина, як випливає з порівняння цих залежностей з графіками, представленими на рис. , є на порядок меншими від тих величин, що відповідають когерентному методу оцінювання. Це знову ж таки пояснюється характером кореляційних зв’язків навантажень, а саме їх коливними змінами і швидким заниканням. Величини дисперсій когерентних і компонентних оцінок стають близькими тільки при таких декрементах заникання, що приблизно в 10 раз менші від прийнятих (;;).

Рис. . Залежність дисперсії компонентної оцінки математичного сподівання від часу та кількості періодів усереднення. | Рис. . Залежність зміщення компонентної оцінки кореляційної функції від часу та кількості періодів усереднення, ().

Значно меншими від когерентної оцінки є також зміщення компонентної оцінки кореляційної функції (рис. ). При цьому швидкість заникання останніх є меншою, ніж швидкість заникання кореляційних зв’язків. А це приводить до збільшення відносного зміщення оцінки з ростом зсуву. Виходячи з допустимої величини цього зміщення, можна вибрати максимальне значення зсуву , для якого ще слід обчислювати оцінку. Це значення збільшується з ростом довжини відрізка реалізації.

У поданні (11) для дисперсії компонентної оцінки, як і для когерентної, для вибраної моделі навантажень відмінними від нуля є коефіцієнти, ,. Тоді вони визначаються інтегральними перетвореннями кореляційних коефіцієнтів, які в першому наближені мають вигляд:

,

,

.

Коефіцієнт залежить від нульового, а також і вищих кореляційних компонентів навантажень. Звідси випливає важливий висновок: навіть усереднене в часі значення дисперсії компонентної оцінки кореляційної функції не можна визначити на основі характеристик стаціонарного наближення ПКВП.

Неврахування нестаціонарності, як показує проведений в роботі аналіз, може привести до суттєвих похибок при обчисленні показників якості компонентних оцінок. Як вже відмічалося, компонентна оцінка кореляційної функції побудована з врахуванням інформації про число кореляційних компонентів. При застосуванні когерентного методу неявно припускається про існування нескінченної кількості компонентів. У такому випадку це число є невеликим, при цьому кореляції флуктуаційних навантажень швидко заникають. Це спричиняє значно меншу величину дисперсії компонентної оцінки (рис. ). При зменшенні декрементів заникання значення дисперсій оцінок зближуються. З ростом зсуву, дисперсія компо-нентної оцінки, як і диспер-сія когерентної, не прямує до нуля і має періодичний хвіст, зумовлений неста-ціонарністю навантажень. Амплітуди коливань, а також рівень, навколо якого вони відбуваються, зменшуються з рос-том . Точки усічення корелограми можуть бути вибрані з використанням отриманих у роботі формул.

У розділі проаналізовано також властивості дискретних компонентних оцінок математичного сподівання й кореляційної функції. Описано ефекти накладання першого й другого роду, які полягають у появі в виразах для зміщен-ня й дисперсії додаткових членів того самого порядку, що й основні складові.

Виведено умови відсутності таких ефектів. Ці умови є незалежними від спектральних властивостей сигналів, в тому числі від спектральної густини потужності його стаціонарного наближення. Поведінка кореляційної функції за зсувом, яка визначає спектральні властивості навантажень, впливає тільки на різницю між певними інтегральними перетвореннями і відповідними інтегральними сумами. Допустимі значення цієї різниці, а також умова відсутності ефектів накладання є основою для обґрунтованого вибору інтервалу дискретизації. На основі обчислень, проведених
з використанням розробленого програмного забезпечення, показано, що похибки неперервних і дискретних оцінок є близькими за величиною при інтервалах дискретизації. Значення є значно меншим від того, яке вже забезпечує відсутність ефектів накладання.

У четвертому розділі “Аналіз втомних пошкоджень при стохастичних циклічних навантаженнях” проведено та розглянуто результати дослідження росту коефіцієнта накопичення втомних пошкоджень в елементах конструкцій на основі комп’ютерних симуляційних моделей навантажень. Властивості циклічних навантажень в рамках ПКВП-моделей описуються за допомогою імовірнісних характеристик першого й другого порядків цього класу нестаціонарних випадкових процесів. Тривалість одного циклу визначається періодом корельованості ПКВП, який одночасно є періодом математичного сподівання і кореляційної функції. Сама форма циклу є складною, вона визначається виглядом як регулярної, так і флуктуаційної складових. Циклічність флуктуаційної складової полягає у періодичній зміні її потужності і кореляційних зв’язків між окремими значеннями. Часова структура циклу існує завдяки корельованості тих формуючих його гармонік, частоти яких віддалені одна від одної на відстань, кратну до . Кореляція між гармоніками відсутня, коли для опису стохастичних циклічних навантажень використовується модель у вигляді стаціонарного випадкового процесу. Такий стаціонарний випадковий процес можна розглядати як стаціонарне наближення ПКВП, тобто як процес, характеристики якого отримуються за допомогою усереднення на періоді характеристик ПКВП. Природньо постає питання про те, наскільки впливає (чи взагалі не впливає) перехід від стаціонарної моделі стохастичних циклічних навантажень до їх моделі у вигляді ПКВП на результат прогнозування втомної витривалості елементів конструкцій. Один з можливих шляхів розв’язання цієї задачі – це комп’ютерне моделювання відповідних стохастичних навантажень і проведення обчислень з використанням гіпотез накопичення втомних пошкоджень та результатів експериментальних досліджень. При такому підході проводиться так звана схематизація складних стохастичних навантажень, а саме, вони розглядаються як сукупність поєднання синусоїдальних циклів і напівциклів. Більшість з відомих методів, які використовуються, не мають достатнього фізичного обґрунтування. Винятком серед них є метод “краплі дощу”, який фізично інтерпретує цикли напружень як замкнуті петлі гістерезису.

У роботі опрацьовано алгоритмічне і програмне забезпечення методу “краплі дощу” для виділення зі складної форми змінного в часі навантаження послідовності циклів, визначення їх амплітуди, середнього значення та побудови відповідної гістограми (рис. ).

З використанням комп’ютерних моделей показано, що при регулярних циклічних навантаженнях, ступінь втомних пошкоджень суттєво залежить від фазових співвідношень між гармонічними складовими, що формують задане циклічне навантаження.

На основі комп’ютерного моделювання у розділі проаналізовано ріст втомних пошкоджень для найпростіших ПКВП-моделей циклічних навантажень: адитивної, мультиплікативної, квадратурної. Показано, що нестаціонарність як першого, так і другого порядків суттєво збільшує швидкість росту коефіцієнта накопичення втомних пошкоджень (рис. ). Це пояснюється тим, що корельованість гармонік, яка властива ПКВП-моделі, приводить до формулювання стійких циклів з більшими амплітудами.

Рис. 8. Залежність коефіцієнта накопичення втомних пошкоджень від кількості циклів навантаження для нестаціонарного (а) і стаціонарного (б) вібраційних сигналів.

Дослідження росту втом-них пошкоджень проведено також на основі моделювання реальних вібраційних наван-тажень. З використанням мо-делі стаціонарного наближення та зміни параметрів ПКВП-моделі показано, що періо-дична нестаціонарність вібра-ційних навантажень суттєво скорочує втомну витривалість елементів конструкцій, і тому її обов’язково потрібно врахову-вати при оцінці їх залишкового ресурсу.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв’язано наукову задачу аналізу і моделювання циклічних стохастичних навантажень, що ґрунтується на теорії і статистиці ПКВП, з метою виявлення нових аспектів, які мають істотне значення при оцінці ресурсу елементів конструкцій. При цьому:

1. Проведено аналіз існуючих моделей циклічних навантажень у вигляді детермінованих періодичних функцій та стаціонарних випадкових процесів і на цій основі,
з використанням результатів обробки експериментальних даних сигналів вібрації обґрунтовано імовірнісну модель циклічних навантажень у вигляді ПКВП, яка об’єднує детерміністичний та імовірнісний підходи до їх опису. Математичне сподівання ПКВП описує регулярні циклічні навантаження, їх форма відображається у складі його гармонічних складових. Дисперсія описує періодичну в часі потужність флуктуаційних навантажень, кореляційна функція – періодичне в часі пов’язання їх значень.

2. З використанням когерентного і компонентного методів оцінювання характеристик ПКВП проведено обробку реальних даних, встановлено типові форми імовірнісних характеристик і проведено їх апроксимацію. Параметри вибраних апроксимацій описують потужність навантажень, швидкість загасання кореляційних зв’язків,
а також певні типи періодичної нестаціонарності.

3. Проведено аналіз когерентних оцінок математичного сподівання та кореляційної функції вібраційних навантажень, що описуються вибраним типом ПКВП, а також оцінок коефіцієнтів Фур’є цих характеристик. Отримано вирази для зміщення
і дисперсії оцінок, що описують їх залежності від довжини відрізка реалізації та параметрів, які визначають кореляційну структуру навантажень. На їх основі проведено детальний аналіз властивостей оцінок, кількісно оцінено вірогідність результатів обробки. Останнє дає можливість обґрунтовано вибирати такі параметри обробки, які забезпечують наперед задану її якість.

4. Показано, що періодична нестаціонарність навантажень суттєво змінює чисельні значення похибок оцінювання (до 50%), а також її поведінку з ростом зсуву. Дисперсії оцінок кореляційних характеристик з ростом зсуву набирають форму незаникаючих коливань, амплітуди яких визначаються параметрами нестаціонарності сигналу, а їх середнє значення – характеристиками стаціонарного наближення. Показано, що відносні середньоквадратичні похибки оцінювання зростають з ростом зсуву, тому вірогідне оцінювання можливе тільки для зсувів, що належать до інтервалу .

5. Проаналізовано властивості дискретних оцінок коефіцієнтів Фур’є математичного сподівання і кореляційних компонентів вибраного типу вібраційних навантажень Показано, що дискретизація приводить до збільшення як регулярної, так і флуктуаційної складової похибки оцінювання характеристик навантажень. Вирази для зміщень і дисперсії, крім основних складових, містять додаткові, які появляються в результаті накладання. Отримано умови відсутності накладання і показано, що при їх виконанні похибка дискретизації визначається різницями між відповідними інтегралами і інтегральними сумами. На основі проведених обчислень виявлено, що похибки оцінювання неперервних і дискретних оцінок є близькими за величиною при інтервалах дискретизації, які є значно меншими від тієї максимальної величини, яка забезпечує відсутність накладання при гармонічному аналізі ПКВП.

6. Досліджено властивості неперервних та дискретних компонентних оцінок математичного сподівання і кореляційної функції вібраційних навантажень, виведено формули для зміщення й дисперсії оцінок в залежності від довжини реалізації, кроку дискретизації, а також параметрів, що описують їх кореляційну структуру. Проаналізовано вплив параметрів обробки, а також характеристик нестаціонарності на якість компонентного оцінювання.

7. Проведено порівняльний аналіз когерентних і компонентних оцінок імовірнісних характеристик циклічних навантажень. Показано, що для вибраного типу навантажень похибки оцінювання компонентних оцінок є значно меншими, ніж когерентні. Це зумовлено швидшим загасанням кореляційних зв’язків, а також їх коливним характером в межах інтервалу, значно меншого від величини періоду корельованості.

8. На основі комп’ютерного моделювання проведено аналіз росту коефіцієнта накопичення втомних пошкоджень для найпростіших ПКВП-моделей циклічних навантажень: адитивної, мультиплікативної, квадратурної. Показано, що нестаціонар-ність як першого, так і другого порядків суттєво збільшує швидкість росту втомних пошкоджень. Це зумовлено тим, що корельованість гармонік, яка властива ПКВП-моделі, приводить до формування стійких циклів з більшими амплітудами.

9. Досліджено ріст втомних пошкоджень на основі комп’ютерного моделювання вибраного типу реальних вібраційних навантажень. З використанням моделей стаціонарного наближення та зміни параметрів ПКВП-моделей показано, що періодична нестаціонарність вібраційних навантажень суттєво скорочує втомну витривалість матеріалів, і тому її потрібно обов’язково враховувати при визначенні ресурсу елементів конструкції.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.