ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

ЗУБ ПАВЛО МИХАЙЛОВИЧ

УДК 519.3

МОДЕЛІ БАРИЦЕНТРИЧНОГО УСЕРЕДНЕННЯ ТА МЕТОДИ ВІДНОВЛЕННЯ ГАРМОНІЧНИХ ФУНКЦІЙ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків – 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Херсонському національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник – доктор фізико-математичних наук, професор
Хомченко Анатолій Никифорович, Херсонський національний технічний університет, завідувач кафедри прикладної математики та математичного моделювання.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор Шаронова Наталія Валеріївна, Національний технічний університет “Харківський політехнічний інститут”, завідувач кафедри інтелектуальних комп’ютерних систем;

кандидат технічних наук, доцент Гнатушенко Володимир Володимирович, Дніпропетровський національний університет, доцент кафедри електронних засобів телекомунікацій.

Провідна установа – Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Захист відбудеться "26" червня 2007 р. о 13.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.02 у Харківському національному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, просп. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, просп. Леніна, 14.

Автореферат розісланий "22" травня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Безкоровайний В.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дисертації зумовлена необхідністю подальшої розробки несіткових методів статистичного моделювання типу Брауна-Маллера і створення на їх основі сучасних рандомізованих обчислювальних технологій для стаціонарних задач математичної фізики з урахуванням ортотропії середовища, які здатні зменшити об’єм обчислень, особливо в задачах з областями довільної конфігурації.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота відповідає державним науково-технічним програмам, які сформульовані в Законі України “Про наукову і науково-технічну діяльність” та в Законі України “Про національну програму інформатизації”, а також планам науково-технічних робіт МОН України: 6 – інформатика, автоматизація і приладобудування; 6.2.1 – інтелектуалізація процесів прийняття рішень; 6.2.2 – перспективні інформаційні технології і системи. Робота виконана у рамках наукової теми “Геометричне моделювання в алгоритмах обчислювальної математики” (№ДР 0106U011443), а також наукової теми “Розробка інформаційної технології геометричного моделювання скалярних полів” (№ДР 0105U002749) кафедри прикладної математики та математичного моделювання Херсонського національного технічного університету (ХНТУ).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є розробка і розвиток нових рандомізованих обчислювальних методів в задачах дослідження стаціонарних фізичних полів з урахуванням ортотропії середовища, які здатні зменшити об’єм та збільшити швидкість обчислень в областях складної конфігурації, а також розробка спрощеної процедури побудови двовимірних та тривимірних кубатур на дискретних елементах.

Мета дослідження відповідно визначила такі задачі:–

проаналізувати область використання і сучасний стан обчислювальних методів типу Монте-Карло, перспективи їх подальшого розвитку;–

за допомогою комп’ютерного моделювання (статистичних експериментів з випадковими блуканнями) обґрунтувати ключові ідеї методу барицентричного усереднення (МБУ) як несіткового варіанта методу Монте-Карло. –

розробити нові версії МБУ для розв’язування стаціонарних задач математичної фізики в ортотропному середовищі;–

проаналізувати на прикладах точність рандомізованих розрахунків у залежності від показника ортотропії, від моделі теплопровідності в ортотропному середовищі, від форми обчислювального шаблону, від способу усереднення на сукупності “стоп-кадрів” МБУ;–

запровадити в МБУ дискретні схеми випадкових блукань на шаблонах з відбиваючими та неідеально поглинаючими вузлами;–

на принципах зваженого усереднення створити ієрархічну процедуру побудови кубатурних формул Ньютона-Котеса на дискретних дво- і тривимірних елементах (трикутник, квадрат, тетраедр, куб). Порівняти експериментальний спектр вагових коефіцієнтів кубатур з теоретичним. Провести втілення ідеї “слідкуючих” маршрутів в моделях несиметричних блукань на центрованих елементах з ефектом “дрейфу” частинок;–

вивчити обчислювальні якості МБУ на шаблонах вищих порядків (з додатковими граничними вузлами), які реалізують оригінальну ідею “штрафних” маршрутів в однокрокових схемах випадкових блукань;–

створити математичну модель і алгоритми та програми для розв’язання задачі хронометрування у середньому просторових випадкових блукань.

Об’єкт дослідження – стаціонарні фізичні поля.

Предмет дослідження – властивості середнього стаціонарних фізичних полів та математичні моделі, створені за принципом барицентричного усереднення.

Методи дослідження. У роботі використані положення класичної теорії методів Монте-Карло – для проведення обчислювальних експериментів із симетричними та несиметричними блуканнями, а також для розв’язання окремих прикладних задач; методи відновлення гармонічних функцій 2-х і 3-х аргументів – при порівнянні ефективності обчислювальних методів; барицентричне числення і перші версії МБУ – для розробки нових моделей барицентричного усереднення в ортотропному середовищі; сучасні принципи алгоритмізації і комп’ютерного моделювання – для розробки алгоритмів та програм.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у такому:

вперше:–

доведено, що МБУ є практичним втіленням теореми про середнє гармонічної функції, якщо інтеграл замінити відповідною інтегральною сумою, що дозволило аргументовано перейти до дискретних обчислень;–

на принципах зваженого усереднення створено ієрархічну процедуру побудови кубатурних формул Ньютона-Котеса на дискретних дво- і тривимірних елементах, що дозволило отримати нові обчислювальні формули на центрованих дискретних елементах у формі трикутника, квадрата, тетраедра і куба, які не поступаються відомим формулам ні точністю, ні об’ємоём обчислень. Це дозволяє будувати відомі та нові альтернативні кубатури для дискретних елементів вищих порядків;–

встановлено, що експериментальний спектр вагових коефіцієнтів центрованих кубатур суттєво залежить від моделі випадкових блукань і може помітно відрізнятись від теоретичного. Для узгодження спектрів побудована нова модель несиметричних блукань, що включає область переваги “слідкуючих” маршрутів. Це дозволило досягти узгодженості між математичною моделлю та експериментом;

удосконалено:–

метод барицентричного усереднення на шаблонах вищих порядків (з додатковими граничними вузлами), а саме, проведено обґрунтування використання формул, що спирається на оригінальну ідею “штрафних” маршрутів у схемах випадкових блукань. Це дозволило відмовитись від традиційних численних багатокрокових блукань в методі Монте-Карло;

дістали подальшого розвитку:–

метод барицентричного усереднення за рахунок розширення області його використання на ортотропні середовища. Запропоновано придатні математичні моделі теплопровідності в ортотропному середовищі, побудовано формули МБУ для прискорених обчислень на шаблонах однокрокових схем випадкових блукань;–

метод барицентричного усереднення за рахунок включення обчислювальних шаблонів з неідеально поглинаючими та відбиваючими вузлами, що відкриває нові можливості для моделювання різноманітних граничних умов.

Практичне значення одержаних результатів. Розроблені у роботі обчислювальні методи, а також створена на їх основі інформаційна технологія дає простий і зручний практичний спосіб апроксимації гармонічної функції в довільній області на основі дискретно поданої граничної інформації. Отримані результати можуть використовуватися для розв’язання таких класів задач: задачі стаціонарної теплопровідності, які виникають при дослідженні теплових полів (розрахунки деталей, плат та ін., а також геофізичні дослідження); визначення гравітаційного потенціалу, створеного розподілом вагомих частинок (дослідження космічних систем); визначення електростатичного потенціалу від множини точкових зарядів (конструювання фізичних приладів); визначення потенціалу швидкості в гідродинаміці рідини, що не стискається (розрахунки потоків рідини та газів); задача визначення геометричної жорсткості при крученні призматичних стержнів із різними перерізами. Особливо зручно користуватись МБУ для розрахунків геометричної жорсткості, оскільки в даній задачі потрібно проводити розрахунки лише в деяких точках області. Ієрархічна процедура побудови альтернативних кубатур розрахована на фахівців, які використовують сучасні методи дискретних елементів. При цьому на центрованих елементах тепер існує вибір формул, які довели свою працездатність в наближених обчисленнях подвійних і потрійних інтегралів. До задач, які розв’язуються за допомогою кубатур, належить обчислення подвійних та потрійних інтегралів для методу скінченних елементів (МСЕ) (матриця розв’язувальної системи рівнянь МСЕ складається із інтегралів по області дискретного елемента), а також визначення об’ємів фігур, визначення маси неоднорідної пластини та інші задачі.

Розроблені обчислювальні методи були впроваджені у відділі автоматизації ВАТ “Херсонські комбайни” для розрахунків температурних полів пластинчатих елементів деталей механізмів з різними граничними умовами, а також для розрахунків кручення стержневих елементів різного перерізу. Також результати дисертації використовуються у навчальному процесі на кафедрі прикладної математики та математичного моделювання ХНТУ.

Особистий внесок здобувача. Усі наукові результати, що виносяться на захист, одержані автором особисто. У роботах, що виконані у співавторстві, здобувачеві належить таке: [1] – за допомогою МБУ розв’язано рівняння Лапласа зі змішаними граничними умовами; [2] – запропоновано модель ортотропного варіанту МБУ для розв’язування стаціонарних задач математичної фізики (шаблон типу “симплекс” та шаблон типу “хрест”), за допомогою тестів проведено оцінку точності альтернативних моделей МБУ; [3] – зроблено візуалізацію базисних функцій дискретних елементів з криволінійними границями (у полярних координатах); [4] – запропоновано обчислювальні шаблони МБУ з неідеально поглинаючими вузлами, що відкриває нові можливості для моделювання різноманітних граничних умов; [5] – розроблено програмне забезпечення МБУ для розв’язування задач еліптичного типу; [6] – побудовано кубатури на тетраедральному дискретному елементі, проведені комп’ютерні розрахунки для тестування отриманих альтернативних формул; [7] – створено математичну модель, алгоритми та програмне забезпечення для розв’язання задачі хронометрування у середньому просторових випадкових блукань на призматичних елементах; [8] – розроблено програмне забезпечення МБУ для розв’язання стаціонарних задач математичної фізики з різноманітними граничними умовами з урахуванням ортотропії середовища; [9] – сформульовано правила випадкових блукань та проведено серію комп’ютерних експериментів на тетраедральних решітках, за допомогою яких доведено, що перехідні ймовірності стійко групуються біля значення барицентричної координати у симплексі; [10] – розроблені програми для проведення обчислювальних експериментів; [11] – розроблені процедури пошуку вузлів суперзбіжності для розв’язання стаціонарних задач математичної фізики за допомогою МБУ; [12] – розроблено програмне забезпечення для розв’язання стаціонарних задач математичної фізики за допомогою МБУ; [13] – проведено за допомогою МБУ обчислення геометричної жорсткості для призматичних стержнів різних перерізів; [14] – побудовано геометричну схему несиметричних випадкових блукань методу Монте-Карло на трикутнику, розроблено алгоритм та складено комп’ютерну програму; [15] – проведено аналіз нових обчислювальних методів, що використовують ідеї барицентричного усереднення; [16] – побудовано кубатури на відповідно трикутному та тетраедральному дискретних елементах, проведено серію комп’ютерних розрахунків для тестування отриманих альтернативних формул; [17] – розроблено та впроваджено комп’ютерні програми з вивчення методів наближеного інтегрування за допомогою кубатурних формул Ньютона-Котеса; [18] – створено математичну модель, алгоритми та програмне забезпечення для розв’язання задачі хронометрування у середньому просторових випадкових блукань на призматичних елементах.

Апробація результатів дисертації. Основні результати і наукові положення дисертації доповідалися на: міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Харків, 1998 р.), II, III, IV міжнародних конференціях з математичного моделювання (м. Херсон, 1998, 2000, 2003 р.р.); міждержавній науково-методичній конференції “Комп’ютерне моделювання” (м. Дніпродзержинськ, 2000 р.); IV міжнародній науково-методичній конференції “Інформаційні технології в освіті і управлінні”
(м. Н.-Каховка, 2002 р.); X міжнародній конференції з геометрії та графіки (м. Київ, 2002 р), міжнародній науково-практичній конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання” (м. Львів, 2003 р.).

У цілому дисертація доповідалась і обговорювалась на: міжвузівському семінарі Херсонського національного технічного університету (28 березня 2006 р.); 8-й міжнародній конференції з математичного моделювання, м. Феодосія (12-16 вересня 2006 р.); міжвузівському семінарі Херсонського національного технічного університету (22 грудня 2006 р.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 18 робіт, з яких 7 статей – у виданнях, що входять до переліків, затверджених ВАК України, 1 авторське свідоцтво.

Структура та обсяг роботи. Робота складається із вступу, 4 розділів, висновків, списку використаних джерел із 154 найменувань на 14 сторінках, 2 додатків на 6 сторінках. Її обсяг становить 156 сторінок, у тому числі 44 рисунки на 15 сторінках, 15 таблиць на 8 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми та необхідність розробки математичних методів для задач відновлення гармонічних функцій багатьох змінних та задачі побудови дво- і тривимірних кубатурних формул. Сформульовані мета, завдання, визначені межі використання, показана наукова новизна та практична цінність роботи, викладені одержані результати.

У першому розділі сформульовано задачу відновлення гармонічної функції, розглянуто методи, які можуть використовуватися для розв’язання цієї задачі, їх недоліки та переваги. Проведена ретроспектива обчислювальних методів на основі методу Монте-Карло, проаналізовані їх переваги і недоліки. Розглянуто розвиток МБУ, їх ймовірнісну інтерпретацію, а також зв’язок МБУ з методами Монте-Карло.

У другому розділі проведено теоретичне обґрунтування рандомізованих обчислювальних схем. У підрозділі 2.1 наведено рандомізоване доведення теореми про середнє значення гармонічної функції, яка дає підставу для використання однокрокових схем випадкових блукань в МБУ. Ідея створення МБУ виникла під впливом ідей методу Монте-Карло, але із алгоритму МБУ вилучено тривалі випадкові блукання. Прискорення обчислювальних алгоритмів нових методів здійснюється за рахунок заміни апостеріорних перехідних ймовірностей апріорними.

У підрозділі 2.2 наведено математичне забезпечення нових версій МБУ. Обчислювальна технологія МБУ для розв’язування стаціонарних граничних задач передбачає використання сукупності довільно орієнтованих симплексів (“стоп-кадрів”), вершини яких знаходяться на границі області дослідження. У тривимірному випадку кожний такий “стоп-кадр” реалізує вибірку U1, U2, U3, U4 із генеральної сукупності граничних значень, де кожному значенню Ui відповідає ймовірність поглинання частинки вузлом i. У попередніх версіях МБУ було реалізовано випадок, коли усі вузли симплекса поглинають:

(1)

де – барицентричні координати точки M симплекса S;

V(S) – об’єм 3-вимірного симплекса (тетраедра);

V(Si) – об’єм 3-вимірного підсимплекса, створеного точкою М.

Барицентричні координати мають такі властивості:

.

У нових версіях МБУ реалізовано відбиваючі та неідеально поглинаючі вузли. Якщо, наприклад, вузол p – відбиваючий (решта – поглинаючі), то формула (1) набуває вигляду:

.

Якщо вузол q – неідеально поглинаючий, то

.

У роботі також розглянута узагальнена модель для k-вимірного симплексу з k+1 маршрутами, де m ідеально поглинаючих вузлів, n неідеально поглинаючих, решта – ідеально відбиваючі:

.

У підрозділі 2.3 наведені нові версії МБУ в ортотропному середовищі. Запропоновано математичні моделі теплопровідності, побудовано формули МБУ для обчислень на шаблонах однокрокових схем випадкових блукань.

Дослідження стаціонарного температурного поля в ортотропному середовищі спирається на гармонічне рівняння:

, (2)

де kx, ky, kz – коефіцієнти теплопровідності відповідно у напрямках OX, OY, OZ; U – температура. До рівняння (2) додаються відповідні граничні умови.

Розглянуто чотиримаршрутну схему просторових випадкових блукань в ортотропному середовищі. За обчислювальний шаблон взято тетраедр, що містить досліджувану точку М. Вершини тетраедра (тривимірного симплекса) належать границі розрахункової області.

Обчислювальна формула на “стоп-кадрі” має вигляд:

, (3)

де i (i=1,2,3,4) – номер маршрута із точки М у вузол i; оi – барицентричні координати точки M у тетраедрі; Ui – відомі значення шуканої функції U на граничній поверхні області; ki – коефіцієнт теплопровідності у довільній точці М у напрямку маршрута i. ki визначається через три відомі значення kx, ky, kz за формулою:

, (4)

де бi, вi, гi – кути між вибраним напрямком і відповідними координатними осями x, y, z.

Зауважимо, що у формулі (4) чітко відбивається ідея зваженого усереднення. Це типова формула для обчислення математичного сподівання випадкової величини, де у ролі ймовірностей виступають квадрати косинусів.

Ключову роль в алгоритмі МБУ відіграє “стоп-кадр”, тобто фіксоване положення симплекса, вершини якого розташовані на границі області. Алгоритм використовує декілька різних “стоп-кадрів”, що накривають точку М. Процедура усереднення виконується двічі: спочатку на кожному окремому “стоп-кадрі”, а потім на сукупності “стоп-кадрів”, що використані в обчисленнях. Точність МБУ оцінюється надійними інтервалами. Також є можливість використання обчислювального шаблона методу скінченних різниць (МСР), адаптованого до криволінійних границь області.

У роботі запропоновано ще одну модель для ki, яка також будується за правилом зваженого усереднення:

. (5)

Моделі (4) і (5) якісно ідентичні, але в кількісному відношенні вони неоднаково реагують на зміну напрямку маршруту броунівської частинки.

У підрозділі 2.4 розглянута ієрархічна процедура побудови кубатурних формул Ньютона-Котеса, яка належить до одного із нових застосувань ідеї барицентричного усереднення. Використання цього підходу допомогло збудувати нові альтернативні моделі для обчислення подвійних інтегралів на дискретних елементах у вигляді трикутника і квадрата та потрійних інтегралів на дискретних елементах у вигляді тетраедра, куба.

На основі ідеї барицентричного усереднення в дисертації розвинута принципово нова схема побудови кубатурних формул типу Ньютона-Котеса, яка заснована на поступовому ускладненні простих моделей:

Формула (6), яка отримана методом зваженого усереднення за правилом повузлової пропорційності, трохи відрізняється від аналогічної формули для центрованої моделі на 7 вузлів, яка спирається на метод невизначених коефіцієнтів (7). У роботі доведено, що формула (7) може бути отримана зважуванням відповідно з ваговими коефіцієнтами 2/5 і 3/5 (“золота” пропорція). Цей варіант зважування теж є цілком природним і, безумовно, заслуговує на увагу. Формула (7) відрізняється від (6) незначним посиленням ролі центрального і кутових вузлів інтегрування та послабленням ролі проміжних вузлів 4, 5, 6.

Однією із важливих переваг дискретного моделювання є можливість створення альтернативних обчислювальних формул. Точність таких формул фактично залежить від точності апроксимації математичного сподівання вибірковим середнім. Вибіркове середнє у формулі (7) узгоджене з принципом “золотої” пропорції. Є підстави вважати, що формули (6) і (7) належать до формул одного класу точності. У роботі це припущення перевіряється на прикладах.

Дві альтернативні формули на квадраті: |

, | (8)

. | (9)

Формула (8), яка є результатом зваженого усереднення, не відрізняється від двовимірного аналога, який отримано повторним застосуванням відомої формули Симпсона. Формула (9) побудована за принципом “золотої” пропорції (з ваговими коефіцієнтами 2/5 та 3/5). Її вагові коефіцієнти трохи відрізняються від коефіцієнтів (8), але клас точності цих формул однаковий.

Далі наведені кубатурні формули для обчислення потрійних інтегралів на елементі у вигляді тетраедра: |

, | (10)

. | (11)

Центрована модель (10) є результатом процедури зваженого усереднення за принципом пропорційності вузлів. Якщо ж здійснити зважування цих формул за принципом “золотої” пропорції, отримаємо альтернативну центровану модель для 11 вузлів.

У формулі (11) підсилена вага центрального і кутових вузлів за рахунок послаблення ваги решти вузлів, у формулі (10) – навпаки.

Далі наведені дві альтернативні формули на кубі:

Формула (12) відома у науковій літературі, вона узгоджена з принципом “золотої” пропорції. Формула (13) побудована за принципом пропорційності вузлів. Точність цих формул практично однакова.

Щоб побудувати кубатурні формули для обчислення потрійних інтегралів на призматичному елементі з трикутним перерізом досить скористатися комбінацією трикутної і лінійної схеми. Наприклад, для :

де S – площа поперечного перерізу елемента.

У третьому розділі наведені результати комп’ютерного тестування нових обчислювальних схем. Перш за все, проведено експериментальну перевірку еквівалентності барицентричних координат і відносних частот поглинання частинок, що блукають по вузлах тетраедральних решіток. Експеримент показав стійку збіжність відносних частот до барицентричних координат, що підтверджує правильність вибору барицентричних координат як апріорних перехідних ймовірностей у схемі випадкових блукань “по симплексах”. Цей важливий результат є принциповим обґрунтуванням для різних варіантів МБУ в задачах дослідження стаціонарних фізичних полів.

У наступному експерименті порівнюються результати використання ортотропного варіанта МБУ з розв’язками задачі проведеними іншими методами, дослідження температурного поля ортотропної пластини (рис. 1). Показник ортотропії f=2.

У табл. 1 наведені результати визначення вузлових температур за допомогою різних методів.

Таблиця 1

Вузлові температури ортотропної пластини

Вузли | X | Y | МСР

(Гаусс) | Монте-Карло
106 досл. | БУ-4С | БУ-3М | 1. -0,5 | -0,5 | 14,46 | 14,44 | 15,63 | 14,86 | 2. -0,5 | 0 | 19,36 | 19,36 | 18,75 | 19,21 | 3. -0,5 | 0,5 | 22,55 | 22,56 | 21,88 | 22,15 | 4. 0 | -0,5 | 35,54 | 35,54 | 37,5 | 35,88 | 5. 0 | 0 | 42,16 | 42,17 | 41,67 | 42,13 | 6. 0 | 0,5 | 46,57 | 46,57 | 45,83 | 46,24 | 7. 0,5 | -0,5 | 64,46 | 64,46 | 65,63 | 65,12 | 8. 0,5 | 0 | 69,36 | 69,41 | 68,75 | 69,07 | 9. 0,5 | 0,5 | 72,55 | 72,55 | 71,88 | 72,19 |

Використовуються наступні позначення: БУ-4С – барицентричне усереднення на статичному (нерухомому) шаблоні із 4-ма маршрутами. БУ-3М – барицентричне усереднення на симплексі із 3-ма маршрутами і багаторазовими (multi) повтореннями обчислень на “стоп-кадрах” різної орієнтації. Були використані 2-5 “стоп-кадрів” у залежності від розташування вузла, при цьому максимальна похибка не перевищує 8,1%. За точний прийнято розв’язок, отриманий МСР.

Іще один тест стосується перевірки нового обчислювального шаблону з відбиваючими вузлами. Наявність відбиваючих вузлів дає можливість моделювати на границі області умови ідеальної теплоізоляції.Для перевірки нового шаблону розв’язується модельна задача визначення температурного поля квадратної пластини, дві границі якої ідеально теплоізольовані (рис. 2). Температура у контрольних точках області визначалася за допомогою нового шаблону і порівнювалася з результатами, отриманими МСЕ. Для контрольних вузлів відносна похибка не перевищувала 5%.

Дуже переконливі результати співставлення різних методів розв’язання дає задача про кручення призматичного стержня з поперечним перетином у формі еліпса. У літературі ця задача розв’язується за допомогою МСЕ на сітці із 48-ми елементів (33 внутрішніх вузла) (рис. 3) і методу граничних елементів (МГЕ) з використанням 16-ти розрахункових вузлів на границі. Ця задача приваблива тим, що тут можна знайти точне значення геометричної крутильної жорсткості. Наприклад, для еліпса з півосями a=2 см, b=1 см це значення дорівнює Ј = 5,026 см4. За МСЕ Ј = 4,56 см4, за МГЕ Ј = 4,47 см4. У звичайній процедурі МБУ використовувалось спочатку 8 вузлів: 4 вершини еліпса і 4 вузла на границі рівновеликого кола. При цьому Ј = 5,004 см4; виявилося, що МБУ може дати абсолютно точний результат, якщо використовувати усього 4 вузла у вершинах вписаного квадрата. Практика застосування МБУ підтверджує, що статистичні оцінки залежать не стільки від обсягу вибірки, скільки від її якості. Цей парадокс отримав назву “чим більше даних, тим гірші висновки”. Подібні ситуації описані в літературі (Г. Секей, Ф. Еджворт).

Наведені приклади доводять, що використання прискорених обчислювальних схем МБУ здатне значно зменшити об’єм та збільшити швидкість обчислень при розв’язанні стаціонарних задач математичної фізики.

У підрозділі 3.2 наведені результати комп’ютерного тестування вагових коефіцієнтів кубатур та приклади наближених обчислень подвійних і потрійних інтегралів. У табл. 2 наведені результати порівняння наближеного і точного інтегрування на тетраедрі та кубі.

Таблиця 2

Результати обчислень потрійних інтегралів

Підінтегр.
функція | Тетраедр | Куб | Інтегрування | точне | за ф-лою
(10) | за ф-лою
(11) | точне | за ф-лою
(13) | за ф-лою
(12) | 0,3790851 | 0,3807067 | 0,38076055 | 14,3872342 | 14,2228982 | 14,2267036 | Відносна похибка | - | 0,43% | 0,44% | - | 1,14% | 1,12% | Підінтегр.
функція | 0,2271611 | 0,2271434 | 0,2271450 | 10,4776576 | 10,4542092 | 10,4604765 | Відносна похибка | - | 0,008% | 0,007% | - | 0,22% | 0,16% |

Результати обчислень подвійних і потрійних інтегралів свідчать про те, що для швидкої побудови кубатур Ньютона-Котеса на дискретних елементах доцільно використовувати прості і наочні ієрархічні процедури. При цьому в альтернативних формулах виникають майже однакові спектри вагових коефіцієнтів, які можна обґрунтувати комп’ютерними експериментами на моделях несиметричних випадкових блукань. Для цього навколо центрального вузла (рис. ) була створена область переваги “слідкуючого маршруту”. Цікаво відзначити, що майже всі експериментальні значення “лягли” у малий проміжок, що визначений теоретичними значеннями двох моделей.

Іще один експеримент стосується комп’ютерного підтвердження того факту, що відносні частоти поглинання у вузлах симплекса і мультиплекса стійко групуються біля значення відповідної вузлу базисної функції, обчисленої у точці старту броунівських частинок. Однак, для дискретних елементів вищих порядків базисна функція може набувати від’ємного значення, що змоделювати звичайними схемами блукань неможливо. У роботі розглянуто однокрокову схему випадкових блукань із “штрафними” маршрутами, яка дозволила відмовитись від традиційних численних багатокрокових блукань в методі Монте-Карло і використовувати значення базисних функцій як апріорні перехідні ймовірності. У роботі розглянуто трикутник із квадратичною і квадрат із біквадратичною інтерполяцією. Практика використання дискретних елементів вищих порядків свідчить (О. Зенкевич), що їх “негативізм” не заважає конструювати необхідні апроксимації та отримувати надійні і досить точні результати.

У четвертому розділі розглянуті особливості реалізації рандомізованих алгоритмів.

У підрозділі 4.1 розглянуто особливості переходу від математичної моделі до комп’ютерної програми, зв’язок складності і випадковості, а також переваги використання псевдовипадкових чисел при комп’ютерній реалізації рандомізованих алгоритмів.

У підрозділі 4.2 розглянута розроблена автором комп’ютерна програма “МВА” (Method of Barycentrical Averaging). Цей програмний продукт містить інструменти для виконання розрахунків за допомогою МБУ. Програма має інтуїтивний інтерфейс, який дає можливість легко ввести інформацію про розрахункову область. Це дозволяє користувачу більше сконцентруватись на розв’язанні задачі.

У підрозділі 4.3 наведені приклади рандомізованих алгоритмів визначення числа “р” та числа “е”.

У підрозділі 4.4 сформульована і розв’язана цікава задача визначення середнього часу блукань частинки до поглинання по ребрах антипризми.

ВИСНОВКИ

У роботі наведені результати, які є розв’язком задачі підвищення швидкості обчислень шляхом використання ідеї барицентричного усереднення граничних потенціалів в задачах дослідження стаціонарних фізичних полів в областях складної конфігурації з урахуванням ортотропії середовища та в задачах побудови двовимірних та тривимірних кубатур на дискретних елементах.

1. Проаналізовано сучасний стан обчислювальних технологій типу Монте-Карло, перспективи їх розвитку. На основі проведеного аналізу знайдено загальний принцип, що об’єднує різноманітні моделі на основі барицентричних ідей. Вперше доведено, що МБУ є практичним втіленням теореми про середнє гармонічної функції, якщо інтеграл замінити відповідною інтегральною сумою.

2. За допомогою статистичних експериментів з випадковими блуканнями обґрунтовано ключові ідеї МБУ як несіткового варіанта методу Монте-Карло. Прискорення обчислень здійснюється за рахунок заміни апостеріорних перехідних ймовірностей апріорними. Доведено, що перехідні ймовірності стійко групуються біля значення барицентричної координати у симплексі.

3. Розроблено нові версії МБУ для розв’язування стаціонарних задач математичної фізики в ортотропному середовищі, що дозволяє, на відміну від попередніх версій МБУ, враховувати фізичні аномалії середовища. Запропоновано математичні моделі теплопровідності в ортотропному середовищі та формули МБУ для обчислень на шаблонах однокрокових схем випадкових блукань.

4. На модельних задачах проаналізовано залежності температури і точності розрахунків від показника ортотропії, від моделі теплопровідності в ортотропному середовищі, від форми обчислювального шаблону, від способу усереднення на сукупності “стоп-кадрів” МБУ. В результаті проведеного аналізу зроблено наступні висновки:

– кількість вибіркових граничних вузлів можна звести до мінімуму за рахунок використання гіпотези дифузійної плями;

– МБУ забезпечує прийнятну точність (похибка до 10%), особливо, якщо врахувати, що коливання теплофізичних характеристик в ортотропних матеріалах сягають 15%.

5. Для МБУ створено дискретні схеми випадкових блукань на шаблонах з відбиваючими та неідеально поглинаючими вузлами, що, на відміну від попередніх версій МБУ, відкриває можливості для розв’язання задач з ідеальною та неідеальною теплоізоляцією.

6. На принципах барицентричного усереднення створено ієрархічну процедуру побудови кубатур Ньютона-Котеса на дискретних дво- і тривимірних елементах, отримані альтернативні формули на центрованих дискретних елементах у формі трикутника, квадрата, тетраедра і куба. Це дозволяє будувати відомі та нові альтернативні кубатури для дискретних елементів вищих порядків. Здійснено порівняння експериментального спектру вагових коефіцієнтів з теоретичним, яке виявило, що тестування центрованих кубатур потребує більш складної моделі блукань, ніж симетричні блукання. Випробувана ідея “слідкуючих” маршрутів у моделях несиметричних блукань з ефектом “дрейфу” частинок, що дозволило досягти узгодженості між моделлю та експериментом.

7. Проведено ймовірнісне обґрунтування використання базисних функцій як перехідних ймовірностей в обчислювальних формулах МБУ на шаблонах вищих порядків за рахунок оригінальної ідеї “штрафних” маршрутів в однокрокових схемах випадкових блукань.

8. Розроблено математичну модель, алгоритми та програми розв’язання задачі хронометрування у середньому просторових випадкових блукань.

Розроблені у роботі обчислювальні методи та створені на їх основі програми дають зручний практичний спосіб апроксимації гармонічної функції в довільній області на основі дискретно поданої граничної інформації. Отримані результати можуть використовуватися для розв’язання таких класів задач: задачі стаціонарної теплопровідності, які виникають при дослідженні теплових полів; визначення гравітаційного потенціалу, створеного розподілом вагомих частинок; визначення електростатичного потенціалу від множини точкових зарядів. Крім цього, такі задачі виникають також в гідродинаміці рідини, що не стискається. Особливо зручно користуватись МБУ, коли треба провести розрахунки лише в деяких точках області (задача визначення геометричної жорсткості при крученні призматичних стержнів із різними перерізами).

Використання результатів дисертації дозволяє мінімізувати зусилля, як людські, так і ЕОМ, які необхідні для розв’язання задач еліптичного типу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ

1. Зуб П.М., Лурье И.А., Хомченко А.Н. Симплекс с отражающими узлами для задач эллиптического типа // Автоматика. Автоматизация. Электротехнические комплексы и системы. – 1999. – № 1 (4). – С. 131 – 135.

2. Хомченко А.Н., Хомченко Б.А. Зуб П.М. Ортотропные модели барицентрического усреднения граничных потенциалов в областях сложной геометрии // Вестник Херсонского государственного технического университета. – 2000. – № 1 (7). – С. 24 – 28.

3. Ляхович Т.П., Зуб П.М. Визуализация функций формы в полярных координатах // Прикладная геометрия и инженерная графика. – Мелитополь: Таврическая государственная агротехническая академия, 1998. – Вып. 4, Т. 4. – С. – 80.

4. Зуб П.М., Лурье И.А. Модели двумерного симплекса с неидеально отражающими узлами // Вестник Херсонского государственного технического университета. – 2001. – № 3 (12). – С. 105 – 106.

5. Зуб П.М., Лурье И.А. Хомченко А.Н. Компьютерная реализация методов барицентрического усреднения для задач эллиптического типа // Вестник Херсонского государственного технического университета. – 2002. – № 1 (14). – С. 46 – 49.

6. Зуб П.М., Хомченко А.Н., Цыбуленко О.В. Кубатуры Ньютона-Котеса для пространственных дискретных элементов // Геометрическое и компьютерное моделирование. – Харьков: Харьковский государственный университет питания и торговли, 2004. – Вып. 5. – С. 20 – 24.

7. Зуб П.М., Плаксіна О.В., Хомченко А.Н. Задача хронометрування в середньому просторових випадкових блукань // Вісник Херсонського національного технічного університету. – 2006. – № 2 (25). – С. 203 – 207.

8. Компьютерная программа “Барицентрическое усреднение граничных потенциалов”: А.с. ПА №3099. Україна. А.Н. Хомченко, Б.А. Хомченко, П.М. Зуб. Опубл. 02/06/2000г.

9. Ходаков В.Є., Хомченко Б.А., Зуб П.М. Випадкові блукання і комп’ютерні експерименти на симплексних решітках // Математические модели и современные информационные технологии. – НАН Украины: Ин-т математики, Киев. – 1998. – С.24 – 28.

10. Хомченко А.Н., Хомченко Б.А., Зуб П.М. Тетраэдральные решетки для маршрутизации случайных блужданий в пространстве // Сб. тр. Межд. научно-практ. конф. “Современные проблемы геометрического моделирования”. – Харьков, 1998. – Т. 2. – С. 153 – 157.

11. Лурье И.А., Зуб П.М. Разработка программного обеспечения способа вращения симплекса // Сб. тр. 5-й Межд. научно-практ. конф. “Современные проблемы геометрического моделирования”. – Мелитополь: Таврическая государственная агротехническая академия, 1998. – С. 49 – 51.

12. Зуб П.М., Хомченко Б.А. Программное обеспечение метода барицентрического усреднения // Сб. тр. Межд. научно-методич. конф. “Компьютерное моделирование”. – Днепродзержинск, 2000. – С. 200 – 201.

13. Khomchenko A.N., Kolesnikova N.V., Zub P.M. Approximated estimations of geometrical stiffness in torsion of prismatic beams // The 10 International Conference on Geometry and Graphics. – Kyiv, 2002. – P.279 – 282.

14. Хомченко А.Н., Зуб П.М., Цибуленко О.В. Геометрія випадкових блукань у центрованих дискретних елементах // Матер. міжнар. наук.-практ. конф. “Сучасні проблеми геометричного моделювання”. – Львів, 2003. – С.104 – 106.

15. Зуб П.М., Хомченко А.Н. О барицентрическом аспекте в математическом моделировании // Математические модели в образовании, науке и промышленности: Сб. науч. тр. С-Пб.: Санкт-Петербургское отделение МАН ВШ, 2003. – С. 85 – 91.

16. Хомченко А.Н., Тулученко Г.Я., Зуб П.М. Построение кубатурных формул методом барицентрического усреднения для треугольных конечных элементов // Материалы научно-практич. конф. “Перспективные разработки науки и техники”. – Белгород: Руснаучкнига; Днепропетровск: Наука и образование, 2004. – Т. 10. – С. 49 – 51.

17. Хомченко А.Н., Тулученко Г.Я., Зуб П.М., Цыбуленко О.В. Опыт организации изучения методов приближенного интегрирования студентами инженерных специальностей // Тезисы докладов 3 Всероссийской конф. “Необратимые процессы в природе и технике”. – М: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2005. –С.351 – 353.

18. Плаксина О.В., Зуб П.М., Тулученко Г.Я., Астионенко И.А., Хомченко А.Н. Об одной вероятностной задаче на антипризме // Материалы Всеукраинского научно-методического семинара “Компьютерное моделирование в образовании”. – Кривой Рог: КГПУ, 2006. – С. 44-45.

АНОТАЦІЯ

Зуб П.М. Моделі барицентричного усереднення та методи відновлення гармонічних функцій – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Харківський національний університет радіоелектроніки, Харків, 2007.

Робота присвячена розробці і розвитку нових рандомізованих обчислювальних методів, адаптованих до конкретних задач відновлення гармонічних функцій в ортотропному середовищі, а також побудові і комп’ютерному діагностуванню обчислювальних властивостей двовимірних і тривимірних кубатурних формул Ньютона-Котеса на дискретних елементах.

Найбільшу увагу у роботі присвячено методу барицентричного усереднення (МБУ), в якому реалізовано прискорену однокрокову схему випадкових блукань методу Монте-Карло. До головних результатів слід віднести розширення області використання МБУ на ортотропні середовища, а також удосконалення обчислювальних схем, в які включено шаблони з неідеально поглинаючими та відбиваючими вузлами, що відкриває нові можливості для моделювання різноманітних граничних умов. На базі нових обчислювальних схем МБУ створена інформаційна технологія для розв’язування стаціонарних задач математичної фізики в ортотропному середовищі. Також важливим результатом є створення на принципах зваженого усереднення ієрархічної процедури побудови кубатурних формул Ньютона-Котеса на дискретних дво- і тривимірних елементах.

Ключові слова: моделі барицентричного усереднення, вагові коефіцієнти, рандомізовані обчислювальні методи, однокрокова схема випадкових блукань, дискретний елемент, кубатурна формула.

АННОТАЦИЯ

Зуб П.М. Модели барицентрического усреднения и методы восстановления гармонических функций – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Харьков, 2007.

Работа посвящена разработке и развитию новых рандомизированных вычислительных методов в задачах исследования стационарных физических полей с учетом ортотропии среды, которые способны уменьшить объем и увеличить скорость вычислений в областях сложной конфигурации, а также построению и компьютерному диагностированию вычислительных свойств двумерных и трехмерных кубатурных формул Ньютона-Котеса на дискретных элементах.

Проведен подробный анализ математической и научно-технической литературы, на основе которой сформулированы конкретные задачи, в которых решение определяется в виде математического ожидания. Найден общий принцип, который объединяет различные рандомизированные модели, на основе барицентрических идей.

Наибольшее внимание в работе уделено методу барицентрического усреднения (МБУ), в котором реализована одношаговая схема случайных блужданий метода Монте-Карло. Доказано, что МБУ является практической реализацией теоремы о среднем значении гармонической функции, если интеграл заменить соответствующей интегральной суммой.

К основным результатам, достигнутым в работе, следует отнести расширение области применения МБУ на задачи с физической ортотропией среды, что, в отличие от предыдущих версий МБУ, позволило учитывать в расчетах физические аномалии среды. Предложены подходящие математические модели теплопроводности в ортотропной среде, построены новые формулы МБУ. Кроме того, усовершенствованы вычислительные схемы МБУ, в которые включены шаблоны с неидеально поглощающими узлами и отражающими узлами, что открывает новые возможности для моделирования различных граничных условий.

Созданная в работе информационная технология, которая базируется на новых вычислительных схемах МБУ, дает простой и удобный способ аппроксимации гармонической функции в произвольной области на основе дискретно заданной граничной информации. Полученные результаты могут использоваться для решения следующих классов задач. Это задачи стационарной теплопроводности, задачи определения гравитационного потенциала, созданного распределением материальных точек, а также электростатического потенциала от множества точечных зарядов. Кроме того, такие задачи возникают в гидродинамике несжимаемой жидкости. С использованием созданной информационной технологии были разработаны и проведены специальные тесты, которые определили вычислительные возможности и точность различных альтернативных моделей МБУ в ортотропной среде. На основе проведенного анализа сделаны следующие выводы: количество выбранных граничных узлов можно свести к минимуму за счет использования гипотезы диффузионного пятна; МБУ обеспечивает достаточную точность вычислений, особенно если учесть, что колебания теплофизических характеристик в ортотропных материалах достигают 15%; МБУ; особенно удобно пользоваться МБУ, когда требуется провести расчеты только в некоторых точках области, например, задача определения геометрической жесткости при кручении призматических стержней с разными сечениями.

На принципах барицентрического усреднения разработана иерархическая процедура построения кубатурных формул Ньютона-Котеса на дискретных двух- и трехмерных элементах. С помощью предложенной схемы, c использованием правила поузловой пропорциональности и правила “золотой пропорции”, получены как уже известные кубатуры (построенные методом неопределенных коэффициентов), так и альтернативные формулы. Построены новые вычислительные формулы на центрированных дискретных элементах в виде треугольника, квадрата, тетраэдра и