КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

БОНДАРЕНКО Анастасія Олександрівна

УДК 539.3

НОРМАЛЬНІ ХВИЛІ

В ПРЯМОКУТНОМУ ПРУЖНОМУ ХВИЛЕВОДІ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ–2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичної і прикладної механіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор

МЕЛЕШКО В’ячеслав Володимирович,

Київський національний університет імені Тараса

Шевченка МОН України,

завідувач кафедри теоретичної і прикладної механіки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,

академік НАН України

ГРІНЧЕНКО Віктор Тимофійович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

директор;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ПЕТРІЩЕВ Олег Миколайович,

Національний технічний університет України «КПІ»,

доцент кафедри акустики і електроакустики.

Захист відбудеться „10” вересня 2008 р. о 1600 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К26.001.21 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, вул. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет, ауд. 41.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01601 МСП, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий „31” липня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

кандидат фізико-математичних наук А.В. Ловейкін

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. На сучасному етапі розвитку науки і техніки значна частина фундаментальних і прикладних досліджень присвячена вивченню властивостей напрямних хвиль у пружних хвилеводах різних конфігурацій. Такі хвилеводи широко застосовуються в акустооптиці, акустоелектроніці, мікро- і нанотехнологіях, методиці недеструктивного тестування матеріалів. Для розробки і подальшого розвитку вказаних напрямків потрібні знання про основні типи хвиль, що існують як в об’ємі хвилеводу, так і на його поверхні.

Однією з найважливіших проблем є вивчення дисперсійних характеристик нормальних хвиль в пружних хвилеводах, які відображають залежність частоти від швидкості розповсюдження хвилі. Така інформація необхідна для здійснен-ня операцій стосовно перетворення і обробки сигналів в акустоелектроніці (R. ; ), лока-лізації і оцінки розмірів щілин, тріщин та включень в тілі при використанні методики неруйнівного тестування матеріалів (D.E. ; T.J.2002; О. Н. Петрищев, 2005, 2007), побудови теоретичної моделі решіткової термічної провідності фононних мод в нанотехнологіях (X.ь, J.W.2003, 2006). Розв’язання цих питань пов’язано з дос-лідженням природи хвильових процесів в пружних хвилеводах.

На сьогоднішній день властивості плоского (шар) і круглого (циліндр) хви-леводів вважаються вивченими і систематизованими в повному обсязі, що пов’язано з відсутністю зломів на напрямній поверхні таких хвилеводів. Нас-тупним кроком у вивченні ролі границі пружних тіл на процес формування нормальних хвиль є дослідження хвилеводу прямокутного перетину, який є базовим елементом різноманітних пристроїв і основою для вивчення хвиле-водів більш складної форми. Наявність двох пар площин відбиття призводить до значного ускладнення картини фізичного процесу, що робить розв’язання відповідної граничної задачі нетривіальною справою. Незважаючи на розробку значної кількості теоретичних моделей для опису хвильових процесів в прямокутному хвилеводі, питання про характеристики нормальних хвиль в широкому діапазоні зміни частоти досі лишається відкритим. Таким чином, отримання точного розв’язку для нормальних хвиль в прямокутному хвилеводі є актуальною задачею, розв’язання якої дозволить глибше зрозуміти характе-ристики такого хвилеводу з метою формування знання про них в таку ж чітку і зрозумілу картину, яка має місце для шару і циліндра.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження пов’язані з фундаментальною науково-дослідною роботою кафедри теоретичної і прикладної механіки та лабораторії спряжених хвильових полів за бюджетною темою «Мікромеханіка тонких плівок на комбінованій шаруватій пружній основі – експериментальні методи індентування надтонких плівок та теоретичні обрахунки» (№ держреєстрації 0106U005865, 2006–2010 рр.), а також з дослідницьким проектом «The Dynamic Characteristic and Temperature Effect of In-plane Vibration of Piezoceramic Materials» (№E-002-048-MY2, 2006–2008 рр.) між Київським
національним університетом імені Тараса Шевченка і National Taiwan Un(Taipei, Taiwan).

Метою дослідження є теоретичне вивчення нормальних хвиль в прямокут-ному пружному ізотропному хвилеводі на основі аналітичного розв’язку три-вимірної задачі динамічної теорії пружності; дослідження впливу фізичних і геометричних параметрів хвилеводу на кінематичні і енергетичні характерис-тики нормальних хвиль; виявлення специфіки розповсюдження хвиль у прямо-кутному хвилеводі в порівнянні з відомими модами Релея – Лемба в шарі і Похгамера – Крі в циліндрі.

Досягнення мети передбачає розв’язання таких задач:

формулювання і розвинення методики розв’язання тривимірної задачі динамічної теорії пружності для прямокутного хвилеводу;

використання розробленої методики для отримання точного розв’язку задачі для хвилеводу з вільними поверхнями;

розробка аналітичних алгоритмів визначення частот і сталих розповсюд-ження нормальних хвиль, аналізу напружено-деформованого стану хви-ле-воду та їх чисельна реалізація у вигляді пакету прикладних програм;

дослідження закономірностей розповсюдження нормальних хвиль і особливостей впливу граничних поверхонь на процес формування хвильового поля;

оцінка меж застосовності наближених теорій для прямокутного хвилеводу;

систематизація результатів про властивості прямокутного хвилеводу в таку ж чітку і зрозумілу картину фізичного процесу, що має місце в сучасній літературі для випадків плоского і циліндричного хвилеводів.

Об’єктом дослідження є прямокутний пружний ізотропний хвилевід з віль-ними поверхнями.

Предметом дослідження є нормальні хвилі, що існують в такому хвилеводі, а також дисперсійні, кінематичні та енергетичні характеристики цих хвиль.

Методи дослідження. Для досягнення сформульованої мети в роботі вико-ристано і розвинуто низку підходів. Гранична задача про нормальні хвилі в прямокутному пружному хвилеводі розв’язується аналітичним методом супер-позиції. Застосування цього методу призводить до необхідності розв’язання нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, для редукції яких застосо-вується метод поліпшеної редукції. Побудова дисперсійних та частотних спектрів здійснюється на основі алгоритмів аналізу напружено-деформованого стану тіла і визначення частот нормальних хвиль з дійсними і уявними сталими розповсюдження. Запропоновано новий чисельний метод визначення комп-лексних коренів дисперсійних рівнянь.

Наукова новизна роботи полягає в систематизації результатів про властивості нормальних хвиль у прямокутному пружному хвилеводі.

В дисертаційній роботі отримано такі нові наукові результати:

наведено загальні розв’язки для чотирьох типів нормальних хвиль у прямокутному хвилеводі;

подальший розвиток отримав метод суперпозиції по відношенню до розв’язку першої граничної задачі для прямокутного хвилеводу;

розвинуто метод визначення комплексних коренів дисперсійних рівнянь;

встановлено поведінку дисперсійних кривих в залежності від гео-метричних і фізичних параметрів хвилеводу;

проаналізовано вплив геометрії хвилеводу на кінематичні та енергетичні характеристики нормальних хвиль;

встановлено межі застосовності наближених теорій для прямокутного хвилеводу.

Вірогідність отриманих результатів та висновків забезпечується строгістю і коректністю математичного формулювання задачі; використанням апробованих аналітичних і числових методик; узгодженням окремих результатів з відомими розв’язками задачі, даними експериментів та результатами, опублікованими в літературі.

Практичне значення результатів. Отриманий в роботі точний аналітичний розв’язок дозволяє визначати частоти і сталі розповсюдження, фазові і групові швидкості нормальних хвиль в широкому частотному діапазоні. Встановлені характеристики хвиль, що розповсюджуються, і неоднорідних хвиль, що локалізуються біля зон прикладення зовнішнього навантаження, є необхідною інформацією для розрахунку та конструювання різноманітних елементів акустооптичних і акустоелектронних пристроїв, для подальшого розвитку методики неруйнівного тестування матеріалів, моделювання мікротечій в прямокутних каналах. Систематизовані в дисертаційній роботі дані про вплив геометричних і фізичних параметрів хвилеводу на формування хвильового поля нормальних мод є основою для розробки ефективної наближеної теорії для прямокутного пружного хвилеводу. Окремі теоретичні положення дисертації використовуються в спеціальному лекційному курсі «Теорія хвилеводів», що викладається в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Апробація результатів дисертації. Основні положення роботи повідомля-лися та обговорювалися на низці наукових конференцій: міжнародному акус-тичному симпозіумі «Консонанс» (м. Київ, 2005, 2007); IV і V міжнародній науково-практичній конференції «Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла», (м. Донецьк, 2006, 2008); Х международной конференции «Со-временные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, Россия, 2006); міжнародній конференції «Моделювання динамічних систем і дослід-ження стабільності» (м. Київ, 2007); 7th International Congress on Thermal Stresses (Taipei, Taiwan, 2007); 13th General Meeting of European Women in Mathematics (Cambridge, UK, 2007); міжнародній науково-технічній конференції пам’яті академіка НАН України В. І. Моссаковського «Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій» (м. Дніпропетровськ, 2007); міжнародній науковій конференції пам’яті академіка НАН України Я. С. Підстригача «Сучасні проблеми механіки та математики» (м. Львів, 2008).

Результати дослідження доповідалися на наукових семінарах кафедри теоретичної і прикладної механіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 2005, 2007, 2008); на наукових семінарах лабораторії руйнувань (Fracture Laboratory) Тайванського національного університету (National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007); на науковому семінарі кафедри прикладної механіки і комп’ютерних технологій Донецького національного університету (м. Донецьк, 2008).

Цикл робіт за темою дисертації відзначено стипендією імені Михайла Грушевського Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи викладені у 16 наукових працях, з них 8 статей у виданнях, затверджених ВАК України фаховими виданнями [2, 4, 5, 9, 10, 12–14], 8 тез доповідей і матеріалів наукових конференцій [1, 3, 6–8, 11, 15, 16].

Основні результати роботи отримані дисертанткою самостійно. В опубліко-ваних у співавторстві наукових роботах авторові належить участь у постановці задачі, способах її аналізу і розробці чисельних методик розв’язання, якісної і кількісної інтерпретації результатів. Зокрема, в роботах [1, 3–5] автор реалізу-вала аналітичні перетворення та числові розрахунки, розробила чисельні алго-ритми та здійснила графічну візуалізацію отриманих результатів. В роботі] запропоновано новий чисельний метод для визначення комплексних коренів дисперсійних рівнянь. Результати робіт [7, 9, 12, 13, 16] отримані автором самостійно.

В роботах [2, 6, 11, 14, 15] науковому керівнику В. В. Мелешку належить постановка розглянутих завдань, ідеї проведення аналітичних перетворень і обговорення результатів досліджень. Співавтор В. О. Андрущенко в роботах [8, 10] виконував експериментальну частину досліджень та брав участь в обго-воренні результатів. Класифікація і систематизація літературних джерел в ро-ботах [14, 15] була виконана за допомогою С. О. Довгого, О. М. Трофимчука і Г. Я. Ф. ван Хейста.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, списку літератури з 199 джерел і додатку. Робота містить 24 рисунка і 28 таблиць, повний обсяг становить 150 сторінок, з яких 111 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, відзначено зв’язок роботи з нау-ковими програмами і планами, сформульовано мету і задачі дослідження, пока-зано наукову новизну і практичне значення отриманих результатів.

Перший розділ присвячено огляду стану наукової задачі, яка є предметом дослідження, а також основним методам теоретичного вивчення характеристик нормальних хвиль у прямокутному пружному хвилеводі.

Починаючи з робіт Пуассона, Стокса, Релея, Лемба, Похгаммера, Крі, дос-лідники приділяли значну увагу вивченню закономірностей розповсюдження хвиль у пружних хвилеводах різних конфігурацій. Наприкінці позаминулого сторіччя були отримані дисперсійні рівняння для нормальних хвиль у плоскому (Lord Rayleigh, 1889; H.1890, 1917) і круглому (L.1876; C.1886) хвилеводах. Подальший бурхливий розвиток обчислювальної техніки і експериментальних методик дозволив відкрити явища «оберненої» хвилі (I.E.1957; A.1965) і «крайового» резонансу (J.1957; E.1956), побудувати дисперсійні спектри для вказа-них хвилеводів (R.1957; J.1972). Можна стверджувати, що на сьогоднішній день характеристики круглого і плоского пружних ізотроп-них хвилеводів досліджено і систематизовано вичерпним чином (Т. Микер, А. Мейтцлер, 1966; M.2006).

Пошук просторових аналогів хвиль Релея – Лемба призвів до необхідності розглядання хвилеводу прямокутного перетину. Через наявність додаткової в порівнянні з шаром пари граничних поверхонь фізичний процес формування нормальних хвиль значно ускладнюється, що робить розв’язання відповідної математичної задачі непростою справою. Перший точний аналітичний розв’язок задачі для дискретних значень частот і сталих розповсюдження нор-мальний хвиль у прямокутному хвилеводі був отриманий Ламе (G.й, 1852). Інший набір точних розв’язків для хвиль, що розповсюджуються, в хвилеводах певної геометрії на деяких частотах і сталих розповсюдження описаний Мінд-ліном і Фоксом (R. Mindlin, E.1960).

Перша вдала спроба теоретичного і експериментального дослідження поздовжніх хвиль в прямокутному хвилеводі з довільним співвідношенням сторін належить Морсу (R.1948, 1950). Результати його робіт стали зразками для наступних дослідників, про що свідчить поява великої кількості підходів, заснованих на використанні відомих аналітичних розв’язків для шару (A. Green, 1960; A.1962; N.1966; В. Т. Гринченко, В. В. Мелешко, 1983) і циліндра (W.1969). Низка теорій базується на спрощених гіпотезах про характер напружено-деформованого стану хвилеводу (G.1955; M.1967, 1968; П. Хертеленди, 1968).

В ряді робіт на основі методу однорідних розв’язків (T.K.1976; А. Е. Вовк, В. В. Гудков и др., 1980) і суперпозиції (K., Y.1977; В. В. Мелешко, 1982; Е. В. Костржицкая, В. В. Мелешко, 1990) отримано представлення для полів зміщень і напружень, що мають достатню функціональну довільність для виконання будь-яких граничних умов на бічних поверхнях хвилеводу. Фактичне виконання цих умов призводить до необхідності розв’язання нескінченних систем рівнянь. Розвиток методів редукції цих систем (В. Т. Гринченко, 1978; В. Т. Гринченко, В. В. Мелешко, 1981; V.2003) дозволив розкрити широкі можливості методу суперпозиції, що призвело до встановлення нових рис для характеристик нор-мальних хвиль у прямокутному хвилеводі.

З наведеного огляду випливає, що існуючі в літературі результати фор-мують основу для подальших більш детальних досліджень властивостей нор-мальних хвиль у прямокутному пружному хвилеводі.

Другий розділ дисертаційної роботи присвячено постановці задачі дина-мічної теорії пружності про нормальні хвилі в прямокутному пружному хвиле-воді та проясненню фізичного змісту характеристик таких хвиль.

В підрозділі 2.1 розглядається пружний прямокутний хвилевід, , з однорідного ізотропного матеріалу густини, моду-лем зсуву і коефіцієнтом Пуассона . Ставиться задача визначення системи нормальних хвиль (мод), що розповсюджуються вздовж вісі , частоти і довжини .

Вектор зміщень елементів хвилеводу (, стала розповсюдження) з малими амплітудами задовольняє диференціальні рівняння руху Ламе для амплітудних компонент

,

,

, (1)

де, , – швидкість зсувних хвиль у не-обмеженому пружному середовищі. Умови на вільних бічних поверхнях хвиле-воду мають вигляд:

;

(2)

В граничному випадку задача зводиться до вивчення коливань нескін-ченної прямокутної призми, що знаходиться у стані плоскої деформації. При цьому розв’язки рівнянь (1) визначають частоти запирання нор-мальних хвиль. Оскільки хвильові рухи повністю характеризуються двовимір-ним полем в площині, то гранична задача (1), (2) при математично ідентична задачі про планарні моди коливань тонких прямокутних пластин в припущенні гіпотез узагальненого напруженого стану.

В підрозділі 2.2 показано, що завдяки подвійній симетрії поперечного пе-ретину в прямокутному хвилеводі можливе існування чотирьох типів нормаль-них мод: поздовжні (), крутильні () та згинні відносно осей () і () моди. В квадратному хвилеводі внаслідок симетрії відносно діагоналей для і -мод виникають два додаткові сім’ї мод – перші і другі гвинтові моди. Схематичне зображення зміщень в перетині хвилеводу при розповсюдженні кожного типу мод наведено на рис. 1.

В підрозділі 2.3 обговорюється фізичний зміст важливих характеристик нормальних хвиль, що розповсюджуються, – фазової та групової швидкостей. Детально розглянуто енергетичний підхід до визначення групової швидкості.

В третьому розділі роботи розглядається побудова загального розв’язку задачі про нормальні хвилі в прямокутному хвилеводі методом суперпозиції та аналізуються важливі часткові випадки, коли один з характеристичних пара-метрів хвильового поля приймає нульове значення.

Рис.1. Типи нормальних мод в прямокутному хвилеводі

У відповідності з основною ідеєю методу суперпозиції, закладеною Ламе в дванадцятій лекції його курсу з математичній теорії пружності (G.й, 1852),

загальний розв’язок задачі (1), (2) обирається у вигляді суми двох складових за повними системами тригонометричних функцій від координат , . Кожна складова тотожно задовольняє рівнянням руху (1) всередині області і має достатню функціональну довільність для виконання граничних умов на бічних поверхнях, хвилеводу. Залежність коефіцієнтів одного ряду від усіх коефіцієнтів іншого ряду і навпаки призводить до того, що побудова розв’язку задачі зводиться до розв’язання нескінченної системи лінійних алгеб-раїчних рівнянь відносно коефіцієнтів і компонент зовнішнього навантаження.

В підрозділі 3.1 отримано загальні розв’язки задачі (1), (2) для кожного типу нормальних мод. Наприклад, вирази для зміщень для поздовжніх -мод в прямокутному хвилеводі мають вигляд:

(3)

де

, , , , ,;

; (4)

, – невідомі коефіцієнти; – швидкість поздовжніх хвиль у необмеже-ному пружному середовищі.

В підрозділі 3.2 наведено нескінченні системи лінійних алгебраїчних рівнянь для кожного типу нормальних хвиль за умови дії нормального поверх-невого навантаження на бічних поверхнях хвилеводу:

;

. (5)

Для випадку поздовжніх -мод система має вигляд:

,

,

(6)

де

,

, ,

, . (7)

Система (6) повністю описує динамічну поведінку прямокутного хвилеводу. Рівність нулеві її визначника визначає дисперсійне співвідношення між безрозмірною частотою і безрозмірною сталою розповсюдження при фіксованих параметрах: коефіцієнті Пуассона і геометрії хвилеводу. Для дійсних додатних значень коренями дисперсійного рівняння є дійсні, уявні і комплексні величини , що описують нормальні хвилі. У випадку навантаженого хвилеводу, якщо частота зовнішніх сил не співпадає з частотою нормальної моди, то знання невідомих, дозволяє повністю розв’язати граничну задачу (1), (5). Тоді для певних значень мають місце резонансні ситуації, що відповідають кореням дисперсійного рівняння.

В підрозділі 3.3 розглядаються часткові випадки загальних розв’язків, коли частота або стала розповсюдження приймають нульове значення. Показано, що на частотах запирання нормальних хвиль розв’язки розділяються на два класи, пов’язані зі зсувними -хвилями і хвилями Релея-Лемба у шарі, відпо-відно. Частоти першого класу не залежать від коефіцієнта Пуассона і визнача-ються лише геометрією хвилеводу. Рухи на частотах другого класу відбувають-ся в перетині хвилеводу, а значення частот співпадають з власними частотами планарних коливань тонких пластин. За умови, коли частота дорівнює нулеві, отримуємо однорідні розв’язки статичної задачі для прямокутного бруса.

В підрозділі 3.4 розглядається хвилевід з нульовим коефіцієнтом Пуассона. В цьому випадку зникає зв’язок між окремими типами рухів при формуванні нормальних хвиль, що дозволяє спростити вигляд нескінченних систем і дослі-дити окремі компоненти загального руху елементів хвилеводу.

В підрозділі 3.5 аналізуються ситуації, коли вдається аналітично згорнути нескінченні визначники систем типу (6) – моди Ламе і Міндліна – Фокса, для яких нормальні і зсувні напруження на поверхнях тотожно перетворюються в нуль. Такі моди відповідають точними розв’язками задачі на дискретних на-борах частот і сталих розповсюдження в хвилеводах фіксованої геометрії.

В підрозділі 3.7 описаний алгоритм визначення частот і сталих розповсюд-ження нормальних хвиль у випадку неоднорідних умов (5). Показано, що його точність, а також оцінки полів зміщень і напружень в хвилеводі цілком зале-жать від надійності розв’язку нескінченних систем.

В четвертому розділі дисертації розроблено алгоритми кількісної обробки аналітичного розв’язку на основі аналізу асимптотичних властивостей невідо-мих в нескінченних системах.

В підрозділі 4.1 за допомогою закону асимптотичних виразів, який для системи (6) має вигляд

, (8)

розвинуто метод поліпшеної редукції нескінченних систем, що використовував-ся В. В. Мелешком (2003) при розв’язанні статичних задач для скінченного ци-ліндра. Отримана таким чином скінченна система відрізняється від системи за методом простої редукції наявністю одного додаткового рівняння для визна-чення величини . За розв’язками такої системи отримуємо дані про поведін-ку всіх невідомих коефіцієнтів, а рівність нулеві характеристичного визначника дає дисперсійне рівняння для визначення частот і сталих розповсюдження нор-мальних хвиль.

В підрозділі 4.2 аналізується напружено-деформований стан хвилеводу. Показано, що вирази для зміщень і зсувних напружень характеризуються рівномірною збіжністю в перетині хвилеводу, в той час, як ряди у виразах для нормальних напружень на границі збігаються нерівномірно, зокрема в околі кутових точок. Використання закону (8) дозволяє поліпшити збіжність цих рядів і отримати поліпшені формули для проведення коректних розрахунків нормальних напружень в точках границі. Таким чином, встановлено здатність пропонованого аналітичного підходу враховувати всі особливості напружено-деформованого стану, що виникають через наявність кутових точок.

В підрозділі 4.3 розглянуто числові приклади розрахунку коефіцієнтів скін-ченних систем і напружено-деформованого стану прямокутного хвилеводу. Наведені дані свідчать про високу швидкість наближення коефіцієнтів, до їх граничного значення, при цьому збільшення порядку системи майже не впливає на точність визначення невідомих з малими значеннями індексів. Показано високу точність виконання граничних умов для - і -мод в квадратному хвилеводі, в тому числі в околі частот нормальних хвиль, при використанні поліпшених формул для розрахунку нормальних напружень.

Підрозділ 4.4 присвячено опису алгоритмів визначення частот і сталих роз-повсюдження нормальних хвиль. При дослідженні резонансних режимів (5) доцільно визначати характеристики нормальних хвиль за зміною динамічної напруженості всередині хвилеводу. З’єднання отриманих даних в дисперсійні криві відбувається шляхом аналізу кінематики рухів. Таким способом можна побудувати дисперсійні криві лише для дійсних значень сталої розповсюд-ження. За виконання однорідних граничних умов (2) шукані характеристики нормальних хвиль є коренями дисперсійного рівняння, яке розв’язується методом половинного ділення для дійсних і уявних величин . Встановлено, що метод редукції впливає на розрахункові значення частот, що пов’язано зі зміною жорсткості граничних умов. Так, проста редукція системи дає завищені значення частот, поліпшена редукція – коректні, які швидко прямують до стабільних значень частот при підвищенні порядку системи.

В підрозділі 4.5 описується новий чисельний метод визначення комплексних коренів дисперсійних рівнянь, який є узагальненням методу покоординатного кроку і багатовимірного методу січних. Суть його викладена за допомогою гео-метричних побудов. Метод є простим для реалізації, що особливо важливо при проведені великої кількості розрахунків.

В підрозділі 4.6 оцінюється точність запропонованого вище методу шляхом порівняння з відомими розв’язками для плоского хвилеводу. Узгодження розрахункових даних з результатами, описаними в літературі, підтверджує на-дійність методу.

В п’ятому розділі проводиться аналіз дисперсійних, кінематичних та енер-гетичних характеристик нормальних хвиль у прямокутному хвилеводі.

В підрозділі 5.1 наведено загальну характеристику дисперсійних спектрів. Дисперсійні властивості для кожного типу нормальних хвиль представлені у вигляді тривимірних графіків, що складаються зі зліченної кількості диспер-сійних кривих. Криві утворюються з дійсних, уявних та комплексних гілок і продовжуються неперервно від нульового до нескінченного значення частоти. Символами і позначено точні розв’язки в модах Ламе і Міндліна – Фокса, відповідно. Риска на символом означає, що вказаній гілці відповідає дзеркальне відображення відносно площини.

На рис. 2 наведено дисперсійний спектр для поздовжніх «дихаючих» -мод в квадратному хвилеводі при; спектри для інших типів мод в квадрат-ному і прямокутному () хвилеводах зображено на рис. 3, 4. При побу-дові спектрів утримували десять рівнянь у скінченних системах. Пунктирними кривими на рис. 2 позначено зони взаємодії хвиль, в яких дисперсійні криві наближаються одна до одної і розходяться, не перетинаючись.

В підрозділі 5.2 розраховано частоти запирання нормальних хвиль і проведено співставлення з експериментальними даними. Для кожного типу симетрії мод побудовано частотні спектри, що відображають залежність частот запирання від геометрії хвилеводу.

Рис. 2. Дисперсійний спектр для поздовжніх «дихаючих» -мод в квадратному хвилеводі,.

Поведінка частотних кривих, що описують вісі-зсувні рухи, є простою і характеризується наявністю точок перетину кривих. Для частот планарного типу існує зв’язок між окремими типами рухів, що виявляється у взаємодії кривих. Аналогом частот, незалежних від, є системи горизонтальних плато, пов’язані з крайовим і рядом товщинних резонансів. Співставлення розрахункових і експериментальних даних проводилося для прямокутної п’єзокерамічної пластини () для перших шістнадцяти резонансних частот коливань. Частоти і форми коливань визначалися імпедансним методом і за допомогою неконтактної AF-ESPI методики. Добре узгодження результатів в широкому діапазоні частот свідчить про високу ефективність пропонованого методу розв’язування задачі.

В підрозділі 5.3 розглядаються характеристики нижчих, , , , , нормальних хвиль в прямокутному хвилеводі, досліджено залежність ходу дисперсійних кривих від фізичних і геометричних параметрів хвилеводу. В квадратному хвилеводі поведінка фазової швидкості -моди для різних значень коефіцієнта Пуассона схожа на поведінку фазової швидкості першої поздовжньої моди в циліндрі. В прямокутному хвилеводі фазова і групова швидкості - і -мод в низькочастотній області добре узгоджуються зі швидкостями перших симетричної і антисиметричної мод в шарі. Крутильна -мода є дисперсійною, починаючи з області низьких частот; -мода в довгохвильовій області описує першу згинну моду в тонкій пластині в класич-

Рис. 3. Дисперсійні спектри для квадратного хвилеводу,.

а) крутильні -моди; б) згинні -моди; в, г) перші і другі гвинтові моди.

ному наближенні теорії пластин. - і -моди характеризуються ненульо-вими частотами запирання, що обумовлено властивостями симетрії цих мод. Встановлено, що незалежно від геометрії хвилеводу фазова швидкість основної моди кожного типу симетрії у високочастотному діапазоні виходить на швидкість кутової моди прямокутного клина (), а не на швидкість поверхневої хвилі Релея, як у випадках шару чи ци-ліндра. При цьому інтенсивні хвильові рухи зосереджені біля кутів хвилеводу.

В підрозділі 5.4 досліджуються властивості вищих нормальних хвиль. Показано, що зі зростанням частоти фазова швидкість перших чотирьох вищих хвиль кожного типу симетрії незалежно від геометрії хвилеводу прямує зверху до швидкості поверхневої хвилі Релея . На основі енергетичного підходу розраховано групові швидкості всіх типів хвиль в квадратному і прямокутному хвилеводах. Результати розрахунку групових швидкостей для поздовжніх - і -хвиль в квадратному хвилеводі наведено на рис. 5.

Рис. 4. Дисперсійні спектри для прямокутного хвилеводу (), .

а) поздовжні -моди; б) крутильні -моди; ) згинні - і -моди.

Рис. 5. Групові швидкості вищих «дихаючих» - (а) і перших гвинтових - (б) мод в квадратному хвилеводі,.

Рис. 6. Дисперсійні спектри для прямокутного хвилеводу (),.

а) поздовжні -моди; б) крутильні -моди; в, г) згинні - і -моди.

Ділянки з від’ємними значеннями групової швидкості відповідають «оберне-ним» хвилям, кількість яких для прямокутного хвилеводу значно збільшується в порівнянні з шаром. У високочастотному діапазоні поведінка групових швидкостей вищих хвиль значно ускладнюється і схожа на ту, що характерна для вищих поздовжніх хвиль в циліндрі (J.C.1968).

В підрозділі 5.5 розглядаються неоднорідні нормальні хвилі з уявними і комплексними сталими розповсюдження та оцінюється їх вплив на динамічний стан хвилеводу. Встановлено існування нескінченної кількості чисто уявних коренів дисперсійного рівняння для кожного фіксованого значення частоти, що відрізняє прямокутний хвилевід від шару і циліндра та пояснюється наявністю кутів. При дослідженні комплексних розв’язків дисперсійних рівнянь основна увага приділяється кореням з найменшим модулем, оскільки саме вони вливають на процес формування крайових і товщинних мод. Детально досліджено поведінку однорідних розв’язків статичної задачі для прямокутного бруса. Встановлено, що комплексні однорідні розв’язки майже не залежать від геометрії хвилеводу, при цьому - і -типи розв’язків добре узгоджуються з симетричними і антисиметричними розв’язками статичної задача для смуги. В прямокутному брусі завжди існують розв’язки, менші за модулем ніж розв’язки для смуги. Цю обставину слід враховувати при оцінці меж застосовності принципу Сен-Венана при розв’язанні статичної задачі. Важливою відмінністю однорідних розв’язків для прямокутного бруса від розв’язків для смуги є їх залежність від коефіцієнта Пуассона.

Підрозділ 5.6 присвячено питанню про встановлення граничних значень для геометричних параметрів хвилеводу і частоти, коли отриманий точний розв’язок задачі для прямокутного хвилеводу можна апроксимувати розв’язком для шару. Рекомендовано співвідношення для оцінки верхньої границі частот, отримане для випадку. Проведені чисельні розрахунки вказують на можливість застосування цього співвідношення для випадку . При поведінка - і -мод визначається розв’язками для шару (пунктирні лінії на рис.  а, г), що виправдовує застосування різноманітних наб-лижених теорій, заснованих на цих розв’язках. В той же час, структура спектрів для - і -мод в області уявних значень значно ускладнюється (рис.  б, в).

В підрозділі 5.7 проаналізовано можливості теорії «другого» порядку Медіка (M.1968) для опису хвильових полів у прямокутному хвилеводі. Встановлено не лише якісні, але й кількісні розбіжності з отриманим точним розв’язком навіть в довгохвильовій і порівняно низькочастотній області.

У висновках стисло наведено основні результати роботи, вказано їх науко-ве і практичне значення.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі проведено теоретичне дослідження нормальних хвиль в прямокутному пружному ізотропному хвилеводі на основі аналітичного розв’язку тривимірної задачі динамічної теорії пружності методом суперпозиції. Досліджено вплив фізичних і геометричних параметрів хвилеводу на дисперсійні, кінематичні та енергетичні характеристики чотирьох типів нормальних хвиль, які допускаються симетрією хвилеводу.

Отримано такі нові наукові результати:

Задачу про визначення нормальних хвиль в прямокутному хвилеводі зведено до визначення розв’язків нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Рівність нулеві визначників цих систем дає дисперсійні співвідношення між частотою і сталою розповсюдження, відповідних нормальним хвилям. Використання асимптотичних властивостей невідомих коефіцієнтів дозволило розробити ефективний метод поліпшеної редукції нескінченних систем, що дає можливість більш точно визначати характеристики нормальних хвиль в порівнянні з методом простої редукції.

Отримано аналітичні вирази для полів зміщень і напружень, відповідні чотирьом типам мод в прямокутному хвилеводі. Показано, що пропонований розв’язок враховує всі особливості напружено-деформованого стану хвилеводу, зокрема в околі кутових точок, які виникають внаслідок значного ускладнення фізичного процесу формування нормальних хвиль за наявності чотирьох площин відбиття.

Запропоновано новий чисельний метод визначення комплексних коренів дисперсійних рівнянь, що узагальнює метод покоординатного кроку і бага-товимірний метод січних. Перевагою методу є простота реалізації, що особливо важливо при проведенні великої кількості розрахунків. За допо-могою запропонованого методу побудовано комплексні гілки дисперсійних кривих в широкому діапазоні зміни частоти.

Проведені числові розрахунки дозволили встановити нові особливості в поведінці чотирьох типів нормальних хвиль:

фазова та групова швидкості нижчої моди кожного типу симетрії у високочастотному діапазоні виходить на швидкість кутової моди прямокутного клина незалежно від геометрії прямокутного хвилеводу. При цьому інтенсивні рухи зосереджені поблизу чотирьох кутів;

фазові швидкості перших чотирьох вищих мод зі зростанням частоти наближаються до швидкості поверхневої хвилі Релея в пружному пів-просторі;

значна частина характеристик групових швидкостей нормальних хвиль в околі частот запирання включає в себе від’ємні ділянки, від-повідні так званим «оберненим» хвилям;

для кожного типу мод при фіксованому значенні частоти існує не-скінченна кількість неоднорідних хвиль з уявними значеннями сталої розповсюдження;

визначено значення геометричних параметрів хвилеводу і діапазону частот, для яких точний розв’язок задачі для прямокутного хвилеводу можна апроксимувати розв’язком для шару.

Частковими випадками загального розв’язку виступають задачі про коливання прямокутної призми в умовах плоскої деформації (частоти запирання нормальних хвиль) і однорідні розв’язки статичної задачі для прямокутного бруса, при розв’язанні яких отримано такі результати:

класифіковано частоти запирання нормальних мод і відповідні форми коливань, досліджено їх залежність від геометричних і фізичних параметрів хвилеводу. Значення перших шістнадцяти частот, розраховані теоретично, добре узгоджуються з даними експериментів.

встановлено залежність комплексних однорідних розв’язків для пря-мокутного бруса від коефіцієнта Пуассона і показано, що ці розв’язки майже не залежать від геометрії хвилеводу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Спектральный и модовый анализ планарных колебаний прямоугольных пьезокерамических пластин / А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко, C.-L.[и др.] // Консонанс-2005 : Акустический симпозиум, 27–29 сент. 2005 г. : тезисы докл. – К., 2005. – С. 14–19.

Мелешко В. В. Явление «рассталкивающихся» кривых – взгляд 30 лет спустя / В. В. Мелешко, А. А. Бондаренко // Вестник Днепропетровского университета. – 2006. – Т. 2, № . – С. 123–128.

Планарные колебания квадратных пьезокерамических пластин / А. А. Бондаренко, В. А. Андрущенко, В. В. Мелешко [и др.] // Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела : IV междунар. науч. конф., 12–14 июня 2006 г. : тезисы докл. – Донецк : Юго-Восток, 2006. –
С. 178–180.

О возбуждении форм колебаний в квадратных пьезокерамических пластинах / В. В. Мелешко, А. А. Бондаренко, H.-Y.[и др.] // Теоретическая и прикладная механика. – 2006. – Вып. 42. – С. 130–135.

Определение упругих постоянных квадратных пьезокерамических пластин резонансным методом / В. А. Андрущенко, А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко [и др.] // Акустический вестник. – 2006. – Т. 9, № . – С. 3–11.

Бондаренко А. А. Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе / А. А. Бондаренко, В. В. Мелешко // Современные проблемы механики сплошной среды : Х междунар. конф., 5–9 декабря 2006 г. : тезисы докл. – Ростов-на-Дону : ООО «ЦВВР», 2006. – Т. 1. – С. 66–70.

Бондаренко А. А. Дисперсионные свойства продольных волн в квадратном упругом волноводе / А. А. Бондаренко // Моделирование динамических систем и исследование стабильности : междунар. конф., 22–25 мая 2007 г. : тезисы докл. – К. : 2007. – С. 275.

Andruschenkoof resonant spectrums, modal vibrations, and dissipation effects in square piezoceramic plates / V.A.// Thermal Stresses-2007 : 7th International Congress, 4–72007, Taipei, Taiwan : Conference Proceedings. – NTUST Press, 2007. – Vol. 2. – P. 703–706.

Бондаренко А. О. Моди Ламе для пружного прямокутника / А. О. Бондаренко // Вісник Київського університету. Серія : Математика, Механіка. – 2007. – Вип. 17. – С. 41–45.

Андрущенко В. О. Визначення пружних характеристик п’єзокераміки промислового виготовлення резонансним методом / В. О. Андрущенко, А. О. Бондаренко // Вісник Київського університету. Серія : Математика, Механіка. – 2007. – Вип. 18. – С. 100–103.

Мелешко В. В. Дисперсия продольных волн в круглом и квадратном волноводе / В. В. Мелешко, А. А. Бондаренко // Актуальные проблемы механики сплошной среды и прочности конструкцій : междунар. науч.-техн. конф., 17–19 октября 2007 г. : тезисы докл. – Днепропетровск, 2007. –
С. 270–272.

Бондаренко А. А. Об одном методе определения комплексных корней дисперсионных уравнений / А. А. Бондаренко // Доклады НАН Украины. – 2007. – Вып. 12. – С. 49–54.

Бондаренко А. А. Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе / А. А. Бондаренко // Акустический вестник. – 2007. – Т. 10, № . – С. 12–27.

Упругие волноводы : История и современность. І / В. В. Мелешко, А. А. Бондаренко, С. А. Довгий [и др.] // Математичні методи та фізико-механічні поля. – 2008. – Т. 51, № . – С. 86–104.

Упругие волноводы : История и современность / В. В. Мелешко, А. А. Бондаренко, А. Н. Трофимчук [и др.] // Современные проблемы механики и математики : междунар. науч. конф., 25–29 мая 2008 г. : тезисы докл. – Львов, 2008. – Т. 1. – С. 90–91.

Bondarenkomodes of vibration in a rectangular elastic waveguide / A.// Современные проблемы механики и математики: междунар. науч. конф., 25–29 мая 2008 г. : тезисы докл. – Львов, 2008. –
Т. 2. – С. 177–179.

АНОТАЦІЯ

Бондаренко А. О. Нормальні хвилі в прямокутному пружному хвилеводі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена теоретичному дослідженню нормальних хвиль у прямокутному пружному ізотропному хвилеводі. На основі аналітич-ного методу суперпозиції отримано загальні представлення полів зміщень і напружень, які дозволяють враховувати всі особливості динамічної поведінки хвилеводу. Виконання граничних умов призводить до нескінченних систем лінійних алгебраїчних рівнянь, редукція яких здійснюється з урахуванням асимптотичної поведінки невідомих коефіцієнтів. Досліджено чотири типи нормальних хвиль, дисперсійні характеристики для яких наведено у вигляді графіків. Для розрахунку комплексних гілок дисперсійних кривих запропоно-вано новий чисельний метод. Проведені розрахунки дозволили виявити низку нових закономірностей: встановити граничні значення фазових швидкостей основних і вищих мод, дослідити властивості «обернених» хвиль, показати залежність комплексних коренів від коефіцієнта Пуассона і наявність нескінченної кількості уявних коренів дисперсійних рівнянь для кожного типу нормальних мод.

Ключові слова: прямокутний пружний хвилевід, нормальні хвилі, дисперсійне співвідношення, фазова і групова швидкості, кінематика моди, метод суперпозиції, пружний шар.

АННОТАЦИЯ

Бондаренко А. А. Нормальные волны в прямоугольном упругом волноводе. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена теоретическому изучению нормальных волн в прямоугольном упругом изотропном волноводе. Аналитическим мето-дом суперпозиции получены общие представления полей смещений и напряжений, обладающие достаточным функциональным произволом для удовлетворения произвольных граничных условий на всех сторонах волновода. Их фактическое выполнение приводит к бесконечной системе линейных алгеб-раических уравнений. Редукция системы осуществляется с учетом асимптоти-ческого поведения неизвестных, которые стремятся к общему отличному от нуля пределу. Равенство нулю определителя системы дает дисперсионное уравнение для частот и постоянных распространения, отвечающих нормальным волнам. Проведенными исследованиями установлена способность исполь-зуемого метода учитывать все особенности динамического поведения волново-да, связанные с наличием угловых точек. Показано, что точные решения для мод Ламе и Миндлина-Фокса выступают частными случаями общего решения.

В случаях, когда постоянная распространения или частота обращаются в нуль, задача сводится к изучению колебаний прямоугольной призмы в сос-тоянии плоской деформации или поиску однородных решений для прямо-угольного бруса.

Двойная симметрия поперечного сечения прямоугольного волновода позволяет выделить и рассматривать отдельно четыре типа нормальных волн: продольные, крутильные и изгибные относительно двух осей симметрии моды. Дисперсионные характеристики каждого типа мод представлены в виде трехмерных графиков, для построения которых в работе разработаны алгоритмы анализа напряженно-деформированного состояния тела и определения действительных и мнимых значений постоянных распространения, отвечающих частотам нормальных волн. Для расчета комплексных ветвей дисперсионных кривых предложен новый численный метод определения комплексных корней дисперсионных уравнений, который отличается простой реализации. Надежность метода подтверждается согласованием с известными в литературе решениями для упругого слоя.

Численные исследования позволили выявить ряд новых закономерностей в поведении различных типов нормальных волн. Для низших основных мод установлено, что независимо от геометрии прямоугольного волновода фазовая скорость в высокочастотном диапазоне выходит на скорость угловой моды прямоугольного клина. При этом интенсивные движения сосредоточены вблизи углов волновода. Фазовые скорости пяти высших мод каждого типа симметрии с увеличением частоты стремятся к скорости поверхностной волны Рэлея в упругом полупространстве. Начальные участки характеристик групповых скоростей включают в себя значительное число «обратных» волн, для которых фазовая и групповая скорости имеют противоположные знаки. Для каждого типа волн при фиксированном значении частоты существует бесконечное число неоднородных мод с мнимыми значениями постоянной распространения, что объясняется наличием углов в волноводе. Установлена зависимость комплексных корней дисперсионных уравнений от коэффициента Пуассона при нулевом значении частоты. Определены значения для геометрических параметров волновода и частотный диапазон, в которых оказывается оправданной аппроксимация решения