Міністерство освіти і науки України

Національний університет “Львівська політехніка”

БОНДАРЄВ Андрій Петрович

УДК 621.391.82.016.35:621.372

Теоретичні засади та методи забезпечення завадостійкості

пристроїв фазової синхронізації

на етапі проектування

05.12.13 – радіотехнічні пристрої та засоби телекомунікації

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Львів – 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному університеті "Львівська політехніка"
Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор

Мандзій Богдан Андрійович,

професор кафедри
теоретичної радіотехніки і радіовимірювань
Національного університету "Львівська політехніка"

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

Лісовий Іван Павлович,

професор

Одеської національної академії зв’язку

ім. О.С.Попова (м. Одеса)

доктор технічних наук, професор

Кичак Василь Мартинович,

директор інституту радіотехніки, зв’язку та приладобудування
Вінницького національного технічного
університету (м. Вінниця)

доктор технічних наук, доцент

Коваль Валерій Вікторович,

завідувач кафедри радіомоніторингу та радіочастотного менеджменту Державного університету інформаційно–комунікаційних технологій (м. Київ).

Захист відбудеться “ 19 ” травня 2008 р. о 13.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.052.10 у Національному університеті "Львівська політехніка" за адресою: 79013, м. Львів, вул. С. Бандери, 12, ауд. 218, ХІ навчального корпусу.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Національного університету „Львівська політехніка” (79013, м.Львів-13, вул. Професорська, 1) .

Автореферат розісланий “ 25 ” березня 2008 р.

В.о. вченого секретаря

спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Рицар Б.Є.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Пристрої фазової синхронізації широко застосовують у прий-мачах систем радіозв’язку, радіолокації та навігації. У сучасних приймачах цифрових сигналів такий пристрій є невіддільною складовою частиною, котра визначає якість і саму можливість функціонування приймача.

З теорії оптимальної нелінійної фільтрації випливає, що оптимальним фільтром для вузько-сму-гового сигналу з частотними та фазовими флуктуаціями на фоні широко-смугового шуму є власне пристрій фазового автопідстроювання частоти (ФАПЧ). У теоретичному плані пристрій ФАПЧ є представником класу динамічних систем із пері-одичною нелінійністю і результати його аналізу без втрати загальності можна перенес-ти на інші системи класу (схеми стеження за доріжкою лазерного диску, пристрої на контакті Джозефсона, синхронні машини тощо). Це обумовлює значний інтерес до дослідження пристроїв ФАПЧ. Великий внесок у розвиток теоретичних засад фазових систем, ме-то-дів оптимального синтезу ФАПЧ, методів забезпечення завадостійкості синхронних фазових вимірювачів, методів аналізу впливу детермінованих та випад-ко-вих збурень на-лежить таким вченим: Белюстина Л.М., Бест Р., Ван Тріс Г., Вітербі Е.Д., Ґарднер Ф., Еґан В., Жодзішський М.І., Зюко А.Г., Кроупа В., Пєстряков В.Б., Стеклов В.К., Шахґільдян В.В.

У працях зазначених та багатьох інших вчених визначені структури та значення па-ра-метрів пристроїв, які реалізують потенційну завадостійкість, максимальну точність та швидкодію. Розроблені аналітичні та числові методи аналізу, які дозволяють вра-хо-вувати випадкові або детерміновані завади, аналізувати пристрої високих порядків.

Ве-лика кількість робіт сучасних зарубіжних авторів присвячена розробці керова-них генераторів НВЧ діапа-зо-ну та інженерному розрахунку фільтрів. З початку ХХІ сторіччя кількість публікацій, присвячених методам проектування ФАПЧ, помітно зросла, що зумовлено появою мікросхем НВЧ діапазону, у яких реа-лізовані основні функціональні елементи ФАПЧ.

Однак, залишились невирішеними проблеми, які обмежують можливості застосу-вання пристроїв фазової синхронізації у складній сигнально-завадовій обстановці та можливості застосування існуючих методів аналізу цих пристроїв. Існуючі методи оптимізації параметрів ФАПЧ забезпечують підвищення завадостійкості виключно за рахунок погіршення динамічних характеристик пристрою. Ці методи вимагають від проектувальника апріорно задавати параметри завад і не гарантують збереження працездатності за умов зміни цих параметрів на етапі експлуатації. Крім того, методи аналізу впливу детермінованих і випадкових завад є несумісними як за постановкою задачі, так і за формою подання результатів.

Таким чином, подальше проведення теоретичних і прикладних досліджень для розробки методів підви-щен-ня завадостійкості пристроїв синхронізації зі збере-жен-ням їх динамічних властивостей є актуальною науково-прикладною проблемою.

Дисертаційна робота є розвитком та узагальненням досліджень завадостійкості при-строїв ФАПЧ, які проводились автором з 1982 року, у напрямку аналізу завадо-стій-кості за умов дії складніших за структурою завад, а також не тільки параметричного, а і схемотехнічного синтезу завадостійких пристроїв.

Зв’язок дисертаційної роботи з науковими програмами, планами і темами. Задачі, які розглядаються в даній дисертаційній роботі, є складовою частиною науко-вих проектів, які здійснюються на кафедрі теоретичної радіотехніки та радіовимі-рю-вань Національного університету "Львівська політехніка", відповідають науково-му напряму та тематиці досліджень кафедри.

Дослідження, висвітлені в дисертаційній роботі, проводилися згідно з планом на-уково-дослідних робіт Національного університету "Львівська політехніка" в рам-ках держбюджетної теми ДБ "КРОКІТ" ("Розробка комп’ютерних макромоделей радіо-е-лек-тронних систем та їх функціональних вузлів, адаптованих до задач надійнісного проектування", державний реєстраційний номер 0107U000836), де ав-тор брав участь як виконавець.

Мета роботи. Метою роботи є розвинення теоретичних засад та розроблення ефек-тивних методів підвищення завадостійкості пристроїв фазової синхронізації зі збере-жен-ням їх динамічних властивостей.

Для досягнення цієї мети в роботі вирішувались такі основні задачі:

1. Створення теоретичних передумов для формування єдиного математичного та ал-го-ритмічного підходу до аналізу процесів у пристроях ФАПЧ під впливом де-тер-мінованих і випадкових збурень.

2. Побудова математичної моделі пристрою ФАПЧ, яка враховує дію широкосму-гової завади, кутової модуляції або маніпуляції, зміну носійної частоти сигналу у процесі синхронізації, фазову та частотну нестабільності носійного коливання.

3. Параметричний синтез пристроїв синхронізації за критерієм забезпечення пра-це-здатності в умовах максимальних відхилень параметрів сигналу і завад від апрі-ор-но заданих.

4. Схемотехнічне підвищення завадостійкості та аналіз можливостей його засто-су-ван-ня у прикладних задачах радіозв’язку, локації і навігації.

5. Створення програмного забезпечення, яке реалізує розроблені методи аналізу за-ва-достійкості та параметричного синтезу пристроїв синхронізації.

Об’єктом дослідження є процес синхронізації пристроїв фазового автопід-стро-ю-ван-ня частоти (ФАПЧ), призначених для обробки сигналів у радіоприймачах.

Предметом дослідження є методи забезпечення завадостійкості пристроїв ФАПЧ за умов одночасного впливу детермінованих і випадкових збурень.

Методи дослідження. В роботі використано методи і основні положення теорії елек-тричних кіл, теоретичної радіотехніки, теорії випадкових проце-сів, методи числового інтегрування рівнянь у звичайних та часткових похідних, мето-ди якісної теорії диференціальних рівнянь, кумулянтний метод аналізу випадкових про-цесів.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що:

1. Набула подальшого розвитку теорія випадкових процесів (ВП) у динамічних си-стемах (ДС) в напрямку виявлення якісних змін характерних особливостей ВП при не-пе-рервних змінах значень параметрів випадкового збурення та динамічної системи (сто-хастичних біфуркацій) на відміну від переважно кількісних оцінок у сучасній теорії ВП. Це дало можливість виявити та означити якісні відмінності статистичної ди-на-міки, біфуркаційні значення початкових умов та параметрів ДС і збурення.

2. Вперше запропонований опис статистичної динаміки систем другого порядку поведінкою перетину двовимірного розподілу (еліпсу) на фазовому портреті незбу-реної системи, на відміну від існуючих описів нестаціонарним розподілом імовірності або ансамблем реалізацій. Це дало можливість значно скоротити обчислювальну складність аналізу та виявити якісні відмінності статистичної динаміки, аналогічні до біфуркаційних явищ у детермінованих динамічних системах.

3. Вперше виявлені якісно відмінні типи статистичної динаміки ФАПЧ другого по-рядку. На основі цих якісних відмінностей запроваджено означення шумової смуги схоплення (ШСС), як нової характеристики працездатності пристроїв фазової синхро-ні-зації. Уточнено раніше запроваджене означення шумової смуги утримання (ШСУ).

4. Розроблено новий метод аналізу статистичної динаміки нелінійного ФАПЧ, який відрізняється від існуючих можливістю урахування впливу детермінованих і випад-ко-вих збурень з однакових позицій – визначення границь працездатності пристрою. Ме-тод і його програмна реалізація не вимагають апріорно задавати параметри завади і дають можливість використовувати на етапі проектування відомий критерій мінімуму фазової похибки, а крім того, вперше запропоновані для такого використання критерії максимальної граничної інтенсивності завад та максимального діапазону стеження.

5. Вперше обґрунтована та розроблена структура пристрою, який забезпечує значне підвищення завадостійкості пристрою ФАПЧ зі збереженням його динамічних властивостей шляхом локального зменшення рівня сигналу розузгодження фазового детектора. Це дає можливість роздільного регулювання фільтруючих властивостей пристрою ФАПЧ та його завадостійкості.

6. Вперше розроблена та досліджена математична модель модифікованого при-строю ФАПЧ, аналіз якої показав можливість підвищення завадостійкості ФАПЧ з інтегруючим фільтром на 4-10 дБ, а ФАПЧ першого порядку – на 14-18 дБ .

7. Вперше визначена область простору параметрів модифікованого пристрою ФАПЧ, в межах якої пристрій є глобально стійким. Це дає можливість проектування завадостійких пристроїв синхронізації з широкою смугою схоплення.

Практичне значення отриманих результатів. Розвинуті у роботі теоретичні по-ложення, отримані математичні моделі та методи утворюють теоретичну базу для забезпечення на етапі проектування підвищеної завадостійкості пристроїв фазової син-хронізації приймачів радіосигналів.

Розроблене прикладне математичне забезпечення аналізу та параметричного син-те-зу пристроїв синхронізації базується на алгоритмах, які мають обчислювальну склад-ність на 2-4 порядки мен-шу, ніж відомі алгоритми, що уможливлює пе-ребір параметрів пристрою, сигналу і завад у широкому діапазоні. Математичне за-безпе-чен-ня дає можливість розробнику оптимізувати пристрої синхронізації за відомим крите-рієм мінімуму середньоквадратичного відхилення (СКВ), а також за кри-теріями мак-си-маль-ної граничної завадостійкості та максимального діапазону сте-ження з міні-маль-ним обсягом апріорних даних про заваду.

Вперше досліджено структурну схему модифікованого пристрою ФАПЧ (патент України № 66435. Бюл. №5, 2004), яка реалізує підвищення завадостійкості зі збе-ре-женням динамічних властивостей пристрою, та розраховані границі діапазонів значень пара-мет-рів, за яких проявляються корисні властивості модифікованого пристрою. До-слід-жена схема знайшла застосування при виконанні науково-дослідних і кон-струк-торських робіт у Львівському науково-дослідному радіотехнічному інституті, ВАТ НДКІ РЕМА та Запорізькому державному під-приємстві "Радіоприлад", що підтверд-жено відпо-від-ними актами про впровад-ження.

На тестових прикладах здійснено вибір структури і параметрів пристрою фазової синхронізації, які на 8-10 дБ підвищують завадостійкість приймання ЧМ сигналів та навігаційних сигналів GPS, а також розраховані параметри приймача радіолока-цій-но-го сигналу, за яких необхідний рівень відношення сигнал/шум (ВСШ) на вході прий-ма-ча зменшуєть-ся у 3-4 рази, а діапазон стеження розширюється у 2,5 рази.

Особистий внесок автора в отриманні описаних результатів. Основні резуль-та-ти дисертаційної роботи отримані автором самостійно.

У роботах, написаних у співавторстві, автору належать розробка кумулянтної мо-делі ФАПЧ [2, 31] та її модифікації для випадку фазової модуляції [18, 39], фа-зо-вої маніпуляції [28], урахування кумулянтів вищих порядків [17, 19, 36]. У роботі [1] автор розробив і дослідив математичну модель ФАПЧ у диференціальних рівняннях у часткових похідних. У всіх вказаних вище працях автору належить виявлення гра-ничної завадостійкості пристрою ФАПЧ у різних умовах, у праці [10] – для різних ви-дів фазових детекторів, а у працях [25, 44] – для модифікованого ФАПЧ.

У працях, написаних у співавторстві з М.С. Мартинівим [30, 32], автору належить спосіб узгодження параметрів вузькосмугового фільтра (ВСФ) та фільтра верхніх час-тот (ФВЧ), а також математичне моделювання та виявлення умов реалізації но-вих корисних властивостей пристрою, що у сукупності із запропонованою співавто-ром евристичною схемою модифікованого ФАПЧ стало предметом винаходу. В ро-бо-тах [24, 42] автором крім того надані конкретні рекомендації щодо вибору пара-метрів модифікованого ФАПЧ.

В роботах [3, 13, 43, 45], написаних у співавторстві зі студентами, аспірантами і здобувачами, автору належать постановка задачі та інтерпретація результатів. Крім того, у роботах [4, 29] автор розробив математичну модель, а у [26] – провів порів-няльний аналіз отриманих результатів.

Апробація результатів роботи. Представлені в даній дисертаційній роботі ре-зуль-тати теоретичних досліджень, аналізу, обчислювальних експериментів і проек-ту-вання доповідалися автором на 15 наукових конференціях, переважно міжна-род-них. Серед них: Всес. науч.-техн. конференции "Развитие и совер-шен-ство-вание устройств син-хрони-зации в системах связи" (Горький, 1988, Ярославль, 1993); TCSET (Львів–Слав-сько, 2004, 2006 та 2008); "Сучасні проблеми радіо-елек-тро-ніки, те-леко-мунікацій та при-ладобуду-ван-ня” (Вінниця, 2005, 2006 та 2007); Міжву-зів-ська науково-технічна кон-ференція науково-педа-гогіч-них працівни-ків (Львів, 2006); "Радио-электроника и молодежь в ХХІ веке" (Харків, 2006); "Modelowanie i symulacja komputerowa w techni(Јуdџ, 2006); "ELECTRONICS" (Kaunas, 2006); "Глобаль-ные информационные сист-емы. Проблемы и тенденции развития" (Харьков-Туапсе, 2006); "Сучасні пробле-ми телекомунікацій" (Львів, 2006); "Комп’ютерні системи в автоматизації виробничих процесів" (Хмельницький, 2007).

Публікації. Результати теоретичних досліджень, проведених аналізів, обчислень і проектування, що описані у дисертаційній роботі, опубліковані автором у 45 наукових працях, серед яких 27 – у фахових виданнях, включених до переліку ВАК України, 15 – матеріали конференцій, 1 патент України на винахід, 22 одноосібних.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, шести розділів, висновків, списку використаних джерел з 239 найменувань на 21 сторінці та 5 додатків на 32 сторінках. Повний обсяг роботи становить 306 сто-рінок тексту, серед яких 238 сторінок основної частини, 134 рисунки (1 на окремій сторінці) i 17 таблиць.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність проблематики і теми дисертаційної ро-боти. Описано також взаємозв’язок роботи з науковими програмами, планами і те-ма-тикою досліджень. Описано мету роботи, головні ідеї, на яких вона ґрунтується, да-єть-ся перелік розв’язаних в ній задач. Далі обговорюється особистий внесок авто-ра, прак-тичне значення отриманих результатів і дані про їх застосування. Наведено та-кож дані про презентацію цих результатів на семінарах, симпозіумах і наукових кон-ференціях, а також про публікації в наукових журналах. В кінці вступу описано загальну структуру дисертаційної роботи.

Перший розділ дисертаційної роботи містить огляд літературних джерел за те-мою дисертації, з’ясування стану розробки проблеми та формулювання напрямків до-слід-жень. За результатами огляду зроблено висновки, що, попри широку дослідженість за-вадостійкості процесу синхронізації, залишились невирішеними проблеми, які обме-жу-ють можливості застосу-вання пристроїв фазової синхронізації у складній сигналь-но-завадовій обстановці та можливості застосування існуючих методів аналізу цих прис-троїв. Існуючі методи оптимізації параметрів ФАПЧ забезпечують підвищення завадо-стійкості виключно за рахунок погіршення динамічних характеристик прис-трою. Ці ме-тоди вимагають від проектувальника апріорно задавати параметри завад і не гаран-тують збереження працездатності за умов зміни цих параметрів на етапі екс-плу-атації. Крім того, методи аналізу впливу детермінованих і випадкових завад є несу-місними як за постановкою задачі, так і за формою подання результатів. При-датні для практич-но-го застосування результати оптимізації пристроїв ФАПЧ отри-ма-ні лі-не-аризованими методами, тобто передбачають низький рівень ви-пад-ко-вих та де-тер-мінованих збурень. У зв’язку з викладеним вище виникає необ-хідність теоретичних до-сліджень по ство-ренню універсальних методів аналізу ФАПЧ та методів підвищення зава-до-стій-кості пристроїв синхронізації зі збереженням їх дина-мічних властивостей.

Другий розділ дисертаційної роботи присвячений розвитку теорії випадкових про-цесів (ВП) у динамічних системах (ДС) з метою наближення понятійного апа-рату опи-су ВП до досконало розвинутої теорії біфуркацій детермінованих ДС.

Розглянуто ВП x(t) у ДС першого порядку, описаний стохастичним рівнянням

dx/dt – – (1)

де F(x) – коефіцієнт зносу, – потенціальна функція, n(t) – білий шум з інтенсивністю енергетичного спектруНестаціонарна густина імовір-но-сті P(x,t) такого ВП задовольняє рівняння Фокера-Планка

, (2)

стаціонарним розв'язком якого є

, (3)

де A – нормуючий множник. Поведінка ДС під впливом випадкового збурення екві-валентна до поведінки важкого газу з температурою N/2 на потенціальній поверхні U(x), причому рівняння (1) описує броунівський рух молекул, а рівняння (2) – гус-ти-ну газу. Розподіл густини імовірності так само повно, як набір значень P(x) (рис. 1 а), описує набір перетинів прямими P(x)=const (рис. 1 б).

Рис. 1. Представлення випадкових процесів перетинами.

Абстрагуючись від форми розподілу, можна описати густину імовірності одним перетином (точки x1 та x2 на рис. 1 б), який відображає основні характерні риси роз-поділу – його положення і розмір. В роботі показано, що найпрості-ше сформулювати умови стаціонарності для перетину, який задовольняє наступ-но-му означенню.

Означення. Характерний перетин розподілу імовірності – перетин на рівні 1/е2 від макси-маль-ного значення.

Для нормального розподілу P(x) точки характерного перетину x1 та x2 є кванті-ля-ми p*0,023 та p*0,977 відповідно, тобто їх координати становлять m±2у, де m і у – серед-нє значення та СКВ розподілу.

Характерному перетину стаціонарного розподілу притаманна наступна властивість.

Властивість 1. Значення потенціальної функції в усіх точках усталеного характер-но-го перетину дорівнює енергії збудження.

Поняття характерного перетину дає можливість мо-делювати випад-ко-вий процес, описаний рівнян-нями (1) і (2), не поведінкою усього об’єму важкого газу на потен-ці-альному рельєфі, а поведін-кою одного масив-но-го пружного стрижня, кінці яко-го відповідають точкам харак-тер-ного пере-тину. Кінці стрижня невідривно ковзають без тертя по по-тенціаль-ному рельєфу (рис.  а) і відштовхуються один від одного тим силь-ніше, чим менша відстань між ними і чим більша енергія збурен-ня N. Зав-дяки масивності стрижень намагається зайняти якомога нижче положення на потен-ціаль-но-му рельєфі. Рівновага, у відповідності до Властивості , наступає за ви-ко-нання умови U(x1,2)Приклад застосування стрижневої моделі для опису стохастичної пове-дін-ки лінійної ДС зі стійким станом рівноваги і коефіцієнтом зносу F(x) =·x при a>0 наведено на рис. 2 для трьох різних початкових положень стрижня.

б)

Рис.2. "Стрижнева" модель (а) та еволюція розподілу (б) ВП
в околі точки стійкої рівноваги.

Порівняння з розв’язками рівняння Фокера-Планка (рис. 2 б), отриманими число-вим інтегруванням (2) у часткових похідних для різних початкових розподілів, по-ка-зує, що стрижнева модель якісно вірно описує еволюцію розподілу. Для кількісного опису використано кумулянтний аналіз, який дає можливість перейти від рівняння (1) до детермінованих рівнянь еволюції кумулянтів:

, (4)

де m – середнє значення, D – дисперсія процесу x(t). І графічна побудова на рис. 2 а і розв’язок (4) приводять до відомого виразу для СКВ , що під-тверджує адекватність моделі.

У випадку лінійної ДС з нестійким станом рівноваги, тобто коефіцієнтом зносу F(x) =·x при a<0, стрижнева модель та її аналітичний опис (4) показують наявність біфуркації, що сформульовано у вигляді наступної теореми.

Теорема 1. Характерний перетин з початковим нульовим розміром може до-сяг-ти точки нестійкої рів-но-ваги тоді і тільки тоді, якщо різниця значень потенціальної функ-ції у не-стійкій точці і центрі початкового розподілу менша від енергії збурення.

Якісно справедливість Теореми 1, доведеної у дисертації, підтверджують як реа-лі-зації, отримані розв’язуванням (1), так і нестаціонарні розподіли імовірності (рис. 3). Але за умови N>0 завжди існує скінчена (хоч і мала) імовірність перетину як завгодно великого потенціального бар’єру, а Теорема 1, яка є основою розвитку теорії стохас-тич-них біфуркацій, описує умови, за яких характерний перетин ніколи не перетне потенціального бар’єру.

Для з’ясування питання, чи є описана біфуркація наслідком спрощень стриж-не-вої моделі, чи відображує якісні особливості ВП, була розрахована залежність уста-ле-ного значення ймовірності перетину потенціального бар'єру від його висоти (рис. 4 а), яка має різний характер за умов U(x0)<N та U(x0)>N. З рис. 4 б видно, що та са-ма умова є ознакою подолання бар’єру характерним перетином, який є квантілем p*0,977.

Рис.3. "Стрижнева" модель (а, г), еволюції розподілу (б, ґ) та реалізації (в, д) ВП
з малою (а–в) та великою (г–д) енергією збурення в околі точки нестійкої рівноваги.

Це означає, що характерний перетин не тільки є зручним для опису випадкових процесів, оскільки для нього виконуються досить прості енергетичні співвідношен-ня, описані Властивістю 1, – зміна поведінки характерного перетину означає суттєві змі-ни у імовірнісних залежностях, зокрема є індикатором подолання випадковим про-це-сом енергетичного бар’єру, що описує Теорема 1.

Рис. . Імовірність перетину бар'єру (а) і часові залежності квантіля p*0,977(б).

Отже, опис ВП за допомогою кумулянтного метода підтвердив висновки стриж-не-вої моделі про основні якісні особливості поведінки характерного перетину роз-поділу ВП в околі точок стійкої і нестійкої рівноваги лінійної ДС, дав можливість отрима-ти аналітичні вирази для кількісного аналізу характеристик ВП та визначення біфур-ка-цій-них значень інтенсивності випадкового збурення.

ВП у двовимірних лінійних ДС запропоновано описувати характерним перети-ном дво-ви-мірного розподілу густини імовірності, який, згідно з означенням, є замкненою кри-вою (для нормального розподілу – еліпсом). Всі точки усталеного характерного пе-ре-тину мають однаковий потенціал, який згідно із Властивістю 1, дорівнює енергії збуд-ження.

Знаходження потенціальної функції ДС другого порядку вимагає афінних пере-тво-рень, які маскують фізичну сутність фазових змінних. Тому в теорії коливань стан ДС другого порядку зображують траєкторіями точки на фазовій площині. Стан стохастич-ної ДС на фазовому портреті відображає поведінка характерного пере-ти-ну, яка є склад-нішою, ніж поведінка точки. Для опису перетину необхідні коор-ди-на-ти центру (положення), характерні відхилення вздовж осей (розміри), нахил голов-них осей еліп-са. Ці параметри однозначно пов’язані зі статистичними характе-ристи-ками двовимір-ного розподілу, поведінку яких кількісно описують рівняння дрей-фу кумулянтів, які для ДС другого порядку мають вигляд:

, (5)

де mx , my – середні значення, – дисперсії складових ВП, к=rуxуy, r – коефіцієнт кореляції.

Рис.5. Поведінка характерного перетину в околі стійкого вузла (а, б, в) і фокуса (г).

Числовим інтегруванням (5) виявлені основні закономірності поведінки харак-тер-ного перетину в околі особливих точок ДС. Центр перетину завжди рухається вздовж траєкторій фазового портрету незбуреної лінійної ДС. В околі стійких особ-ли-вих точок (рис. 5) характерний перетин має стійке положення і стійкий розмір, який зале-жить від інтенсивності шуму. В околі нестійких особ-ли-вих точок і по-ло-жен-ня і розмір перетину є нестійкими. Залежно від положення і розмірів почат-ко-во-го перетину, згідно з Теоремою 1, перетин може або досягнути або не досягнути осо-б-ливої точки. Торкання перетином нестійкої особливої точки або кривої (вхідної сепаратриси) приз-водить до двостороннього необмеженого зростання розмірів пере-тину, недоторкання – до односторонньо обмеженого зростання.

Як приклад двовимірної стохастичної ДС розглянуто вплив випадкової напруги на послідовне коливальне коло. В результаті аналізу встановлено, що канонічне рівняння уста-леного характерного перетину (еліпсу) на площині "струм котушки – напруга кон-ден-сатора" точно збігається з рівнянням енергетичного балансу в колі.

Особливостями нелінійних ДС є негаусовість стаціонарного розподілу, обме-же-ність потенціальної функції та наявність більше одного стану рівноваги. Застосуван-ня стрижневої моделі до ДС з обмеженою потенціальною функцією (рис. 6 а) пока-зує наявність біфуркації за умов перевищення енергією збурення (N) глибини потен-ціальної западини. ВП у такій ДС є нестаціонарним, а його дисперсія необмежено зро-стає незалежно від значення N, але інтегрування рівняння (2) проказало, що для докритичних значень N розподіли в межах западини і поза нею (рис. 6 б) форму-ють-ся незалежно і мають принципово різний характер, а за рівнів шуму більших від кри-тичного (рис. 6 в) межа потенціальної западини впливає тільки на кількісні по-казники розподілу. Це підтвердило якісну правильність стрижневої моделі і дало підстави для формулю-вання таких означень.

Означення. Точка стійкої рівноваги є локально стійкою до шуму, якщо існують початкові розподіли, за яких час встановлення форми розподілу менший, ніж час виникнення моди в околі іншої точки рівноваги.

Означення. Граничним рівнем завад є рівень, за якого зникають локально стій-кі до шуму точки.

Рис.6. Стрижнева модель (а) та еволюція розподілу (б, в) ВП у нелінійній ДС.

В якості бістабільної ДС проаналізовано колове каскадне з’єднання двох інерцій-них інверторів, фазовий портрет якого (рис. 7 а) має два стійких вузли і сідло. За малих рівнів шуму характерний перетин розподілу прямує до стаціонарного, який, за-лежно від початкових значень, охоплює одну (серії 1, 2 і 3 на рис. 7 б) або обидві (се-рія 4) точ-ки стійкої рівноваги. Зі збільшенням рівня шуму вище деякого гра-нич-ного зна-чен-ня розмір характерного перетину необмежено зростає незалежно від початкових умов.

Рис.7. Фазовий портрет (а) бістабільної нелінійної ДС та варіанти поведінки характерного перетину (б).

Безпосереднім інтегруванням стохастичного рівняння (1) вияв-лені якісні особ-ли-вості реалізацій ВП, які відпові-да-ють описаній бі-фуркації. За малих зна-чень шуму (лінія на рис. 8) ВП є ро-зрив-но-ста-ціонарним, тобто релізація пе-ре-буває в околі одного зі станів рів-но-ваги із рідкими перескоками в окіл іншого, а за великих (точки на рис. 8) – тривалий час перебуває в око-лі не-стій-кої точки, а інтервали стаціонар-ності в реалізації від-сут-ні. Дослід-ження бістабільної ДС дало можли-вість озна-чити такі поняття як об-ласть притяган-ня локаль-но стійкої до шуму точки та обмеженість або необмеженість цієї області, а також вста-новити статис-тич-ний зміст цих понять.

Рис. . Реалізації випадкового процесу в бістабільній системі.

Виявлені якісні особливості статистичної динаміки ДС, які означені вище, утво-рю-ють понятійний апарат теорії стохас-тич-них біфуркацій. Разом з детер-мі-нованим опи-сом ВП кумулянтними моделями цей апарат уможливлює уніфікований підхід до ана-лізу дії на ДС детермінованих і випадкових збу-рень, а саме – знаходження гранично допустимих (біфуркаційних) значень параметрів ДС і завад.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячений адаптації запроваджених по-нять теорії стохастичних біфуркацій до особливостей пристроїв фазової синхроніза-ції і роз-роблення на цій основі методу аналізу граничної завадостійкості пристроїв. Коефіцієн-ти зносу стохастичних рівнянь, які описують пристрої синхронізації і за-ле-жать від різниці фаз, є періодичними і обмеженими функціями, а потенціальна функція від-по-від-них динамічних систем має нескінченну кількість екстремумів і також може бути обмеженою. Стохастичне рівняння (1) для ФАПЧ 1-го порядку має вигляд

, (6)

де – добуток часу і смуги утримання, ц – повна різниця фаз КГ і сигналу, г – нормована по-чат-кова розстройка частот КГ і сигналу. У рівняння Фокера-Планка (2) підставлено F(x)=sin – г, а рівняння еволюції кумулянтів (4) набуває вигляду

(7)

де mц, Dц – середнє значення та дисперсія фазової похибки.

Рис.9. Стаціонарні значення СКВ фазової похибки, розраховані за стрижневою моделлю (а), кумулянтним методом (б) та за рівнянням Фокера – Планка (в).

Залежності СКВ фазової похибки від інтенсивності шуму N і початкової розс-трой-ки г, розраховані за стрижневою моделлю, кумулянтним методом та за рів-нян-ням Фокера – Планка наведені на рис. 9.

Рис.10. Гранична інтенсивність шуму. 1–кумулянтний аналіз, 2– дані експерименту, 3 – рівняння Фокера -Планка [1], 4 – стрижнева модель.

Порівняння показує, що похибка наближених ме-тодів у широкому діапазоні па-ра-мет-рів не перевищує 5%, і тільки поблизу гра-ниці працездатності сягає 30% для стри-ж-невої та 10% для кумулянтної моделей. Пере-ва-гою наближених моделей є значно (на два по-рядки) менша обчислювальна склад-ність. Крім того, наявність чи відсутність ста-ціонар-ного роз-в’яз-ку рівнянь (7) є індикато-ром досягнення гра-нич-но допустимого рів-ня шуму, тоді як ви-користання рівняння (2) та рис.9 в вимагає для визначення шумового порогу до-дат-кового роз-ра-хунку кількості про-ковзувань фази і апрі-ор-ного завдання значень гранично допустимого СКВ. Гранично допустимі рівні шуму, розра-хо-вані за кумулянтною моделлю, зо-бра-жено на рис. 10 і їх порівняння з результатами, отрима-ними іншими методами, показує придат-ність кумулянтної моделі до потреб інженерної практики.

Процес синхронізації у ФАПЧ 2-го порядку з пропорційно-інтегруючим фільт-ром (ПІФ) описує двовимірний ВП (ц,y), який задовольняє систему стохастичних рівнянь

(8)

де ц – фазова похибка синхронізації, ф – нормований до сталої часу ПІФ час, y – нор-мо-ва-на до смуги утримання частотна похибка, в – нормована до смуги утримання смуга ПІФ, г – нормована до смуги утримання розстройка сигналу і керованого гене-ра-тора (КГ), m – параметр ПІФ, Ц(t) – внутрішні збурення, викликані кутовою модуля-ці-єю, керу-ючи-ми впливами або завадами у петлі керування КГ, с – відношення сигнал / шум у смузі ПІФ.

Отримані з (8) рівняння дрей-фу кумулянтів, аналогічні до (5), мають вигляд

(9)

де mц , my – середні значення, – дисперсії фазової та частотної по-хи-бок, к11 – взаємний кумулянт, який характеризує кореляцію похибок. Приклади роз-в’яз-ків математичної моделі (9) за умови Ц(t)=0 та віддаленого від точки рівно-ваги початкового д-подібного розподілу наведені на рис. 11 у вигляді поведінки характер-но-го перетину (еліпсу) на фазовому портреті незбуреної системи. Параметри еліпсу однозначно пов’язані зі значеннями фазових змінних системи (9).

а) б)

Рис.11. Еволюція характерного перетину густини імовірності похибки синхронізації у ФАПЧ 2-го порядку за малих (а) та великих (б) рівнів шуму.

Числове розв’язування системи рівнянь (9) показало, що залежно від початкових умов та параметрів пристрою і завад можливі три типи розв’язків.

1. За малих рівнів шуму або початкової розстройки після перехідного процесу вста-новлюються усталені роз-міри і положення ха-рактерного перетину в околі точки стійкої рівноваги, при-чому існують як завгодно віддалені початкові умови, за яких перехідний процес від-бувається без торкання вхід-них сепаратрис (рис. 11 а). Се-ред-нє значення усталеної частотної похибки дорівнює нулеві.

2. За більших рівнів шуму усталений характерний перетин існує, але до-сяг-ннути його можна лише за початкових умов з обмеженої області поблизу точки стійкої рів-но-ваги. Вибір віддалених початкових умов призводить до торкання вхід-них сепа-ра-трис (рис. 11 б) з подальшим необмеженим зростанням розмірів еліпсу. Се-ред-нє значення усталеної частотної похибки відрізняється від нуля.

3. За ще більших рівнів шуму не існує усталений характерний перетин. Навіть при виборі початкових умов у стійкій точці розміри характерного перетину (тобто дис-персії похибок) необмежено зростають, а середня частотна похибка є скінченою.

На підставі визначених типів розв’язків у роботі запроваджені означення, які сто-су-ються про-стору параметрів пристроїв синхронізації за наявності шуму та характе-ризують їх працездатність.

Означення. Це означення ШСУ є альтернативним до поданого у ранніх роботах автора. Шумова смуга утримання (ШСУ) – діапазон значень гранич-ної по-чаткової розстройки частот сигналу і керованого генератора, для якої існує ста-ці-онарний характерний перетин розподілу похибки синхронізації.

Означення. Шумова смуга схоплення (ШСС) – об-ласть простору пара-метрів, для якої область притягання стійкого характерного перетину необме-же-на.

Рис. 12. Залежність ШСУ та ШСС від інерційності ФАПЧ.

Значне зменшення обчислювальної складності математичної моделі (9) у порів-нян-ні з моделлю (8) та рівнянням Фокера-Планка для двовимірного розподілу уможли-ви-ло повний перебір параметрів ФАПЧ 2-го порядку і завади та виявлення для кож-ного набору параметрів умов існування та об-меженості області притягання уста-ле-ного ха-рак-терного перетину. За допомогою спеціально розробле-ної програми були розраховані гра-нич-ні значення ШСУ та ШСС ФАПЧ з інтегру-ю-чим фільтром (при m=0) у вигляді залежностей г f (в), які на-ведені на рис.12 для різних зна-чень ВСШ с. ШСУ по-зна-чена на рис. 12 гори-зон-таль-ними лініями (у випадку m=0 ШСУ не залежить від нормо-ва-ної сму-ги фільтра в). Шу-мова смуга схоплення автономного ФАПЧ за відсутності шу-му (N = 0) показана верхньою кривою на рис. 12 і аналогічна до відомої кри-вої Трікомі. ШСС завжди менша від смуги схоп-лення автономної сис-теми. Це озна-чає, що характерний перетин у вигляді еліпса при деяких значеннях ін-тен-сив-ності шуму 1/с>0 не може досягнути стану рівноваги на глобально стійкому фа-зо-вому пор-треті автономної системи. Як видно з рис. 12, іс-ну-ють значен-ня інтен-сив-ності шуму, за яких ширина ШСС дорівнює ну-ле-ві, хоча смуга схоп-лення авто-номної системи та ШСУ мають значну ширину. Це означає, що за пе-ревищення деякого рівня шуму стає неможли-вим схоп-лення в ФАПЧ навіть за точного збігу середніх частот сигналу і ке-ро-ваного генератора.

Отримані результати є корисними для практики проектування пристроїв фазової син-хронізації. Однак, ку-му-лянтна модель є на-бли-женою, тому статистичний та фізичний зміст ШСУ та ШСС був додатково з’ясований шляхом безпосереднього інте-грування стохастичних рівнянь (8). За умов вибору параметрів у межах ШСУ типові реа-лізації ВП є розривно-стаціонарним процесом (рис. 13 а), у якому тривалі проміжки стаціонарних флуктуацій в околі одного зі станів рівноваги чергуються з коротко-три-валими проковзуваннями в окіл іншого стану рівноваги. Поза межами ШСУ інтервали стаціонарності не спостерігаються (рис. 13 б).

Імовірність PС квазісинхронного режиму, обчислена як відношення тривалості ста-ціонарних флуктуацій до тривалості реалізації, показана на рис. 13 в для різних набо-рів параметрів і демонструє збіг кривої PС=0,8 з визначеною границею ШСУ. В межах ШСУ імовірність одночасних проковзувань ци-к-лів в різних реалізаціях дуже мала (при PС=0,8 імовірність синхронізму хоча б в од-ній з трьох реалізацій ста-но-вить 99%), що уможливлює забез-пе-чення впевненої синхронізації з носійною частотою багато-ка-наль-ним прийманням. За межами ШСУ (рис. 13 б) імовір-ність збігу в часі перехідних процесів у різних реалі-заціях є великою і багато-канальність не гаран-туватиме неперервного синхроніз-му.

Рис.13. Типові реалізації ВП в межах ШСУ (а), поза межами ШСУ (б)
та імовірність перебування у квазісинхронному режимі (в).

Розв’язки рівнянь (8) за віддалених початкових умов показують, що в межах ШСС перехідний процес закінчується в околі одного стану рівноваги (рис. 14 а), а поза ме-жа-ми ШСС – в околах різних (рис. 14 б). Імовірність Pm попадання ВП в окіл тої самої стійкої точки, що і траєкторії детермінованої системи, зображена на рис. 14 в. З грани-цею ШСС збігається крива Pm=0,9. В межах ШСС тривалості перехідних про-цесів в детермінованій та сто-хас-тичній ФАПЧ однакові. Середня три-ва-лість перехідного процесу поблизу границі ШСС збільшується через більшу імовірність проковзу-ван-ня до віддалених станів рів-но-ваги. Виявлений статистичний зміст ШСС дає змогу визна-чити граничну інтенсивність шу-мо-вої завади, за якої трива-лість вход-жен-ня в син-хронізм лишається незмінною, що важливо для проектування зава-достійких ФАПЧ.

Рис.14. Типові реалізації ВП в межах ШСС (а), поза межами ШСС (б) та імовірність попадання до найближчої стійкої точки (в).

Наступним завданням, яке вирішено у третьому розділі, був аналіз впливу вищих ку-мулянтів густини розподілу фазової похибки на точність отриманих результатів. Для цього були виведені рівняння еволюції перших чотирьох кумулянтів у ексцесному набли-женні, на відміну від нормального наближення в системі (7). Обчислювальна склад-ність інтегрування отриманих рівнянь приблизно в 8 ра-зів більша, ніж ін-те-гру-вання рівнянь (7), але майже на порядок менша, ніж у випадку аналізу ансамблю реалі-зацій стохастичного рівняння (6) або інтегрування у часткових похідних відпо-від-ного рівняння Фокера-Планка. Виявлено, що область стійкості системи рівнянь у екс-цес-ному наближенні значно вужча, ніж рівнянь (7), але похибка визначення СКВ різниці фа-з становить десяті і соті час-тки відсотка, порів-ня-но з одиницями та де-сят-ками відсотків у гаусовому набли-женні.

Крім ФАПЧ з синусоїдною характеристикою ФД, якому відповідає рівняння (6), роз-глянуто також застосування ФД з трикутною, трапецевидною, прямокутною харак-теристиками, а також характеристикою із зонами нечутливості. Для всіх типів характе-ристик ФД кумулянтним методом виявлені границі завадостійкості ФАПЧ та визна-че-но СКВ фазової похибки за різних значень параметрів. Виявлено, що най-біль-шу за-ва-достійкість забезпечує ФД з прямокутною характеристикою (фазовий дискримінатор), а найменшу – з трикутною. Крім того, кумулянтним методом про-аналізований вплив характеристики ФД на спектр фазових флуктуацій, отримані аналітичні вирази для фор-ми спектру. Одним з результатів аналізу спектрів стало виявлення впливу інтен-сив-ності шуму не тільки на значення спектральних скла-до-вих, а і на ширину спектру, що типово для нелінійних систем.

Основним результатом третього розділу є роз-роб-ка і обґрунтування методу ана-лізу завадостійкості ФАПЧ, який полягає у виявленні умов існування стаціо-нар-ного роз-в’язку кумулянтної математичної моделі (9). Параметри стаціонарного розв’язку ха-рак-теризують якість синхроні-за-ції, а його відсутність означає зрив син-хронізму, тобто втрату працездатності пристрою. Мала обчислювальна склад-ність методу уможливлює перебір параметрів пристрою і завад у ши-ро-кому діапазоні.

В четвертому розділі проведено аналіз та параметричний синтез ФАПЧ 2-го по-ряд-ку за умов одночасної дії шуму та детермінованих збурень у вигляді фазової моду-ляції або маніпуляції. У математичній моделі (9) покладено Ф=м sin(гMф/в) у випадку фа-зової модуляції або Ф=м sign sin(гMф/в) у випадку маніпуляції (м – індекс, гM – нор-мована частота модуляції). За умови м > 0 система (9) є неавтономною і не має ста-ці-о-нар-ного розв’язку, тому при аналізі системи здійснюється пошук умов існування і ха-рактеристик усталених періодичних розв’язків, які відповідають режиму квазі-синхро-ніз-му у ФАПЧ.

Рис.15. Перехідні процеси у ФАПЧ з шумом за наявності кутової модуляції, подані еволюцією характерного перетину (а) та часовою залежністю СКВ фази (б).

На рис. 15 зображений перехідний режим у неавтономній системі (9) за віддалених початкових умов. Зі збільшенням рівня шуму характерний перетин (рис. 15 а) може то-р-кнутися вхідної сепаратриси, що призведе до необмеженого зростання його роз-мі-ру. На відміну від автономної системи (рис. 11) між першим торканням сепа-ратри-си та різким зростанням СКВ фазової похибки може пройти значний проміжок часу, осо-б-ливо за значень параметрів, близьких до граничних. У наведеному на рис.15 б випад-ку торкання сепа-ра-триси відбулося за значення часу ф?3..5, а характерні оз-на-ки зриву синхроніз-му, вияв-лені інтегруванням через перехідний процес, проя-ви-лися лише за значення часу ф?62..63, тобто описаний критерій на порядок скорочує час аналізу.

Приклади усталених періодичних розв’язків неавтономної системи (9) наведені на рис. 16 у вигляді періодичних рухів характерного перетину (а) та часових залежностей довірчого інтервалу частотної похибки (б) і СКВ фазової похибки (в).

Рис.16. Усталений періодичний режим в неавтономному ФАПЧ з шумом.

За малих рівнів шуму та індексів модуляції на розмах орбіти усталеного руху ха-рактерного перетину (рис. 16 а) впливає тільки індекс модуляції, а на його розмір – тіль-ки інтенсивність шуму. Торкання еліпсом вхідної сепаратриси через зростання роз-міру або розмаху орбіти свідчить про зрив синхронізму. За більших рівнів збурень ха-рак-терною особливістю періодичних розв’язків є те, що впродовж періоду модулю-валь-ного збурення змінюється і середнє значення (потовщена лінія на рис. 16 б) і СКВ похибки. Порівняння СКВ фазової похибки за наявності кутової модуляції (крива 1 на рис. 16 в)