Запорізький національний технічний університет

Безверха Марія Анатоліївна

УДК 539.3:531.391:519.6:534.1

РОЗВИТОК ЧИСЕЛЬНИХ МЕТОДІВ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ НЕСТАЦІОНАРНИХ ПРОЦЕСІВ У ПРУЖНИХ ТІЛАХ

01.02.04 _механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Запоріжжя – 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Запорізькій державній інженерній академії

Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник –

доктор фізико-математичних наук, професор

Пожуєв Володимир Іванович,

Запорізька державна інженерна академія,

ректор, завідувач кафедри програмного

забезпечення автоматизованих систем

Офіційні опоненти –

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Козлов Володимир Ілліч,

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України

провідний науковий співробітник відділу термопружності

кандидат технічних наук, доцент

Мастиновський Юрій Вікторович,

Запорізький національний технічний університет,

завідувач кафедри прикладної математики

Захист відбудеться «05» червня 2008р. о 13.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 17.052.01 у Запорізькому національному технічному університеті Міністерства освіти і науки України за адресою: 69063, Україна, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 64.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Запорізького національного технічного університету Міністерства освіти і науки України за адресою: 69063, Україна, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 64.

Автореферат розісланий «05» травня 2008р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук _________ Внуков Ю. М.

загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Розробка чисельно-аналітичних методів розв’язування нестаціонарних задач теорій пружності та в’язкопружності має велике значення, як для дослідження різноманітних змінних у часі явищ у твердих деформівних тілах, так і для розрахунків на міцність та жорсткість конструкцій різного призначення, на які діють динамічні навантаження. Прикладами таких конструкцій є підземні та підводні тунелі, дорожні покриття, захисні оболонки атомних станцій та промислових споруд, корпуси суден, літаків чи ракет. Як правило, при розрахунках таких конструкцій нестаціонарність навантажень враховується введенням коефіцієнтів динамічності, що спрощує розрахунки, проте не приймає до уваги специфіку динамічних явищ та процесів, які можуть значно змінити не тільки характер розрахункових напружень та деформацій, але й їх величину. Аналітичні методи дослідження динамічних задач теорій пружності та в’язкопружності мають широкі можливості для узагальнення результатів, проте вони обмежені формами конструкцій. Крім того, більшість складних аналітичних методів для динамічних розрахунків вимагають проміжних чи кінцевих обчислень на ЕОМ. Наближені чисельні дискретні методи менш чутливі до форми конструкцій, проте не дають можливості для узагальнень. Вони часто не враховують локальних особливостей навантажень, що є характерними для динамічних процесів у твердих тілах. Сполучення переваг аналітичних методів з наближеними чисельними методами дозволяє зберігати переваги кожного з цих методів та вирішувати нові задачі динаміки особливо з оглядом на можливості сучасної обчислювальної техніки.

У переважній більшості джерел, присвячених розв’язку динамічних задач пружності та в’язкопружності використані або аналітичні методи, або наближені чисельні методи. Дисертація присвячена розробці та розвитку поєднання аналітичних та чисельних методів для розв’язання динамічних задач деформівного твердого тіла.

Зв’язок з науковими програмами, темами. Дослідження в дисертаційній роботі проведені згідно з планами науково-дослідних робіт Запорізької державної інженерної академії за темами «Нові комп’ютерні засоби та технології інформатизації суспільства» (ДР №0101U007515; 26-1 Д/2001; 2003р.); «Комп’ютерне моделювання об’єктів і процесів в техніці, економіці та навчанні» (26-1 ДВ/04, 2005-2007р.р.).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є чисельний аналіз деформування кусково-однорідних пружних і в’язкопружних шаруватих тіл при динамічних навантаженнях.

Досягнення поставленої мети передбачає:

- розробку чисельно-аналітичного підходу для розв'язання нестаціонарних задач теорії пружності за допомогою інтегральних перетворень Лапласа за часом й Фур’є по просторових координатах у сполученні з чисельно-аналітичними методами їх обернення;

- розвиток і вдосконалення методів чисельного обернення інтегрального перетворення Лапласа, що ґрунтується на основній теоремі про лишки;

- розробку чисельних методів для пошуку полюсів підінтегральних функцій на комплексній площині;

- створення комплексу програм, який реалізує запропонований метод дослідження;

- тестування запропонованого методу на модельних задачах, обґрунтування його достовірності;

- співставлення результатів обчислень, в окремих випадках, з результатами, одержаними іншими методами;

- знаходження розв’язків одновимірних та багатовимірних задач теорії пружності для кусково-однорідних і багатошарових тіл;

- поширення розробленого чисельно-аналітичного підходу на розв’язання нестаціонарних задач в’язкопружності;

- аналіз закономірностей динамічних характеристик багатошарових тіл при пружних і в'язкопружних властивостях їх елементів;

- порівняння переміщень й напружень багатошарових пружних тіл з переміщеннями й напруженнями багатошарових в’язкопружних тіл.

Об’єкт дослідження – багатошарові пружні і в’язкопружні тіла, що знаходяться під дією зовнішніх нестаціонарних динамічних навантажень.

Предмет дослідження – динамічні характеристики у вигляді напружень і переміщень, а також характеристики в’язкопружних хвиль, такі як швидкості розповсюдження, величина та характер розривних фронтів.

Методи дослідження. У дисертації застосовані наступні методи:

1. Методи інтегральних перетворень Фур’є й Лапласа.

2. Метод дискретного перетворення Фур’є.

3. Метод обчислення невласних інтегралів за допомогою теорії лишків.

4. Сканування комплексної площини методом вікна.

5. Метод використання інтегральної теореми Коші для пошуку кількості полюсів функцій та їх кратності.

6. Метод Ньютона для пошуку коренів функцій на комплексній площині.

7. Скінченно-різницеві методи для розв’язання систем диференціальних рівнянь.

Обґрунтованість і достовірність наукових положень, висновків і рекомендацій. Для опису розв’язаних задач використані відомі класичні співвідношення теорії пружності та в’язкопружності. Для їх розв’язання використані методи та положення теорії функції комплексної змінної і чисельного аналізу. При тестуванні розроблених автором методів використовувались співставлення з відомими у літературі розв’язками спрощених задач та розв’язками, одержаними іншими методами. Усі отримані результати не суперечать очікуваній фізичній картині. Збіжність чисельних методів досліджено шляхом загальноприйнятих оцінок і чисельними експериментами.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

- розвинуто чисельно-аналітичні підходи до розв’язання нестаціонарних задач теорії пружності для багатошарових тіл, які відрізняються від існуючих застосуванням інтегральної теореми Коші у сполученні з методами теорії лишків для чисельного обернення перетворення Лапласа;

- запропоновано чисельний метод для пошуку полюсів підінтегральних функцій на комплексній площині, що ґрунтується на сполученні інтегральної теореми Коші й методу Ньютона. При цьому, пошук коренів виконувався із застосуванням сканування комплексної площини методом вікна;

- за допомогою запропонованого методу розв’язано одновимірні, двовимірні та тривимірні нестаціонарні задачі теорій пружності для багатошарових тіл. Встановлено, що напруження за рахунок відбиття хвиль від поверхонь можуть значно перевищувати збурення на границі;

- розроблений чисельно-аналітичного підхід поширено на розв’язання нестаціонарних задач в’язкопружності. Досліджено вплив в’язкопружної складової на характер розповсюдження нестаціонарних хвиль у багатошарових тілах. Виявлено, що наявність в’язкопружних властивостей згладжує розривний характер фронтів і збільшує дисипацію хвиль;

- проаналізовано закономірності динамічних характеристик тривимірних багатошарових тіл при пружних і в'язкопружних властивостях їх елементів. Ці результати було отримано застосуванням сполучення швидкого перетворення Фур’є по просторових координатах з чисельним інтегруванням за часом.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені методи та створений в дисертації комплекс програм дозволяє проводити дослідження на міцність та жорсткість конструкцій із пружних та в’язкопружних матеріалів з метою оптимізації їх параметрів. Таким чином, отримані в роботі результати дозволяють обчислювати напруження та переміщення при нестаціонарних навантаженнях у шаруватих тілах з різними механічними властивостями шарів. Розробки та результати дисертаційної роботи були використані при виконанні держбюджетних тем «Нові комп’ютерні засоби та технології інформатизації суспільства» (ДР №0101U007515; 26-1 Д/2001), «26-1 ДВ/04 „Комп’ютерне моделювання об’єктів і процесів в техніці, економіці та навчанні”» Запорізької державної інженерної академії, які увійшли в підсумкові звіти зазначених НДР за 2003, 2005-2007 роки. Результати роботи можуть бути використані при розрахунках на міцність захисних оболонок та елементів конструкцій енергоблоків реакторних відділів АЕС, про що було отримано відповідну довідку з ВП Запорізька атомна електростанція.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертаційної роботи доповідались й обговорювались на наукових семінарах кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем Запорізької державної інженерної академії (ЗДІА), 2004_р.р.; IX Науково-технічній конференції викладачів та студентів ЗДІА, м. Запоріжжя, 2004р.; X Науково-технічній конференції викладачів та студентів ЗДІА, м. Запоріжжя, 2005р.; XI Науково-технічній конференції студентів, магістрантів, аспірантів і викладачів ЗДІА, м. Запоріжжя, 2006р.; 10 Ювілейній міждержавній науково-методичній конференції «Проблеми математичного моделювання», м. Дніпродзержинськ, 2006р.; 12 Науково-технічній конференції студентів, магістрантів, аспірантів і викладачів ЗДІА, м. Запоріжжя, 2007р.; 11 Міждержавній науково-методичній конференції «Проблеми математичного моделювання», м. Дніпродзержинськ, 2007р.; Міжнародній науково-технічній конференції пам’яті академіка НАН України Володимира Івановича Моссаковського (1919 – 2006рр.) „Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій”, м. Дніпропетровськ, 2007р.

У повному обсязі дисертація доповідалась і обговорювалась на розширеному кафедральному науковому семінарі кафедри програмного забезпечення автоматизованих систем Запорізької державної інженерної академії (2007 р.); міжкафедральному семінарі «Механіка деформівного твердого тіла» при Запорізькому національному технічному університеті (2008 р.); розширеному семінарі відділу електропружності Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (керівник _член-кореспондент НАН України Шульга М.О., 2008 р.).

Публікації. Основний зміст дисертації опубліковано в 9 роботах [1-9]. Серед них – три статті [1, 2, 3] у фахових наукових виданнях, шість [4-9] – тези доповідей наукових конференцій.

Особистий внесок здобувача. Основні результати за темою дисертації отримані особисто автором. Роботи [2, 3, 5-9] написані у співавторстві з науковим керівником професором Пожуєвим В.І. У них автору належить:

· розробка чисельно-аналітичного методу для дослідження нестаціонарних процесів у задачах теорії пружності та в’язкопружності;

· здійснення математичних викладок;

· розробка і програмна реалізація чисельних методів;

· проведення тестування й чисельних експериментів;

· аналіз отриманих результатів.

Структура і обсяг дисертації. Робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел і додатку. Повний обсяг дисертації становить 155 сторінок: на 50 сторінках розташовано 69 рисунків. Список використаних джерел займає 11 сторінок і складається з 116 найменувань.

Автор висловлює щиру подяку своєму науковому керівнику доктору фізико-математичних наук, професору В.І. Пожуєву за постановку задачі, допомогу й корисні поради при написанні дисертаційної роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, визначені мета і задачі досліджень, подана загальна характеристика роботи.

У першому розділі проведено аналіз сучасного стану проблеми нестаціонарних задач теорії пружності й в’язкопружності, а також існуючих методів її розв’язку. Значний внесок у розвиток динамічної теорії пружності внесли у ХІХ столітті Пуассон, Стокс, Релей, а також Ляв, ідеї яких розвинули у ХХ столітті С.П. Тимошенко, Стоунлі, В.І. Смирнов, С.Л. Соболєв та інші дослідники. Розв’язанням динамічних задач теорії пружності для неперервних та шаруватих тіл у різні часи займались такі вчені як А.Г. Горшков , В.І. Пожуєв, Л. Айнола та У. Нігул , Б.А. Корбут та Ю.І. Нагорний, Ю.А. Шевляков, А.К. Приварников, О.М. Гузь, В.І. Гуляєв, І.Т. Селезов, І.К. Сєнченков, Ю.В. Мастиновський, О.Д. Шамровський та ін. Більшість задач розглянуті у стаціонарній або квазістаціонарній постановках. Нестаціонарна постановка динамічних задач теорії пружності, як правило, супроводжувалась різноманітними спрощеннями, що зумовлено складністю розв’язку таких задач.

Моделі, що враховують реологічні властивості матеріалів, зокрема в’язкопружність та повзучість, були розроблені Максвеллом, Фойгтом, Кельвіном, Вольтерра та іншими авторами. На початку сучасної теорії в’язкопружності стоїть видатний вчений Ю.М. Работнов. У подальшому цим проблемам присвятили свої роботи О.А. Ілюшин, Б.Ю. Победря, Г.М. Савін та Я.Я. Рущицький, В.Г. Карнаухов, В.І. Козлов та інші вчені. У більшості робіт розглянуто статичні та стаціонарні задачі або задачі про дисипативний розігрів. Недостатньо вивчена проблема впливу в’язкопружних властивостей матеріалу на розповсюдження нестаціонарних збурень. В умовах швидкого розвитку обчислювальної техніки деякі розглянуті вище проблеми можуть бути розв’язані чисельними методами у сполученні з відомими аналітичними методами.

Із загальної кількості проблем сучасної динамічної теорії пружності в результаті аналізу у дисертаційній роботі виділена проблема розвитку чисельних методів для розв’язування задач про поширення нестаціонарних збурень у шаруватих тілах з пружними та в’язкопружними властивостями.

У другому розділі виконано математичну постановку нестаціонарних задач теорії пружності та в’язкопружності для багатошарових тіл, наведено основні фізичні, геометричні співвідношення та рівняння руху, а також початкові і граничні умови та умови сполучення між шарами. У цьому розділі розвинуто чисельно-аналітичний метод для розв’язку нестаціонарних задач теорії пружності, який відрізняється від існуючих застосуванням теореми Коші у сполученні з методами теорії лишків для чисельного обернення перетворення Лапласа.

Розглянуто багатошарове тіло, в якому шари пружні та деякі з них мають в’язкопружні властивості. Тіло необмежене в горизонтальному напрямі.

Наведено рівняння руху точок багатошарового тіла:

; .

Початкові умови тривіальні:

.

Граничні умови:

.

На зовнішніх поверхнях задається розподілене або зосереджене навантаження або переміщення. Умови сполучення шарів: дотичні навантаження відсутні, а нормальні напруження й переміщення співпадають , де k – номер шару. Співвідношення Коші . Для пружних шарів фізичні співвідношення задані законом Гука , де об’ємна деформація . Для в’язкопружних шарів фізичні співвідношення представлені реологічними операторами , де й .

Застосовано інтегральні перетворення Фур’є по координатах . Основні співвідношення у просторі зображень для окремого шару мають вигляд:

- рівняння руху ; (1)

- співвідношення Коші

- граничні умови ; ;

- умови сполучення шарів ;

- фізичні співвідношення , де символом (*) позначені трансформанти інтегральних перетворень. Після цього застосовано перетворення Лапласа за часом.

У загальному випадку розв’язати ці рівняння у просторі зображень досить складно. Ще більше складностей викликає обернення одержаних розв’язків. Виникає потреба у створенні нових підходів для обернення інтегральних перетворень на основі сполучення чисельних й аналітичних методів.

У дисертації запропоновані наступні підходи.

1. Обернення перетворення Лапласа за допомогою теорії лишків , де pk _полюси підінтегральної функції u*. Для визначення полюсів функції u* знаходились корені оберненої функції , для чого запропоновані наступні методи:

- сканування комплексної площини методом вікна;

- інтегральна теорема Коші для знаходження кількості коренів у вікні та їх кратності , , де _кратність j -го кореня ;

- метод Ньютона (метод дотичних) для чисельного пошуку комплексних коренів .

2. Обернення перетворення Фур’є виконано чисельним методом Файлона

.

Указані підходи протестовані на одновимірних задачах про розповсюдження збурень у нескінченній струні при миттєвому постійно діючому та ударному навантаженнях і на більш складних задачах _ про рух пружного напівпростору і пружного просторового шару під дією нестаціонарних навантажень.

Для дослідження руху пружного просторового шару під дією динамічно прикладених навантажень використані рівняння лінійної теорії пружності у переміщеннях, які мають вигляд , де _вектор переміщення точок шару, _швидкість хвиль дилатації, _швидкість хвиль зсуву, _коефіцієнти Ляме, _щільність матеріалу. Згідно з запропонованим підходом, полюси трансформанти функції переміщень поверхні шару знаходились як корені знаменника , де – регулярний вираз; – параметр перетворення Лапласа. Знання положень полюсів дозволяє застосувати основну теорему про лишки для обчислення інтегралів при оберненні перетворення Лапласа. На рис. 2 наведено розташування вказаних полюсів для різних значень коефіцієнта Пуассона на комплексній площині для задачі про рух напівпростору.

Розроблені підходи дозволили розвязати тестову задачу про розповсюдження збурень у пружній напівплощині під дією ударного зосередженого навантаження. Співставлення одержаних результатів з відомим розв’язком цієї задачі методом Кан’яра у модифікації де Хупа показало їх практичне співпадіння, відхилення не перевищує 5%. Крім того, у цьому розділі одержані функції впливу, які дозволяють побудувати вирази для трансформант переміщень поверхні шару та напівпростору через трансформанти напружень. Ці вирази використані для розв’язання задач у наступному розділі.

У третьому розділі запропоновані підходи використані для розв’язання задач про розповсюдження збурень у пружних та в’язкопружних багатошарових тілах.

Розв’язано задачу про рух пластини на пружній напівплощині, до якої миттєво прикладено розподілене навантаження. Контакт між пластиною та основою _ковзний. Для отримання трансформанти переміщень пластини використані функції впливу, знайдені у попередньому розділі.

На рис. 3 для двох моментів часу показано переміщення поверхні пластини товщини , що лежить на пружному напівпросторі, під дією миттєво прикладеного навантаження в прямокутній області . При цьому, прийняті наступні вихідні дані: ;;;;.

Проаналізовано поширення збурень поверхні пластини. Таким чином, запропонований підхід використано для опису спільного руху пластини і напівпростору.

У цьому розділі також розглянуто нестаціонарну динамічну задачу для багатошарового в’язкопружного тіла. Нестаціонарні навантаження прикладені на поверхні , а зовнішня поверхня останнього шару – нерухома.

Для чисельного прикладу розглянуто тришарове тіло з пружними зовнішніми шарами і в’язкопружним заповнювачем та використані наступні вихідні дані

Використано безрозмірні змінні _для часу; _для просторових координат; _для напружень. Для опису в’язкопружного шару використано двохелементну послідовну реологічну модель Максвелла, ядро реологічного оператору _.

На графіках (Рис. 4) показано розподіл напружень у тришаровому тілі. Видно розривні фронти, які з'являються на границях шарів, де вони розділяються і йде часткове їх відбиття. При відбитті можливе сумування напружень _вони стають у 2 рази більшими за навантаження, прикладені на границі. Слід відзначити згладжування розривних фронтів у випадку в’язкопружного заповнювача (Рис. 4a) у порівнянні з пружним заповнювачем (Рис. 4b) та значну відмінність картини розподілу напружень для однакових моментів часу.

Розглянуто поширення збурень у в’язкопружному тришаровому циліндричному тілі. Зовнішня поверхня вільна. Рівномірно розподілене навантаження прикладене миттєво до внутрішнього шару. (Вибух у трубопроводі або захисній оболонці реактору). На рис.5 показано вплив в’язкопружності на переміщення у тришаровому тілі. Порівнюються переміщення тіл з пружним та в’язкопружним середнім шаром. Відмічено незначний вплив реологічних властивостей на розподіл переміщень для заданих граничних умов. Тут і далі, пунктиром показані графіки для тришарових тіл з в’язкопружним заповнювачем, а неперервною лінією – графіки для тіл з пружним заповнювачем.

На рис. 6 показано розподіл напружень для різних моментів часу. Спостерігається помітне згладжування розривних фронтів у тілі з в’язкопружним заповнювачем у порівнянні з напруженням у тришаровому пружному тілі.

Розглянуто поширення збурень у в’язкопружному тришаровому сферичному тілі. Зовнішня поверхня нерухома. Рівномірно розподілене навантаження прикладене миттєво на поверхні внутрішнього шару.

На рис. 7 показано вплив в’язкопружності на переміщення. Спостерігається значний вплив в’язкопружності заповнювача на розподіл переміщень при нерухомому закріпленні зовнішньої границі.

Спостерігається також явище помітного згладжування розривних фронтів у тілі з в’язкопружним заповнювачем у порівнянні з напруженням у тришаровому пружному тілі та значна різниця значень напружень (Рис.8).

У цілому, для циліндричних та сферичних шаруватих тіл виявлено ефект збільшення впливу в’язкопружності на напруження та переміщення при жорсткому закріпленні зовнішніх поверхонь у порівнянні з вільними зовнішніми поверхнями.

Результати, одержані у цьому розділі, можуть бути застосовані для розрахунків захисних оболонок реактора атомної станції.

У четвертому розділі розв’язано плоскі і просторові нестаціонарні задачі про рух в'язкопружного тіла з багатошаровою структурою, необмеженого у напрямках осей , . При цьому, матеріали шарів кусково-однорідні у напрямку осі і однорідні поздовж осей ,. На зовнішніх поверхнях верхнього та нижнього шарів (Рис. 1) задані нормальні та дотичні навантаження або переміщення точок тіла. Контакт між шарами жорсткий, тобто напруження та переміщення на поверхнях контакту неперервні. До рівняння руху застосовані інтегральні перетворення Фур’є по координатах і та одержано систему рівнянь у частинних похідних у просторі зображень. По координаті , нормальній до граничної площини, застосовано скінченно-різницеву апроксимацію. Систему звичайних диференціальних рівнянь представлено у вигляді векторної системи рівнянь першого порядку , де , а – відповідно швидкість і прискорення точок тіла.

Розв’язок системи представлявся у вигляді розкладу в ряд Тейлора поблизу деякого моменту часу і на цій основі побудовано ітераційний обчислювальний процес. При цьому, було обрано достатньо малий крок за часом , чого вимагає опис швидкозмінних процесів у цій задачі. Одержано , .

Значення компонентів вектора обчислювались на основі правих частин рівнянь (1), що представлені в скінченних різницях. Значення компонентів вектора обчислено також на основі правих частин рівнянь (1), тільки замість компонентів вектора підставлено компоненти вектора . Інтеграли, що входять у в’язкопружні оператори вираховувались чисельно. Для обернення інтегральних перетворень Фур’є застосовувалось швидке перетворення Фур’є по кожному з параметрів , що значно прискорило обчислення. Збіжність чисельних методів досліджувалась шляхом чисельних експериментів.

Для прикладу було розглянуто тришарове тіло з наступним розподілом товщини: , де . Постійні нормальні навантаження, що миттєво прикладені на поверхні в прямокутнику , де , були задані законом , де – одинична функція Хевісайда. Дотичні навантаження на цій поверхні відсутні. На поверхні задані нульові дотичні навантаження та нульові нормальні переміщення. При цьому, реологічні властивості має тільки середній шар, що має також вдвічі менші пружні характеристики та порівняно із зовнішніми шарами.

На рис. 9 наведено розподіл безрозмірних переміщень у перетині , рис. 9а, 9b – тіло з в’язкопружним середнім шаром, рис. 9c, 9d – пружне тіло. Швидкості розповсюдження збурень практично однакові для пружного тіла і тіла з в’язкопружним заповнювачем.

На рис. 10 показано картину розподілу напружень після відбиття пружної хвилі від нерухомої поверхні. Помічено роздвоєння максимуму напружень (Рис. 10а, 10b). Крім того, порівняння з розв’язком відповідної задачі без реологічних складових (Рис. 10с, 10d) показало помітне згладжування розривних фронтів напружень у тілі з в’язкопружним середнім шаром.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

1. Розроблено чисельно-аналітичний підхід до розв'язання нестаціонарних задач теорії пружності на основі інтегральних перетворень, який відрізняється від існуючих застосуванням інтегральної теореми Коші у сполученні з методами теорії лишків для чисельного обернення перетворення Лапласа. Метод реалізовано у вигляді комплексу програм, який дозволяє формувати різні нестаціонарні задачі, а також здійснювати візуалізацію отриманих результатів.

2. Запропоновано чисельний метод для пошуку полюсів підінтегральних функцій на комплексній площині, що ґрунтується на сполученні застосування інтегральної теореми Коші й методу Ньютона. При цьому, пошук полюсів виконувався із застосуванням сканування комплексної площини методом вікна.

3. Розроблений підхід застосовано до розв'язання нестаціонарних задач для багатошарових пружних тіл, що дозволило описати явища розповсюдження збурень при динамічних навантаженнях.

4. Методику поширено на розв'язання нестаціонарних задач про розповсюдження збурень у в’язкопружних плоских, сферичних та циліндричних тілах, що складаються з шарів з різними механічними властивостями. Досліджено вплив в’язкопружності на характер збурень у багатошарових тілах. Виявлено, що наявність в’язкопружного заповнювача згладжує розривний характер фронтів.

5. Розвинуто чисельно-аналітичний метод розв’язання плоских й просторових нестаціонарних задач для багатошарових в’язкопружних тіл на основі інтегральних перетворень з чисельним їх оберненням і використанням швидкого перетворення Фур’є та застосуванням скінченно-різницевого методу.

6. Зроблено оцінку впливу в’язкопружної складової на характер розповсюдження збурень, їх дисипацію та на демпфуючі властивості середовища, а також на величину динамічних напружень та переміщень.

7. Проаналізовано зміну нестаціонарних збурень на межі різнорідних шарів та при відбитті від нерухомої основи, виявлено можливе значне збільшення напружень порівняно з поверхневим навантаженням.

8. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані у прикладних розрахунках на міцність і жорсткість конструкцій різного призначення під дією нестаціонарних навантажень з метою оптимізації їх параметрів, результати роботи впроваджені на ВП Запорізька АЕС.

ОПУБЛІКОВАНІ ПРАЦІ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Безверха М. А. Розповсюдження в’язкопружних хвиль у багатошаровому середовищі // Методи розв’язування прикладних задач механіки деформівного твердого тіла: Збірник наукових праць / Дніпропетровський національний університет. – Дніпропетровськ, 2007. – Випуск 8. – С. 3 – 9.

2. Пожуєв В. І., Безверха М. А. Розповсюдження збурень у пружному просторовому шарі // Нові матеріали і технології в металургії і машинобудуванні. – 2005. – №2. – С. 94 – 99.

3. Пожуєв В. І., Безверха М. А. Рух пластини на пружному просторовому шарі // Нові матеріали і технології в металургії і машинобудуванні. – 2006. – №1. – С. 73 – 75.

4. Безверхая М.А. Исследование нестационарных процессов в физических системах на основе эффективных алгоритмов приближенного обращения интегральных преобразований // IX Науково-технічна конференція викладачів та студентів ЗДІА. Тези доповідей. Частина 2. Секція «Енергетика та енергозбереження. Інформаційні технології». – Запоріжжя: Видавництво Запорізької державної інженерної академії, 2004. _С. 34 _35.

5. Пожуєв В. І., Безверха М. А. Розповсюдження в’язкопружних хвиль у багатокомпонентному середовищі // XI Науково-технічна конференція викладачів та студентів ЗДІА. Тези доповідей. Частина 4. Секція «Інформаційні технології», Секція «Енергетика та енергозбереження». – Запоріжжя: Видавництво Запорізької державної інженерної академії, 2006. _С. _173.

6. Пожуєв В. І., Безверха М. А. Розповсюдження в’язкопружних хвиль у багатошаровому середовищі // 10 Міждержавна науково-методична конференція «Проблеми математичного моделювання». Тези доповідей. Секція 1 «Методи обчислень». – Дніпродзержинськ: Видавництво Дніпродзержинського державного технічного університету, 2006. _С. 28 _29.

7. Пожуєв В. І., Безверха М. А. Нестаціонарна динаміка в’язкопружних хвиль у багатошаровому середовищі // Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій / Тези доповідей Міжнародної науково-технічної конференції пам’яті академіка НАН України В.І. Моссаковського. – Дніпропетровськ: Видавництво Дніпропетровського національного університету, 2007. – 452 с. – С. 279 – 280.

8. Пожуєв В. І., Безверха М. А. Розповсюдження пружних хвиль в тілах з неоднорідною структурою // XII Науково-технічна конференція викладачів та студентів ЗДІА. Тези доповідей. Частина I. Секції «Металургії» та «Інформаційних технологій». – Запоріжжя: Видавництво Запорізької державної інженерної академії, 2007. _С. 87 _88.

9. Пожуєв В. І., Безверха М. А. Розповсюдження в’язкопружних хвиль в тілах з неоднорідною структурою // 11 Міждержавна науково-методична конференція «Проблеми математичного моделювання». Тези доповідей. Секція 2 «Математичні моделі». – Дніпродзержинськ: Видавництво Дніпродзержинського державного технічного університету, 2007. _С. 122 _123.

АНОТАЦІЯ

Безверха М.А. Розвиток чисельних методів для дослідження нестаціонарних процесів у пружних тілах. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. _Запорізький національний технічний університет, Запоріжжя, 2008.

Дисертаційна робота присвячена розвитку чисельно-аналітичних методів для дослідження деформування пружних і в’язкопружних кусково-однорідних шаруватих тіл при динамічних навантаженнях.

Запропонований підхід базується на застосуванні інтегральних перетворень Фур’є й Лапласа. Обернення перетворення Лапласа виконано із застосуванням теорії лишків. При цьому для пошуку полюсів підінтегральної функції у комплексній площині застосовано інтегральну теорему Коші у сполученні з чисельним методом Ньютона. Метод Файлона використано для обернення перетворень Фур’є. При розв’язанні нестаціонарних задач для багатошарових просторових тіл з в’язкопружними властивостями застосовано скінченно-різницеву апроксимацію для похідних по часовій змінній та по одній координаті. По двом іншим координатам застосовано перетворення Фур’є з чисельним оберненням за допомогою швидкого перетворення Фур’є. Розроблено комплекс програм, що реалізує запропоновані методики, дозволяє формувати різні нестаціонарні задачі здійснювати візуалізацію отриманих результатів.

На основі запропонованих підходів досліджено процеси розповсюдження нестаціонарних збурень, що виникають під дією миттєво прикладених постійно діючих та ударних навантажень. Досліджено закономірності зміни у часі напружень та переміщень, у тому числі, на границях шарів з різними фізичними властивостями та при відбитті фронтів збурень від вільних та нерухомих границь. Вивчено вплив реологічних властивостей матеріалу шарів на розвиток динамічних процесів.

Ключові слова: нестаціонарні збурення, багатошарові тіла, теорія пружності, в’язкопружність, чисельні методи, теорія лишків, переміщення точок тіла, напруження.

АНОТАЦИЯ

Безверхая М.А. Развитие численных методов для исследования нестационарных процессов в упругих телах. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. _Запорожский национальный технический университет, Запорожье, 2008.

Диссертационная работа посвящена развитию численно-аналитических методов для решения нестационарных задач о распространении возмущений в упругих и вязкоупругих кусочно-однородных слоистых телах.

Предложенный подход включает применение интегральных преобразований Фурье по пространственным координатам и преобразование Лапласа по временной переменной с последующим обращением решений, полученных в пространстве изображений, с применением теории вычетов для обращения преобразования Лапласа и метода Файлона для численного обращения преобразований Фурье. При этом, для поиска полюсов подынтегральной функции на комплексной плоскости применена интегральная теорема Коши в сочетании с численным методом Ньютона. Для многослойных трехмерных тел, обладающих вязкоупругими свойствами, при решении уравнений движения применялась конечно-разностная аппроксимация производных по временной переменной, а также по координате перпендикулярной к поверхности слоев; по двум другим координатам применялись интегральные преобразования Фурье, для численного обращения которых, использованы быстрое преобразование Фурье. Создан комплекс программ, реализующий предложенную методику. Он позволяет формировать различные нестационарные задачи и осуществлять визуализацию полученных результатов в виде графиков и анимации.

На основе предложенных подходов исследованы процессы распространения нестационарных возмущений в упругих и вязкоупругих слоистых телах от действия мгновенно приложенных и ударных нагрузок. Полученные в пространстве изображений соотношения между напряжениями и перемещениями на поверхности упругого слоя и упругого полупространства позволили построить функции влияния нагрузки, действующей на поверхности, на перемещения. Такой подход позволил, в частности, решить задачу о нестационарном движении пластины, лежащей на упругой полуплоскости, под действием внезапно приложенной нагрузки на части ее свободной поверхности. Кроме слоистых тел с плоскими границами слоев, рассмотрены тела, и решены задачи о движении многослойных цилиндрических и сферических тел под действием нестационарных возмущений. Исследованы закономерности изменения во времени напряжений и перемещений, в том числе, на границах слоев с разными физическими свойствами и при отражении фронтов возмущений от свободных и неподвижных границ, а также изучено влияние реологических свойств материала слоев на развитие динамических процессов в указанных телах. В частности, решены задачи о распространении нестационарных возмущений в трехслойных телах с упругими наружными слоями и вязкоупругим средним слоем. Сравнение этих решений с решениями аналогичных задач с упругим средним слоем позволило определить условия, при которых влияние вязкоупругости наиболее заметно.

Ключевые слова: нестационарные возмущения, многослойные тела, теория упругости, вязкоупругость, численные методы, теория вычетов, перемещения точек тела, напряжения

SUMMARY

Bezverkha M.A. The Numerical Methods Development For The Research Of Non-stationary Processes In Elastic Solids. – Manuscript.

Thesis for the scientific degree of Candidate of Technical Science by Specialty 01.02.04 – mechanics of deformable solids. – Zaporizhzhya National Technical University, Zaporizhzhya, 2008.

The dissertation presents a development of numerical and analytical methods for researching deformation of elastic and viscoelastic piecewise-homogeneous layered solids exposed to dynamic loads.

The proposed approach is based on Fourier and Laplace transforms. Inverse Laplace transform is found using residue theory. Finding complex integrands incorporates Cauchy integral theorem in combination with Newton’s numerical method. The Filon’s method is applied for finding inverse Fourier transform. Finite-difference approximation for derivatives with respect to time and one spatial coordinate is used for solving dynamic problems for multilayered bodies with viscoelastic properties. For two other coordinates the Fourier transform is applied. The inverse Fourier transform is found by using the fast Fourier transform.

Based on the proposed approach, non-stationary perturbation propagation processes occurring under the influence of suddenly applied load and impact stress have been researched. The principles of stress changes and point displacements by time have been investigated, including the changes on the boundaries of layers having different physical properties and changes during reflection of perturbation fronts from fixed borders. The influence of rheological material properties on the flow of dynamic processes has been studied.

Key words: non-stationary excited mode, sandwiched solids, elasticity theory, viscoelasticity, numerical methods, calculus of residues, stress, point displacements of a solid.