ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

________________________________________________________________________________

ЩЕРБИНА Ірина Володимирівна

УДК 539.3

ЗАСТОСУВАННЯ АСИМПТОТИЧНОГО МЕТОДУ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЇ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ ОРТОТРОПНИХ СЕРЕДОВИЩ

01.02.04-механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дніпропетровськ - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі вищої математики Національної металургійної академії України.

Науковий керівник – доктор фізико- математичних наук, професор

Кагадій Тетяна Станіславовна,

Національний гірничий університет,

професор кафедри вищої математики

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Проценко Володимир Сидорович,

Національний аерокосмічний університет

ім. М.Є. Жуковського “ХАІ”,

професор кафедри вищої математики.

доктор фізико-математичних наук, професор

Лобода Володимир Васильович, завідувач кафедри

теоретичної і прикладної механіки Дніпропетровського

національного університету.

Захист відбудеться “ 23 ” травня 2008 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, , корпус , ауд. .

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці ДНУ за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою:

49010, м. Дніпропетровськ, пр. Гагаріна, 72, Дніпропетровський національний університет, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради Д .051.10.

Автореферат розісланий “ 19 ” квітня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук, професор Дзюба А.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ.

Актуальність теми. Передача зусиль та навантажень від одних деталей до других відбувається при їх взаємному дотиканні. Тому проблеми контактної взаємодії мають особливе значення для машинобудування та будівництва, гірничої справи та медицини. Вони визначають процеси зносу, міцності, руйнування, довговічності конструкцій та споруджень. У зв’язку з цим виникає потреба в розробці достатньо надійних методів розрахунку контактної взаємодії, а також дослідженні на їх основі важливих практичних контактних задач. Аналітичні розв’язки дозволяють проаналізувати поведінку функцій в особливих точках, спрогнозувати подальшу поведінку матеріалу або конструкції. Вирішенню деяких проблем у цій області і присвячена дана дисертаційна робота.

Таким чином, актуальність теми даної дисертаційної роботи обумовлена об'єктивною необхідністю отримання |здобуття| аналітичних розв’язків нових контактних задач теорії пружності.

Зв'язок роботи з|із| науковими програмами, планами, темами. Проведені в дисертаційній роботі дослідження зв’язані з фундаментальною науково-дослідною роботою, що фінансувалась Міністерством освіти і науки України: Г109F10003 “Методи збурень|збурення| в теорії пружності нелінійних анізотропних матеріалів” (№ держреєстрації 0106U003227); Г109F10006 “Розробка методів та розв’язання нових задач про передачу навантаження тілам скінчених розмірів” (№ держреєстрації 0106U002211). Частина результатів використана в звітах НДР.

Мета і задачі |задача| дослідження. Метою дисертації є дослідження напружено-деформованого стану прямокутної упругої пластини, яка знаходиться під впливом жорсткого штампу з плоскою основою. Розглядаються різні випадки навантаження штампу. В зоні контакту враховується тертя або тертя та зчеплення.

Для досягнення цієї мети необхідно було отримати аналітичні розв’язки нових складних контактних задач.

Об’єктом дослідження виступає напружений стан ортотропної напівсмуги або прямокутника, які знаходяться під впливом жорсткого штампу.

Предметом дослідження є розробка підходів до аналітичного розв’язання контактних задач теорії пружності.

Методи дослідження. В роботі використано метод малого параметру, запропонований в роботах Л.І. Маневича та А.В. Павленка, який дозволив розкласти напружено-деформований стан пластини на дві складові з різноманітними властивостями. Розв’язання крайової задачі зводиться до послідовного дослідження задач теорії потенціалу. Отримані аналітичні вирази для основних функцій, що характеризують напружено-деформований стан системи контактуючих тіл. Проведені можливі граничні переходи, розглянуто поведінку функцій в околі особливих точок.

Наукова новизна одержаних результатів. Вперше отримано аналітичні розв’язки |такий| нових складних задач:

-задачі|задача| про втискання жорсткого прямокутного штампу з |із| плоскою основою|основа,заснування| у вільну грань пружної ортотропної напівсмуги з урахуванням |з врахуванням| сил тертя;

-задачі|задача| про втискання жорсткого прямокутного штампу з плоскою основою у вільну грань пружної ортотропної напівсмуги з |із| тертям і зчепленням;

-задачі про втискання жорсткого прямокутного штампу з |із| плоскою основою|основа,заснування| у вільну грань пружного ортотропного прямокутника з урахуванням |з врахуванням| |з врахуванням| сил тертя;

-задачі|задача| про втискання жорсткого прямокутного штампу з |із| плоскою основою|основа,заснування| у вільну грань пружного ортотропного прямокутника з |із| тертям і зчепленням;

-задачі Мелана для ортотропного прямокутника.

Достовірність отриманих результатів і висновків

| забезпечується використанням коректних підходів математичної теорії пружності, методів теорії функцій комплексної і дійсної змінної, апробованих асимптотичних методів. Вірогідність отриманих результатів підтверджується порівнянням з |із| відомими аналітичними розв’язками |розв'язання,вирішення,розв'язування|, можливими граничними переходами.

Теоретичне і практичне значення одержаних результатів полягає в отриманні|здобуття| аналітичних розв’язків ряду |розв'язання,вирішення,розв'язування|ряду |лава,низка| контактних задач |задача| математичної теорії пружності. Застосування |вживання| методу збурень |збурення| в цих задачах дозволяє перейти від складних змішаних крайових задач механіки до послідовного розв’язування задач теорії потенціалу, яка зараз є |з'являтися,являтися| однією з найбільш вивчених областей математичної фізики. Проведений аналіз може бути використаний для оцінки напружено-деформованого стану конструкцій з|із| підсиленнями, накладками.

Результати дисертаційної роботи використовуються при читанні лекцій із спеціальних розділів вищої математики для аспірантів, студентів старших курсів на механіко-машинобудівному факультеті Національної металургійної академії України, при виконанні студентами курсових і дипломних робіт, при розробці НДР на кафедрах вищої математики, теоретичної механіки, опору матеріалів.

Апробація результатів дисертації. Окремі результати, які містяться |утримуватися| в роботі, доповідались |доповідалися| і обговорювалися на міжнародних конференціях: Всеукраїська наукова конференція “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпропетровськ, 2004, 2005, 2006), “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк, 2005, 2006), Українсько-польський семінар з проблем матеріалів і конструкцій (Дніпропетровськ, Варшава, 2004, 2005, 2006). Повністю робота обговорювалася на семінарах Національної металургійної академії України (Дніпропетровськ, кер. проф. Павленко А.В., 2006 р., 2007 р.), Дніпропетровського Національного університету (Дніпропетровськ, кер. проф. Лобода В.В. 2007 р.)

Публікації та особистий внесок здобувача.

Основні наукові результати дисертації опубліковано в 13 наукових роботах [1-13], з них 4 статті в наукових виданнях, затверджених ВАК України, як фахові з механіки деформівного твердого тіла [1-4], 3 статті в наукових збірниках статей [5-7] , 6 тез і матеріалів конференцій. Основні результати роботи отримані автором самостійно. В роботах [1-3, 5-11] співавторам А.В. Павленко та Т.С. Кагадій належить участь у постановці задач та виборі методів дослідження. В роботах [7,12] співавтору О.В. Біловій належить участь в обговоренні результатів. В роботах [13] співавтору Т.С. Кагадій належить участь у постановці задачі. Особисто автору належать розв’язки усіх включених до дисертації задач, чисельні результати та висновки.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаної літератури, який містить 187 джерел. Загальний о’бєм дисертації складає 157 сторінок, у роботі 4 таблиці та 11 малюнків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, сформульовано мету роботи та основні наукові результати, що виносяться на захист, зазначений зв’язок роботи з науковими програмами, планами; охарактеризована наукова новизна, практичне значення отриманих результатів і особистий внесок автора.

В першому розділі дається коротка довідка з історії розвитку методів розв’язання контактних задач теорії пружності, зокрема асимптотичних. Методи великих (а потім і малих) параметрів знайшли широке застосування|вживання| в теорії пружності. Успішні результати були отримані Й.І. Воровичем, В.М. Александровим, О.М. Гузем, О.С. Космодаміанським, С.Г. Лехніцьким, Ю.М. Немішем, Г.Я. Поповим і іншими дослідниками. Наводиться |призводиться,наводиться| огляд отриманих в цій області результатів.

Викладено основи асимптотичного методу, розробленого Л.І. Маневи-чем і А.В. Павленко, за допомогою якого розв’язано |розв'язання,вирішення,розв'язування| |розв'язані| запропоновані в роботі задачі. |з Передбачається|припускатися|, що матеріал є |з'являтися,являтися| ортотропним, головні напрямки|направлення| анізотропії співпадають з |збігатися| |із| декартовими координатами . Співвідношення між деформаціями і напруженнями|напруження| в цьому випадку можуть бути записані таким чином:

(1)

Компоненти тензора деформацій через проекції, вектора переміщень мають вигляд

(2)

Тут модулі пружності уздовж|вздовж,уподовж| головних напрямків |направлення| коефіцієнти Пуассона, - модуль зсуву|зсув|, нормальні напруження|напруження|, дотичні напруження|напруження|; індекси і означають диференціювання по відповідних координатах.

При зроблених припущеннях|гадка| питання про напружено-деформований стан ортотропного тіла зводиться до інтегрування рівнянь рівноваги у переміщеннях

(3)

або

(4)

де

Відношення |ставлення| модулів пружності в реальних конструкціях можуть бути найрізноманітнішими. Зупинимося |зупинятися| детально на випадку (аналіз інших випадків проводиться аналогічно). Як малий параметр розглядатимемо |розглядувати| величину . Формальний граничний перехід при веде |призводити,наводити| |призводити,наводити| до найпрстішої розрахункової схеми перехрещених стержнів|стержень|, що працюють на розтяг-стискання|стискування|. При цьому фактично нав'язується певна поведінка розв’язків |розв'язання,вирішення,розв'язування|, а саме - компоненти вектора переміщень мають один і той же порядок|лад| по , а диференціювання по координатах не веде |призводити,наводити| до змін цього порядку|лад|.

Щоб врахувати можливі співвідношення між компонентами вектора переміщень і швидкостями їх зміни за координатами, введемо|запровадимо| аффінні перетворення координат і шуканих функцій:

(5)

(6)

З|із| (5), (6) маємо|показно|, що розв’язки |розв'язання,вирішення,розв'язування| системи, які отримано з (3) після введення перетворень (5) відносно повільніше змінюються вздовж координати , в порівнянні з аналогічними розв’язками |розв'язання,вирішення,розв'язування| системи, які отримано після застосування перетворень (6). Компоненти вектора переміщень знаходяться |уявляти| у вигляді суперпозиції розв’язків |розв'язання,вирішення,розв'язування| |розв'язання,вирішення,розв'язування| обох типів, а функції, шукатимемо у вигляді рядів |лава,низка| по дробових ступенях| параметру .

(7)

Коефіцієнти і також мають|уявимо| вигляд рядів|лава,низка| по параметру:

Після |потім| застосуванняи перетворень (4), (5) до системи рівнянь (4), система (4) розщеплюється на дві складові з |із| різноманітними властивостями:

(8)

(9)

Коефіцієнти і визначаються таким чином, що функції і знаходяться з|із| рівнянь Лапласа, в кожному наближенні, а функції і виражаються|виказуються,висловлюються| через функції і простим інтегруванням. У напружено-деформованому стані першого типу вирішальну|ухвальний| роль грають компонента переміщень, відповідне нормальне напруження|напруження| і компонента дотичного напруження |напруження|, яка виражається|виказується,висловлюється| через переміщення. Основними складовими напружено-деформованому|деформованого| стану другого типу є |з'являтися,являтися| переміщення, відповідне нормальне напруження|напруження| і компонента дотичного напруження|напруження|, яка виражається|виказується,висловлюється| через.

Загальне |цілковитий| дотичне напруження|напруження| представляється у вигляді суми складових

Напружено-деформовані стани першого і другого типів зв'язані тільки|лише| через граничні умови по дотичним напруженням|напруження|. Оскільки|тому що| функції визначаються з|із| рівнянь Лапласа, то ефективність методу залежить від того, чи вдасться сформулювати відповідні граничні умови для знаходження цих функцій.

Це дійсно можна зробити, отже, крайові задачи теорії пружності можна звести до послідовного розв’язування крайових|крайовий| задач теорії потенціалу.

У другому розділі поставлені і розв’язані задачі |розв'язані| |задача| про втискування жорсткого прямокутного штампу з |із| плоскою основою у вільні грані ортотропних напівсмуги і прямокутника. Пружна напівсмуга (прямокутник) закріплені по подовжніх крайках . Під дією центральної сили штамп переміщається поступально паралельно осі . Крім того, на штамп діє зсувуюча|зсовуюча| сила . Між штампом і напівполосою (прямокутником) враховується сила тертя, яка діє за законом Кулона. Розглядається |розглядується| стан граничної рівноваги штампу.

Потрібно визначити закон розподілу напружень |напруження| під штампом і в напівсмузі (прямокутнику). Поставлена задача зводиться до інтегрування рівнянь (3), за слідуючих |слідуючий| граничних умов:

для напісмуги

(10)

для прямокутника

(11)

Після розщеплювання системи (3) на дві складові та введення нових незалежних безрозмірних змінних; визначення напружено-деформованого стану першого типу в кожному наближенні зводиться до розв’язання|розв'язання,вирішення,розв'язування| системи рівнянь

(12)

Визначення напружено-деформованого стану другого типу в кожному наближенні зводиться до розв’язання |розв'язання,вирішення,розв'язування| системи рівнянь

(13)

за відповідних граничних умов. У нульовому наближенні задача зводиться до визначення аналітичної в напівсмузі (прямокутнику) функції, яка задовольняє системі рівнянь (12) за |таких| граничних умов

(14)

де

Ця задача |задача| розв’язується|розв'язуватися| відображенням напівсмуги з площини||плоскість| у верхню напівплощину|плоскість| зображень . Таке відображення можна виконати, користуючись перетвореннями Шварца-Крістоффеля, причому постійні визначатимемо так, щоб при . Функція відображень має вигляд|вид|

(15)

При знаходженні функції використовується формула Келдиша-Седова, після чого формулюються граничні умови для визначення функції. Нев'язність по дотичному напруженню|напруження|, що виходить при|потім| визначенні напружено-деформованого стану першого типу знімається після|потім| визначення напруженого стану другого типу|деформується| в нульовому наближенні. Напружено-деформований стан другого типу (типу межевого шару) визначається при розв’язуванні задачі Неймана

(16)

Ця задача |задача| також розв’язується|розв'язуватися| за допомогою конформного відображення.

Після розв’язування задачі граничні умови під штампом по дотичному напруженню |напруження| задовольняються, з’являється|та| |появлятися| нев'язність по нормальному напруженню|напруження| зовні|зовні| штампу, яка знімається при визначенні напружено-деформованого |деформованого| стану першого типу в першому наближенні.

Визначення напружено-деформованого |деформованого| стану першого типу в першому наближенні зводиться до інтегрування рівняння (12) для функції за наступних|слідуючий| умов:

(17)

Задача|задача| розв’язується|розв'язуватися| аналогічно описаному вище для нульового наближення. Після|потім| двох наближень розподіл нормального напруження|напруження| під штампом для напівполоси і прямокутника має однаковий вигляд|вид|

(18)

де.

При отримуємо |одержувати| розв’язок відповідної задачі для напівплощини|плоскість|. Вплив подовжніх кромок напівсмуги і прямокутника враховується коефіцієнтом і величиною, які різні для кожної поставленої задачи|задача|.

Зокрема

для напівсмуги

повний|цілковитий| еліптичний інтеграл першого роду,

для прямокутника

повний|цілковитий| еліптичний інтеграл першого роду

залежить від безрозмірної висоти прямокутника :

Особливість напружень|напруження|, яка міститься в (18) в кутових точках штампу, |з врахуванням| така ж сама, як і для напівплощини |плоскість| і є розкладанням в ряд | | по параметру точної особливості. Для гладкого штампу особливість співпадає |збігатися| з|із| точною.

Одержано|одержані| граничні переходи від прямокутника до напівсмуги, від напівсмуги до напівплощини. Розподіл нормального напруження |напруження| під штампом для напівсмуги, напівплощини та прямокутника схематично показаний на рис. 1.

На рис. 2 показано розподіл напруження для різних значень ширини напівсмуги.

В таблиці 1 наведено значення нормального напруження під штампом при в залежності від розмірів прямокутника.

Рис. 1. Рис. 2.

Таблиця 1

У третьому розділі сформульовані і |розв'язані| узагальнені задачі|задача| Л.А. Галіна для ортотропних напівсмуги та прямокутника. Розглянуто задачі | |задача| про втискування жорсткого прямокутного штампу з|із| плоскою основою|основа,заснування| ширини у вільну грань пружних напівсмуги (прямокутника). Під дією центральної сили штамп рухається |сунеться| поступально паралельно осі . Припускається|Припускається|, що в області контакту існують дві ділянки ковзання, що примикають до кінцевих точок області контакту і ділянка зчеплення, розташована|схильний| між ними. У зонах ковзання зрушуючі |зсовуючі| зусилля направлені|спрямований| в протилежні сторони. Граничні точки ділянки зчеплення (які заздалегідь|заздалегідь| невідомі і підлягають визначенню в ході розв’язування задачи|задача|) розташовані симетрично щодо |відносно| осі. Напруження |напруження| в цих точках є неперервними. Протилежна дії штампу грань прямокутника залишається вільною. Напівсмуга (прямокутник) є пластиною товщини, що працює в умовах узагальненого плоского напруженого стану.

Потрібно визначити закон розподілу напружень |напруження| під штампом і розміри ділянки зчеплення. Ця задача|задача| зводиться до інтегрування рівнянь рівноваги напівсмуги (прямокутника) в переміщеннях (3) за наступних граничних умов

для напівсмуги і для прямокутника :

на вільних ділянках межі

на ділянках контакту

на ділянках ковзання

на ділянках зчеплення

(21)

на вертикальних кромках

Крім того для прямокутника:

де кінцеві точки ділянки зчеплення при. Крім того, повинна бути виконана умова рівноваги штампу.

За допомогою асимптотичного методу крайова задача (3), (21) як і раніше розщеплюється на два стани. Розв’язування задач здійснюється по викладеному вище алгоритму. Отримано такі |такий| результати.

Залежність між розмірами ділянки зчеплення, коефіцієнтом тертя і жорсткостними характеристиками матеріалу має вигляд

|вид|

(22)

де є неповним еліптичним інтегралом першого роду, причому визначається рівністю

При, , інтеграл стає повним |цілковитий| еліптичним інтегралом першого роду, а рівність (22) переходить в аналогічну рівність для напівплощини |плоскіст

(23)

Крім того величину ділянки зчеплення можна визначити за формулою:

де

Відзначимо, що якщо коефіцієнт тертя, тобто ділянка зчеплення зникає. Із зростанням ділянка зчеплення зростає. Ділянка зчеплення залежить також і від величини, тобто від жорсткостних характеристик матеріалу напівсмуги. Причому із |із| зменшенням цієї величини ділянка зчеплення збільшується. Вказані закономірності виходять з табл. 2, 3 де показано значення залежно від для двох значень (табл. 2) і залежно від при (табл. 3).

При кінцевих, але чималих значеннях (т.е. значній ширині напівсмуги) можна використовувати розміри, знайдені з |із| (23). Якщо величина близька |поблизу| до одиниці, то або коефіцієнт тертя близький до нуля, або наближається |поблизу| до одиниці.

Таблиця 2

Таблиця 3

Рис.3. Рис.4.

На рис.3 показано|уявлена| залежність розміру ділянки зчеплення від параметра, причому криві відповідають слідуючим |слідуючий| значенням безрозмірної ширини напівсмуги : 1.02; 1.1; 1.4; 3; 100(знизу-вгору).

На рис. 4 представлено |уявлена| залежність розміру ділянки зчеплення від ширини напівсмуги при. Вертикальна лінія відповідає значенню , тобто |цебто| для напівплощини |плоскість|, що співпадає з результатами, отриманими|одержаними| Л.А.Галіним.

У четвертому розділі сформульовано і розв’язано задачу |задача| Мелана для ортотропного пружного прямокутника

() закріпленого по кромках , дві інші залишаються вільними. В середині вільних кромок уздовж осі пластина посилена стрингером, який принагружен подовжньою силою . Крім того припускається|припускатися|, що стрингер схильний до дії деякого навантаження, яке пропорційно його зсуву |зміщення|, з |із| коефіцієнтом пропорційності . Матеріал прямокутника є |з'являтися,являти ортотропним, головні осі анізотропії співпадають з декартовими координатами. Потрібно визначити закони зміни зусиль в стрингері і розподіли напружень |напруження| в пластині.

Поставлена задача |задача| зводиться до інтегрування рівнянь рівноваги прямокутника в переміщеннях (3) за наступних граничних умов:

причому переміщення стрингера задовольняють співвідношенням

(24)

(25)

де - жорсткість на розтягування, стиснення стрингера, - зусилля в стрингері.

При тому контактне зусилля взаємодії між стрингером і прямокутником визначається за формулою

(26)

Надалі з |із| умов симетрії щодо|відносно| осі Ох розглядається тільки|лише| область .

Після|потім| розщеплення системи на дві складові, розв’язок задачі визначається за допомогою перетворень Фурье.

На рис.5 показано|уявлена| зміну зусиль в стрингері, на рис.6 представлено|уявлений| розподіл дотичного напруження|напруження| при для різних значень коефіцієнта .

Рис.5 Рис. 6.

Розподіл зусиль в стрингері Розподіл дотичних напружень|напруження|

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ.

1. Представлено аналітичні розв’язки нових контактних задач теорії пружності. Для дослідження застосовано аналітичний метод, який дозволяє звести розв’язки крайових |крайовий| задач теорії пружності до послідовного розв’язання крайових|крайовий| задач теорії потенціалу.

2. Отримані|одержані| аналітичні розв’язки контактних задач з|із| тертям для ортотропних напівполоси і прямокутника. Досліджена залежність отриманих напружень |напруженняь від величини ширини напівсмуги, або від розмірів прямокутника. У задачах|задача| проведено граничні переходи від прямокутника до напівсмуги, від напівсмуги до напівплощини |плоскість| і проведені порівняння з|із| деякими результатами інших авторів.

3. Розв’язано задачу||задача| про взаємодію твердого прямокутного штампу з|із| ортотропною напівсмугою з врахуванням тертя та зчеплення. Знайдено розміри ділянки зчеплення. Проаналізована залежність розмірів ділянки зчеплення від величини коефіцієнта тертя . Досліджена залежність розмірів ділянки зчеплення від жорсткісних характеристик матеріалу при постійному значенні . Показано залежність розмірів ділянки зчеплення від відносної ширини напівсмуги.

4. Розв’язано задачу Л.А. Галіна про втискання жорсткого прямокутного штампу у вільну грань ортотропного прямокутника.

5. Досліджена особливість напружень|напруження|, яку отримано |одержана| в кутових точках штампу для напівсмуги і прямокутника. Проведені порівняння цієї особливості з |із| аналогічними дослідженнями Л.А. Галіна у контактній задачі|задача| для напівплощини|плоскість|.

6. Отримано |одержано| розв’язок задачі Мелана для ортотропного прямокутника. Побудовано|споруджені| розподіл напружень |напруження| при різних значеннях коефіцієнта пропорційності навантаження на стрингер. Знайдено |одержаний| розподіл зусиль в стрингері.

7. Чисельні результати, та побудова графиків отримани за допомогою стандартних програм MATHCAD, MAPLE.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Павленко А.В., Щербина И.В., Кагадий Т.С. Контактная задача для ортотропного прямоугольника с учётом трения и сцепления// Вісник Дніпропетровського університету: Механіка –Д., Вид-во ДНУ.-2004- Вип. 6. Т. 2. С. 177-184.

2. Кагадий Т.С., Павленко А.В., Щербина И.В. К вопросу о передаче нагрузки от подкрепляющего элемента к двуслойной пластине// Теоретическая и прикладная механика. Донецк. -2005. Вып. 41. С. 20-25.

3. Кагадий Т.С., Павленко А.В., Щербина И.В. Напряженно-деформированнне состояние волокнистого композита с трещиной// Теоретическая и прикладная механика. Донецк.-2005. Вып. 40. С. 40-48.

4. Щербина И.В. Взаимодействие жесткого штампа с ортотропной полуполосой// Вісник Донецького ун-та: Природничі науки -2006.-Т. 2. С. 114-119.

5. Павленко А., Кагадий Т., Щербина И. Контактная задача для ортотропной полуполосы// Theoretical Foundations of Civil Engineering – XIІ. Warsaw -2004, pp.789-794.

6. Кагадий Т., Павленко А., Щербина И. Передача нагрузки от стержня к ортотропной матрице со смешанными условиями на кромке// Theoretical Foundations of Civil Engineering – XIІІ. Warsaw -2005, pp.145-150.

7. Павленко А., Кагадий Т., Щербина И., Белова О. Ортотропная полуполоса под действием жесткого штампа// Theoretical Foundations of Civil Engineering – XIV. Warsaw -2006, pp. 653-660.

8. Щербина И.В., Кагадий Т.С., Павленко А.В. Асимптотический метод в контактной задаче для ортотропной полуполосы с учётом трения// Математичні проблеми технічної механіки. Дн-вськ -2004. С. 39.

9. Павленко А.В., Кагадий Т.С., Щербина И.В. Решение задачи Галина для ортотропного прямоугольника// Математичні проблеми технічної механіки. Дн-вськ-2005, С. 34.

10. Павленко А.В., Щербина И.В., Кагадий Т.С. Асимптотический метод в контактных задачах теории упругости// Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела. Материалы IV Международной научной конференции. Донецк. -2006.- С. 115-118.

11. Щербина И.В., Кагадий Т.С., Павленко А.В. Ортотропный прямоугольник под действием жесткого штампа// Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела. Материалы IV Международной научной конференции. Донецк. -2006.- С. 160-162.

12. Щербина И.В., Белова О.В. Решение задачи для пластины с трещиной// Математичні проблеми технічної механіки. Дн-вськ-2006, С. 116-117.

13. Кагадий Т.С., Щербина И.В. Некоторые задачи для конечных анизотропных тел с учетом трения// Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій. Тези доповідей міжнародної науково-технічої конференції пам’яті академіка НАН України В.І. Мосса-ковського.-2007.- С.43.

АНОТАЦІЯ

Щербина І.В. Застосування асимптотичного методу до розв’язання контактних задач плоскої теорії пружності для ортотропних середовищ. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 -механіка деформівного твердого тіла. - Національна металургійна академія України, Дніпропетровськ, 2008.

Дисертаційну роботу присвячено розв’язанню нових контактних задач теоріі пружності для ортотропних напівскінчених тіл та тіл скінчених розмірів.

Для дослідження напружено-деформованого стану прямокутної упругої пластини, яка знаходиться під впливом жорсткого штампу з плоскою основою використано метод малого параметру, запропонований в роботах Л.І. Маневича та А.В. Павленка. Цей асимптотичний метод дозволив розкласти напружено-деформований стан пластини на дві складові з різноманітними властивостями. Розв’язання крайової задачі теорії пружності зводиться до послідовного розв’язання задач теорії потенціалу. Отримані аналітичні вирази для основних функцій, що характеризують напружено-деформований стан системи контактуючих тіл.

Отримано розв’язки контактних задач про втискування твердого прямокутного штампу з |із| плоскою основою |основа,заснування| у вільні грані ортотропних напівполоси і прямокутника з урахуванням тертя або тертя та зчеплення. Розв’язано задачу Мелана для ортотропного прямокутника.

Ключові слова: асимптотичний метод, ортотропні напівсмуга і прямокутник, контактна задача, жорсткий штамп, рівняння Лапласу, ділянки ковзання, ділянка зчеплення.

АННОТАЦИЯ

Щербина И.В. Применение асимптотического метода к решению контактных задач плоской теории упругости для ортотропных сред. - Рукопись.

Диссертация на соискаие научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04-механика деформируемого твердого тела.- Национальная металлургическая академия Украины, Днепропетровск, 2008.

Диссертационная работа посвящена решению новых статических контактных задач плоской теории упругости для ортотропных конечных и полубесконечных тел.

Проведено исследование напряженно-деформированного состояния|стан,состояние| прямоугольной упругой пластины, которая|какой| находится под воздействием жесткого штампа с плоским основанием. |осРассматриваются различные |различный| случаи нагружения штампа. В зоне контакта учитывается трение или трение и сцепление. В работе использован метод малого параметра, предложенный в работах Л.И. Маневича и А.В. Павленко, который позволил разложить напряженно-деформированное состояние пластины на две составляющие с |различный| различными свойствами. Решение краевых задач теории упругости сводится к последовательному решению задач теории потенциала. Получены аналитические выражения для основных функций, характеризующие напряженно-деформированное состояние|стан| системы контактирующих тел.

Решены контактные задачи о вдавливании жесткого прямоугольного штампа с плоским основанием в свободную грань упругого ортотропного прямоугольника (полуполосы). Исследована зависимость полученных напряжений от величины ширины полуполосы, или от размеров прямоугольника. В задачах проведены предельные переходы от прямоугольника к полуполосе, от полуполосы к полуплоскости и проведены сравнения с некоторыми результатами других авторов.

Получены решения задач о взаимодействии жесткого прямоугольного штампа с ортотропными полуполосой и прямоугольником с учетом трения и сцепления. Найдены размеры участка сцепления. Проанализирована зависимость размеров участка сцепления от величины коэффициента трения и от жесткостных характеристик материала при постоянном значении . Исследована зависимость размеров участка сцепления от относительной ширины полуполосы.

Исследована особенность напряжений, полученная в угловых точках штампа для полуполосы и прямоугольника. Проведены сравнения данной особенности с аналогичными исследованиями Л.А.Галина в контактной задаче для полуплоскости.

Получено решение задачи Мелана для ортотропного прямоугольника. Построено распределение напряжений при различных значениях коэффициента пропоциональности нагрузки на стрингер. Получено распределение изменений усилий в стрингере.

Ключевые слова: асимптотический метод, контактная задача, ортотропные полуполоса и прямоугольник, жесткий штамп, уравнения Лапласа, участки скольжения, участок сцепления.

SUMMARY

Scherbina І.V. Application of asymptotic method to the decision of contact tasks of flat theory of resiliency for orthotropic environments. Manuscript.

Thesis on the degree of candidate of physical-mathematical sciences by speciality 01.02.04- mechanics of deformed solid. National metallurgical academy of Ukraine, Dnepropetrovsk, 2008.

The thesis is devoted to the solution of new contact tasks of theory of resiliency for orthotropic of semiendless bodies and bodies of eventual sizes.

Method of small parameter which is used in this work was offered by L.I. Manevich and A.V. Pavlenko. Tensely-deformed state of plate, which is under the action of hard stamp, is explored by this method. This asymptotic method allowed to decompose the tensely-deformed state of plate on two constituents with different properties.

The solution of edge tasks of theory of resiliency is presented as to the successive decision of edge tasks of the theory potential.

Analytical expressions for basic functions, characterizing tensely-deformed the state of the systems of contacting bodies are obtain.Contact tasks of pressing of hard rectangular stamp with flat foundation in the free verge of resilient orthotropic rectangle (semibars) taking into account a friction or friction and coupling are solved. Melan’s task for orthotropic rectangle is solved.

Key words: asymptotic method, contact task, orthotropic semibar and rectangle, hard stamp, sliding areas, coupling area.

Щербина Ірина Володимирівна

ЗАСТОСУВАННЯ АСИМПТОТИЧНОГО МЕТОДУ ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ КОНТАКТНИХ ЗАДАЧ ПЛОСКОЇ ТЕОРІЇ ПРУЖНОСТІ ДЛЯ ОРТОТРОПНИХ СЕРЕДОВИЩ

(Автореферат)

Підписано до друку 16.04.08. Формат 60Ч90 1/16. Папір друкарський.

Друк плоский. Times New Roman. Умовн..друк.арк.0.9.

Замовлення № 397. Тираж 100 примірників.

___________________________________________________________

Друкарня ДНУ, 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова, 5.