КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ЧУПОРДЯ Василь Анатолійович

УДК 512.544

МОДУЛІ З ОБМЕЖЕННЯМИ НА КОЦЕНТРАЛІЗАТОРИ НАД УЗАГАЛЬНЕНО РОЗВ’ЯЗНИМИ ГРУПАМИ

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико – математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі геометрії і алгебри Дніпропетровського національного університету.

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор

КУРДАЧЕНКО Леонід Андрійович,

Дніпропетровський національний університет,

м. Дніпропетровськ, завідувач кафедри геометрії і алгебри.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

КИРИЧЕНКО Володимир Васильович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, м. Київ, професор кафедри геометрії;

доктор фізико-математичних наук, професор

КУЗЕННИЙ Микола Феодосійович,

Інститут математики НАН України, м. Київ,

провідний науковий співробітник відділу алгебри.

Захист відбудеться „ 21 ” квітня 2008 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий „ 12 ” березня 2008 року.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради В. В. Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Модулі над груповими кільцями відіграють особливу роль в теорії модулів. Вони природно виникають з задач теорії груп. Якщо
G – група та А – її нормальна абелева підгрупа, то A природним чином можна зробити модулем над цілочисельним груповим кільцем Z(G/A). Ця обставина дає можливість задіяти потужний апарат теорії кілець та модулів до вивчення структури нормальних підгруп групи. Ефективність цього підходу була яскраво продемонстрована в теорії скінченних груп. Прогрес, що був отриманий у теорії скінченних груп, природно спонукав до пошуків можливостей застосувати аналогічний підхід і для нескінченних груп, які в тому або іншому сенсі близькі до скінченних груп, тобто для груп з умовами скінченності. Реалізація такого підходу для нескінченних груп почалась з робіт Ф. Холла Hall P. Finiteness conditions for soluble groups // Proc. London Math. Soc. – 1954. – Vol. 4. – P. 419 – 436., Hall P. On the finiteness of certain soluble groups // Proc.London Math. Soc. – 1959. – Vol. 9. – P. 595 – 632., Hall P. The Frattini subgroup of finitely generated groups // Proc. London Math. Soc. – 1961. – Vol. 11. – P. 327 – 352.. Результати цих робіт стимулювали подальший розвиток теорії групових кілець майже поліциклічних груп та модулів над ними. Визначальну роль у цих дослідженнях відіграв той факт, що групове кільце майже поліциклічної групи є нетеровим. Це дало можливість досить глибоко розвинути теорію групових кілець майже поліциклічних груп, а це вже і визначило подальший розвиток теорії модулів над цими груповими кільцями. Як показав подальший розвиток, ця ситуація виявилася винятковою. В усіх інших дослідженнях модулів над груповими кільцями властивості групових кілець не грали такої визначальної ролі. Наприклад, при розгляді розв’язних груп з умовою мінімальності для нормальних підгруп виникає потреба у вивченні артінових модулів над груповим кільцем ZH, де H – це черніковська група. Такі групові кільця не є артіновими, їх структура досі детально не вивчена. Артінові модулі над цілочисельним груповим кільцем черніковської групи були описані Б. Хартлі та
Д. Макдугалом Hartley B. and McDougal D. Injective modules and soluble groups satisfying the minimal condition for normal subgroups // Bull. Austral. Math. Soc. – 1971. – Vol 4, № 1. – P. 113 – 135.. Ця стаття була першою у цілому ряді статей, що створили дуже розвинену і багату теорію артінових модулів над груповими кільцями (див., книгу Kurdachenko L.A., Otal J., Subbotin I.Ya. Artinian modules over group rings. – Frontiers in Mathematics. – BIRKHДUSER: Basel. – 2007. – 248 p.). Вивчення модуля A над груповим кільцем RG має дві сторони. Перша: вивчення внутрішньої структури модуля A. Друга ( яка є важливою для теоретико – групових питань ): вивчення будови групи G/CG(A). Зокрема, якщо R = F є полем, то G/CG(A) вкладається в загальну лінійну групу GL (F, A) всіх автоморфізмів
F – векторного простору A. Якщо вимірність dimF(А) буде скінченною, то маємо змогу застосувати для вивчення будови фактор – групи G/CG(A) теорію матричних груп, яка є однією з найбільш розвинених алгебраїчних теорій. Однак, якщо dimF(А) є нескінченною, ситуація буде зовсім іншою. Вивчення нескінченно вимірних лінійних груп потребує суттєвих додаткових умов. Такими природними умовами є умови скінченності. Один з прикладів застосування умов скінченності до вивчення лінійних груп дає теорія фінітарних лінійних груп, яка розвивається досить інтенсивно і успішно ( див., наприклад, оглядову статтю Р. Філліпса Phillips R. Finitary linear groups: a survey, "Finite and locally finite groups" // NATO ASI ser. C 471. – Kluver: Dordrecht. – 1995. – P. 111 – 146. ). Тут умову скінченності накладають на коцентралізатори елементів групи. Нехай
R – кільце, G – група, A – модуль над груповим кільцем RG. Якщо M – деяка підмножина елементів групи G, то CA(M) є R – підмодулем A. Фактор – модуль A/CA(M) будемо називати коцентралізатором підмножини M в модулі A. Тоді фінітарну лінійну групу можна визначити як таку підгрупу G групи GL (F, A), що коцентралізатор кожного її елемента буде скінченно вимірним. З самого визначення видно, що фінітарні лінійні групи є лінійним аналогом FC – груп ( груп зі скінченними класами спряжених елементів ). Одним з перших важливих результатів теорії FC – груп є класична теорема Шура Schur I. Ьber die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen // J. Reine Angew. Math. –1904. – Vol. 127. – P. 20 - 50., яка стверджує, що зі скінченності фактор – групи G/(G) випливає скінченність комутанта [G, G]. Якщо R – кільце, G – група, A – модуль над груповим кільцем RG, то підмодуль CA(G) може розглядатися як аналог центра, а підмодуль A(RG) – як аналог комутанта ( тут через (RG) позначений фундаментальний ідеал кільця RG ). Тому фактор – модуль A/CA(G) будемо називати головним коцентралізатором модуля А, а підмодуль A(RG) – похідним підмодулем. У зв’язку з цим класичним результатом і проведеною вище паралеллю між теорією FC – груп та лінійними групами виникає наступне природне питання:

Нехай A – такий FG – модуль, що dimF(A/CA(G)) є скінченною. Чи буде скінченною dimF(A(FG))?

У загальному випадку відповідь є негативною. Тому приходимо до наступного варіанту питання:

Для яких груп G із скінченності dimF(A/CA(G)) завжди випливає скінченність dimF(A(FG))?

У роботі Kirichenko V.V., Kurdachenko L.A., Polyakov N.V. On certain finitary modules // Український математичний конгрес – 2001, Третя міжнародна алгебраїчна конференція в Україні. Алгебраїчні структури та їх застосування. Праці.– 2002. – P. 283 – 296. це питання було розглянуто для модулів над груповим кільцем FG, де F – поле. Але ж поле є досить специфічним частинним випадком кільця. Оскільки природним узагальненням скінченно вимірного простору при переході від поля до ( комутативного ) кільця будуть артінові та нетерові модулі, то приходимо до наступного природного питання:

Для яких кілець R та груп G з того факту, що головний коцентралізатор A/CA(G) модуля А над груповим кільцем RG є артіновим ( відповідно нетеровим ) R – модулем буде випливати, що і похідний підмодуль A(RG) також буде артіновим ( відповідно нетеровим ) R – модулем?

Розгляду даного питання присвячена значна частина даної дисертаційної роботи. Першим природним кроком тут є розгляд тих комутативних кілець R, які є досить близькими до кільця Z цілих чисел. Одним з таких класів кілець є дедекіндові області.

Інша частина роботи пов’язана з модульними аналогами іншого важливого результату теорії FC – груп, що мав дуже цікавий розвиток. Мова йде про теорему Б. Неймана Neumann B.H. Groups covered by permutable subsets // J. London Math. Soc. – 1954. –Vol. 29. – P. 236 – 248. відносно BFC – груп. Група G називається BFC – групою, якщо її класи спряжених елементів скінченні та їх порядки обмежені в сукупності деяким натуральним числом b. Б. Нейман довів, що комутант BFC – групи буде скінченним. В статті був розпочатий розгляд лінійних аналогів наведеної вище теореми Б. Неймана. Лінійна група G називається обмежено фінітарною, якщо існує таке натуральне число b, що dimF(A/CA(g)) b, для кожного елемента g G. Приклади показують, що аналог теореми Б. Неймана не є вірним для довільних обмежено фінітарних груп. Але при деяких природних обмеженнях в роботі такі аналоги були одержані. Точніше кажучи, була доведена скінченність dimF(A(FG)).

Приймаючи до уваги той факт, що артінові та нетерові модулі є природним розширенням скінченно вимірних векторних просторів, Б. Верфріц ввів в роботі Wehrfritz, B.A.F. Finite – finitary groups of automorphisms // Journal of Algebra and its Applications. – 2002. – Vol. 1, № 4. – P. 375 – 389. до розгляду наступні узагальнення фінітарних лінійних груп. Нехай R – кільце,
G – група та A – RG – модуль. Група G називається скінченно – фінітарною, якщо для кожного елемента g G його коцентралізатор в модулі A є скінченним. Група G називається артіново – фінітарною (відповідно нетерово – фінітарною ), якщо для кожного елемента g G його коцентралізатор в модулі A є артіновим
( відповідно нетеровим ) R – модулем. В роботах, Wehrfritz B.A.F. Finitary and artinian – finitary groups over the integers Z // Ukrain. Math. J. – 2002. – Vol. 54, № 6. – P. 753 – 763. Б. Верфріц почав розглядати ці модулі для першого природного випадку R = Z. Скінченно – фінітарні групи також можна розглядати як лінійний аналог FC – груп. Стосовно артіново – фінітарних
( відповідно нетерово – фінітарних ) модулів, то їх можна розглядати як лінійний аналог CC – груп або груп з черніковськими класами спряжених елементів, що були введені до розгляду Я.Д. Половицьким Половицкий Я.Д. Группы с экстремальными классами сопряженных элементов // Сиб. Матем. журнал. – 1964. –Т. 5. – С. 891 – 895. (відповідно PC – груп або груп з майже поліциклічними класами спряжених елементів, що були введені до розгляду в роботі Franciosi S., de Giovanni F. and Tomkinson M.J. Groups with polycyclic – by – finite conjugacy classes // Bolletino Unione Mat. Italiana – 1990. – Vol. 4B, № 7. – P. 35 – 55. ). В контексті розглянутого вище, приходимо наступним чином до понять обмежено артіново – фінітарних модулів. Нехай спочатку A – артіновий Z – модуль ( тобто його адитивна група є черніковською ); тоді A має наступні важливі числові інваріанти. Якщо D – ділима частина групи A, то D = K1 . . . Kd, де
Kj – квазіциклічна група ( або прюферова група ), 1 j d. Число d = ld(A) буде інваріантом A. Інший числовий інваріант lF(A) – це порядок A/D. ZG – модуль A будемо називати обмежено артіново – фінітарним, якщо A буде артіново – фінітарним та існують такі натуральні числа bF(A) = b, bd(A) = d та скінченна множина простих чисел, що lF(A/CA(g)) b, ld(A/CA(g)) d та (A/CA(g)) .

Це поняття може бути розширене на випадок, коли кільце скалярів є дедекіндовою областю. Розгляду обмежено артіново – фінітарних модулів присвячена друга частина дисертаційної роботи.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов’язана з дослідженнями кафедри геометрії і алгебри Дніпропетровського національного університету, які ведуться за науково – дослідною темою: «Узагальнено розв’язні групи з умовами скінченності та модулі над ними», № 0105U000357.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є дослідження будови модулів над груповими кільцями, у яких головний коцентралізатор є скінченним, скінченно породженим та періодичним, артіновим як модуль над кільцем скалярів, а також дослідження будови модулів над груповими кільцями, у яких коцентралізатор кожного елемента є скінченним, скінченно породженим та періодичним, а також артіновим для деяких важливих типів кілець скалярів.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи теорії груп з умовами скінченності, методи теорії лінійних груп, а також методи теорії модулів над груповими кільцями.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертації вперше отримано такі нові теоретичні результати:

для ZG –модулів A зі скінченним головним коцентралізатором отримано умови, при виконанні яких, похідний підмодуль також буде скінченним;

для модулів над цілочисельними груповими кільцями зі скінченним похідним підмодулем отримано умови, за яких головний коцентралізатор також буде скінченним;

отримано умови, при яких з R – періодичності та скінченної породженності головного коцентралізатора випливає R – періодичність та скінченна породженність похідного підмодуля для коартінового кільця R;

отримано умови, при яких з того факту, що адитивна група головного коцентралізатора є черніковскою групою, випливає що черніковською буде і адитивна група похідного підмодуля;

для модулів над груповими кільцями DG, у яких кільце скалярів D є дедекіндовою областю, отримано умови, при яких з того факту, що головний коцентралізатор є артіновим D – модулем, випливає що і похідний підмодуль буде артіновим D – модулем;

отримано умови, при яких з того факту, що коцентралізатори елементів модуля над цілочисельним груповим кільцем є скінченними, а порядки їх елементів обмежені у сукупності, випливає скінченність похідного підмодуля, та отримано межу для його порядку;

отримано умови, при яких з того факту, що коцентралізатори елементів модуля над груповим кільцем DG є обмежено артіновими як D – модулі, де
D – дедекіндова область, випливає артіновість похідного підмодуля, та отримано межу для його інваріантів.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Запропонована у роботі методика може бути застосована при дослідженні будови модулів з різними обмеженнями на системи фактор – модулів та при дослідженні різних типів лінійних груп. Результати дисертації можуть бути використані в теоретико – групових дослідженнях, що проводяться в інституті математики НАН України, Київському національному університеті, Київському національному педагогічному університеті, Львівському національному університеті.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. Результати спільних статей викладені у підрозділах 2.3. і 3.2., де співавторами у першому випадку виступають Семко М. М., а у другому – Курдаченко Л. А. і Субботін І. Я. В обох випадках вказані співавтори сформулювали узагальнену постановку задачі та намітили напрямки доведення. Конкретна реалізація була виконана автором дисертаційної роботи. Статті [2, 4] в «Доповідях НАН України» є коротким варіантом статей [7, 3], результати в них наведені без доведень.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на:

V Міжнародній науковій конференції студентів, аспірантів та молодих вчених
« Ломоносов – 2006 » ( м. Севастополь, 2006 р. ).

XI Міжнародній науковій конференції імені ак. М. Кравчука (м. Київ 2006 р.)

VI Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні

(м. Кам’янець-Подольський, 2007 р.)

Міжнародній алгебраїчній конференції, присвяченій 70 – річчю Л.А. Шеметкова ( м. Гомель, 2007 р. ).

Результати дисертації доповідались на алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. Основні результати дисертації викладено у 6 наукових статтях, опублікованих у журналах, що входять до переліку наукових фахових видань
ВАК України, та у 5 тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях. Список публікацій наведено у кінці автореферату.

Структура і об’єм дисертації. Дисертація складається із вступу, трьох основних розділів, висновків та списку використаних джерел. Список використаних джерел обсягом 14 сторінок складається зі 171 найменування. Повний обсяг дисертації складає 117 сторінок друкованого тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі сформульовано мету та задачі дисертаційної роботи, викладено основні результати дослідження.

У першому розділі наведено визначення основних понять та формулювання відомих результатів, які використовуються в дисертаційній роботі.

Другий розділ дисертаційної роботи присвячений модульним аналогам теореми І. Шура. Нехай R – кільце, G – група, A – модуль над груповим кільцем RG. Цей розділ присвячений з’ясуванню зв’язків між головним коцентралізатором та похідним підмодулем. Більша частина розділу присвячена пошуку таких властивостей , для яких з того факту, що головний коцентралізатор A/CA(G) має властивість буде випливати, що цю ж властивість має і похідний підмодуль A(RG). Звичайно, цей пошук є можливим при деяких природних обмеженнях, що накладаються як на групу G, так і на кільце R.

Першим природним кроком є випадок, коли кільце скалярів R є кільцем цілих чисел, а властивість буде означати скінченність. Таким чином ми приходимо до першого природного аналогу теореми І. Шура.

2.6. Теорема Нехай G – група, A – ZG – модуль і CG(A) = <1>. Якщо головний коцентралізатор A/CA(G) – скінченний, то

(1) адитивна група підмодуля A(ZG) – обмежена і d(A(ZG))=<0>, де
d = A/CA(G);

(2) підгрупа H = CG(A/CA(G)) – абелева і порядки її елементів ділять число d. Зокрема, група G обмежена і майже абелева.

Нагадаємо, що група G має скінченний спеціальний ранг r(G) = r якщо кожна її скінченно породжена підгрупа може бути породжена не більше ніж r елементами Maльцев А.И. O группах конечного ранга // Maтем. сборник. – 1948. – Т. 22, № 2. – С. 351 – 352.. Спеціальний ранг називають також рангом Мальцева.

Будемо говорити, що група G має скінченний секційний p – ранг rp(G) = r якщо кожна абелева p – секція групи G має порядок не вищий за pr і існує така абелева p – секція U/V, що U/V= pr.

Для груп скінченного секційного p – рангу отримаємо

2.7. Наслідок. Нехай G – група, A – ZG – модуль і CG(A) = <1>. Якщо головний коцентралізатор A/CA(G) – скінченний і для будь – якого простого числа p (A/CA(G)) група G має скінченний секційний p – ранг, то група
G – скінченна. Зокрема, підмодуль A(ZG) – скінченний і d(A(ZG)) = <0>, де
d = A/CA(G).

За таких обмежень виявилось можливим з’ясувати і зворотній зв’язок між головним коцентралізатором та похідним підмодулем.

2.8. Теорема Нехай G – група, A – ZG – модуль та CG(A) = <1>. Якщо підмодуль A(ZG) – скінченний, то

(1) адитивна група головного коцентралізата A/CA(G) обмежена і
dА CA(G), де d = A(ZG);

(2) підгрупа H = CG(A(ZG)) – абелева і порядки її елементів ділять число d. Зокрема, група G обмежена і майже абелева.

2.9. Наслідок. Нехай G – група, A – ZG – модуль і CG(A) = <1>. Якщо підмодуль A(ZG) – скінченний і для будь – якого простого числа p (A(ZG)) група G має скінченний секційний p – ранг, то група G – скінченна. Зокрема, фактор – модуль A/CA(G) – скінченний і dА CA(G), де d = A(ZG).

Для теорем 2.6., 2.8. можна отримати узагальнення шляхом розширення кільця скалярів. У цьому зв’язку слід відзначити, що скінченність Z – модуля А це не що інше, як його Z – періодичність та скінченна породженість. Тому природним узагальненням поняття скінченності для модулів над довільним кільцем R буде їх R – періодичність та скінченна породженість. Таким чином природно приходимо до знаходження умов, для яких із R – періодичності і скінченної породженості
фактор – модуля A/CA(G) буде випливати, що підмодуль A(RG) також буде
R – періодичним і скінченно породженим.

Комутативне кільце R назвемо коартіновим, якщо для кожного його ненульового ідеалу L фактор – кільце R/L є артіновим. Наступні допоміжні результаи є важливою частиною доведення основного результату.

2.11. Лемма Нехай G – локально розв’язна група, R – коартінове кільце,
A – RG – модуль і CG(A) = <1>. Якщо головний коцентралізатор A/CA(G) є
R – періодичним та скінченно породженим, то група G містить у собі таку нільпотентну нормальну підгрупу H, що G/H – майже абелева. Крім того, періодична частина підгрупи H є обмеженою і (H) (A/CA(G)).

Для похідного підмодуля A(RG) має місце аналогічне твердження.

2.13. Лема Нехай G – локально розв’язна група, R – коартінове кільце,
A – RG – модуль і CG(A) = <1>. Якщо похідний підмодуль A(RG) є
R – періодичним та скінченно породженим, то група G містить у собі таку нільпотентну нормальну підгрупу H, що G/H – майже абелева. Крім того, періодична частина підгрупи H є обмеженою і (H) (A(RG)).

Нехай G – група, H – її нормальна підгрупа, R – кільце, А – RG – модуль. Нехай далі B, C – RG – такі підмодулі A, що B C. Фактор C/B називається
H – центральним (відповідно H – ексцентральним), якщо CH(C/B) = H (відповідно CH(C/B) H).

2.19. Наслідок Нехай G – абелева група, R – комутативне кільце,
А – RG – модуль. Припустимо, що A має скінченний ряд RG – підмодулів

<0> = A0 A1 . . . At At + 1 = A,

G – ексцентральні фактори якого є простими RG – модулями. Тоді A містить у собі RG – підмодулі С і Е, що задовольняють наступні умови:

(1) С має скінченний ряд RG – підмодулів, кожний фактор якого
G – центральний;

(2) Е має скінченний ряд RG – підмодулів, кожний фактор якого є
G – ексцентральним і простим RG-модулем;

(3) A = С E.

Наступна теорема дає аналог теореми І. Шура для випадку коартінових кілець і запропонованого вище розширення на них поняття скінченності.

2.20. Теорема Нехай G – періодична локально розв’язна група, R – коартінове кільце, A – RG – модуль і CG(A) = <1>. Якщо головний коцентралізатор A/CA(G) є
R – періодичним та скінченно породженим і для будь – якого простого числа
p (A/CA(G)) група G має скінченний секційний p – ранг, то похідний підмодуль A(RG) також буде R – періодичним та скінченно породженим.

Як було зазначено вище, артінові модулі є природним узагальненням скінченних модулів. У випадку кільця цілих чисел артіновість модуля означає, що його адитивна група є черніковською. Таким чином, наступним кроком є дослідження модулів над цілочисельними груповими кільцями, у яких головний коцентралізатор є черніковським. Як і раніше природним обмеженням тут буде скінченність секційного р – рангу діючої групи.

2.28. Теорема. Нехай G – локально розв’язна група, A – ZG – модуль. Припустимо, що адитивна група головного коцентралізатора А/CA(G) є черніковскою групою. Нехай = (А/CA(G)). Якщо G має скінченний секційний
р – ранг для кожного p , то адитивна група похідного підмодуля A(ZG) буде черніковською – групою.

Для умови артіновості розширення кільця цілих чисел вже не буде таким широким, як це було для умови скінченності. Важливим обмеженням тут є наявність досить розвиненої теорії модулів ( зокрема наявність досить детального опису артінових модулів ) над таким типом кілець скалярів. Одним з таких розширень кільця цілих чисел є дедекіндові області. Тому наступним природним кроком є розширення отриманих результатів на RG – модулі, у яких кільце скалярів R є дедекіндовою областю.

Якщо R – комутативне кільце, то простим спектром Spec(R) ( або просто спектром ) R будемо називати множину усіх простих ідеалів R.

Нехай I – ідеал комутативного кільця R. Для кожного натурального k покладемо I, k (A) = { a A a I k = <0> }. R – підмодуль AI = k N I, k (A) будемо називати I – компонентою модуля A. Якщо A = AI , то A називається
I – модулем.

Наступні допоміжні результати є важливою частиною доведення основного результату.

2.31. Лема Нехай G – група, D – дедекіндова область, A – DG - модуль. Якщо група G/CG(A) має скінченний спеціальний ранг n і фактор - модуль A/CA(G) є артіновим P – модулем, для деякого P Spec(D), то і підмодуль A(DG) буде артіновим P - модулем, причому dimD/P(P, 1 (A(DG))) n dimD/P(P, 1 (A/CA(G)).

2.33. Лема Нехай G – локально узагальнено радикальна група,
D – дедекіндова область, A – DG – модуль. Припустимо, що фактор – модуль A/CA(G) є артіновим P – модулем для деякого P Spec(D) і нехай p = char(D/P). Якщо група G має скінченний секційний р – ранг, то і підмодуль A(DG) буде артіновим P – модулем.

Нехай A – модуль над комутативним кільцем R. Визначимо множину AssR(A) як множину тих простих ідеалів P кільця R, для яких AnnA(P) <0>.

Група G називається узагальнено радикальною, якщо G має зростаючий ряд, фактори якого або локально нільпотентні, або локально скінченні.

2.34. Теорема. Нехай G – локально узагальнено радикальна група,
D – дедекіндова область, A – DG – модуль. Припустимо, що головний коцентралізатор A/CA(G) є артіновим D – модулем. Якщо група G має скінченний секційний р – ранг, для будь – якого p { p | p= charD/P, P Ass(A/CA(G)) }, то і підмодуль A(DG) буде артіновим D – модулем.

Третій розділ дисертаційної роботи присвячений розгляду модульних аналогів іншої класичної теореми теорії груп – теореми Б. Неймана, що доводить скінченність комутанту груп, класи спряжених елементів яких скінченні та їх порядки обмежені у сукупності. Як було відзначено у вступі, на цьому шляху ми приходимо до класів обмежено скінченно – фінітарних та обмежено артіново – фінітарних груп.

Нехай R – кільце, G – група та А – RG – модуль. Група G називається обмежено скінченно – фінітарною, якщо порядок коцентралізатору кожного елемента g G є скінченним і не перевищує деякого натурального числа b. Далі позначимо це число через b(А). Відповідно у цьому випадку модуль А називається обмежено скінченно – фінітарним.

Як і раніше першим природним кроком є розгляд модулів над груповими кільцями, де кільце скалярів R є кільцем цілих чисел. Перший результат стосується випадку, коли група G є абелевою та має скінченний спеціальний ранг.

3.7. Теорема. Нехай A – обмежено скінченно – фінітарий ZG – модуль, де
G – абелева група, b(А)= b, = {p | p – прості і p ? b}, G/СG(А) має скінченний секційний p – ранг r, для довільного р , f = ||, тоді | A(ZG) | ? bf(b+2r).

Природним узагальненням попередньої теореми є перехід від комутативних груп, до локально розв’язних.

3.8. Теорема Нехай A – обмежено скінченно – фінітарний ZG – модуль, де G – локально розв’язна група, b(А) = b, – множина тих простих чисел p, що задовольняють умову p ? b. Припустимо, що G/СG(А) має скінченний секційний
p – ранг r для довільного р . Якщо f = ||, тоді |A(ZG)| ? b н(f(b+2r)).

У наступній теоремі зроблено перехід до узагальнено радикальних груп.

3.9. Теорема. Нехай A – обмежено скінченно – фінітарний ZG – модуль, де G – локально узагальнено радикальна група, b(А) = b, – множина тих простих чисел p, що задовольняють умову p ? b. Якщо G/СG(А) має скінченний секційний
p – ранг для довільного р , то модуль A(ZG) скінченний.

Зазначимо, що кожний артіновий D – модуль A можна розкласти у пряму суму максимального D – ділимого підмодуля B ( цей підмодуль B називаються
D – ділимою частиною модуля A ) і скінченно породженого D – періодичного підмодуля C. Отже, B = K1 . . . Kd, де Kj – прюферовий P – модуль, 1 j d, до того ж такий розклад єдиний з точністю до ізоморфізму. Зокрема, число d є інваріантом модуля A. Покладемо d = ld(A). Фактор – модуль A/B є
D – періодичним і скінченно породженим, з огляду на це, він має скінченний ряд підмодулів, фактори якого будуть D – простими модулями. Довжина такого ряду є також інваріантом для модуля A. Позначимо її через lF(A).

Нехай D – дедекіндова область, G – група. Модуль А над груповим кільцем DG називається обмеженим артіново фінітарним, якщо A є артіново фінітарним і знайдуться такі натуральні числа bF(A) = b, bd(A) = d і така скінченна підмножина b(A) = Spec(D), що lF(A/CA(g)) b, ld(A/CA(g)) d і AssD(A/CA(g)) .

Покладемо також (A) = { p p = char D/P для всіх P }.

У цій частині дисертації розглянуті обмежені артіново фінітарні модулі A над груповими кільцями DG, де D – дедекіндова область. Це є природним розширенням результатів, отриманих вище.

Основними центральними результатами тут будуть наступні.

3.21. Твердження. Нехай D – дедекіндова область,

G – група і A – DG - модуль. Припустимо, що A обмежений артіновий фінітарний модуль і bF(A) = b, bd(A) = d, b(A) = , = t. Нехай виконуються наступні умови:

(i) G/CG(A) – абелева група;

(ii) існує число r N таке, що rp(G) r для довільного p (A).

Тоді

(a) підмодуль A(DG) – артіновий, більш того lF(A(DG)) 2b(r + t(b + d)2), ld(A(DG))2d(r+t(b + d )2) і AssD(A(DG));

(b) фактор - група G/CG(A) має скінченний спеціальний ранг і
r(G/CG(A)) 2r + 2t(b + d)2.

Узагальненням попереднього твердження є:

3.22. Теорема. Нехай D – дедекіндова область, G – локально розв’язна група і A – DG – модуль. Припустимо, що A обмежений артіновий фінітарний модуль і bF(A) = b, bd(A) = d, b(A) = , = t. Нехай ще існує таке число r N, що
rp(G) r, для довільних p (A).

Тоді

(a) підмодуль A(DG) – артіновий, більш того lF(A(DG)) f1(b, d, r), ld(A(DG)) f2(b, d, r) і AssD(A(DG)) , для деяких цілочисельних функцій f1, f2 ;

(b) фактор – група G/CG(A) має скінченний спеціальний ранг, більш того
r(G/CG(A)) f3(b, d, r), для деякої цілочисельної функції f3.

Тепер можна сформулювати основний результат третього розділу.

3.23. Теорема. Нехай D – дедекіндова область, G – локально узагальнено радикальна група і A – DG – модуль. Припустимо, що A – обмежений артіновий фінітарний модуль і число rp(G) скінчене для довільного p (A). Тоді підмодуль A(DG) артіновий і фактор – група G/CG(A) має скінченний спеціальний ранг.

Висновки

У дисертаційній роботі досліджується будова модулів над груповими кільцями, у яких головний коцентралізатор є скінченним, скінченно породженим та періодичним, артіновим як модуль над кільцем скалярів, а також досліджується будова модулів над груповими кільцями, у яких коцентралізатор кожного елемента є скінченним, скінченно породженим та періодичним, а також артіновим для деяких важливих типів кілець скалярів.

Для ZG –модулів A зі скінченним головним коцентралізатором (відповідно похідним підмодулем) отримано умови, при виконанні яких, похідний підмодуль (відповідно головний коцентралізатор) також буде скінченним. Отримано умови, при яких з R – періодичності та скінченної породженості головного коцентралізатора випливає R – періодичність та скінченна породженість похідного підмодуля для коартінового кільця R. Отримано умови, при яких з того факту, що адитивна група головного коцентралізатора є черніковскою групою, випливає що черніковською буде і адитивна група похідного підмодуля. Для модулів над груповими кільцями DG, у яких кільце скалярів D є дедекіндовою областю, отримано умови, при яких з того факту, що головний коцентралізатор є артіновим D – модулем, випливає що і похідний підмодуль буде артіновим D – модулем.

Отримано умови, при яких з того факту, що коцентралізатори елементів модуля над цілочисельним груповим кільцем є скінченними, а порядки їх елементів обмежені у сукупності, випливає скінченність похідного підмодуля, та отримано межу для його порядку. Отримано умови, при яких з того факту, що коцентралізатори елементів модуля над груповим кільцем DG є обмежено артіновими як D – модулі, де D – дедекіндова область, випливає артіновість похідного підмодуля, та отримано межу для його інваріантів.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику професору Курдаченку Леоніду Андрійовичу за постійну увагу і підтримку в роботі.

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Чупордя В. А. О некоторых аналогах теоремы Шура для модулей над групповыми кольцами // Вісник Дніпропетровського університету. Математика. – 2005. – Вип. 6. – С. 119 – 126.

Курдаченко Л. А., Субботін І. Я., Чупордя В. А. Про обмежені артінові фінітарні модулі // Доповіді НАН України. – 2007. – № 10. – С. 23 – 26.

Семко М. М., Чупордя В. А. Про класи Шура для модулів над груповими кільцями // Український математичний журнал. – 2007. – 59. № 9. – С. 1261 – 1268.

Семко М. М., Чупордя В. А. Про класи Шура для модулів над груповими кільцями // Доповіді НАН України. – 2006. – № 12. – С. 25 – 28.

Чупордя В. А. Аналоги обобщенной теоремы Шура для модулей над групповыми кольцами // Вісник Дніпропетровського університету. Математика. – 2006. –Вип. 11. –С. 115 – 119.

Чупордя В. А. О конечно – финитарных группах // Вісник Дніпропетровського університету. Математика. – 2007. – Вип. 12. – С. 154 – 157.

Kurdachenko L.A., Subbotin Ya., Chupordya V.A. On bounded artinian finitary modules // International Journal of Algebra and Computation. – 2007. – Vol 17, № 4, – P. 881 –893.

Курдаченко Л. А., Субботин И. Я., Чупордя В. А. Oб ограниченных черниковских финитарных модулях // Международная алгебраическая конференция, посвященная 70 – летию со дня рождения Л.А. Шеметкова. – Гомель, Беларусь. – 2007. –C. 93 – 94.

Kurdachenko L.A., Subbotin Ya., Chupordya V.A. On bounded artinian finitary modules // 6th International Algebraic Conference in Ukraine. – Kamyanets – Podilsky. –2007. – P. 118 – 119.

Chupordya V.A. On finite finitary groups // 6th International Algebraic Conference in Ukraine. – Kamyanets – Podilsky. –2007. – P. 51 – 52.

Чупордя В. А. О некоторых аналогах теоремы Шура для модулей над групповыми кольцами // V Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов – 2006». – Севастополь. – 2006. – С. 167 – 168.

Чупордя В. А. Аналоги обобщенной теоремы Шура для модулей над групповыми кольцами // XI Міжнародна наукова конференція ім. ак. М. Кравчука. – Київ. – 2006. – С. 653

АНОТАЦІЇ

Чупордя В. А. Модулі з обмеженнями на коцентралізатори над узагальнено розв’язними групами. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико – математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2008.

Дисертаційна робота присвячена знаходженню лінійних аналогів двох класичних теорем – теореми І. Шура та теореми Б. Неймана. Теорема Шура стверджує, що зі скінченності фактор-групи по центру випливає скінченність комутанту. Нехай A – RG-модуль, підмодуль CA(G) можна розглядати як аналог центра, а підмодуль A(RG) як аналог комутанта. Така аналогія приводить до пошуку умов за яких з того, що головний коцентралізатор A/CA(G) має деяку властивість буде випливати, що ту ж властивість має й похідний підмодуль A(RG). Нехай A – RG-модуль, для деяких типів кілець було отримано умови за яких зі скінченності (відповідно артіновості) головного коцентралізатора випливає,