КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

Денисенко Олександр Михайлович

удк 517.9

Дослідження Множин стійкості та нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера

01.01.02 – диференціальні рівняння

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

ПАРАСЮК Ігор Остапович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ТКАЧЕНКО Віктор Іванович,

Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

САМУСЕНКО Петро Федорович,

Національний педагогічний університет імені М.П. Драгоманова, доцент кафедри математичного аналізу.

Захист відбудеться 21 квітня 2008 р. о 14 годині на засі-данні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ–22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, меха-ніко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 7 березня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради |

МОКЛЯЧУК М.П.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Виступ А.М.Колмогорова в Амстердамі 1954-го року на міжнародному конгресі математиків став поштовхом до розв’язання багатьох важливих задач нелінійної механіки, пов’язаних із знаменитою проблемою малих знаменни-ків. Ідея Колмогорова подолання зазначеної проблеми набула по-да-льшого значного розвитку у роботах В.І.Арнольда та Ю.Мозера. Невід’ємною складовою КАМ-теорії став розроб-лений М.М.Боголюбовим та Ю.Мозером метод штучних параметрів. Роз-винутий Ю.О.Митропольським та А.М.Самойленком, він має різні модифікації та з успіхом використовується у багатьох зада-чах теорії збурень.

З часом КАМ-теорія (теорія Колмогорова-Арнольда-Мозера) повністю сфор-мувалась і знайшла своє застосування у різних задачах механіки, теорії динамічних сис-тем, ергодичної теорії. Інте-нсивний розвиток КАМ-теорії продовжується і тепер. Техніка, що використовується при доведенні КАМ-теорем, постійно вдос-ко-налю-ється. Як наслідок, доведено низку КАМ-теорем при зна-чно слабших умовах невиродженості досліджуваних систем, Ю.Пошелем одержано важливі результати про інтегровність гамі-льтонових систем на канторових множинах, М.Севрюком та М.Ерманом розроблено мо-ди-фікований метод штучних парамет-рів, обґрунтовано прямі методи побудови інваріантних торів та квазіпе-ріодичних розв’язків у вигляді збіжних степеневих рядів за малим параметром тощо.

КАМ-теорія знаходить нові застосування, створюються цікаві напрями дослі-джень. У цьому зв’язку окремо від-зна-чимо, що використання КАМ-методів для дослідження звідності лінійних рів-нянь з квазіперіодичними коефіцієнтами дозволило отримати ва-жливі результати в спектра-льній теорії лінійних диференціаль-них операторів, зокрема операторів Шре-дінгера та Дірака.

Як відомо, для рівняння Шредінгера з періодичним потенціа-лом (рівняння Хілла) внутрішні точки резонансних зон збігаються з лакунами в спектрі оператора Шредінгера, визначеного на прос-торі . Цього не можна стверджувати в загальному випадку для квазіперіодичного потенціалу. Вивчення питання про асимп-тотику резонансних зон рівняння Шредінгера з різними класами квазіперіодичних потенціалів було розпочато наприкінці 70-х років минулого століття у роботах Є.І.Дінабурга, Я.Г.Сіная, Є.Д. Білоколоса, І.О.Парасюка та продовжено у роботах Ю. Мозера, Ю. Пошеля, В.І.Ткаченка та ін. Незважаючи на здобутки в розв’язанні цієї проблеми, деякі питання до останнього часу вважалися відкритими. З огляду на цей факт було сформу-льовано основне завдання даної дисертації: з використанням методів КАМ-теорії дослідити квазіперіодичне рівняння Шредінгера з різними класами нескінченно диференційо-вних квазіперіодичних потенціалів, включно з потенціалами полі-номіального типу.

Обґрунтовуючи актуальність теми даної роботи та важли-вість подальшого розвитку методів дослідження квазіперіодич-ного рів-няння Шредінгера, зокрема КАМ-методів, відзначимо, що це рівняння широко використовується у фізиці твердого тіла. Воно описує рух квантової частинки у невпорядкованій структурі іонів при збуренні решітки (впорядкованої структури іонів) стоячими хвилями. Останнім часом у вивченні резонансних явищ одновимірного рів-няння Шредінгера з квазіперіодичним потенці-алом досягнуто значного прогресу. В цій області активно ведуться дослідження і постійно відбуваються нові просування. Серед важливих результатів, які одержано протягом останнього десяти-ліття, відмітимо цикл робіт Х.Брура, Ж.Пюіга та К.Сімо, присвя-чених дослідженню резонансів квазіперіодичного рівняння Шредінгера з аналітич-ним потенціалом. В дослідженнях як рівняння Шредінгера та системи Дірака, так і загалом гамільтонових систем все більшу роль відіграють методи алгебраїчної, диференці-альної та симплек-тичної геометрії, топології.

Наведені аргументи, на наш погляд, є свідченням актуальнос-ті та важливості подальшого розвитку і вдосконалення методів досліджень резонансних явищ у квазіперіодичному рівнянні Шредінгера, зокрема КАМ-методів.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Дисе-р-таційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми "Розробка методів асимптотичного інтегрування нелінійних систем, теорії керування в біології та медицині і моделювання проце-сів взаємодії та деформування суцільних середовищ" (№ держреєст-рації 0104U003264) та проекту Державного фонду фундаментальних досліджень “Дослідження проблем теорії не-класичних диференціа-льних рівнянь” (№ держреєстрації 0101U05771).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи полягала у визна-ченні основних характеристик резонансних енергетичних зон, поза якими стаціонарне рівняння Шредінгера з квазіперіодичним потенціалом має обмежені розв’язки, для різних класів як аналі-тичних, так і неаналітичних гладких потенціалів та оцінці розмірів цих зон, а також у розповсюдженні результатів, одержаних для рівняння Шредінгера, на випадок квазіперіодичної системи Дірака.

Об’єктом дослідження є одновимірне стаціонарне рівняння Шредінгера з гладким квазіперіодичним потенціалом.

Предметом дослідження є множини стійкості та нестійкості одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з гладким квазіперіодичним потенціалом та розв’язки, що відповідають значенням енергії з цих множин.

Основні результати роботи одержані на основі вдоскона-лення та синтезу трьох методів КАМ-теорії — методу прискоре-ної збіжності, методу Ю.Мозера аналітичного згладжування та модифікації Севрюка-Ермана методу штучних параметрів. З використанням цих методів досліджено одновимірне стаціонарне квазіперіодичне рівняння Шредінгера та одновимірна стаціонарна квазіперіодична система Дірака для випадку

· неаналітичного потенціалу, який характеризується певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами або швидкістю росту норм його похідних;

· аналітичного потенціалу;

· тригонометричного потенціалу скінченного порядку.

Наукова новизна одержаних результатів:

· техніку побудови розв’язків Флоке-Блоха, яка використову-валась для дослідження рівняння Шредінгера з аналітичним та скінченно диференційовним потенціалом по-ширено на випадок гладких потенціалів, які характеризу-ються певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами або швидкістю росту похідних. Це дало змогу встановити асимптотику довжин резонансних зон при пряму-ванні номера зони до нескінченності та асимптотику міри ре-зонансної множини на півосі при для рів-няння Шредінгера з різними класами нескінченно диференційовних потенціалів, такими як клас Жевре, деякі класи квазіаналітичних потенціалів тощо;

· для рівняння Шредінгера з гладким квазіперіодичним поте-нціалом описано техніку побудови меж резонансних зон та встановлено аналітичну залежність цих меж від малого па-раметра;

· шляхом узагальнення методу Арнольда дослідження пері-одичного рівняння Мат’є для одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з квазіперіодичним потенціалом у ви-гляді тригонометричного полінома скінченого порядку об-ґрунтована можливість побудови меж резонансних зон у ви-гляді збіжних степеневих рядів за малим параметром , вста-новлено покращені, порівняно з аналітичним випадком, оцінки розмірів цих зон;

· розвинену в даній роботі техніку дослідження квазіперіоди-чного рівняння Шредінгера розповсюджено на квазіперіодичну систему Дірака.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані в дисертації результати мають переважно теоретичне значення. Методика побудови меж зон нестійкості у вигляді збіжних степеневих рядів, описана в розділі 4, може знайти практичні застосу-вання при розрахунках характеристик параметричного резонансу в лінійних квазіперіодичних системах, які виникають як матема-тичні моделі в механіці та фізиці твердого тіла. Перевагою зазна-ченої методики у порівнянні з КАМ-методами є більш проста реалізація у вигляді алгоритмів та комп’ютерних програм, що важливо при розв’язуванні конкретних практичних задач.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертації, які виносяться на захист, отримано особисто автором. Окремі дослідження велися спільно з науковим керівником. В таких роботах І.О.Парасюку належать визначення загального плану та напрямків досліджень, постановка задачі та обговорення результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації оприлюднені на IX Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2002), Шостих Боголюбівських читаннях (Кам’янець-Подільський, 2003), X Міжнародній науко-вій конференції імені академіка М.Кравчука (Київ, 2004), Шостій міжнародній алгебраїчній конференції в Українi присвяченій 100-рiччю професора Дмитра Костянтиновича Фадєєва (Кам’янець-Подільський, 2007), а також на наукових семінарах кафедри ди-ференціальних і інтегральних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка та Інституту математики НАН України.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 9 працях, з них 5 статей — у фахових наукових виданнях з Переліку №1 ВАК України, 4 — у матеріалах та тезах міжнародних конфе-ренцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається з переліку основних позначень, вступу, п’яти розділів, висновків і списку використаної літератури, який містить 91 найменування. Повний обсяг роботи становить 153 сторінки, основний зміст викладено на 130 сторінках.

Основний зміст

У вступі обґрунтовано актуальність вибраної теми, визначено мету і задачі дослідження, зроблено короткий опис змісту та результатів дисертації, відзначено їх новизну, вказано на зв’язок дисертації з науковими програмами Київського націона-льного університету імені Тараса Шевченка, зазначено де відбувалась апробація цих результатів.

Перший розділ присвячено опису засад КАМ-теорії та спек-тральної теорії одновимірного рівняння Шредінгера, огляду осно-вних напрямків їхнього розвитку, подано огляд праць, які стосу-ються тематики дисертації.

У другому розділі розглядається рівняння Шредінгера

, (1)

в якому потенціал є дійсною функцією на -вимірному торі , Ї вектор частот, енергія Ї дійс-ний спектральний пара-метр. Показано, як використання КАМ-методів дозволяє для потенціалів, які характеризуються певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами, описувати множину значень енергії , на якій рівняння Шредінгера (1) має розв’язки Флоке-Блоха, а це, в свою чергу, дає можливість оцінити розмір зон нестійкості.

Означення 2.1.1. Будемо казати, що функція задовольняє умову тригонометрич-ної апроксимації з характерис-тикою , якщо існує стала і для кож-ного знайдеться тригонометричний поліном , де , , , такий, що

для всіх .

Зафіксуємо додатні числа ,, і наступним чином:

; ; ; . (2)

Нехай в рівнянні (1) потенціал і задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характеристикою , яка має властивості

A) і ;

B) для всіх досить великих функція є монотонно спадною;

C) існує монотонно зростаюча функція , яка задовольняє такі умови:

;

для всіх досить великих .

Зауважимо, що оскільки функція строго монотонно зрос-тає, то вона має обернену .

Теорема 2.1.1. Нехай в рівнянні (1) потенціал і задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характери-стикою , яка має властивості A) ? C). Для визначимо функцію

,

де сталі ,,, задовольняють нерівності (2). Також покла-демо . Нехай вектор частот задоволь-няє діофантову умову з деякою сталою :

для всіх . (3)

Тоді існує така стала та функція ,

,

що кожному ненульовому вектору можна поста-вити у відповідність єдиний інтер-вал

такий, що на нерезонансній множині рівняння (1) має два лінійно незалежні розв’язки , , і для кожного .

На практиці можуть виникати певні труднощі при визначенні функції , оскільки часто досить важко побудувати функцію, обернену до функції . В цьому випадку умови А) --– С) можемо замінити умовами

A') , ;

B') якщо , то , а у випадку викону-ється нерівність для всіх досить великих значень .

Тоді функцію у теоремі 2.1.1 можемо замінити функ-цією , що визначена для (тут — природним чином вибране досить велике додатне число) наступним чином:

де

, ,

а додатні сталі , вибрані так, щоб виконувались нерівності:

; .

Покладемо , .

Враховуючи той факт, що резонансні інтервали можуть перетинатись, цілком природно постає питання про асимптотику довжини резонансного інтервалу, якщо його центр прямує до . Відповідь на це питання дає наступна теорема.

Теорема 2.1.2. Нехай у рівнянні (1) потенціал і задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характери-стикою , яка має властивості A) ? C), а вектор частот задовольняє діофантову умову з деякою сталою :

для всіх .

Тоді для довільного існує таке , що для кожного знайдеться значення енергії , для якого рівняння (1) має фундаментальну систему розв’язків Флоке-Блоха і при цьому

.

Застосовуючи теорему 2.1.1 для випадку потенціалу, який на-лежить класу Жевре, тобто для якого

, ,

ми одержимо

, ,,,

де , .

Якщо, наприклад, потенціал належить класу Данжуа, тобто для досить великих

,

то , ,

.

Доводячи теорему 2.1.1, за допомогою стандартної заміни змінних переходимо до еквівалентної системи

, , (4)

де , .

Для побудови множини значень енергії , на якій (4) має фун-даментальну систему -частотних квазіперіодичних розв’язків та відшукання цих розв’язків, використовується метод прискореної збіжності, за допомогою якого система (4) зводиться до системи зі сталою матрицею, ідея Ю.Мозера аналітичного згладжування та модифікація Севрюка-Ермана методу штучних параметрів. Основна ідея такого підходу полягає в тому, щоб замість системи (4) розглядати модифіковану систему

, , (5)

де , , , — штучні параме-три, . Нами знайдена така неперервно диференційовна функція , щоб для кожного з канторової множини

при система (5) квазіперіодичним перетворенням Ляпунова зводилась до системи зі сталими коефіцієнтами

, . (6)

Таким чином, для опису множини значень енергії , , на якій система (5) зводиться до системи (6), досить знайти неявну функцію , визначену рівнянням

,

яке пов’язує штучні параметри та . Для побудови функції та зазначеного перетворення Ляпунова використовується ітераційний процес, який базується на методі прискореної збіжно-сті, враховуючи той факт, що систему (5) можна подати у вигляді границі послідовності систем з аналітичними по матрицями-функціями.

Теорема 2.1.1 може бути переформульована і для рівняння

(7)

з малим дійсним параметром . При цьому умову того, що зна-чення енергії мають бути досить великими, можна замі-нити умовою малості параметра :

Теорема 2.1.3. Нехай в рівнянні (7) потенціал і задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характери-стикою , яка має властивості A) ? С), а вектор частот задовольняє умову (3).

Тоді для довільного існує така стала та функ-ція ,

при, що кожному ненульовому вектору можна поставити у відповідність єдиний інтер-вал такий, що на мно-жині рів-няння (7) має два лінійно незалежні розв’язки , , і для всіх та , , функція є гладкою по .

Використання описаної вище техніки дозволило також для рів-няння (7) будувати межі резонансних зон. При цьому встановлено властивість аналітичності за малим параметром цих меж:

Теорема 2.1.4. Нехай потенціал і задовольняє умову тригонометричної апроксимації з характеристикою , яка має властивості A'), B'). Для визна-чимо функцію

.

Нехай вектор частот задовольняє діофантову умову з деякою сталою :

для всіх .

Тоді для кожного фіксованого вектора існує таке та такі дійсні аналітичні в крузі функції і , що для , , та

A) якщо , то відрізок є зоною нестійкості рівняння (7), причому для всіх рівняння (7) експоненціально дихотомічне, а для , тобто на краях відрізку , рівняння (7) має розв’язки вигляду

,

де функції , є гладкими по та аналі-тичними по ;

B) якщо , тобто відрізок вироджується у точку, то для рівняння (7) має розв’язки вигляду

,

де функції , є гладкими по та аналітич-ними по .

Для побудови резонансного відрізку та перетворення, яке зводить систему, еквівалентну рівнянню (7), до системи зі сталою нільпотентною матрицею, застосовуються ідеї робіт Ю.Мозера та Ю.Пошеля, в яких досліджувалось рівняння Шредінгера без малого параметра з аналітичним потенціалом. Для встановлення аналітичності за параметром меж зон нестійкості зведення проводиться не на всьому резонансному відрізку, а окремо на кожній з меж. При цьому враховується однозначність визначення резонансних зон та той факт, що систему, еквівалентну рівнянню Шредінгера (7), можливо звести до системи зі сталою нільпотентною матрицею лише на краях резонансної зони.

У третьому розділі для рівняння Шредінгера (7), в якому потенціал є дійсною аналітичною функцією на -вимірному торі з використанням КАМ-методів побудовано межі та оцінено розміри зон нестійкості. При цьому має місце твердження теореми 2.1.4, а при достатньо малих значеннях параметра розмір зони нестійкості зменшується експоненціально при збільшенні відповідного номера зони:

Теорема 3.1.1. Нехай потенціал у рівнянні (7) є дійсною аналіти-чною функцією на торі , а вектор частот задоволь-няє діофантову умову

для всіх , (8)

де

,

, — деяке фіксоване натуральне число.

Тоді має місце твердження теореми 2.1.4. При цьому розмір резонансної зони допускає оцінку

,

де сталі та не залежать від і .

Окремо розглянуто випадок, коли потенціал у рівнянні (7) є скінченним тригонометричним поліномом, адже в цьому випадку оцінку ширини відрізку можна покращити.

Теорема 3.1.2. Нехай потенціал в рівнянні (7) є дійсним тригоно-метричним поліномом порядку . Тоді має місце твер-дження теореми 3.1.1, причому

,

де , сталі та не залежать від і .

У четвертому розділі для рівняння Шредінгера з малим па-раметром (7) обґрунтовано можливість неформального розповсюдження підходу і результатів В.І.Арнольда дослідження рівняння Мат’є на квазіперіодичний випадок рівняння Шредінгера з потенціалом у вигляді дійсного тригонометричного полінома скінченного порядку

, де .

Зокрема показано, що межі зон нестійкості на площині параметрів за аналогією з періодичним випадком визначаються збіжними розвиненнями за малим параметром власних чисел оператора Шредінгера, заданого на класі квазіперіодичних функцій з вектором частот .

Оператор Шредінгера рівняння (7) з квазіперіодичним полі-номіальним потенціалом подамо у вигляді

.

Тут , де , , причому, якщо хоча б одна компонента вектора є непарною, то , .

Нехай вектор частот задовольняє діофантову умову (8).

Власні числа незбуреного оператора позначимо через (кожне з них двократне), а через позначимо відповідний двовимірний власний простір. Нами досліджено збурення кратного власного числа і відповідного двовимірного простору .

Збурений двовимірний інваріантний простір шукався у ви-гляді графіка відображення

.

При цьому умова інваріантності графіка має вигляд оператор-ного рівняння

, (9)

де для та — невідомі оператори, Ї тотожне перетворення у , Ї оператор вкла-дення. Операторне рівняння (9) розв’язувалось, прирівнюючи коефіцієнти при відповідних степенях . При цьому розвинення

відіграє роль збуреного кратного власного числа. Це розвинення є формальним, адже на відміну від періодичного випадку з’являється проблема малих знаменників, які мають вигляд скалярних добутків вигляду , де . Наявність малих знаменни-ків, навіть при накладанні на них діофантових умов сильної несумірності, не дозволяє мажорантним методом встанов-лювати збіжність формальних розкладів за параметром влас-них значень оператора . Однак, оскільки коефіцієнти розви-нень за степенями власних значень формального оператора визначаються однозначно, то з урахуванням встановленої в тео-ремі 2.1.4 властивості аналітичності за малим параметром меж , зони нестійкості, зазначені розвинення є збіжними рядами Тейлора функцій , .

Таким чином, властивість аналітичності за малим параметром меж резонансних зон рівняння Шредінгера з нескінченно диференційовним потенціалом відкриває шлях до побудови цих меж у вигляді розвинень за малим параметром . Перевагою такого підходу є простота побудови резонансних зон із заданою точністю. Адже процедура зведення системи, еквівалентної рівнянню (7), до системи зі сталою матрицею з використанням КАМ-методів є більш складною. Для опису коефіцієнтів розкладів в ряд за степенями малого параметра меж зон нестійкості застосовувалась діаграмна техніка, яка до цього з успіхом використовувалась В.І.Арнольдом при побудові зон нестійкості рівняння Мат’є.

П’ятий розділ присвячено розповсюдженню використаних у розділах 2, 3 та 4 методів досліджень одновимірного стаціонар-ного квазіперіодичного рівняння Шредінгера на випадок однови-мірної стаціонарної квазіперіодичної системи Дірака

, (10)

де ,, Ї вектор частот, , Ї дійсні гладкі функції на -вимірному торі , --Ї дійсний спектральний параметр, Ї малий дійсний параметр.

Встановлено, що результати розділів 2, 3 та 4 можуть бути відповідним чином перенесені на систему Дірака (10). Так, анало-гічно означенню 2.1.1 умови тригонометричної апроксимації для дійсного потенціалу рівняння Шредінгера (1), визначено умову тригонометричної апроксимації для комплексного потенціалу системи Дірака (10). При цьому функції , визначено відповідно до властивостей потенціалу аналогі-чно теоремам 2.1.1, 2.1.4. На основі міркувань, схожих з мірку-ваннями щодо системи, яка відповідає рівнянню Шредінгера, встановлено результати, аналогічні результатам, одержаним для цього рівняння.

Висновки

У дисертації досліджено метричні властивості множин стій-кості, точкам яких відповідають блохівські розв’язки, а також структуру резонансних множин для одновимірного стаціонарного квазіперіодичного рівняння Шредінгера та одновимірної стаціо-нарної квазіперіодичної системи Дірака з малим параметром. Основні результати даної роботи такі:

· Синтезуючи три методи КАМ-теорії Ї метод прискореної збіжності, метод Мозера аналітичного згладжування та мо-дифікації Севрюка-Ермана методу штучних параметрів — досліджено рівняння Шредінгера з гладкими потенціалами, що характеризуються певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами. Запропонований підхід дозволяє описувати множину значень енергії, на якій рів-няння має розв’язки у вигляді блохівських функцій, будувати ці розв’язки та визначати межі резонансних зон. Одержано оцінки розмірів зон нестійкості рівняння Шредінгера з аналітичним потенціалом, потенціалом у вигляді дійсного тригонометричного полінома скінченого порядку та нескін-ченно диференційовними потенціалами, що належать класам Жевре та Данжуа.

· Встановлено властивість аналітичності за малим парамет-ром меж резонансних зон для рівняння Шредінгера з гладким квазіперіодичним (з базисом частот ) потенціалом, що відкриває шлях до побудови цих меж у вигляді збіжних розвинень. Обґрунтовано можливість неформального розповсюдження методу і результатів В.І.Арнольда побудови меж зон нестійкості для рівняння типу Мат’є на квазіперіодичний випадок. Зокрема показано, що за анало-гією з періодичним випадком межі зон нестійкості можна ви-значати у вигляді збіжних розвинень за малим параметром власних чисел оператора Шредінгера, заданого на класі ква-зіперіодичних фун-кцій з вектором частот . Це у порівнянні з КАМ-методами зна-чно полегшує процедуру визначення меж резонансних зон при розв’язуванні практичних задач.

· Показано, що описані в даній роботі методи досліджень ква-зіперіодичного рівняння Шредінгера можна використову-вати для досліджень одновимірної стаціонарної квазіперіоди-чної системи Дірака, а результати, одержані для рівняння Шредінгера, можуть бути відповідним чином перенесені на цю систему.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Денисенко О.М. Оцінка розмірів зон нестійкості одновимі-рного стаціона-рного рівняння Шредінгера з квазіперіодичним потенціалом // Вісник Київського університету. Математика. Ме-ханіка. ? 2003. ? Вип 9. ? С. 18 ? 24.

2. Денисенко О.М., Парасюк І.О. Побудова розв’язків Флоке-Блоха і оцінка довжин резонансних зон одновимірного рівняння Шредінгера з гладким потенціалом // Укр. мат. журн. ?2004. ? 56, №1 ? С. 3 ? 18 .

3. Денисенко О.М. Оцінка розмірів резонан-сних зон однови-мірного стаціо-нарного рівняння Шредінгера з квазіаналітичним квазіперіоди-чним потенціалом // Вісник Київського університету. Серія: фіз.-мат. науки. ? 2004. ? Вип. 1 . ? С. 87 ? 96.

4. Денисенко О.М., Парасюк І.О. Побудова границь зон не-стійкості одновимірного рівняння Шредінгера з тригонометри-чним потенціалом //Нелінійні коливання – 2007. ? 10, №1 – С.83-92.

5. Денисенко О.М. Оцінка розмірів зон нестійкості одновимі-рного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потенціалом // Нелінійні коливання – 2007. ? 10, №2 – С. 188-203.

6. Денисенко О.М. Оцінка розмірів зон нестійкості стаціона-рного рівняння Шредінгера // Дев’ята Міжнародна Наукова Кон-ференція імені академіка М.Кравчука, 16 ? 19 травня 2002 року, Київ. С.61.

7. Denysenko O.M., Parasyuk I.O. Estimation of resonance zones for a one-dimensional Schrцdinger equation with a smooth quasiperiodic potential // Міжнародна наукова конференція “Шості Боголюбівські читання”, 26 ? 30 серпня. Тези доповідей. ? Київ, 2003. С. 272.

8. Денисенко О.М. Оцінка розмірів резонансних зон одновимірного стаціонарного рівняння Шредінгера з квазіаналітичним квазіперіодичним потенціалом // Десята Міжнародна Наукова Конференція імені академіка М.Кравчука, 13 ? 15 травня 2004 року, Київ. С. 96.

9. Denysenko О.М. Diagram approach to instability zones construction for quasi-periodic Schrцdinger equation with trigonometric potential // 6th International Algebraic Conference in Ukraine, Kamyanets-Podilsky, July 1-7, 2007, P.58-59.

Анотації

Денисенко О.М. Дослідження множин стійкості та нестійкості квазіперіодичного рівняння Шредінгера. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-ма-тематичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рів-няння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертація присвячена вивченню резонансних явищ одновимірного стацаонарного рівняння Шредінгера з гладким квазіперіодичним потенціалом. З використанням методів КАМ-теорії досліджено рівняння Шредінгера з гладкими потенціалами, що характеризуються певною швидкістю наближення тригонометричними поліномами або швидкістю росту похідних.. Побудовано межі зон нестійкості та описано множину значень енергії, на якій рівняння має розв’язки у вигляді блохівських функцій. Встановлено аналітичність за малим параметром меж резонансних зон. Показано, що межі зон нестійкості можна визначати у вигляді збіжних розвинень за малим параметром власних чисел оператора Шредінгера, заданого на класі квазіперіодичних функцій з половинним частотним базисом. Для опису зазначених розкладів у випадку потенціалу, що є дійсним тригонометричним многочленом скінченного порядку, використана діаграмна техніка.

Ключові слова: КАМ-теорія, рівняння Шредінгера, система Дірака, рівняння Мат’є, резонансна зона, квазипериодичний рух, функція Флоке-Блоха, діаграмна техніка.

Денисенко А.М. Исследование множеств устойчивости и неустойчивости квазипериодического уравнения Шредингера. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциаль-ные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена изучению зон устойчивости и неустойчивости одномерного стационарного квазипериодического уравнения Шредингера с гладким потенциалом. Используя три метода КАМ-теории Ї метод ускоренной сходимости, подход Мо-зера аналитического сглаживания и модификацию Севрюка-Эрмана метода искусственных параметров исследовано уравнение Шредин-гера с потенциалом, характеризующимся определенной скоростью приближения тригонометрическими многочленами или скоростью роста производных. Предложенный подход позволяет описывать множество значений энергии, на котором уравнение имеет решения в виде функций Флоке-Блоха, строить границы зон неустойчивости, решения, соответствующие этим границам, а также оценивать раз-меры резонансных зон. Установлено свойство аналитической зави-симости по малому параметру границ зон неустойчивости, что позволяет в случае квазипериодического уравнения Шредингера (с базисом частот ) определять границы резонансных зон в виде сходящихся разложений. В частности показано, что по аналогии с периодическим случаем, границы зон неустойчивости определяются как простые собственные значения оператора Шредингера, заданного в классе квазипериодических функций с базисом частот . Такой подход существенно облегчает процедуру определения границ резонансных зон. Для описания коэффициентов указанных разложений в случае, когда потенциал в уравнении Шредингера является действительным тригонометрическим многочленом конечного порядка, использовалась диаграммная техника.

Показано, что описанные в данной работе методы исследования квазипериодического уравнения Шредингера могут использоваться для исследований одномерной квазипериодической системы Дирака.

Ключевые слова: КАМ-теория, уравнение Шредингера, система Дирака, уравнение Матье, резонансная зона, квазипериодическое движение, функция Флоке-Блоха, диаграммная техника.

Denysenko O.M. On the stability and instability zones of one-dimensional quasiperiodic Shrцdinger equation. – Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of physical and mathematical sciences degree (Ph.D.) on the speciality 01.01.02 – differential equations. National Kyiv Taras Shevchenko University of Kyiv. Kyiv, 2008.

This thesis is devoted studying the stability and instability zones for one-dimensional Shrцdinger equation with smooth quasiperiodic potential. With a help of KAM-theory methods the Shrцdinger equation whose potential is characterized by certain rate of approximation by trigonometric polynomials or derivatives rise rate is investigated. There is described the set of energy, for which this equation has a pair of linearly independent Floquet-Bloch solutions. KAM-methods are applied to construct boundaries of instability zones and solutions for these boundaries. Instability zones’ boundaries are proved to be analytic in a small parameter. Estimates of resonance energy zones are obtained. The cases where the potential is quasianalytic, analytic and a finite order trigonometric polynomial are also considered. Diagram technique is applied to construct the boundaries of instability zones as convergent series in a small parameter.

Key words: КАМ-theory, Shrцdinger equation, Dirac system, resonance zone, quasiperiodic motion, Floquet-Bloch function, diagram technique.