Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Фотій Олена Георгіївна

УДК 517.51

ЗВ’ЯЗКИ МІЖ РІЗНИМИ ТИПАМИ НЕПЕРЕРВНОСТІ МНОГОЗНАЧНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ

01.01.01 – математичний аналіз

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертацiї на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці – 2 0 0 8

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Чернівецького національного

університету імені Юрія Федьковича Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук,

професор Маслюченко Володимир Кирилович,

завідувач кафедри математичного аналізу

Чернівецького національного університету

імені Юрія Федьковича

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук,

Зелінський Юрій Борисович,

завідувач відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу

Інституту математики НАН України

доктор фізико-математичних наук,

Загороднюк Андрій Васильович,

завідувач кафедри математичного і функціонального аналізу

Прикарпатського національного університету

імені Василя Стефаника

Захист відбудеться " 28 " лютого 2008 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради

Д 35.051.18 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою:

79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377

З дисертацією можна ознайомитись у Науковій бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка за адресою: м. Львів, вул. Драгоманова, 5.

Автореферат розісланий „ 23 ” січня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Тарасюк С.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Дослідженням зв’язків між нарізними і сукупними властивостями функцій інтенсивно займались математики впродовж ХХ століття, починаючи з класичних робіт Р. Бера про зв’язки між нарізною і сукупною неперервністю та Ф. Гартоґса – між нарізною та сукупною аналітичністю. Цими дослідженнями продовжували займатись такі математики як Г. Ган, К. Беґель, Е. ван Влек, С. Кемпістий, І. Наміока, З. Пьотровський та інші. Дослідження велися, як правило, для однозначних функцій, хоча теорія многозначних функцій виникла досить давно.

З 1984 року з ініціативи В.К. Маслюченка цю тематику активно розвивають на кафедрі математичного аналізу Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича він та його учні: В. Михайлюк, О. Собчук, О. Маслюченко, В. Нестеренко, О. Карлова та інші.

Зв’язками між нарізними і сукупними властивостями многозначних функцій математики почали займатися порівняно недавно. Однак слід констатувати той факт, що розробка багатьох проблем даного розділу аналізу є актуальною і в даний час. Цим і суміжним питанням присвячені роботи П. Кендерова, Ґ. Дебса, Т. Нойбрунна, Я. Еверт, М. Матейдеса та інших математиків. Ті результати, які були одержані в цих працях часто спирались на поняття неперервності зверху і знизу для многозначних відображень і теореми про зв’язки між цими поняттями. Так П. Кендеров і Ґ. Дебс встановили теореми про автоматичну неперервність знизу чи, відповідно, зверху на залишковій множині неперервних зверху чи знизу відображень при певних умовах на простір значень або на відображення. Оскільки отримані результати стосувалися тільки відображень зі значеннями в метризовних просторах, то актуально було дослідити можливість їх розширення на випадок деяких класів просторів, які близькі до метризовних, наприклад -метризовні простори та їх підкласи, чи конкретного неметризовного простору, як-от пряма Зорґенфрея.

Для однозначних функцій двох змінних добре відомий результат Калбрі-Труалліка про сукупну неперервність нарізно неперервних відображень. Ґ.Дебс вказав умови при яких неперервне знизу відносно першої змінної і неперервне зверху відносно другої змінної многозначне відображення з компактними значеннями є у багатьох точках неперервним зверху за сукупністю змінних. В зв’язку з цими результатами актуальним є дослідження зв’язків між нарізними та сукупними властивостями многозначних відображень на добутку топологічних просторів.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертацiї пов’язана з науково-дослiдними програмами ”Нарізні і сукупні властивості функцій багатьох змінних та геометрія функціональних просторів” (номер держ. реєстрацiї – 0106U001455) і ”Властивості абстрактних просторів та їх відображень” (номер держ. реєстрацiї – 0105U002888).

Мета i задачi дослiдження. Метою дисертацiї є дослідження зв’язків між різними типами неперервності многозначних відображень.

Задачами дослiдження є: –

перенесення теореми Кендерова на квазінеперервні зверху відображення та теореми Дебса на відображення зі значеннями у супер--метризовних просторах; –

вивчення неперервних знизу і зверху відображень зі значеннями у прямій Зорґенфрея; –

дослідження зв’язків між нарізними та сукупними властивостями многозначних відображень на добутку топологічних просторів.

Об’єктом дослiджень є неперервнi зверху та знизу многозначні відображення, нарізно неперервні многозначні відображення та їх аналоги.

Предметом дослiджень є зв’язки між різними типами неперервності многозначних відображень.

В дослiдженнi застосовуються методи загальної теорії функцій, зокрема, категорний метод.

Наукова новизна одержаних результатiв. В дисертацiйнiй роботi отримано такi нові результати: –

показано, що кожне квазінеперервне зверху відображення топологічного простору у сепарабельний метризовний простір має залишкову в множину точок неперервності знизу, чим істотно доповнені як результат П. Кендерова, який розглядав лише неперервні зверху відображення, так і результати Я. Еверт і М. Матейдеса, що розглядали лише компактнозначні відображення; –

перенесено два результати Ґ.Дебса про компактнозначні відображення зі значеннями в метризовних просторах на той випадок, коли їх значення лежать у супер--метризовних просторах; –

вперше досліджено неперервні зверху і знизу відображення зі значеннями в прямій Зорґенфрея , зокрема, доведено, що -значні неперервні знизу чи зверху відображення , що визначені відповідно на зв’язному чи -зв’язному просторі є сталими; –

встановлено многозначний аналог відомого результату Калбрі-Труалліка про сукупну неперервність однозначних нарізно неперервних функцій: для кожного нарізно неперервного замкненозначного відображення , яке визначене на добутку топологічного простору і топологічного простору , що задовольняє першу аксіому зліченності і набуває значень у локально компактному -компактному просторі , множина всіх точок з , для яких неперервне в точці , є залишковою в для кожного .

Наукове та практичне значення одержаних результатiв. Дисертацiя носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використанi в загальнiй теорiї функцiй, топологiї та функціональному аналізі. Всi науковi положення i висновки дисертацiї є цiлком обґрунтованими i достовiрними.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертації одержані здобувачем особисто. У працях [1 – 6] В.К. Маслюченку належить постановка задач та вказівки щодо вибору методів досліджень, у праці [5] О.В. Маслюченку належить ідея розгляду простору, що складається з -елементних множин.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертації апробовувались на міжнародній конференції ”Функціональний аналіз та його застосування”, присвяченої 110-річчю від дня народження С.Банаха (Львів, 2002 р.),на міжнародній конференцій ”Шості боголюбовські читання” (Чернівці, 2003 р.),на міжнародній конференції присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана (Чернівці, 2004 р.), на міжнародній конференції ”Аналіз та суміжні питання” (Львів, 2005 р.), на міжнародній конференції ”Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування” (Ужгород, 2006 р.), на міжнародній конференції ”Диференціальні рівняння та їх застосування” (Чернівці, 2006 р.) і на міжнародній конференції ”Боголюбовські читання-2007”, присвяченої 90-річчю від дня народження Ю.Митропольського ( Житомир, 2007). Крім того, вони доповідалися на науковому семінарі кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету (керівник проф. В.К. Маслюченко), на науковому семінарі кафедри математичного і функціонального аналізу Прикарпатського національного університету (керівник д.ф.-м.н. А.В. Загороднюк), на науковому семінарі відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу Інституту математики НАН України (керівник проф. Ю.Б. Зелінський) і на Львівському науковому семінарі кафедри теорії функцій і функціонального аналізу (керівники – проф. А.А. Кондратюк та проф. О.Б. Скасків).

Публiкацiї. За матеріалами проведених досліджень опубліковано 14 статей та тез конференцій. Серед публікацій 7 праць у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 58 найменування (на 6 сторінках). Повний обсяг роботи становить 124 сторінки.

Висловлюю велику вдячнiсть своєму науковому керiвнику Володимиру Кириловичу Маслюченку та Володимиру Васильовичу Михайлюку за корисні поради та постiйну увагу до цiєї роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМICТ РОБОТИ

У вступі дисертації розкрито суть і стан наукової роботи, якій присвячене дисертаційне дослідження, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі дослідження.
У першому розділі зроблено огляд публікацій, що близькі до тематики дисертаційної роботи, наведено основні результати дисертації і результати, які використовуються в дисертації.

У другому розділі вивчаються зв’язки між неперервністю зверху та знизу многозначних відображень.

У підрозділі 2.1 нагадуються означення основних понять.

Нехай [EQ], [EQ] – топологічні простори, [EQ] – многозначне відображення, [EQ] для кожного [EQ]. Многозначне відображення [EQ] називається неперервним зверху /знизу/ в точцi [EQ], якщо для кожної відкритої в [EQ] множини [EQ], такої, що [EQ] /[EQ]/ існує такий окіл [EQ] точки [EQ] в [EQ], що [EQ] /[EQ]/ для кожного [EQ].

Через [EQ] /[EQ]/ ми позначаємо множину всіх точок [EQ] з [EQ], в яких [EQ] неперервне зверху /знизу/. Якщо [EQ] /[EQ]/, то [EQ] називається неперервним зверху /знизу/. Неперервні зверху /знизу/ відображення коротше називаються [EQ]-неперервними /[EQ]-неперервними/.

Кажуть, що [EQ] є квазінеперервним зверху /знизу/ в точцi [EQ], якщо для кожної відкритої в [EQ] множини [EQ], такої, що [EQ] /[EQ]/ i для кожного околу [EQ] точки [EQ] в [EQ] існує відкрита непорожня множина [EQ] в [EQ], така, що [EQ] і [EQ] /[EQ]/ для кожного [EQ].

Відображення [EQ] називають квазінеперервним зверху /знизу/, якщо воно є таким у кожній точці простору [EQ].

В підрозділі 2.2 досліджуються зв’язки між неперервністю зверху і знизу, [EQ]- і [EQ]- неперервністю. Крім того, там наводяться приклади які показують, що умова компактності в таких зв’язках є істотною.

Нехай [EQ], [EQ] – непорожні підмножини простору [EQ] і [EQ]. Покладемо [EQ], якщо [EQ], [EQ], якщо [EQ], і [EQ]. Рівністю [EQ] визначається псевдовідхилення на [EQ], яке ми називаємо псевдовідхиленням Гаусдорфа. Звуження функції [EQ] на систему [EQ] всіх непорожніх компактних підмножин [EQ] є метрикою, яка називається метрикою Гаусдорфа.

Нехай [EQ] – топологічний простір, [EQ] – метричний простір і [EQ]. Відображення [EQ] назвемо [EQ]-неперервним / [EQ]-неперервним/ в точці [EQ], якщо для кожного [EQ] існує окіл [EQ] точки [EQ] в [EQ], такий, що [EQ] /[EQ]/ для кожного [EQ] з [EQ]. Кажуть, що многозначне відображення [EQ] є [EQ]-неперервним у точці [EQ], якщо в цій точці неперервне однозначне відображення [EQ]: [EQ]. Відображення [EQ] називається [EQ]-неперервним, [EQ]-неперервним чи [EQ]-неперервним, якщо воно є таким у кожній точці простору [EQ].

Приклад 2.2.10. Нехай [EQ] – це множина всіх ірраціональних чисел на інтервалі [EQ] з топологією, індукованою з [EQ]. Кожне число [EQ] з [EQ] однозначно подається у вигляді нескінченного двійкового дробу: [EQ]. Покладемо [EQ]. Многозначне відображення [EQ] є замкненозначним [EQ]-неперервним, але не є [EQ]-неперервним і [EQ]-неперервним у жодній точці з [EQ].

Приклад 2.2.14. Нехай відображення [EQ]: [EQ] таке, що [EQ] для кожного [EQ]. Тоді [EQ] – це замкненозначне відображення, якеє [EQ]-неперервним іне є неперервним зверху в жодній точці[E]

Розвиваючи метод П.Кендерова в підрозділі 2.3 ми доводимо, що в його теоремі неперервність зверху може бути замінена на квазінеперервність зверху.

Теорема 2.3.3. Нехай [EQ] – топологічний простір, [EQ] – метризовний сепарабельний простір, [EQ] – квазінеперервне зверху відображення. Тоді множина [EQ] залишкова в [EQ].

В підрозділі 2.4 ми наводимо, наскільки нам відомо, нове доведення теореми Бера про напівнеперервні функції. На цих ідеях базується і наш підхід до доведення теореми Дебса про неперервні знизу многозначні відображення, який працює у випадку, коли простір значень сепарабельний.

В підрозділі 2.5 спочатку вводиться поняття супер-[EQ]-метризовного простору. Простір [EQ] називається супер-[EQ]-метризовним,якщо він зображається у вигляді об’єднання зростаючої послідовності замкнених метризовних підпросторів і кожна компактна множина [EQ] в [EQ] лежить у деякому дограничному просторі. Виявляється, що результат теореми Дебса переноситься на відображення зі значеннями у супер-[EQ]-метризовних просторах.

Теорема 2.5.2. Нехай [EQ] – топологічний простір, [EQ] – супер-[EQ]-метризовний простір i [EQ] – неперервне знизу компактнозначне відображення. Тоді множина [EQ] залишкова в [EQ].

Третій розділ дисертації присвячений многозначним відображенням зі значеннями у прямій Зорґенфрея.

Підрозділ 3.1 містить означення та деякі властивості прямої Зорґенфрея.

Пряма Зорґенфрея, яку ми позначаємо символом [EQ], – це топологічний простір, точками якого є дійсні числа, а базу околів точки [EQ] утворюють напіввідкриті справа проміжки [EQ], де [EQ]. Ми використовуємо таку властивість прямої Зорґенфрея: кожна компактна підмножина прямої Зорґенфрея [EQ] є не більш ніж зліченною.

В підрозділі 3.2 ми вивчаємо множину [EQ] для скінченнозначних неперервних знизу відображень [EQ] у пряму Зорґенфрея.

Наш метод базується на такому спостереженні.

Теорема 3.2.1. Нехай [EQ] – зв’язний топологічний простір i [EQ] – неперервна функція, для якої кожна точка [EQ] є точкою локального мінімуму. Тоді функція [EQ] стала.

Відображення [EQ] називається локально сталим, якщо для кожної точки [EQ] існує такий її окіл [EQ] в [EQ], що звуження [EQ] стале. Позначимо через [EQ] множину всіх тих точок з [EQ], в яких [EQ] локально стале.

Наступне твердження розвиває теорему 3.2.1 і використовується пізніше.

Теорема 3.2.2. Нехай [EQ] – берівський простір, який задовольняє другу аксіому зліченності, [EQ] – функція, у якої кожна точка [EQ] з [EQ] є точкою локального мінімуму. Тоді множина [EQ] є відкритою і всюди щільною в [EQ].

Для [EQ]-значних неперервних знизу відображень справедливий такий результат.

Теорема 3.2.4. Нехай [EQ] – зв’язний топологічний простір, [EQ], i [EQ] – неперервне знизу [EQ]-значне відображення. Тоді [EQ] – стале.

У випадку, коли [EQ] для кожного [EQ], ми отримали наступний результат.

Терема 3.2.5. Нехай [EQ] – локально зв’язний топологічний простір, [EQ] i [EQ] – неперервне знизу відображення, для якого [EQ] для кожного [EQ]. Тоді множина [EQ] – відкрита і всюди щільна в [EQ].

В загальному, для скінченнозначних неперервних знизу відображень [EQ] визначених на локально зв’язних просторах виконується підсилений варіант теореми Дебса.

Теорема 3.2.6. Нехай [EQ] – локально зв’язний топологічний простір i [EQ] – неперервне знизу скінченнозначне відображення. Тоді існує така залишкова відкрита множина [EQ] в [EQ], що [EQ] є локально сталим в кожній точці множини [EQ]. Якщо до того ж [EQ] – берівський простір, то множина [EQ] буде всюди щільною в [EQ].

В підрозділі 3.3 ми досліджуємо неперервні знизу відображення з компактними значеннями у прямій Зорґенфрея.

Спочатку з теореми Кантора про незліченність числової прямої виводиться, що для довільної послідовності [EQ] дійсних чисел існує послідовність дійсних чисел [EQ], така, що множини [EQ] попарно не перетинаються. Далі для довільних чисел [EQ] з [EQ] ми покладаємо [EQ] при [EQ] і визначаємо функцію [EQ] так: [EQ], якщо [EQ] для деякого [EQ], і [EQ] для кожного [EQ].

Наступна теорема показує, що твердження теореми Дебса не вірне для відображень зі значеннями у прямій Зорґенфрея.

Теорема 3.3.2. Нехай [EQ] – довільна послідовність додатних чисел [EQ], для яких [EQ] – послідовність дійсних чисел, така, що множини [EQ] – попарно не перетинаються, [EQ] для кожного [EQ] і [EQ] для кожного [EQ] з [EQ]. Визначене відображення [EQ] є компактнозначним, неперервним знизу і таким, що [EQ].

У підрозділі 3.4 досліджуються неперервні зверху відображення зі значеннями у прямій Зорґенфрея.

Спочатку ми наводимо приклад неперервного зверху відображення [EQ], у якого [EQ], з’ясувавши тим самим, що результат Кендерова не переноситься на відображення зі значеннями в [EQ].

Твердження 3.4.1. Нехай [EQ] – довільна неперервна строго зростаюча функція, яка набуває лише додатні значення (наприклад, [EQ]) і [EQ] для кожного [EQ]. Тоді многозначне відображення [EQ] неперервне зверху і [EQ].

Далі ми будуємо приклад, який показує, що для скінченнозначних неперервних зверху відображень не можна отримати аналогічного результату, як в теоремі 3.2.5.

Теорема 3.4.2. Нехай [EQ] – функція Рімана і [EQ] для кожного [EQ]. Тоді відображення [EQ]: [EQ] є неперервним зверху і для нього [EQ], а [EQ].

На основі теореми 3.2.2 доводиться наступний результат.

Теорема 3.4.7.Нехай [EQ] – берівський простір з другою аксіомою зліченності, [EQ] – натуральне число і [EQ] – неперервне зверху [EQ]-значне відображення. Тоді множина [EQ] точок локальної сталості відображення [EQ] відкрита і всюди щільна в [EQ].

Нагадаємо, що топологічний простір [EQ] називається паракомпактним, якщо в кожне його відкрите покриття можна вписати локально скінченне відкрите покриття, і спадково паракомпактним, якщо кожний його відкритий простір є паракомпактним. Для неперервних зверху відображень визначених на спадково паракомпактних берівських просторах справедливим є такий результат.

Теорема 3.4.9.Нехай [EQ] – спадково паракомпактний берівський простір, [EQ] – неперервне зверху відображення, таке, що [EQ] для кожного [EQ]. Тоді множина [EQ] залишкова в [EQ].

У підрозділі 3.5 ми доводимо сталість неперервних зверху двозначних відображень у пряму Зорґенфрея.

Нагадаємо, що компактний і гаусдорфовий топологічний простір коротше називають компактом. Континуумом називають зв’язний компакт.

Щоб сформулювати основний результат цього підрозділу ми вводимо одне підсилення поняття зв’язності, яке разом з тим є ослабленням поняття лінійної зв’язності. Топологічний простір [EQ] ми називаємо [EQ]-зв’язним, якщо для будь-яких його точок [EQ] i [EQ] існує такий континуум [EQ] в [EQ], що [EQ].

Теорема 3.5.6. Нехай [EQ] – [EQ]-зв’язний топологічний простір і [EQ] – неперервне зверху двозначне відображення. Тоді [EQ] стале.

В підрозділі 3.6 розглядається загальний випадок [EQ]-значних неперервних зверху многозначних відображень відображень зі значеннями в [EQ].

Теорема 3.6.5.Нехай [EQ] – [EQ]-зв’язний простір, [EQ] – топологічний [EQ]-простір, кожна компактна множина якого є не більш ніж зліченною, і [EQ] – неперервне зверху [EQ]-значне відображення. Тоді [EQ] – стале відображення.

З теореми 3.6.5. випливає наступний результат, який узагальнює теорему 3.5.6.

Теорема 3.6.6.Нехай [EQ] – [EQ]-зв’язний топологічний простір і [EQ]: [EQ] – неперервне зверху [EQ]-значне відображення. Тоді [EQ] – стале відображення.

У четвертому розділі досліджуються зв’язки між нарізними та сукупними властивостями многозначних відображень на добутку топологічних просторів.

В підрозділі 4.1 ми з допомогою нашого узагальнення першої теореми Дебса (терема 2.5.2) переносимо його другий результат на відображення зі значеннями у супер-[EQ]-метризовному просторі. При цьому ми використовуємо метод, застосований Дебсом.

Теорема 4.1.2. Нехай [EQ], [EQ] i [EQ] – топологічні простори, причому [EQ] компактний i задовольняє другу аксіому зліченності, а [EQ] регулярний і супер-[EQ]-метризовний, [EQ] [EQ] – компактнозначне відображення, яке неперервне знизу відносно першої змінної i неперервне зверху відносно другої змінної. Тоді існує залишкова множина [EQ] в [EQ] така, що [EQ] неперервне зверху в кожній точці [EQ].

Далі, ми наводимо приклади нарізно неперервних зверху /знизу/ компактнозначних відображень, які в жодній точці не є неперервними зверху /знизу/.

Нехай [EQ], [EQ], [EQ] i [EQ]. Покладемо [EQ], якщо [EQ], [EQ], якщо [EQ] для деякого [EQ], i [EQ], якщо [EQ], [EQ], якщо [EQ] для деякого [EQ].

Приклад 4.1.3. Відображення [EQ] є компактнозначним нарізно неперервним зверху /знизу/ , для якого [EQ] .

В підрозділі 4.2 ми вивчаємо зв’язки між многозначними відображеннями і породженими ними замкненозначними відображеннями. Ці зв’язки дають можливість від одного простору значень переходити до іншого, в якому топологія Віторіса володіє кращими властивостями, наприклад є метризовною, що дозволяє використовувати відомі результати про однозначні відображення.

Нехай [EQ] – топологічні простори і [EQ] – многозначне відображення. Для кожного [EQ] покладемо [EQ]. Відображення [EQ] називатимемо замиканням відображення [EQ] у просторі [EQ].

Нагадаємо, що для локально компактного некомпактного гаусдорфового простору [EQ] через [EQ] позначається компактифікація Александрова простору [EQ] з одноточковим наростом [EQ] Замикання відображення [EQ] у просторі [EQ] ми позначаємо [EQ] і називаємо його [EQ]-компактифікацією відображення [EQ].

Твердження 4.2.4. Нехай [EQ] – топологічний простір, [EQ] – локально компактний некомпактний гаусдорфовий простір і [EQ] – многозначне відображення. Тоді

(i) відображення [EQ] неперервне знизу тоді і тільки тоді, коли [EQ] неперервне знизу;

(ii) якщо відображення [EQ] неперервне зверху, то і [EQ] неперервне зверху.

Підрозділ 4.3 присвячений вивченню множини точок неперервності нарізно неперервних многозначних відображень.

Теорема 4.3.1. Нехай [EQ], [EQ] – топологічні простори, [EQ] – метричний простір і [EQ]: [EQ] – компактнозначне нарізно неперервне відображення. Тоді

(і) якщо [EQ] задовольняє першу аксіому зліченності, то для кожного [EQ] множина [EQ] залишкова в [EQ].

(іі) якщо [EQ] задовольняє другу аксіому зліченності, то множина [EQ] є залишковою в [EQ].

Наступна теорема вказує умови, при яких для замкненозначних нарізно неперервних відображень буде виконуватись властивість (i) теореми 4.3.1.

Теорема 4.3.6.Нехай [EQ] – топологічний простір, [EQ] – топологічний простір з першою аксіомою зліченності, [EQ] метризовний локально компактний [EQ]-компактний простір і [EQ] – замкненозначне нарізно неперервне відображення. Тоді множина [EQ], є залишковою в [EQ] для кожного [EQ].

У підрозділі 4.4 розглядаються поточково збіжні послідовності неперервних і [EQ]-неперервних многозначних відображень.

Тут наведено приклади скрізь розривних замкненозначних відображень [EQ] і послідовностей неперервних замкненозначних відображень [EQ], які поточково збігаються до [EQ] у метриці Гаусдорфа чи топології Віторіса.

Теорема 4.4.4. Нехай [EQ] – топологічний простір, який задовольняє першу аксіому зліченності, [EQ]: [EQ] – послідовність неперервних і обмежених функцій, що не є локально сталими у жодній точці [EQ], причому коливання функцій [EQ] при [EQ], а [EQ] для кожного [EQ] і [EQ] для кожного [EQ]. Тоді

(і) [EQ]: [EQ] є замкненозначним і [EQ]-неперервним,

(іі) [EQ] не є неперервним зверху в жодній точці [EQ];

(iii) [EQ] є поточковою [EQ]-границею деякої послідовності замкненозначних неперервних і [EQ]-неперервних відображень [EQ]: [EQ].

Теорема 4.4.7. Нехай [EQ] – топологічний простір з першою аксіомою зліченності, [EQ] – одностайно неперервна послідовність функцій [EQ]: [EQ], які не є локально сталими в жодній точці [EQ], така, що для кожного [EQ] [EQ] i [EQ] для кожного [EQ], [EQ] і [EQ] для [EQ]. Тоді відображення [EQ] замкненозначні неперервні і поточково збігаються в топології Віторіса до замкненозначного відображення [EQ], яке є [EQ]-неперервним і скрізь розривним на [EQ].

В И С Н О В К И

Дисертація присвячена дослідженню зв’язків між різними типами неперервності многозначних відображень: неперервностю зверху і знизу та - і -неперервністю; нарізною і сукупною неперервністю; тощо.

Для обґрунтування результатів дисертації використовуються методи загальної теорії функцій, зокрема, категорний метод.

В дисертації отримано такi результати: –

досліджені зв’язки між неперервністю зверху і -неперервністю та неперервністю знизу і -неперервністю, зокрема, побудовані приклади замкненозначних відображень, які -неперервні, але не -неперервні в жодній точці і -неперервні, але не -неперервні в жодній точці; –

показано, що кожне квазінеперервне зверху відображення [EQ] топологічного простору [EQ] у сепарабельний метризовний простір [EQ] буде неперервним знизу у всіх точках деякої залишкової в [EQ] множини; –

розроблено новий підхід до доведення теореми Дебса про неперервність зверху неперервного знизу многозначного відображення і ця теорема перенесена на відображення зі значеннями у супер-[EQ] -метризовному просторі; –

показано, що -значні неперервні знизу відображення [EQ] зв’язного топологічного простору у пряму Зорґенфрея [EQ] є сталими, і що для скінченнозначних неперервних знизу відображень [EQ], заданих на локально зв’язному просторі [EQ], множина [EQ] їх точок локальної сталості відкрита і залишкова в [EQ]; –

наведено приклад компактнозначного неперервного знизу відображення , яке не є неперервним зверху в жодній точці [EQ] з [EQ]; –

наведено приклади неперервного зверху відображення , яке не є неперервним знизу у жодній точці [EQ] і неперервного зверху відображення [EQ], у якого [EQ] для кожного [EQ] і [EQ]; –

доведено, що у кожної функції [EQ], заданої на берівському просторі [EQ], що задовольняє другу аксіому зліченності, у якої кожна точка [EQ] є точкою локального мінімуму, множина [EQ] є відкрита і всюди щільна в [EQ]; –

встановлено, що для довільного берівського простору [EQ] з другою аксіомою зліченності і неперервного зверху [EQ]-значного відображення [EQ] множина [EQ] відкрита і всюди щільна в [EQ]; –

показано, що для спадково паракомпактного берівського простору [EQ] і неперервного зверху відображення [EQ], у якого [EQ] для кожного [EQ] множина [EQ] залишкова в [EQ]; –

введено поняття [EQ]-зв’язного простору [EQ] і доведено, що кожне неперервне зверху [EQ]-значне відображення [EQ] [EQ]-зв’язного простору [EQ] у топологічний [EQ]-простір [EQ], кожна компактна множина якого є не більш ніж зліченною, є сталим; зокрема, показано, що це справджується, коли [EQ]; –

доведено таке узагальнення одного результату Дебса: якщо [EQ], [EQ] i [EQ] – топологічні простори, причому [EQ] компактний i задовольняє другу аксіому зліченності, а [EQ] регулярний i супер-[EQ] -метризовний, [EQ] – компактнозначне відображення, яке неперервне знизу відносно першої змінної i неперервне зверху відносно другої змінної, то існує залишкова множина [EQ] в [EQ] така, що [EQ] неперервне зверху в кожній точці [EQ]; –

наведені приклади компактнозначних відображень [EQ] при [EQ], таких, що [EQ] – нарізно неперервне зверху, але не є неперервним зверху за сукупністю змінних у жодній точці квадрата [EQ], а [EQ] – нарізно неперервне знизу, але не є неперервним знизу за сукупністю змінних у жодній точці з [EQ]; –

показано, що для довільних топологічного простору [EQ], топологічного простору [EQ] з першою аксіомою зліченності, метризовного локально компактного [EQ] -компактного простору [EQ] і замкненозначного нарізно неперервного відображення [EQ] множина [EQ], де – множина точок сукупної неперервності відображення [EQ], є залишковою в [EQ] для кожного [EQ]; –

доведено, що для зв’язного топологічного простору [EQ] і скінченно-компактного метричного простору [EQ] у кожного компактнозначного відображення [EQ], яке є поточковою [EQ]-границею послідовності [EQ]-неперервних замкненозначних відображень [EQ], множина [EQ] є залишкова в [EQ]; –

наведено приклади скрізь розривних замкненозначних відображень [EQ] і послідовностей неперервних замкненозначних відображень [EQ], які поточково збігаються до [EQ] у метриці Гаусдорфа чи топології Віторіса.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути використанi в загальнiй теорiї функцiй та топологiї.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Кожукар О.Г., Маслюченко В.К. Навколо теореми Дебса про многозначні відображення // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 191 – 192. Математика. – Чернівці: Рута, 2004. – С. - 66.

2. Маслюченко В.К., Фотій О.Г. Неперервні знизу відображення зі значеннями в прямій Зорґенфрея // Мат. студії. – 2005. – Т.24, №2. – С. 203 - 206.

3. Маслюченко В.К., Фотій О.Г. Неперервні зверху відображення зі значеннями в прямій Зорґенфрея // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 269. Математика. – Чернівці: Рута, 2005. – С. - 72.

4. Маслюченко В.К., Фотій О.Г. Неперервність знизу квазінеперервних зверху многозначних відображень // Математичний вісник НТШ. – Т.3. – 2006. – С. - 87.

5. Маслюченко В.К., Маслюченко О.В., Фотій О.Г. Простір -точкових множин і -значні відображення // Доповіді НАН України. – 2006, №10. – С. - 27.

6. Маслюченко В.К., Фотій О.Г. Сталість неперервних зверху двозначних відображень у пряму Зорґенфрея // Укр. мат. журн. – 2007, т. 59, №8. – С. - 1039.

7. Фотій О.Г. Зв’язки між неперервністю зверху і знизу, -неперервністю і -неперервністю // Наук. вісн. Чернівецького ун-ту. Вип. 336-337. Математика. – Чернівці: Рута, 2007. – С. - 196.

8. Кожукар О.Г. Про нарізно неперервні многозначні відображення //International Conference on Functional Analysis and its Applications, dedicated to the 110th anniversary of Stefan Banach. Book of abstracts (May 28-31, 2002). – Lviv, 2002. – P. .

9. Кожукар О.Г., Маслюченко В.К. Навколо теорем Дебса і Кендерова // Міжнародна наукова конференція ”Шості боголюбівські читання” (26 – 30 серпня 2003 р.) Тези доповідей. – Київ, 2003. – С. .

10. Кожукар О.Г., Маслюченко В.К. Компактнозначні відображення зі значеннями в прямій Зорґенфрея // Міжнародна конференція, присвячена 125 річниці від дня народження Ганса Гана (27 червня – 3 липня 2004 р.) Тези доповідей. – Чернівці: Рута. – 2004. – С. - 44.

11. Маслюченко В.К., Фотій О.Г. Неперервні зверху відображення зі значеннями в прямій Зорґенфрея // Міжнародна конференція ”Аналіз і суміжні питання” (17 – 20 листопада) Тези доповідей. – Львів, 2005. – С. - 68.

12. Маслюченко В.К., Маслюченко О.В., Фотій О.Г. Простір -точкових множин і -значні відображення // Міжнародна наукова конференція ”Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування” (18 – 23 вересня) Тези доповідей. – Ужгород, 2006. – С. - 70.

13. Маслюченко В.К., Фотій О.Г. Неперервність знизу квазінеперервних зверху многозначних відображень // Міжнародна конференція ”Диференціальні рівняння та їх застосування” (11 – 14 жовтня) Тези доповідей. – Чернівці, 2006. – С. .

14. Fotiy O. Connections between different types of continuity of multivalued mappings // International Conference Bogolubov readings 2007, dedicated to Yu.Mitropolskii on the occasion of his 90-th birthday Book of abstracts (19 august-2 september, 2007). – Zhitomir-Kiev, 2007. – P. .

15.

А Н О Т А Ц І Я

Фотій О. Г. Зв’язки між різними типами неперервності многозначних відображень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.01 – математичний аналiз. – Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка, Львiв, 2007.

Дисертація присвячена дослідженню зв’язків між різними типами неперервності многозначних відображень від однієї і двох змінних.

В даній роботі вивчено зв’язки між неперервністю зверху і -неперевністю та неперервністю знизу і - неперервністю; перенесено результат Кендерова про неперервні зверху відображення на випадок квазінеперервних зверху відображень і результат Дебса про неперервні знизу компактнозначні відображення на той випадок, коли вони набувають значень у супер--метризовних просторах. Вперше досліджено неперервні зверху і знизу відображення зі значеннями у прямій Зорґенфрея, детальніше, коли вони набувають скінченного числа значень. Зокрема, показано, що -значні неперервні знизу відображення зв’язного топологічного простору і -значні неперервні зверху відображення -зв’язного простору у пряму Зорґенфрея є сталими, і наведено приклад компактнозначного неперервного знизу відображення числової прямої у пряму Зорґенфрея, яке не є неперервним зверху в жодній точці.

Крім того, вивчено зв’язки між сукупними і нарізними властивостями мультифункцій від двох змінних. Зокрема, наведено приклади нарізно неперервних зверху чи знизу мультифункцій, які в жодній точці не є неперервними зверху і знизу відповідно. Отримано нову теорему про сукупну неперервність нарізно неперервного замкненозначного відображення визначеного на добутку топологічного простору і простору з першою аксіомою зліченності зі значеннями у метризовному локально компактному -компактному просторі. Досліджено властивості поточкових границь неперервних многозначних відображень відносно різних топологій.

Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер і можуть бути використанi в загальнiй теорiї функцiй, топологiї та функціональному аналізі.

Ключовi слова: неперервні зверху та знизу, квазінеперервні зверху та знизу, і - неперервні многозначні відображення, пряма Зорґенфрея, метрика Гаусдорфа, топологія Віторіса, нарізно та сукупно неперервні многозначні відображення.

А Н Н О Т А Ц И Я

Фотий Е.Г. Связи между разными типами непрерывности многозначных отображений. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 – математический анализ. – Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2007.

Диссертация посвящена исследованию связей между разными типами непрерывности многозначных отображений одной и двух переменных.

В этой работе изучены связи между непрерывностью сверху и -непрерывностью и непрерывностью снизу -непрерывностью; перенесен результат Кендерова о непрерывных сверху отображениях на случай квазинепрерывных сверху отображений и результат Дебса о непрерывных снизу компактнозначных отображениях на тот случай, когда они принимают значения в супер--метризуемых пространствах. Впервые исследованы непрерывные сверху и снизу отображения со значениями в прямой Зорґенфрея, детальнее, когда они принимают конечное число значений. В частности, показано, что -значные непрерывные снизу отображения связного топологического пространства и -значные непрерывные сверху отображения -связного пространства в прямую Зорґенфрея постоянны, и приведен пример компактнозначного непрерывного снизу отображения числовой прямой в прямую Зорґенфрея, не являющегося непрерывным сверху ни в одной точке.

Кроме того, изучены связи между совокупными и раздельными свойствами мультифункций двух переменных. В частности, приведены примеры раздельно непрерывных сверху или снизу мультифункций, которые соответственно не являються непрерывными сверху и снизу ни в одной точке. Получена новая теорема о совокупной непрерывности раздельно непрерывного замкнутозначного отображения, заданого на произведении топологического пространства и пространства с первой аксиомой счетности и принимают значения в метризуемом локально компактном -компактном пространстве. Исследованы свойства поточечных пределов непрерывных многозначных отображений относительно разных топологий.

Результаты диссертационной работы носят теоретический характер и могут быть использованы в общей теории функций, топологии и функциональном анализе.

Ключевые слова: непрерывные сверху и снизу, квазинепрерывные сверху и снизу, и - непрерывные многозначные отображения, прямая Зорґенфрея, метрика Гаусдорфа, топология Виториса, раздельно и совокупно непрерывные многозначные отображения.

A B S T R A C T

Fotiy O.G. Connections between different types of continuity of multi-valued mappings. – Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree by speciality 01.01.01 – mathematical analysis. Ivan Franko’s L’viv National University, L’viv, 2008.

The thesis is devoted to investigation of connections between different types of continuity of multi-valued mappings of one or two variables.

The connections between upper continuity and -continuity, -continuity and lower continuity and lower continuity are studied. The result of Kenderov on upper continuous mappings is carried over to the case of upper quasi-continuous mappings and the result of Debs on lower continuous compact-valued mappings is carried over to the case lower continuous compact-valued mappings with values in super--metrizable spaces. The upper continuous and lower continuous finite-values mappings in Sorgenfrey line are investigated at first.

Moreover, the connections between joint and separate properties of multi-functions of two variables are studied. Besides, the examples of upper or lower separately continuous multi-functions with no points of upper or lower continuity respectively are obtained. A new theorem on joint continuity of closed-valued separately continuous mapping on the product of a topological space and first countable space with values in a metrizable locally compact -compact space is proved. Some properties of pointwise limits of continuous multi-valued mappings in different topologies are investigated.

The results of the thesis are of theoretical character and can be applied in the general function theory, topology and functional analysis.

Key words: upper and lower continuous, upper and lower quasi-continuous, - and -continuous multi-valued mappings, Sorgenfrey line, Hausdorff metric, Vietoris topology, separately and joint continuous multi-valued mappings.

Свідоцтво про державну реєстрацію ДК №891 від 08.04.2002 р.

Підписано до друку 17.01.2008. Формат 60 х 84/16.

Папір офсетний. Друк офсетний. Ум. друк. арк.. 0,8.

Обл.-вид. Арк.. 0,9. Зам. 013. Тираж 100.

Друкарня видавництва “Рута” Чернівецького національного університету

58012, Чернівці, вул. Коцюбинського, 2