Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Фещенко Олексій Юрійович

УДК 519.21

ЗАСТОСУВАННЯ f-КОДІВ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ

ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФРАКТАЛЬНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ

ЙМОВІРНІСНИХ МІР

01.01.05 –– теорія ймовірностей і математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Працьовитий Микола Вікторович,

Національний педагогічний університет

імені М.П.Драгоманова,

завідувач кафедри вищої математики,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу фрактального аналізу.

Офіційні опоненти: академік НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор

Королюк Володимир Семенович,

Інститут математики НАНУ,

головний науковий співробітник;

кандидат фізико-математичних наук, доцент,

старший науковий співробітник

Пашко Анатолій Олексійович,

Європейський університет, м. Київ,

завідуючий кафедрою інформаційних систем

і технологій.

Захист відбудеться «25» лютого 2008 року о 16 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ, проспект академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий «24» січня 2008 року

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню чистих (в основному сингулярних) розподілів випадкових величин, визначених розподілами своїх цифр (символів) в різних системах кодування (подання, зображення) дійсних чисел (-розклади, ц-розклади, f-коди) як з допомогою скінченного, так і нескінченного алфавітів.

Актуальність теми. В останні роки спостерігається підвищений інтерес до ортогональних мірі Лебега (далі сингулярних) розподілів ймовірностей. Вони все ще залишаються найменш вивченими серед чистих типів ймовірнісних мір, хоча все частіше зустрічаються як в теоретичних дослідженнях, так і в різних застосуваннях, зокрема в математичній фізиці, спектральній теорії операторів, теорії функцій, теоріях кодування та декодування інформації, метричній теорії чисел тощо. Передумови для цього забезпечують дослідження в галузі теорії мір дробових порядків (типу Хаусдорфа), геометрії чисел, фрактального аналізу та фрактальної геометрії. Широкопланові дослідження фрактальних властивостей ймовірнісних мір велися різними авторами. Серед вітчизняних дослідників відмітимо роботи Працьовитого М.В., Торбіна Г.М., Виннишина Я.Ф., Лещинського О.Л., Школьного О.В., Гончаренко Я.В., Барановського О.М. та ін., в яких розроблена ідеологія багаторівневого фрактального аналізу мір. Дана робота є продовженням досліджень в цьому напрямку. В ній вивчаються випадкові величини Джессена-Вінтнера –– суми випадкових рядів з незалежними дискретно розподіленими доданками та їх геометричні аналоги.

Один з досліджуваних класів розподілів утворюють узагальнені нескінченні згортки Бернуллі. Цей об'єкт фігурує в дослідженнях з 30-х рр. ХХ століття. Його вивчали Джессен (Jessen B.) і Вінтнер (Wintner A.) (1935), Кершнер (Kershner R.) і Вінтнер (1935), Ердеш (Erdцs P.) (1935, 1939, 1940), Кахане (Kahane J.P.) і Салем (Salem R.) (1958), Гарсіа (Garsia A.M.) (1962) та ін. Значний інтерес до згорток Бернуллі відновився в 80-ті роки у зв'язку з їх важливістю для дослідження багатьох проблем теорії динамічних систем (Alexander J.C. and Yorke J.A. (1984), Ledrappier F. (1994). Нові результати з цієї проблематики були отримані Працьовитим М.В. (1992, 1998), Солом'яком Б. (Solomyak B.) (1995), Маулдіном (Mauldin D.) та Саймоном (Simon K.) (1998), Пересом (Peres Y.) і Солом'яком (1998), Працьовитим М.В. і Торбіним Г.М. (1998), Альбеверіо С. і Торбіним Г.М. (2004), Гончаренко Я.В., Працьовитим М.В. і Торбіним Г.М. (2005), Альбеверіо С., Барановським О.М., Працьовитим М.В. і Торбіним Г.М. (2007). Ефективним інструментом вивчення згорток Бернуллі та їх узагальнень є Q*-метод та його аналоги.

Нехай –– скінченний або нескінченний впорядкований набір символів (алфавіт). Відображення f множини на відрізок [0;1]:

називається f-кодуванням числа x. При цьому впорядкована послідовність (cm) називається f-кодом числа x, cm –– m-тим символом коду x. Це символічно записується

Прикладами кодування чисел за допомогою скінченного алфавіту є s-адичні та в-розклади дійсних чисел:

і т.д., де [x] –– ціла частина, а {x} –– дробова частина x.

Прикладами кодування чисел з допомогою нескінченного алфавіту є ланцюгові дроби, розклади чисел в ряди Остроградського та Люрота. Зображення числа x елементарним ланцюговим дробом має вигляд:

розклад числа x в ряд Остроградського 1-го виду ––

де qk –– натуральні числа, , ,

розклад числа x в ряд Люрота ––

де dk –– натуральні числа.

Зауважимо, що існують системи зображення чисел, у яких алфавіт не є сталим. Справді, відомо, що коли (sn) –– задана послідовність натуральних чисел, більших 1, то для довільного існує не більше однієї послідовності цілих чисел такої, що

Кожен спосіб зображення чисел породжує свої метричні відношення, свою геометрію і створює передумови для розвитку метричної, ймовірнісної та фрактальної теорії дійсних чисел. Метрична теорія дійсних чисел займається дослідженням міри (Жордана, Лебега та ін.) множин чисел, що мають певну властивість, часто це властивість зображення числа в тій чи іншій системі зображення. Фрактальна теорія вивчає фрактальні властивості таких множин, їх розмірність Хаусдорфа-Безиковича, ентропійну розмірність та ін. Ймовірнісна теорія займається розподілами на таких множинах. Вона вивчає розподіли випадкових величин, визначених розподілами символів в тій чи іншій системі зображення, а також розподілами цифр випадкової величини при відомому її розподілі.

В 1985 році Працьовитим М.В. введено в розгляд Q-представлення дійсних чисел, яке пізніше в роботах Працьовитого М.В. та Торбіна Г.М. узагальнювалось до Q*-представлення. Деякі результати, здобуті для Q-представлення, були узагальнені цими авторами на Q*-представлення. Конструкція Q*-представлення чисел допускає суттєве узагальнення, яке дозволяє значно розширити клас досліджуваних об'єктів і вийти за межі чистих мір та розподілів ймовірностей, а також здобути ряд загальних результатів, що стосуються тополого-метричних і фрактальних властивостей математичних об'єктів зі складною локальною будовою.

В даній роботі формалізуються і розвиваються ідеї Працьовитого М.В. про f-кодування дійсних чисел за допомогою символів скінченного та нескінченного алфавітів, закладаються основи метричної та ймовірнісної теорії f-кодування: циліндричне і -зображення. Одне з них має скінченний, а інше –– нескінченний алфавіт.

Основним об'єктом дисертаційного дослідження є розподіл випадкової величини

де зk –– послідовність випадкових величин, що набувають значень з алфавіту A, що є незалежними або утворюють ланцюг Маркова.

Для деяких A та f розв'язуються наступні задачі:

1. Про лебегівську структуру розподілу о (тобто вміст дискретної, сингулярної та абсолютно неперервної компонент) з відповідною ймовірнісною мірою мо і функцією розподілу Fо:

Fd –– дискретна функція розподілу,

Fs –– сингулярна (тобто Fs –– неперервна, майже скрізь в розумінні міри Лебега),

–– абсолютно неперервна.

2. Встановлення критеріїв дискретності, сингулярності та абсолютної неперервності випадкової величини о.

3. Про тополого-метричні і фрактальні властивості суттєвих для розподілу випадкової величини о множин, зокрема спектра

4. Про структуру сингулярного розподілу о (вміст канторівської, салемівської та квазіканторівської компонент):

5. Про поведінку модуля характеристичної функції випадкової величини о на нескінченності. Обчислення або оцінка величини

6. Про збереження фрактальної розмірності функцією розподілу випадкової величини о (відшуканню умов того, що функція розподілу випадкової величини з досліджуваного класу зберігає фрактальну розмірність).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в Інституті математики НАН України. Дисертаційне дослідження проводилось в рамках наукового проекту ''Топологічні та метричні характеристики атракторів динамічних систем, що породжуються еволюційними задачами'' (грант Державного фонду фундаментальних досліджень, проект 01.07 / 00081) та науково-дослідної теми ``Мультифрактальний аналіз сингулярних мір, функцій та динамічних систем''.

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є:

1) розробка апарату для опису та вивчення тополого-метричних, ергодичних і фрактальних властивостей ''локально складних'' математичних об'єктів (фрактальних множин, розподілів випадкових величин, недиференційовних функцій тощо);

2) застосування запропонованого апарату для аналізу ймовірнісних мір;

3) дослідження фрактальних властивостей згорток Бернуллі.

Його основні завдання полягали в наступному:

1. Розробити схему кодування дійсних чисел, що узагальнює Q*-зображення і дозволяє розширити класи фрактальних об'єктів, які формально нескладно задаються. Для запропонованої системи кодування:

· дослідити ''нормальні'' властивості чисел в термінах частот символів зображення;

· дослідити структуру розподілів випадкових величин з незалежними кодами, тобто встановити необхідні і достатні умови належності розподілів до кожного з чистих типів (чисто дискретного, чисто абсолютно неперервного, чисто сингулярного);

· дослідити структуру сингулярного розподілу випадкових величин;

· вивчити тополого-метричні та фрактальні властивості розподілів випадкових величин цього класу.

2. Вивчити структуру, тополого-метричні і фрактальні властивості розподілу випадкової неповної суми збіжного знакододатного ряду з випадковими незалежними доданками при деяких обмеженнях на швидкість збіжності ряду та розподіли доданків.

3. Запропонувати деякі конструкції мір Хаусдорфа дробових порядків і фрактальної розмірності в просторі нескінченних послідовностей символів скінченного алфавіту.

4. Дослідити фрактальні властивості множин в просторі нескінченних послідовностей символів з A для спеціальної міри Хаусдорфа з вимірюючою ймовірнісною мірою, введеної в цьому просторі.

5. Показати можливості використання Q-представлення для означення міри і розмірності Хаусдорфа-Біллінгслі, топологізації, метризації простору нескінченних послідовностей; задання сингулярних і недиференційовних функцій.

Метoди дослідження. В роботі використовувались методи теорії ймовірностей, теорії міри, математичного аналізу, фрактального аналізу та фрактальної геометрії.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційному дослідженні здобуті наступні результати:

· обгрунтовано новий спосіб зображення дійсних чисел з нескінченним алфавітом (множиною цілих чисел) –– так зване -зображення, залежне від одного параметра ц ("золоте відношення"). Воно є формально зручним для опису і дослідження класів фрактальних N-самоподібних множин та ймовірнісних мір;

· знайдено ''нормальні'' властивості чисел в термінах частот символів в їх -зображенні;

· описано новий клас випадкових величин з незалежними символами своїх -кодів, що мають чистий, в переважній більшості сингулярний, розподіл; встановлено необхідні і достатні умови належності таких розподілів до кожного з чистих типів (чисто дискретного, чисто абсолютно неперервного, чисто сингулярного). У випадку сингулярності розподілу знайдено критерії належності його до канторівського, салемівського та квазіканторівського типів. Вивчено тополого-метричні та фрактальні властивості розподілів випадкових величин цього класу;

· вивчено структуру, тополого-метричні і фрактальні властивості розподілу випадкової неповної суми збіжного знакододатного ряду з випадковими незалежними доданками при деяких обмеженнях на швидкість збіжності ряду та розподіли доданків;

· досліджено поведінку модуля характеристичної функції випадкової неповної суми збіжного знакододатного ряду на нескінченності та збереження фрактальної розмірності її функцією розподілу;

· запропоновано загальну схема кодування дійсних чисел за допомогою символів скінченного алфавіту;

· знайдено формули для обчислення розмірності Хаусдорфа-Біллінгслі двох класів множин канторівського типу у просторі нескінченних послідовностей символів скінченного алфавіту відносно ймовірнісної міри, що відповідає розподілу випадкового елементу простору з незалежними символами;

· обгрунтовано еквівалентність означення розмірності Хаусдорфа-Безиковича через покриття -циліндрами та Q*-циліндрами. Вивчено фрактальні властивості кількох класів множин типу Кантора-Морана і Безиковича-Егглстона, які для досліджуваних розподілів є носіями;

· показано можливості використання Q-представлення для означення міри і розмірності Хаусдорфа-Біллінгслі, топологізації, метризації простору нескінченних послідовностей; задання сингулярних і недиференційовних функцій.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають в основному теоретичне значення і є деяким внеском в теорію сингулярних мір (розподілів ймовірностей). Їх можна трактувати і в термінах метричної теорії чисел. Отримані наукові результати напевно знайдуть своє подальше застосування в теорії ймовірностей, теорії функцій, теорії чисел і фрактальному аналізі. Вони можуть бути використані в подальших дослідженнях, які ведуться в Інституті математики НАН України, НПУ імені М.П.Драгоманова, Інституті прикладної математики Боннського університету та інших установах.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що виносяться на захист, отримані автором самостійно. В роботах, опублікованих у співавторстві з науковим керівником, Працьовитому М.В. належать загальна постановка задач, деякі ідеї доведення деяких тверджень, перевірка та редагування отриманих результатів. До дисертації включені лише ті результати, що належать автору.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на засіданнях наукових семінарів в Інституті математики (семінар з функціонального аналізу, фрактального аналізу), Київському національному універистеті імені Тараса Шевченка, Національному педагогічному університеті імені М.П.Драгоманова.

Результати дисертаційного дослідження доповідались на конференціях:

· ІХ Всеукраїнська наукова конференція ''Фундаментальна та професійна підготовка фахівців з фізики'', Київ, 2004;

· Конференція ''Фрактали і сучасна математика'', Київ, 2005;

· ХІ міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука, Київ, 2006;

· Міжнародна конференція ''Сучасна стохастика: теорія та застосування'', Київ, 2006;

· Конференція, присвячена пам'яті професора С.С.Левіщенка, Київ, 2006;

· Міжнародна конференція ''Skorokhod space. 50 years on'', Київ, 2007.

Публікації. По темі дисертаційного дослідження опубліковано 11 робіт, з них 5 статей і 6 тез виступів на конференціях. Одну статтю подано до друку. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-11].

Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, що налічує 132 найменування. Обсяг дисертації 140 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційного дослідження, сформульовано мету і завдання роботи, висвітлено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

В розділі 1 ''-зображення дійсних чисел і фрактали, з ним пов'язані'' обгрунтовано -зображення чисел інтервалу (0;1), що є кодуванням числа з допомогою символів нескінченного алфавіту (множини цілих чисел). Воно визначається системою подрібнюючих розбиттів інтервалу на нескінченну кількість циліндричних інтервалів першого рангу, кожен з яких є об'єднанням нескінченної кількості циліндрів другого рангу і т.д. При цьому відношення довжин вкладених циліндрів двох послідовних рангів залежить від останнього індексу циліндра і є степенем числа .

Теорема 1.1.2. Для довільного існує єдина скінченна або нескінченна послідовність цілих чисел (ck) така, що

(1)

де (2)

Означення 1.1.2. Подання (представлення) числа рядом (1) називається його -представленням, що формально записується у вигляді і називається -зображення числа x.

Циліндром рангу m з основою c1c2...cm називається множина всіх чисел x, що мають -зображення, перші m символів якого співпадають з c1, c2, ..., cm відповідно, що символічно позначається .

Використано -зображення дійсних чисел для задання і дослідження ніде не щільних множин канторівського і квазіканторівського типів, які в наступному розділі виступають в ролі спектрів та істотних носіїв розподілів випадкових величин. В першому розділі отримано вираз для їх міри Лебега, критерій та деякі достатні умови нуль-мірності, рівняння для їх розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

Нехай {Vk} –– послідовність підмножин множини цілих чисел Z; множина

містить ті точки відрізка [0;1], що мають -зображення, k-ий -символ яких належить множині Vk.

Нехай Fk –– об'єднання циліндричних відрізків рангу k, серед внутрішніх точок яких є точки множини C, а .

Теорема 1.2.1. Множина має наступні властивості:

1) є континуальною, якщо нескінченна кількість множин Vk містить більше одного елемента;

2) є об'єднанням циліндричних відрізків рангу m, якщо при ;

3) є ніде не щільною, якщо для нескінченної множини значень k;

4) її міра Лебега обчислюється за формулами

(3)

Теорема 1.2.2. Множина чисел відрізка [0;1] з обмеженими cимволами -зображення має нульову міру Лебега.

Визначено розмірність Хаусдорфа-Безиковича множин чисел, -символи яких належать множині V, а також множин чисел з наперед заданими частотами використання -символів.

Теорема 1.2.3. Розмірність Хаусдорфа-Безиковича множини є розв'язком рівняння

(4)

Розглянемо функцію (оператор) , яка точку відображає в точку . Очевидно, що її множиною значень є [0;1], причому кожна точка є образом зчисленної множини точок: , де . Існує зчисленна множина інваріантних точок. Це множина точок , ().

Нехай ,

Доведено, що міра Лебега є інваріантною мірою оператора зсуву -символів.

Теорема 1.3.1. Міра Лебега множини

(5)

не залежить від n і дорівнює x, тобто

Нехай –– кількість символів ''i'' серед перших n символів -зображення x.

Якщо існує границя послідовності при то вона називається частотою цифри ''i'' в -зображенні x і позначається , тобто

В термінах частот символів в -зображенні отримано нормальні властивості чисел (аналог теореми Лебега).

Доведено, що множина чисел відрізка [0;1], що не мають частоти принаймні одного -символа, є суперфрактальною множиною, тобто континуальною множиною, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якої дорівнює 1. Наведено приклад числа, що не має частоти жодного -символа.

Теорема 1.4.1. Для майже всіх (в розумінні міри Лебега) чисел інтервалу (0;1) частота довільного символа m в їх -зображенні дорівнює .

Показано, що визначаючи міру Хаусдорфа через покриття -циліндрами, можна отримати еквівалентне означення розмірності Хаусдорфа-Безиковича.

Нехай m –– фіксоване натуральне число; –– сім'я всіх циліндричних відрізків рангу k, модуль останнього -символа яких не перевищує , а також

де [E] –– замикання множини E, ; . Покладемо

Теорема 1.5.1. Якщо –– б-міра Хаусдорфа, визначена покриттями відрізками з W, то для класичної б-міри Хаусдорфа Hб довільної множини виконуються нерівності

Цей факт був використаний для дослідження фрактальних властивостей множин.

Нехай –– нескінченний ''стохастичний вектор'', тобто , .

Теорема 1.6.1. Множина

є: 1) щільною в [0;1]; 2) всюди розривною; 3) множиною, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якої обчислюється за формулою

(6)

4) N-самоподібною множиною, самоподібна розмірність якої дорівнює 1.

Теорема 1.6.2. Множина

є: 1) ніде не щільною; 2) щільною в ; 3) множиною нульової міри Лебега; 4) множиною, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якої обчислюється за формулою

5) самоподібною множиною, самоподібна розмірність якої задовольняє рівняння (4).

Теорема 1.7.1. Множина E чисел відрізка [0;1], що не мають частоти принаймні одного -символа, є суперфрактальною множиною, тобто континуальною множиною, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якої дорівнює 1.

Другий розділ ''Випадкові величини, визначені розподілами своїх -символів'' присвячений дослідженню структури і властивостей випадкової величини, заданої розподілами її -символів. В ньому описано спектр випадкової величини о з незалежними -символами. Отримано вираз її функції розподілу. Вивчено лебегівську структуру розподілу о, а саме: доведено чистоту розподілу, критерії дискретності, абсолютної неперервності та сингулярності, а також чистоту сингулярного розподілу о та критерії належності до кожного з трьох чистих типів (S-, C- та P-типу).

Розглянемо випадкову величину

де фk –– послідовність незалежних випадкових величин, які мають розподіли

Теорема 2.2.1. У випадку неперервності випадкова величина о має чисто сингулярний або чисто абсолютно неперервний розподіл, причому

1. о –– абсолютно неперервна тоді і тільки тоді, коли

(7)

2. о –– сингулярна тоді і тільки тоді, коли ряд (7) є розбіжним.

Наслідок 2.2.1. У випадку однакової розподіленості випадкових величин фk, тобто , розподіл о є:

1. дискретним

2. абсолютно неперервним

3. сингулярно неперервним

причому дискретний розподіл о є виродженим, його єдиний атом співпадає з точкою , де ; у випадку абcолютної неперервності розподіл о є рівномірним.

Теорема 2.3.1. Якщо випадкова величина о має сингулярний розподіл, то він належить до

1) S-типу, коли матриця має лише скінченну кількість стовпців, які містять нулі;

2) C-типу, коли матриця має нескінченну кількість стовпців з нулями, причому

3) P-типу, коли матриця має нескінченну кількість стовпців з нулями, причому

Доведено, що строго зростаюча функція розподілу випадкової величини о з незалежними однаково розподіленими -символами зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича тоді і тільки тоді, коли розподіл о є рівномірним. Для випадку, коли -символи не мають однакового розподілу, знайдено достатні умови збереження розмірності Хаусдорфа-Безиковича функцією розподілу випадкової величини о. Зокрема доведено, що довільна строго зростаюча абсолютно неперервна функція розподілу випадкової величини о зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича.

Теорема 2.4.1. Строго зростаюча функція розподілу випадкової величини о з незалежними однаково розподіленими -символами зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича тоді і тільки тоді коли для всіх .

Теорема 2.4.2. Якщо то функція розподілу випадкової величини о зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича.

Наслідок 2.4.1. Довільна строго зростаюча абсолютно неперервна функція розподілу випадкової величини о зберігає розмірність Хаусдорфа-Безиковича.

В розділі 2 досліджено також структуру (вміст дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент) властивості розподілу випадкової величини, -символи якої утворюють однорідний ланцюг Маркова. Тут доведено критерій наявності атомів (а отже, і критерій неперервності розподілу), обчислено фрактальну розмірність спектра розподілу.

В розділі 3 ''Тополого-метричні і фрактальні властивості розподілів ймовірностей на множині неповних сум знакододатного ряду'' вивчено геометрію кодування точок множини неповних сум збіжного знакододатного ряду, який має властивість , за допомогою двох символів: 0 та 1 (описано властивості циліндричних множин, специфіку їх перекриттів тощо).

Досліджено структуру і властивості розподілу випадкової неповної суми такого ряду (випадкової величини о з незалежними ц-символами). А саме: вивчаються властивості розподілу випадкової величини:

(8)

де зk –– послідовність незалежних випадкових величин, які набувають значень 0 та 1 з ймовірностями p0k i p1k відповідно (, ).

Теорема 3.3.1. Існує єдиний знакододатний ряд, який має властивість . Для нього

(9)

де , {un} –– класична послідовність Фібоначчі.

Отримані умови того, що о матиме сингулярний розподіл канторівського типу і для цього випадку знайдено формули для обчислення розмірності Хаусдорфа-Безиковича спектра розподілу о.

Теорема 3.4.2. Якщо an –– визначене рівністю (9), i то випадкова величина о має сингулярний розподіл канторівського типу. Її спектр є самоподібною множиною, розмірність Хаусдорфа-Безиковича якої дорівнює

Теорема 3.4.3. Якщо an –– визначене рівністю (9), i то о має сингулярний розподіл канторівського типу. Розмірність Хаусдорфа-Безиковича його спектра обчислюється за формулою:

В третьому розділі також вивчається поведінка модуля характеристичної функції випадкової величини о на нескінченності та збереження фрактальної розмірності її функцією розподілу.

Теорема 3.5.1. Якщо для довільного i то функція розподілу Fо випадкової величини о, означеної рівністю (8), зберігає фрактальну розмірність.

Теорема 3.6.1. Якщо де то

(10)

Теорема 3.6.2. Якщо і для довільного

то тоді і тільки тоді, коли

В четвертому розділі ''Кодування дійсних чисел за допомогою символів скінченного алфавіту'' розглядається загальна схема кодування дійсних чисел за допомогою символів скінченного алфавіту A. Досліджуються фрактальні властивості множин в просторі нескінченних послідовностей символів з A для спеціальної міри Хаусдорфа, введеної в цьому просторі.

Вводиться міра м на у-алгебрі борелівських множин простору нескінченних послідовностей L заданням її на класі циліндричних множин W рівністю

(11)

де –– нескінченна стохастична матриця.

Теорема 4.3.1. Міра м є чисто дискретною або чисто неперервною, причому дискретною тоді і тільки тоді, коли

(12)

Теорема 4.4.1. Якщо всі стовпці матриці однакові, тобто i існує таке m, що , то розмірність Хаусдорфа-Біллінгслі б* множини

задовольняє умову:

Нехай , –– впорядкована множина всіх непорожних підмножин алфавіту A, –– число співпадань множин V1,...,Vn (перших n з послідовності {Vk}) з множиною Ai. Якщо існує границя то її називатимемо частотою множини Ai в послідовності {Vk} і позначати .

Теорема 4.4.2. Якщо всі стовпці матриці однакові, тобто , і існують частоти для всіх Ai, , то розмірність Хаусдорфа-Біллінгслі б множини задовольняє умову

(13)

Розглядаються різноманітні застосування поліосновного Q*-зображення дійсних чисел, а саме: для задання і вивчення властивостей неперервних ніде не диференційовних функцій, визначення ''локально тонких'' систем координат.

ВИСНОВКИ

В дисертаційному дослідженні здобуті наступні результати:

1) обгрунтовано новий спосіб зображення дійсних чисел з нескінченним алфавітом (множиною цілих чисел) –– так зване -зображення, залежне від одного параметра ц ("золоте відношення"). Воно є формально зручним для опису і дослідження класів фрактальних N-самоподібних множин та ймовірнісних мір;

2) знайдено ''нормальні'' властивості чисел в термінах частот символів в їх -зображенні;

3) описано новий клас випадкових величин з незалежними символами своїх -кодів, що мають чистий, в переважній більшості сингулярний, розподіл; встановлено необхідні і достатні умови належності таких розподілів до кожного з чистих типів (чисто дискретного, чисто абсолютно неперервного, чисто сингулярного). У випадку сингулярності розподілу знайдено критерії належності його до канторівського, салемівського та квазіканторівського типів. Вивчено тополого-метричні та фрактальні властивості розподілів випадкових величин цього класу;

4) вивчено структуру, тополого-метричні і фрактальні властивості розподілу випадкової неповної суми збіжного знакододатного ряду з випадковими незалежними доданками при деяких обмеженнях на швидкість збіжності ряду та розподіли доданків;

5) досліджено поведінку модуля характеристичної функції випадкової неповної суми збіжного знакододатного ряду на нескінченності та збереження фрактальної розмірності її функцією розподілу;

6) запропоновано загальну схему кодування дійсних чисел за допомогою символів скінченного алфавіту; знайдено формули для обчислення розмірності Хаусдорфа-Біллінгслі двох класів множин канторівського типу у просторі нескінченних послідовностей символів скінченного алфавіту відносно ймовірнісної міри, що відповідає розподілу випадкового елементу простору з незалежними символами;

7) обгрунтовано еквівалентність означення розмірності Хаусдорфа-Безиковича через покриття -циліндрами та Q*-циліндрами. Вивчено фрактальні властивості кількох класів множин типу Кантора-Морана і Безиковича-Егглстона, які для досліджуваних розподілів є носіями;

8) показано можливості використання Q-представлення для означення міри і розмірності Хаусдорфа-Біллінгслі, топологізації, метризації простору нескінченних послідовностей; задання сингулярних і недиференційовних функцій.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Працьовитий М.В., Фещенко О.Ю. Математичні моделі двосторонніх динамічних конфліктів i Q-представлення чисел // Наукові записки НПУ імені М. П. Драгоманова. Фізико-математичні науки. –– 2003, № 4. –– С. 260-269.

2. Фещенко О.Ю. Про символьний спосіб задання функцій і розподілів ймовірностей // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. –– 2004, № 5. –– С. 248-266.

3. Фещенко О.Ю. Властивості розподілів випадкових величин з незалежними символами своїх -кодів // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. –– 2005, № 6. –– С.225-234.

4. Фещенко О.Ю. Розподіли випадкових величин, -символи яких утворюють ланцюг Маркова // Науковий часопис НПУ імені М.П.Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. –– 2006, № 7. –– С. 43-54.

5. Pratsiovytyi M.V., Feshchenko O.Yu. Topological, metric and fractal properties of probability distributions on the set of incomplete sums of positive series // Theory of Stochastic Processes. –– 2007. –– 13(29), № 1-2. –– P. 205-224.

6. Працьовитий М.В., Фещенко О.Ю. Математичні моделі двосторонніх динамічних конфліктів // ІХ Всеукраїнська наукова конференція "Фундаментальна та професійна підготовка фахівців з фізики". Матеріали конференції. –– К.: НПУ імені М.П.Драгоманова, 2004. –– C.97.

7. Фещенко О.Ю. Застосування поліосновного Q-представлення до дослідження фрактальних властивостей мір і функцій // ''Фрактали і сучасна математика'': Матеріали наук. конференції. –– 2005, К.: НПУ імені М.П.Драгоманова. –– С. 64-65.

8. Працьовитий М.В., Фещенко О.Ю. Фрактальні властивості розподілів елементів топологічних просторів, заданих розподілами своїх f-символів // International conference ``Modern Stochastic: Theory and Applications'', June 19--23, 2006, Kyiv: Abstracts. –– Kyiv: Taras Shevchenko Kyiv National University, 2006. –– P. 73--74.

9. Працьовитий М.В., Фещенко О.Ю. Фрактальні властивості розподілів елементів топологічних просторів, заданих розподілами своїх f-символів // Матеріали конференції, присвяченої пам'яті професора С.С.Левіщенка, 7 жовтня 2006 р., Київ. –– Київ: Вид-во НПУ імені М.П.Драгоманова, 2006. –– С. 51-52.

10. Працьовитий М. В., Фещенко О.Ю. Про фрактальні властивості множин, розподілів і випадкових процесів в спеціально метризованому просторі нескінченних послідовностей символів зі скінченного алфавіту // Одинадцята міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука, 18-20 травня 2006р., Київ: Матеріали конф. –– Київ: Задруга, 2006. –– С. 741.

11. Pratsiovytyi M., Feschenko O. On properties of distributions of random values and one convergent positive series // International conference "Skorokhod Space 50: Years On", Abstracts. –– June 17-23, 2007, Kyiv. –– P.167-168.

АНОТАЦІЇ

Фещенко О.Ю. Застосування f-кодів дійсних чисел до дослідження фрактальних властивостей ймовірнісних мір. –– Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико"=математичних наук за спеціальністю 01.01.05 –– теорія ймовірностей та математична статистика. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертація присвячена дослідженню структури, тополого-метричних і фрактальних властивостей випадкових величин (в.в.), символи зображення яких в певній системі кодування є незалежними або утворюють ланцюг Маркова. Вводиться нове -зображення дійсних чисел, яке дозволяє розширити класи фрактальних об'єктів, які формально нескладно задаються. Для запропонованої системи кодування досліджено ''нормальні'' властивості чисел в термінах частот символів зображення. Для в.в. з незалежними -символами досліджено лебегівську структуру розподілу (вміст дискретної, абсолютно неперервної та сингулярної компонент), а також структуру сингулярного розподілу (вміст салемівської, канторівської та квазіканторівської компонент). Вивчено тополого-метричні та фрактальні властивості спектрів в.в. цього класу. Аналогічні задачі розв'язані для одного класу згорток Бернуллі, а саме випадкових неповних сум збіжного знакододатного ряду з незалежними доданками.

Ключові слова: абсолютно неперервні та сингулярні розподіли, розмірність Хаусдорфа-Безиковича, фрактал, -представлення, простір нескінченних послідовностей, нормальне число, згортки Бернуллі.

Feshchenko O.Yu. Application of f-encoding of real numbers to investigation of fractal properties of probability measures. –– Manuscript.

The thesis for a scientific degree of Candidate of Physics and Mathematics Sciences, speciality 01.01.05 –– probability theory and mathematical statistics. –– Taras Shevchenko Kyiv National University, Kyiv, 2008.

In the thesis we study structure, topological, metric and fractal properties of random variables (r.v.) such that symbols of certain their representation (encoding) either are independent or form they Markov chain. The -representation of real numbers is introduced. It is offer some new classes of fractal objects with simple formal analytic definition. For proposed encoding system we study ``normal'' properties of numbers in terms of of frequencies of symbols of -representation. For r.v. with independent -symbols we study the Lebesgue structure of distribution (i.e., content of discrete, absolutely continuous and singular component) as well as the structure of singular distribution (i.e., content of the Salem-, Cantor- and quasi-Cantor-type component). We study topological, metric and fractal properties of spectra of r.v. from this class. We also solve similar problems for one class of Bernoulli convolutions namely random incomplete sums of the convergent positive series with independent addenda.

Keywords: absolutely continuous and singular distributions, Hausdorff-Besicovitch dimension, fractal, -representation, space of infinite sequences, normal number, Bernoulli convolutions.

Фещенко А.Ю. Применение f-кодов вещественных чисел к исследованию фрактальных свойств вероятностных мер. –– Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 -- теория вероятностей и математическая статистика. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008.

Диссертация посвящена исследованию структуры, тополого-метрических и фрактальных свойств случайных величин (с.в.), символы представления которых в некоторой системе кодирования являются независимыми или образуют цепь Маркова.

Вводится новое -представление действительных чисел, которое позволяет расширить классы формально несложно задающихся фрактальных объектов. Предложенный способ представления действительных чисел базируется на использовании бесконечного алфавита (множества целых чисел) и зависит от одного параметра ц ("золотого отношения").

Для предложенной системы кодирования исследованы ''нормальные'' совйства чисел в терминах частот символов -представления. Для с.в. с независимыми -символами исследована лебеговская структура распределения. Доказано, что с.в. с независимыми -символами имеет чистое распределение, найдены необходимые и достаточные условия принадлежности к каждому из чистых типов (чисто дискретному, чисто абсолютно непрерывному или чисто сингулярному). В случае сингулярности распределения найдены критерии принадлежности к каждому из чистых сингулярных типов (салемовскому, канторовскому или квазиканторовскому). Изучены тополого-метрические и фрактальные свойства распределений спектров с.в. этого класса.

В работе также исследуются бесконечные свертки Бернулли, являющиеся распределениями неполных сумм сходящегося знакоположительного ряда со случайными независимыми членами, изучена структура их распределения, тополого-метрические и фрактальные свойства, поведение модуля характеристической функции на бесконечности и сохранение фрактальной размерности их функцией распределения.

Предложена общая схема кодирования действительных чисел при помощи монотонной функции и символов конечного алфавита. Найдены формулы для вычисления размерности Хаусдорфа-Биллингсли двух классов множеств канторовского типа в пространстве бесконечных последовательностей символов конечного алфавита относительно вероятностной меры, соответствующей распределнию случайного элемента пространства с независимыми символами.

В работе доказана эквивалентность определения размерности Хаусдорфа-Безиковича через покрытия -цилиндрами и Q*-цилиндрами. Этот факт был использован для изучения фрактальных свойств нескольких классов множеств типа Кантора-Морана и Безиковича-Егглстона, которые являются носителями исследуемых распределений.

Показаны возможности использования Q-представления для определения меры и размерности Хаусдорфа-Биллингсли, топологизации, метризации пространства бесконечных последовательностей; задания сингулярных и недифференцируемых функций.

Ключевые слова: абсолютно неперерывные и сингулярные распределения, размерность Хаусдорфа-Безиковича, фрактал, -представление, пространство бесконечных последовательностей, нормальное число, свертки Бернулли.