Харківський національний університет радіоелектроніки

ГУЛІК ЛЮДМИЛА ІВАНІВНА

УДК 519.635

МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ ТА МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ

ТРИВИМІРНОЇ ЗАДАЧІ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

З ВИКОРИСТАННЯМ ІНТЕРФЛЕТАЦІЇ ФУНКЦІЙ

01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальна методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків - 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Українській інженерно-педагогічній академії,

Міністерство освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор,

Литвин Олег Миколайович,

Українська інженерно-педагогічна академія завідувач кафедри прикладної математики

м. Харків

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Лучка Антон Юрійович,

Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Хіміч Олександр Миколайович,

Інститут кібернетики ім.. В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу чисельного програмного забезпечення та рішення задач

Захист відбудеться “_12_” _червня_________2008 р. о _15__ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.052.07 при Харківському національному університеті радіоелектроніки за адресою: 61166, м. Харків, просп. Леніна, 14

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки: 61166, м. Харків, просп. Леніна, 14

Автореферат розісланий “_8_” _травня________ 2008 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Гребеннік І.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Неможливо уявити собі сучасну науку без широко застосування математичного моделювання, суть якого полягає в заміні досліджуваного об’єкта його "образом" - математичною моделлю – і подальшому вивченні моделі за допомогою відповідних обчислювально-логічних алгоритмів на ПЕОМ. Цей "третій" метод пізнання, конструювання, проектування об’єднує в собі ряд достоїнств теорії та експерименту. Робота не з об’єктом (явищем, процесом), а з його моделлю дає можливість без істотних затрат і відносно швидко дослідити його властивості і поведінку у різних ситуаціях, тобто має переваги теорії. З іншого боку, обчислювальні (комп’ютерні, стимуляційні, імітаційні) експерименти з моделями об’єктів дозволяють детально вивчати об’єкти з достатньою повнотою, недоступної для чисто теоретичних досліджень, тобто отримати переваги експерименту.

Великий вклад в математичне моделювання задач стаціонарної та нестаціонарної теплопровідності внесли Сергієнко І.В., Дейнека В.С., Скопецький В.В., Самарський А.А., Марчук Г.І., Яненко М.М., Рвачов В.Л., Ляшко І.І., Савула Я.Г., Флейшман Н.П., Шинкаренко Г.А.

Основними методами розв’язання подібних задач є чисельні методи, вагомий вклад в розвиток яких внесли дослідження Сергієнка І.В., Дейнеки В.С., Скопецького В.В., Макарова В.Л., Григоренка Я.М., Самарського А.А., Марчука Г.І., Яненка М.М., Рвачова В.Л., Ляшка І.І., Дзядика В.К., Молчанова І.М., Пшеничного Б.М., Зав’ялова Ю.С., Корнійчука М.П., Переверзєва С.В., Литвина О.М., Федька В.В., Куценка Л.М., Лучки А.Ю., Панкратової Н.Д., Крюкова Н.Н., Савули Я.Г., Флейшмана Н.П., Шинкаренка Г.А., Хіміча О.М., Недашковського М.О., Мірошниченка В.Л., Попова Б.О., Суботіна Ю.М., Шайдурова В.В., Ліфанова І.К., Білоцерковського С.М., Ганделя Ю.В., Мітчелла Е., Уейта Р., Стренга Г., Фікса Дж., Сьярле Ф., Barnhill R.E., Cavendish J.C., Gordon W.J., Nielson G.M., Babuska I., Hall C.A., Marshall I. та інших.

Сьогоднішній стан математичного моделювання як складних об’єктів (таких як літак, судно, реактор атомної електростанції в кусково-однорідних середовищах реальної структури тощо), так і стаціонарних чи нестаціонарних процесів різної фізичної структури (стаціонарний чи нестаціонарний розподіл тепла, дифузія, деформування стану тіла тощо) вимагає розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними за допомогою наближених методів. Це в свою чергу приводить до необхідності розв'язання системи рівнянь (лінійних або нелінійних), число яких може досягати десятків і навіть сотень тисяч рівнянь.

Тому актуальним є розробка та дослідження нових методів та моделей розв'язання дво- та тривимірних крайових задач, які б вимагали для досягнення потрібної точності знаходження меншого числа невідомих параметрів. Такі методи та моделі можуть бути побудовані на основі інтерлінації та інтерфлетації функцій.

Одними з методів розв’язання крайових задач математичної фізики, що найбільш широко застосовуються, є варіаційні та проекційні методи. Інтерес до них викликаний можливістю автоматизації побудови дискретних моделей при точному задовільненні граничним умовам у випадку областей складної форми (наприклад, за допомогою функцій) та роботою з системами рівнянь, які у випадку використання схем методу скінчених елементів мають розріджені матриці, тощо.

Разом з тим, при розв’язанні задач, наприклад, методом скінчених елементів (МСЕ) для підвищення точності найчастіше використовують методики згущення сіток навколо точок, де розв’язок має особливості. Це призводить до збільшення часу на формування матриць, а також до збільшення розмірності матриць та, як наслідок, до збільшення часу розрахунку. Альтернативні способи підвищення точності розв’язку полягають у поєднанні вказаної вище методики і раціонального розташування вузлів сітки та також у виборі вигляду локальних апроксимуючих функцій. Але перерозподіл вузлів сітки ускладнює процес автоматизації побудови дискретних моделей. Додавання ж до звичайних базисних функцій ще однієї або декількох функцій, що описують характер особливості, а також спільне використання глобальних та локальних базисних функцій передбачає знання деяких властивостей відповідних аналітичних розв’язків.

Необхідність раціонального розташування вузлів сітки разом з модифікацією вигляду базисних функцій дає можливість, наприклад, використання інтерлінантів, на яких, зокрема, базується метод зведення до системи лінійних інтегро-диференціальних рівнянь (метод ЛІДР) розв’язання крайових задач. Цей метод досліджувався в працях Литвина О.М., Сергієнка І.В., Федька В.В. та Куценка Л.М.. Актуальність розв’язку скінченно-елементної реалізації методу ЛІДР пов’язана з його економністю, яка дозволяє розраховувати конструкцію на сітках, використовуючи на порядок меншу кількість вузлів (без погіршення точності) порівняно з класичним МСЕ (за умов використання базисних функцій одного і того ж степеня).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано впродовж 1999-2007 років на кафедрі прикладної математики Української інженерно-педагогічної академії (м. Харків) згідно із планами науково-дослідних робіт за програмами: за темою №1-4 «Математичні моделі, чисельні методи їх дослідження та впровадження в учбовий процес по спецкурсах кафедри»; за темою №07-18 «Розробка математичних моделей і пакетів прикладних програм для побудови тривимірної математичної моделі замкнутої поверхні пера лопатки двигунів та обробки багатовимірних залежностей параметрів двигунів». Автор брав участь у виконанні науково-дослідних робіт як виконавець. В рамках виконаних робіт автором побудовано математичні моделі теплопровідності та розроблено методи їх розв’язання у системі MathCAD.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є побудова математичної моделі просторової крайової задачі теплопровідності для області із криволінійною поверхнею на основі високоточних схем методу скінчених елементів на базі формул сплайн-інтерполяції, сплайн-інтерлінації та сплайн-інтерфлетації. Для досягнення цієї мети було поставлено такі задачі:

1. Побудова математичної моделі для задачі стаціонарної теплопровідності.

2. Розробка та дослідження формул сплайн-інтерфлетації на паралелепіпеді та піраміді з однією криволінійною гранню, а також формул сплайн-інтерлінації функції трьох змінних на системі взаємно перпендикулярних прямих в тривимірних областях складної форми.

3. Розробка та дослідження методу точного задовільнення граничним умовам Діріхле на границі тривимірного тіла складної форми.

4. Узагальнення методу зведення до системи лінійних інтегро-диференціальних рівнянь (методу ЛІДР) розв’язання задач математичної фізики на випадок трьохвимірних областей.

5. Побудова та дослідження нових методів розв’язання дво- та тривимірних крайових задач математичної фізики з використанням операторів сплайн-інтерполяції, побудованих на основі сплайн-інтерфлетації та сплайн-інтерлінації функцій.

6. Створення, налагодження та тестування програм, які реалізують запропоновані в роботі результати, з метою верифікації ефективності, коректності та простоти їх використання.

Об'єкт дослідження – процес відновлення потоку тепла в тривимірних тілах.

Предмет дослідження – математична модель тривимірної задачі теплопровідності та методи зведення до систем звичайних диференціальних рівнянь при розв’язанні крайових задач еліптичного типу.

Методи дослідження. Теоретичні дослідження опираються на загальні методи функціонального аналізу, обчислювальної математики, програмування, теорії наближення функцій кількох змінних з використанням апарату інтерлінації та інтерфлетації. В основі чисельної реалізації лежить метод скінченно-елементної апроксимації розв’язків задач.

Наукова новизна одержаних результатів. В роботі отримано нові результати, що виносяться на захист:

1. Вперше розроблено формули сплайн-інтерполяції та сплайн-інтерлінації на основі сплайн-інтерфлетації. Доведено теореми про їх властивості та оцінку похибки наближення цими операторами. Це дозволяє будувати формули сплайн-інтерполяції та сплайн-інтерлінації, які вимагають значно меншої кількості даних про наближувану функцію порівняно з класичними методами інтерполяції та інтерлінації.

2. Вперше побудовано оператори інтерфлетації функції трьох змінних для піраміди та паралелепіпеда у випадку, коли одна з граней є криволінійною. Доведено відповідні теореми про властивості цих операторів та похибку наближення диференційованих функцій цими операторами. Побудовані оператори покладено в основу методу точного задовільнення граничним умовам у випадку тривимірних областей із криволінійною поверхнею.

3. Вперше розроблено метод точного задовільнення граничним умовам Діріхле у випадку тривимірних областей складної форми. Це дозволяє будувати структури розв’язків крайових задач для тривимірних областей із криволінійною поверхнею. Таким чином, створено ще один метод (наряду із методом функцій) побудови структур наближених розв’язків тривимірних крайових задач, які точно задовольняють умовам Діріхле і не мають (на відміну від методу функцій) в кутових точках особливостей.

4. Вперше розроблено метод зведення до системи лінійних інтегро-диференціальних рівнянь (метод ЛІДР) у випадку трьох змінних, а також наведено схеми методу скінчених елементів в тривимірному випадку, що мають точність методу ЛІДР. Наведені схеми істотно використано при побудові математичної моделі тривимірної задачі теплопровідності. Аналіз цього методу показує, що його застосування вимагає значно меншої кількості елементів розбиття області для досягнення порівняної із класичними методами точності.

5. Удосконалено розв’язання системи методу ЛІДР за допомогою вже відомого МСЕ напівдискретного типу, що зберігає точність (в основу цього методу покладено формули кусково-поліноміальної інтерлінації). Врахування структури отриманих матриць дозволяє зменшити кількість арифметичних операцій (АО), яку потрібно виконати для отримання розв'язку з використанням цього методу. Доведено леми про структуру матриці такої системи та про кількість АО.

6. Вперше запропоновано метод, який отримані при аналітичному розв’язку системи методу ЛІДР системи інтегро-диференціальних рівнянь дозволяє привести до вигляду, в якому системи розпадаються на окремі рівняння. Це дозволяє записати розв'язок цих систем в явному вигляді без використання матриці Гріна, що при подальших перетвореннях приводить до системи п’яти матричних рівнянь. Використання кронекерового добутку матриць дозволяє явно виписати матриці коефіцієнтів цієї системи, що робить доступною чисельну реалізацію цього методу.

Ступінь достовірності. Всі теоретичні та практичні результати мають високий ступінь достовірності. Теоретичні результати оформлені у вигляді доведених теорем. Чисельні результати теоретично обґрунтовані і одержані шляхом розрахунків, що виконані на ПЕОМ за допомогою створених програм та порівнювались з результатами, що одержані іншими методами.

Теоретична цінність полягає в застосуванні апарату інтерлінації та інтерфлетації для чисельного розв’язання крайових задач математичної фізики, який є самим ефективним з відомих апаратів для вирішення таких задач на сьогоднішній день. Запропонована методика побудови наближених розв’язків може бути застосована для диференціальних рівнянь зі змінними коефіцієнтами для областей складної форми. Всі результати наведені у вигляді лем, теорем та описів алгоритмів, які в значній частині наводяться вперше або узагальнюють вже відомі.

Практичне значення одержаних результатів. Наукові результати дисертаційної роботи є подальшим розвитком теорії наближення тривимірних функцій операторами інтерфлетації, інтерлінації та інтерполяції та методів розв’язання тривимірних крайових задач.

Результати даного дослідження можуть бути використані при розв’язанні таких технічних задач, як конструювання машин та проектування інженерних споруд, зокрема, в розрахунках їх елементів на скрут. Запропонована чисельна реалізація методу ЛІДР дозволяє для досягнення точності розв’язувати СЛАР, яка складається з суттєво меншої кількості рівнянь, ніж за умов використання інших відомих методів розв’язання.

Моделі та методи, запропоновані в дисертаційній роботі , впроваджуються в держбюджетній науково-дослідній роботі. Розроблені методи наближення тривимірних поверхонь використовуються для побудови тривимірної математичної моделі замкнутої поверхні пера лопатки авіадвигунів в рамках науково-дослідної роботи, яка виконується для конструкторського бюро «Прогрес» ім. Івченко О.Г. (№07-18 «Розробка математичних моделей і пакетів прикладних програм для побудови тривимірної математичної моделі замкнутої поверхні пера лопатки двигунів та обробки багатовимірних залежностей параметрів двигунів») кафедрою прикладної математики Української інженерно-педагогічної академії в м. Харків. Дисертант приймає безпосередню участь у виконанні цієї роботи.

Особистий внесок здобувача. Основний зміст дисертаційної роботи опубліковано у 8 роботах [1-8]. Основні результати за темою дисертації отримані особисто автором. У працях, опублікованих у співавторстві, дисертантом отримано наступні результати: 1 - дослідження структури матриць системи та доведення теорем щодо їх властивостей та кількості арифметичних операцій, необхідної для розв’язання системи; 2 - аналіз отриманої отриманих в системі методу ЛІДР та встановлення того факту, що кронекерів добуток матриць дозволяє записати розв’язок у явному вигляді без використання матриці Гріна (що в свою чергу робить доступною чисельну реалізацію методу); 3 - побудова операторів сплайн-інтерлінації функції трьох змінних на системі ортогональних прямих ат доведено теореми про оцінку похибки наближення цим оператором; 4, 5 - побудова операторів сплайн-інтерлфлетації функції трьох змінних на піраміді та паралелепіпеді з однією криволінійною гранню, а також доведення теорем про властивості наближення такими операторами; 6, 7 - розробка методу точного задовільнення граничних умов Діріхле у випадку тривимірних областей складної форми; 8 - розробка методу точного задовільнення граничних умов мішаного типу на границі двовимірних областей складної форми.

Апробація результатів дисертації. Основні положення і результати дисертаційної роботи доповідались та одержали схвалення на міжнародних конференціях та наукових семінарах: на школі-семінарі "Питання оптимізації обчислень" (вересень 2003 року, с. Кацивелі (Крим)); XXXVII-й науково-практичній конференції (4-5 лютого 2004 року, Харків) X-й міжнародній науковій конференції ім. Академіка М. Кравчука (13-15 травня 2004 року, Київ); міждержавній науково-методичній конференції (26-28 травня 2004 року, Дніпродзержинськ); міжнародній конференції "Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXII)" (19-23 вересня 2005 року, с. Кацивелі (Крим)); міжнародному симпозіумі "Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXIIІ)" (23-28 вересня 2007 року, с. Кацивелі (Крим)).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 8 наукових праць, в тому числі 4 статті в наукових журналах та збірниках наукових праць, які входять до переліку ВАК України, 4 доповідей та тез, опублікованих в матеріалах наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація містить вступ, чотири розділи, висновки по роботі, 5 додатків, 7 рисунків, 1 таблицю та список використаних джерел із 103 найменувань (на 9 сторінках). Загальний обсяг роботи складає 173 сторінок друкованого тексту, з них 156 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблем, що досліджуються у роботі, сформульовано мету та задачі досліджень, визначено наукову новизну роботи і практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі дисертаційної роботи проведено аналіз сучасного стану методу скінчених елементів та методу зведення до систем ЛІДР. Зокрема, встановлено, що в методі ЛІДР, розробленому О.М. Литвином, не розв’язаними залишилась низка задач:

- не розроблено метод ЛІДР для тривимірних крайових задач;

- не розроблено структури наближених розв’язків методу ЛІДР для тривимірних крайових задач для тривимірних областей із криволінійною границею, які б точно задовольняли цим граничним умовам;

- відсутні формули наближення функцій трьох змінних за слідами на системі ліній, паралельних осям координат.

У другому розділі для розв'язання системи методу ЛІДР спочатку розглядається вже відомий МСЕ напівдискретного типу, що зберігає ту саму точність . В основу цього методу покладено формули кусково-поліноміальної інтерлінації. Доведено леми про структуру матриці такої системи, врахування якої дозволяє зменшити кількість арифметичних операцій, яку потрібно виконати для отримання розв'язку з використанням цього методу.

Далі розглядається аналітичне розв'язання системи методу ЛІДР, яке зводиться до знаходження розв'язку двох систем інтегро-диференціальних рівнянь та однієї системи алгебраїчних рівнянь. Запропоновано метод, який дозволяє привести системи інтегро-диференціальних рівнянь до вигляду, в якому системи розпадаються на окремі рівняння. Це дозволяє записати розв'язок цих систем в явному вигляді без використання матриці Гріна, що при подальших перетвореннях приводить до системи п’яти матричних рівнянь. Використання кронекерового добутку матриць дозволяє явно виписати матриці коефіцієнтів цієї системи, що робить доступною чисельну реалізацію цього методу.

На відміну від вже відомого МСЕ напівдискретного типу, який для досягнення точності вимагає виконання арифметичних операцій, запропонований метод аналітичного розв'язання системи ЛІДР вимагає виконання арифметичних операцій.

У третьому розділі розроблено формули сплайн-ітерполяції та сплайн-інтерлінації функцій трьох змінних на основі сплайн-інтерфлетації, які зберігають ту саму точність, що і оператори сплайн-інтерфлетації, а також оператори інтерфлетації функції трьох змінних для піраміди та паралелепіпеда у випадку, коли одна з граней є криволінійною. Доведено теореми про їх властивості та оцінку похибки наближення цими операторами.

В підрозділі 3.1 побудовано інтерлінаційну формулу на основі відповідної формули інтерфлетації, що наближує функцію трьох змінних на системі взаємно перпендикулярних площин в кубі 0,1х0,1х0,1.

Теорема . Нехай функція , де область та відомі значення функції

Тоді оператор

()

має наступні властивості:

,

тобто відновлює значення функції за її значеннями на лініях.

Зауваження. При використанні оператора (1) необхідно застосовувати такі значення , та , для яких , та натуральні числа.

Теорема . Якщо , то має місце оцінка

,

В цьому ж підрозділі наведено загальний метод побудови інтерлінанта з використанням сплайнів -го порядку.

В підрозділі 3.2 на основі вищезгаданого інтерлінанта побудовано оператор сплайн-інтерполяції функції трьох змінних.

Теорема 3. Нехай функція , де область та відомі значення функції

.

Тоді інтерполянт

де

має наступні властивості

.

Теорема 4. Для інтерполянта має місце оцінка

, ,

де , , , .

Зауважимо, що для побудови такого інтерполянта використовується лише значень функції , що (при ) на декілька порядків менше, ніж кількість даних , котра використовується в класичній інтерполяційній формулі для одержання порівняної точності.

В підрозділі 3.3 розглядається функція

,

де , а функції , та неперервні, мають неперервні другі похідні та монотонні, , , , , , . Інші три грані лежать на координатних площинах , та , тобто описуються рівняннями , та відповідно.

Якщо позначити через , та обернені функції до , та відповідно та використати позначення для булевої суми операторів та , яка визначається наступним чином:

,

то справедлива наступна теорема.

Теорема 5. Нехай і

.

Тоді оператор

інтерфлетує на всіх чотирьох гранях піраміди, тобто

Теорема 6. Для залишку виконується співвідношення :

В підрозділі 3.4 побудовано інтерфлетант функції трьох змінних на паралелепіпеді з однією криволінійною гранню.

Розглянемо функцію

,

де , - паралелепіпед з однією криволінійною гранню ().

Покладемо

,

,

.

Теорема 7. Нехай . Тоді оператор

інтерфлетує функцію на паралелепіпеді з однією криволінійною гранню, тобто виконуються наступні умови:

,

.

Теорема 8. Для залишкового члена виконується рівність:

В підрозділі 3.5 викладено метод, який дозволяє побудувати оператор, що точно задовольняє граничним умовам Діріхле у випадку тривимірних областей складної форми.

Всі формули третього розділу є основою побудови методу ЛІДР у тривимірному випадку. Вони дозволяють точно задовольняти неоднорідним, взагалі кажучи, граничним умовам Діріхле у випадку областей складної форми.

У четвертому розділі викладено загальну ідею побудови наближеного розв'язку граничної задачі методом ЛІДР у випадку трьох просторових змінних та схему МСЕ у тривимірному випадку, що має точність методу ЛІДР.

Суть ідеї полягає в наступному. Будується структура наближеного розв’язку тривимірної крайової задачі у вигляді оператора сплайн-інтерфлетації функції трьох змінних, який точно задовольняє граничним умовам Діріхле і має невідомі сліди на системі прямих, паралельних осям координат. Відносно цих невідомих слідів отримано систему лінійних інтегро-диференціальних рівнянь, яку отримано з умов мінімум функціоналу Рітця.

***

Запропоновані алгоритми реалізовані у розроблених пакетах програм для знаходження розв'язку еліптичних двох- та трьохвимірних граничних задач з умовами Діріхле. Так як усі запропоновані в даній роботі методи поєднують аналітичні та чисельні перетворення, то для розробки пакетів програм при проведенні обчислювального експерименту використано системи MathCad та MatLab.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі одержано результати, які в сукупності є подальшим узагальненням і розвитком теорії наближення функції операторами інтерфлетації, інтерлінації та інтерполяції, а також фундаментальною основою загального підходу до математичного моделювання й розв’язання задач тривимірної теплопровідності із використанням інтерфлетацій функцій. Результати роботи є теоретичною основою розв’язання важливої наукової проблеми розв’язання тривимірних задач теплопровідності.

1. У роботі проведено аналіз сучасного стану існуючих засобів математичного моделювання та розв’язання тривимірних крайових задач теплопровідності. В результаті аналізу встановлено необхідність розв’язання наступних задач:

- збільшення точності розв’язку без необхідності згущення сітки;

- зменшення часу на знаходження розв’язку задачі;

- точне задовільнення граничних умов для тривимірних областей з криволінійною границею.

2. Побудовано оператор сплайн-інтерлінації, що побудований на основі формул сплайн-інтерфлетації, та доведено теорему про оцінку похибки наближення цим оператором.

3. Розроблено оператор інтерфлетації функції трьох змінних на піраміді с однією криволінійною гранню та доведено теорему про оцінку похибки наближення цим оператором.

4. Розроблено оператор інтерфлетації функції трьох змінних на паралелепіпеді з однією криволінійною гранню та доведено теорему про оцінку похибки наближення цим оператором.

5. Розроблено метод точного задовольнення граничним умовам Діріхле у випадку тривимірних областей складної форми.

6. Викладено загальну ідею побудови наближеного розв'язку граничної задачі методом ЛІДР у випадку трьох просторових змінних та схему МСЕ у тривимірному випадку, що має точність методу ЛІДР.

7. Досліджено структуру матриць системи вже відомого МСЕ напівдискретного типу, на основі чого вдалось зменшити кількість арифметичних операцій, необхідну для отримання розв'язку.

8. Запропоновано та досліджено новий підхід до розв'язання системи методі ЛІДР, який дозволяє записати розв'язок цих систем у явному вигляді без використання матриці Гріна, що при подальших перетвореннях приводить до системи п’яти матричних рівнянь. Використання кронекерового добутку матриць дозволяє явно виписати матриці коефіцієнтів такої системи, що робить доступною чисельну реалізацію такого методу.

9. Практичне значення результатів підтверджується їх впровадженням. Результати дисертаційної роботи впроваджено в держбюджетних науково-дослідних роботах та в навчальний процес Української інженерно – педагогічної академії.

10. Побудовані в роботі математичні моделі, методи та алгоритми можуть бути використані для розв’язання ряду практичних задач, що можуть бути описані за допомогою рівнянь теплопровідності. Практичне використання результатів роботи дозволяє значно підвищити точність отриманих розв’язків та швидкість їх отримання.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Гулік Л.І., Литвин О.М. Про один підхід до розв'язання граничної задачі Діріхле для рівняння Пуассона з використанням інтерлінації // Доповіді НАН України. 2004. - № 1. - С. 13-18.

2. Гулик Л.И., Литвин О.Н. Новый подход к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона с использованием интерлинации функций // Компьютерная математика. 2004. - № 1. - C. 125-133.

3. Гулік Л.І., Литвин О.М. Інтерлінація функцій трьох змінних на системі ортогональних прямих // Доповіді НАН України. 2004. - № 11. - С. 16-22.

4. Гулик Л.И., Литвин О.Н. Интерфлетация функций трех переменных на пирамиде с одной криволинейной гранью // Кибернетика и системный анализ. 2005. - № 6. - С. 32-49.

5. Гулік Л.І. Інтерфлетація функцій трьох змінних на паралелепіпеді з однією криволінійною гранню // Матеріали десятої міжнародної наукової конференції ім. Академіка М. Кравчука (13-15 травня 2004 року, Київ), С. 357.

6. Гулік Л.І. Точне задовільнення умов Діріхле на границі трьохвимірної області складної форми за допомогою інтерфлетації // Тези доповідей міждержавної науково-методичної конференції (26-28 травня 2004 року, Дніпродзержинськ), С. 14-15.

7. Гулік Л.І., Литвин О.М. Точне задовільнення граничних умов для трьохвимірної області складної форми за допомогою інтерфлетації // Праці міжнародної конференції "Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXII)" (19-23 вересня 2005 року, с. Кацивелі (Крим)), С. 66.

8. Гулік Л.І. Про задовільнення граничним умовам мішаного типу на границі двовимірних областей складної форми // Праці міжнародного симпозіуму "Питання оптимізації обчислень (ПОО-XXXIII)" (23-28 вересня 2007 року, с. Кацивелі (Крим)), С. 82.

АНОТАЦІЯ

Гулік Л.І. Математична модель та методи розв’язання тривимірної задачі теплопровідності з використанням інтерфлетації функцій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Харківський національний університет радіоелектроніки, м. Харків, 2008.

Дисертацію присвячено розробці принципово нового методу побудови математичної моделі тривимірної задачі теплопровідності за допомогою операторів інтерфлетації та інтерлінації функцій. Розроблено теоретичні основи розв’язання еліптичних просторових крайових задач у вигляді операторів наближення функції у випадку трьох змінних. В роботі запропоновано загальну методику знаходження розв'язку граничних задач з використанням таких операторів, а також теоретично і практично підтверджено ефективність такого підходу до розв'язання просторових граничних задач. На основі вищезгаданої методики побудовано математичну модель тривимірної задачі теплопровідності.

Крім того, вдосконалено МСЕ напівдискретного типу, що виникає при розв’язанні системи методу ЛІДР у випадку двох змінних, за рахунок врахування структури матриці системи. При аналітичному розв'язку системи методу ЛДІР запропоновано метод, який дозволяє привести системи інтегро-диференціальних рівнянь до вигляду, в якому системи розпадаються на окремі рівняння. Це дозволяє записати розв'язок цих систем в явному вигляді без використання матриці Гріна, що при подальших перетвореннях приводить до системи п’яти матричних рівнянь. Використання кронекерового добутку матриць дозволяє явно виписати матриці коефіцієнтів цієї системи, що робить доступною чисельну реалізацію цього методу.

Ключові слова: крайові задачі, метод скінчених елементів, метод зведення до системи лінійних інтегро-диференціальних рівнянь (метод ЛИДР), інтерлінація, інтерфлетація.

АННОТАЦИЯ

Гулик Л.И. Математическая модель и методы решения трехмерной задачи теплопроводности с использованием интерфлетации функций. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Харьковский национальный университет радиоэлектроники, г. Харьков, 2008.

Диссертация посвящена разработке принципиально нового метода построения математической модели трехмерной задачи теплопроводности с помощью операторов интерфлетации и интерлинации функций. Разработаны теоретические основы решения эллиптических пространственных краевых задач в виде операторов приближения функции в случае трех переменных. Такими операторами являются:

- оператор интерфлетации на пирамиде с одной криволинейной гранью;

- оператор интерфлетации на параллелепипеде с одной криволинейной гранью;

- оператор сплайн-интерлинации функций трех переменных, построенный на основе формул сплайн-интерфлетации;

- оператор сплайн-интерполяции функции трех переменных, построенный на основе формул сплайн-интерфлетации и сплайн-интерлинации.

Для каждого из операторов доказаны теоремы об оценке погрешности приближения, приведены примеры построения таких операторов, а также проведен численный эксперимент для практического подтверждения теоретических результатов.

На основании разработанных в работе операторов приближения функций трех переменных построен метод точного удовлетворения граничным условиям Дирихле в случае трехмерных областей сложной формы.

В работе также предложена общая методика нахождения решения краевых задач с использованием таких операторов, а также теоретически и практически подтверждена эффективность такого подхода к решению пространственных краевых задач. На основе вышеупомянутой методики построена математическая модель трехмерной задачи теплопроводности.

Кроме того, усовершенствован метод конечных элементов полудискретного типа, который получается при решении системы метода ЛИДУ в случае двух переменных, за счет учета структуры матрицы системы.

При аналитическом решении системы метода ЛИДУ предложен метод, который позволяет привести системы интегро-дифференциальных уравнений к виду, в котором системы распадаются на отдельные уравнения. Это позволяет записать решение этих систем в явном виде без использования матрицы Грина, что при дальнейших преобразованиях приводит к системе пяти матричных уравнений. Использование кронекерового произведения матриц позволяет явно выписать матрицы коэффициентов этой системы, что делает доступной численную реализацию этого методу.

Ключевые слова: краевые задачи, метод конечных элементов, метод приведения к системе линейных интегро-дифференциальных уравнений (метод ЛИДУ), интерлинация, интерфлетация.

ABSTRACT

Gulik L.I. Mathematical model and solving methods of a three-dimensional problem of a thermal conduction with use interflation of functions. - the Manuscript.

Thesis on competition of a scientific degree of the candidate of physical and mathematical sciences on a speciality 01.05.02 - mathematical modelling and computing methods.- Kharkov national university of radio electronics, Kharkov, 2008.

The thesis is devoted to development of in essence new method of construction of mathematical model of a three-dimensional thermal conduction problem with the help of interflation operators and interlineations of functions. Theoretical bases of a solution of elliptic spatial boundary value problems as operators of an approximation of function are developed in case of three variables. In work the general technique of a determination of a solution of boundary value problems with use of such operators, and also theoretically and practically is offered effectiveness of such approach to a solution of spatial boundary value problems is confirmed. On the basis of the above mentioned technique the mathematical model of a three-dimensional thermal conduction problem is constructed.

Besides the finite element method of half-discrete type which turns out at a solution of a LIDE method's system in case of two variables is advanced, due to the account of structure of a system's matrix. At an analytical solution of a LIDE method's system the method which allows to reduce systems of the integro-differential equations in an aspect in which systems break up to the separate equations is offered. It allows to note a solution of these systems in an explicit aspect without use of a matrix of Green, that at the further transformations reduces in a system of five matrix equations. Use Cronecker's matrix products explicitly allows to write out matrixes of this system's factors that makes accessible numerical realization of it to a method.

Key words: boundary value problems, a finite element method, a method of reduction to a system of the linear integro-differential equations (method LIDE), an interlineation, interflation.

Підписано до друку 05.05.2008. Формат 60х84 1/16.

Папір офсетний. Обсяг 0.9 ум. друк. арк.

Наклад 100 прим. Зам. № б/н

Надруковано ПП Степанов В.В. м. Харків, вул. Ак. Павлова, 311