Київський університет імені Тараса Шевченка

УДК 539.3

ОМЕЛЬЧУК СЕРГІЙ МИКОЛАЙОВИЧ

ПЕРЕХІДНІ РЕЖИМИ КОЛИВАНЬ ПРУЖНИХ ЕЛЕМЕНТІВ ХВИЛЬОВИХ

ГІРОСКОПІВ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-

математичних наук

Київ – 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в | Київському університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник - | член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Улітко Андрій Феофанович, Київському університеті імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри.

Офіційні опоненти | доктор фізико-математичних наук, професор Селєзов Ігор Тимофійович, Інститут гідромеханіки НАН України, завідувач відділу.

доктор фізико-математичних наук, Сенченков Ігор Костянтинович, Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, головний науковий співробітник.

Провідна установа | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Захист відбудеться “ 23 ” червня 1999 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 26.001.21 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 252 147, Київ, проспект Глушкова 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського університету імені Тараса Шевченка (Київ, вул Володимирська, 60).

Автореферат розіслано “ 14 ” травня 1999 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Т.Ю.Кепич

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Дисертаційна робота присвячена вивченню перехідних процесів коливань типових елементів твердотільних хвильових гіроскопів балочного і оболонкового типу, що виникають завдяки зовнішньому прискореному обертовому рухові, або при зміні режимів обертання: при переході від рівноприскореного до рівномірного руху.

Актуальність теми дисертації. Дослідження впливу зовнішнього складного просторового руху на коливання та хвилі в пружних тілах привертають останнім часом увагу дослідників в механіці деформівного твердого тіла та спряжених з нею галузях. Це обумовлено, зокрема, розвитком інформативних навігаційних систем нового типу – твердотільних хвильових гіроскопів. Принцип дії таких пристроїв полягає у можливості відтворення параметрів просторового руху об’єкта шляхом спостереження за зміною хвильових параметрів резонаторів (пружних активних елементів гіроскопів), якими є ефекти розщеплення частот коливань та прецесія нормальних мод, що виникають завдяки дії періодичного моменту сил Коріоліса.

З іншого боку, вивчення таких нових задач механіки є необхідним для розробки математичних методів динаміки пружних тіл, що здійснюють просторовий рух, оскільки визначає собою напрямки розвитку загальної теорії.

Ретельний аналіз наукових робіт, присвячених цій тематиці, показує, що математичні моделі різних типів гіроскопів обмежуються переважно випадком рівномірного обертового руху. Узагальнення таких результатів на випадок, коли кутова швидкість довільним чином залежить від часу, як правило, є недостатньо обгрунтованими, оскільки спираються на некоректні, з точки зору динамічної теорії пружності, постановки гранично-початкових задач.

Отже особливий інтерес складає вивчення перехідних процесів в коливаннях пружних елементів гіроскопа в умовах регулярного обертового руху та проведення порівняльного аналізу основних характеристик цих процесів при рівноприскореному та рівномірному режимі обертання гіроскопа. Проведення такого дослідження є актуальною з теоретичної точки зору і практично значущою проблемою. Сказаним вище і визначається актуальність теми дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Отримані в дисертаційній роботі результати використовувались при виконанні планових наукових досліджень кафедри теоретичної і прикладної механіки Київського університету імені Тараса Шевченка по фундаментальних проектах міністерства України у справах науки і технологій № 13.3/40: ''Розробка теорії взаємодії зовнішніх механічних рухів з коливаннями та пружними хвилями в деформівних тілах'' (№ ДР 0195U005967). з 1994 р. по 1996 р. та № 1.4/196: ''Взаємодія та рух твердих тіл, що коливаються'' (№ ДР 0197U003133). з 1997 р. по ц.ч.

Мета дослідження. Метою даної дисертаційної роботи є встановлення закономірностей прецесії нормальних мод коливань типових елементів хвильових гіроскопів (біморфного п’єзокерамічного стержня та циліндричної п’єзокерамічної оболонки) в умовах рівноприскореного обертання, визначення законів розщеплення резонансних частот та проведення порівняльного аналізу з випадком рівномірного обертового руху.

Наукова новизна отриманих результатів.

1.

1.

1.

Практичне значення одержаних результатів. Проведене дослідження впливу рівноприскореного обертання на власні моди коливань типових елементів хвильових гіроскопів – стержня і циліндричної оболонки – доповнює теорію хвильових гіроскопів новими результатами, що стосується вивчення перехідних режимів роботи гіроскопів, використання яких дозволяє виконувати аналіз робочих характеристик сенсорів кутової швидкості при довільному регулярному обертовому русі об’єкта.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертаційної роботи опубліковано 6 наукових праць [1–6]. В тому числі: 3 – в наукових журналах, 1 –в збірках праць та 2 –в тезах доповідей міжнародних наукових конференцій. Основні результати було отримано автором самостійно. В роботі [4], представленій на ІV-й Міжнародній конференції з механіки неоднорідних структур постановка задачі була здійснена А.Ф. Улітком, а розв’язок виконано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Основні результати, які лягли в основу даної дисертаційної роботи, доповідалися на таких Міжнародних наукових конференціях та симпозіумах:

1.

1.

1.

1.

За матеріалами доповіді на ІІІ-му Міжнародному симпозіумі інженерів-механіків у Львові була опублікована стаття [1].

В цілому робота обговорювалася на науковому семінарі “Проблеми механіки” при кафедрі теоретичної і прикладної механіки Київського університету ім. Тараса Шевченка (1998 р.).

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів основної частини, висновків та переліку використаних літературних джерел, що налічує 75 назв; рисунків – 18, розміщених на 11 сторінках, таблиць – немає. Загальний обсяг дисертації – 125 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі висвітлюється сучасний стан досліджень, присвячених розробці сучасних типів конструкцій, математичному моделюванню хвильових твердотільних гіроскопів та спряжених з ними теоріями динамічного деформування пружних тіл, які здійснюють просторовий рух. Обгрунтовується актуальність проведення дослідження перехідних режимів коливань пружних елементів хвильових гіроскопів та визначається мета роботи. Після стислого аналізу дисертаційного дослідження визначається наукова новизна та практичне значення дисертації; вказується на особистий внесок, апробацію результатів роботи та публікації автора, в яких викладено основні результати. Вказано на зв’язок проведеного дослідження з науковими темами.

В першому розділі проведено огляд наукових праць за темою дисертаційної роботи, з критичного аналізу яких визначено напрямок власного дослідження.

Першою роботою, яка створила теоретичні підвалини для розвитку теорії хвильових твердотільних гіроскопів, є дослідження Дж.Х.Браяна “Про явища биття в коливаннях циліндру або дзвону, що обертається”. Браяном було встановлено, що рівномірне обертання пружного кільця навколо вісі симетрії, перпендикулярної до площини його розташування, призводить до розщеплення резонансних частот та прецесії нормальних мод коливань кільця. Хоча на той час ця робота була суто теоретичною і не мала певного практичного застосування, в ній було вперше відкрито та проаналізовано динамічні ефекти, які складають принцип дії сучасних хвильових гіроскопів: величина і напрямок кутової швидкості обертання об’єкта визначається шляхом спостереження за змінами названих вище хвильових параметрів коливань резонатора гіроскопа.

Розробці сучасних типів конструкцій та дослідженню характеристик хвильових гіроскопів з резонаторами різних типів (оболонкового, камертонного, Н-подібного, на поверхневих акустичних хвилях та ін.) присвятили свої роботи Дж.Бардес, Л.І.Брозгуль, Н.Вакатсюкі, Ж.Ванг, Н.Е.Єгармін, В.Ф.Журавльов, Д.М.Клімов, А.А.Кірієнков, Н.Кларк, С.П.Кисиленко, М.Конно, С.Кудо, Б.Лао, І.В.Лебедєва, Ю.К.Мінаєв, М.А.Павловський, А.М.Павловський, А.Л.Попов, С.А.Сарапулов, Е.Л.Смірнов, Я.Сьодерквіст, А.Ф.Улітко, К.Чанг, Ж.Янг та багато інших авторів. Зростаючий інтерес до досліджень в цій галузі обумовлюється потребами розвитку сучасних мікро-сенсорних інформативних навігаційних систем.

Слід відмітити, що принцип дії хвильових гіроскопів є суто механічним, тому побудова коректної математичної моделі потребує використання методів динамічної теорії пружності, які б після належних перетворень описували динамічне деформування пружних тіл, що здійснюють складний просторовий рух і вели до постановки коректних, фізично обгрунтованих гранично-початкових задач. За базову теорію, яка використовується в дисертаційній роботі, було обрано теорію просторового руху пружних тіл А.Ф. Улітка (Улитко А.Ф. Пространственное движение упругих тел” // Известия АН СССР. МТТ. – 1990. – № 6. – c. 55-66.), основні результати якої представлено в другому розділі.

В третьому розділі проведено дослідження впливу рівноприскореного та рівномірного обертового руху на згинні коливання стержня – найпростішого з фізичної та математичної точки зору типового елементу гіроскопу. Розглядається біморфний стержень, виготовлений з п’єзокерамічного матеріалу з товщинною поляризацією. Один кінець стержня є вільним, а інший - жорстко закріпленим. Збудження згинних коливань стержня здійснюється за допомогою підведення до електродів, розташованих на бічних гранях стержня, гармонічної різниці електричних потенціалів (рис.1). Як і в загальній теорії просторового руху пружних тіл, задача формулюється в рухомій, зв’язаній з стержнем системі координат. Рівняння коливань стержня, що обертається навколо вісі симетрії, будуються на основі прикладної теорії динамічного деформування біморфних п’єзоелементів (Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. - К.: Наукова Думка, 1989. - 279 с.) і мають наступний вигляд:

(1)

Тут позначено: - приведений коефіцієнт Пуасона, - щільність матеріалу, - циліндрична жорсткість на згин, - кутова швидкість обертання стержня, - прогини стержня в напрямку вісі і відповідно.

Для випадку рівномірного обертання, , було встановлено, що під дією сил інерції обертового руху відбувається розщеплення резонансної частоти на дві близькі частоти

(2)

де - перша резонансна частота нерухомого стержня, а . При збудженні згинних коливань на цих частотах прогини вільного кінця стержня можуть бути подані наступним чином. На частоті :

, , (3)

а на частоті :

, (4)

Розв’язання задачі будується в безвимірній формі. Надалі: - нормовані прогини, - безвимірний час; всі інші величини також приведені до безвимірного вигляду.

У випадку малих кутових швидкостей обертання резонансні частоти розташовані досить близько одна до одної. Тому можемо вважати, що коливання здійснюються одночасно на цих частотах, причому, з однаковими амплітудами. Нехтуючи взаємним перекриттям резонансних кривих, результуючий рух подається у вигляді суперпозиції розв’язків (3) і (4). Таким чином прогини представляються у вигляді модульованих коливань на резонансній частоті нерухомого стержня з частотою модуляції

,

. (5)

З (5) випливає, що по відношенню до рухомої системи координат відбувається прецесія площини коливань в напрямку, протилежному обертанню з кутовою швидкістю, рівною кутовій швидкості обертання стержня. Інакше кажучи, по відношенню до абсолютної системи координат площина коливань стержня залишається нерухомою.

З урахуванням внутрішніх втрат енергії в керамічних матеріалах, яке проводиться за моделлю в’язкого тертя, розв’язки для прогинів представляються у вигляді суми двох доданків

,

, (6)

де: - значення згинаючого моменту на вільному кінці стержня, що відповідає прикладеному до електродів електричному навантаженню, - механічна добротність матеріалу, і - функції залежні від добутку .

Перші складові описують прецесію площини коливань стержня в напрямку протилежному обертанню, а другі (які з’являються при врахуванні внутрішніх втрат енергії) – в напрямку обертання стержня. Цей результат виявляє внутрішню спорідненість явищ та ефектів в коливаннях пружних тіл різної геометричної форми в умовах обертового руху: прецесія площини в напрямку протилежному обертанню відповідає оберненій повільно прецесуючій хвилі в пружному кільці, що рівномірно обертається, відкритій Дж. Браяном, а прецесія площини в напрямку обертання стержня відповідає прямій прецесуючій хвилі в циліндричній п’єзокерамічній оболонці, існування якої було встановлено А.Ф. Улітком.

Дослідження впливу рівноприскореного обертання, , на коливання біморфного стержня пов’язане з певними математичними труднощами. Це обумовлене тим, що в системі диференціальних рівнянь коливань (1) коефіцієнти залежать від часу, що не дозволяє застосовувати для побудови розв’язку задачі підстановку Ейлера. Для якісного аналізу динамічних ефектів доцільно розглянути випадок вільних коливань стержня, вважаючи різницю підведених електричних потенціалів рівною нулеві.

Для випадку малих кутових прискорень знайдено асимптотичний розв’язок, який являє собою розвинення динамічних прогинів по ступеням малого параметру - безвимірного кутового прискорення . Поряд з асимптотичним розв’язком вдалося побудувати точний розв’язок задачі шляхом представлення амплітудних функцій часу у вигляді збіжних степеневих рядів, суми яких було записано в замкненому вигляді через тригонометричні функції. В результаті точний розв’язок для прогинів стержня, що здійснює вільні коливання на першій резонансній частоті і в момент часу приводиться в рівноприскорений обертовий рух, має вигляд

, , (7)

де - амплітудна функція нормальної моди коливань нерухомого стержня.

З аналізу цих розв’язків випливає, що і при рівноприскореному обертанні відбувається прецесія площини коливань в напрямку протилежному обертанню з кутовою швидкістю, рівною кутовій швидкості обертання стержня. Тобто, як і у випадку рівномірного обертання, площина коливань стержня залишається нерухомою по відношенню до абсолютної системи координат. З другого боку, розкриваючи добутки тригонометричних функцій в формулах (7) через суми

,

, (8)

ми можемо стверджувати, що частоти

, (9)

є резонансними частотами стержня, який знаходиться в рівноприскореному обертовому русі, причому закони розщеплення власної частоти стержня при рівноприскореному обертанні є

аналогічними законам розщеплення для випадку рівномірного обертання стержня.

Слід підкреслити, що асимптотичний розв’язок збігається з точним лише на початковому проміжку часу і не є придатним для якісного аналізу динамічного процесу вцілому. На рис.2 і рис.3 відображено закони зміни з часом кута повороту площини коливань стержня та її кутової швидкості , визначені з асимптотичного (- - - - -) і точного (———) розв’язків.

В четвертому роздiлi досліджується вплив обертового руху на коливання циліндричної оболонки – ще одного типового резонатора хвильового гіроскопа. Ефект впливу обертового руху для даного типу гіроскопа є аналогічним до визначеного в задачі для стержня – відбувається прецесія нормальних мод і розщеплення власних частот коливань. Але на відміну від задачі для стержня, не тільки кількісні, але й якісні характеристики резонатора (циліндричної оболонки) суттєво відрізняються (наприклад, при порівнянні прецесії нормальних мод).

Розглядається довга циліндрична оболонка, радіус серединної поверхні якої дорівнює , товщина стінки – (рис.4). Оболонка виготовлена з п’єзокерамічного матеріалу попередньо поляризованого в радіальному напрямку. Виділення однієї ізольованої кругової нормальної моди (в подальшому, другої моди – ) при електричному навантаженні здійснюється за допомогою великого числа смугових електродів, розташованих вздовж твірної циліндра і розділених достатньо вузькими діелектричними проміжками. При цьому, якщо підведена до полосових електродів різниця електричних потенціалів змінюється в кутовому напрямку по закону , то з високою точністю (яка підвищується зі збільшенням числа полосових електродів) деформація оболонки буде відповідати другій нормальній моді коливань.

Таким чином електричне навантаження вибирається у вигляді

(10)

Дослідження задачі проводиться в рухомій, зв’язаній з оболонкою системі координат. В наближенні плоскої задачі рівняння коливань оболонки відносно тангенціальних та радіальних зміщень точок серединної поверхні будуються на основі теорії коливань тонкостінних п’єзокерамічних оболонок обертання (Гринченко В.Т., Улитко А.Ф., Шульга Н.А. Электроупругость. - К.: Наукова Думка, 1989. - 279 с.) та викладеної у другому розділі теорії просторового руху пружних тіл і мають вигляд

(11)

де: - щільність матеріалу, - коефіцієнт Пуасона, - жорсткість оболонки на розтяг,

- п’єзомодуль, , - квадрат планарного коефіцієнта електромеханічного зв’язку.

Оскільки для випадку рівноприскореного обертання оболонки, як і в задачі для стержня, необхідно проводити співставлення з результатам для рівномірного обертання оболонки, то в першому пункті цього розділу наводяться результати роботи А.Ф. Улітка (Улітко А.Ф. Коливання тонкої п’єзокерамічної циліндричної оболонки, що знаходиться в обертовому русі // Математичні Методи і Фізико-Механічні Поля. - 1996. - Том 39. - № 1. - С. 7 - 18.), в якій здійснено постановку цієї задачі і отримано розв’язок з урахуванням практично здійсненних умов збудження згинних коливань і реальних механічних властивостей керамічних матеріалів. Як випливає з цієї роботи, при врахуванні втрат енергії для матеріалів з низькою добротністю виявляється, що в розв’язку поряд з оберненою прецесуючою хвилею, відкритою Браяном, присутня пряма прецесуюча хвиля, кутова швидкість якої перевищує на 2/5 кутову швидкість обертання оболонки

(12)

Тут позначено: Q - механічна добротність керамічного матеріалу, - величини залежні від добутку , , . З (12) легко встановити, що кутові швидкості прецесії оберненої і прямої хвиль в нерухомій системі координат, , дорівнюють

, (13)

відповідно. Розщеплення резонансних частот циліндричної оболонки при рівномірному обертанні навколо вісі симетрії відбувається за законом

, , (14)

де - резонансна частота згинного типу деформації нерухомої оболонки.

Для випадку рівноприскореного обертання, як і в задачі для біморфного стержня, будемо вважати електроди короткозамкненими і розглядати вільні коливання циліндричної оболонки. Таким чином, нехай циліндрична оболонка здійснює коливання на другій нормальній моді і починаючи з моменту часу приводиться в рівноприскорений обертовий рух, . Розв’язок задачі будується як і для стержня в безвимірній формі. Шуканий розв’язок для функцій зміщень точок серединної поверхні оболонки представляється у вигляді

,

. (15)

Враховуючи те, що спроби побудувати точний аналітичний розв’язок не призвели до позитивного результату, а асимптотичний розв’язок є непридатним для якісного та кількісного аналізу динамічного процесу на всьому проміжку часу, систему диференціальних рівнянь (11) було розв’язано чисельно за методом Рунге-Кутта. Отримані результати для амплітудних функцій часу з високим ступенем точності вдалося апроксимувати тригонометричними функціями. На рис.5 суцільними лініями відображено результати чисельного розв’язку, а пунктирною – штучним шляхом підібрані функції апроксимації, які мають наступний вигляд

, ,

, , (16)

де .

Таким чином, тангенціальні та радіальні зміщення точок серединної поверхні оболонки, яка здійснює коливання на другій нормальній моді і, починаючи з моменту часу , приводиться в рівноприскорений обертовий рух визначаються за формулами

, . (17)

Записуючи в нерухомій системі координат, , радіальні переміщення

(18)

визначаємо кутову швидкість руху вузлових точок

. (19)

Отже, при рівноприскореному обертанні друга нормальна мода коливань оболонки здійснює прецесію в напрямку протилежному обертанню, причому коефіцієнт залежність кутової швидкості прецесії від кутової швидкості обертання оболонки залишається таким як і для випадку рівномірного обертання і дорівнює 3/5.

Більш того, розкриваючи добутки тригонометричних функцій так, як і у випадку для стержня, ми можемо стверджувати, що частоти

, , (20)

є резонансними частотами коливань циліндричної оболонки, яка здійснює рівноприскорений обертовий рух з кутовою швидкістю .

Враховуючи результати, отримані для рівноприскореного та рівномірного режимів обертання в цьому ж розділі побудовано математичну модель та проведено аналіз роботи хвильового гіроскопа з резонатором у вигляді циліндричної п’єзокерамічної оболонки при переході з рівноприскореного до рівномірного режиму обертання. Постановка задачі має наступний вигляд: циліндрична п’єзокерамічна оболонка (рис.4) здійснює коливання на другій нормальній моді і з моменту часу приводиться в рівноприскорений обертовий рух, , навколо вісі симетрії до моменту часу , після чого переходить в режим рівномірного обертання з постійною кутовою швидкістю .

Розв’язуючи задачу чисельно за методом Рунге-Кутта отримані результати для амплітудних функцій часу вдалося апроксимувати тригонометричними функціями (рис.6 ).

Зокрема для рівноприскореного режиму обертання маємо

, , (21)

а для рівномірного режиму обертання отримуємо аналогічні залежності

, . (22)

Враховуючи представлення (15) та формули (21), (22), переміщення і для рівноприскореного режиму обертання записуються в такому вигляді

, (23)

а для рівномірного режиму

, (24)

де .

Слід відмітити, що характер коливань не залежить від вибору моменту переходу від рівноприскореного до рівномірного режиму обертання оболонки. З отриманих результатів випливає, що при рівноприскореному обертанні оболонки відбувається прецесія нормальної моди коливань в напрямку протилежному обертанню і вузлові точки рухаються зі швидкістю 3/5 кутової швидкості обертання відносно нерухомої системи відліку, інакше кажучи розв'язок представляється у вигляді повільно прецесуючої оберненої хвилі. Цей закон руху зберігається і при переході до рівномірного режиму обертання оболонки. Проте слід відмітити, що врахування механічної добротності призводить до появи поряд з оберненою хвилею прямої прецесуючої хвилі, існування якої не було підтверджено чисельними обрахунками. Цей факт ми можемо пояснити тим, що внесок прямої прецесуючої хвилі в коливальний рух, який описується в розрахунковій схемі доданками порядку 1/Q, є несуттєвим для конкретно вибраних умов задачі.

ВИСНОВКИ

На основі загальної теорії просторового руху пружних тіл розроблено математичні методи побудови точних розв'язків базових задач теорії хвильових гіроскопів для перехідних режимів коливань в умовах рівномірного та рівноприскореного обертового руху. Виконано детальний аналіз динамічних ефектів розщеплення власних частот та прецесії нормальних мод коливань. При математичному моделюванню типових елементів хвильових гіроскопів у вигляді біморфних п'єзокерамічних стержнів та тонкостінних п'єзокерамічних циліндричних оболонок враховано практично здійсненні умови збудження коливань та реальні механічні властивості керамічних матеріалів.

З аналізу точного розв'язку задачі про вимушені коливання консольного біморфного п'єзокерамічного стержня, який рівномірно обертається відносно повздовжньої вісі симетрії, встановлено, що площина коливань стержня прецесує в напрямку, протилежному обертанню з кутовою швидкістю, рівною кутовій швидкості обертання стержня, тобто площина коливань стержня залишається нерухомою в абсолютній системі координат. Знайдено величини зсуву резонансних частот при розщепленні в залежності від кутової швидкості обертання. Показано, що врахування втрат енергії на внутрішнє тертя призводить до появи в розв'язках для переміщень серединної лінії стержня доданка, який описує прецесію площини коливань стержня в напрямку обертання стержня. Таким чином маємо аналогію: прецесія площини в напрямку протилежному обертанню стержня відповідає оберненій повільно прецесуючій хвилі в пружному кільці, що рівномірно обертається, відкритій Дж.Х. Браяном, а прецесія площини в напрямку обертання відповідає прямій прецесуючій хвилі в циліндричній п'єзокерамічній оболонці, існування якої встановлено А.Ф. Улітком.

Побудовано точний розв'язок задачі вільних коливань біморфного п'єзокерамічного стержня для умов рівноприскореного обертового руху. Знайдено, що і в цьому випадку площина коливань стержня є нерухомою у просторі. Закон розщеплення власних частот коливань зберігається і при такому режимі обертання, якщо в формулах частот покладати миттєве значення кутової швидкості обертання стержня.

Проведено аналіз розщеплення резонансних частот і прецесії другої колової моди коливань циліндричної п'єзокерамічної оболонки, що рівномірно обертається навколо вісі симетрії. Співставлення цього розв'язку з розв'язком задачі про рівномірне обертання стержня якісно виявляє спорідненість, але закони прецесії нормальних мод є принципово різними. На відміну від стержня, друга нормальна мода коливань при рівномірному обертанні не є нерухомою по відношенню до абсолютної системи координат, а обертається (прецесує) з кутовою швидкістю . Це пояснюється тим, що як випливає з розв'язку задачі, для нерухомої оболонки друга нормальна мода (стояча хвиля) представляється у вигляді біжучих у протилежних напрямках хвиль з однаковими амплітудами і частотами, а при обертанні оболонки частоти змінюються під впливом сил інерції : частота хвилі біжучої в напрямку обертання (пряма) буде зменшуватись, а частота хвилі біжучої в напрямку протилежному обертанню (обернена) буде збільшуватись, тобто нормальними модами коливань оболонки будуть не стоячі, а біжучі хвилі .Суперпозиція цих хвиль породжує повільно прецесуючу хвилю.

З використанням асимптотичних методів, методу інтегрального перетворення Лапласа та чисельного методу Рунге-Кута вдалося побудувати практично точний аналітичний розв'язок задачі про перехідний режим коливання циліндричної п'єзокерамічної оболонки в умовах рівноприскореного обертового руху. З аналітичного розв'язку, поданого в замкненому вигляді, вказано межі достовірності асимптотичного розв'язку, визначено кутову швидкість прецесії другої нормальної моди та закони розщеплення власних частот, які, виявляється, співпадають з отриманими для випадку рівномірного обертання, якщо в формулах покладати миттєве значення кутової швидкості обертання.

Використовуючи результати отримані для випадків рівномірного і рівноприскореного обертання оболонки побудовано математичну модель та проаналізовано роботу гіроскопа з резонатором у вигляді циліндричної п'єзокерамічної оболонки при зміні режимів обертання. Встановлено існування оберненої прецесуючої нормальної моди, кутова швидкість якої не змінюється при переході з рівноприскореного до рівномірного режиму і дорівнює 3/5 кутової швидкості обертання оболонки. Крім цього, показано що, характер коливань не залежить від вибору моменту зміни режимів обертання.

Таким чином на підставі проведеного дослідження з’ясовано раніше невідомі закономірності розщеплення резонансних частот та прецесії нормальних мод коливань елементів хвильових гіроскопів у вигляді біморфних п'єзокерамічних стержнів та тонкостінних п'єзокерамічних циліндричних оболонок для випадку рівноприскореного обертового руху об’єктів на яких розташовано такого типу сенсори. Принциповим є те положення, що для різних типів хвильових гіроскопів якісно ефект дії регулярного (рівномірного та рівноприскореного) обертового руху є спорідненим, але кількісно зсув резонансних частот та швидкість прецесії мод коливань знаходяться для кожного типу резонатора при точному розв’язанні відповідних гранично-початкових задач динамічної теорії пружності.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

1.

1.

1.

1.

1.

1.

АНОТАЦІЇ

Омельчук С.М. Перехідні режими коливань пружних елементів хвильових гіроскопів. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. Київський університет ім. Тараса Шевченка, Київ, 1999.

На основі загальної теорії просторового руху пружних тіл розроблено математичні методи побудови точних розв'язків базових задач теорії хвильових гіроскопів для перехідних режимів коливань в умовах рівномірного та рівноприскореного обертового руху. З’ясовано раніше невідомі закономірності розщеплення резонансних частот та прецесії нормальних мод коливань елементів хвильових гіроскопів у вигляді біморфних п'єзокерамічних стержнів та тонкостінних п'єзокерамічних циліндричних оболонок для випадку рівноприскореного обертового руху об’єктів, на яких розташовано такого типу сенсори. Побудовано замкнену математичну модель та визначено основні характеристики роботи хвильового гіроскопа з резонатором у вигляді циліндричної п’єзокерамічної оболонки при переході від рівноприскореного до рівномірного режиму обертання.

Ключові слова: просторовий рух пружного тіла, хвильовий твердотільний гіроскоп, нормальна мода коливань, резонатор, п’єзокерамічні матеріали.

Omelchuk S.M. Transient regimes in vibrations of the resonators of solid-state wave gyroscopes. - Manuscript.

Dissertation for Candidate of Sciences Degree in Physics and Mathematics by the speciality 01.02.04 – mechanics of deformable solids. Taras Shevchenko Kyiv University, Kyiv, 1999.

Dissertation is devoted to mathematical methods of analytic solution of basic boundary-valued problems of the theory of solid-state wave gyroscopes for transient operating regimes appeared in cases of steady and uniformly accelerated rotation of the testing object. These methods have been elaborated on the ground of general theory of spatial motion of elastic solids. Theoretical consideration of those problems is restricted in the dissertation to the piezoceramic sensing elements of gyroscopic sensors in the form of bimorph beam and thin-walled cylindrical shell. Unknown before regularities of splitting of resonance frequencies and precession of normal modes of vibrations appeared in such gyroscopes are found out for the case of uniformly accelerated rotation of testing object. Closed mathematical model has been built, and main operating parameters has been estimated in analytic form for the cylindrical piezoceramic gyroscope in the case of transition of operating regimes, i.e. from the uniformly accelerated rotation to the steady rotation.

Key words: spatial motion of elastic solids, solid-state wave gyroscope, normal modes of vibrations,resonator, piezoceramic materials.

Омельчук С.Н. Переходные режимы колебаний упругих элементов волновых гироскопов. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. Киевський университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1999.

С использованием общей теории пространственного движения упругих тел разработаны математические методы построения точных решений базовых задач теории волновых гироскопов для переходных режимов колебаний в условиях равномерного и равноускоренного вращательного движения. Выполнен детальный анализ динамических эфектов расщепления собственных частот и прецессии нормальных мод колебаний. При математическом моделировании классических элементов волновых гироскопов в виде биморфных пъезокерамических стержней и тонкостенных пъезокерамических цилиндрических оболочек учтены практически выполнимые условия возбуждения колебаний и реальные механические свойства керамических материалов.

Из анализа точного решения задачи о вынужденных колебаниях консольного биморфного пъезокерамического стержня, равномерно вращающегося относительно продольной оси симметрии, установлено, что плоскость колебаний стержня прецессирует в направлении противоположном вращению с угловой скоростью, равной угловой скорости вращения стержня, то есть плоскость колебаний стержня остается неподвижной в абсолютной системе координат. Найдены величины сдвига резонансных частот при расщепленнии в зависимости от угловой скорости вращения. Показано, что учет потерь энергии на внутреннее трение приводит к возникновению в решениях для перемещений средней линии стержня слагаемого, описывающего прецессию плоскости колебаний в направлении вращения стержня.

Построено точное решение задачи свободных колебаний биморфного пъезокерамического стержня для условий равноускоренного вращательного движения. Определено, что и в этом случае плскость колебаний стержня остается неподвижной в пространстве. Закон разщепления собственных частот колебаний сохраняется и при таком режиме вращения, если в формулах частот принимать мгновенное значение угловой скорости вращения стержня.

Проведен анализ расщепления резонансных частот и прецессии второй круговой моды колебаний цилиндрической пъезокерамической оболочки, равномерно вращающейся вокруг оси симметрии. В отличии от стержня, вторая нормальная мода колебаний при равномерном вращении не остается неподвижной по отношению к абсолютной системе координат, а вращается (прецессирует) с угловой скоростью .

С использованием ассимптотических методов, метода интегрального преобразования Лапласса и численного метода Рунге-Кутта удалось построить практически точное аналитическое решение задачи о переходных режимах колебаний цилиндрической пъезокерамической оболочки в условиях равноускоренного вращательного движения. Указаны границы достоверности асимптотического решения, определена угловая скорость прецессии второй нормальной моды и законы расщепления собстенных частот, которые совпадают с получеными для случая равномерного вращения, если в формулах принимать мгновенное значение угловой скорости вращения.

Построена математическая модель и проанализована работа гироскопа с резонатором в виде цилиндрической пъезокерамической оболочки при изменении режима вращения. Установлено существование обратной прецессирующей нормальной моды, угловая скорость которой не изменяется при переходе с равноускоренного к равномерному режиму и равна 3/5 угловой скорости вращения оболочки. Кроме этого, характер колебаний не зависит от выбора момента изменения режима вращения.

Таким образом на основании проведенного исследования выяснены неизвестные до этого закономерности расщепления резонансных частот и прецессии нормальных мод колебаний элементов волновых гироскопов в виде биморфных пъезокерамических стержней и тонкостенных пъезокерамических цилиндрических оболочек для случая равноускоренного вращательного движения объектов на которых установлены такого типа сэнсоры. Принципиальным является то, что для разных типов волновых гироскопов качественно эффект влияния регулярного (равномерного и равноускоренного) вращательного движения эквивалентен, но количественно сдвиг резонансных частот и скорость прецессии мод колебаний определяются для каждого типа резонатора при точном решении соответствующих гранично-начальных задач динамической теории упругости.

Ключевые слова: пространственное движение упругого тела, волновой твердотельный гироскоп, нормальная мода колебаний, резонатор, пъезокерамические материалы.