Київський національний університет

імені Тараса Шевченка

Галапчук Світлана Геннадіївна

УДК 512.552.1

ГОРЕНШТЕЙНОВІ САГАЙДАКИ

01.01.06 — алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

КИРИЧЕНКО Володимир Васильович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, м. Київ,

професор кафедри геометрії.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук

СЕРГЕЙЧУК Володимир Васильович,

Інститут математики НАН України, м. Київ,

провідний науковий співробітник відділу топології;

кандидат фізико-математичних наук,

ОЛІЙНИК Андрій Степанович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка, м. Київ,

доцент кафедри алгебри та математичної логіки.

Захист відбудеться « 9 » червня 2008 р. о 14 2 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 2, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися у Науковій бібліотеці імені М. Максимовича Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий « 6 » травня 2008 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

В.В. Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Cагайдаки мають важливе значення в структурній теорії кілець. Цим питанням присвячено низку розділів першого та другого томів монографії М. Хазевінкеля, Н. Губарєні та В.В. Кириченка "Algebras, Rings and Modules".

Один із важливих класів кілець, що виникає в різних питаннях теорії кілець та теорії цілочисельних зображень, — клас черепичних порядків (tiled orders). Згідно з термінологією, прийнятою в "Algebras, Rings and Modules", напівдосконале кільце називається черепичним порядком, якщо це первинне нетерове напівдистрибутивне кільце з ненульовим радикалом Джекобсона.

Скінченні прямі добутки черепичних порядків — це напівмаксимальні кільця, що були введені в 1976 році О.Г. Завадським та В.В. Кириченком. Значні результати з теорії черепичних порядків, які було отримано в 1970-1980-ті рр., відображено в монографії відомого польського алгебраїста Даніеля Сімсона "Linear representations of partially ordered sets and vector space categories". Гомологічна розмірність черепичних порядків розглядалася в роботах В.А. Ятегаонкара, Р.Б. Тарсі та японського математика Х. Фуджити (70-90-ті роки ХХ століття).

Важливий підклас класу черепичних порядків —  горенштейнові порядки, що в некомутативному випадку вперше з'явилися в 1967 році в статті Ю.А. Дрозда, В.В. Кириченка, А.В. Ройтера "О наследственных и бассовых порядках". Як вказує американський математик Х. Басс, термін "горенштейнове кільце" запропонував французький математик А. Гротендик.

Черепичний порядок є горенштейновим, якщо. Важливим поняттям, пов'язаним зі зведеним черепичним порядком, є поняття зведеної матриці показників цього порядку . По кожній зведеній матриці показників будується її сагайдак). Важливим є такий критерій горенштейновості черепичного порядку : нехай– зведений черепичний порядок з матрицею показників  – дискретно нормоване кільце. Порядок є горенштейновим тоді і тільки тоді, коли матриця) є горенштейновою, тобто існує підстановка множини така, що для (теорема Кириченка). Сагайдак горенштейнової матриці називається горенштейновим сагайдаком.

В останні роки черепичні порядки та їх зв'язки зі скінченновимірними алгебрами над полем детально вивчалися японськими математиками Фуджитою, Сакаі та польським математиком Д. Сімсоном.

Актуальність теми. У дисертаційній роботі продовжується дослідження горенштейнових сагайдаків, зокрема вивчено горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 8 вершин.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою наукових досліджень кафедри геометрії механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Результати дисертації частково використані при виконанні завдань підрозділу "Розробка алгебраїчних та геометричних методів дослідження алгебраїчних структур з використанням комбінаторних та категорних підходів" держбюджетної теми 06БФ038-02 (номер державної реєстрації 0106U005862).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є:

горенштейнові матриці;

горенштейнові зведені -порядки;

d-матриці (узагальнення двічі стохастичних матриць);

горенштейнові сагайдаки;

циклічні та регулярні горенштейнові сагайдаки;

матриці суміжності горенштейнових сагайдаків, їх характеристичні поліноми;

індекси горенштейнових сагайдаків.

Завдання дослідження:

дати критерій горенштейновості зведених -порядків за допомогою ординальних степенів частково впорядкованих множин;

описати всі горенштейнові сагайдаки, що відповідають -порядкам;

застосувати теорію імпримітивних d-матриць до опису горенштейнових сагайдаків;

описати всі горенштейнові сагайдаки, що мають не більше вершин;

задати формулою матриці суміжності горенштейнових сагайдаків до 5-го порядку включно;

задати формулою матриці суміжності горенштейнових сагайдаків циклічних горенштейнових матриць до 8-го порядку включно;

знайти характеристичні поліноми матриць суміжності горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин;

дослідити на примітивність або імпримітивність матриці суміжності горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин;

графічно зобразити всі горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 7 вершин;

знайти всі цілі індекси горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин;

знайти індекс імпримітивності матриць суміжності циклічних горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин.

Методи дослідження. У дисертації при обрахунку індексів горенштейнових сагайдаків, характеристичних поліномів та індексів імпримітивності матриць суміжності горенштейнових сагайдаків був використаний математичний пакет Maple. Горенштейнові сагайдаки знаходилися за допомогою програмування мовою Pascal.

Наукова новизна результатів. У дисертаційній роботі вперше отримано такі нові теоретичні результати:

знайдено критерій горенштейновості зведених -порядків;

за допомогою ординальних степенів частково впорядкованих множин описано всі горенштейнові сагайдаки, що відповідають -порядкам;

застосовано теорію імпримітивних d-матриць до опису горенштейнових сагайдаків;

знайдено всі типи горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин;

для всіх горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 7 вершин, знайдено при яких значеннях параметрів вони є сагайдаками для даної горенштейнової матриці;

графічно зображено всі горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 7 вершин;

досліджено на примітивність та імпримітивність матриці суміжності горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин, знайдено їх характеристичні поліноми;

знайдено формули, за допомогою яких можна задати матриці суміжності горенштейнових сагайдаків до 5-го порядку включно;

знайдено формули, за допомогою яких можна задати матриці суміжності горенштейнових сагайдаків циклічних горенштейнових матриць до 8-го порядку включно;

знайдено всі цілі індекси горенштейнових сагайдаків;

знайдено індекси імпримітивності матриць суміжності циклічних горенштейнових сагайдаків.

Практичне значення отриманих результатів. Робота має теоретичний характер. Її результати можуть бути використані у подальших дослідженнях горенштейнових сагайдаків та квазіфробеніусових кілець. Одержані результати можуть бути використані і вже використовуються при читанні спецкурсів з алгебри.

Особистий внесок. Результати дисертаційної роботи належать особисто автору. Науковому керівнику — доктору фіз.-мат. наук, професору В.В. Кириченку — належать постановка задач та обговорення можливих шляхів їх розв’язання.

Апробація результатів. Основні результати роботи доповідалися та обговорювалися на:

Міжнародній Математичній конференції, присвяченій сторіччю від початку роботи Д.О. Граве в Київському університеті (м. Київ, 17-22 червня 2002 р.);

Міжнародній конференції з теорії радикалів (м. Київ, 30 липня  –  5 серпня 2006;

Шостій Міжнародній алгебраїчній конференції в Україні (м. Кам'янець-Подільський, 1-7 липня 2007;

Алгебраїчному семінарі Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в роботах [1-10], що наводяться в кінці автореферату, з них статті [1-5] — у фахових наукових виданнях, та тези [8-10] — у матеріалах Міжнародних конференцій.

Структура і обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи — 157 сторінок, п'ять із яких займає список використаних джерел, що складається із 41 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційного дослідження, формулюється його мета і задачі, вказано зв'язок роботи із планами наукових досліджень кафедри, охарактеризовано наукову новизну дисертаційної роботи, практичне значення отриманих результатів, визначено особистий внесок дисертанта. У структурі дисертаційної роботи виділяється три розділи I-III.

РОЗДІЛ І. "ПОПЕРЕДНІ ВІДОМОСТІ" має допоміжний характер і містить основні означення понять та деякі твердження, що використовуються в дисертаційній роботі. У підрозділі .1 "Невід'ємні матриці. Теорема Перона-Фробеніуса" наводяться основні факти про невід'ємні матриці та сагайдаки матриць.

Означення .1.1. Прямокутна матриця з дійсними елементами називається невід'ємною (позначення) або додатньою (позначення), якщо всі елементи матриці невід'ємні (відповідно додатні): (відповідно).

Означення .1.2. Матриця називається -матрицею, якщо.

Означення .1.5. Сагайдак без кратних стрілок та кратних петель називається простим, тобто є простим сагайдаком тоді і лише тоді, коли його матриця суміжності є -матрицею.

Означення .1.6. Сагайдак називається сильно зв'язним, якщо існує шлях між будь-якими двома його вершинами. Причому одновершинний граф без стрілок зручно розглядати як сильно зв'язний граф.

Означення .1.8.  Матриця називається переставно звідною, якщо існує матриця перестановки така, що

,

де – квадратні матриці порядку менше ніж. протилежному випадку матриця називається переставно незвідною.

Теорема .1.9. Матриця є переставно незвідною тоді і лише тоді, коли її сагайдак є сильно зв'язним.

Теорема 1.1.10. (Перон). Додатна матриця завжди має дійсне додатне власне число , що є простим коренем характеристичного рівняння і більшим за модулі всіх інших власних чисел. Цьому "максимальному" власному числу відповідає власний вектор матриці з додатними координатами.

Додатна матриця є частинним випадком переставно незвідної невід'ємної матриці. Фробеніус узагальнив теорему Перона, дослідивши спектральні властивості переставно незвідних невід'ємних матриць.

Теорема 1.1.11. (Фробеніус). Невід'ємна переставно незвідна матриця завжди має додатне власне число , що є простим коренем характеристичного рівняння. Модулі всіх інших власних чисел не більші за це число. "Максимальному" власному числу відповідає власний вектор з додатними координатами.

Якщо при цьому матриця має власних чисел, за модулем рівних, то ці числа всі різні і є коренями рівняння.

Взагалі сукупність всіх власних чисел матриці, що розглядається як система точок у комплексній -площині, відображається сама в себе при повороті цієї площини на кут. При перестановкою рядків матрицю можна звести до "циклічного" виду:

,

де вздовж діагоналі стоять квадратні блоки.

Означення .1.14.  Якщо переставно незвідна матриця має рівно власних чисел з максимальним модулем, то матриця називається примітивною при і імпримітивною при. Число називається індексом імпримітивності матриці.

Теорема 1.1.15. Невід'ємна матриця є примітивною тоді і тільки тоді, коли деяка степінь матриці додатна:

Означення .1.20.  Невід'ємна матриця порядку називається стохастичною, якщо для всіх.

Будь-яка стохастична матриця може розглядатися як матриця перехідних ймовірностей деякого однорідного ланцюга Маркова і навпаки — для кожного однорідного ланцюга Маркова матриця перехідних ймовірностей є стохастичною.

У відповідності з термінологією ланцюгів Маркова, сильно зв'язний сагайдак називається регулярним, якщо його матриця суміжності є

примітивною. В іншому випадку сагайдак називається циклічним.

Означення .1.22.  Невід'ємна матриця порядку називається двічі стохастичною, якщо і для всіх.

Теорема .1.24. Сагайдак є регулярним тоді і тільки тоді, коли він є сильно зв'язним і довжини всіх його циклів мають найбільший спільний дільник одиницю.

У підрозділі .2 "Теорема Біркгофа" формулюється і доводиться теорема Біркгофа:  кожна двічі стохастична матриця є лінійною комбінацією матриць перестановок, де, та - матриці перестановок. І навпаки, є двічі стохастичною матрицею, якщо, .

У підрозділі .3 "Горенштейнові матриці показників та їх сагайдаки" наводяться основні означення та твердження про горенштейнові матриці показників та їх сагайдаків.

Означення .3.1. Нехай . Матриця називається матрицею показників, якщо для всіх та для всіх . Матриця називається зведеною матрицею показників, якщо для всіх

Нехай зведена матриця показників.

, де для всіх та для всіх, та, де. Зрозуміло, що є -матрицею.

Теорема .3.2. Матриця) є матрицею суміжності сильно зв'язного простого сагайдака ().

Сагайдак () називається сагайдаком зведеної матриці показників .

Означення .3.4. Сильно зв'язний простий сагайдак називається допустимим, якщо він є сагайдаком зведеної матриці показників.

Означення .3.5. Зведена матриця показників називається горенштейновою, якщо існує підстановка Кириченка  для така, що для всіх

Підстановка позначається (). Ця підстановка () для зведеної горенштейнової матриці показників не має циклів довжини .

Означення .3.6. Зведена горенштейнова матриця показників називається циклічною, якщо () є циклічною підстановкою.

Теорема .3.7. Нехай – зведена циклічна горенштейнова матриця показників. Тоді , де – додатне ціле число, – двічі стохастична матриця.

Теорема .3.9. Матриця суміжності сагайдака циклічної горенштейнової матриці з підстановкою є сумою деяких степенів матриць перестановок.

У підрозділі .4 "Власні вектори та індекси сагайдаків" дається означення власного вектора та індексу сагайдака, наводяться приклади.

Означення .4.1. Якщо сагайдак сильно зв'язний, то індексом сагайдака (позначення) називається максимальне додатне власне число його матриці суміжності. Цьому власному числу відповідає одновимірний кореневий простір, тобто всі власні вектори мають вигляд, де, причому всі. Власний вектор називається Фробеніусовим вектором. Нумерація сагайдака називається стандартною якщо.

У підрозділі .5 "Застосування невід'ємних матриць до напівдосконалих кілець" даються основні означення та результати про напівдосконалі кільця.

Означення .5.1. Модуль називається дистрибутивним, якщо для будь-яких його підмодулів справджується рівність .

Означення .5.2. Пряма сума дистрибутивних модулів називається напівдистрибутивним модулем. Кільце називається напівдистрибутивним справа (зліва), якщо воно є напівдистрибутивним правим (лівим) регулярним модулем. Кільце є напівдистрибутивним, якщо воно напівдистрибутивне як справа, так і зліва.

Через SPSD-кільце позначають напівдосконале напівдистрибутивне кільце.

Теорема .5.11.  Кожне напівмаксимальне кільце є ізоморфним скінченному прямому добутку первинних кілець вигляду:

,

де та – дискретно нормоване кільце з простим елементом, є цілими, причому для та для. (), де – тіло часток кільця , – матричні одиниці кільця. У цьому випадку кільце можна записати у вигляді: .

Означення .5.12. Кільце називається черепичним порядком, якщо воно

є первинним нетеровим SPSD-кільцем з ненульовим радикалом Джекобсона.

Введемо наступні позначення: матриця показників над кільцем , тобто , де є матричними одиницями. Якщо черепичний порядок зведений, то для всіх, тобто матриця () є зведеною.

Теорема .5.13.  Сагайдак SPSD-кільця є простим сагайдаком. І навпаки, для будь-якого простого сагайдака існує SPSD-кільце , таке що.

Теорема .5.17.  Сагайдак нетерова справа та зліва нерозкладного напівпервинного напівдосконалого кільця є сильно зв'язним.

Означення .5.19. Черепичний порядок-порядком, якщо є -матрицею.

Зведений -порядок задає частковий порядок на множині за правилом: тоді й тільки тоді, коли. Навпаки, за кожною скінченною частково впорядкованою множиною можна побудувати зведений черепичний -порядок з матрицею показників , де тоді й тільки тоді, коли, та в інших випадках. є зведеним -порядком.

Нехай – множина всіх максимальних елементів, – множина всіх мінімальних елементів, – їх декартовий добуток.

Означення .5.20. Нехай – скінченна частково впорядкована множина. Діаграмою частково впорядкованої множини є сагайдак з множиною вершин та множиною стрілок такою, що в існує стрілка тоді й тільки тоді, коли та не існує елемента, такого, що, де.

Теорема .5.21. Сагайдак збігається з сагайдаком, що отримується з діаграми додаванням стрілок для всіх.

Теорема .5.25. Нехай – ациклічний простий сагайдак без зайвих стрілок. Тоді є діаграмою деякої скінченної частково впорядкованої множини. Навпаки, діаграма скінченної частково впорядкованої множини є ациклічним простим сагайдаком без зайвих стрілок.

Означення .5.26. Нехай – довільна частково впорядкована множина. Підмножина називається ланцюгом, якщо будь-які два її елемента є порівняльними, тобто або, або. Підмножина називається антиланцюгом, якщо будь-які два її елемента є не порівняльними. Ланцюг з

елементів будемо позначати, тоді як антиланцюг з елементів –.

Означення .5.27. Максимальне число попарно не порівняльних елементів в називається шириною множини і позначається. Якщо скінченне число, то воно збігається з кількістю елементів у максимальному антиланцюгу для.

Означення .5.29. Нехай та – будь-які дві частково впорядковані множини (що не перетинаються). Ординальною сумою множин та називається набір всіх та. Відношення порядку визначається так: для всіх; відношення та () мають таке ж значення.

Ординальним степенем частково впорядкованої множини є множина. Зокрема, і.

Означення .5.30. Індексом частково впорядкованої множини називається максимальне дійсне власне число матриці суміжності.

У РОЗДІЛІ 2 "ЦИКЛІЧНІ ГОРЕНШТЕЙНОВІ САГАЙДАКИ, ЩО МАЮТЬ НЕ БІЛЬШЕ 8 ВЕРШИН" застосовано теорію імпримітивних d-матриць до опису горенштейнових сагайдаків; дано опис всіх циклічних горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин. Знайдено формули, за допомогою яких можна задати матриці суміжності циклічних горенштейнових сагайдаків циклічних горенштейнових матриць до 8-го порядку включно. Знайдено характеристичні поліноми, індекси імпримітивності матриць суміжності циклічних горенштейнових сагайдаків. Знайдено цілі індекси циклічних горенштейнових сагайдаків. Для всіх циклічних горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 7 вершин, знайдено при яких значеннях параметрів вони є сагайдаками для даної горенштейнової матриці. Графічно зображено циклічні горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 7 вершин. Знайдено критерій горенштейновості зведених -порядків за допомогою ординальних степенів частково впорядкованих множин; описано всі горенштейнові сагайдаки, що відповідають -порядкам.

У підрозділі 2.1 матриці (узагальнення двічі стохастичних матриць)" наводиться означення d-матриці та формулюються основні властивості таких матриць.

Означення 2.1.1.  Невід'ємна матриця називається d-матрицею для деякого, якщо і для всіх.

Лема .1.2. Якщо – d-матриця, то.

Лема .1.3. Якщо – d-матриця і – d1-матриця, то – -матриця.

Твердження .1.5. Переставно звідна d-матриця є розкладною матрицею.

Теорема 2.1.7. Якщо є d-матрицею, то є сумою матриць перестановок.

Теорема 2.1.8. Нехай є d-матрицею, і нехай існує матриця перестановки така, що

,

де по діагоналі стоять нульові квадратні матриці. Тоді всі матриці є квадратними d-матрицями одного порядку. Зокрема,.

У підрозділі 2.2 "Циклічні горенштейнові сагайдаки циклічних горенштейнових матриць" описано всі типи циклічних горенштейнових сагайдаків циклічних горенштейнових матриць, що мають не більше 8 вершин.

Означення .2.1. Сагайдак горенштейнової матриці називається горенштейновим сагайдаком.

Означення .2.2. Горенштейнів сагайдак називається циклічним, якщо його матриця суміжності [] – імпримітивна.

Якщо – максимальне додатне власне число матриці й існує власних чисел по модулю рівних, то – індекс імпримітивності матриці.

Надалі підстановка () — підстановка Кириченка.

Твердження .2.3. Якщо підстановка () циклічна, то в сагайдаку () є петлі або в кожній вершині, або петель немає.

Нехай – перестановка множини чисел. Позначимо через таку матрицю, де матричні одиниці. Зрозуміло, що– матриця перестановки.

Твердження .2.4. При циклічній підстановці завжди існує горенштейнів сагайдак () з, матриця суміжності якого має індекс імпримітивності та характеристичний поліном, причому цей сагайдак не має жодної петлі та є циклічним (виконується рівність де - порядок матриці

В дисертаційній роботі графічно зображені всі циклічні сагайдаки, що мають не більше 7 вершин, з та знайдено при яких значеннях параметрів вони є сагайдаками для даної горенштейнової матриці.

Для циклічних горенштейнових матриць шостого та восьмого порядку з підстановкою Кириченка можливі такі випадки з:

1)  існує один циклічний сагайдак 2)  існує два типи циклічних сагайдаків

У підрозділі 2.3 "Циклічні горенштейнові сагайдаки нециклічних горенштейнових матриць" описано всі типи циклічних горенштейнових сагайдаків нециклічних горенштейнових матриць, що мають не більше 8 вершин.

Для нециклічних горенштейнових матриць з підстановкою Кириченка можливі такі випадки з:

1)  існує один тип циклічних сагайдаків з;

2)  існує один тип циклічних сагайдаків з;

3)  існує один тип циклічних сагайдаків з;

4)  існує два типи циклічних сагайдаків з та.

Циклічних сагайдаків 5-го та 7-го порядку для нециклічних горенштейнових матриць не існує.

Твердження .3.1. Для горенштейнових матриць восьмого порядку з нециклічною підстановкою існують циклічні горенштейнові сагайдаки) з.

Для нециклічних горенштейнових матриць восьмого порядку з підстановкою Кириченка можливі такі випадки:

1)  існує чотири типи циклічних сагайдаків, два з яких мають, один і ще один з;

2)  існує один тип циклічних сагайдаків з;

3)  існує один тип циклічних сагайдаків з;

4)  існує чотири типи циклічних сагайдаків з;;;.

У підрозділі 2.4 "Горенштейнові сагайдаки -матриць показників" знайдено критерій горенштейновості зведених -порядків за допомогою ординальних степенів частково впорядкованих множин; описано всі горенштейнові сагайдаки, що відповідають -порядкам.

Твердження .4.1. Якщо, то є ланцюгом для деякого .

Твердження .4.2. Для будь-якої скінченної частково впорядкованої множини виконується.

Твердження .4.3. Нехай скінченна частково впорядкована множина. Тоді тоді і тільки тоді, коли.

Твердження .4.4. Зведений -порядок є горенштейновим тоді і тільки тоді, коли є ординальним степенем або.

Твердження .4.5. Зведений -порядок є горенштейновим тоді і тільки тоді, коли або.

Кожна горенштейнова -матриця подібна або матриці, або матриці, тобто в кожній розмірності таких матриць скінченне число. Ми даємо злічену кількість прикладів горенштейнових матриць в кожній парній розмірності таких, що .

Введемо таке позначення. Розглянемо горенштейнову матрицю

,. При маємо

Графічно цей сагайдак можна подати таким чином:

У РОЗДІЛІ 3 "РЕГУЛЯРНІ ГОРЕНШТЕЙНОВІ САГАЙДАКИ, ЩО МАЮТЬ НЕ БІЛЬШЕ 8 ВЕРШИН" дано опис всіх регулярних горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин. Знайдено формули, за допомогою яких можна задати матриці суміжності регулярних горенштейнових сагайдаків циклічних горенштейнових матриць до 8-го порядку включно. Знайдено характеристичні поліноми матриць суміжності регулярних горенштейнових сагайдаків. Знайдено цілі індекси регулярних горенштейнових сагайдаків. Для всіх регулярних горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 7 вершин, знайдено при яких значеннях параметрів вони є сагайдаками для даної горенштейнової матриці. Графічно зображено регулярні горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 7 вершин. У підрозділі 3.1 "Регулярні горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 5 вершин" описано всі типи регулярних горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 5 вершин.

Означення .1.1. Горенштейнів сагайдак називається регулярним, якщо його матриця суміжності — примітивна.

Для горенштейнових матриць з підстановкою Кириченка можливі такі випадки:

1)  існує один тип регулярних сагайдаків;

2)  існує один тип регулярних сагайдаків

3)  існує три типи регулярних сагайдаків;

4)  існує один тип регулярних сагайдаків з;

5)  існує чотири типи регулярних сагайдаків існує один тип регулярних сагайдаків з.

У підрозділі 3.2 "Регулярні горенштейнові сагайдаки, що мають 6 або 7 вершин" описано всі типи регулярних горенштейнових сагайдаків, що мають 6 або 7 вершин.

Твердження .2.1. Якщо сагайдак) горенштейнової матриці шостого або сьомого порядку містить петлі не у всіх вершинах, то його індекс не є цілим числом.

Для горенштейнових матриць з підстановкою Кириченка існує два типи сагайдаків, що мають петлі не у всіх вершинах і не є цілим числом, а з підстановкою Кириченка існує один тип таких сагайдаків.

Твердження .2.2. Якщо сагайдака () горенштейнової матриці шостого та сьомого порядку не є цілим числом, то сагайдак () є регулярним.

Існують сагайдаки, що мають петлі в кожній вершині і, а саме для горенштейнових матриць шостого та сьомого порядків з підстановками Кириченка, , існує по одному типу сагайдаків, з, – по два типи таких сагайдаків.

Регулярних сагайдаків з з шістьма вершинами – чотири, а з сімома – шість.

Для горенштейнових матриць шостого порядку з підстановкою Кириченка існує сім типів регулярних сагайдаків з цілим індексом:

Для горенштейнових матриць шостого порядку з підстановкою Кириченка можливі такі випадки з:

1)  існує два типи регулярних сагайдаків з,;

2)  існує два типи регулярних сагайдаків з,;

3)  існує чотири типи регулярних сагайдаків з, (два типи),.

Для горенштейнових матриць сьомого порядку з підстановкою Кириченка існує дев'ять типів регулярних сагайдаків з цілим індексом:

Для горенштейнових матриць сьомого порядку з підстановками Кириченка, , існує по одному типу регулярних сагайдаків з.

У підрозділі 3.3 "Регулярні горенштейнові сагайдаки, що мають 8 вершин" описано всі типи регулярних горенштейнових сагайдаків, що мають 8 вершин.

Твердження .3.1. Якщо сагайдаки горенштейнових матриць восьмого порядку мають петлі не у всіх вершинах, то може бути як цілим так і нецілим числом.

Для горенштейнових матриць восьмого порядку з підстановкою Кириченка існує 23 типи регулярних сагайдаків з цілим індексом:

Для горенштейнових матриць восьмого порядку з підстановкою Кириченка можливі такі випадки з:

1)  існує один тип регулярних сагайдаків з;

2)  існує 13 типів регулярних сагайдаків: з, (чотири типи), (три типи), (три типи), ,;

3)  існує 5 типів регулярних сагайдаків: з (три типи), ,;

4)  існує один тип регулярних сагайдаків з;

5)  існує 6 типів регулярних сагайдаків: з , (два типи), , ,;

6)  існує 17 типів регулярних сагайдаків: з, (шість типів), (п'ять типів), (чотири типи),.

Для горенштейнових матриць восьмого порядку з підстановкою Кириченка можливі такі випадки з:

1)  існує два типи регулярних сагайдаків;

2)  існує 10 типів регулярних сагайдаків;

3)  існує 8 типів регулярних сагайдаків;

4)  існує 22 типи регулярних сагайдаків;

5)  існує 21 тип регулярних сагайдаків;

6)  існує 91 тип регулярних сагайдаків.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі знайдено і досліджено всі горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 8 вершин. Для всіх горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 7 вершин, знайдено при яких значеннях параметрів вони є сагайдаками для даної горенштейнової матриці. Графічно зображено всі горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 7 вершин. Досліджено на примітивність та імпримітивність матриці суміжності горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин, знайдено їх характеристичні поліноми. Знайдено формули, за допомогою яких можна задати матриці суміжності горенштейнових сагайдаків до 5-го порядку включно. Знайдено формули, за допомогою яких можна задати матриці суміжності горенштейнових сагайдаків циклічних горенштейнових матриць до 8-го порядку включно. Знайдено всі цілі індекси горенштейнових сагайдаків. Знайдено індекси імпримітивності матриць суміжності циклічних горенштейнових сагайдаків. Знайдено критерій горенштейновості зведених -порядків за допомогою ординальних степенів частково впорядкованих множин; описано всі горенштейнові сагайдаки, що відповідають -порядкам.

Циклічні сагайдаки горенштейнових матриць не мають петель у жодній вершині. Для циклічної горенштейнової матриці завжди знайдеться циклічний горенштейнів сагайдак з, причому матрицю суміжності цього сагайдака можна задати формулою і характеристичний поліном її має вигляд, де – порядок матриці. Індекси циклічних горенштейнових сагайдаків циклічних горенштейнових матриць можуть не дорівнювати одиниці.

Циклічних сагайдаків нециклічних горенштейнових матриць 5-го та 7-го порядку не існує. Циклічні сагайдаки нециклічних горенштейнових матриць 4-го та 6-го порядку завжди мають. Циклічні сагайдаки нециклічних горенштейнових матриць 8 порядку можуть мати як цілий, так і нецілий індекс. Цілий індекс циклічного горенштейнового сагайдака, який має не більше 8 вершин, може бути числом із множини .

Індекси регулярних горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 5 вершин, є цілими числами. Якщо сагайдак з 6 або 7 вершинами має петлі не в усіх вершинах, то він має нецілий індекс. Якщо сагайдак з 6 або 7 вершинами має, то він обов'язково є регулярним, причому він може мати петлі в усіх вершинах або мати петлі не в усіх вершинах. Для циклічних горенштейнових матриць 6 та 7 порядку існують лише регулярні горенштейнові сагайдаки з цілим індексом. Для нециклічних горенштейнових матриць 6 та 7 порядку існують регулярні горенштейнові сагайдаки як з цілим, так і з нецілим індексом. Регулярні горенштейнові сагайдаки з 6 або 7 вершинами та цілим індексом мають петлі або в кожній вершині, або петель взагалі не мають. Якщо сагайдак з 8 вершинами має петлі не в усіх вершинах, то його індекс може бути як цілим, так і нецілим числом. Цілий індекс регулярного горенштейнового сагайдака з вершинами може бути числом із множини.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ АВТОРА

ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Галапчук С.Г. Горенштейнові сагайдакиНауковий часопис НПУ імені М.П. Драгоманова. Серія 1. Фізико-математичні науки. — 2005. — №6. — С. .

Галапчук С.Г. Об одном обобщении дважды стохастических матрицИзвестия Гомельского государственного университета имени Ф. Скорины. — 2007. — №5(44). — С. .

Кириченко В.В., Журавлёв В.Н., Черноусова Ж.Т.,  Мирошниченко С.Г.  Циклические горенштейновы порядкиДоповіді НАН України. Серія: Математика, природознавство, технічні науки. — 2003. — №4. — С. .

Chernousova Dokuchaev Kirichenko ZhuravlevTiled orders over discrete valuation rings, finite Markov chains and partially ordered sets. I.Algebra and discrete mathematics.  — 2002. — №1. — P. .

Chernousova Dokuchaev Kirichenko MiroshnichenkoZhuravlevTiled orders over discrete valuation rings, finite Markov chains and partially ordered sets. II.Algebra and discrete mathematics. — 2003. — №2. — P. .

ChernousovaDokuchaevKhibinaKirichenkoMiroshnichenkoZhuravlev V.N. Tiled orders over discrete valuation rings, finite Markov chains and partially ordered sets. I. — Brasil, November 2002. — 36(PreprintSao Paulo Univ. and Inst. of Math. and Statistics; RT-MAT 2002-29).

Chernousova Dokuchaev Khibina Kirichenko MiroshnichenkoZhuravlev V.N. Tiled orders over discrete valuation rings, finite Markov chains and partially ordered sets. II. — Brasil, April 2003. — 43(PreprintSao Paulo Univ. and Inst. of Math. and Statistics; RT-MAT 2003-7).

Галапчук С.Г. Про одне узагальнення двічі стохастичних матрицьAbstracts of 6th International Algebraic Conference in Ukraine — Kamyanets-Podilsky, 2007. — P. 80-82.

Кириченко В.В., Журавлёв В.М., Черноусова Ж.Т., Мирошничен-ко С.Г. Циклические горенштейновы порядкиТези доповідей Міжнародної математичної конференції, присвяченої сторіччю від початку роботи Д.О. Граве в Київському університеті. — К., 2002. — С. .

GalapchukGorenstein quiversТези доповідей International Conference on Radicals ICOR-2006 — Kyiv, 2006. — P. .

АНОТАЦІЇ

Галапчук С.Г. Горенштейнові сагайдаки. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 – алгебра і теорія чисел. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2008.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню горенштейнових сагайдаків, зокрема, знайдено і вивчено горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 8 вершин. Для всіх горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 7 вершин, знайдено при яких значеннях параметрів вони є сагайдаками для даної горенштейнової матриці. Графічно зображено всі горенштейнові сагайдаки, що мають не більше 7 вершин. Досліджено на примітивність та імпримітивність матриці суміжності горенштейнових сагайдаків, що мають не більше 8 вершин, знайдено їх характеристичні поліноми. Знайдено формули, за допомогою яких можна задати матриці суміжності горенштейнових сагайдаків циклічних горенштейнових матриць до 8-го порядку включно. Знайдено всі цілі індекси горенштейнових сагайдаків. Знайдено індекси імпримітивності матриць суміжності циклічних горенштейнових сагайдаків. Знайдено критерій горенштейновості зведених -порядків за допомогою ординальних степенів частково впорядкованих множин; описано всі горенштейнові сагайдаки, що відповідають -порядкам.

Ключові слова: горенштейнів сагайдак, горенштейнова матриця, циклічний горенштейнів сагайдак, регулярний горенштейнів сагайдак, індекс горенштейнового сагайдака, матриця суміжності горенштейнового сагайдака, індекс імпримітивності матриці суміжності сагайдака .

Галапчук С.Г. Горенштейновы колчаны. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 – алгебра и теория чисел. – Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2008.

В диссертационной работе найдено и исследовано горенштейновы колчаны, которые имеют не больше 8 вершин. Для всех горенштейновых колчанов, которые имеют не больше 7 вершин, найдено при каких значениях параметров они являются колчанами для данной горенштейновой матрицы. Графически изображены все горенштейновы колчаны, которые имеют не больше 7 вершин. Исследовано на примитивность и импримитивность матрицы смежности горенштейновых колчанов, которые имеют не больше 8 вершин, найдено их характеристические полиномы. Найдено формулы, с помощью которых можно задать матрицы смежности горенштейновых колчанов до 5-го порядка включительно. Найдено формулы, с помощью которых можно задать матрицы смежности горенштейновых колчанов циклических горенштейновых матриц до 8-го порядка включительно. Найдено все целые индексы горенштейновых колчанов. Найдено индексы импримитивности матриц смежности циклических горенштейновых колчанов. Найдено критерий горенштейновости приведенных -порядков с помощью ординальных степеней частично упорядоченных множеств; описано все горенштейновы колчаны, которые соответствуют -порядкам.

Циклические колчаны горенштейновых матриц не имеют петель ни в одной вершине. Для циклической горенштейновой матрицы всегда найдется циклический горенштейнов колчан с, причем матрицу смежности этого колчана можно задать формулой и ее характеристический полином имеет вид, где – порядок матрицы. Индексы циклических горенштейновых колчанов циклических горенштейновых матриц могут быть не равны единице.

Циклических колчанов нециклических горенштейновых матриц 5-го и 7-го порядка не существует. Циклические колчаны нециклических горенштейновых матриц 4-го и 6-го порядка всегда имеют. Циклические колчаны нециклических горенштейновых матриц 8 порядка могут иметь как целый, так и нецелый индекс. Целый индекс циклического горенштейнова колчана, который имеет не больше 8 вершин, может быть числом из множества.

Индексы регулярных горенштейновых колчанов, которые имеют не больше 5 вершин, являются целыми числами. Если колчан з 6 или 7 вершинами имеет петли не во всех вершинах, то его индекс является нецелым числом. Если колчан з 6 или 7 вершинами имеет \ то он обязательно является регулярным, причем он может иметь петли во всех вершинах или иметь петли не во всех вершинах. Для циклических горенштейновых матриц 6 и 7 порядка существуют только регулярные горенштейновы колчаны с целым индексом. Для нециклических горенштейновых матриц 6 и 7 порядка существуют регулярные горенштейновы колчаны, как с целым, так и с нецелым индексом. Регулярные горенштейновы колчаны з 6 или 7 вершинами и целым индексом имеют петли в каждой вершине или петель не имеют вообще. Если колчан з 8 вершинами имеет петли не во всех вершинах, то его индекс может быть как целым, так и нецелым числом. Целый индекс регулярного горенштейнова колчана з вершинами может быть числом из множества.

Ключевые слова: горенштейнов колчан, горенштейнова матрица, циклический горенштейнов колчан, регулярный горенштейнов колчан, индекс горенштейнова колчана, матрица смежности горенштейнова колчана, индекс импримитивности матрицы смежности колчана.

Galapchuk S.G. Gorenstein quivers. - Manuscript.

Thesis for a candidate’s degree of physics and mathematics by speciality 01.01.06 – algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2008.

The thesis is devoted to research of Gorenstein quivers, particularly, Gorenstein quivers, which have no more than 8 vertices, are investigated. For all Gorenstein quivers, which have no more than 7 vertices, it is found at what values of parameters they are quivers for given Gorenstein matrix. All Gorenstein quivers, which have no more than 7 vertices, are represented graphically. It is investigated on primitivity and imprimitivity adjacency matrices of Gorenstein quivers, which have no more than 8 vertices; their characteristic polynoms are obtained. It is found formulas, which gave possibility to set adjacency matrices of Gorenstein quivers of cyclic Gorenstein matrices up to the 8th order inclusive. All integer indices of Gorenstein quivers are obtained. Indices of imprimitivity adjacency matrices of cyclic Gorenstein quivers are found. Gorenstein criterion of reduced -orders is obtained by means of ordinal degrees of partially ordered sets; all Gorenstein quivers which respond -orders are described.

Keywords: Gorenstein quiver, Gorenstein matrix, cyclic Gorenstein quiver, regular Gorenstein quiver, index of Gorenstein quiver, adjacency matrix of Gorenstein quiver, index of imprimitivity adjacency matrix of the quiver.