імені В. Н. КАРАЗІНА

Іванов Олексій Іванович

УДК 537.874.6

Рівномірна асимптотична теорія дифракції хвиль на криволінійних імпедансних поверхнях

01.04.03 - Радіофізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків - 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В. Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: |

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Звягінцев Анатолій Олександрович,

Харківський національний університет

імені В.Н. Каразіна,

завідувач кафедри фізики надвисоких частот

(м. Харків)

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Горобець Микола Миколайович,

Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна,

завідувач кафедри прикладної електродинаміки;

доктор фізико-математичних наук, професор

Носич Олександр Йосипович,

Інститут радіофізики та електроніки імені О. Я. Усикова НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу обчислювальної електродинаміки (м. Харків).

Захист відбудеться 13.06. 2008 р. о _14_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.051.02 Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. 3-9.

З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи, 4.

Автореферат розісланий 10.05. 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради А.Ф. Ляховський

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з напрямків сучасної теорії дифракції, що інтенсивно розвивається, є променеві асимптотичні методи. Вони, завдяки використанню принципу локальності, дозволяють у простій формі отримувати розв’язання задач дифракції зі складними геометричними та фізичними параметрами розсіювачів. Найпростіший з променевих методів – геометрична теорія дифракції (ГТД) на цей час носить завершений характер. Значний внесок у її розбудову зробив Дж. Келлер, який вперше запропонував знаходити дифракційні хвилі у вигляді променевих полів. Значний недолік цього методу полягає у тому, що дифракційні коефіцієнти, отримані у його рамках, є розривними на границях світло-тінь а також на різноманітних каустичних поверхнях. Це не дозволяє використовувати ГТД у багатьох практичних задачах. Найбільш поширена на цей час рівномірна геометрична теорія дифракції (РГТД) не має цього недоліку, проте вона є евристичним методом та відзначається низькою точністю. Тому у роботі для розв’язання поставленої задачі був обраний інший променевий метод – рівномірна асимптотична теорія (РАТ). Вона використовує асимптотичне розв’язання рівнянь Максвела, що дозволяє отримувати результуюче поле з керованою точністю.

Однією з ключових задач РАТ є задача дифракції променевого поля на клині з криволінійними гранями. З використанням розв’язку цієї задачі можна побудувати розв’язок будь-якої двовимірної задачі та цілої низки тривимірних задач дифракції, за умови, що геометричні параметри розсіювача відповідають вимогам променевих методів. На цей час існують аналітичні розв’язки у рамках РАТ для задач дифракції на імпедансному клині з прямими гранями, а також на ідеально провідному клині з криволінійними гранями.

На цей час для моделювання електродинамічних структур, розміри яких набагато перевищують довжину хвиль, переважно використовується РГТД. Застосуванню РАТ у цих задачах заважає малий набір існуючих дифракційних коефіцієнтів та їх надмірна складність. Зокрема, існуючі аналітичні вирази для крайової хвилі при дифракції на криволінійному клині складно застосовні у числових алгоритмах, а для імпедансних граничних умов вони взагалі відсутні. У той же час, ці граничні умови є необхідними для моделювання різноманітних багатошарових метало-діелектричних структур та для ефективного використання РАТ в сукупності з іншими методами обчислювальної електродинаміки.

Отже, актуальною є задача подальшого розвитку РАТ, зокрема отримання дифракційних коефіцієнтів для низки задач з розсіювачами, на яких виконуються імпедансні граничні умови. Використання для цього точних аналітичних розв’язків у квадратурах небажане, так як ця процедура призводить до надмірно складних кінцевих виразів для дифракційних полів. Натомість виправданими є числові розрахунки дифракційних коефіцієнтів, що дозволяє не тільки досягти максимальної простоти асимптотичних виразів, але й отримати дифракційні поля у зонах, де променеві методи не можуть бути використані.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана на кафедрі фізики надвисоких частот Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна. Матеріали дисертації безпосередньо пов’язані з темою держбюджетної НДР «Електродинаміка хвильових процесів у широкосмугових хвилеведучих системах НВЧ та КВЧ діапазонів» (державний реєстраційний номер – 0106U001565).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є розвиток променевого асимптотичного методу для розв’язання задач дифракції електромагнітних хвиль на криволінійних імпедансних поверхнях з ребрами.

Об'єкт дослідження – процес дифракції високочастотної електромагнітної хвилі на криволінійній імпедансній поверхні зі зламом.

Предмет дослідження – дифракційні та поверхневі хвилі, що утворюються при падінні променевого поля на криволінійну імпедансну поверхню зі зламом.

Завданнями дослідження є одержання дифракційних коефіцієнтів для крайової хвилі та коефіцієнтів збудження поверхневих хвиль в задачі дифракції променевого поля на імпедансній поверхні з ребром, а також одержання асимптотичних виразів для полів цих хвиль при їх поширенні у слабко неоднорідному середовищі.

Методи дослідження. Основним методом, за допомогою якого у роботі отримуються асимптотичні розв’язки, є рівномірна асимптотична теорія дифракції. Для отримання полів власних мод поверхневих хвиль використовується метод еталонної задачі. При отриманні числових дифракційних коефіцієнтів використовується метод скінченних елементів.

Наукова новизна одержаних результатів.

· Вперше з використанням рівномірної асимптотичної теорії розв’язано задачу дифракції променевого поля на криволінійному клині з повільно змінюваним поверхневим імпедансом та довільним профілем ребра. Встановлено, що заснований на цьому розв’язку чисельний алгоритм має більшу точність, ніж рівномірна геометрична теорія дифракції, а також потребує значно меншого об’єму обчислювальних ресурсів, ніж традиційні сіткові методи.

· Встановлено способи управління амплітудою крайової хвилі та розподілом енергії уздовж її фронту за допомогою зміни геометрії ребра та поверхневого імпедансу у його околі. Показано, що найменше поле у тіньовій зоні при фіксованій геометрії розсіювача спостерігається при закругленні ребра дугою окружності.

· Запропоновано алгоритм обчислення полів у каустичних, фокальних та інших особливих областях променевих розв’язків за допомогою методу скінченних елементів. Основними перевагами цього алгоритму є можливість його застосування при будь-якому типі особливості, а також при наявності розсіювача поблизу особливості.

· Вперше побудовано асимптотичні вирази для власних хвиль галереї, що шепоче, хвиль сковзання та найпростіших поверхневих хвиль тривимірної криволінійної поверхні, розташованої у слабко неоднорідному середовищі. Показано, що головні фазові члени асимптотичних розкладів цих хвиль задовольняють двовимірному рівнянню ейконалу на поверхні розсіювача. Це дозволяє за допомогою неоднорідностей показнику заломлення біля поверхні розсіювача фокусувати та змінювати напрямок поширення поверхневих хвиль.

Достовірність наукових результатів, отриманих у роботі, забезпечується тим, що основний метод досліджень – рівномірна асимптотична теорія має керовану точність та дозволяє оцінювати похибки отриманих розв’язків. Також числові результати було перевірено за допомогою порівняння з іншими відомими розв’язками аналогічних задач.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи можуть бути використані при моделюванні процесів дифракції на криволінійних імпедансних поверхнях з ребрами, а також стати основою для числових методів з розв’язання задач дифракції на тілах, розміри яких є великими порівняно з довжиною хвилі, а фізико-геометричні параметри можуть бути змодельовані з використанням імпедансних граничних умов. Отримані аналітичні вирази для власних хвиль, які поширюються уздовж криволінійних поверхонь, можуть бути використані самостійно у асимптотичних методах з обчислення полів поблизу гладких границь поділу середовищ.

Особистий внесок здобувача. У роботах [1, 2] автор отримав аналітичні вирази для поля крайової хвилі, а також зробив частину числових розрахунків. У роботах [3 – 5, 7 – 9, 12 – 14] автору належать аналітичні обчислення і програмна реалізація алгоритмів. У роботах [6, 10, 11] автору належить отримання асимптотичних розв’язків, побудова алгоритмів обчислення дифракційного поля поблизу крайки та його зшивання з асимптотичними розв’язками, а також частина числових розрахунків. Також, в роботах [1-14] автор брав участь у обговоренні результатів та формулюванні висновків.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації пройшли апробацію на наступних конференціях: The 9th and the 11th International Conferences on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (Київ, Україна, 2002 р. та Харків, Україна, 2006 р.); The Fourth, the Fifth and the Sixth International Kharkov Symposiums on Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Submillimeter Waves (Харків, Україна, 2001, 2004 та 2007 рр.); The Second International Workshop “Ultra Wideband and Ultra Short Impulse Signals” (Севастополь, Україна, вересень 2004 р.); The 4th International Conference on Antenna theory and Techniques (Севастополь, Україна, 2003 р.); 16-я Международная Крымская конференция «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (Севастополь, Україна, 2006 р.); The International Conference “Days on Diffraction’ 2007” (Санкт-Петербург, Росія, 2007 г.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 14 наукових праць. Серед них 6 статей у фахових наукових виданнях та 8 доповідей на наукових конференціях.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, додатків та списку використаних джерел. Повний обсяг роботи складає 150 сторінок. Дисертація містить в собі 41 рисунок. Загальний обсяг додатків складає 7 сторінок. Список використаних джерел на 12 сторінках нараховує 126 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито загальну характеристику стану проблеми та її актуальність, обґрунтовано необхідність проведення досліджень за темою дисертації, сформульовано мету та задачі дисертаційної роботи. Визначено об’єкт, предмет та методи досліджень, новизну та практичне значення отриманих результатів. Викладено зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Розділ 1 містить огляд літератури за темою дисертації. У ньому окреслено етапи розвитку променевих асимптотичних методів у теорії дифракції. На основі проведеного у розділі аналізу сучасного стану променевих методів визначено задачі та напрямки досліджень.

У розділі 2 “Скалярна задача дифракції на криволінійному імпедансному клині” у рамках рівномірної асимптотичної теорії розв’язано двовимірну скалярну задачу дифракції променевого поля на криволінійному імпедансному клині. Ця задача є ключовою у променевих методах, оскільки, використовуючи її розв’язки, можна побудувати дифракційне поле у задачах з багатьма ребрами, за умови, що ребра знаходяться поза напівтіньовими зонами променевих конгруенцій. Якщо прийняти кут розкриву клину рівним , вихідну задачу можна використати для обчислення полів при наявності розривів кривизни поверхні розсіювачів, а також при наявності стрибків поверхневого імпедансу розсіювачів (стиків матеріалів). У першому підрозділі наведено постановку задачі, розглянуто способи обчислення поля крайової хвилі та поля поблизу ребра, представлено процедуру обчислення власних поверхневих хвиль, а також розглянуто зшивання асимптотичного та числового розв’язків з метою отримання коефіцієнтів дифракції.

Оскільки при відбитті від криволінійних поверхонь променеві розклади можуть мати особливості різних типів, у розділі також розглянуто метод відтворення полів поблизу таких особливостей на основі променевих полів вдалині від них. У другому підрозділі наведено опис цього методу, а також приведене його застосування у випадках, коли променева конгруенція має дотичні промені до гладкої поверхні, а також у разі утворення точки повертання каустики.

Геометрія задачі, розглянутої у другому розділі, представлена на рис. 1. На рисунку також позначені промені крайової хвилі, її фронт та системи координат та , які використовуються при отриманні розв’язків. Вважається, що оточуюче клин середовище однорідне, а поверхневий імпеданс граней є скалярною функцією довжини грані l. В цьому випадку векторна задача дифракції зводиться до скалярної, причому від поляризації падаючої хвилі залежать лише коефіцієнти у граничних умовах на поверхні розсіювача . Повне поле в скалярній задачі дифракції на криволінійному клині відшукується у вигляді

, (1)

де – променеві розклади падаючої та відбитої хвиль, – інтеграл Френеля, – хвильове число, – ейконали крайової, падаючої та відбитої хвиль, – поле крайової хвилі, – поле поверхневих хвиль, що поширюються уздовж затіненої та освітленої грані клину. Перші два члени у виразі (1) є еквівалентними відповідним полям геометричної оптики, але замість індикаторів світло-тінь вони містять напівтіньові множники у вигляді інтегралів Френеля. Оскільки кожен з цих членів, взагалі кажучи, не задовольняє рівнянню Гельмгольца, а їх сума – граничним умовам на поверхні клину, повне дифракційне поле повинно містити додатковий член , який компенсує відповідні відхили. Поля враховують хвилі сковзання, хвилі галереї, що шепоче, та найпростіші поверхневі хвилі, які збуджуються падаючою хвилею. Останні три члени у виразі (1) підлягають відшуканню з рівняння Гельмгольца та імпедансних граничних умов на поверхні клину.

В роботі розглянуто два методи обчислення поля крайової хвилі . Перший з них полягає в модифікації геометрооптичного коефіцієнту відбиття таким чином, щоб поле (1) задовольняло граничним умовам на освітленій грані. Він не враховує граничних умов на затіненій грані, тому поблизу неї має досить велику похибку обчислення. Проте, вдалині від затіненої грані він має точність, достатню для багатьох практичних задач, а також потребує найменших обчислювальних ресурсів серед аналогічних методів. Другий метод полягає у інтегруванні неоднорідних рівнянь переносу для крайової хвилі, які утворюються при підстановці виразу (1) у рівняння Гельмгольца. На відміну від традиційної РАТ, це дає змогу знайти поле без використання розривних асимптотичних виразів ГТД. Поле крайової хвилі має вигляд

, (2)

де – променеві амплітуди, що підлягають відшуканню. Точність обчислення поля залежить від кількості утриманих членів в ряді (2). Як правило, двох-трьох членів достатньо для більшості практичних задач, за винятком випадків, коли поблизу ребра розташовані джерела первинних чи дифракційних хвиль. Для спрощення процедури інтегрування рівнянь переносу в роботі пропонується амплітуди падаючої та відбитої хвиль, а також величини апроксимувати рядами по степеням . Також приведено результати інтегрування членів для двох таких апроксимацій – по прямим та зворотнім степеням . Це дозволяє обчислювати поле крайової хвилі з асимптотичною точністю як у областях з кінцевими радіус-векторами, так і при . Наведена процедура призначена насамперед для числових методів, в яких амплітуди та ейконали падаючої та відбитої хвиль задані у формі сіткових функцій. Проте, вона може бути використана і при їх аналітичному заданні. В результаті інтегрування рівнянь переносу амплітуди у виразі (2) обчислюються з точністю до довільних функцій координати . Тому для остаточного відшукання поля крайової хвилі необхідно мати величини на деякому її фронті.

Поле власних мод галереї, що шепоче, та мод сковзання отримується у вигляді асимптотичного виразу

(2)

де ; коефіцієнти , підлягають відшуканню; – функції Ері-Фока та для хвиль галереї, що шепоче, та хвиль сковзання відповідно. Точність виразу (2) залежить від кількості утриманих членів , . В роботі ці коефіцієнти обчислюються до включно методом еталонної задачі. Це дозволяє обчислювати повне поле (1) з точністю до .

Для обчислення полів найпростіших поверхневих хвиль також використовується метод еталонної задачі. Поле кожної з таких хвиль, що поширюються від ребра, має вигляд

, (3)

де – комплексний ейконал поверхневої хвилі, - функції, що підлягають відшуканню. У роботі обчислено дві перших функції для досягнення точності виразу (3) .

Отримання початкових значень променевих амплітуд крайової хвилі та коефіцієнтів збудження власних мод поверхневих хвиль не може бути здійснене у рамках РАТ. Для цього необхідно мати будь-який розв’язок, дійсний, щонайменше, у області порядку довжини хвилі біля ребра. У традиційному для РАТ методі асимптотичного зшивання у якості такого розв’язку використовується поле ГТД. Проте у вихідній задачі таке поле недоступне, що призводить до необхідності пошуку інших способів отримання поля поблизу ребра. У роботі представлено два таких способи – за допомогою розробленого числово-аналітичного методу та за допомогою методу скінченних елементів (МСЕ). У числово-аналітичному методі повне поле поблизу ребра обчислюється окремо у зонах, відокремлених межами світло-тінь. У кожній з цих зон поле отримується у вигляді ряду по ступенях відстані від ребра. Коефіцієнти рядів отримуються при їх підстановці у рівняння Гельмгольца та граничні умови, які становлять собою імпедансні умови на гранях клину та умови неперервності поля та його першої похідної у напрямі, перпендикулярному до границь зон, на цих границях. Числово-аналітичний метод є ефективним при незначній кривизні граней клину. В протилежному випадку складність аналітичних виразів стрімко зростає з ростом кількості утриманих членів у рядах, і застосування методу стає недоцільним. Застосування МСЕ для отримання необхідних дифракційних коефіцієнтів дозволяє врахувати не тільки кривизну граней, але й скінченні розміри ребра та його геометрію. Крім того, доцільним є обчислення за допомогою МСЕ не повного поля (1), а суми дифракційних хвиль – останніх трьох членів у виразі (1). Це спрощує процедуру зшивання, а також зменшує уявні відбиття від границі області розв’язку МСЕ внаслідок того, що сума дифракційних хвиль, за винятком околів граней, являє собою на цій границі циліндричну хвилю. Сума дифракційних хвиль обчислюється застосуванням МСЕ до рівняння Гельмгольца , де

,

а також . Величини є відхилами, що вносяться у рівняння Гельмгольца головними членами РАТ. На гранях клину поле повинно задовольняти граничним умовам

де - нормаль до грані, спрямована у область розв’язку, - радіус-вектори граней. Доцільно замикати область розв’язку на одному з фронтів крайової хвилі поглинаючими граничними умовами або умовами ідеально узгодженого шару.

Зшивання асимптотичних розв’язків з числовими розв’язками запропоновано здійснювати мінімізацією величини у смузі , яка належить одночасно до області числового розв’язку, та до області, де поле РАТ має необхідну для розрахунків точність. Точність зшивання збільшується зі збільшенням різниці , проте надмірне зменшення величини призводить до втрати точності розрахунку поля , а збільшення величини - до збільшення об’єму обчислювальних ресурсів для розрахунку поля . У роботі обговорюються питання вибору смуги зшивання для досягнення оптимального співвідношення між точністю та необхідним об’ємом обчислювальних ресурсів.

Для отримання полів поблизу особливостей променевих розкладів запропоновано за допомогою МСЕ розв’язувати рівняння Гельмгольца у околі особливості. На границях області МСЕ числові розв’язки повинні переходити в поле променевих розкладів. Тому на цих границях використовуються умови Дирихле з правою частиною, що дорівнює полю променевого розкладу. Проте, оскільки при застосуванні такої процедури можливі випадки, коли частина розсіювача потрапляє до області розв’язку або особливість віддаляється на нескінченність, необхідно доповнити алгоритм способами замикання області у цих випадках. Це досягається застосуванням імпедансних граничних умов на поверхні розсіювача, а також застосуванням поглинаючих умов на границі, що перетинає особливість. Перевага розробленого алгоритму порівняно з інтегральними методами – фізичною оптикою та методами обчислення дифракційного інтегралу полягає у можливості точного моделювання дифракційних полів при наявності розсіювачів, а також у можливості застосування при неоднорідному зовнішньому середовищі. Перевага алгоритму порівняно зі спеціалізованими асимптотичними розкладами полягає у універсальності, тобто кожен з каустичних, фокальних і т.п. розкладів застосовний лише для відповідного типу особливості, в той же час розроблений алгоритм може використовуватися при будь-якому типі особливості. В роботі розглянуто з використанням алгоритму дві тестові задачі – отримання поля біля граничного променя при падінні хвилі на випуклу поверхню та обчислення поля поблизу точки повертання каустики.

У розділі 3 “Застосування РАТ в задачах дифракції електромагнітних хвиль на тілах з ребрами” за допомогою результатів, отриманих у другому розділі, досліджується вплив геометричних та фізичних параметрів розсіювача біля ребра на дифракційне поле. Також на основі порівняння з іншими методами обчислення дифракційних полів визначається точність та відносна швидкість обчислень розробленого алгоритму. Наводяться приклади застосування РАТ у задачі дифракції променевого поля на багатьох ребрах та у задачі дифракції гаусова пучка на імпедансній поверхні з ребром.

У задачі дифракції плоскої хвилі на поверхні з ребром методи модифікації коефіцієнту відбиття та числового відшукання крайової хвилі показали схожі результати у освітленій та напівтіньовій зонах. Проте, похибка першого методу значно зростає поблизу затіненої поверхні, що робить неможливим його застосування у тіньовій зоні. При порівнянні з аналітичними дифракційними коефіцієнтами, отриманими на основі асимптотики Г.Д. Малюжинця, було встановлено, що значний вклад у результуючу похибку методу числової РАТ вносять вищі члени променевого розкладу крайової хвилі, які присутні у числовому розв’язку поблизу ребра, але не враховуються в асимптотичних виразах. Для зменшення цих похибок необхідно утримувати більше членів у розкладі крайової хвилі, або збільшувати область числового розв’язку. Водночас числова РАТ показала значно кращу порівняно з аналітичними коефіцієнтами точність при ковзкому падінні падаючої хвилі, що є наслідком точного виконання граничних умов у числовому розв’язку. Порівняння швидкості обчислень РАТ з числовими дифракційними коефіцієнтами та МСЕ здійснювалось в задачі з отримання дифракційного поля у 100 точках на фронті крайової хвилі при дифракції на клині з кутом розкриву . Максимальний елемент сітки МСЕ був фіксований на рівні . Було показано, що чисельну РАТ доцільно використовувати при віддаленні точок приблизно на від ребра (рис. 2). При дослідженні точності обчислення полів хвиль галереї, що шепоче, та хвиль сковзання встановлено, що при радіусі області числового розв’язку приблизно для досягнення точності 2% необхідно враховувати 5-6 перших власних мод поверхневих хвиль. Найбільші похибки при цьому спостерігаються у межах відстані приблизно від ребра. З подальшим ростом відстані похибка зменшується. При збільшенні області числового розв’язку вклад вищих мод на її границі значно зменшується, що дає змогу зменшувати кількість утриманих мод при фіксованій точності.

Застосування числової РАТ у задачі дифракції поля лінійного випромінювача показала, що при близько розташованому до ребра джерелі, завдяки використанню числового розв’язку, відсутня необхідність утримання значної кількості членів в розкладі крайової хвилі для досягнення необхідної точності. Також, показано можливість використання РАТ для лінійних випромінювачів з неоднорідним розподілом енергії по фронту хвилі та для аналізу поширення хвиль при наявності будівель.

На рис. 3 представлені залежності амплітуди крайової хвилі від кута при наявності неоднорідності поверхневого імпедансу затіненої грані (ліворуч) та при різних профілях ребра (праворуч). В першому випадку кут розкриву клину дорівнює , кут падіння – , а неоднорідність описується виразом , де . В другому випадку , кут розкриву клину дорівнює , кут падіння – , а товщина розсіювача – . Профіль ребра формується відрізком прямої або дугами окружностей діаметра . При аналізі впливу неоднорідностей поверхневого імпедансу встановлено, що неоднорідність в основному впливає на розподіл енергії по фронту крайової хвилі, причому найбільший вплив спостерігається поблизу поверхні з неоднорідністю. У той же час, зміна геометрії ребра при фіксованій геометрії розсіювача практично не змінює поле поблизу нього, але дозволяє управляти сумарною енергією крайової хвилі. Найменша амплітуда крайової хвилі при фіксованих розмірах ребра спостерігалась при її закругленні, найбільша амплітуда – при увігнутому профілі ребра.

У розділі 4 “Застосування РАТ з числовими дифракційними коефіцієнтами у тривимірних задачах дифракції” розглядається тривимірна векторна задача дифракції променевого поля на імпедансній поверхні з ребром, розташованій у слабко неоднорідному середовищі. Обговорюються відмінності від двовимірного випадку при відшуканні променевого розкладу крайової хвилі, а також при отриманні асимптотичних виразів для поверхневих хвиль. Також, наводиться приклад застосування РАТ у задачі мінімізації зворотного розсіяння дзеркальної антени.

На відміну від двовимірної скалярної задачі, поле відшукується з рівняння

, (4)

де . Променеві методи застосовні для розв’язку рівняння (4) лише якщо зовнішнє середовище є слабко неоднорідним. В загальному випадку, вважаючи величини малими, для отримання поля крайової хвилі з рівняння (4) можна застосувати метод малого параметра. Проте, якщо припустити, що величини мають порядок або менший, рівняння (4), при підстановці у нього головних членів виразу РАТ, зводиться до рекурентної системи рівнянь, аналогічної двовимірним рівнянням переносу амплітуд крайової хвилі. Оскільки у більшості числових алгоритмів променеві амплітуди отримуються у вигляді сіткових функцій координат, для інтегрування отриманої з рівняння (4) системи доцільно використати метод скінченних різниць. У роботі розглянуто апроксимацію диференціальних операторів системи скінченнорізницевими операторами, а також розглянуто приклад обчислення нульової променевої амплітуди крайової хвилі при її поширенні у неоднорідному середовищі.

Для отримання полів власних поверхневих мод вводиться система координат, яка складається з перпендикулярів до поверхні, а також геодезичних ліній та перпендикулярних до них кривих на поверхні. У роботі не враховуються ефекти, які пов’язані зі скрутом шляхів поширення поверхневих хвиль. У цьому наближенні введена система координат є ортогональною. Кожна з проекцій вектора мод галереї, що шепоче, та мод сковзання відшукується у вигляді розкладу (2). Проте, в цьому випадку коефіцієнти , вважаються функціями трьох координат. Поле найпростішої поверхневої хвилі відшукується у вигляді виразу, аналогічного розкладу (3). Рівняння (4), при підстановці у нього асимптотичних виразів для поверхневих хвиль, зводиться до системи, яка, з урахуванням малості величин , розв’язується за допомогою методу малого параметру. На кожній ітерації цього методу використовуються асимптотичні розклади поверхневих хвиль, отримані за допомогою методу еталонної задачі. В роботі показано, що хвилі сковзання та галереї, що шепоче, поширюються уздовж поверхні по геодезичним лініям, якщо показник заломлення біля поверхні є однорідним. У протилежному випадку траєкторії поширення є характеристиками рівняння ейконалу

, (5)

де – старший член у експоненціальному множнику виразу (2), - показник заломлення біля поверхні, а – система координат на поверхні розсіювача, яка складається з геодезичних ліній t=const та перпендикулярних до них кривих s=const. Аналогічне рівняння ейконалу для найпростіших поверхневих хвиль становить

,

де й – компоненти комплексного ейконалу . Як видно з цього виразу, права частина рівняння є комплексною, тому при неоднорідному розподілі поверхневого імпедансу чи показника переломлення поблизу поверхні, для встановлення шляху поширення хвилі необхідно користуватися методами, що призначені для трасування комплексних променів.

На рис. 4 представлені характеристики рівняння ейконалу (5) при поширенні хвилі сковзання по поверхні сфери з показником заломлення біля поверхні , де ; ; . З рисунку видно, що характеристики витісняються із зони неоднорідності, що призводить до суттєвого зменшення амплітуди хвилі в цій області.

В розділі також РАТ з числовими дифракційними коефіцієнтами застосовано у задачі мінімізації зворотного випромінювання дзеркальної антени. Модель антени включає параболічне ідеально провідне дзеркало, на кромці якого розташований імпедансний фланець фіксованої довжини. Оптимізуються поверхневий імпеданс та геометрія фланця, а також кут між ним та дотичною до дзеркала на кромці. РАТ використовується для обчислення поля, що випромінюється у зворотному відносно основного променя напрямку. Оскільки крайова хвиля у цьому випадку тороїдна, вісь антени є для неї фокальною лінією. Тому амплітуда поля на осі обчислюється за допомогою методу еквівалентних токів.

У Висновках сформульовані основні результати дисертаційної роботи.

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі наведено розв’язок задачі дифракції монохроматичної електромагнітної хвилі на криволінійній поверхні з ребром довільного профілю, розташованої у слабко неоднорідному середовищі. Поверхневий імпеданс розсіювача вважається повільно змінним на відстані порядка довжини хвилі, а розміри ребра набагато меншими, ніж довжина хвилі. Задачу розв’язано за допомогою рівномірної асимптотичної теорії дифракції з числовими дифракційними коефіцієнтами. Коефіцієнти дифракції обчислюються за допомогою зшивання асимптотичних розкладів з дифракційним полем у околі ребра. Для відтворення поля в областях, що знаходяться поблизу особливих точок променевих розкладів, запропоновано метод, який базується на числовому розв’язку граничної задачі для рівняння Гельмгольца у околі особливої точки. Граничні умови задачі побудовані таким чином, щоб на границі області поле числового розв’язку переходило у поле променевих розкладів.

Основним призначенням наведених в дисертації результатів є побудова алгоритмів моделювання дифракційних процесів у великих порівняно з довжиною хвилі електродинамічних структурах. Зокрема, отримані результати можуть бути використані при аналізі поширення електромагнітних хвиль дециметрового та сантиметрового діапазонів в умовах міського ландшафту, а також при синтезі апертурних антен великих порівняно з довжиною хвилі розмірів.

У дисертаційній роботі отримано наступне:

1. Розвинуто два методи обчислення рівномірної крайової хвилі в рамках рівномірної асимптотичної теорії. Головною перевагою першого методу є малий об’єм обчислювальних ресурсів, необхідний для отримання дифракційного поля. Проте, другий метод має значно більшу точність, особливо у тіньовій зоні. Його використання, на відміну від рівномірної геометричної теорії дифракції, дозволяє враховувати ефекти, пов’язані з неоднорідним розподілом енергії по фронту падаючої хвилі, дифракцією на стрибках кривизни, тощо.

2. Досліджено точність, необхідний об’єм обчислювальних ресурсів та швидкість обчислень методу рівномірної асимптотичної дифракції з числовими дифракційними коефіцієнтами. Встановлено, що вона має більшу точність, ніж рівномірна геометрична теорія дифракції, а також потребує значно меншого об’єму обчислювальних ресурсів, ніж традиційні сіткові методи.

3. Побудовано асимптотичні вирази для власних хвиль галереї, що шепоче, хвиль сковзання та найпростіших поверхневих хвиль тривимірної криволінійної поверхні, розташованої у слабко неоднорідному середовищі. Розв’язок цієї задачі отримано за допомогою методу еталонної задачі та методу збурень. У роботі не враховуються ефекти, які пов’язані зі скрутом шляхів поширення поверхневих хвиль. Показано, що головні члени асимптотичних розкладів цих хвиль задовольняють двовимірному рівнянню ейконалу на поверхні розсіювача. На прикладі хвиль сковзання показано, що за допомогою локального збільшення коефіцієнту заломлення біля поверхні розсіювача можна фокусувати поверхневі хвилі, і навпаки, знижувати їх амплітуду шляхом його локального зменшення.

4. Встановлено, що неоднорідність імпедансу біля ребра впливає на розподіл енергії по фронту крайової хвилі, причому в основному поблизу поверхні з неоднорідністю. Зміна профілю ребра при фіксованій геометрії розсіювача практично не змінює поле поблизу нього, але дозволяє управляти сумарною енергією крайової хвилі. Найменша амплітуда крайової хвилі при фіксованих розмірах ребра спостерігалась при його закругленні, найбільша амплітуда – при увігнутому профілі ребра.

5. Рівномірну асимптотичну теорію застосовано у задачі мінімізації випромінювання дзеркальної антени у зворотному напрямку за допомогою фланця, розташованого на ребрі рефлектора. Показано, що застосування випуклих фланців дозволяє зменшити зворотне випромінювання у порівнянні з прямими фланцями.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ АВТОРОМ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Звягинцев А.А., Иванов А.И., Демченко Т.Н. Анализ рассеяния электромагнитных волн на импедансной ленте методом равномерной асимптотической теории // Радиотехника. – 2001. – № 117. – C. 108-111.

2. Zvyagintsev A.A., Ivanov A.I. and Demchenko T.M. Application of the Uniform Asymptotic Theory to electromagnetic wave scattering by a half-plane with impedance properties // Telecommunications and Radio Engineering. – 2002. – № 6-7, Vol. 57. – P. 40-46.

3. Звягинцев А.А., Иванов А.И., Катков Д.В. Анализ рассеяния пучков на импедансных поверхностях с изломами методом равномерной асимптотической теории // Вісник Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна. Зб. наук. пр. Серія "Радіофізика та електроніка". – 2002. – № 544. – С.108-111.

4. Zvyagintsev A.A., Ivanov A.I., Katkov D.V. Impulse source in the vicinity of a convex impedance body: minimization of the field in the shadow region // Radio Physics and Radio Astronomy. – 2002. – № 4, V. 7. – P. 475-478.

5. Звягінцев А.О., Іванов А.І., Катков Д.В. Обчислення полів поблизу особливих точок променевих розв’язків методом кінцевих елементів // Вісник Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна. Зб. наук. пр. Серія "Радіофізика та електроніка". – 2004. – № 646. – С.194-197.

6. Звягинцев А.А., Иванов А.И., Катков Д.В. Численное отыскание дифракционных коэффициентов в задаче рассеяния электромагнитной волны на криволинейной импедансной поверхности с кромкой // Радиофизика и радиоастрономия. – 2005. – Т. 10, № 4. – С. 418-424.

Результати дисертації додатково висвітлені в таких роботах:

7. Zvyagintsev A.A., Ivanov A.I. Analysis of the Gaussian beam diffraction on the impedance knife-edge using the Uniform Asymptotic Theory // Proc. of the fourth International Symposium on Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Submillimiter Waves. June 4-9, 2001, Kharkiv (Ukraine). – P. 187-189.

8. Zvyagintsev A.A., Ivanov A.I. Minimization of the field diffracted from a convex impedance body to the shadow region // Proc. of the 9th International Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. September 11-13, 2002, Kyiv (Ukraine). – P. 517-520.

9. Zvyagintsev A.A., Ivanov A.I. A mixed asymptotic and FD method for the EM field modeling in quasi-optical devices // Proc. of the Fourth International Conf. on the Antenna Theory and Techniques. September 9-12, 2003, Sevastopol (Ukraine). – P. 719-722.

10. Zvyagintsev A.A., Ivanov A.I., Katkov D.V. Uniform asymptotic theory of diffraction by a curvelinear impedance wedge // Proc. of the Fifth International Symposium on Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Submillimiter Waves. June 21-26, 2004, Kharkiv (Ukraine). – P. 320-322.

11. Zvyagintsev A.A., Ivanov A.I., Katkov D.V. Pulse plane wave diffraction on a curvilinear impedance wedge: UAT analysis // Proc. of the Second International Workshop “Ultra Wideband and Ultra Short Impulse Signals”. September 19-22, 2004, Sevastopol (Ukraine). – P. 187-189.

12. Zvyagintsev A.A., Ivanov A.I., Katkov D.V. Whispering gallery eigenmodes of a curvilinear impedance surface – analysis by the method of reference problem // Proc. of the 11th International Conf. on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. June 26-29, 2006, Kharkiv (Ukraine). – P. 236-238.

13. Звягинцев А.А., Иванов А.И., Катков Д.В. Анализ собственных импедансных поверхностных волн методом эталонной задачи // Материалы 16-й международной конференции «СВЧ техника и телекоммуникационные технологии». 12-16 сентября, 2006, Севастополь (Украина). – С. 469-470.

14. Zvyagintsev A.A., Ivanov A.I., Katkov D.V. Numerical UTD diffraction coefficients for irregular dielectric wedge configurations. Proceedings of the Sixth International Symposium on Physics and Engineering of Microwaves, Millimeter and Submillimiter Waves. June 25-30, 2007, Kharkiv (Ukraine). – P. 718-720.

АНОТАЦІЯ

ІВАНОВ О.I. Рівномірна асимптотична теорія дифракції хвиль на криволінійних імпедансних поверхнях. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.04.03 – радіофізика. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2008.

Дисертація присвячена розв’язанню задачі дифракції високочастотної електромагнітної хвилі на криволінійній імпедансній поверхні з ребром методом рівномірної асимптотичної теорії дифракції. Використання числових дифракційних коефіцієнтів дозволило врахувати вплив на результуюче поле неоднорідностей розподілу поверхневого імпедансу, скінчених розмірів та геометрії ребра, неоднорідність оточуючого середовища, а також наявності поверхневих хвиль. Запропоновано метод отримання полів поблизу особливостей променевих розкладів, призначений для застосування спільно з рівномірною асимптотичною теорією дифракції у каустичних та фокальних зонах, а також поблизу меж світло-тінь за відсутності прийнятних рівномірних асимптотик.

Розроблений в роботі алгоритм побудови дифракційних полів перевірено на тестових задачах, а також застосовано у задачі дифракції гаусова пучка на поверхні з ребром та в задачі мінімізації зворотного випромінювання дзеркальної антени.

Ключові слова: електромагнітні хвилі, дифракція на ребрі, рівномірна асимптотична теорія дифракції, поверхневий імпеданс, числові дифракційні коефіцієнти.

АННОТАЦИЯ

Иванов А.И. Равномерная асимптотическая теория дифракции волн на криволинейных импедансных поверхностях. – Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.03 – радиофизика. – Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2008.

Диссертация посвящена решению задачи дифракции высокочастотной электромагнитной волны на криволинейной импедансной поверхности с кромкой методом равномерной асимптотической теории. Использование численных дифракционных коэффициентов позволило учесть влияние на результирующее поле неоднородностей поверхностного импеданса, конечных размеров и геометрии кромки, неоднородность внешней среды, а также наличие поверхностных волн. Краевая волна вычисляется интегрированием уравнений переноса вдоль ее лучей. В двумерном скалярном случае для этого используются разложения лучевых амплитуд падающей и отраженной волн по прямым либо обратным степеням расстояния до кромки. В трехмерном векторном случае используется конечно-разностная схема с отысканием лучевых амплитуд краевой волны в виде сеточных функций лучевых координат. Поверхностные волны вычисляются в виде отрезков рядов по собственным модам соответствующего типа. Начальные значения лучевых амплитуд краевой волны и коэффициентов возбуждения поверхностных волн определяются при сшивании численного решения в малой окрестности кромки с асимптотическими выражениями.

Предложен метод отыскания полей вблизи особенностей лучевых разложений, предназначенный для использования совместно с равномерной асимптотической теорией в каустических и фокальных зонах, а также вблизи границ свет-тень при отсутствии приемлемых для такого случая равномерных асимптотик. Метод основан на численном решении уравнения Гельмгольца вблизи особенности при помощи метода конечных элементов. Граничные условия накладываются таким образом, чтобы численное решение переходило в поле лучевых разложений вдали от особенности. Метод применен в задаче отыскания поля вблизи касательного к выпуклой поверхности луча, а также в задаче отыскания поля в окрестности точки возврата каустики.

Разработанный в работе алгоритм вычисления дифракционных полей проверен на тестовых задачах, а также применен в задаче дифракции гауссова