НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

КИРИЧЕНКО Євгенія Вікторівна

УДК 517.95

ОДНОЗНАЧНА РОЗВ’ЯЗНІСТЬ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЗАГАЛЬНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В НАПІВАЛГЕБРАЇЧНИХ ОБЛАСТЯХ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

Бурський Володимир Петрович,

Інститут прикладної математики і механіки НАН України,

провідний науковий співробітник відділу нелінійного аналізу.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Ільків Володимир Степанович,

Національний університет “Львівська політехніка”,

кафедра обчислювальної математики і програмування;

доктор фізико-математичних наук, професор

Солдатов Олександр Павлович,

Бєлгородський державний університет,

кафедра математичного аналізу.

Захист відбудеться 03.07. 2008 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий 02.06. 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради __________________ Краснощок М.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Основи теорії граничних задач безвідносно до типу рівняння були закладені М.І. Вішиком Вишик М. И. Об общих краевых задачах для эллиптических дифференциальных уравнений / Вишик М. И. // Тр. Моск. мат. о-ва. – 1952. – 1. – С. 187-246. у 1952 р., при цьому гранична задача виявлялась у завданні області визначення деякого розширення мінімального оператора. В 1955 р. Л. Хьормандер Хермандер Л. К теории дифференциальных операторов в частных производных / Хермандер Л.–М.: ИЛ., 1959.
– 131 с. уточнив поняття граничної задачі і довів оцінку, яка означає виконання умови Вішика для операторів зі сталими коефіцієнтами. Ю.М. Березанський і О.О. Дезін запропонували розглядати гладкопороджені граничні задачі і перенесли на них загальне означення коректності. А.М. Кочубей, М.Л. Горбачук, Л.І. Вайнерман побудували теорію просторів граничних значень, яка продовжувала абстрактний підхід Вішика до теорії граничних задач. У книзі В.П. Бурського Бурский В.П. Методы исследования граничных задач для общих дифференциальных уравнений / Бурский В.П.
– Киев: Наукова думка, 2002. – 316 с. містяться результати з граничних властивостей розв’язків та дослідження загальних граничних задач, поряд з якими вивчаються питання розв’язності конкретних граничних задач у некласичній постановці, як правило, некоректних.

Дослідження питань коректної постановки крайових задач для загальних диференціальних рівнянь посідає важливе місце в теорії рівнянь з частинними похідними. Введення поняття коректності граничних задач, обумовлене прагненням встановити, які граничні умови більшою мірою природні для того або іншого типу рівнянь, бере свій початок від досліджень Дж. Адамара.

Перші результати з дослідження крайових задач із даними на всій межі області для гіперболічних рівнянь отримані в роботах Дж. Адамара, А. Губера, Д. Манжерона. Д. Боржин і Р. Даффін довели теореми існування розв’язку задачі Діріхле в класичних просторах для рівняння у прямокутнику.

Граничні задачі в обмежених областях для рівнянь, які не є правильно еліптичними, систематично вивчались в паралелепіпеді, що пов’язано з можливістю застосування апарата рядів Фур’є, а в областях із загальною межею розглядались питання єдиності розв’язання задачі Діріхле для гіперболічного рівняння другого порядку на площині. Б.Й. Пташник запропонував метричний підхід до вивчення питань коректності граничних задач, узагальнення якого знайшло відображення в результатах, отриманих В.С. Ільківим.

У роботах О.П. Солдатова і його учнів застосовано теоретико-функціональний підхід до загальних крайових задач для еліптичних рівнянь і систем на площині, заснований на розробленому ним апараті граничних інтегральних рівнянь.

Особливу роль в теорії задачі Діріхле для рівняння коливання струни відіграє робота Ф.Джона, в якій наводиться детальний аналіз зв’язку спеціальних, топологічних відображень границі області на себе з розв’язністю і єдиністю розв’язку задачі Діріхле для рівняння . У цьому напрямку працювали Р.А. Александрян та його школа, М.В. Фокін і його учні. Деякі питання в цій галузі розглядали також В.І. Арнольд та Т.І. Зеленяк.

Таким чином, вивчення властивостей та, зокрема, дослідження питань коректної постановки граничних задач для диференціальних рівнянь і систем займає помітне місце у сучасних дослідженнях. Серед питань, що виникають при розгляді коректності тієї або іншої задачі, першим є питання однозначної розв’язності. Зокрема, вивчення однозначної розв’язності деяких крайових задач для загальних рівнянь в обмежених напівалгебраїчних областях із гладкою межею, а також задачі Діріхле для безтипових диференціальних рівнянь в областях, межа яких містить кутові точки, є актуальною проблемою в теорії рівнянь з частинними похідними. Зусилля здобувача, викликані теоретичним інтересом до даної проблеми, спрямовані на дослідження питань порушення єдиності розв’язку першої крайової задачі для ультрагіперболічного рівняння в кулі і для безтипового диференціального рівняння другого порядку зі сталими комплексними коефіцієнтами і неоднорідним символом у плоскому куті, задачі "майже Коші", яка розглядається для безтипового рівняння високого порядку з однорідним символом і комплексними коефіцієнтами в багатокутнику, і, нарешті, задачі Діріхле в колі для рівняння другого порядку з переставними комплексними матричними коефіцієнтами.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, які викладаються в дисертаційній роботі, виконувались у рамках бюджетних тем "Якісна теорія та усереднення нелінійних еліптичних і параболічних граничних задач", "Якісний і асимптотичний аналіз розв’язків граничних задач для лінійних и квазілінійних еліптичних і еволюційних рівнянь з нерегулярними даними" Інституту прикладної математики і механіки НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є дослідження питань однозначної розв’язності деяких крайових задач для загальних диференціальних рівнянь і систем із сталими комплексними коефіцієнтами в напівалгебраїчних областях за допомогою методу двоїстості рівняння-область.

Реалізація даної мети зводиться до розв’язування наступних задач:

1. Отримати умови порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле в просторах гладких функцій класу з поліноміальним ростом на нескінченності для безтипового диференціального рівняння другого порядку зі сталими комплексними коефіцієнтами та неоднорідним символом в куті на площині.

2. Встановити умову однозначної розв’язності задачі "майже Коші" (кількість крайових умов в такій задачі на одиницю менше порядку рівняння, що розглядається) для рівняння високого порядку з однорідним символом та комплексними коефіцієнтами в багатокутнику і довести, що вказана необхідна умова виявляється достатньою для порушення єдиності розв’язку задачі, що містить одну граничну умову.

3. Дослідити порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле для ультрагіперболічного рівняння в кулі в термінах нулів поліномів Якобі. Слід зауважити, що в роботі В.П. Бурського Бурский В.П. Замечания о задаче Дирихле для ультрагиперболического уравнения в шаре и интегральной геометрии на сфере / Бурский В.П. // Успехи мат. наук. – 1988. – 43, №5. – С. 181-182. розглядалась перша крайова задача для такого рівняння, однак проведений аналіз охоплював лише випадок так званих зональних гармонік. У зв’язку з цим виникла необхідність повного дослідження, яке включає випадок тесеральних гармонік.

4. Встановити умови нетривіальної розв’язності задачі Діріхле в одиничному колі для рівняння другого порядку з переставними комплексними матричними коефіцієнтами. У порівнянні з результатом, отриманим В.П. Бурським Бурский В.П. О нарушении единственности решения задачи Дирихле для систем дифференциальных уравнений второго порядка в круге / Бурский В.П. // Матем.заметки. – 1999. – 1. – C. 23-27., критерій порушення єдиності набуває форми, яку можна перевірити і обґрунтувати прикладами.

Об’єкт дослідження: крайові задачі для загальних диференціальних рівнянь і систем із частинними похідними в напівалгебраїчних областях.

Предмет дослідження: порушення єдиності розв’язків крайових задач для загальних диференціальних рівнянь і систем із сталими коефіцієнтами в напівалгебраїчних областях.

Методи дослідження: метод двоїстості рівняння-область, теорія узагальнених функцій, простори Соболєва, теорія сферичних функцій, теорія гіпергеометричного рівняння, ряди Фур’є.

Наукова новизна одержаних результатів визначається наступними положеннями:

1. Вперше застосовано метод двоїстості рівняння - область при дослідженні некоректних крайових задач в областях з кутовими точками, за допомогою якого доведено необхідну умову порушення єдиності розв’язку задачі "майже Коші" в багатокутнику для безтипового рівняння високого порядку, причому зазначена умова є достатньою для нетривіальної розв’язності задачі, що містить одну крайову умову і розглядається для того ж рівняння.

2. У роботі вперше отримано і доведено критерій порушення єдиності розв’язку першої крайової задачі в плоскому куті для безтипового рівняння другого порядку з неоднорідним символом і комплексними коефіцієнтами в просторах функцій помірного зростання. Після зсуву початкового символу на деякий вектор, який належить до трубчастої області, що залежить від кута, отримано диференціальний оператор з однорідним символом, до якого застосовано метод двоїстості.

3. Вперше проведено повне дослідження питань порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле для ультрагіперболічного рівняння в кулі і перелічені всі випадки, в яких надана задача має нетривіальний розв’язок. Результат отримано у вигляді критерію, який сформульовано в термінах нулів поліномів Якобі.

4. При дослідженні задачі Діріхле в колі для рівняння другого порядку з переставними матричними коефіцієнтами отримано новий критерій порушення єдиності розв’язку у вигляді рівності нулю детермінанта, який залежить від коефіцієнтів рівняння.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані в даній роботі результати мають теоретичне значення і можуть бути використані для подальшого розвитку теорії лінійних граничних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Особистий внесок здобувача. Усі результати роботи одержані здобувачем самостійно. Науковому керівникові В.П. Бурському належить постановка задач та розробка метода двоїстості рівняння-область. Особистий внесок здобувача полягає в отриманні усіх результатів дисертації від перших обчислювань до шліфовки доведень.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на:

– International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations", Alushta, September 15-21, 2003;

– Міжнародній математичній конференції імені В.Я.Скоробогатька, Дрогобич, 27 вересня-1 жовтня, 2004;

– International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations", Alushta, September 17-23, 2005;

– International Conference "Differential equations" dedicated to the 100th Anniversary of Ya.B. Lopatynsky, Lviv, September 12-17, 2006;

– International Conference "Differential equations and its applications", Чернівці, Жовтень 11-14, 2006;

– Всеукраїнській науковій конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвяченій 100-річневому ювілею Я.Б. Лопатинського, Донецьк, 2006;

– International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations" dedicated to the memory of I.V. Skrypnik, Yalta, September 10-15, 2007;

– Міжнародній математичній конференції імені В.Я.Скоробогатька, Дрогобич, 24 вересня-28 вересня, 2007;

– Міжнародній науковій школі-конференції "Тараповські читання", Харків, 21-25 квітня, 2008;

– Семінарах відділів нелінійного аналізу і рівнянь з частинними похідними Інституту прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2001-2008 рр. (керівники: доктор фіз.-мат. наук О.А. Ковалевський і доктор фіз.-мат. наук А.Є.Шишков);

– Семінарах кафедри диференціальних рівнянь Донецького національного університету, Донецьк, 2005-2008 рр. (керівник: професор В.П. Бурський).

Публікації. Основний зміст роботи викладено у фахових періодичних виданнях, що входять до переліку ВАК України, а саме у 5 статтях [1–5] (усі – в наукових журналах та збірниках) та додатково висвітлено у 9 тезах доповідей наукових конференцій [6–14].

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 120 сторінках і містить вступ, основну частину з п’яти розділів, висновки, список літератури. Список літератури складається з 106 джерел і розташований на 12 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету та основні задачі дослідження, висвітлено наукову новизну, теоретичне і практичне значення одержаних результатів, наведено відомості про публікації, особистий внесок автора, ступінь апробації роботи.

У першому розділі подається огляд робіт, що мають відношення до теми дисертаційної роботи. Зокрема, перелічені результати, які стосуються дослідження питань розв’язності крайових задач з даними на всій межі області для загальних диференціальних рівнянь. Особлива увага приділяється результатам, отриманим при вивченні задачі Діріхле для рівнянь гіперболічного типу.

У другому розділі викладена загальна методика дисертаційних досліджень. Підрозділ 2.1 присвячений методу двоїстості “рівняння-область”. У підрозділі 2.2 розглядаються простори функцій на сфері і викладається алгоритм розкладу однорідних гармонічних поліномів в ряди Фур’є за сферичними функціями. У підрозділі 2.3 викладається методика дослідження виродженого випадку гіпергеометричного рівняння і аналізується вигляд його розв’язку в залежності від коефіцієнтів. У підрозділі 2.4 викладаються властивості перетворення Фур’є узагальнених функцій з носієм у конусі.

У третьому розділі розглядаються граничні задачі для безтипових рівнянь з частинними похідними в областях, межа яких містить кутові точки.

Підрозділ 3.1 присвячений дослідженню питань порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле для загального диференціального рівняння другого порядку з комплексними коефіцієнтами і

неоднорідним символом в куті на площині:

, (1)

. (2)

Тут – сталі комплексні вектори, причому вектори довільні, а вибір обмежений множиною , яка залежить від кута . Зазначимо, що в якості умов на нескінченності обирається належність розв’язку до простору Шварца . Крім того, неоднорідний символ диференціального оператора стає однорідним після зсуву на вектор :

,

де – довільні комплексні числа. Отриманий таким чином символ відповідає наступному диференціальному оператору:

.

Мал.1. | Насправді множина є трубчастою областю Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. – М: Наука, 1979. – 320 с. в з основою (мал. 1), тобто

.

При цьому вектор обирається таким чином, щоб належати побудованій трубчастій області.

В пункті 3.1.1 доведено основні результати підрозділу 3.1:

Теорема 1. Якщо для деякого задача (1), (2) має нетривіальний розв’язок із простору з поліноміальним ростом на нескінченності, то існує таке натуральне , що виконується наступна рівність:

.

Тут – вектори, які ортогональні векторам .

Теорема 2. Нехай для наданих , існує таке натуральне , що детермінант . Тоді для будь-якого задача (1), (2) має нетривіальний розв’язок .

У пункті 3.1.2 наводиться порівняння з відомим розв’язком задачі Діріхле для рівняння Лапласа в куті і виявляється, що цей розв’язок не породжує розв’язок задачі, яка розглядається, при допустимих зсувах вектора .

У пункті 3.1.3 для оператора Лапласа

з молодшими членами сформульовано критерій порушення єдиності розв’язку однорідної задачі Діріхле в термінах -раціональності кута:

Теорема 3. Однорідна задача Діріхле для рівняння має нетривіальний розв’язок для якого-небудь тоді і тільки тоді, коли для деякого натурального кут є -раціональним. При цьому

,

та якщо одне таке існує, то і для усіх надана задача має нетривіальний розв’язок порядку n.

Мал.2 | Підрозділ 3.2 присвячений вивченню питань нетривіальної розв’язності задачі “майже Коші” для диференціального рівняння довільного високого порядку

, (3)

(4)

у багатокутнику

(мал. 2) на площині (кількість сторін багатокутника дорівнює

порядку рівняння). Тут – одиничний вектор зовнішньої нормалі, .

У пунктах 3.2.1, 3.2.2 сформульовано і доведено необхідну умову порушення єдиності розв’язку задачі (3), (4):

Теорема 4. Для того, щоб задача (3), (4) мала нетривіальний розв’язок , необхідно, щоб послідовність визначників , де

, (5)

мала хоча б один нуль. Тут ми позначаємо через мінімальне число, для якого виконується
рівність , тобто:

,

а і – вектори, які ортогональні векторам і відповідно.

У пункті 3.2.3 доведено, що рівність нулю визначника (5) є достатньою умовою порушення єдиності розв’язку крайової задачі

(6)

для рівняння (3):

Теорема 5. Нехай для деякого натурального визначник (5) дорівнює нулю. Тоді задача (3), (6) має нетривіальний розв’язок .

У пункті 3.2.4 побудовано в явній формі нетривіальний поліноміальний розв’язок задачі (6) для рівняння третього порядку в правильному трикутнику.

У четвертому розділі досліджуються питання однозначної розв’язності задачі Діріхле в кулі для ультрагіперболічного рівняння:

, (7)

де . Встановлено критерій порушення єдиності розв’язку задачі (7):

Теорема 6. Задача (7) при має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли знайдуться такі натуральні , що виконується одна з наступних умов:

1) парне і ;

2) парне і ;

3) парне і ;

4) парне і .

Тут – поліноми Якобі.

Під час дослідження здобувач користується наступним твердженням Бурский В.П. Граничные свойства -решений линейных дифференциальных уравнений и двойственность уравнение-область / Бурский В.П. // Докл. АН СССР. – 1989. – 309, №5. – С. 1036-1039., Бурский В.П. О единственности решения некоторых граничных задач для дифференциальных уравнений в области с алгебраической границей / Бурский В.П. // Укр. Матем. Журнал. – 1993. – 45, №7. – С. 898-906.: задача (7) має нетривіальний розв’язок в тому і лише в тому випадку, коли існує нетривіальний однорідний поліном степеня , який є розв’язком рівняння

, (8)

де – символ диференціального оператора.

У підрозділі 4.1 розглядається рівняння (8), і його розв’язок розкладається в ряд за сферичними функціями. Враховуючи лінійну незалежність сферичних функцій і ту властивість, що вони є власними функціями оператора Лапласа-Бельтрамі, удається звести рівняння (8) до звичайного диференціального рівняння від однієї змінної:

, (9)

де .

При цьому умова Діріхле переходить у співвідношення на параметр :

.

Поліноміальність розв’язку рівняння (8) породжує обмеження на вигляд розв’язку звичайного диференціального рівняння (9), яке після перетворень можна записати у вигляді

. (10)

Тут , .

У підрозділі 4.2 описується процедура зведення диференціального рівняння (10) до чотирьох, еквівалентних між собою, гіпергеометричних рівнянь.

Теорема 7. Рівняння (10) за допомогою підстановки зводиться до гіпергеометричного рівняння

(11)

тоді і тільки тоді, коли

.

При цьому коефіцієнти гіпергеометричного рівняння набувають наступних значень:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Підрозділ 4.3 присвячено дослідженню гіпергеометричного рівняння, яке відповідає виродженому випадку і розв’язок якого можна виразити за допомогою двох з 24 рядів Кумера Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра / Бейтмен Г., Эрдейи А. – М.: Наука, 1965. – 296 c.. Аналіз розв’язків отриманих гіпергеометричних рівнянь відображений у доведених твердженнях підрозділу 4.3. Нижче сформульовано одне з таких чотирьох тверджень.

Твердження. Розв’язок гіпергеометричного рівняння (11) з коефіцієнтами , значення яких наводяться в теоремі 7, має вигляд

,

де – поліном, у перелічених нижче випадках і лише в них (– цілі числа, , ):

1. не є парними одночасно, коли парне, мають однакову парність, або коли непарне, а мають при цьому різну парність, . (12)

2. парні, парне (непарне), мають однакову (різну) парність,
. (13)

3. довільне, непарне, коли парне, мають різну парність, або непарне, мають однакову парність,
. (14)

4. непарне, парне, коли парне (непарне), мають різну (однакову) парність,
. (15)

У підрозділі 4.4 доводиться теорема, яка стосується дослідження звичайного диференціального рівняння (9) і гарантує поліноміальність його розв’язку.

Теорема 8. Розв’язок рівняння (9) є однорідним поліномом степеня від і і задовольняє умову тоді і тільки тоді, коли виконується одне з наступних співвідношень:

1) , при цьому має місце формула (12);

2) , при цьому має місце формула (13);

3) , при цьому має місце формула (14);

4) , при цьому має місце формула (15).

Теорема 8 є допоміжною при встановленні основного результату (теорема 6). Доведення теореми 6 міститься в підрозділі 4.5.

У підрозділі 4.6 розглядаються випадки, коли розмірність простору менше чотирьох. За допомогою апарату сферичних функцій встановлено, що отримані результати збігаються з відомими класичними.

У підрозділі 4.7 побудовано в явному вигляді формальний розв’язок задачі Діріхле в кулі для ультрагіперболічного рівняння з поліноміальною правою частиною.

Метою п’ятого розділу дисертації є отримання критерію нетривіальної розв’язності однорідної задачі Діріхле в одиничному колі для диференціального рівняння другого порядку з переставними комплексними матричними коефіцієнтами порядку :

, (16)

. (17)

Зауважимо, що до рівняння (16) приводяться рівняння вигляду , де , причому компоненти векторів є переставними матрицями, а матриця невироджена.

Основний результат розділу міститься в наступній теоремі:

Теорема 9. Для нетривіальної розв’язності граничної задачі (16), (17) з переставними матрицями і в соболевському просторі вектор-функцій необхідно і достатньо, щоб виконувалась рівність

(18)

для деякого натурального . При виконанні цієї умови існує лічена кількість лінійно незалежних векторно-поліноміальних розв’язків задачі (16), (17).

У п’ятому розділі також побудовано приклад системи диференціальних рівнянь другого порядку, яка задовольняє умову (18).

ВИСНОВКИ

У дисертації вивчаються питання нетривіальної розв’язності задачі Діріхле для ультрагіперболічного рівняння в кулі, для безтипового рівняння другого порядку з комплексними коефіцієнтами і неоднорідним символом в куті на площині, для рівняння другого порядку з переставними комплексними матричними коефіцієнтами, а також задачі “майже Коші” в багатокутнику для безтипового диференціального рівняння довільного високого порядку. Підкреслимо найбільш важливі результати, отримані в дисертації.

1. Доведено необхідну і достатню умову порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле в плоскому куті в просторах функцій помірного зростання для деякого класу диференціальних рівнянь, пов’язаного з наданим кутом. Проведено порівняння отриманого результату з відомим розв’язком рівняння Лапласа, із якого випливає, що ця функція не породжує розв’язок задачі (1), (2) при допустимих зсувах вектора .

2. При дослідженні задачі Діріхле для оператора Лапласа з молодшими членами отримано критерій порушення єдиності в термінах -раціональності міри кута.

3. Доведено необхідну умову нетривіальної розв’язності задачі “майже Коші” в багатокутнику на площині для безтипового рівняння довільного високого порядку. Ця умова виявляється достатньою для порушення єдиності розв’язку задачі, яка містить одну граничну умову і розглядається для того самого рівняння.

4. При вивченні питань однозначної розв’язності задачі Діріхле для ультрагіперболічного рівняння в кулі застосовано метод двоїстості рівняння-область, який дозволяє встановити критерій порушення єдиності розв’язку в термінах нулів поліномів Якобі.

5. Розв’язок двоїстої задачі розкладено в ряд за сферичними функціями. При цьому рівняння (8) зводиться до звичайного диференціального рівняння (9), а умова Діріхле – до співвідношення на параметр ультрагіперболічного рівняння. Рівняння (9) зводиться до чотирьох еквівалентних між собою гіпергеометричних рівнянь, аналіз яких допомагає довести критерій поліноміальності розв’язку рівняння (9).

6. Окремо розглянуто випадки малих розмірностей і встановлено зв’язок з отриманими раніше результатами. Побудовано в явному вигляді формальний розв’язок першої крайової задачі в одиничній кулі для ультрагіперболічного рівняння з поліноміальною правою частиною.

7. Отримано критерій порушення єдиності розв’язку задачі Діріхле в одиничному колі для систем диференціальних рівнянь другого порядку з комплексними коефіцієнтами у вигляді рівності нулю визначника, який залежить від коефіцієнтів рівнянь. Цей результат застосовано для побудови прикладу системи, для якої оператор задачі Діріхле в колі має нетривіальне і нескінченновимірне ядро.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Лесина Е.В. О нарушении единственности решения задачи Дирихле для систем дифференциальных уравнений второго порядка в круге / Бурский В.П., Лесина Е.В., Самойлова О.В. // Нелинейные граничные задачи. – 2003. – Т.13. – С. 56-62.

2. Кириченко Е.В. О решении дифференциального уравнения, возникающего в задаче Дирихле для ультрагиперболического уравнения в шаре / Кириченко Е.В. // Труды ИПММ НАНУ.
– 2005. – Т.10. – С. 59-71.

3. Кириченко Е.В. О решении одной краевой задачи в многоугольнике / Кириченко Е.В. // Труды ИПММ НАНУ. – 2007. – Т. 13. – С. 103-109.

4. Кириченко Е.В. О задаче Дирихле в плоском угле для бестипного уравнения второго порядка / Бурский В.П., Кириченко Е.В. // Нелинейные граничные задачи. – 2007. – Т.17.
– С.20-30.

5. Кириченко Е.В. Однозначная разрешимость задачи Дирихле в шаре для ультрагиперболического уравнения / Бурский В.П., Кириченко Е.В. // Дифференциальные уравнения. – 2008. – Т. 44, №4. – С. 467-479.

6. Lesina E.V. On the uniqueness violation of the Dirichlet problem in a disk for differential equations with commuting matrix coefficients / Lesina E.V. // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Book of abstracts. – Alushta, September 15-21, 2003. – P. 119.

7. Lesina E.V. The Dirichlet problem in a disk for differential equations of the second order with matrix coefficients / Lesina E.V. // Міжнародна математична конференція імені В.Я.Скоробогатька. Тези доповідей. – Дрогобич, 27 вересня-1 жовтня, 2004. – С. 121.

8. Kirichenko E.V. On the Dirichlet problem in a ball for ultrahyperbolic equation / Burskii V.P., Kirichenko E.V. // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Book of abstracts. – Alushta, September 17-23, 2005. – P. 22.

9. Кириченко Е.В. О задаче Дирихле для ультрагиперболического уравнения в шаре /
Бурский В.П., Кириченко Е.В. // Всеукраїнська наукова конференція молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань, присвячена 100-річневому ювілею Я.Б. Лопатинського. Тези доповідей. – Донецьк. – 2006. – С. 23.

10. Kirichenko E.V. On the solution existence of the Dirichlet problem for the equation with matrix coefficients / Kirichenko E.V. // International Conference "Differential equations" dedicated to the 100th Anniversary of Ya.B.Lopatynsky. Book of abstracts. – Lviv, September 12-17, 2006.
– P. 105.

11. Kirichenko E.V. On the uniqueness of the Dirichlet problem solution for ultrahyperbolic equation in a ball / Kirichenko E.V., Burskii V.P. // International Conference "Differential equations and its applications". Book of abstracts. – Чернівці, Жовтень 11-14, 2006. – P. 193.

12. Kirichenko E.V. On the Dirichlet problem in the angle for second order differential equation / Kirichenko E.V. // International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations". Book of abstracts. – Yalta, September 10-15, 2007. – P. 36-37.

13. Кириченко Є.В. Порушення єдиності розв'язків граничних задач для безтипних рівнянь в областях з кутовими точками / Бурський В.П., Кириченко Є.В. // Міжнародна математична конференція імені В.Я.Скоробогатька. Тези доповідей. – Дрогобич, 24 вересня-28 вересня, 2007. – С. 45.

14. Кириченко Е.В. О задаче Дирихле для уравнения второго порядка с матричными коэффициентами / Кириченко Е.В. // Международная научная школа-конференция "Тараповские чтения". Тезисы докладов. – Харьков, 21-25 апреля, 2008. – C. 194-195.

АНОТАЦІЇ

Кириченко Є.В. Однозначна розв’язність крайових задач для загальних диференціальних рівнянь в напівалгебраїчних областях. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 – диференціальні рівняння. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2008.

У дисертації досліджуються питання порушення єдиності розв’язку граничних задач для загальних диференціальних рівнянь з частинними похідними в напівалгебраїчних областях. При вивченні першої крайової задачі для диференціального рівняння другого порядку з комплексними коефіцієнтами і неоднорідним символом в плоскому куті отримано необхідну і достатню умову нетривіальної розв’язності цієї задачі в просторі функцій класу з поліноміальним ростом на нескінченності. Доведено необхідну умову нетривіальної розв’язності задачі “майже Коші” для диференціального рівняння довільного високого порядку в багатокутнику. Ця умова є достатньою для порушення єдиності розв’язку задачі, яка містить одну граничну умову.

Особливу увагу приділено дослідженню задачі Діріхле в кулі для ультрагіперболічного рівняння. У цьому напрямку отримано критерій нетривіальної розв’язності, який сформульовано в термінах нулів поліномів Якобі. Подається повна класифікація випадків існування нетривіальних розв’язків. Дослідження охоплює як зональні, так і тесеральні сферичні функції.

У роботі розглядається задача Діріхле в одиничному колі для диференціального рівняння другого порядку, коефіцієнтами якого є комплексні переставні -матриці. Доведено критерій нетривіальної розв’язності цієї задачі в соболевському просторі вектор-функцій. При за допомогою отриманого результату побудовано приклад системи, оператор задачі Діріхле якої має нескінченновимірне нетривіальне ядро.

Ключові слова: загальні диференціальні рівняння, крайові задачі (задача Діріхле, задача “майже Коші”), нетривіальна розв’язність, метод двоїстості рівняння-область, напівалгебраїчна область, ультрагіперболічне рівняння, гіпергеометричне рівняння, сферична функція, простір Шварца.

Кириченко Е.В. Однозначная разрешимость краевых задач для общих дифференциальных уравнений в полуалгебраических областях. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 – дифференциальные уравнения. – Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2008.

В диссертации исследуются вопросы нарушения единственности решения граничных задач для общих дифференциальных уравнений в частных производных в полуалгебраических областях.

При изучении первой краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка с комплексными коэффициентами и неоднородным символом в плоском угле получено необходимое и достаточное условие нетривиальной разрешимости этой задачи в пространстве функций класса с полиномиальным ростом на бесконечности. В частном случае рассмотрен оператор Лапласа с младшими членами, для которого полученный критерий нарушения единственности решения задачи Дирихле формулируется в терминах р-рациональности меры угла.

Доказано необходимое условие нетривиальной разрешимости задачи “почти Коши” для дифференциального уравнения произвольного высокого порядка в многоугольнике. Это условие является достаточным для нарушения единственности решения задачи, которая содержит одно граничное условие.

Особое внимание уделяется исследованию задачи Дирихле в шаре для ультрагиперболического уравнения, при этом за основу берется метод двойственности уравнение-область, и решение двойственной задачи раскладывается в ряд по сферическим функциям. С учетом свойств сферических функций двойственное уравнение после подстановки указанного разложения приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка от одной переменной, которое, в свою очередь, сводится к четырем, эквивалентным между собой, гипергеометрическим уравнениям. С помощью анализа решений гипергеометрических уравнений и перехода от гипергеометрических функций к ортогональным полиномам получен критерий нетривиальной разрешимости, сформулированный в терминах нулей полиномов Якоби. Приводится полная классификация случаев существования нетривиальных решений. Исследование включает в себя как зональные, так и тессеральные сферические функции.

В работе рассматривается задача Дирихле в единичном круге для дифференциального уравнения второго порядка, коэффициентами которого являются комплексные перестановочные -матрицы. Доказан критерий нетривиальной разрешимости этой задачи в соболевском пространстве вектор-функций. Условия нарушения единственности решения записаны в форме равенства нулю определителя, зависящего от коэффициентов исходного уравнения. При полученный результат используется для построения примера системы, оператор задачи Дирихле которой имеет бесконечномерное нетривиальное ядро.

Ключевые слова: общие дифференциальные уравнения, краевые задачи (задача Дирихле, задача “почти Коши”), нетривиальная разрешимость, метод двойственности уравнение-область, полуалгебраическая область, ультрагиперболическое уравнение, гипергеометрическое уравнение, сферическая функция, пространство Шварца.

Kirichenko Ye.V. Unique solvability of boundary value problems for general differential equations in semi-algebraic domains. – Manuscript.

Dissertation for a candidate’s degree (physical and mathematical sciences) by speciality 01.01.02 – differential equations. – Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2008.

The dissertation deals with the investigation of the solution uniqueness violation of boundary value problems for general partial differential equations in semi-algebraic domains. The necessary and sufficient condition of non-trivial solvability of the first boundary value problem for the second order differential equation with complex coefficients and heterogeneous symbol in a plane angle is obtained in the space of functions with a temperate growth at infinity. The necessary condition of non-trivial solvability of the “almost Cauchy” problem for high order differential equation in a polygon is proved. That condition is appeared to be sufficient for the uniqueness violation of solution of boundary value problem, containing one boundary condition.

The Dirichlet problem in a ball for ultrahyperbolic equation is considered in detail. In this direction the non-trivial solvability criterion is proved. It is formulated in terms of the Jacobi polynomials zeros. The complete classification of cases of non-trivial solution existence is given. The research carried out includes both zonal and tesseral spherical functions.

The Dirichlet problem in a unit disk for the second order differential equation with complex commuting matrix coefficients is also studied. The non-trivial solvability criterion is proved for this problem in the Sobolev space of vector-functions. Due to this result, the example of system, whose the Dirichlet problem operator has a non-trivial infinite-dimensional kernel, is constructed.

Key words: general differential equations, boundary value problems (the Dirichlet problem, the “almost Cauchy” problem), non-trivial solvability, the duality method equation-domain, semi-algebraic domain, ultrahyperbolic equation, hypergeometric equation, spherical function, the Swartz space.