на правах рукопису

Комаров Олександр Вікторович

УДК 539.3

Дослідження рухливої тріщини

між двома матеріалами з урахуванням контакту її беРегів.

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Дніпропетровськ – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету.

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

Лобода Володимир Васильович,

Дніпропетровський національний університет,

Міністерство освіти і науки України,

завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки.

Офіційні опоненти:

Калоєров Стефан Олексійович,

доктор фізико-математичних наук, професор,

Донецький національний університет,

професор кафедри теорії пружності;

Павленко Анатолій Васильович,

доктор фізико математичних наук, професор,

Національна металургійна академія України,

завідувач кафедри вищої математики.

Захист відбудеться 23 травня о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса 35, корпус 3, ауд. 57.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці ДНУ за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова 8.

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою:

49010, м. Дніпропетровськ, пр. Гагаріна 72, Дніпропетровський національний університет, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10.

Автореферат розісланий “23” квітня 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук Дзюба А.П

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Виникнення та поширене використання в сучасній техніці і будівництві композиційних матеріалів потребує вирішення проблеми міцності та тріщиностійкості останніх, що приводить до появи та розробки спеціальних методик, враховуючих неоднорідність та стрибкоподібну зміну фізичних характеристик в композиті. Як доводить практика, міжфазні тріщини, які виникають та зростають на межі поділу складових матеріалів (інтерфейсі) є найбільш вірогідною причиною руйнування. Подібно до випадку тріщини в однорідному матеріалі, для міжфазної тріщини основними параметрами, що характеризують руйнування, є коефіцієнти інтенсивності напружень і швидкість вивільнення енергії, обчислення яких і становить основну задачу дослідження. Поряд зі звичайними ізотропними матеріалами як складові композитів широко використовуються анізотропні матеріали і п’єзоелектрики, характерною особливістю останніх є явища прямого і зворотного п’єзоелектричних ефектів, який виражає зв'язок між механічними і електричними властивостями матеріалів. Для стаціонарного випадку дана проблема є актуальною вже досить тривалий час, за який розроблена певна кількість методів постановки і розв’язання граничних задач для міжфазної тріщини. Ці методики спираються на методи розроблені для тріщин в однорідних матеріалах, що викладені в монографіях Г. С. Кіта і М. В. Хая, В. В. Панасюка, М. П. Саврука і А. П. Дацишин, М. І. Мусхелішвілі, Г. Я. Попова, М. П. Саврука, Г. П. Черепанова, М. Ф. Морозова, В. З. Партона та інших.

Основними моделями, із застосуванням яких проводяться дослідження міжфазних тріщин, є модель “відкритої” тріщини і модель тріщини з зоною контакту берегів біля її вершини. Задачу для “відкритої” тріщини було вперше поставлено та розв’язано M. L. Williams, яким було показано, що в околі кінця тріщини існує взаємопроникнення її берегів, тобто переміщення мають осцилюючу особливість. Далі в рамках цієї моделі в роботах Г. П. Черепанова, J. R. Rice і G. C. Sih, Г. Т. Сулима і Д. В. Грілицького було розв’язано задачі при різних граничних умовах на берегах тріщини і на нескінченості, де введено та аналітично обчислено коефіцієнти інтенсивності напружень спеціального вигляду. Тріщина в анізотропному біматеріальному просторі досліджувалась в роботах С. О. Калоерова, C. Hwo , M. A. Kattis , D. L. Clements, T. C. T Ting.

В роботі M. Comninou було запропоновано модель тріщини з безфрикційною зоною контакту, де припускалося, що береги тріщини входять в контакт біля вершини тріщини за відсутності тертя між ними. Далі “контактна” модель міжфазної тріщини розглядалася в роботах J. Dundurs і M. Comninou, L. Ni і S. Nemat-Nasser, Y. Huang, W. Wang, C. Liu, A. J. Rosakis, в яких поставлені задачі були зведені до сингулярних інтегральних рівнянь та розв’язані чисельно. Вперше аналітичний розв'язок для міжфазної тріщини в ізотропному біматеріальному просторі з однією зоною контакту отримав І. В. Симонов шляхом використання комплексних потенціалів. В роботах K.P. Herrmann і V.V. Loboda були отримані аналітичні розв'язки задач для міжфазних тріщин з зоною контакту в анізотропних і п’єзоелектричних біматеріальних просторах. Наближені аналітичні розв'язки для міжфазних тріщин за наявності однієї і двох зон контакту були отримані в роботах C. Atkinson, J. Dundurs і A. K. Gautsen, І. В. Харуна і В. В. Лободи, в яких проаналізовано вплив однієї зони контакту на іншу. Міжфазні тріщини з зоною контакту з тертям розглядалися в роботах Ю. А. Антипова, В. І. Остріка і А. Ф. Улітко, в яких поставлені задачі зводилися до інтегральних рівнянь, для яких були знайдені асимптотичні розв’язки.

Рух тріщини вперше був розглянутий E. Yoffe, яким була запропонована модель тріщини кінцевої довжини, що рухається з усталеною швидкістю в однорідному ізотропному матеріалі. Шляхом введення рухомої разом із тріщиною системи координат отримані рівняння, які по формі близькі до рівнянь для статичного випадку при умові, що швидкість руху тріщини не перевищує швидкість поверхневих хвиль Релея. Далі в роботі Г. П. Черепанова детально проаналізовано даний підхід і доведено його правомірність при усталених швидкостях.

Вперше відкрита тріщина, що стаціонарно рухається по межі поділу двох пружних матеріалів разом із зосередженим навантаженням, прикладеним до її берегів, була розглянута Р. В. Гольдштейном, де поставлену задачу було зведено до задачі Рімана-Гільберта с кусково-постійними коефіцієнтами. Далі рухома відкрита міжфазна тріщина досліджувалась в роботах S. Shen, T. Nishioka і S.L. Hu, L.M. Brock, M.T. Hanson, S. Li і P. Mataga та ін., де методами функцій комплексного змінного вивчався вплив швидкості руху на напруження та переміщення в околі тріщини. Аналітичний розв'язок задачі для рухомої напівнескінченої міжфазної тріщини в пружному ізотропному біматеріальному просторі з урахуванням контакту її берегів під дією стаціонарно рухомого разом із тріщиною навантаження було отримано І. В. Симоновим. Методами функцій комплексного змінного поставлена задача була зведена до задачі Рімана-Гільберта, розв'язок якої отримано в замкненій аналітичній формі.

Таким чином випадки усталено рухомої тріщини скінченої довжини і напівнескінченої тріщини в анізотропному і п’єзоелектричному біматеріалах при наявності зони безфрикційного контакту є практично невивченими, тому їх дослідження має суттєвий науковий інтерес і є актуальним.

Мета роботи полягає в пошуку та розвитку аналітичних методів розв'язку задач для рухомої міжфазної тріщини в ортотропному і пє’зоелектричному біматеріальних просторах, при дії, відповідно, механічного та електро - механічного зосередженого навантажень на берегах тріщини і рівномірно-розподілених на нескінченості зусиль розтягу та зсуву з використанням контактної та осциляційної моделей тріщини.

Для її досягнення необхідно виконати наступні задачі:

· Розробити методи зведення задач для рухомої міжфазної тріщини в анізотропних і п’єзоелектричних біматеріальних просторах до задач лінійного спряження для кусково-аналітичних функцій.

· Розробити алгоритм визначення функцій напружень і переміщень, коефіцієнтів інтенсивності напружень і відносної довжини зони контакту для різних випадків орієнтації осей пружної симетрії для анізотропних біматеріалів і різних випадків напрямку поляризації для п’єзоелектричних біматеріалів.

· Проаналізувати залежність вищезазначених функцій і параметрів руйнування від зовнішнього навантаження та швидкості руху тріщини на всьому проміжку зростання величини останньої.

Об’єктом дослідження є біматеріальний анізотропний або п’єзоелектричний простір послаблений усталено рухомою міжфазною тріщиною скінченої довжини або напівнескінченою тріщиною.

Предметами дослідження є НДС в околі вершини усталено рухомої тріщини, коефіцієнти інтенсивності напружень і відносна довжина зони контакту при електромеханічному навантаженні та швидкості руху тріщини, що не перевищує Релеєвської.

Методи досліджень. Методами досліджень є методи теорії пружності, механіки руйнування, теорії функцій комплексного змінного і метод скінчених елементів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності з індивідуальним планом підготовки аспіранта кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету та в межах науково дослідних тем: 7 – 062 – 03 “Дослідження проблем міцності, стійкості та руйнування кусково-однорідних ізотропних, анізотропних та п’єзоелектричних тіл з міжфазними дефектами” , номер державної реєстрації №. 0103U000578 2003–2005 рр.; “Проблеми міцності, стійкості та руйнування однорідних та кусково-однорідних анізотропних та п’єзоелектричних тіл з міжфазними дефектами”, номер державної реєстрації №. 0106U000819 2006 – 2009 рр.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в тому, що:

· Задача про усталений рух з докритичною швидкістю міжфазної тріщини з безфрикційною зоною контакту під дією механічного навантаження в ортотропному біматеріальному просторі методами теорії функцій комплексного змінного зведена до системи незв’язаних комбінованих неоднорідних задач Діріхле-Рімана, які розв’язано аналітично.

· В явному вигляді одержані вирази для напружень і стрибків похідних від переміщень на інтерфейсі. Отримане трансцендентне рівняння для визначення відносної довжини зони контакту, яке в загальному випадку розв’язане чисельно. Отримані залежності основних параметрів руйнування (степені осциляції, відносної довжини зони контакту, коефіцієнтів інтенсивності напружень, швидкості вивільнення енергії) та проаналізовано їх зміну в залежності від швидкості руху тріщини, орієнтації осей пружної симетрії складових матеріалів простору та прикладеного навантаження.

· Розглянута рухома міжфазна тріщина в пє’зоелектричному біматеріальному просторі під дією зосередженого електро-механічного навантаження, прикладеного до її берегів. Використано три основні моделі: повністю відкритої тріщини, електро-проникної тріщини з безфрикційною зоною контакту, електроізольованої тріщини з такою ж зоною контакту. Шляхом чисельно-аналітичних перетворень і методами функцій комплексного змінного поставлені задачі зведені до неоднорідної задачі Гільберта, комбінованої неоднорідної задачі Діріхле-Рімана, системи незв’язаних задач Діріхле-Рімана та Гільберта відповідно, точні розв’язки яких отримано в замкненій аналітичній формі. Знайдені вирази для напружень, електричної індукції, стрибків похідних від переміщень і електричного потенціалу на інтерфейсі, одержані коефіцієнти інтенсивності напружень і електричної індукції, відносні довжини зон контакту, швидкості вивільнення енергії і проаналізована їх залежність від напрямку поляризації матеріалів, швидкості руху тріщини, прикладеного навантаження.

· Отримано чисельний розв'язок задачі про усталений рух правого кінця міжфазної тріщини при наявності зони контакту з нерухомим лівим кінцем в ізотропному біматеріальному просторі при дії комбінованого навантаження розтягу-ссуву, прикладеного на нескінченості, та проведено порівняльний аналіз результатів з аналітичним розв’язком задачі про рух тріщини кінцевої довжини.

Достовірність отриманих результатів забезпечується застосуванням добре відомих в літературі точних методів теорії функцій комплексного змінного, як найбільш прийнятних для такого класу задач. Правомірність використання моделі рухомої тріщини скінченої довжини підтверджується скінчено-елементним розв’язком динамічної задачі для випадку руху тільки однієї вершини тріщини.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблений в роботі алгоритм дозволяє отримати значення напружень та переміщень, коефіцієнти інтенсивності напружень і значення відносної довжини зони контакту для випадків усталено рухомої тріщини скінченої довжини і напівнескінченої тріщини в анізотропному і п’єзоелектричному біматеріалах для швидкостей, що не перевищують відповідних швидкостей поверхневих хвиль. Вони також дозволяють знаходити залежність між відповідними параметрами руйнування і зовнішнім навантаженням при зміні величини швидкості руху тріщини для різних напрямків анізотропії і поляризації складових матеріалів. Такі результати є важливими для запобігання міжфазного руйнування композитних матеріалів.

Апробація роботи. Основні результати, отримані в дисертації, доповідалися і обговорювалися на підсумкових наукових конференціях Дніпропетровського національного університету протягом 2003-2007 років; шостій міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2003 р.); міжнародній конференції GAMM 2004 (Дрезден, 2004 р.); Міжнародній конференції "Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела" (Донецьк, 2004 р.)

Дисертаційна робота в цілому обговорювалася на розширеному науковому семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету та на розширеному науковому семінарі кафедри теорії пружності та обчислювальної математики Донецького національного університету.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати досліджень отримані здобувачем самостійно і викладені в дисертації та опубліковані у десяти наукових працях [1-10].

Вибір напрямку досліджень та деяких методів розв'язку поставлених задач, частковий аналіз отриманих результатів належать науковому керівнику професору В. В. Лободі. При написанні робот [6-7] професор К. Р. Херрманн приймав участь в обговоренні постановки задачі та одержаних результатів, а також в підготовці текстів рукописів. В роботі [1] здобувачеві належить розв'язок задачі лінійного спряження Діріхле-Рімана, отримання трансцендентного рівняння, визначення параметрів руйнування. В роботах [2-3, 5-10] – зведення поставлених задач до комбінованих граничних задач Діріхле-Рімана та задач Рімана-Гільберта, їх розв'язок, визначення параметрів руйнування, чисельна реалізація результатів. В роботі [4] – отримання результатів та їх аналіз для динамічної задачі, розв’язаної з використанням методу скінчених елементів.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків, переліку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 114 сторінок машинописного тексту. Робота містить 25 рисунків і 4 таблиці. Бібліографія складається з 114 джерел і займає 10 сторінок.

Основний ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проведення дослідження особливостей НДС в околі вершини усталено рухомої тріщини методами запропонованими і розробленими для стаціонарних тріщин, відзначено новизну отриманих результатів, їх теоретичне і практичне значення, публікації і особистий внесок в них здобувача, рівень апробації результатів.

У першому розділі зроблено огляд робіт присвячених проблематиці міжфазної тріщини в рамках двох моделей: моделі відкритої тріщини і моделі тріщини з зоною контакту біля вершини, розглянуто історію дослідження проблеми усталено рухомої міжфазної тріщини в біматеріальному просторі в рамках двох вищезгаданих моделей.

Розглянуто міжфазну тріщину в анізотропному біматеріальному просторі, що рухається усталено зі швидкістю , де – менша із двох швидкостей хвиль Релея складових матеріалів, що рухаються вздовж інтерфейсу з фронтом, паралельним фронту тріщини (Рис. 1). Припускається, що біля правої вершини тріщини існує зона контакту, тертя між берегами якої вважається відсутнім. Слід зазначити, що рухома тріщина скінченої довжини є ідеалізацією запропонованою Іоффе. Як показано Черепановим , ця ідеалізація є допустимою при вивченні локальних особливостей напружено-деформівного стану біля вершини усталено рухомої тріщини.

Рівняння руху для ортотропного матеріалу в нерухомій системі координат мають наступний вигляд:

де і є компонентами тензора пружних сталих і густиною матеріалу, відповідно. Тут і в подальшому по індексам, що повторюються, проводиться додавання. Визначальні співвідношення для анізотропного матеріалу задаються узагальненим законом Гука:

Введемо традиційну заміну координат. Тоді рівняння (1), (2) в рухомій системі координат набувають вигляду:

де– символ Кронекера.

В системі координат граничні умови на лінії поділу матеріалів (інтерфейсі ) можуть бути записані так:

Що до умов на, то поки що не конкретизуємо їх, а тільки вважаємо справедливими наступні рівності:

які виконуються для більшості випадків навантаження.

При виконанні умови для швидкості руху тріщини рівняння (3) є системою однорідних рівнянь в частинних похідних еліптичного типу, тому для її розв'язку можна застосувати підхід Ліхницького-Ешелбі-Строха узагальнених комплексних потенціалів. Шляхом певних перетворень з використанням методів теорії функцій комплексного змінного, отримано наступні вирази для напружень і стрибків похідних від переміщень на інтерфейсі через граничні значення кусково-аналітичної функції:

За допомогою отриманих представлень розв’язано задачі для рухливих міжфазних тріщин в анізотропних біматеріалах.

Зокрема, розглянута тріщина, що рухається по межі поділу двох ортотропних матеріалів в біматеріальному просторі, один з головних напрямків ортотропії яких паралельний фронту тріщини, а два інших лежать в площині перпендикулярній фронту тріщини. Припускається, що один з головних напрямків ортотропії першого (верхнього) матеріалу утворює з лінією інтерфейсу кут, а один з напрямків другого (нижнього) паралельний інтерфейсу (рис. 2). До берегів тріщини прикладене зосереджене наванта

ження, яке рухається разом із тріщиною зі швидкістю і не змінюється по координаті. При таких умовах очевидно, що і, тобто має місце плоска деформація.

Таким чином потрібно знайти розв'язок рівнянь (3, 4) при наступних граничних умовах на інтерфейсі:

де – дельта-функція Дірака. За допомогою алгебраїчних перетворень і шляхом введення нових функцій , поставлена задача зведена до наступної комбінованої крайової задачі Діріхле-Рімана:

де,– сталі, що залежать від фізичних параметрів матеріалу і швидкості руху тріщини. Функції напружень і стрибків похідних від переміщень на інтерфейсі виразяться через наступним чином:

Розглянемо випадок, адже очевидно, що отримавши розв’язок для легко отримати розв'язок для шляхом відповідної заміни коефіцієнтів. Розв'язок задачі (18), (19) отримано в наступному вигляді

Коефіцієнт інтенсивності напружень має вигляд:

Отриманий розв'язок математично коректний для будь-якого положення точки a. Однак він стає і фізично можливим при виконанні умов:

Встановлено, що для виконання цих умов необхідно

Останнє співвідношення дає трансцендентне рівняння для визначення відносної довжини зони контакту:

У загальному випадку рівняння (20) слід розв’язувати чисельно і вибирати найбільший корінь на проміжку. Однак при малих значеннях справедлива асимптотична формула

де потрібне ціле вибирається так, щоб відповідне було найбільшим коренем рівняння (21) з проміжку .

Разом із моделлю рухомої тріщини Іоффе не менший інтерес представляє рухома напівнескінчена тріщина (Рис. 3). В подальшому буде зручно сумістити початок рухомої системи координат з вершиною тріщини. Зробивши заміни, , і спрямувавши ліву вершину тріщини до нескінченості, було отримано результати для цього випадку, які представляють суттєвий самостійний інтерес і є важливими з точки зору порівняння з результатами для тріщини кінцевої довжини.

Також в першій главі дисертації розглянуто випадок рухливої тріщини скінченої довжини в ортотропному біматеріалі під дією рівномірно розподіленого на нескінченості навантаження. Отримано аналітичні вирази для компонент НДС на інтерфейсі і коефіцієнтів інтенсивності напружень. Рівняння для визначення відносної довжини зони контакту має наступний вигляд:

Чисельна реалізація алгоритму була розглянута на прикладі двох біматеріальних просторів: мідь (верхній матеріал) і титан (нижній матеріал) – біматеріал І, скловолокно ВМ-1 (верхній матеріал) і Іридій (нижній матеріал) – біматеріал ІІ. На рис. 4 наведена залежність відносної довжини зони контакту (суцільна лінія) і (пунктирна лінія) від швидкості руху тріщини для першого біматеріалу для випадків, коли і при для випадку тріщини скінченої довжини. В зв’язку з тим, що параметри і мають досить малі значення при ( – швидкість хвиль Релея для верхнього матеріалу), наведено залежність при безпосередній близькості величини до. Суттєве збільшення значень і спостерігається при безпосередньому наближенні швидкості до швидкості, як бачимо з рис. 1.5, і в граничному випадку зона контакту займає весь інтервал між правим кінцем тріщини і точкою прикладання зосереджених зусиль. Залежність безрозмірного коефіцієнту від швидкості руху тріщини при тих

самих значеннях зовнішніх силових і геометричних факторів наведена на рис. 5 Як бачимо, досить повільне збільшення на протязі майже всього проміжку, змінюється різким зростанням при безпосередньому наближенні швидкості руху тріщини до швидкості поверхневих хвиль Релея.

У другому розділі розглянуто електропроникну міжфазну тріщину кінцевої довжини (), що рухається у п'єзоелектричному біматеріальному просторі під дією зосередженого навантаження (), яка зображена на Рис. 6. Вважається, що напрямки поляризації обох матеріалів перпендикулярні фронту тріщини і для верхнього (першого) визначаються кутом , а для нижнього (другого) – перпендикулярні площині тріщини. Усталений рух відбувається з докритичною швидкістю . Вважається, що біля правої вершини тріщини виникає зона контакту () невідомої поки довжини, тертя в якій відсутнє.

Рівняння руху для п'єзоелектричного середовища в декартовій нерухомій системі координат в квазістатичному наближенні мають вигляд:

Визначальні співвідношення, що зв'язують механічні напруження і електричну індукцію з деформаціями й електричною напруженістю можуть бути записані у формі

У формулах (1), (2) – компоненти тензора напружень, вектора переміщень, вектора електричної індукції, потенціал електричного поля відповідно. – компоненти тензора пружних постійних, – п'єзоелектричні константи, – діелектричні проникності матеріалу, – щільність матеріалу. У рухливій системі координат граничні умови на берегах тріщини мають вигляд:

Будемо розглядати швидкість не перевищуючу , де має той же сенс, що і в першому розділі. У цьому випадку рівняння (23) являють собою систему рівнянь у частинних похідних еліптичного типу, для рішення якої можна використовувати підхід узагальнених комплексних потенціалів. Звівши, за допомогою цих співвідношень, поставлену задачу до задачі Діріхле-Рімана виду (12),(13) і розв’язавши її отримаємо вирази функцій напружень, стрибків похідних від переміщень, електричної індукції, а також їх коефіцієнти інтенсивності.

Для відносної довжини зони контакту отримано відповідне трансцендентне рівняння і наближена асимптотична формула. Аналогічні результати отримані і для напівнескінченої тріщини. Чисельна реалізація одержаних результатів проведена на прикладі біматеріального п'єзоелектричного простору, що складається із двох п'єзокерамік – PZT-5 і PZT-4 відповідно .

На рис. 7 показана залежність від при значеннях близьких до критичної швидкості для для трьох випадків поляризації ( крива I відповідає, II ), а на рис 8 показана зміна нормованого КІН при рості для (крива I), (II). Суцільна лінія відноситься до тріщини скінченої довжини, пунктирна – до напівнескінченої. З аналізу графіків можна зробити висновок, що результати розрахунку істотно змінюються з ростом і це особливо виражено при безпосередній близькості до . Очевидно, що при варіюванні кута поляризації відносна довжина зони контакту і коефіцієнт інтенсивності напружень змінюються незначно на всьому проміжку зростання швидкості від нуля до .

В третьому розділі розглянуто електроізольовану тріщину кінцевої довжини, що рухається зі швидкістю під дією сил і заряду прикладених відповідно в точках з координатами і (Рис. 1). Вважається, що біля правої вершини тріщини виникає безфрикційна зона контакту, невідомої поки що довжини. Напрямок поляризації обох матеріалів співпадає з напрямком осі. До рівнянь руху (23), визначальних співвідношень (24) і умов (25) для п’єзоелектричного середовища додамо наступні граничні умови:

Використовуючи одержані вище співвідношення типу (7),(8) для п'єзоелектричних матеріалів, приходимо до наступної системи рівнянь лінійного спряження:

Одержано точний розв'язок цієї системи у вигляді:

Коефіцієнт інтенсивності виражається так:

Цікаво відзначити, що у цьому випадку умови (32), на відміну від тріщини між двома ізотропними матеріалами, виконуються не для одного єдиного значення , а для цілої множини цих значень. Але показано, що потенціальна енергія деформації досягає свого мінімуму для і значить на основі теореми про мінімум потенціальної енергії відповідне значення і слід прийняти в якості реальної довжини зони контакту.

На Рис. 10 проілюстрована зміна відповідних зон контакту при безпосередньому наближенні швидкості до критичної швидкості, в даному випадку швидкості хвиль Гуляєва-Блюстейна,.Для меншого значення електричного навантаження зони контакту і майже співпадають відповідно з і , але для другого випадку різниця досить суттєва (порожні маркери відповідають тріщині напівнескінченої довжини). Як бачимо, суттєве зростання зон контакту виникає при наближенні до критичної швидкості і при всі зони.

Також у четвертому розділі розглянуто випадок рухливої повністю відкритої електроізольованої міжфазної тріщини, який має місце для ряду комбінацій п'єзоелектричних матеріалів та при певних швидкостях руху тріщини. Поставлена задача зведена до задач Рімана-Гільберта, розв'язок яких отримано в замкненій аналітичній формі. Виведені розрахункові формули для коефіцієнтів інтенсивності напружень та швидкості вивільнення енергії.

У четвертому розділі проведено порівняльний аналіз аналітичного розв’язку задачі про рухому міжфазну тріщину кінцевої довжини з безфрикційною зоною контакту з чисельним розв’язком, одержаним для випадку руху тільки однієї з вершин тріщини. Аналітичний розв'язок для тріщини між двома ізотропними матеріалами, отриманий методом кусково-аналітичних функцій комплексного змінного, аналогічним до викладеного в попередніх параграфах. Чисельний побудовано методом скінчених елементів. Як об'єкт порівняння взятий найменш досліджений для даного роду задач параметр - відносна довжина зони контакту.

Розглянемо тріщину, що рухається з усталеною швидкістю по лінії поділу матеріалів біматериального пружного ізотропного простору, що перебуває під дією рівномірного розтягу і зсуву на достатньому віддаленні від тріщини (рис. 11). Очевидно, що в цьому випадку реалізується умова плоскої деформації.

Поблизу правої вершини тріщини виникає зона контакту, тертя в якій вважається відсутнім. Припускається, що швидкість, де– швидкість поверхневих хвиль Релея. Рівняння руху в рухливій системі координат для ізотропного пружного середовища, при відсутності масових сил, мають такий вигляд:

(36)

Граничні умови на лінії поділу матеріалів у рухливій системі координат запишуться так:

Аналітичний розв’язок, одержаний для випадку усталеного руху тріщини, дає наступне рівняння для визначення відносної довжини зони контакту :

розв’язки якого в загальному випадку знаходять чисельно.

Як модель для реалізації методу скінчених елементів розглянемо нескінченне вздовж осі ізотропне тіло з модулем зсуву й коефіцієнтом Пуассона . Поперечні розміри тіла в площині є відповідно і. Як і при пошуку аналітичного розв’язку вважаємо, що напружено-деформівний стан не змінюється вздовж осі і , отже, має місце плоска деформація. Вважається, що вздовж жорстко защемленої нижньої границі утворилася тріщина з безфрикційною зоною контакту, як показано на Рис. 12.

Правий кінець тріщини рухається поступально зі сталою швидкістю в напрямку осі , у той час як лівий кінець залишається нерухомим. Така задача добре моделює процес руйнування, який, як правило, починається лише біля однієї вершини тріщини.

Для одержання чисельних результатів в якості матеріалу була обрана мідь із модулем зсуву Н/м2 і коефіцієнтом Пуассона. Геометричні розміри задавалися наступними: мм, мм. Координати кінців тріщини в початковий момент часу вибиралися такими: , і, отже довжина тріщини становила 20 мм. Для аналізу динаміки зміни відносної довжини зони контакту авторами були випробувані два підходи. Перший був заснований на виборі навантаження з розрахунку, що довжина зони контакту буде вимірятися на останньому кроці розвитку тріщини. При цьому довжина зони контакту вважалася фіксованою весь час руху. Другий підхід ґрунтувався на визначенні величини зони контакту в початковий момент руху і відстеженні зміни її довжини в процесі розвитку тріщини. Очевидно, що другий підхід є більше точним, однак, як показали розрахунки, при досить тривалому усталеному русі початкові умови не грають вирішальної ролі.

Рух моделювався наступним чином: досліджувалися реакції в напрямку у вузлі й вузлі , що слідує за , і реакції в напрямку у вузлі й вузлі , що слідує за . Разом із цим досліджувалися переміщення зліва від вузла . Підтвердженням того, що довжина зони контакту обрана правильно, вважалося виконання двох умов: реакція в точці близька до нуля і зліва від a переміщення. У процесі виконання кроку чотири вище згадані реакції обнулялись, геометрично тріщина ставала довше на відстань між двома вузлами, після чого знову перевірялася правильність визначення довжини зони контакту. Для одержання стійкої картини руху виконувалося 23 кроки.

Таблиця 2. Таблиця 1

В таблиці 2 представлені результати для тріщини, права вершина якої рухається зі швидкістю 500 м/с при. Як бачимо, довжина зони контакту змінюється слабко й на останньому кроці, що досить близько до розміру зони контакту отриманому аналітично за допомогою формули (78). Аналізуючи в цілому співвідношення результатів аналітичного розв'язку і розв’язку за допомогою методу скінчених елементів, можна відзначити, що практично в усьому докритичному інтервалі зміни швидкості ці результати досить добре узгоджуються між собою. Істотне розходження спостерігається тільки для швидкостей близьких до критичної швидкості, що пояснюється різким ростом довжини зони контакту у цьому випадку.

Основні результати роботи та висновки.

В роботі розглянута двовимірна задача про усталений рух з докритичною швидкістю тріщини по межі поділу матеріалів в анізотропному і п’єзоелектричному біматеріальних просторах під дією механічного і електро-механічного навантажень з урахуванням безфрикційного контакту її берегів.

Основні результати роботи наступні:

1. За допомогою перетворення координат рівняння руху зведені до системи рівнянь формально співпадаючих з рівняннями для нерухомої тріщини, що дозволяє використовувати аналогічний статичному випадку підхід для швидкостей руху тріщини не перевищуючих критичну швидкість (для анізотропного матеріалу швидкість поверхневих хвиль Релея, для п’єзоелектричного – швидкість поверхневих хвиль Релея або Гуляєва-Блюстейна). Отримана задача методами теорії функцій комплексного змінного зведена до комбінованих неоднорідних задач лінійного спряження Діріхле-Рімана та до комбінації такої задачі з задачею Гільберта у випадку п’єзоелектричного матеріалу.

2. Знайдено точний аналітичний розв'язок отриманих задач лінійного спряження у класі функцій аналітичних у всій комплексній площині за винятком області тріщини. Виведені точні аналітичні вирази для напружень, стрибків похідних від переміщень, електричної індукції і електричного потенціалу через одержані кусково-аналітичні функції.

3. Отримані досить прості вирази для коефіцієнтів інтенсивності напружень, коефіцієнтів інтенсивності електричної індукції, швидкості вивільнення енергії. Одержані трансцендентні рівняння для визначення відносної довжини зони контакту, які у загальному випадку для рухливої тріщини скінченої довжини розв’язуються чисельно, а при досить малих значеннях зони контакту їх розв'язки зводяться до досить простих асимптотичних формул. Для випадку рухливої напівнескінченої тріщини знайдено точний аналітичний розв'язок для всіх отриманих трансцендентних рівнянь.

4. Проведено чисельний аналіз залежності степені осциляції, коефіцієнтів інтенсивності напружень, відносних довжин зон контакту від швидкості руху тріщини. Для випадку анізотропного простору проаналізовано вплив відносної орієнтації осей пружної симетрії складових матеріалів на отримані параметри руйнування. Для п’єзоелектричного простору проведено аналогічний аналіз для різних напрямків поляризації складових п’єзоелектриків.

5. Для визначення достовірності отриманих аналітичних результатів і рамок застосування запропонованого підходу для дослідження рухливої тріщини, чисельно розв’язано нестаціонарну динамічну задачу про рух правого кінця тріщини, з урахуванням безфрикційного контакту берегів, при нерухомому лівому кінці для випадку біматеріального ізотропного простору під дією рівномірно-розподіленого на нескінченості навантаження. Отримані результати порівняно з аналітичним розв’язком відповідної задачі про усталений рух тріщини скінченої довжини і встановлено хорошу узгодженість для значень швидкості руху тріщини на проміжку від нуля до швидкості хвиль Релея.

За результатами виконаних числових розрахунків встановлено:

· Показано, що у випадках тріщини скінченої довжини і напівнескінченої тріщини при наближенні швидкості руху тріщини до найменшої з двох релеєвських швидкостей для ортотропного біматеріала, існує необмежене зростання коефіцієнта інтенсивності напружень і суттєве збільшення зони контакту до розмірів сумірних з геометричними параметрами тріщини.

· У випадку п’єзоелектричного матеріалу критичними швидкостями можуть бути як швидкість поверхневих хвиль Релея так і швидкість поверхневих хвиль Гуляєва-Блюстейна, наближення до яких також характеризується збільшенням зони контакту і необмеженим зростанням коефіцієнта інтенсивності напружень і коефіцієнта інтенсивності електромагнітної індукції

· Зміна орієнтації напрямів анізотропії у випадку ототропного матеріалу і напрямків поляризації для п’єзоелектричного біматеріалу, які не порушують розділення деформації на плоску та антиплоску, суттєво не впливає на якісний характер результатів.

· Показано, що при використанні моделі елетроізольованої тріщини для випадку пєзоелектричного біматеріального простору має місце певна умова можливості існування контактної моделі міжфазної тріщини, при не виконанні якої фізично-обгрунтованим є використання моделі відкритої міжфазної тріщини. Ця умова залежить від фізичних сталих матеріалів, напрямку поляризації і швидкості руху тріщини.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Комаров О.В., Лобода В.В. Рух міжфазної тріщини в ортотропному біматеріальному просторі з урахуванням контакту її берегів // Машинознавство. – 2004. – 84, № 4.– С. 3 – 9.

2. Комаров А.В., Лобода В.В. Анализ параметров разрушения электропроникающей трещины, движущейся с дозвуковой скоростью по границе раздела сред в пьезоэлектрическом биматериальном пространстве // Вісник ДНУ.– Секція: Механіка: Вид-во ДНУ.–2004.–Вип. 8. – Т. 2.– С. 118 – 128.

3. Комаров А.В., Лобода В.В. Исследование движения межфазной трещины в пьезоэлектрическом биматериальном пространстве // Теоретическая и прикладная механика. – Донецк. – 2005.– № 40. – С. 81–89.

4. Комаров О.В., Лобода В.В. Рух електроізольованої міжфазної тріщини з докритичною швидкістю у п’єзоелектричному біматеріальному просторі // Математичні методи та фізико-механічні поля. – 49, № 1.– 2006.– С.– 116 – 131.

5. Лобода В.В., Комаров А.В., Сравнительный анализ аналитического и численного решения задачи о движении межфазной трещины в изотропном биматериале // Вісник ДНУ.– Секція: Механіка: Вид-во ДНУ.–2006.–Вип. 10. – Т. 2.– С. 110 – 115.

6. Herrmann, K.P., Loboda, V.V. Komarov A.V. Contact zone assessment for a fast growing interface crack in an anisotropic bimaterial // Archive of Applied Mechanics.– 2004.– vol. 74.– pp. 118 – 129.

7. Herrmann, K.P., Loboda, V.V., Komarov O.V. On a moving interface crack with a contact zone in a piezoelectric bimaterial // Int. J. Solids and Structures.–2005.– vol. 42.– pp. 4555 – 4573.

8. Лобода В.В., Комаров О.В. Тріщина із зоною контакту, що рухається із дозвуковою швидкістю по межі поділу п’єзоелектричних матеріалів // Актуальні аспекти фізико-механічних досліджень. Механіка. – Київ: Наукова думка. – 2007.– С. 165–173.

9. Лобода В.В., Комаров О.В. Тріщина з зоною контакту, що рухається з дозвуковою швидкістю по межі розділу ортотропних матеріалів // Тези доповідей міжнародної конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур”.– Львів.– 2003.– С. 256 – 258.

10. Herrmann K.P., Loboda V. V., Komarov A.V. Оn an extending electrically conducting interface crack with a contact zone in a piezoelectric bimaterials // Book of Abstracts GAMM.– 2004.– Dresden.– pр. 105 – 106.

Анотація

Комаров О.В. Дослідження руху міжфазної тріщини в анізотропному біматеріальному просторі.–Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла. – Дніпропетровський національний університет.

В дисертації досліджується напружено-деформівний стан в околі тріщини, що рухається з усталеною докритичною швидкістю під дією зосередженого та розподіленого на нескінченності навантаження по межі поділу матеріалів в анізотропному та п’єзоелектричному біматеріальних просторах при наявності безфрикційної зони контакту біля вершини тріщини. Шляхом алгебраїчних перетворень та методами теорії функцій комплексного змінного поставлені задачі зведені до комбінованих задач лінійного спряження, розв'язок яких отримано в замкненій формі. Одержані вирази для функцій напружень, електричної індукції та стрибків похідних від переміщень та електричного потенціалу на лінії поділу матеріалів. Отримані вирази коефіцієнтів інтенсивності напружень і виведені рівняння для знаходження відносних довжин зон контакту, що в загальному випадку розв’язуються чисельно. Отримані також прості асимптотичні формули для випадків досить малих значень відносних довжин зон контакту. Досліджено вплив орієнтації напрямків анізотропії та напрямків поляризації на особливості напружено-деформівного стану в околі тріщини, побудовано залежності основних параметрів руйнування від швидкості руху тріщини. Побудовано чисельний розв'язок для випадку руху тільки однієї з вершин тріщини при дії рівномірно розподілених зусиль на нескінченості, який порівняно з відповідним аналітичним розв’язком задачі про усталений рух тріщини скінченої довжини.

Ключові слова: рухлива міжфазна тріщина, п’єзоелектричний біматеріал, коефіцієнти інтенсивності, зони контакту.

Аннотация

Комаров О.В. Исследование движущейся трещины между двумя материалами с учетом контакта ёё берегов.– Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела.– Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2008.

В диссертации рассмотрена задача о движущейся по границе раздела сред трещине в биматериальном анизотропном или пьезоэлектрическом пространстве. Движение трещины происходит с постоянной скоростью, не превосходящую по величине меньшую из скоростей поверхностных волн для составляющих материалов.

В случае анизотропного биматериального пространства рассмотрены случаи сосредоточенной нагрузки, приложенной к берегам трещины, и равномерно-распределенной нагрузки, приложенной на бесконечности. Для случая пьезоэлектрического биматериального пространства комбинированная электро-механическая нагрузка прикладывалась к берегам трещины.

Для пьезоэлектрического биматериального пространства поставленная задача решена в рамках двух основных моделей трещины в пьезоэлектрике: модели электро-проникающей трещины, в соответствии с которой силовые линии электрического поля беспрепятственно проходят через трещину, и модели электро-изолированной трещины, которая тормозит эти линии.

Поставленные задачи путем применения аппарата теории функций комплексного переменного и алгебраических преобразований была сведены к системам задач Дирихле-Римана, а также Дирихле-Римана и Гильберта, решение которых позволило получить функции напряжений, скачков производных от перемещений и электрического потенциала а также электрической индукции на линии раздела материалов (интерфейсе). Получены формулы для вычисления коэффициентов интенсивности напряжений и электрической индукции, выведены уравнения для определения относительной длины зоны контакта, которые в общем случае решены численно. Для определения же достаточно малых зон контакта получены простые асимптотические выражения.

Отдельно рассмотрен случай движения открытой электро-изолированной трещины, который характерен для ряда комбинаций пьезоэлектрических материалов и скоростей. Получено точное аналитическое решение и в этом случае. Продемонстрирована возможность непрерывного перехода от модели открытой трещины к контактной модели.

Для апробации возможности применения модели движущейся трещины конечной длины решена динамическая задача о движении одной вершины межфазной трещины в изотропном биматериале конечных размеров, находящемся под действием равномерно распределенной нагрузки на бесконечности. Использован метод конечных элементов. Установлено хорошее соответствие найденных длин зон контакта с соответствующими аналитическими результатами для движущейся трещины конечной длины в биматериальном пространстве.

Проведена численная реализация полученных алгоритмов на примерах реальных анизотропных и пьезоэлектрических материалов. Показано, что значительное изменение величины относительной длины зоны контакта, коэффициентов интенсивности напряжений и электрической индукции наблюдается при непосредственном приближении скорости движения трещины к