НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Коломієць Павло Сергійович

УДК 512.72

БІШУБЕРТІВСЬКІ БАГАТОВИДИ

01.01.06 – алгебра і теорія чисел

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник доктор фізико-математичних наук, професор

ДРОЗД Юрій Анатолійович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу алгебри.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

КИРИЧЕНКО Володимир Васильович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

професор кафедри геометрії;

доктор фізико-математичних наук, професор

АНДРІЙЧУК Василь Іванович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка,

професор кафедри алгебри і логіки.

Захист відбудеться «24» червня 2008 р. о 15 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д.26.206.03 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий «07» травня 2008 року.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Сергейчук В. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Шубертівські багатовиди є відомими та важливими об’єктами алгебраїчної геометрії. Вони є одним із найбільш вивчених класів особливих алгебраїчних багатовидів. Алгебри регулярних функцій на Шубертівських багатовидах мають велике значення в алгебраїчній комбінаториці. Так, наприклад, геометрія особливостей Шубертового багатовиду пов’язана із поліномами Каждана-Люстіга, що мають величезне значення в теорії зображень і які мають багато комбінаторних застосувань. Ці поліноми використовуються для побудови канонічного базису в алгебрі Гекке групи Коксетера. Вони фігурують в зображеннях групи Вейля. Існує припущення, що їхні значення в одиниці пов’язані із зображеннями напівпростих груп Лі, алгебр Лі.

Шубертові багатовиди важливі також тим, що когомологія Грассманніана і, в більш загальному випадку, когомологія багатовидів прапорів покривається класами когомологій Шубертових багатовидів - Шубертовими циклами. Останні мають також відношення до Шубертових поліномів, що утворюють базис кільця поліномів від декількох змінних з цілими коефіцієнтами, що розглядається як вільний модуль над кільцем симетричних поліномів.

Важливим розділом алгебраїчної геометрії є також Шубертове числення, що вивчає деякі питання обчислювальної геометрії. Воно оперує Шубертовими клітинами, при обчисленні яких виникає багато комбінаторних питань. При переході від Грассманніана до загальної лінійної групи, що діє на ньому, виникають аналогічні питання для розкладу Брюа і класифікації параболічних підгруп алгебраїчних груп.

Вивчення Шубертівських багатовидів було розпочате Германом Шубертом в 19-му сторіччі і продовжене Ієронімом Зойтеном, Франческо Севері, Маріо П’єрі в контексті обчислювальної геометрії. Ця область навіть вважалася Девідом Гільбертом достатньо важливою, щоб включити її у його знаменитий список 23-х невирішених проблем. В 20-му сторіччі вивчення було продовжене вже у руслі загального розвитку алгебраїчної топології і теорії зображень. В першій половині 20-го сторіччя цим питанням займалися Чарлз Ересманн та Клод Шевальє вивчаючи топологію однорідних просторів. Пізніше Арманд Борель, Рауль Ботт, Бертрам Костант в рамках теорії зображень. В рамках цієї ж теорії, але з наголосом на явні калькуляції, цим питанням також займалися Джозеф Бернштайн, Ізраіль і Сергій Гельфанд, Мішель Демазур в 1970-х роках. Алан Ласку і Марсель-Поль Шутценбергер в рамках комбінаторики в 1980-х.

У середині другої половини 20-го сторіччя питаннями так чи інакше пов’язаними із Шубертовими багатовидами займалися Д. Лаксов, Т. Свейнс, Г. Кемпф. Так Д. Лаксов повністю описав структуру кільця теорії перетинів Грассманнового багатовиду в термінах Шубертових циклів. Т. Свейнс досліджував клас Шубертових підсхем схем прапорів, для яких рахував когомології обертовних пучків і багато іншого, а Г.Кемпф та Д. Лаксов довели детермінантну формулу Шубертового числення у загальному вигляді без використання залишкового члену, що використовувався раніше.

У 80-х роках з’явилися робота В. Фултона по теорії перетинів алгебраїчних циклів на алгебраїчних багатовидах, а в 90-х його ж робота по множині виродження векторних пучків та численню Шуберта, що дала новий імпульс у вивченні та застосуванні Шубертових багатовидів.

Багато уваги було приділено кратностям точок Шубертових багатовидів в Грассманніані. В роботах В. Лакшмібаї та Дж. Веймана було знайдено рекурсивні відношення для кратностей точок на багатовидах прапорів. Й. Розентхаль і А. Зелевінський знайшли явну визначникову формулу для кратностей точок на Шубертових багатовидах, що є спрощенням формули, отриманої Дж. Розентхалем в своїй більш ранній роботі. Пізніше К. Краттентхалер дав комбінаторну інтерпретацію цієї формули в термінах шляхів на решітці, що не перетинаються, що пояснює її еквівалентність з формулою, отриманою В. Лакшмібаї та Дж. Вейманом. Він також вивів альтернативну визначникову формулу, що підраховує кількість таблиць деякої специфічної форми з числами в клітинах. К. Краттентхалер також довів припущення Лакшмібаї про комбінаторний опис кратностей точок Шубертівських багатовидів в термінах деяких множин відбиттів у відповідній групі Вейля і прив’язав цей результат до своєї комбінаторної інтерпретації.

Отже, природною є цікавість в узагальненні такого важливого поняття як Шубертівський багатовид, та порівнянні властивостей отриманого об’єкту з властивостями свого попередника. Дисертаційна робота присвячена розгляду одного з таких узагальнень, основаному на застосуванні більш загального випадку визначальних прапорів, найбільш простому з точки зору їх складності.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертаційної роботи пов’язана з тематикою досліджень кафедри алгебри і математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка, що ведуться за науково-дослідною темою 01БФ038-03 “Розробка методів асимптотичного інтегрування нелінійних систем, теорії керування в біології та медицині і моделювання процесів взаємодії та деформування суцільних середовищ”, підрозділ “Геометричні структури та комбінаторно-геометричні методи дослідження алгебраїчних систем та їх зображень” та науково дослідною темою 97046 „Теорія алгебраїчних систем та їх зображень і її застосування”.

Мета і завдання дослідження. Основною метою дисертаційної роботи є узагальнення поняття Шубертового багатовиду та порівняння властивостей введеного об’єкту - бішубертівського багатовиду, з властивостями Шубертових багатовидів.

В ході виконання роботи необхідно було вирішити наступні задачі:

· Вирішити питання незвідності бішубертівського багатовиду. При негативній відповіді знайти та описати всі незвідні компоненти. Порахувати їхню кількість і розмірність. Впевнитися, що отримані формули при застосуванні до Шубертових багатовидів (як часткових випадків бішубертівських) дають результати, що співпадають з результатами вже відомих формул для Шубертових багатовидів. Таким чином переконатися в коректності узагальнення.

· Відповісти на питання про раціональність незвідних компонент та питання про те, чи є вони повними перетинами в Грассманніані.

· Знайти рівняння та перетини незвідних компонент в Грассманніані для якомога ширшого класу бішубертівських багатовидів.

· Дослідити питання регулярності чи особливості точок. Спробувати розкласти незвідні компоненти в Шубертовому базисі.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи алгебраїчної геометрії та лінійної алгебри, також використовуються методи загальної топології.

Наукова новизна одержаних результатів заключається в:

· Узагальненні поняття Шубертового багатовиду;

· Відповіді на основні питання про геометричні властивості введеного об’єкту – про незвідність, раціональність;

· Знаходженні формул для кількості незвідних компонент, їх розмірності;

· Знаходженні рівнянь незвідних компонент в Грассманніані для деякого часткового класу бішубертівських багатовидів;

· Знаходженні перетинів незвідних компонент для того ж часткового класу;

· Знаходженні регулярних та особливих точок незвідних компонент для деяких випадків, розкладі найпростішого бішубертівського багатовиду в Шубертовому базисі;

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичний характер. Запропонована в дисертаційній роботі методика може бути застосована для вивчення багатьох підбагатовидів Грассманнового багатовиду, а також багатовидів, що так чи інакше пов’язані з Шубертівськими багатовидами.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором самостійно. Ю. А. Дрозду належить доведення Теореми 2.7, а також постановка задачі, вибір методів дослідження, аналіз результатів та загальна координація роботи.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи обговорювалися на конференціях та семінарах: конференція Computational Commutative and Non-Commutative Algebraic Geometry під егідою NATO (червень 2004, Кишинів, Молдова); розширена сесія Київського алгебраїчного семінару (грудень 2004); семінар математичного факультету університету Уппсали, Швеція (березень 2005); семінар кафедри алгебри та математичної логіки механіко-математичного факультету КНУ імені Тараса Шевченка (грудень 2005); алгебраїчний семінар Інституту математики НАНУ (червень 2007).

Публікації. По темі дисертації опубліковано 3 роботи у фахових виданнях, із них 1 без співавторів, в тому числі: у журналах – 1; у збірниках наукових праць – 2.

Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаної літератури, який містить 22 найменування. Повний обсяг роботи складає 94 сторінки друкованого тексту, із них 2 сторінки використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вcтупі обгрунтовується актуальність теми дослідження, проводиться короткий огляд літератури по тематиці дисертаційної роботи, вказується на зв’язок роботи з науковими програмами кафедри, де відбувалися дослідження, формулюються основні цілі і задачі роботи, приводяться основні результати та відзначається їх новизна і практичне значення, зазначається особистий внесок здобувача та місце апробації результатів дисертації.

В Розділі 1 приводяться основні факти про Грассманніан та Шубертівські багатовиди, виписуються їх розмірності та рівняння. Далі приводиться означення дії алгебраїчної групи на багатовиді та доводяться твердження загального характеру про її орбіти, які потім неявно використовуються у роботі. Вони даються у вигляді наступного твердження, де G – це незвідна алгебраїчна група, що діє на алгебраїчному багатовиді X, а X=X1…Xk – це розклад останнього на незвідні компоненти.

Твердження 1.1.

1) Кожна орбіта O – незвідна;

2) Кожна компонента витримує дію групи G (gG g Xi = Xi);

3) Якщо O Xi , то O Xi;

4) Якщо в компоненті Xi існує щільна орбіта Oi, то вона є відкритою в Xi, а тому і єдиною такою;

5) Якщо G має скінчену кількість орбіт, то в кожній компоненті існує щільна орбіта;

6) Припустимо, що існує скінчений набір орбіт O1,…,Or такий, що:

(і) кожна орбіта міститься в якомусь ,

(іі) при ij.

Тоді – це всі незвідні компоненти.

Далі приводиться означення зображення частково впорядкованої множини, твердження теореми Клейнера і гіпотези Брауера-Тролла для частково впорядкованих множин. Дається обгрунтування звуження предмету дослідження в деяких частинах роботи. А саме, в розділах 2.4, 2.5 розглядаються лише випадки Bisch(m,1), так як вони, разом із d-вимірним підпростором – елементом бішубертівського багатовиду, відповідають частково впорядкованій множині типу (1,1,), а тому із двох останніх тверджень робиться висновок, що існує лише скінчена кількість орбіт у введеному нами бішубертівському багатовиді. Випадок же Bisch(m,2) виявляється якісно складнішим, так як для m5 має нескінченно багато орбіт.

Розділ 2 присвячений означенню нового об’єкту – бішубертівського багатовиду, що є узагальненням Шубертівського багатовиду, та вивченню його основних властивостей.

На відміну від Шубертового багатовиду, для побудови бішубертівського використовується два прапори підпросторів, таких, що жоден простір із одного прапору не лежить цілком в жодному просторі з іншого прапору і навпаки

V1,1V1,2…V1,m Kh,

V2,1V2,2…V2,n Kh,

,

d=m+n, m>n для зручності.

Бішубертівським багатовидом називається багатовид усіх d-вимірних векторних підпросторів UKh, які задовольняють наступним умовам:

dim(UVi,j)j, для всіх можливих (i,j).

Це багатовид, замкнений в багатовиді Грассманна Gr(d,h) усіх d-вимірних підпросторів векторного простору Kh.

Для роботи з ним, ми визначаємо такий базис всього простору Kh, що кожен підпростір V1,r, V2,s, , визначальних прапорів рівний підпростору, що згенерований декількома векторами з цього базису. Тобто, іншими словами, базис кожного V1,r, V2,s, складається з векторів фіксованої бази всього простору Kh.

Bi,j := базис деякого доповнення

(V1,i-1 V2,j), (V1,i V2,j-1) до (V1,i V2,j),

де

V1,m+1 і V2,n+1 позначають Kh,

V1,0 і V2,0 позначають .

На прапори накладаються деякі логічні умови, що гарантують деяку “розрідженість” перетинів просторів із прапорів

(2) Dm+1,n+1 n, тобто весь простір Kh достатньо великий.

Це дуже природна умова, вона є невеликим підсиленням умови, що перетини всіх пар підпросторів, один з яких належить 1-му визначальному прапору, а інший 2-му, є різними.

В роботі вектори завжди записуються у вигляді стовпчиків. Матрицею підпростору називається матриця, утворена із його базисних векторів-стовпчиків.

Отже фіксуємо базис простору Kh і надалі використовуємо тільки його. В ньому матриця кожного простору прапорів V1,r, V2,s, містить одну і тільки одну одиничку в кожному стовпчику і максимум одну одиничку в кожному рядку. Все ж інше нульове.

Для кожного d-вимірного підпростору U із Kh – елемента Грассманніана Gr(d,h), розглядається його матриця. Множина її рядків, що відповідає ненульовим рядкам базисних векторів із Bi,j позначаємо через Ki,j для всіх . Для довільних інших матриць висоти h називаємо відповідний набір їх рядків як рядки, що відповідають Bi,j.

Далі, умови із означення бішубертівського багатовиду переводяться на мову рангів матриць

Таким чином, замість d-вимірних підпросторів U простору Kh, що належать до нашого бішубертівського багатовиду, надалі розглядаються матриці M із h рядків і d стовпчиків, що задовольняють ранговим умовам. Тобто ми зводимо задачу в основному до матричної задачі.

Також в роботі інтенсивно використовується зображення матриць елементів M у вигляді таблиць із m+1 стовпчиків і n+1 рядків, в клітинах яких стоїть числовий текст.

Таблиця , що відповідає матриці M, визначається таким чином:

Її колонки пронумеровані зліва направо, починаючи з 1, її рядки пронумеровані знизу вверх, починаючи з 1. Її клітини позначаються через (i – номер стовпчика, j – номер рядка).

Якщо рядки Ki,j із M містять рядок з ненульовими числами, що стоять в стовпчиках l1,l2,…,lk, тоді в клітині стоїть текст вигляду ”l1”+”l2”+…+”lk” (ми називатимемо його сумою). Якщо в Ki,j є декілька таких ненульових рядків, то відповідні суми в розділені комою. При цьому порядок чисел в сумах і порядок сум в клітинах неважливі!!!

Ця форма запису елементів бішубертівського багатовиду використовується як для доведень так і для формулювання основних результатів роботи. Вона хоч і не розрізняє деякі елементи багатовиду, тобто різні елементи можуть бути представлені однаковими таблицями, але є більш зручною для наших цілей.

Вводяться позначення для підматриць матриць елементів, що будуть використовуватися надалі:

і, відповідно, для таблиць:

Надалі розглядається алгебраїчна група AG всіх таких лінійних невироджених перетворень простору Kh, що не змінюють підпростори V1,r, V2,s, наших прапорів. Очевидно, що такі перетворення не порушують рангових умов, накладених на матриці елементів бішубертівського багатовиду. Утворюючою множиною таких перетворень є наступні:

Додавання рядка із Kr,s, r[1,…,m+1], s[1,…,n+1],

помноженого на довільне число, до довільного рядка

Якщо розглядати матрицю M лінійного невиродженого перетворення простору Kh, розбивши її на підматриці , що складаються із перетину рядків, що відповідають Ki,j і стовпчиків, що відповідають Kk,l, то необхідними і достатніми умовами того, що лінійне перетворення з матрицею M належить AG, є наступні:

Таким чином доводиться, що алгебраїчна група як алгебраїчний багатовид ізоморфна

,

а тому є незвідною.

До цієї групи також прираховуються всі лінійні невироджені перетворення стовпчиків матриць елементів бішубертівського багатовиду бо вони не змінюють рангів довільних підматриць ширини d, а тому не порушують рангових умов накладених на них.

Далі розглядаються орбіти, утворені цією групою. Перший основний результат дисертаційної роботи полягає в доведенні звідності бішубертівських багатовидів та в описі їх незвідних компонент. Він отримується серією тверджень. Перше з них виділяє деякий набір “великих” орбіт Om,n.

Теорема 2.1. Кожна орбіта є виродженням деякої орбіти із множини “великих” орбіт Om,n, що визначається наступним чином:

Орбіта OOm,n, якщо вона містить елемент (позначимо його через eO і назвемо характеристичним) з таблицею , яка задовольняє наступним умовам:

(1) всі суми в усіх клітинах складаються з єдиного числа, тобто в таблиці існує d=m+n чисел, які зустрічаються один єдиний раз.

(2) кожна клітина може містити максимум одне число, за винятком самої верхньої-правої, яка може містити від 0 до n чисел

(3) кожний стовпчик містить одне число, за винятком самого правого, який містить чисел

(4) кожний рядок містить одне число, за винятком самого верхнього, який містить чисел

Наступна теорема уточнює результати першої.

Теорема 2.2. Ніяка орбіта із Om,n не є виродженням іншої орбіти із Om,n.

З цих двох теорем випливає, що кожна незвідна компонента бішубертівського багатовиду є замиканням деякої “великої” орбіти, або, іншими словами, кожна “велика” орбіта є скрізь щільною у деякій незвідній компоненті. Тому, коли ми рахуємо кількість та розмірність “великих” орбіт, ми також рахуємо кількість та розмірність незвідних компонент.

Кожній таблиці, що задовольняє умовам, описаним в Теоремі 2.1, відповідає деякий елемент бішубертівського багатовиду, тобто для кожної такої таблиці існує відповідна “велика” орбіта і незвідна компонента. Таким чином, існує взаємно-однозначна відповідність між такими таблицями і незвідними компонентами. Кількість незвідних компонент встановлюється підрахуванням всіх таких таблиць.

Твердження 2.1. Число орбіт в Om,n рівне

Розмірність незвідних компонент визначається наступним твердженням.

Теорема 2.3. Припустимо, що таблиця характеристичного елемента eO орбіти OOm,n виглядає наступним чином: число l стоїть в клітині , .

Тоді розмірність орбіти рахується за наступною формулою:

,

де r(l), i,j визначаються наступним чином

,

а |набір клітин| означає кількість чисел, що містяться в цьому наборі.

У підрозділі 2.2.3 виписуються результати для деяких найпростіших випадків бішубертівських багатовидів. Так, у табл. 1 приведена кількість незвідних компонент для різних m,n. Рядок n=0 в ній відповідає звичайним Шубертівським багатовидам, які є завжди незвідними, тобто мають єдину незвідну компоненту.

n\m

1

2

3

4

5

0

1

1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

2

7

13

21

31

3

34

73

136

Табл. 1. Кількість незвідних компонент.

“Великі“ орбіти для найпростіших випадків бішубертівських багатовидів зображені на наступних 3-х рисунках.

O1 O2

1

2

2

1

Рис. 1. “Великі“ орбіти в Bisch(1,1).

O1 O2 O3

2

1

3

1

3

2

3

2

1

Рис. . “Великі“ орбіти в Bisch(2,1).

O1 O2 O3 O4

1,2

1,2

3

1

4

1

3

4

2

2

4

3

4

3

O5 O6 O7

3

1

4

1

4

3

4

3

1

2

2

2

Рис. . “Великі“ орбіти в Bisch(2,2).

У підрозділі 2.3 доводиться раціональність незвідних компонент.

Теорема 2.4. Всі незвідні компоненти довільного бішубертівського багатовиду є раціональними.

Весь розділ 2.4 присвячений знаходженню рівнянь незвідних компонент в Грассманніані. Виявилося, що випадок n2 є якісно складнішим за випадок n=1, тому рівняння знайдені тільки для останнього.

Отже, нехай ми маємо деякий бішубертівський багатовид Bisch(m,1) і деякий його елемент з матрицею M.

Набором підматриць матриці елемента M називається набір всіх таких підматриць ширини d, що якщо якась із них містить якийсь рядок із Ki,j, то вона також містить всі рядки із Kx,y, ixm+1 і jyn+1. Ранги цього набору підматриць позначаються через rk.

Наступні дві теореми визначають в Грассманніані всі орбіти і їх замикання в термінах рангів підматриць матриць елементів.

Теорема 2.5. Довільна орбіта O з довільного бішубертівського багатовиду Bisch(m,1) визначається в Грассманніані за допомогою рівностей {rk(N)=kN, N}, де {kN, N} є відповідним набором рангів rk для деякого її елемента.

Теорема 2.7. Замикання довільної орбіти із бішубертівського багатовиду Bisch(m,1) визначається в Грассманніані за допомогою нерівностей {rk(N)kN, N}, де {kN, N} є відповідним набором рангів rk для деякого елемента орбіти.

Слідуюча теорема перекладає отримані рангові визначальні нерівності для компонент на мову рівнянь в проективному просторі.

Теорема 2.8. Довільна компонента C з довільного бішубертівського багатовиду Bisch(m,1) визначається в Грассманніані за допомогою рівнянь S={Xk1,…,kd=0}, де S складається з усіх мінорів окрім таких, що можна так пронумерувати їхні рядки числами від 1 до d, що , l-ий рядок буде знаходитись в зоні впливу числа l (тобто в клітині, розміщеній не вище і не правіше від клітини числа l) у характеристичній таблиці компоненти. Ця система рівнянь є мінімальною.

Тут Xk1,…,kd позначає плюккерову координату d-вимірного підпростору в Kh для набору цілих чисел (k1,…,kd), де 1k1< k2<…<kdh. Як наслідок із теореми маємо

Висновок 2.1. Всі незвідні компоненти всіх бішубертівських багатовидів Bisch(m,1) не є множинними повними перетинами в Грассманніані. Тобто їхні корозмірності не дорівнюють кількості відповідних визначальних рівнянь.

Наступний підрозділ дає відповідь на питання про взаємне розміщення перетинів незвідних компонент бішубертівського багатовиду. І, так як дослідження робились на основі отриманих рівнянь компонент, також розглядається тільки випадок n=1.

Теорема 2.9. Якщо O1,…,Om+1 – це всі “великі” орбіти із Bisch(m,1), то

(1) Для довільного перетину існує (і тільки одна) орбіта O така, що .

(2) якщо r<m+1, то всі перетини різні.

Якщо ввести позначення, , то для найпростіших випадків картина взаємного розміщення перетинів незвідних компонент виглядає як на рис.4.

Рис. 4. Перетини замикань “великих” орбіт в: Bisch(1,1) – зліва, Bisch(2,1) – справа.

В Розділі 3 розглядаються деякі спеціальні питання для часткових випадків. Підрозділ 3.1 присвячений знаходженню особливих та регулярних точок незвідних компонент в Bisch(1,1). Його результатом є наступні 2 теореми, де номери орбіт відповідають номерам на рис. 5.

Теорема 3.1. Для C1 в Bisch(1,1) маємо:

O1, O3, O4, O6 – регулярні,

O5 – особлива.

Теорема 3.2. Для C2 в Bisch(1,1) маємо:

O2, O6 – регулярні, |

регулярна, якщо D1,2=1,

регулярна, якщо D1,2>1,

регулярна, якщо D2,1=1,

регулярна, якщо D2,1>1,

регулярна, якщо D1,2=D2,1=1,

регулярна, якщо D1,2+D2,1>2.

O1 O2 O3 O4 O5 O6

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1,2

2

1

Рис. 5. Всі орбіти в Bisch(1,1).

Підрозділ 3.2 теж присвячений знаходженню особливих та регулярних точок незвідних компонент, але вже в . Його результатом є наступна теорема, де номери орбіти відповідають номерам на рис. 6.

O1 O2 O3

2

1

3

1

3

2

3

2

1

O4 O5 O6 O7

1

1,2

1,2

2,3

2,3

3

3

1

1

Рис. 6. Деякі орбіти в Bisch(1,1).

Теорема 3.3. Для маємо:

O6 – регулярна в C1,

O4, O5 – особливі в C1,

O7 – особлива в C3.

Як відомо, мультиплікативні багатовиди, отримані із Шубертівських багатовидів розмірності наданням їм кратності 1 утворюють базис для всіх -вимірних багатовидів (в мультиплікативному сенсі) на Gr(d,h). В наступному підрозділі 3.3 незвідні компоненти бішубертівських багатовидів Bisch(1,1) розкладаються у відповідному Шубертовому базисі в мультиплікативному сенсі. Для цього ми спочатку приводимо прапори із 2-х підпросторів V1V2, що задають Шубертові багатовиди для d=2, до деякої фіксованої “загальної” форми, діючи на них перетвореннями із алгебраїчної групи AG. Для m=n=1 це виявляється можливим. При цьому змінюються і всі d-вимірні підпростори в Kh – елементи бішубертівського багатовиду. Але ці зміни відбуваються в межах орбіт, тобто елементи кожної орбіти просто якимось чином перетасовуються. А так як коефіцієнти в базисному розкладі є просто потужностями перетинів цілих орбіт із відповідними Шубертівськими багатовидами, то ці перетасовки не впливають на результат, так як вони не змінюють цих потужностей. Ми також використовуємо тільки ті перетворення стовпчиків із AG, які не додають базисний вектор із V2\V1 до базисного вектора із V1. Таким чином, замість того, щоб знаходити загальний базис для обох підпросторів прапору V1V2, ми знаходимо його тільки для більшого, для V2, оскільки ми не діємо на V1 базисними векторами, які не лежать в V1.

Отже, загальний базис виглядає як матриця на рис. 7, де товсті діагональні лінії означають одинички, а все інше є нульовим. Вона має розмірність hh, тобто ми створювали загальний базис для максимально великих підпросторів – таких, що мають розмірність h. Щоб задати загальний базис для V1,V2, треба в цій матриці задати дві вертикальні границі, і всі вектори стовпчики, що знаходяться зліва від кожної границі, утворюватимуть базис відповідного простору.

Рис. 7. Загальний базис для V1V2.

Основний результат підрозділу дається наступною теоремою.

Теорема 3.4. Для Bisch(1,1) маємо:

C1=1Sch(D1,1 , h),

.

ВИСНОВКИ

Основним результатом дисертаційної роботи є введення та дослідження властивостей нового об’єкту – бішубертівського багатовиду, що є узагальненням звичайного Шубертівського багатовиду.

Було проведено дослідження звідності-незвідності введених бішубертівських багатовидів. Виявилось, що вони є завжди звідними. Були знайдені всі їхні незвідні компоненти. Кожній незвідній компоненті співставлялась таблиця з числами, що задовольняла певним умовам, і навпаки, кожній такій таблиці співставлялась незвідна компонента. Ця відповідність є взаємно однозначною. Використовуючи її, була порахована кількість незвідних компонент в багатовиді, порахована їхня розмірність і доведена їхня раціональність. Було також доведено, що кожній незвідній компоненті відповідає деяка “велика” орбіта, що є щільною в ній.

Була розглянута задача знаходження мінімальної системи визначальних рівнянь незвідних компонент в Грассманніані. Виявилось, що випадки n2 якісно відрізняються від випадку n=1 в складнішу сторону, тому рівняння були отримані тільки для останнього. Виявилось, що всі вони мають просту форму вигляду Xk1,…,kd = 0, де Xk1,…,kd позначає плюккерову координату d-вимірного підпростору в Kh для набору цілих чисел (k1,…,kd), де 1k1< k2<…<kdh.

На основі отриманих визначальних рівнянь була зроблена оцінка їхньої кількості, і в результаті був зроблений висновок, що всі незвідні компоненти всіх бішубертівських багатовидів не є множинними повними перетинами.

Було розглянуте питання перетинів незвідних компонент. Так як це дослідження робилось на основі визначальних рівнянь, то, знову ж, розглядався тільки випадок n=1. Виявилось, що всі перетини є різними, і для кожного перетину існує деяка єдина орбіта, яка є щільною в ньому.

Використовуючи рівняння Грассманніана і отримані рівняння незвідних компонент в ньому, було досліджене питання регулярності/особливості точок. Вже для m=n=1 виявилося, що майже завжди (за винятком деяких специфічних випадків) незвідні компоненти відповідного бішубертівського багатовиду містять особливі точки. Було також перевірено декілька випадків для m=2, n=1 і ситуація виявилась аналогічною. Тому видається цілком логічним, що така ж історія буде і для більш складних бішубертівських багатовидів.

Також був знайдений розклад незвідних компонент бішубертівського багатовиду в Шубертівському базисі в мультиплікативному сенсі для найпростішого випадку m=n=1. Виявилось, що одна з двох компонент відповідного бішубертівського багатовиду рівна одному Шубертівському багатовиду з коефіцієнтом 1, а друга рівна сумі декількох Шубертівських багатовидів з одиничними коефіцієнтами.

Результати дисертації є новими і не мають аналогів у сучасній науковій літературі:

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Коломієць П.С. Деякі факти про бішубертівські багатовиди // Вісник Київського університету, серія: фізико-математичні науки. – 2006. – 4 – С. 38-47.

2. Коломієць П.С., Дрозд Ю.А. Перетини незвідних компонент бішубертівських багатовидів // "Проблеми топології та суміжні питання", збірник праць Інституту математики НАНУ. – 2006. – т.3, №3. – С. 180-200.

3. Drozd Y.A., Kolomiets P.S. On some generalization of Schubert’s varieties// Computational Commutative and Non-Commutative Algebraic Geometry. NATO Science Series III: Computer and Systems Sciences. – 2005. – Vol.196 – P. 79-89.

АНОТАЦІЇ

Коломієць П. С. Бішубертівські багатовиди. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. Інститут математики Національної Академії Наук України, Київ, 2008.

В дисертації вводиться та досліджується новий об’єкт алгебраїчної геометрії - бішубертівський багатовид, який вводиться за аналогією зі звичайним Шубертівським багатовидом, але із використанням двох визначальних прапорів “загальної” форми, таких, що жоден підпростір із одного прапору не міститься повністю в жодному підпросторі іншого прапору і навпаки. Доводиться звідність таких багатовидів, знаходяться їхні незвідні компоненти, їхнє число та розмірності. Також доводиться раціональність незвідних компонент.

Далі розглядається випадок, коли один із прапорів складається лише із одного підпростору, так як він є якісно простішим за інші випадки. Для нього знаходяться рівняння незвідних компонент в Грассманніані, на основі чого доводиться, що вони не є множинними повними перетинами. Також знаходиться структура взаємного розміщення незвідних компонент та всіх їх перетинів, яка виявляється має гарну форму.

В дисертації також вивчаються питання регулярності/особливості точок компонент. Доводиться, що вже у найпростіших випадках вони можуть містити особливі точки. Наостанок незвідні компоненти найпростішого бішубертівського багатовиду, чиї визначальні прапори містять лише по одному підпростору, розкладаються у Шубертовому базисі.

Ключові слова: Шубертівські багатовиди, Грассманніан, незвідні компоненти, розмірність, матричні задачі.

Коломиец П. С. Бишубертовы многообразия. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. Институт математики Национальной Академии Наук Украины, Киев, 2008.

В диссертации вводится и исследуется новый объект алгебраической геометрии - бишубертово многообразие, которое вводится по аналогии с обычным Шубертовым многообразием, но с использованием двух определяющих флагов “общей” формы, таких, что ни одно подпространство из одного флага не содержится полностью ни в одном подпространстве другого флага и наоборот. Доказывается приводимость таких многообразий, находятся их неприводимые компоненти, их число и размерности. Также доказывается рациональность неприводимых компонент.

Дальше рассматривается случай, когда один из флагов состоит только из одного подпространства, так как он качественно более прост по сравнению с остальными случаями. Для него находятся уравнения неприводимых компонент в Грассманниане, на основе чего доказывается, что они не являются множественными полными пересечениями. Также находится структура взаимного размещения неприводимых компонент и всех их пересечений, которая оказывается имеет красивый вид.

В диссертации также изучаются вопросы регулярности/вырожденности точек компонент. Доказывается, что уже в наиболее простом случае они могут содержать особые точки. Напоследок неприводимые компоненты наиболее простого бишубертового многообразия, чьи определяющие флаги содержат только по одному подпространству, раскладываются в Шубертовом базисе.

Ключевые слова: Шубертовы многообразия, Грассманниан, неприводимые компоненты, размерность, матричные задачи.

Kolomiets P. S. Bischubert varieties. – Manuscript.

Thesis for obtaining the Philosophy Doctor (Ph.D.) degree in speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Institute of mathematics of Ukrainian National Academy of Sciences, Kyiv, 2008.

In the thesis the new object of algebraical geometry – bischubert variety – is introduced and studied. Instead of one flag used for definition of ordinary Schubert varieties we use two flags of “general” (very natural) form with no subspace from one of the flags being contained totally in any subspace from another flag and vice versa. Here “general” form means some sparseness of flag subspaces and their pairwise intersections and is a little stronger version of condition that all the pairwise intersections of flag subspaces are different. In addition it means that the whole space is big enough. For convenient work with them we choose such basis of the whole space that all flag subspaces are generated by some vectors from this basis. Then similar to ordinary Schubert varieties we define bischubert variety as all d-dimensional subspaces in vector space of dimensional h that intersect subspaces from every layer of two flags by subspace of dimension not less than the number of the layer. Then we consider element matrices and convert the defining conditions to the language of the ranks of their submatrices. We also consider tables with “sums” of numbers (text of the form ”l1”+”l2”+…+”lk”, where l1,l2,…,lk are natural numbers from 1 to h) staying in cells which correspond to element matrices. Although this representation isn’t unique, id.est. several elements can exist with the same table representation, it is enough for our needs and we work mainly with it. For investigation of the bischubert variety properties we introduce irreducible algebraical group of all linear space transformations which don’t change the flags subspaces. Thus we reduce the problem mainly to a matrix problem.

Using this method we prove that bischubert varieties are reducible and find their irreducible components describing them by tables with numbers standing in cells subject to some conditions. Moreover, we prove that to every irreducible component some “big” orbit corresponds which is dense in it. Using the representation of the components we compute their number and dimensions. We also check the obtained formulas on ordinary Schubert varieties as they are the extreme case of bischubert varieties and get positive results. We also prove the rationality of the irreducible components.

Hereafter we limit our study to the case when one of the flags contains only one subspace. According to the Kleiner theorem that describes possible cases for partially ordered sets to have finite number of indecomposable non-isomorphic representations and proved Brauer-Troll conjecture for partially ordered sets this case is the only general case in which the corresponding bischubert variety has finite number of orbits. Then for every component we find the minimal system of equations that defines it in Grassmannian. All of them turn out to have the form Xk1,…,kd = 0, where Xk1,…,kd stands for Plucker coordinate of d-dimensional subspace in vector space of dimensional h for the set of numbers 1k1< k2<…<kdh. Computing the number of defining equations we conclude that none of the components is full set intersection, id.est. their codimensions don’t equal to the number of corresponding equations.

Also we consider the question of mutual arrangement of components and their intersections. We find that all of them are different and for every component intersection some orbit exists which is dense in it. As this study is based on defining equations it concerns again only the case when one of the flags consists of one subspace only.

Using the Grassmannian equations and equations of irreducible components in it we study the question of points regularity/singularity. And even for the simplest case of bischubert variety (both of flags consist of one subspace only) we find that almost always (except some extreme cases) they contain singular points. Also we check some cases for m=2, n=1 and find the same situation. Therefore we made the conclusion that the situation will probably keep existing for more complicated bischubert varieties.

Finally we decompose the components of the simplest bischubert variety (m=n=1) into Schubert basis in multiplicative sense and find that one of the components equals to a single Schubert variety with coefficient 1, while another equals to the sum of several Schubert varieties all of them with coefficients 1.

Keywords: Schubert varieties, Grassmannian, irreducible components, dimension, matrix problems.