ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

КОНОСЕВИЧ Юлія Борисівна

УДК 531.38, 531.36

ДИНАМІЧНІ ВЛАСТИВОСТІ СИНХРОННОГО ГІРОСКОПА

В КАРДАНОВОМУ ПІДВІСІ

01.02.01 – теоретична механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Донецьк – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладної математики і механіки НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук

Болграбська Ірина Олександрівна,

Інститут прикладної математики

і механіки НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу технічної механіки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Вербицький Володимир Григорович,

Донецький інститут автомобільного транспорту,

завідувач кафедрою;

доктор фізико-математичних наук, професор

Лесіна Марія Юхимівна,

Донецький національний технічний університет,

професор кафедри вищої математики.

Захист відбудеться “21” травня 2008 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту прикладної математики і механіки НАН України за адресою: 83114, м. Донецьк, вул. Р. Люксембург, 74.

Автореферат розісланий “14” квітня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради М.В. Краснощок

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У теперішній час одним із напрямків аналітичної механіки, що інтенсивно розвиваються, є динаміка систем зв’язаних твердих тіл. Пояснюється це, в першу чергу, широким спектром застосувань таких систем. З одного боку багато технічних об’єктів являють собою шарнірно з’єднані тверді тіла, а з іншого – системи твердих тіл, сполучених пружними шарнірами, успішно використовуються в якості скінченновимірних моделей пружних стержневих конструкцій. Загальній теорії дослідження динаміки систем зв’язаних твердих тіл присвячено монографії і роботи Й. Віттенбурга, П.В. Харламова, H.W.R.I.монографії О.Я. Савченка, І.О. Болграбської, Г.А. Кононихіна та О.Ю. Ішлінського, В.А. Стороженка, М.Є. Темченко, а також ряд інших праць.

Важливе місце в динаміці систем твердих тіл посідає гіроскоп у кардановому підвісі. Він являє собою систему трьох твердих тіл, сполучених між собою і з основою циліндричними шарнірами. Така конструкція цікава як у теоретичному, так і в практичному плані, оскільки дозволяє реалізувати будь-який обертальний рух тіла, що відіграє роль ротора. У техніці гіроскоп у кардановому підвісі застосовується як чутливий і керуючий елемент у системах орієнтації, керування і навігації рухомих об’єктів.

Вивченням динаміки гіроскопічних систем і, зокрема, властивостей гіроскопа в кардановому підвісі, займалися знані вчені-механіки в нашій країні і за кордоном. Відзначимо в цьому зв’язку монографії К. Магнуса, О.Ю. Ішлінського, В.М. Кошлякова, Д.М. Клімова і С.А. Харламова. На прикладі гіроскопа в кардановому підвісі нерідко перевіряють ефективність нових методів дослідження динаміки механічних систем.

Однією з важливих задач динаміки систем зв’язаних твердих тіл є визначення умов існування стаціонарних режимів руху таких систем, оскільки саме вони є робочими режимами технічних об’єктів. Наступним природним кроком є встановлення умов стійкості знайдених режимів. Розробкою необхідного апарату для дослідження стійкості руху систем твердих тіл і вирішенням низки задач, що мають широкі прикладання, займалися багато вчених. У цьому зв’язку можна відзначити роботи Є.Л. Ніколаї, К. Магнуса, В.В. Румянцева, Б.І. Коносевича, В.А. Стороженка, О.Я. Савченка, І.О. Болграбської, В.В. Крементуло.

Для підтримання швидкості власного обертання гіроскопа його обладнують електродвигуном. Спочатку при вивченні динаміки гіроскопа з двигуном приймалося припущення, що відносна кутова швидкість ротора залишається сталою весь час руху. У більш пізніших роботах для урахування впливу гіродвигуна (асинхронного або синхронного типу) використовуються уточнені моделі, прийняті, наприклад, у книзі Д.М. Клімова і С.А. Харламова. Климов Д.М., Харламов С.А. Динамика гироскопа в кардановом подвесе. – М.: Наука, 1978. – 208 с.

Реальні технічні об’єкти мають різного роду похибки виготовлення і збирання. Тому вивчення динамічних властивостей і, зокрема, стійкості стаціонарних режимів приладу повинно супроводжуватися дослідженням впливу таких “конструктивних недосконалостей” на стаціонарні режими.

Дана дисертаційна робота присвячена вивченню впливу початкових збурень і збурень конструктивних параметрів на стаціонарні рухи гіроскопа в кардановому підвісі, обладнаного синхронним електродвигуном.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень у дисертації відповідає темі “Математичні методи дослідження задач стійкості і керування динамічних систем та їх застосування у динаміці систем твердих тіл” (№ 1.1.4.4), яка, згідно з планом наукових досліджень, виконувалась в Інституті прикладної математики і механіки НАН України у 2001–2005 роках, та темі “Якісні методи дослідження нелінійних механічних систем, їх розвиток та застосування до задач динаміки твердого тіла" (№ ІІІ-6-06), що виконується у 2006–2010 роках. Здобувач є виконавцем окремих розділів цих тем.

Мета і задача дослідження. При застосуванні основними робочими режимами гіроскопа в кардановому підвісі є стаціонарні рухи. Отже, точність роботи приладу визначається тим, наскільки великий вплив різного роду збурень на ці стаціонарні рухи. Незважаючи на велику кількість робіт, зазначене коло питань порівняно слабко вивчено у випадку, коли ротор приводиться в обертання електродвигуном синхронного типу. У зв’язку з цим, метою дисертації є визначення умов стійкості стаціонарних рухів синхронного гіроскопа в кардановому підвісі при наявності початкових збурень, оцінка впливу збурень конструктивних параметрів приладу на його стаціонарні рухи.

Об’єктом дослідження у роботі є синхронний гіроскоп у кардановому підвісі, встановлений на нерухомій основі у полі сили ваги; тертя на осях підвісу відсутнє. Задача про гіроскоп у кардановому підвісі розглядається в узагальненій постановці, що дозволяє урахувати широкий клас збурень конструктивних параметрів.

Наукова новизна здобутих результатів визначається наступними положеннями.

Вперше отримано (у вигляді двох нерівностей) достатню умову стійкості стаціонарних рухів. Одна з цих нерівностей відома для асинхронного гіроскопа в кардановому підвісі, а друга (додаткова) характерна тільки для синхронного гіроскопа.

Встановлено умови на параметри, за яких збурений стаціонарний рух є згасаючим процесом, коливальним або аперіодичним.

Для звичайної моделі гіроскопа в кардановому підвісі в просторі безрозмірних параметрів побудовано поверхню, на якій порушується додаткова умова стійкості.

Показано, що для синхронних гіроскопів більшості конструкцій необхідною і достатньою умовою стійкості стаціонарних рухів є наявність ізольованого мінімуму зведеної потенціальної енергії у відповідній стаціонарній точці.

Встановлено, що коли цей мінімум забезпечується за рахунок додатності другої похідної по внутрішньому карданову куту, то збурений рух наближається з часом до стаціонарного руху, близького до незбуреного. Дано оцінку області притягання.

Вперше розглянуто узагальнену модель синхронного гіроскопа з малою динамічною несиметрією ротора. Показано, що коли для вихідного стаціонарного руху виконано достатню умову стійкості, то при малій динамічній несиметрії ротора і малих початкових збуреннях існує режим псевдорегулярної прецесії, що є накладенням періодичних коливань на прецесійний рух, близький до незбуреного. Такий режим є асимптотично стійким для зведеної системи і аналітично залежить від малого параметра.

Практичне значення здобутих результатів визначається тим, що вони дають загальне уявлення про характер впливу початкових і конструктивних збурень на стаціонарні рухи синхронного гіроскопа в кардановому підвісі і дозволяють вибрати стійкі стаціонарні режими роботи гіроприлада, при яких відбувається затухання збурень, обумовлених зовнішніми перешкодами.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації здобуті автором самостійно. У статті [6] автором здобуто основний результат, сформульований у вигляді теореми. У статті [7] авторові належать теореми 1–3, а у статті [8] – теореми 1, 2.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися й обговорювалися на:–

Восьмій міжнародній конференції “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (Донецьк, 2002 р.); –

The 7th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications (Poland, Јуdџ, December, 8 – 11, 2003);–

Міжнародній конференції “Классические задачи динамики твердого тела” (Донецьк, 2004 р.);–

Дев’ятій міжнародній конференції “Устойчивость, управление и динамика твердого тела” (Донецьк, 2005 р.);–

Міжнародній конференції “Пятые Окуневские чтения” (Санкт-Петербург, 2006 р.);–

Міжнародній науково-технічній конференції “Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов” (Таганрог, 2006 р.);–

Дев’ятій міжнародній конференції “Моделювання, ідентифікація, синтез систем керування” (Донецьк, 2006 р.);–

Міжнародній конференції “Классические задачи динамики твердого тела” (Донецьк, 2007 р.);–

семінарах відділів прикладної механіки і технічної механіки ІПММ НАН України (керівник – чл.-кор. НАН України О.М. Ковальов).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 16 роботах, серед яких 8 статтей – у збірниках наукових праць, 2 роботи – в працях конференцій і 6 анотацій – у збірниках тез конференцій.

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, основної частини, висновків і списку використаних джерел. Основна частина містить шість розділів. Обсяг дисертації – 178 сторінок. Список літератури на 12 сторінках містить 118 найменувань. Дисертація включає 27 малюнків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність обраної теми, висвітлено стан наукової проблеми, вказано мету і задачу дослідження, розкрито наукову новизну роботи, відзначено її наукове й практичне значення, дано інформацію про апробацію роботи, її структуру і публікації з теми дисертації.

У першому розділі надано огляд робіт з теорії гіроскопа в кардановому підвісі. Цей огляд показує, що найбільш вивченими є випадки, коли ротор обертається за інерцією без тертя і коли ротор приводиться в обертання електродвигуном асинхронного типу. У той же час випадок, коли ротор обертається синхронним електродвигуном, є порівняно мало вивченим. |

Звідси випливає необхідність дослідження динаміки гіроскопа в кардановому підвісі, обладнаного синхронним двигуном, і, в першу чергу – властивостей його стаціонарних рухів.

У другому розділі дано опис методів та об’єкта дослідження. У підрозділі 2.1 наведено означення і теореми про стійкість розв’язку системи звичайних диференціальних рівнянь, що використовуються у дисертації. У підрозділі 2.2 для одного класу квазілінійних систем звичайних диференціальних рівнянь з малим параметром сформульовано умови існування і асимптотичної стійкості періодичних розв’язків. У підрозділі 2.3 визначено напрямок досліджень даної дисертаційної роботи. Аби урахувати вплив

досить широкого класу конструктивних недосконалостей, у дисертації прийнято узагальнену модель гіроскопа в кардановому підвісі, що бере початок від робіт П.В. Харламова. На відміну від звичайної моделі (рис. ), у випадку узагальненої моделі “рамки” підвісу мають довільну форму, внутрішня вісь підвісу, загалом кажучи, не ортогональна зовнішній вісі й вісі ротора і ці три вісі можуть не перетинатися в одній точці (центрі підвісу). Лагранжевими координатами для узагальненої моделі є кути , аналогічні показаним на рис. . У підрозділі 2.4 для узагальненої моделі наведено вирази кінетичної енергії T і потенціальної енергії U через лагранжеві змінні і постійні параметри.

Тертя на осях підвісу мале й передбачається відсутнім. У той же час швидкообертовий ротор зазнає значного гальмуючого впливу сил тертя. Для підтримки обертання ротора гіроскоп обладнують електродвигуном, так що внутрішня карданова “рамка” є статором, а ротор гіроскопа – ротором електродвигуна. Тому з боку внутрішньої “рамки” на ротор діє момент L, що дорівнює алгебраїчній сумі обертального моменту двигуна і моменту сил тертя відносно осі ротора.

У підрозділі 2.5 розглянуто механізм формування моменту L для електродвигуна синхронного типу. Виділено стійкий режим рівномірного обертання ротора і момент L зображено у вигляді суми L = Lp + Ld потенціального і дисипативного моментів Lp (), . Тут – відхилення кута ц від його значення в режимі рівномірного обертання. Момент Lp () є потенціальним, тому що

.

– це потенціальна енергія взаємодії магнітних полів ротора і статора синхронного двигуна. Функція має при = 0 нульовий ізольований мінімум. Знак протилежний знаку .

У підрозділі 2.6 показано, що кінетична і потенціальна енергії для узагальненої моделі не залежать від кутів у двох випадках: 1) ротор динамічно симетричний відносно своєї осі обертання у внутрішній “рамці”, а зовнішня вісь підвісу вертикальна; 2) ротор динамічно симетричний і система статично врівноважена відносно осей підвісу. У першому випадку U = U (в) і він включає другий випадок, як окремий, при U const. Тому перший випадок прийнято у роботі за основний. При цьому кінетична енергія системи має вигляд

. (1)

Тут C – осьовий момент інерції ротора. Величини а також U = U (в) зображуються тригонометричними розкладами

(2)

коефіцієнти яких виражаються через постійні параметри. При будь-якому значенні в виконуються нерівності Сильвестра

(3)

,

де J (в) – визначник квадратичної форми 2T.

У третьому розділі розглядається узагальнена модель синхронного гіроскопа в кардановому підвісі у випадку, коли ротор є динамічно симетричним, а зовнішня вісь підвісу вертикальна. Лагранжеві рівняння руху такої механічної системи мають вигляд

,

, (4)

.

Штрих означає диференціювання по в. Рівняння (4) можна записати у вигляді нормальної системи п’ятого порядку відносно .

Із першого рівняння (4) випливає інтеграл

. (5)

Система (4) має розв’язки

, (6)

де > 0 – кутова швидкість обертання магнітного поля в статорі двигуна. Вони існують за умовою, що сталі 0, в0 зв'язані співвідношенням

. (7)

Розв’язкам (6) відповідають стаціонарні рухи гіроскопа – регулярні прецесії (0 0) і рівномірні обертання ротора (0 = 0).

Розглядаючи (5) як визначення змінної p, перейдемо в лагранжевій системі рівнянь (4) до змінних p, , в, , де = – t – ц0. Отримаємо для нових змінних перетворену систему рівнянь

, (8)

.

Тут для стислості опущено аргумент в у функцій G, N, Q, U і аргументи , у функції L. При кожному фіксованому значенні p два останніх рівняння (8) утворюють зведену систему S (p).

Розв’язку (6) вихідної системи (4) відповідає розв’язок

(9)

перетвореної системи (8). Сталі 0, p0 у розв’язках (6), (9) зв’язані співвідношенням

, (10)

яке випливає із (5). Розв’язок (9) існує, якщо виконана умова

, (11)

еквівалентна (7). Стійкість розв’язку (6) вихідної лагранжевої системи (4) еквівалентна стійкості відповідного розв’язку (9) перетвореної системи (8).

У підрозділі 3.2 здобуто у вигляді двох нерівностей достатню умову стійкості стаціонарних розв’язків. Характеристичне рівняння системи (8), лінеаризованої в околі розв’язку (9), має вигляд sP4 (s, p0) = 0 і після відділення нульового кореня зводиться до характеристичного рівняння P4(s, p0) = 0 лінеаризованої системи S (p0):

. (12)

Тут пропущений аргумент в0 у функцій кута в і введені позначення

, (13)

,

стала 0 передається формулою (10).

У рівнянні (12) сталі додатні за постановкою задачі, із (3) випливає, що J, J1, J2, G, M > 0. З урахуванням цього за допомогою критерію Рауса–Гурвіца показано, що всі корені рівняння (12) мають від’ємні дійсні частини при виконанні двох нерівностей

+ , (14)

. (15)

Нерівності (14), (15) записані у формі обмежень на величини 0, в0, які визначають стаціонарний розв’язок (6) лагранжевої системи рівнянь (4), тому їх природно розглядати як умови, що накладаються на цей розв’язок. Щоб записати нерівності (14), (15) у формі обмежень на величини p0, в0, що визначають стаціонарний розв’язок (9) перетвореної системи (8), у них варто замінити величину 0 за формулою (10). Тоді умови від’ємності дійсних частин всіх коренів характеристичного рівняння P4 (s, p0) = 0 лінеаризованої зведеної системи S (p0) приймуть наступний вигляд:

, (16)

. (17)

Тут

(18)–

зведена потенціальна енергія сили ваги, функції K1 () і K2 (p, ) визначені формулами

,

(19)

.

Умова (11) існування стаціонарного розв’язку (9) еквівалентна рівності . Якщо виконано співвідношення (16), то в деякому околі точки (p0 , в0) умова визначає неперервну функцію в = в* (p), і розв’язок (9) включається у сім’ю

(20)

стаціонарних розв’язків системи (8), що залежать від p як від параметра. Отже, при виконанні нерівностей (16), (17) для розв’язку (9) має місце особливий підвипадок одного нульового кореня, і тому, на підставі відомої теореми О.М. Ляпунова, даний розв’язок стійкий.

Надалі для стислості нерівність (14) і еквівалентна їй нерівність (16) називаються першою умовою стійкості стаціонарного руху синхронного гіроскопа в кардановому підвісі, а нерівність (15) і еквівалентна їй нерівність (17) – другою умовою стійкості.

У підрозділах 3.4, 3.5 для характеристичного рівняння (12) зведеної системи проаналізовано залежність типу коренів від параметрів у разі виконання нерівностей (16), (17). У позначеннях (13) нерівність (16) має вигляд 2 + G > 0. Тому після введення нової невідомої x і параметрів k, 1, 2 за формулами

,

рівняння (12) переходить в еквівалентне йому рівняння

. (21)

Із (3), (16), (17) випливає, що 1 > 0, 2 > 0, k > 0.

При заданому k рівняння (21) має дійсні корені тільки в тому випадку, коли обумовлена цим рівнянням крива

перетинається з прямою k = const. Ці корені є абсцисами точок перетину. Знак k(x) протилежний знаку квадратного тричлена . Дискримінант цього тричлена дорівнює .

У підрозділі 3.4 розглянуто випадок . У цьому випадку при всіх дійсних x. Але для параметра k припустимі тільки значення k > 0 і тому у випадку D 0 рівняння (21) не має дійсних коренів. Отже, воно має дві пари комплексно-спряжених коренів з від’ємними дійсними частинами.

У підрозділі 3.5 розглянуто випадок D > 0. У цьому випадку k (x) > 0 на дійсному інтервалі (x1; x2) ; тут

.

Тому у випадку D > 0 при деяких k > 0 рівняння (21) має дійсні корені в інтервалі (x1; x2). Докладне дослідження функції k (x) у випадку D > 0 проводиться за допомогою її похідної , де .

У підвипадку функція k (x) має на (x1; x2) єдину точку максимуму . Нехай . Тоді при рівняння (21) має два дійсних від’ємних кореня, при k = kmax воно має двократний від’ємний корінь, а при k > >kmax – не має дійсних коренів.

У підвипадку 2 > 4 функція F(x) має від’ємні мінімум і максимум у деяких точках c1, c2 (c1 < c2) інтервалу (x1; x2). Нехай Fmin = F (c1), Fmax = F (c2). Тоді при функція k(x) має на (x1; x2) дві точки максимуму і точку мінімуму між ними. Звідси визначаються інтервали значень параметра k, на яких рівняння (21) має два, три або чотири дійсних від’ємних кореня. При або точка мінімуму функції k(x) зливається з однією із точок максимуму , породжуючи точку перегину. При або функція k (x) має на (x1; x2) одну точку максимуму, як і в підвипадку .

У четвертому розділі проаналізовано другу умову стійкості (15) для звичайної моделі гіроскопа в кардановому підвісі. На відміну від першої умови (14), яка з'являється і при дослідженні стійкості стаціонарних рухів асинхронного гіроскопа, друга умова характерна тільки для синхронного гіроскопа.

Для звичайної моделі гіроскопа в кардановому підвісі використовуються наступні позначення: C, A – осьовий і екваторіальний моменти інерції ротора відносно центра підвісу; A1, B1, C1 – моменти інерції внутрішньої рамки відносно внутрішньої осі підвісу, відносно осі ротора і відносно перпендикуляра до площини внутрішньої рамки, проведеного через центр підвісу; C2 – момент інерції зовнішньої рамки відносно зовнішньої осі підвісу; m – маса ротора; s – відстань від центра підвісу до центра мас ротора (s 0). Кут є кутом між віссю ротора і перпендикуляром до площини зовнішньої рамки в її центрі.

Нехай I0 = C2 + B1 + C, I = C1+ A – B1– C. У невиродженому випадку I 0 вводяться безрозмірні параметри

, , ,

за допомогою яких умова (7) існування стаціонарного розв’язку (6) записується у формі

, (22)

а перша і друга умови стійкості (14), (15) мають наступний вигляд

, (23)

. (24)

Параметр приймає значення > 0 при 0 і < – 1 при 0.

Із (22) випливає, що при фіксованому множина стаціонарних розв’язків зображується на площині (в0, y) вертикальними прямими в0= (mod 2 ) і двома кривими:

, . (25)

Рис. 2. Критична

поверхня для кривої y1 (в0, ). | Ця множина і перша умова стійкості (23) вже вивчені.

Друга умова стійкості (24) не вико- нується на прямих в0 = =  (mod ), що належать до множини стаціонарних розв’язків. Отже, решта точок множини стаціонарних розв’язків, де не виконано умову (24) – це точки (в0, y) кривих (25), які мають абсциси в0  (mod ) і задовольняють рівності

.

Залежність координат в0 цих критичних точок від параметрів , вивчено аналітичними методами. Результати зображено на рис. , 3.

Рис.  Критичні поверхні для кривої y (в0, ): а) > 0, б) < 0.

Крім того, у четвертому розділі показано, що друга умова стійкості є суттєвою у тому сенсі, що кожний стаціонарний розв’язок, для якого вона не виконана, задовольняє першій умові.

У п'ятому розділі посилено результати, здобуті в третьому розділі. Умовою існування стаціонарного розв’язку (9) перетворених рівнянь (8) є рівність = 0, де функція визначена формулою (18). Оскільки функція змінної аналітична по , то існують тільки чотири можливості: при = 0 функція має: A) ізольований мінімум, B) ізольований максимум, C) перегин, D) = const. У підрозділі 5.2 вивчено стійкість стаціонарних режимів у випадках A – D.

Доведено, що у випадку A стаціонарний розв’язок (9) рівнянь (8) стійкий (по відношенню до фазових змінних цих рівнянь), а у випадках B, C він нестійкий.

Доведення стійкості спирається на теорему Л. Сальвадорі, яка узагальнює теорему Рауса–Ляпунова про стійкість стаціонарних рухів механічних систем при наявності мінімуму зведеної потенціальної енергії. Для доведення нестійкості використовується теорема М.М. Красовського. За функцію Ляпунова v прийнято енергію збурень для зведеної системи Sp). Її похідна в силу рівнянь (8) дорівнює і є функцією знакопостійною від’ємною.

Відомо, що стала p* така, що = const, існує тоді й тільки тоді, коли параметри гіроскопа в кардановому підвісі, введені в (2), задовольняють одній із двох груп умов:

D1)

D2) .

Таким чином, випадок D має місце тільки для двох спеціальних конструкцій гіроскопа при .

Доведено, що у підвипадку D1 при розв’язок (9) рівнянь (8) нестійкий при будь-якому 0, а у підвипадку D2 він нестійкий при будь-якому в0, виключаючи, можливо, значення в0, що відповідає мінімуму U ().

Оскільки гіроскоп звичайної конструкції і врівноважений гіроскоп (U () = const) не задовольняють умовам D2, то для таких гіроскопів наявність ізольованого мінімуму функції при  = 0 є необхідною й достатньою умовою стійкості будь-якого стаціонарного режиму (9).

Функція має ізольований мінімум при  = 0 тільки у випадку, коли перша із її похідних по , відмінних від нуля в точці  = 0, має парний порядок n і додатна.

Як зазначалося вище, при виконанні умови (16) вихідний стаціонарний розв’язок (9) рівнянь (8) належить сім’ї стаціонарних розв’язків (20), визначених для значень p із деякого інтервалу , який містить p0. Користуючись безперервністю функцій (18), (19), цей інтервал можна вибрати так, щоб при для стаціонарного розв’язку

(26)

зведеної системи Sp) виконувались нерівності, аналогічні першій і другій умовам стійкості (16), (17). Тоді розв’язок (26) асимптотично стійкий при .

У підрозділі 5.3 показано, що стаціонарний розв’язок (26) зведеної системи Sp) залишиться асимптотично стійким, якщо при визначенні інтервалу не враховувати другу умову стійкості, а вибирати цей інтервал так, щоб при кожному значення було точкою локального мінімуму як функції . У підрозділі 5.4 дано оцінку області притягання розв’язку (26), коли p належить інтервалу , побудованому зазначеним способом.

У шостому розділі вивчається вплив динамічної несиметрії ротора на стаціонарні рухи синхронного гіроскопа в кардановому підвісі. Динамічна несиметрія ротора характеризується малим параметром . При   0 потенціальна і кінетична енергії залежать від кута ,

, (27)

Лагранжеві рівняння руху такого гіроскопа мають інтеграл

. (28)

Якщо при даному замість ввести фазову змінну за формулою (28), то одне з лагранжевих рівнянь набирає вигляду , а два інших після заміни в них виразом, що випливає із (28), утворюють зведену лагранжеву систему рівнянь із фазовим вектором . Вона позначається через S, p1).

При = 0 лагранжеві рівняння допускають розв’язок вигляду (6) за умови, що сталі 0, в0 зв'язані співвідношенням (7), тобто . Тут функція визначена формулою (18), , нульовим індексом відзначені відповідні функції в (27), узяті при = 0. Передбачається, що для даного розв’язку виконані нерівності (16), (17). Тому існує інтервал , що містить , на якому визначена сім’я стаціонарних розв’язків

(29)

яке включає (6). Тут , функція визначена рівністю . Кожному розв’язку (29) лагранжевої системи відповідає розв’язок

(30)

зведеної системи S, p1). З урахуванням безперервності функцій (18), (19) інтервал обирається так, щоб на ньому виконувалися нерівності, аналогічні (16), (17). Тоді всі корені характеристичного рівняння зведеної системи S0, p1), лінеаризованої в околі розв’язку (30), мають від’ємні дійсні частини.

Аби при одержати рівняння збуреного руху у формі системи нормального вигляду, у підрозділі 6.2 здійснюється перехід до гамільтонових змінних , де – узагальнені імпульси для кутів . У нових змінних рух синхронного гіроскопа описується системою п’яти рівнянь першого порядку кожне. Одне з цих рівнянь визначає сталі значення , а решта утворюють зведену систему з фазовим вектором , яка позначається через H, p1).

При система H, p1) має розв’язок

,

де . Він відповідає розв’язку (30) системи S, p1).

При у підрозділі 6.3 вводяться змінні за формулами

, .

Змінні задовольняють системі рівнянь

(31)

де B – гурвіцева матриця, функції – -періодичні за . При цьому є аналітичними за при y = 0, = 0. Отже, залежність y від визначається системою вигляду

. (32)

Оскільки матриця B – гурвіцева, то звідси, на підставі відомих результатів теорії нелінійних коливань, у підрозділі 6.4 вводиться існування 0 > 0 такого, що при будь-якому система (32) має єдиний періодичний за ц розв’язок з періодом 2. Цей розв’язок асимптотично стійкий і зображується збіжним степеневим рядом за . Йому відповідає розв’язок

(33)

системи (31), де – періодична функція часу t періоду 2/, аналітична за .

У підрозділі 6.5 показано, що із асимптотичної стійкості розв’язку випливає асимптотична стійкість розв’язку (33).

Для лагранжевих рівнянь руху здобуті результати означають, що при будь-яких лагранжева система має розв’язок

,

(34)

,

де – періодичні функції t періоду 2/, аналітичні за . Цей розв’язок асимптотично стійкий у класі розв’язків з даним значенням p1.

Розв’язок (34) описує так звану псевдорегулярну прецесію ротора – регулярну прецесію, яка супроводжується високочастотними коливаннями.

ВИСНОВКИ

У дисертації вивчається вплив початкових збурень і динамічної несиметрії ротора на стаціонарні рухи гіроскопа в кардановому підвісі, ротор якого приводиться в обертання синхронним електродвигуном. Тертя на осях підвісу відсутнє. Прилад установлено на нерухомій основі в полі сили ваги й має вертикальну зовнішню вісь підвісу. Установлено наступні результати.

1) Показано, що характеристичний поліном для стаціонарного розв’язку зведеної системи є гурвіцевим при виконанні двох нерівностей (першої і другої умов стійкості). Указані нерівності достатні для стійкості відповідного стаціонарного руху повної системи, незважаючи на наявність нульового кореня характеристичного рівняння.

2) У припущенні, що ці нерівності виконані, проаналізовано залежність типу коренів характеристичного рівняння зведеної системи від параметрів і зазначено умови, за яких характеристичне рівняння має кожен із можливих типів коренів.

3) Для загальноприйнятої моделі гіроскопа в кардановому підвісі побудовано поверхні в просторі параметрів, на яких не виконується друга умова стійкості.

4) Установлено, що друга умова стійкості є суттєвою в тому сенсі, що кожний стаціонарний розв’язок, для якого вона не виконана, задовольняє першій умові.

5) Доведено, що для гіроскопів більшості конструкцій (у тому числі й для звичайної моделі) необхідною і достатньою умовою стійкості стаціонарного руху є наявність ізольованого мінімуму зведеної потенціальної енергії тяжіння.

6) Установлено, що коли мінімум зведеної потенціальної енергії забезпечується за рахунок додатності її другої похідної по внутрішньому карданову куту, то стаціонарний розв’язок зведеної системи, що відповідає точці мінімуму, є асимптотично стійким, і знайдено оцінку області притягання.

7) Показано, що коли для незбуреного стаціонарного руху виконана достатня умова стійкості, то при малій динамічній несиметрії ротора і малих початкових збуреннях існує режим псевдорегулярної прецесії, що є накладанням періодичних коливань на стаціонарний рух, близький до незбуреного.

8) Установлено, що при зробленому припущенні режим псевдорегулярної прецесії аналітично залежить від малого параметра, який характеризує динамічну несиметрію ротора, і є асимптотично стійким при відповідному йому значенні сталої інтеграла.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Коносевич Ю.Б. Условия устойчивости стационарных режимов движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Механика твердого тела. – 2003. – Вып. . – С. .

2. Коносевич Ю.Б. Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. –160.

3. Коносевич Ю.Б. Исследование характеристического уравнения для стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Труды института прикладной математики и механики НАНУ. – 2004. –Т. . – С. .

4. Коносевич Ю.Б. О дополнительном условии устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Труды института прикладной математики и механики НАНУ. – 2005. – Т. . – С. 108-113.

5. Коносевич Ю.Б. Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35. – С. 115-123.

6. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Асимптотическое поведение возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Механика твердого тела. – 2006. – Вып. 36. – С. 64–74.

7. Болграбская И.А., Коносевич Ю.Б. Влияние динамической несимметрии ротора на стационарные движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Труды института прикладной математики и механики. – 2006. – Т. 13. – С. 12-18.

8. Болграбская И.А., Коносевич Ю.Б. Устойчивость псевдорегулярных прецессий синхронного гироскопа в кардановом подвесе, имеющего динамически несимметричный ротор // Труды института прикладной математики и механики. – 2007. – Т. 14. – С. 30-40.

9. Konosevich Boris, Konosevich Yuliya. Investigation of the stability conditions for the stationary motions of gyro in Cardan suspension, supplied with the electric engine // 7th Conference on Dynamical Systems Theory and Applications. Proceedings. V. 1. – Lodz, December 8-11, 2003. – P. 337–344.

10. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Исследование устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Материалы международной научно-технической конференции "Математические модели и алгоритмы для имитации физических процессов". Т. . – Таганрог, 2006. – С. 278–283.

11. Коносевич Ю.Б. Об устойчивости прецессионных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе // VIII Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела" (3 – 7 сентября 2002 года). Тезисы докладов. – Донецк, 2002. – С. 19-20.

12. Коносевич Ю.Б. Исследование характеристического уравнения для стационарных движений гироскопа в кардановом подвесе с синхронным электроприводом // Классические задачи динамики твердого тела. Тезисы докладов конференции, посвященной 80-летию со дня рождения П.В. Харламова. – Донецк, 2004. – С. 39.

13. Коносевич Ю.Б. Исследование устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе вторым методом Ляпунова // IX Международная конференция "Устойчивость, управление и динамика твердого тела". Тезисы докладов. – Донецк, 2005. – С. 100.

14. Коносевич Ю.Б. Условие устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Международная конференция "Пятые Окуневские чтения". Тезисы докладов. – Санкт-Петербург, 2006. – С. 19.

15. Коносевич Б.И., Коносевич Ю.Б. Асимптотические свойства возмущенных стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Тезисы докладов Девятой международной конференции “Моделирование, идентификация, синтез систем управления”. Донецк, 2006. – С. 60–63.

16. Болграбская И.А., Коносевич Ю.Б. Влияние динамической несимметрии ротора на стационарные движения синхронного гироскопа в кардановом подвесе // Классические задачи динамики твердого тела. Тезисы докладов международной конференции, посвященной 300-летию со дня рождения Л. Эйлера. – Донецк, 2007. – С. 13.

АНОТАЦІЇ

Коносевич Ю.Б. Динамічні властивості синхронного гіроскопа в кардановому підвісі. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 – теоретична механіка. – Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2008.

У дисертації вивчається вплив початкових збурень і збурень конструктивних параметрів на стаціонарні рухи синхронного гіроскопа в кардановому підвісі, що установлений на нерухомій основі в полі сили ваги і який має вертикальну зовнішню вісь підвісу. Рівняння руху такої системи допускають перший інтеграл, що виражає збереження проекції її кінетичного моменту на зовнішню вісь підвісу. Першим методом Ляпунова здобуто (у вигляді двох нерівностей) достатню умову стійкості стаціонарних рухів. За допомогою другого методу Ляпунова доведено, що для більшості конструкцій синхронних гіроскопів необхідною і достатньою умовою стійкості стаціонарних рухів є наявність мінімуму зведеної потенціальної енергії по внутрішньому карданову куту. Установлено, що якщо виконані обидві нерівності, знайдені першим методом Ляпунова, то при малій динамічній несиметрії ротора існує режим псевдорегулярної прецесії, який є накладанням періодичних коливань на стаціонарний рух, близький до незбуреного. Такий режим є асимптотично стійким при відповідному йому значенні сталої інтеграла й аналітично залежить від малого параметра.

Ключові слова: гіроскоп у кардановому підвісі, синхронний електродвигун, зведена система, стаціонарний рух, стійкість, характеристичне рівняння, функція Ляпунова, динамічна несиметрія.

Коносевич Ю.Б. Динамические свойства синхронного гироскопа в кардановом подвесе. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 – теоретическая механика. – Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2008.

Диссертация посвящена исследованию динамики гироскопа в кардановом подвесе, установленного на неподвижном основании в поле силы тяжести и имеющего вертикальную наружную ось подвеса; ротор приводится во вращение синхронным электродвигателем; диссипативные и управляющие моменты на осях подвеса отсутствуют. Изучается влияние начальных возмущений и возмущений конструктивных параметров прибора на его стационарные движения. Чтобы учесть влияние достаточно широкого класса возмущений конструктивных параметров, в диссертации принята обобщенная модель гироскопа в кардановом подвесе. Положение системы в каждый момент времени определяют углы поворота “рамок” и ротора. Уравнения движения такой системы допускают первый интеграл, выражающий сохранение проекции ее кинетического момента на наружную ось подвеса.

Если ротор динамически симметричен, то уравнения движения имеют семейство решений , описывающих стационарные движения прибора – регулярные прецессии () и равномерные вращения ротора (). Здесь > 0 – угловая скорость вращения магнитного поля в статоре двигателя. Условием существования таких движений является равенство , где – приведенная потенциальная энергия, p0 – значение постоянной интеграла на данном движении.

С помощью первого метода Ляпунова показано, что для устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа достаточно выполнения двух неравенств. Одно из них известно для асинхронного гироскопа, а второе характерно только для синхронного. При выполнении этих неравенств найдены условия, когда характеристическое уравнение приведенной системы имеет каждый из возможных типов корней. Для обычной модели синхронного гироскопа проанализировано второе неравенство в условии устойчивости стационарных движений и в пространстве параметров построены поверхности, на которых это неравенство нарушается; показано, что если второе неравенство нарушается, то первое выполняется. С помощью второго метода Ляпунова установлено, что достаточным и для большинства конструкций необходимым критерием устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа является наличие минимума при = 0. Показано также, что при исходное стационарное движение принадлежит семейству стационарных движений, асимптотически устойчивых для соответствующих приведенных систем, и найдена оценка области притяжения этих движений.

Изучено влияние малой динамической несимметрии ротора на стационарные движения в случае, когда выполнено условие их устойчивости, полученное первым методом Ляпунова. Динамическая несимметрия ротора характеризуется малым параметром . Показано, что при малых и малых возмущениях постоянной интеграла существует режим псевдорегулярной прецессии, являющийся наложением периодических колебаний на стационарное движение, близкое к невозмущенному. Указанный режим аналитически зависит от и является асимптотически устойчивым при соответствующем ему значении постоянной интеграла.

Ключевые слова: гироскоп в кардановом подвесе, синхронный электродвигатель, приведенная система, стационарное движение, устойчивость, характеристическое уравнение, функция Ляпунова, динамическая несимметрия.

Konosevich Yu.B. Dynamic properties of the synchronous gyroscope suspended by gimbals. – Manuscript.

The thesis for obtaining a candidate degree (physical and mathematical sciences) by the speciality 01.02.01 – theoretical mechanics. – Institute of Applied Mathematics and Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Donetsk, 2008.

The subject of the thesis is the gimbals suspended gyroscope, stated on the immovable foundation in the field of gravity and supplied with the electric engine of synchronous type. If the external axis of suspension is vertical and the rotor is dynamically symmetric, then the device equations of motion have a family of stationary solutions, describing the steady motions (regular precessions or permanent rotations of the rotor).