НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Куд'явіна Юлія Володимирівна

УДК 517.9

КРАЙОВА ЗАДАЧА РІМАНА І

СИНГУЛЯРНІ ІНТЕГРАЛЬНІ

РІВНЯННЯ

З КУСКОВО-НЕПЕРЕРВНИМИ

КОЕФІЦІЄНТАМИ

НА СПРЯМЛЮВАНИХ КРИВИХ

01.01.01 ? математичний аналіз

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ ? 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

ПЛАКСА Сергій Анатолійович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу комплексного аналізу і

теорії потенціалу

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

КОНДРАТЮК Андрій Андрійович,

Львівський національний університет імені Івана Франка,

м. Львів, завідувач кафедри математичного

і функціонального аналізу;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

ГЕРУС Олег Федорович

Житомирський державний університет імені Івана Франка,

м. Житомир, завідувач кафедри математичного аналізу.

Захист відбудеться “10” червня 2008 р. о 15 год. на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 в Інституті математики НАН

України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики

НАН України.

Автореферат розісланий “7” травня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради А.С. РОМАНЮК

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Багато задач механіки і математичної фізики редукуються до сингулярних інтегральних рівнянь та до граничних задач теорії функцій комплексної змінної. Одним із типів сингулярних інтегральних рівнянь є сингулярні інтегральні рівняння з ядром Коші. З ними тісно пов'язана задача лінійного спряження, яку зазвичай називають крайовою задачею Рімана.

Крайова задача Рімана полягає у знаходженні аналітичної в комплексній площині з розрізом уздовж деякої орієнтовної кривої функції , граничні значення якої в точках кривої зліва і справа від задовольняють крайову умову

(1)

де , ? задані на функції. При маємо однорідну крайову задачу Рімана, а при ? неоднорідну крайову задачу Рімана.

Дослідження з теорії крайової задачі Рімана і сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші відображені в роботах і монографіях багатьох авторів, зокрема, Ф.Д. Гахова, М.І. Мусхелішвілі, І.Н. Векуа, С.Г. Міхліна, Б.В. Хведелідзе, М.В. Говорова, І.Ц. Гохберга і Н.Я. Крупника, І.І. Данилюка, Г.С. Литвинчука, Л.І. Чибрикової, П.Г. Юрова, А.А. Бабаєва і В.В. Салаєва, Б.А. Каца, Р.К. Сейфуллаєва, І.Б. Симоненка, В.М. Кокілашвілі і В.А. Пааташвілі, В.Б. Дибіна, В.Н. Монахова і Є.В. Семенко, В.Й. Островського та інших.

Незважаючи на велику кількість досліджень з теорії крайових задач для аналітичних функцій та пов'язаних з ними сингулярних інтегральних операторів, актуальною проблемою залишається вивчення впливу на розв'язність крайової задачі Рімана властивостей заданих функцій і кривої та побудова розв'язків задачі з різними особливостями у заданих функцій.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація виконана в Інституті математики НАН України в рамках наукових тем "Дослідження з комплексного аналізу, теорії потенціалу, диференціальних та топологічних властивостей відображень і множин" (номер держреєстрації 0101U000700), і "Аналітичні та геометричні проблеми комплексного аналізу" (номер держреєстрації 0106U000156).

Мета і завдання дослідження. Об'єктом дослідження є крайова задача Рімана та пов'язані з нею сингулярні інтегральні рівняння з ядром Коші.

Предметом дослідження є вивчення впливу на розв'язність крайової задачі Рімана властивостей кривої та особливостей заданих функцій.

Метою дисертаційної роботи є розширення класів допустимих спрямлюваних кривих та заданих на них кусково-неперервних функцій в теорії крайової задачі Рімана і сингулярних інтегральних рівнянь з ядром Коші.

Для досягнення цієї мети в роботі розв'язуються такі задачі:

- здійснюється дослідження граничних властивостей інтегралу типу Коші з кусково-неперервною щільністю;

- здійснюється дослідження асимптотичної поведінки інтегралу типу Коші з кусково-неперервною щільністю в околі особливих точок щільності;

- здійснюється дослідження впливу властивостей заданих функцій та кривої граничного спряження на розв'язок крайової задачі Рімана;

- встановлюється стійкість індекса і властивості нетеровості сингулярного інтегрального оператора з кусково-неперервними коефіцієнтами, який відповідає крайовій задачі Рімана, відносно певного класу збурень.

Зазначимо, що важливість розв'язання цих задач мотивується також їх застосуваннями в математичній фізиці, механіці та інших прикладних дисциплінах.

В дослідженні використовуються методи теорії крайових задач аналітичних функцій, сингулярних інтегральних рівнянь і нетерових операторів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист:

1. Розв'язано в явному вигляді кусково-неперервну крайову задачу Рімана для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів замкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцій.

2. Розв'язано в явному вигляді характеристичне сингулярне інтегральне рівняння з ядром Коші для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів замкнених жорданових спрямлюваних кривих та кусково-неперервних коефіцієнтів.

3. Встановлено достатні умови нетеровості повного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші з кусково-неперервними коефіцієнтами на замкненій жордановій спрямлюваній кривій.

4. Розв'язано в явному вигляді крайову задачу Рімана для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів розімкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцій.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота має теоретичний характер. Одержані результати та розвинені в ній методи можуть бути використані в теорії сингулярних інтегральних рівнянь і операторів, в теорії крайових задач для аналітичних функцій та їх застосуваннях в математичній фізиці, теорії пружності, механіці та інших прикладних дисциплінах.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку та загального плану досліджень, формулювання робочих гіпотез належать науковому керівнику ? С.А. Плаксі. Доведення всіх основних результатів дисертації, які виносяться на захист, проведено особисто автором.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися в Інституті математики НАН України на наукових семінарах відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу (керівник ? доктор фіз.-мат. наук Ю.Б. Зелінський, 2005 ? 2007) і відділу теорії функцій (керівник ? доктор фіз.-мат. наук А.С. Романюк, 2008), на Львівському міському семінарі з математичного аналізу (керівники ? доктор фіз.-мат. наук, професор А.А. Кондратюк і доктор фіз.-мат. наук, професор О.Б. Скасків, 2008), у Кримській осінній математичній школі-симпозіумі "Spectral and Evolution Problems" (Севастополь, Україна, 2005), на Міжнародному семінарі "International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis" (Київ, Україна, 2005), на Міжнародній конференції з комплексного аналізу і теорії потенціалу "International Conference on Complex Analysis and Potential Theory Satellite to the International Congress of Mathematicians 2006" (Гебзе, Туреччина, 2006), на конгресі Міжнародного товариства з аналізу, його застосувань та обчислень ISAAC (Анкара, Туреччина, 2007), на Міжнародній конференції "International Conference on Complex Analysis and Wave Processes in Mechanics" (Житомир, Україна, 2007).

Публiкацiї. Результати дисертації опубліковано в роботах [1 ? 10], з яких три роботи [1 ? 3] надруковано у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, робота [4] ? у вигляді препринту Інституту математики НАН України та шість робіт [5 ? 10] ? в матеріалах міжнародних наукових конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертація складається зі змісту, вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, в який включено 90 найменувань. Повний обсяг дисертації 120 сторінок, з них список використаних джерел займає 11 сторінок.

Подяки. Висловлюю щиру подяку моєму науковому керівнику доктору фізико-математичних наук С.А. Плаксі за постановку задач, постійний інтерес до роботи, обговорення результатів, корисні поради і зауваження.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень, коротко викладено зміст основної частини роботи та показано наукову новизну одержаних результатів, які виносяться на захист.

В розділі 1 зроблено огляд літератури, пов'язаної з тематикою досліджень, виконаних автором, та обгрунтовано напрямки досліджень дисертаційної роботи.

В розділі 2 досліджується кусково-неперервна крайова задача Рімана і сингулярні інтегральні рівняння з кусково-неперервними коефіцієнтами на замкненій жордановій спрямлюваній кривій.

Нехай ? замкнена жорданова спрямлювана крива в комплексній площині , і ? відповідно внутрішня і зовнішня області, обмежені кривою , , ? фіксований скінченний набір попарно різних точок кривої .

Нехай клас включає в себе всі голоморфні в функції (які мають також границю у нескінченно віддаленій точці у випадку класу ), які неперервно продовжуються на і задовольняють умову

(2)

де дійсна додатня стала не залежить від , ? деяке дійсне число з інтервалу , яке залежить від функції .

Кусково-неперервна крайова задача Рімана полягає в знаходженні функцій і , які задовольняють умову граничного спряження (1) при всіх .

Для множини введемо підмножину , де , . Якщо , то множину будемо позначати через .

Всі інтеграли по кривій будемо розуміти у сенсі їх головного значення, тобто

де ? скінченна множина точок розриву функції .

В підрозділі 2.1 при розв'язанні кусково-неперервної крайової задачі Рімана припускається, що функція має вигляд , де , і використовується інтеграл типу Коші

(3)

У кожній точці визначимо дійсні числа

і, крім того, припустимо, що виконується співвідношення

(4)

де ? деяка стала. Це означає, що в кожній точці або , або , або числа і ? скінченні.

Визначимо індекс кусково-неперервної крайової задачі Рімана у такий спосіб. Якщо числа і ? скінченні для всіх , то

(5)

де

У випадку, коли серед значень є , але відсутнє , то ; а якщо для деякого , то .

Наступна теорема описує розв'язність кусково-неперервної однорідної крайової задачі Рімана на довільній замкненій жордановій спрямлюваній кривій і доводиться за схемою, яка використана в роботах Б.А. Каца.

Теорема 2.1.1. Нехай ? замкнена жорданова спрямлювана крива, функція має вигляд , де , і, крім того, виконується співвідношення (4). Тоді:

1) якщо , то однорідна крайова задача Рімана не має нетривіальних розв'язків;

2) якщо , то однорідна крайова задача Рімана має нескінченну множину лінійно незалежних розв'язків;

3) якщо , то однорідна крайова задача Рімана має лінійно незалежних розв'язків і її загальний розв'язок визначається формулою

де ? довільний поліном степеня, не вищого ніж .

Далі, в підрозділі 2.1 розглядається неоднорідна крайова задача Рімана у випадку скінченного індексу при додатковому припущенні, що при всіх скінченними є такі числа:

Будемо використовувати наступну метричну характеристику кривої , яка введена В.В. Салаєвим:

де , а означає лінійну міру Лебега на .

Для функції , яка задана на , і точки розглянемо введений С.А. Плаксою локальний центрований модуль гладкості першого порядку

який на відміну від модуля неперервності не є монотонною функцією від і тому враховує можливі коливання функції . Зауважимо, що функція неперервна в точці тоді і тільки тоді, коли при .

Позначимо через , граничні значення в точці функції (3) відповідно з областей , і , де .

Наступний результат описує розв'язність неоднорідної крайової задачі Рімана зі скінченним індексом при мінімальних припущеннях про коефіцієнт задачі.

Теорема 2.1.2. Нехай ? замкнена жорданова спрямлювана крива, яка задовольняє умову

(6)

де ; функція має вигляд , де , і для всіх числа , є скінченними; функція подається у вигляді , де , а функція ? голоморфна в , неперервна на і задовольняє умову

(7)

та для всіх виконуються оцінки

(8)

де стала не залежить від .

Тоді при неоднорідна крайова задача Рімана розв'язна, а при для її розв'язності необхідно і достатньо виконання умов:

(9)

Загальний розв'язок задачі задається формулою

(10)

де

а ? довільний поліном степеня, не вищого ніж , якщо , і , якщо .

У наступній теоремі вдається зняти умову (8) теореми 2.1.2 за рахунок додаткових умов на функцію .

Теорема 2.1.3. Нехай ? замкнена жорданова спрямлювана крива, яка задовольняє умову (6), де ; функція має вигляд , де , і задовольняє умову вигляду (7), а також мають місце оцінки:

в яких стала не залежить від ; крім того, для всіх числа є скінченними; функція подається у вигляді , де , а функція ? голоморфна в , неперервна на і задовольняє нерівність

,

де стала не залежить від .

Тоді при неоднорідна крайова задача Рімана розв'язна, а при для її розв'язності необхідно і достатньо виконання умов (9). Загальний розв'язок задачі задається формулою (10).

В підрозділі 2.2 теорема 2.1.3 застосовується до розв'язання характеристичного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші

(11)

у випадку, коли функції , , допускають розриви як першого, так і другого роду в точках набору і виконуються співвідношення

, (12)

при цьому сингулярний інтеграл Коші визначається рівністю

.

Розв'язок рівняння (11) шукається в класі , де ? множина всіх функцій , які обертаються на нуль у нескінченно віддаленій точці.

Припускаємо, що виконуються співвідношення

, (13)

де розуміється як довільна неперервна на вітка цієї функції. Тоді індекс рівняння (11) визначається формулою (5).

Теорема 2.2.1. Нехай ? замкнена жорданова спрямлювана крива, яка задовольняє умову (6), де ; функція подається у вигляді , де , , при цьому виконується нерівність

в якій стала не залежить від ; функції і задовольняють умову вигляду (7), а також оцінки вигляду

де , і крім того, виконуються співвідношення (12), (13).

Тоді при характеристичне рівняння (11) розв'язне в класі , а при для його розв'язності необхідно і достатньо виконання умов:

де . Загальний розв'язок рівняння (11) в класі має вигляд

де , а ? довільний поліном степеня, не вищого ніж при і при .

Відзначимо, що С.А. Плаксою описано розв'язність рівняння (11) для більш широких класів кривих і функцій , але при додатковому припущенні про те, що його коефіцієнти , неперервні на і задовольняють умову Діні.

Далі в підрозділі 2.2 досліджується повне сингулярне інтегральне рівняння з ядром Коші

де коефіцієнти , неперервні на і в точках набору мають розриви першого роду, при цьому задовольняють співвідношення (12) і додаткові умови, які задаються в термінах локального центрованого модуля гладкості першого порядку:

Умови на функцію задаються в термінах інтегрального з вагою центрованого модуля неперервності функції по першій змінній:

Будемо вважати, що точки набору занумеровані в тому порядку, в якому вони зустрічаються при обході кривої в додатному напрямку, починаючи від деякої з них, позначеної через .

Виділимо неперервну вітку функції , голоморфної поза кривою, яку проведено від точки спочатку вздовж в додатньому напрямку до точки , а потім ? в до нескінченності, при цьому . Нехай , де .

Нехай ? клас функцій , які задані на і задовольняють співвідношення

(14)

а також нерівності

в яких стала не залежить від . Функції класу неперервні на , а в точках набору , взагалі кажучи, не мають ні скінченних, ні нескінченних односторонніх границь, тобто допускають розриви типу осциляції.

Після введення норми

клас набуває структуру банахового простору.

Областю визначення оператора вважаємо множину , яка є неповним нормованим простором з нормою .

В теорії лінійних операторів нетеровим називають оператор , образ якого замкнений, а ядро і коядро ? скінченновимірні. При цьому різниця між розмірностями ядра і коядра називається індексом оператора (позначимо ).

В теоремі 2.2.2 наведено умови, достатні для нетеровості оператора . При цьому припускається, що крива задовольняє умову (6) при і додаткову умову

де ? дійсна стала і ? неперервна поза в околі точки вітка функції ; функції , мають розриви першого роду в точках набору , задовольняють умови вигляду (14) і

де стала не залежить від , а також виконується співвідношення (12); функція задовольняє умови

і крім того, існує сумовна на з вагою функція така, що виконується співвідношення

При зазначених умовах в теоремі 2.2.2 доведено, що оператор є нетеровим і .

Теорема 2.2.2 є аналогом результату, отриманого С.А. Плаксою у випадку, коли коефіцієнти , неперервні на і задовольняють умову Діні.

В розділі 3 досліджується крайова задача Рімана на розімкненій жордановій спрямлюваній кривій.

Нехай надалі ? розімкнена жорданова спрямлювана крива в комплексній площині з початком у точці і кінцем у точці . Позначимо .

Нехай множина складається з усіх голоморфних в функцій , які мають границю у нескінченно віддаленій точці і граничні значення і при всіх відповідно зліва і справа від , а також для всіх допускають оцінку вигляду (2), в якій .

Розглянемо крайову задачу Рімана про знаходження функції , граничні значення і якої задовольняють умову граничного спряження (1) при всіх .

В підрозділі 3.1 міститься теорема 3.1.1, яка описує розв'язність однорідної крайової задачі Рімана на довільній розімкненій жордановій спрямлюваній кривій. Для доведення цієї теореми, яка є аналогічною теоремі 2.1.1, крайову задачу Рімана на розімкненій кривій відомим способом можемо звести до відповідної крайової задачі на замкненій кривій. Для втілення такої схеми потрібно скористатись лемою.

Лема 3.1.1. Нехай ? розімкнена жорданова спрямлювана крива. Тоді існує розімкнена жорданова спрямлювана крива така, що є замкненою жордановою спрямлюваною кривою.

В підрозділі 3.2 доведено ряд теорем про розв'язність неоднорідної крайової задачі Рімана зі скінченним індексом на розімкненій жордановій спрямлюваній кривій.

При для цілого невід'ємного числа і точки позначимо через відстань від до множини у випадку, якщо ця множина не порожня, а в іншому випадку приймемо за означенням . Позначимо тепер .

Теорема 3.2.1. Нехай ? розімкнена жорданова спрямлювана крива, яка задовольняє умову (6) при і додаткову умову

(15)

де ? ціле невід'ємне число, ? додатня стала, яка не залежить від . Нехай функція має вигляд , при цьому , і для всіх числа , є скінченними; крім того, при всіх мають місце оцінки:

(16)

(17)

в яких додатні сталі , , не залежать від . Крім того, нехай функція задовольняє умову вигляду (7) і для неї при всіх маємо оцінки:

(18)

(19)

де і стала не залежить від .

Тоді при неоднорідна крайова задача Рімана розв'язна, а при для її розв'язності необхідно і достатньо виконання умов:

(20)

де . Загальний розв'язок задачі задається формулою

(21)

де

а ? довільний поліном степеня, не вищого ніж , якщо , і , якщо .

Відзначимо, що у відповідних результатах Р.К. Сейфуллаєва, К. Кутлу, Д. Пени і Х.Б. Рейєса про розв'язність неоднорідної крайової задачі Рімана на розімкненій кривій виконуються всі умови теореми 3.2.1. Зокрема, крива задовольняє умову (6) при ; в цьому випадку умова (15) виконується автоматично. Нерівності (16) виконуються, принаймні при , де ? як завгодно мале додатне число, оцінка (17) має місце при , а в роботах Р.К. Сейфуллаєва і К. Кутлу, крім того, виконуються рівності .

У наступній теоремі послаблюється умова (15) на криву при одночасному підсиленні умови (6).

Теорема 3.2.2. Нехай ? розімкнена жорданова спрямлювана крива, яка задовольняє умови

(22)

де ? ціле невід'ємне число, ? незалежна від додатня стала. Нехай функція має вигляд , при цьому , і для всіх числа , є скінченними; крім того, при всіх мають місце оцінки (16), (17); функція задовольняє умову вигляду (7), а при всіх ? оцінки (18), (19), де . Тоді при неоднорідна крайова задача Рімана розв'язна, а при для її розв'язності необхідно і достатньо виконання умов (20). Загальний розв'язок задачі задається формулою (21).

Зауважимо, що у випадку, коли в теоремі 3.2.1 (або в теоремі 3.2.2) умова (15) (або відповідно умова (22)) виконується при , то умови (16), (17) на коефіцієнт крайової задачі Рімана можемо зняти. Це встановлено в теоремах 3.2.3 і 3.2.5.

Доведено також певні аналоги теореми 2.1.3 стосовно крайової задачі Рімана на розімкненій кривій (теореми 3.2.4 і 3.2.6), в яких послаблюються обмеження на функцію за рахунок додаткових припущень про функцію .

ВИСНОВКИ

В дисертації досліджуються крайова задача Рімана на жорданових спрямлюваних кривих та пов'язані з нею сингулярні інтегральні рівняння з ядром Коші.

Основні результати дисертації такі:

1. Розв'язано в явному вигляді кусково-неперервну крайову задачу Рімана для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів замкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцій.

2. Розв'язано в явному вигляді характеристичне сингулярне інетгральне рівняння з ядром Коші для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів замкнених жорданових спрямлюваних кривих та кусково-неперервних коефіцієнтів.

3. Встановлено достатні умови нетеровості повного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші з кусково-неперервними коефіцієнтами на замкненій жордановій спрямлюваній кривій.

4. Розв'язано в явному вигляді крайову задачу Рімана для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів розімкнених жорданових спрямлюваних кривих та заданих на них функцій.

Дисертаційна робота має теоретичний характер. Одержані результати та розвинені в ній методи можуть бути використані в теорії сингулярних інтегральних рівнянь і операторів, в теорії крайових задач для аналітичних функцій та їх застосуваннях в математичній фізиці, теорії пружності, механіці та інших прикладних дисциплінах.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Vasil'eva Ju.V., Plaksa S.A. Singular integral equations with piecewise - continuous coefficients on a rectifiable curve// Зб. праць Ін-ту математики НАН України. ? Київ ? 2005.? 2, №.3.? С. 59 ? 66.

2. Васильева Ю.В., Плакса С.А. Кусочно-непрерывная краевая задача Римана на спрямляемой кривой // Укр. мат. журн.? 2006.? 58, № 5. ? C. 616 ? 628.

3. Васильева Ю.В. Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. ? 2006. ? 3, №.4. ? C. 309 ? 321.

4. Васильева Ю.В., Плакса С.А. Краевая задача Римана на разомкнутой жордановой спрямляемой кривой // Краевые задачи для потенциальных полей.? Киев, 2007.?С. 1?31. ? (Препр./ НАН Украины. Ин-т математики; 2007.2).

5. Васильева Ю.В., Плакса С.А. Кусочно-непрерывная краевая задача Римана на замкнутой спрямляемой кривой // Spectral and Evolution Problems, Sevastopol, Laspi, September 18 ? 29, 2005: Proceedings of the Sixteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium, 2005. ? P. 123 ? 127.

6. Vasil'eva Yu.V. Piecewise-continuous Riemann boundary value problem on a rectifiable curve // International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis, Kiev, September 25?30, 2005: Abstr.? Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005.? P. 41.

7. Vasil'eva Yu.V. Riemann boundary value problem on an open Jordan rectifiable curve // International Conference on Complex Analysis and Potential Theory Satellite to the International Congress of Mathematicians 2006, Gebze, Turkey, September 8 ? 14, 2006: Abstr. ? Gebze: Gebze Institute of Technology, 2006. ? P. 30 ? 31.

8. Vasil'eva Yu.V. Piecewise Continuous Riemann Boundary Value Problem on a Closed Jordan Rectifiable Curve //Complex Analysis and Potential Theory, Gebze Institute of Technology, Turkey, September 8 ? 14, 2006: Proceedings of the Conference Satellite to ICM 2006. ? P. 249 ? 255.

9. Vasilieva Ju.V. Riemann boundary value problem on an open rectifiable curve// 6-th Intern. ISAAC Congress, Ankara, August 13 ? 18, 2007: Abstr. ? Middle East Technical University, Ankara, Turkey, 2007. ? P. 26.

10. Vasil'eva Yu.V. Riemann boundary value problem on an open rectifiable Jordan curve // Bogolubov Readings 2007 Dedicated to Yu.A. Mitropolskii on the Occasion of His 90-th Birthday, Zhitomir ? Kiev, 19 August ? 2 September 2007: Abstr.? Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007.? P. 55.

АНОТАЦІЇ

Куд'явіна Ю.В. Крайова задача Рімана і сингулярні інтегральні рівняння з кусково-неперервними коефіцієнтами на спрямлюваних кривих. ? Рукопис. ? Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зa спеціальнiстю 01.01.01 ? математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2008.

В дисертації досліджуються кусково-неперервна крайова задача Рімана на замкненій і розімкненій жорданових спрямлюваних кривих та пов'язані з нею сингулярні інтегральні рівняння з кусково-неперервними коефіцієнтами.

Розв'язано в явному вигляді кусково-неперервну крайову задачу Рімана для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів жорданових (замкнених або розімкнених) спрямлюваних кривих та заданих на них функцій.

Розв'язано в явному вигляді характеристичне сингулярне інтегральне рівняння з ядром Коші для розширених в порівнянні з попередніми результатами класів замкнених жорданових спрямлюваних кривих та кусково-неперервних коефіцієнтів.

Встановлено достатні умови нетеровості повного сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші з кусково-неперервними коефіцієнтами на замкненій жордановій спрямлюваній кривій.

Ключові слова: голоморфна функція, крайова задача Рімана, сингулярне інтегральне рівняння з ядром Коші, інтеграл типу Коші, нетерів оператор, кусково-неперервні коефіцієнти, жорданова спрямлювана крива.

Кудьявина Ю. В. Краевая задача Римана и сингулярные интегральные уравнения с кусочно-непрерывными коэффициентами на спрямляемых кривых. ? Рукопись.? Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 ? математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2008.

В диссертации исследуется кусочно-непрерывная краевая задача Римана о нахождении голоморфной в комплексной плоскости с разрезом вдоль ориентированной спрямляемой кривой функции , граничные значения которой слева и справа от удовлетворяют условию граничного сопряжения

где , ? заданные на функции, . В окрестности точек набора функция должна удовлетворять оценке

где положительная постоянная не зависит от , а .

Предметом исследования является изучение влияния на разрешимость краевой задачи Римана свойств кривой и особенностей заданных функций.

Целью работы является расширение классов допустимых спрямляемых кривых и заданных на них кусочно-непрерывных функций в теории краевой задачи Римана и связанного с ней сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши:

в случае, когда функции , , допускают разрывы как первого, так и второго рода в точках набора и выполняются соотношения

при этом сингулярный интеграл Коши определяется равенством

Для достижения этой цели в работе исследованы граничные свойства интеграла типа Коши с кусочно-непрерывной плотностью, понимаемого в смысле его главного значения:

а также исследовано его асимптотическое поведение в окрестности особых точек плотности , что позволило изучить влияние свойств заданных функций и кривой граничного сопряжения на разрешимость краевой задачи Римана. В исследовании использованы методы теории краевых задач аналитических функций, сингулярных интегральных уравнений и нетеровых операторов.

В диссертации описана разрешимость кусочно-непрерывной однородной краевой задачи Римана на произвольной жордановой (замкнутой или разомкнутой) спрямляемой кривой при минимальных предположениях о коэффициенте задачи.

Доказан ряд теорем, в которых установлены достаточные условия разрешимости неоднородной кусочно-непрерывной краевой задачи Римана для расширенных в сравнении с известными ранее результатами классов замкнутых (или разомкнутых) жордановых спрямляемых кривих и заданных на них функций. Решение задачи в случае конечного индекса получено в явном виде.

Решено в явном виде характеристическое (при ) сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши для расширенных в сравнении с известными ранее результатами классов замкнутых жордановых спрямляемых кривых в случае, когда его коэффициенты , допускают разрывы первого и второго рода в точках набора .

В случае, когда коэффициенты полного сингулярного интегрального уравнения имеют разрывы первого рода в точках набора , установлены достаточные условия нетеровости полного сингулярного интегрального уравнения с ядром Коши на замкнутой жордановой спрямляемой кривой.

Ключевые слова: голоморфная функция, краевая задача Римана, сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши, интеграл типа Коши, нетеров оператор, кусочно-непрерывные коэффициенты, жорданова спрямляемая кривая.

Kudjavina Yu.V. Riemann boundary value problem and singular integral equations with piecewise-continuous coefficients on rectifiable curves. ? Manuscript.? The thesis is presented for the scientific degree of the Candidate of Physics and Mathematics by Speciality 01.01.01 ? Mathematical Analysis. ? Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.

In the thesis there are investigated the piecewise-continuous Riemann boundary value problem on closed and on open Jordan rectifiable curves and connected with this problem singular integral equations with piecewise-continuous coefficients.

The piecewise-continuous Riemann boundary value problem is solved in an explicit form for expanded in comparison with the previous results classes of Jordan (closed or open) rectifiable curves and given functions on these curves.

The characteristic singular integral equation with the Cauchy kernel is solved in an explicit form for expanded in comparison with the previous results classes of closed Jordan rectifiable curves and piecewise-continuous coefficients.

Sufficient conditions for Noetherian properties of singular integral equation with the Cauchy kernel with piecewise-continuous coefficients on a closed Jordan rectifiable curve are established.

Key words: holomorphic function, Riemann boundary value problem, singular integral equation with the Cauchy kernel, Cauchy type integral, Noetherian operator, piecewise- continuous coefficients, Jordan rectifiable curve.

Підписано до друку 25.04.2008. Формат 6084/16. Папір офс. Офс. друк.

Фіз. друк. арк. 1,5. Умов. друк. арк. 1,4.

Тираж 100 пр. Зам. №81. Безкоштовно.

Інститут математики НАН України,

01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.