НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ НАУКОВИЙ ЦЕНТР

«ХАРКІВСЬКИЙ ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

Любченко Марія Вікторівна

УДК 539.124.4, 537.86:539.12

ПОЛЯРИЗАЦІЙНІ ТА ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ ВЛАСТИВОСТІ РЕЛЯТИВІСТСЬКИХ ЧАСТИНОК ЗІ СПІНОМ

01.04.02 – теоретична фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В.Н. Каразіна, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник Степановський Юрій Петрович,

Інститут теоретичної фізики ім. О.І. Ахієзера

Національного наукового центру «Харківський фізико-

технічний інститут» НАН України, провідний науковий

співробітник відділу теорії конденсованих середовищ і

ядерної матерії

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник Меренков Микола Петрович, Інститут

теоретичної фізики ім. О.І. Ахієзера Національного

наукового центру «Харківський фізико-технічний

інститут» НАН України, провідний науковий

співробітник відділу теоретико-групових властивостей

елементарних частинок, теорії ядра та нелінійної

динаміки

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий

співробітник Ільєнко Костянтин Володимирович,

Інститут радіофізики та електроніки ім. О.Я. Усикова

НАН України, старший науковий співробітник за

спеціальністю „теоретична фізика” відділу вакуумної

електроніки

Захист відбудеться « 9 » липня 2008 р. о 15-00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.845.02 у Національному науковому центрі «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України за адресою: 61108, м. Харків, вул. Академічна, 1.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України за адресою:

61108, м. Харків, вул. Академічна, 1.

Автореферат розісланий « 3 » червня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Підпис Кірдін А.І.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми дисертаційного дослідження. Частинки з високими спінами описуються релятивістськи-інваріантними рівняннями. Залежно від обраного підходу, вони суттєво відрізняються за формою, але для вільної частинки всі еквівалентні між собою. Однак деякі формалізми не допускають введення взаємодії, навіть електромагнітної, через що використання їх для дослідження руху частинки в полях стає неприпустимим. Крім того, недостатньо усвідомленим залишається питання про введення в рівняння для частинок з високим спіном аномального магнітного моменту: існує декілька варіантів відповідних доданків, фізичний зміст яких також досі не висвітлений. Це призводить до того, що різні автори при вирішенні задач про частинку з аномальним магнітним моментом виходять з різних рівнянь і одержують результати, які не співпадають. Отже, існує необхідність подальшого розвитку теорії частинок з високими спінами, який має полягати, по-перше, в систематизації відомих формалізмів та встановленні зв’язку між ними, по-друге, в корегуванні порушених введенням найпростішої, електромагнітної взаємодії рівнянь, і по-третє, в дослідженні питання про різні способи введення аномального магнітного моменту з метою знайти найбільш адекватний.

Останнім часом з’являється все більше експериментальних даних про тонкіші ефекти у випромінюванні Вавілова-Черенкова, ніж отримані в теорії Тамма-Франка. Це пов’язано, перш за все, із збільшенням потужності прискорювачів, що тепер дозволяють проводити досліди з частинками надвисоких енергій, не тільки електронами, а також ядрами, іонами. Тому існує нагальна потреба у більш точному вирішенні задачі однофотонного процесу випромінювання електроном та у побудові теорії випромінювання частинкою з довільним спіном. Крім того, потребують теоретичного дослідження поляризаційні явища у випромінюванні Вавілова-Черенкова, бо це питання досі послідовно не розглядалося. Результати, отримувані з теорії релятивістськи-інваріантних рівнянь для частинок зі спіном, дозволяють вирішити ці задачі.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота “Поляризаційні та електромагнітні властивості релятивістських частинок зі спіном” виконана Любченко М. В. протягом навчання в аспірантурі у межах науково-дослідної роботи кафедри теоретичної фізики ім. академіка І. М. Ліфшиця Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна „Квантові кінетичні і термодинамічні властивості низьковимірних провідників”, номер держреєстрації № 0106U003116.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка формалізму для опису частинки зі спіном 1 в електромагнітному полі та побудування теорії однофотонного випромінювання Вавілова-Черенкова частинкою зі спіном з урахуванням релятивістських і квантових поправок, а також поляризаційних ефектів.

Досягнення мети у дисертації здійснювалося через низку наступних дослідницьких завдань:

- виявити зв’язок між різними формалізмами для опису частинки зі спіном 1, скорегувати систему рівнянь Баргмана-Вігнера для частинки зі спіном 1, щоб вона стала придатною до опису частинки в електромагнітному полі; розглянути різні способи введення аномального магнітного моменту у рівняння для частинки зі спіном 1;

- зробити нерелятивістські і квазікласичні наближення для частинки зі спіном 1, виявити особливості поведінки такої частинки в електромагнітному полі;

- обчислити ймовірність випромінювання фотону в однофотонному процесі випромінювання Вавілова-Черенкова з урахуванням квантових і релятивістських поправок, а також поляризацій частинок, що беруть участь у процесі; обчислити параметри Стокса для випромінюваного фотону і знайти зв’язок між поляризаціями початкового і кінцевого електронів;

- побудувати теорію випромінювання Вавілова-Черенкова частинкою з довільним спіном.

Об’єкт дослідження – частинка зі спіном 1 та аномальним магнітним моментом в електромагнітному полі і процес випромінювання Вавілова-Черенкова.

Предмет дослідження – поведінка частинки зі спіном 1 в електромагнітному полі, поляризаційні ефекти у випромінюванні Вавілова-Черенкова, випромінювання Вавілова-Черенкова частинкою з довільним спіном.

Методи дослідження базуються на релятивістськи-інваріантному рівнянні Кеммера-Даффіна для частинки зі спіном 1, яке допускає введення електромагнітної взаємодії мінімальним чином.

Для дослідження поляризаційних ефектів у процесі випромінювання Вавілова-Черенкова застосований шестивимірний опис частинки зі спіном Ѕ.

Теорія випромінювання Вавілова-Черенкова частинкою з довільним спіном була розвинена на основі релятивістського виразу для електромагнітного струму через „фізичні” форм-фактори, з використанням поліномів Чебишева і формалізму Баргмана-Вігнера.

Наукова новизна одержаних результатів розкривається в наступних положеннях:

1. Вперше обчислені додатки до рівнянь Баргмана-Вігнера для частинки зі спіном 1, що виправляють несумісність цих рівнянь, до якої призводить введення у них електромагнітної взаємодії.

2. Вперше проаналізовано питання про введення аномального магнітного моменту у рівняння Прока, в яких можна увести різні аномальні магнітні моменти для векторної і тензорної частини хвильової функції.

3. Для частинки зі спіном 1 в електромагнітному полі отримано друге нерелятивістське наближення і виявлено суттєву відмінність від випадку спіну Ѕ: відсутність спін-орбітальної взаємодії за умови відсутності аномального магнітного моменту. Цей результат відрізняється від отримуваних раніше, наводиться пояснення цієї розбіжності.

4. У квазікласичному наближенні, побудованому з уведенням аномального магнітного моменту, розв’язано дисперсійне рівняння для енергії. Показано, що у випадку проекції спіну ±1 на напрямок магнітного поля у системі спокою частинки розв’язок співпадає з розв’язком для випадку спіну Ѕ. Знайдено, що для проекції спіну 0 теоретично можливе порушення причиновості.

5. Вперше обчислено ймовірність випромінювання фотону в однофотонному процесі випромінювання Вавілова-Черенкова з урахуванням релятивістських і квантових поправок для довільних поляризацій усіх частинок.

6. Вперше розглянуто всі можливі кореляції між поляризацією початкового і поляризаціями кінцевого електрона і випроміненого фотона в однофотонному ефекті Вавілова-Черенкова.

7. Вперше побудовано теорію випромінювання Вавілова-Черенкова частинкою з довільним спіном.

Практичне значення одержаних результатів. Узгодження формалізмів для опису частинки зі спіном 1 необхідне для систематизації знань у цій області та встановлення критеріїв, з яких саме рівнянь краще виходити при вирішенні тієї чи іншої задачі.

Несумісність релятивістськи-інваріантних хвильових рівнянь при введенні електромагнітної взаємодії обумовлена тим, що їх кількість стає більшою за кількість невідомих. Корегування таких систем за допомогою певних доданків є необхідним досвідом для пошуку коректного способу введення інших видів калібрувальних взаємодій у рівняння для частинок зі спіном.

Проведені нерелятивістські наближення, по-перше, виявили суттєву різницю між поведінкою частинки зі спіном 1 і Ѕ. По-друге, вони знову піднімають питання про гіромагнітне співвідношення g для частинок зі спіном 1. Якщо вважати, що g=1, то спін-орбітальна взаємодія стає наслідком наявності тільки аномального магнітного моменту, і жодним чином не пов’язана з „нормальною” частиною магнітного моменту.

Аномальна поведінка частинки зі спіном 1 в сильних електромагнітних полях (конічна рефракція, надсвітові швидкості) цікава з точки зору загальнотеоретичних питань як приклад „ненормальних” рішень, які можуть мати релятивістськи-інваріантні рівняння.

Щодо випромінювання Вавілова-Черенкова, то в цій області постійно збільшується точність експериментів, тому більш точне рішення задачі має не тільки суто теоретичне значення. Результати були застосовані для пояснення експериментальних даних, отриманих при дослідженні тонкої структури випромінювання Вавілова-Черенкова.

Особистий внесок здобувача полягає у виконанні більшої частини теоретичних розрахунків. Вона брала участь у постановці задач, обговоренні результатів та в написанні статей разом з науковим керівником дисертаційної роботи та в [2, 4, 5] – із співавтором досліджень.

Зокрема, автору належить:

· В роботі [1] скорегування системи рівнянь Баргмана-Вігнера для частинки зі спіном 1, щоб вона стала придатною до опису частинки в електромагнітному полі; провести аналіз поведінки частинки зі спіном 1 в електромагнітному полі та виявити суттєві відмінності від випадку спіну Ѕ, а також пояснити їх фізичний сенс;

· В [2] – обчислення матричного елементу однофотонного процесу випромінювання Вавілова-Черенкова для довільних поляризацій усіх частинок;

· B [3] – отримання формул, що встановлюють зв’язок між поляризаціями початкової і кінцевої частинки;

· В [4] автором обчислені параметри Стокса для випромінюваного фотона та знайдено зв’язок між поляризаціями початкового і кінцевого електронів;

· В [5] – побудування теорії випромінювання Вавілова-Черенкова частинкою з довільним спіном;

· В [6] – аналіз питання про введення аномального магнітного моменту у рівняння Прока; дослідження аномалій, які випливають з релятивістськи-інваріантних рівнянь для частинки зі спіном 1.

Апробація результатів дисертації. Результати, одержані здобувачем, доповідалися та обговорювалися на семінарах кафедри теоретичної фізики, на засіданні Вченої Ради фізичного факультету ХНУ ім. В.Н. Каразіна, та на двох міжнародних конференціях:

- Міжнародна конференція молодих науковців «Еврика-2004», м. Львів, 19 – 21 травня 2004р.;

- Second International Conference on Quantum Electrodynamics and Statistical Physics (QEDSP-2006), м. Харків, 19 – 23 вересня 2006р.

Публікації. Результати дисертаційного дослідження викладені у 6 наукових статтях у спеціалізованих фахових наукових виданнях, затверджених ВАК України.

Структура дисертації. Мета і задачі дослідження визначили структуру роботи. Дисертація складається зі вступу, 5 розділів (що включають 22 підрозділи), двох рисунків в тексті, висновку, 3 додатків і списку використаних джерел з 135 найменувань. Повний обсяг роботи – 136 сторінок, з них 102 основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтовується вибір і актуальність теми дисертаційної роботи, визначається стан наукової розробки теми, сформульовані мета та основні завдання дослідження, методи й теоретичні основи їх вирішення, розкрита наукова новизна положень, які виносяться на захист, визначено теоретичне і практичне значення проведеного дослідження.

Перший розділ дисертації присвячено викладенню в історичній ретроспективі досягнень у розвитку теорії частинок зі спіном і випромінювання Вавілова-Черенкова, а також визначенню місця результатів даної роботи серед вже існуючих.

Підрозділ 1.1 окреслює основні етапи розбудови теорії релятивістських хвильових рівнянь для вільних частинок із довільним спіном. Першим рівняння Дірака для випадку довільного спіна узагальнив Е. Майорана, він же запропонував наочний опис довільного спіну за допомогою одиничних векторів, який залишився непоміченим і був потім заново відкритий Р. Пенроузом. Рівняння Е. Майорани не привернуло до себе уваги через мало цікавий спектр мас, хоча воно допускало введення електромагнітної взаємодії мінімальним чином. Ще одне узагальнення рівнянь Дірака, рівняння Баргмана-Вігнера, набагато відоміші, але вони придатні для опису тільки вільної частинки. Труднощі з уведенням електромагнітної взаємодії були проаналізовані В. Паулі і М. Фірцем. А. Прока, Р. Дж. Даффін і Н. Кеммер розглядали частинку зі спіном 1 в електромагнітному полі. Побудовані ними рівняння є найбільш використовуваними для цього випадку.

Вирішення конкретних задач для частинок з високими спінами також зустрічалося з труднощами. Відома задача І. Є. Тамма про спін 1 в кулонівському полі виявляє недосконалість теорії, бо має своїм розв’язком падіння на центр. В. Гейзенберг показав, що необмежене зростання перерізу при розсіянні світла на магнітному моменті має місце і в класичній теорії, якщо не враховувати реакцію власного поля цього моменту на його рух; при врахуванні реакції переріз при великих частотах стає постійним. Це міркування привело В. Л. Гінзбурга до поняття частинки зі змінним спіном, частинки, що може знаходитися у станах з різними спінами і масами.

Можна зробити висновок, що теорія вільних частинок з довільним спіном є розвинутою в достатній мірі. Але є необхідним систематизувати існуючу велику кількість формалізмів. Це виявляється особливо потрібним у контексті переходу до випадку взаємодіючих частинок, наприклад, для корегування формалізмів, які введення взаємодії не допускають. Взагалі, задачі про взаємодіючі із зовнішнім полем частинки з високими спінами є, в основному, розв’язаними неповністю, чи мають декілька варіантів розв’язків. Наприклад, через те, що введення аномального магнітного моменту у рівняння Прока різними авторами здійснюється по-різному, відповідно, їхні висновки не співпадають. Отже, можна констатувати необхідність продовження досліджень релятивіст-ськи-інваріантних рівнянь для взаємодіючих частинок з високими спінами.

У підрозділі 1.2 надано стислий огляд в основному теоретичних робіт, присвячених явищу випромінювання Вавілова-Черенкова (ВВЧ). Теоретично ВВЧ надсвітовим зарядом у діелектрику було передбачено ще в 1888 р. англійським фізиком Хевісайдом. В 1901 році лорд Кельвін показав, що надсвітовий заряд у вакуумі має створювати електромагнітну хвилю, аналогічну хвилям Маха в акустиці. Такого ж висновку дійшов в 1904 році Зоммерфельд. Однак до експериментального відкриття явища ВВЧ ці роботи залишалися забутими. Щодо передісторії експериментального відкриття, то зазвичай називають Малле, який насправді першим досліджував явище, але не зрозумів, що воно не є флюоресценцією.

Дуже швидко після відкриття ВВЧ Вавіловим і Черенковим з’явилася теорія Тамма-Франка, яка була класичною, однак була у дуже добрій відповідності з експериментом. Гінзбург отримав квантове узагальнення формули Тамма-Франка із законів збереження енергії та імпульсу, а також запропонував важливе поняття – „фотон у середовищі”. Квантові поправки виявились дуже малими порівняно з класичними доданками, тому дуже довго не привертали особливої уваги. Щодо обчислення випромінюваної енергії, то через складність матричного елементу Гінзбург розглянув лише нерелятивістський і ультрарелятивістський випадки.

Франком була розглянена задача про випромінювання електричних і магнітних діполей, орієнтованих паралельно швидкості руху і перпендикулярно до неї. Якщо для електричних і магнітних діполей, орієнтованих паралельно швидкості, отримані формули схожі між собою, причому таким же чином, як і для заряду, енергія випромінювання є функцією квадрата сінуса черенковського кута, то при перпендикулярній орієнтації відносно швидкості картина інша. Для електричного діполя в цьому випадку не відбувається нічого надзвичайного, а для магнітного – енергія випромінювання стає складною функцією від квадрата коефіцієнта заломлення і квадрата швидкості і не набли-

жається до нуля при . Ця аномалія призвела до обговорення суто теоретичних питань: що саме вважати „магнітним діполем” і як поводить себе цей об’єкт при перетвореннях Лоренца в середовищі?

Під словосполученням „магнітний диполь” можна розуміти як елементарний круговий струм, так і систему з двох гіпотетичних магнітних полюсів. Виявилося, що ці дві можливі реалізації не тотожні, бо по-різному взаємодіють з речовиною, для якої м 1 (саме це дозволяє довести, що магнітні моменти частинок не пов’язані з магнітними зарядами). Електричний диполь же, навпаки, за наявності середовища можна розглядати як систему з двох жорстко зв’язаних різноіменних зарядів, що рухаються паралельно, чи як одразу елементарний електричний диполь – результат від цього не зміниться.

ВВЧ може спостерігатися не тільки при русі зарядів у середовищі, але й у вузьких порожніх каналах, а також поблизу межі розділу середовищ. Можливе спостереження ВВЧ у вакуумі у сильних електромагнітних полях. Розглядалася також можливість ВВЧ у вакуумі надсвітовими джерелами, „зайчиками”, існування яких жодним чином не протирічить теорії відносності.

З часів експериментів Вавілова і Черенкова можливості експериментато-рів надзвичайно збільшилися: крім високо колімованих пучків частинок надвисоких енергій, доступних зараз, з’явилося багато нових речовин з екзотичними показниками заломлення. Тому не дивно, що весь час з’являютья нові експериментальні роботи, присвячені ВВЧ. Також виникають ідеї щодо нових застосувань ВВЧ: крім фізики високих енергій, де ефект використовуєть-ся для виявлення частинок і визначення їх енергій, ВВЧ може бути джерелом високочастотних мікрохвиль у діапазоні, важко досяжному іншими шляхами. Хвилі у межах від 300 ГГц до 30 ТГц відповідають коливальним і обертальним частотам молекул, тому передбачається застосування їх в хімії, біології, астрономії. Для отримання хвиль цих частот розглядають ВВЧ у каналах. Розширення можливостей експерименту стимулює також теоретичну роботу, спрямовану на уточнення вже існуючої теорії, пошук ефектів, які досі вважалися нехтовно малими.

У розділі 2 розглянуто підхід теорії груп і Лагранжів формалізм та рівняння для вільного поля зі спіном 1, які дають ці два методи. Пошук рівнянь для вільних частинок (полів) є передумовою написання рівнянь зі взаємодією.

Підрозділ 2.1 присвячено розгляду підходу теорії груп до побудови релятивістськи-інваріантних рівнянь для частинок зі спіном.

Для частинки зі спіном 1 встановлюється зв’язок між спінорною

і тензорною

формами рівнянь Прока, а також рівняннями Максвелла у випадку безмасової частинки зі спіном .

Підрозділ 2.2 включає порівняння підходів для опису вільної частинки зі спіном 1, створених на основі спінорного аналізу і Лагранжева формалізму. Розглядаються формалізми Кеммера-Даффіна і Баргмана-Вігнера, показана їх еквівалентність у випадку вільних полів.

У розділі 3 розглядається рівняння Кеммера-Даффіна, одним з декількох еквівалентних рівнянь для спіну 1, що допускають введення електромагнітної взаємодії мінімальним чином. Показано, як виходячи з цього рівняння, можна коректно ввести електромагнітну взаємодію до рівнянь Баргмана-Вігнера і аномальний магнітний момент до рівнянь Прока, а також отримано нерелятивістські і квазікласичні наближення.

У підрозділі 3.1 доводиться несумісність системи рівнянь Баргмана-Вігнера при включенні до них електромагнітної взаємодії мінімальним чином.

Рівняння Кеммера-Даффіна придатні для опису частинки в електромагнітному полі:

(1)

де e – заряд частинки, Ан – вектор-потенціал, і – матриці Дірака, що діють відповідно на перший та другий індекси хвильової функції Шбв, симетрич-

ного спін-тензору. Хвильова функція має десять незалежних компонент, чотири з яких складають вектор (Шм), шість – антисиметричний тензор (Шмн). Отже, можна представити Шбв у вигляді:

.

C – матриця зарядового спряження.

З рівняння (1) можна отримати додатки, що роблять систему Баргмана-Вігнера сумісною:

де – магнетон Бора, Fсн – тензор електромагнітного поля,

Друге, аналогічне рівняння отримується заміною верхніх індексів.

У підрозділі 3.2 проведено нерелятивісткьке наближення, виходячи з рівняння (1). Перше наближення є повністю аналогом рівняння Паулі для частинки зі спіном Ѕ:

,

де – хвильова функція, матриця 2х2, – імпульс частинки, – напруженість магнітного поля, – матриці Паулі.

Друге нерелятивістське наближення виявляє суттєву відмінність від випадку спіну 1/2:

Останній доданок враховує залежність інерційності від швидкості, він є і для частинки зі спіном Ѕ. Але не вистачає доданків, що визначають енергію взаємодії магнітного діполя з електричним полем (спін-орбітальна взаємодія), а також наявність у частинки розмірів. Згадані доданки є у другому наближенні для діраківської частинки.

У другому нерелятивістському наближенні для частинки зі спіном 1 та з аномальним магнітним моментом з’являються обидва доданки, але лише для „аномальної” частини магнітного моменту:

У випадку спіна 1 урахування неінерційності системи відліку, зв’язаної з частинкою, призводить до того, що “нормальний” магнітний момент щезає повністю. Дійсно, будь-яке тіло, рухаючись з прискоренням, буде обертатися з томасівською частотою

.

Для руху частинки в електромагнітному полі:

. (2)

З іншого боку, згідно з теоремою Лармора, магнітний момент, що рухається в електричному полі, повинен прецесувати з частотою

, (3)

де g – гіромагнітне відношення для даної частинки, а – магнітне поле в системі відліку, пов’язаній з цією частинкою, .

Для частинки зі спіном 1 g = 1, таким чином, (2) і (3) у сумі дають нуль і частинка прецесувати не буде, бо магнітна і томасівська прецесія компенсують одна одну.

У підрозділі 3.3 обговорюються різні способи введення аномального магнітного моменту до рівнянь Прока. Якщо частинка має заряд q, рівняння Прока мають вигляд:

Рівняння Кеммера-Даффіна

Виявляється, що у разі в?0 за наявності поля порушується симетрія між спінорною і коспінорною частинами хвильової функції. Спосіб введення аномального магнітного моменту, при якому в вважається великим, застосовується доволі часто ( вважається рівним 0). Зв’язок між коефіцієнтами, що відповідають введенню аномального магнітного моменту у рівняння Кеммера-Даффіна і Прока такий:

, .

У наступних підрозділах розглядалося дисперсійне рівняння для енергії частинки зі спіном 1 в електромагнітному полі. Розв’язки цього рівняння розпадаються на дві групи: для проекції спіна в системі спокою частинки на напрямок магнітного поля ±1 і 0. В підрозділі 3.4 була розглянута перша група розв’язків для енергії е, яка є коренями дисперсійного рівняння (тут і надалі для скорочення запису вважаємо аномальний момент м=1)

.

Показано, що для проекцій ±1, як і для спіну Ѕ, по-перше, неможливе порушення причиновості, а по-друге, у сильному електричному полі існує аномалія – конічна рефракція, тобто різка зміна траєкторії частинки, що потрапляє у поле вздовж силової лінії. За умови відсутності магнітного поля групова швидкість має вигляд

,

де . При з’являється невизначеність 0/0. Якщо вектор має нескінченно малу перпендикулярну складову ,то

,

отже, нескінченно мала складова впливає на швидкість. Таким чином, пучок частинок, що розповсюджуються в одному напрямку, розщеплюється, і частинки починають рухатися по поверхні конуса. Однак доданок буде суттєвим лише у дуже великому електричному полі.

У підрозділі 3.5 розглянута інша група розв’язків дисперсійного рівняння. Для проекції 0 спіна в системі спокою частинки на напрямок магнітного поля енергія може бути знайдена з наступного виразу:

Проаналізовано ситуації при різних значеннях інваріантів поля і показано, що за умови, коли обидва інваріанти електромагнітного поля дорівнюють нулю, з’являється можливість порушення причинності. Таким чином, маємо цікавий приклад, коли релятивістськи-інваріантне хвильове рівняння за деяких умов дозволяє надсвітові швидкості.

У розділі 4 розглянуто корисний математичний апарат – шестивимірний опис частинки зі спіном Ѕ. На його основі розраховано квадрат модуля матричного елементу однофотонного процесу, формули для параметрів Стокса фотону, залежність 4-вектора поляризації кінцевого електрону від 4-вектора початкового. Обчислений квадрат модуля матричного елементу дозволяє знайти ймовірність випромінення фотону з квантовими поправками, що вичерпно характеризує розподіл інтенсивностей за кутами і частотами, тобто дає адекватний розв’язок задачі про процес випромінювання одного фотона електроном в ізотропному немагнітному середовищі.

З’ясовано, що лінійна поляризація фотону не залежить від поляризації початкового електрону, а кругова поляризація може з’явитися лише за умови спірального початкового електрону. Виявлено новий ефект: можливість збільшення ступеню поляризації електрону в процесі ВВЧ.

У підрозділі 4.1 розглядалося шестивимірне узагальнення рівняння Дірака і опису поляризації частинки. При обчисленні ймовірностей процесів за участю поляризованих частинок зі спіном Ѕ доводиться обчислювати шпури від добутків матриць Дірака. При цьому компактні формули для біспінорів, що описують стани з визначеними 4-імпульсами і поляризаціями частинки, перетворюються на громіздкі вирзи з 4-імпульсів і поляризацій частинки. Результати, здобуті з шестивимірного опису частинок зі спіном, дозволяють скласти таблиці формул, які суттєво спрощують роботу. Для матричного елемента довільної форми

квадрат модуля можна записати у наступній компактній формі:

де

а співвідношення між поляризаціями початкового і кінцевого електрону буде таким:

,

де

У підрозділі 4.2 обговорюється, чим відрізняються формули для фотону у вакуумі і для фотону у середовищі, який насправді є вже квазічастинкою, колективним явищем поглинання і перевипромінювання. Стосовно калібровочних перетворень для 4-вектору , наявність середовища дозволяє, як і у вакуумі, вважати, що , де V – довільний 4-вектор. Показано також, що ймовірність випромінювання фотону струмом може обчислюватись майже за тією ж формулою, що й у вакуумі (з’являється лише показник заломлення у знаменнику):

У підрозділі 4.3 проведено обчислення квадрату модуля матричного елементу для однофотонного процесу ВВЧ і для випромінюваної електроном енергії на одиницю довжини і частоти отримано:

Тут q – заряд електрону, v1 – швидкість початкового електрону,

Підрозділ 4.4 присвячений докладному дослідженню способів усереднення квадрату матричного елементу за поляризаціями кінцевого чи початкового електрону, а також фотону. Також визначені шляхи щодо обчислення параметрів Стокса і 4-вектора поляризації кінцевого електрону.

У підрозділі 4.5 отримані формули для параметрів Стокса, а також зазначений їх зв’язок із квадратом модуля матричного елементу:

де

л1, л2, Е1, Е2, р1, р2 – спіральності, енергії і 4-імпульси, відповідно, початкового і кінцевого електронів, k – 4-імпульс фотону, о2, о3 – параметри Стокса, при чому визначає лінійну, а кругову поляризацію:

У підрозділі 4.6 зв’язок між поляризаціями початкового і кінцевого електронів для випадку лінійної поляризації визначено співвідношенням:

Формула для повністю еліптично поляризованого фотону набагато складніша. Доволі громіздке обчислення дає в результаті просту формулу для квадратів 4-векторів поляризації:

звідки видно, що ступінь поляризації електрону в процесі може збільшитися.

Розділ 5 присвячено розгляду процесу ВВЧ Баргман-Вігнерівською частинкою. Квантова теорія ВВЧ частинкою з довільним спіном досі не була побудована.

У підрозділі 5.1 за допомогою поліномів Чебишова було виписано матричний елемент електромагнітного струму у випадку, коли частинка описується рівняннями Баргмана-Вігнера:

де q = p2 – p1, , , , де верхній індекс вказує, на який індекс спін-тензору або спряженого спін-тензору діє матриця . і нормалізовані умовою:

.

У підрозділі 5.2 обчислено ймовірність випромінювання фотону частинкою з довільним спіном на одиницю довжини l і частоти (використано властивості поліномів Чебишева і метод обчислення квадрату матричного елементу, описаний у попередніх розділах):

,

де

,

У додатку А наводиться доказ теореми Майорани-Пенроуза про можливість представлення спін-тензора довільного рангу через симетризований добуток спінорів першого рангу.

У додатку Б надані формули, завдяки яким детермінант довільної 44 матриці може бути обчислений через шпури ступенів цієї матриці.

У додатку В надано доказ неможливості порушення причиновості у випадку спіну Ѕ.

ВИСНОВКИ

Теорія частинок з високими спінами не може вважатися завершеною через складнощі, що виникають при вирішенні задач про частинку у зовнішньому полі. Мета даної роботи полягала в послідовному дослідженні випадку взаємодії спіну 1 з електромагнітним полем як прикладу, що не тільки виявляє ці проблеми, а й указує шляхи їх розв’язку.

Релятивістськи-інваріантні рівняння для високих спінів є узагальненнями рівняння Дірака для спіну Ѕ. Недостатньо відомим залишається корисний математичний апарат: шестивимірний спосіб опису частинки зі спіном Ѕ. Завдяки йому вдається проводити, уникаючи громіздких обчислень, розрахунки процесів за участю частинок як зі спіном Ѕ, так і з довільним спіном, що і було використано для виконання другого пункту мети цієї роботи: розбудови теорії випромінювання Вавілова-Черенкова частинкою з довільним спіном, а також розгляду ефектів для випадку спіну Ѕ, не врахованих у теорії Тамма-Франка.

Основні результати проведеної роботи можна надати у вигляді наступних положень.

1. На основі методів теорії груп отримано рівняння Прока у спінорній формі. Показано перехід до звичайного, тензорного вигляду, а також досліджено зв’язок між рівняннями Кеммера-Даффіна, Прока і Баргмана-Вігнера для вільної частинки. Перші два формалізми допускають введення електромагнітної взаємодії мінімальним чином і залишаються еквівалентними. Показана несумісність системи Баргмана-Вігнера. На основі рівнянь Кеммера-Даффіна знайдено доданки, що корегують систему Баргмана-Вігнера при введенні до неї електромагнітної взаємодії. Отримані доданки, а також сам метод їх отримання виявляються корисними через те, що для вирішення конкретних задач більш зручними є різні формалізми. Знайдений спосіб корегування рівнянь можна застосовувати для пошуку коректного введення і інших видів взаємодії.

2. Для опису частинки зі спіном 1 найпоширенішим є формалізм Прока. Аномальний магнітний момент в ці рівняння часто вводиться таким чином, що, як показано в роботі, векторній і тензорній частинам хвильової функції приписуються різні властивості. Розглянуто інший спосіб введення аномального магнітного моменту, заснований на використанні інфінітезімальних операторів власної групи Лоренца, і на основі рівняння Кеммера-Даффіна (яке є еквівалентним рівнянням Прока, але простішим для нашого методу розрахунків) проведено квазікласичне наближення. Було показано, що існують розв’язки, які допускають порушення причинності. Також виявлено ще один аномальний ефект – конічну рефракцію. Конічна рефракція можлива лише у випадку дуже сильних електричних полів, і за цієї умови буде присутня також і для частинок зі спіном Ѕ. Між іншим продемонстровано, як розв’язки для частинки зі спіном 1 розщеплюються на групу, що відповідає проекції спіна в системі спокою частинки на напрямок магнітного поля ±1 і аналогічну розв’язкам для частинки зі спіном Ѕ, та на рішення для проекції 0 (саме для них можливі надсвітові швидкості).

3. Для частинки зі спіном 1 в електромагнітному полі виявлено аномалії у нерелятивістських наближеннях. Так, досі непоміченим залишався факт, що врахування томасівської прецесії повністю виключає спін-орбітальну взаємодію у другому нерелятивістському наближенні (якщо не брати до уваги аномальний магнітний момент). Також на відміну від частинки зі спіном Ѕ у другому нерелятивістському наближенні частинка зі спіном 1 є точковою.

4. На основі шести- і п’ятивимірного опису поляризованої частинки зі спіном Ѕ отримано формули, що суттєво спрощують обчислення квадрату абсолютного значення матричного елементу для довільного процесу за участю діраківської частинки, а також співвідношення між поляризаціями початкової і кінцевої частинки. Отримані формули апробовані на розсіянні електрону в кулонівському полі в першому і другому Борнівському наближенні. Далі вони були застосовані до розрахунку однофотонного процесу випромінювання Вавілова-Черенкова для електрона: було обчислено ймовірність випромінювання фотону з урахуванням квантових і релятивістських поправок (результати порівнювались з експериментальними даними щодо тонкої структури випромінювання Вавілова-Черенкова), знайдено параметри Стокса для фотону, а також залежність поляризації кінцевого електрону від початкового. З’ясовано, що лінійна поляризація фотону не залежить від поляризації початкового електрону, а кругова поляризація може з’явитися лише за умови спірального початкового електрону. Виявлено новий ефект: збільшення ступеню поляризації початкового електрону. Це можливо, коли в експерименті лічильник фотонів фіксує лише фотони з визначеною круговою поляризацією.

6. Побудовано теорію випромінювання Вавілова-Черенкова частинкою з довільним спіном на основі релятивістського виразу для електромагнітного струму через „фізичні” форм-фактори, з використанням поліномів Чебишева і формалізму Баргмана-Вігнера. Створення квантової теорії представляє інтерес з принципової точки зору, бо досі існував опис лише класичних мультиполів. Щодо прикладного значення, то слід зазначити, що побудована теорія може бути застосована до складених частинок (ядер, іонів) з високими спінами. Тому, завдяки постійному поліпшенню точності дослідів, а також постійній увазі, що приділяється явищу випромінювання Вавілова-Черенкова експериментаторами, можна чекати в недалекому майбутньому на експериментальну перевірку теорії.

СПИСОК ПРАЦЬ, ОПУБЛІКОВАНИХ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Любченко М.В., Степановський Ю.П. Деякі особливі електромагнітні властивості частинки зі спіном 1 // Вісник Львів. університету. – 2006. – Серія фізична, вип. 39. – С. 17 – 22.

2. Afanasiev G.N., Lyubchenko M.V., Stepanovsky Yu.P. Fine structure of the Vavilov-Cherenkov radiation // Pros. Roy. Soc. – 2006. – A, Vol. 462. – Р. 689 – 699.

3. M.V. Lyubchenko, Yu.P. Stepanovsky. On six-dimentional Dirac equation and some relations between polarizations of spin Ѕ particles // Problems of Atomic Science and Technology (ВАНТ). – 2007. – V.3, s. A. – Р. 47 – 50.

4. G.N. Afanasiev, M.V. Lyubchenko, Yu.P. Stepanovsky. Polarization properties of the Vavilov-Cherenkov radiation // Problems of Atomic Science and Technology (ВАНТ). – 2007. – V.3, s. C. – Р. 149 – 152.

5. G.N. Afanasiev, M.V. Lyubchenko, Yu.P. Stepanovsky. Quantum theory of the Vavilov-Cherenkov radiation by particle with arbitrary spin // Problems of Atomic Science and Technology (ВАНТ). – 2007. – V.3, s. C. – Р. 153 – 155.

6. Любченко М.В., Степановський Ю.П. Конічна рефракція частинок зі спінами Ѕ та 1 // Український фізичний журнал. – 2007. – Т. 52, № 5. – С. 489 – 492.

АНОТАЦІЯ

Любченко М.В. Поляризаційні та електромагнітні властивості частинок зі спіном. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 – теоретична фізика. – Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна. – Харків, 2007.

У роботі проведено аналіз різних підходів до розв’язання задач про взаємодію частинок зі спіном з електромагнітним полем, основна увага приділяєтья випадкам спіну 1 і Ѕ. Досліджується зв’язок між формалізмами для спіну 1, завдяки чому вдається відкорегувати рівняння Баргмана-Вігнера, а також увести належним чином аномальний магнітний момент до рівняння Прока. Проведені нерелятивістські наближення виявляють суттєву відмінність між результатами для спіну 1 і Ѕ: для спіну 1 у другому наближенні відсутня спін-орбітальна взаємодія, а також доданок, що вказує на наявність розміру у частинки. Квазікласичні наближення виявляють можливість аномалій у сильних полях: електричному – конічна рефракція частинок зі спінами Ѕ і 1 (для останньої з проекцією спіна в системі спокою частинки на напрямок магнітного поля ±1); при певному співвідношенні між інваріантами поля – порушення причиновості для частинки зі спіном 1.

Для спрощення обчислень квадратів матричних елементів проведено математичне дослідження шестивимірного опису частинки зі спіном Ѕ, завдяки чому вдалося точно розв’язати задачу про однофотонний процес випромінювання Вавілова-Черенкова. Також обчислено параметри Стокса для випромінюваного фотону і знайдено співвідношення між 4-векторами поляризації початкового і кінцевого електронів. Шляхом застосування поліномів Чебишова і форм-факторів для запису матричного елементу розв’язано задачу про випромінювання частинкою з довільним спіном, що описується рівняннями Баргмана-Вігнера.

Ключові слова: спін, релятивістські хвильові рівняння, випромінювання Вавілова-Черенкова, однофотонний процес, матричний елемент, форм-фактор.

АННОТАЦИЯ

Любченко М.В. Поляризационные и электромагнитные свойства частиц со спином. – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 – теоретическая физика. – Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина. – Харьков, 2007.

В диссертации проанализированы разные подходы к решению задач о взаимодействии частиц со спином с электромагнитным полем, причём основное внимание уделяется случаям спина 1 и Ѕ. Исследуется связь между формализмами для спина 1, благодаря чему удаётся откорректировать систему уравнений Баргмана-Вигнера, которая становится несовместной при введении электромагнитного поля минимальным образом. Исходя из уравнения Кеммера-Даффина вычислены добавки, которые позволяют использовать систему наравне с другими формализмами. Прояснён также вопрос о введении аномального магнитного момента в уравнения Прока, которые являются наиболее используемыми для описания частицы со спином 1: показано, что иногда аномальный магнитный момент вводится таким образом, что нарушается симметрия между спинорной и коспинорной частями волновой функции.

Найденые для спина 1 нерелятивистские приближения обнаруживают существенное отличие от случая спина Ѕ: во втором приближении отсутствует спин-орбитальное взаимодействие (что объясняется томасовской прецессией) и слагаемое, которое указывает на наличие размеров у частицы. Квазиклассическое приближение позволяет написать дисперсионное уравнение для энергии. В случае спина 1 решения этого уравнения разбиваются на две различные по свойствам группы: решения для проекций спина на направление магнитного поля в системе покоя частицы ±1 и 0. Однако обе группы обнаруживают возможность аномалий в сильных полях: в электрическом – это коническая рефракция, которая имеет место как для спина Ѕ, так и для спина 1, но во втором случае только для проекций спина ±1. При определённом соотношении между инвариантами электромагнитного поля, а также в случае спиральности 0 существуют решения, допускающие нарушения причинности. Для спина Ѕ доказана невозможность наличия подобных решений.

Для упрощения вычислений квадратов матричных элементов для процессов с участием частиц со спином Ѕ проведено математическое исследование шестимерного описания дираковской частицы. Благодаря этому удалось решить задачу об однофотонном процессе излучения Вавилова-Черенкова в однородной немагнитной среде с учетом квантовых и релятивистских поправок. Результаты справедливы для любой частотной дисперсии показателя преломления. Также вычислены параметры Стокса для излучаемого фотона и найдено соотношение между 4-векторами поляризации начального и конечного электронов. Линейная поляризация фотона не зависит от поляризации начального электрона, а круговая поляризация может возникнуть только в случае спирального начального электрона. Может произойти увеличение степени поляризации электрона в случае, когда в эксперименте счетчики фотонов фиксируют только фотоны с определенной круговой поляризацией.

С помощью применения полиномов Чебышева и форм-факторов для записи матричного элемента решена задача об излучении частицей с произвольным спином, описываемой уравнениями Баргмана-Вигнера.

Ключевые слова: спин, релятивистские волновые уравнения, излучение Вавилова-Черенкова, однофотонный процесс, матричный элемент, форм-фактор.

THE SUMMARY

Lyubchenko M. V. Polarization and Electromagnetic Properties of spin particles. – Manuscript.

Thesis for a candidate degree in physico-mathematical science in specialization 01.04.02 – theoretical physics. – V. N. Karazin Kharkiv National University. – Kharkiv, 2007.

The thesis represents an attempt to systematize different methods of solution of problems about spin in electromagnetic field, and the focus attention was given to spin 1 and Ѕ. We have investigated relations between