ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД

„ЗАПОРІЗЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ”

МІНІСТЕРСТВА ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЛЕОНТЬЄВА Вікторія Володимирівна

УДК 519.61 : 531.36

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПОЗИТИВНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ БАЛАНСОВОГО ТИПУ

01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Запоріжжя – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Державному вищому навчальному закладі „Запорізький національний університет” Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник доктор технічних наук,

професор,

Грищак Віктор Захарович,

Державний вищий навчальний заклад „Запорізький національний університет” Міністерства освіти і науки України, проректор з наукової роботи, завідувач кафедрою прикладної математики і механіки, заслужений діяч науки і техніки України.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор,

Новицький Віктор Володимирович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділом аналітичної механіки;

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник,

Донець Георгій Панасович,

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України,

завідувач відділом економічної кібернетики.

Захист відбудеться “ 03 ” липня 2008 р. о 1430 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К17.051.06 при Державному вищому навчальному закладі „Запорізький національний університет” Міністерства освіти і науки України за адресою: 69600, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Державного вищого навчального закладу „Запорізький національний університет” Міністерства освіти і науки України за адресою: 69600, м. Запоріжжя, вул. Жуковського, 66.

Автореферат розісланий “ 02 ” червня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Ю.О. Сисоєв

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При описі різних технічних, біологічних, економічних, екологічних та інших об’єктів реального світу широко використовується метод математичного моделювання, що дозволяє описати поведінку об’єкта дослідження, вивчити його структуру, властивості, закони розвитку та взаємодії з навколишнім світом. Визначення найкращих способів керування й регулювання при заданих критеріях і цілях дослідження, а також прогнозування динамічних станів основних характеристик досліджуваного об’єкта є визначальним при формулюванні математичної моделі.

Багато зі вказаних складних об’єктів володіє властивістю позитивності, яка характеризується тим, що вхідні та вихідні змінні моделей об’єкта, які у подальшому називаються позитивними змінними, залишаються невід’ємними у часі. До позитивних змінних можна віднести такі, як час, гроші й товари, потоки даних у сітях, популяції людей, тварин і рослин, концентрації будь-якої можливої субстанції, білків й молекул, електричні заряди, рівні інтенсивності світла, а також ймовірності у марківських моделях та ін.

Моделювання та вивчення складних об’єктів, зокрема, передбачає їх опис у вигляді систем диференціальних або різницевих рівнянь великої розмірності. Системи з позитивними (або невід’ємними) впродовж всього часу змінними стану, які описуються вказаними типами рівнянь та називаються позитивними системами, що характеризуються специфічною властивістю, яка полягає у тому, що будь-які невід’ємні вхід та початковий стан системи генерують невід’ємні фазову траєкторію та вихід впродовж всього часу. Дослідження в області позитивних систем проведені у роботах А.М.Алілуйка, Д.Г.Кореневського, М.А.Красносельського, М.Г.Крейна, П.Д.Крутька, Е.А.Ліфшица, О.Г.Мазка, М.А.Рутмана, Х.Л.Сміта, М.В.Хірша та ін.

Побудова математичної моделі складної системи та її послідовна розробка опираються на фундаментальні закони збереження. Закон збереження, що обирається, визначає характер взаємозв’язків елементів, вид та метод побудови математичної моделі складної системи. Так, наприклад, опис біологічних та економічних систем, оснований на законах збереження маси, речовини, енергії і т.д., зводиться до побудови матеріальних, теплових, енергетичних та ін. балансів. Зокрема, при моделюванні економічної системи, що включає n регіонів (галузей), матеріальний баланс трансформується відповідно у міжрегіональний (міжгалузевий) баланс. Моделі, що формуються на основі вказаних балансів, відомі у літературі як балансові моделі та відносяться, зокрема, до типу матричних моделей. З урахуванням викладеного вище виділення у класі позитивних систем підкласу систем балансового типу є обґрунтованим.

В обраному підкласі систем, які описуються за допомогою диференціальних або різницевих рівнянь, можна виділити, наприклад, наступні: біологічні системи, що описуються за допомогою моделей В. Вольтерра, А. Лоткі, Т. Мальтуса і т.д.; економічні системи, що описуються моделями С. Карліна, В.В. Леонтьєва, Дж. фон Неймана, Р. Солоу, Р. Харрода, О.О. Шананіна та ін.; екологічні системи, моделями яких є моделі В.В.Леонтьєва-А.Форда, Г.Є. Хатчінсона та ін. Дослідження в області позитивних статичних й динамічних систем балансового типу проведені у роботах Д.Гейла, В.С.Григорківа, С. Карліна, В.Ф. Кротова, Ф.У.Ланчєстера, В.В. Леонтьєва, І.М.Ляшенка, Т.Мальтуса, М.В. Міхалевича, М.М. Моісеєва, Дж. фон Неймана, В.С. Немчінова, В.В.Новицького, О.О. Петрова, І.Г. Поспєлова, І.В.Сергієнка, Р. Солоу, Ю.М. Черемних, О.О. Шананіна та ін.

При цьому багатьом моделям у вибраному підкласі позитивних систем балансового типу притаманна деяка обмеженість в частині недостатнього урахування динаміки окремих складових моделей, нестійкості розв’язків на нескінченому інтервалі часу, відсутності можливості корегувати вхідні параметри моделей, стабілізувати нестійкі системи, поліпшувати динамічні властивості систем та ін.

Обмеженість моделей позитивних систем балансового типу усуваються в умовах повної або неповної інформації про стан об’єкта, наприклад, шляхом:

- уточнення та ускладнення відомих моделей,

- накладання спеціальних обмежень на відповідні матриці коефіцієнтів у моделях, що описують поведінку складних систем;

- переходу від розімкнених моделей до замкнених, що дозволяють корегувати вхідні та вихідні характеристики об’єкта дослідження та поліпшувати його динамічні властивості,

- визначення програмних керувань, які дозволяють досягнути бажаного виходу системи.

У випадку, коли для досліджуваної складної системи неможливо визначити повний вектор стану (однак можна вимірити деяку лінійну комбінацію його змінних, за якими система є спостережуваною), шляхом побудови спостерігача повного порядку є можливим визначення оцінок цього стану.

Отже, тема дисертаційної роботи, яка пов’язана з розробкою нових математичних моделей позитивних динамічних систем балансового типу, здатних уточнити та поліпшити динамічні властивості вказаних систем, є актуальною.

Дослідження, обумовлені необхідністю розробки нових асимптотично стійких дискретних та неперервних математичних моделей позитивних динамічних систем балансового типу для здійснення аналізу особливостей поведінки систем, керування та регулювання в умовах як повної, так і неповної інформації про стан досліджуваного об’єкта є актуальними з теоретичної та практичної точок зору.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Обраний напрямок досліджень пов’язаний з науково-дослідницькою темою Міністерства освіти і науки України “Математичні моделі динаміки детермінованих процесів багатопродуктових виробництв” (номер держреєстрації 0103У000719).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка нових асимптотично стійких (у смислі Ляпунова) розімкнених і замкнених дискретних та неперервних математичних моделей позитивних динамічних систем балансового типа, які здатні уточнювати існуючі моделі, поліпшувати динамічні властивості зазначених систем, проводити аналіз особливостей поведінки систем, та здійснювати керування і регулювання об’єктом дослідження в умовах як повної, так і неповної інформації про його стан.

Для реалізації даної мети необхідно вирішити наступні завдання:

- виділення класу позитивних динамічних систем балансового типу, для математичного моделювання яких використовуються системи звичайних лінійних різницевих й диференціальних рівнянь;

- побудова розімкненої дискретної динамічної математичної моделі позитивної системи балансового типу, яка описується системою лінійних різницевих рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами;

- отримання неперервного аналогу розімкненої дискретної динамічної математичної моделі позитивної системи, який описується системою лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами;

- проведення якісного аналізу отриманих систем різницевих та диференціальних рівнянь з метою виявлення динамічних властивостей побудованих математичних моделей та виділення умов, які забезпечують позитивність й асимптотичну стійкість побудованих моделей;

- побудова замкненої дискретної динамічної математичної моделі позитивної системи балансового типу, що описується системою лінійних різницевих рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами з метою коригування вхідних параметрів моделей та керування вихідними параметрами моделей;

- отримання неперервного аналогу замкненої дискретної динамічної математичної моделі, який описується системою лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами з метою неперервних у часі коригування вхідних параметрів моделей та керування вихідними параметрами моделей;

- проведення якісного аналізу отриманих систем різницевих і диференціальних рівнянь замкнених дискретної та неперервної моделей з метою виявлення динамічних властивостей цих моделей;

- виділення для розімкнених і замкнених дискретних та неперервних моделей різних керуючих впливів на об’єкт дослідження в залежності від цілей керування;

- визначення програмних керувань у розімкнених і замкнених дискретних та неперервних моделях досліджуваної системи шляхом завдання програми руху досліджуваного об’єкта;

- при неповній інформації про стан об’єкта визначення оцінок стану шляхом побудови спостерігача повного порядку так, щоб похибка відновлення стану наближалася до нуля при ;

- розробка методики й практичних рекомендацій до визначення та аналізу вихідних характеристик об’єкта, що моделюється, для розімкнених і замкнених дискретних та неперервних математичних моделей в умовах повної та неповної інформації про стан об’єкта.

Вирішення поставлених завдань дозволить суттєво поліпшити методологічну базу для досліджень в області задач динаміки складних позитивних систем балансового типу.

Об’єктом дослідження є позитивні динамічні системи балансового типу, зокрема, складні макроекономічні системи.

Предметом дослідження є властивості, що забезпечують позитивність та асимптотичну стійкість динамічних систем балансового типу, моделювання, аналіз, керування, регулювання, спостереження за вказаними позитивними системами та методика визначення й аналізу вихідних характеристик систем, що досліджуються.

Методи дослідження. В дисертаційній роботі застосовувались методи математичного моделювання складних систем, методи теорії різницевих та диференціальних рівнянь, методи теорії програмного керування та методи теорії автоматичного регулювання.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

-

-

-

-

-

-

-

-

Отже, наукове значення роботи полягає в отриманні нових науково обґрунтованих результатів, які в сукупності є істотними для розвитку досліджень в області математичного моделювання, програмного керування та автоматичного регулювання позитивних динамічних систем балансового типу.

Практичне значення одержаних результатів. Запропоновані моделі можуть бути використані в практиці проектування, планування та прогнозування складних позитивних систем різної фізичної природи, зокрема, при аналізі макроекономічних систем. Викладені у роботі принципи побудови лінійних моделей можуть бути основою для побудови нових як лінійних, так і нелінійних математичних моделей складних систем, не розглянутих в дисертаційній роботі. Отримані у роботі результати можуть бути основою для подальших досліджень в області теорії складних динамічних систем.

Результати роботи використані при виконанні робіт за держбюджетною темою Міністерства освіти і науки України “Математичні моделі динаміки детермінованих процесів багатопродуктових виробництв” (номер держреєстрації 0103У000719), а також у навчальному процесі Державного вищого навчального закладу „Запорізький національний університет” Міністерства освіти і науки України на кафедрі прикладної математики і механіки.

Особистий внесок здобувача. У роботах [1-3,5,10,16,17,19,20], опублікованих у співавторстві, особистий внесок автора полягає в обговоренні постановок задач, виконанні всіх основних доведень, розрахунків та формулюванні висновків. Співавторам М.Г. Тамурову, В.З. Грищаку та Н.О.Кондрат’євій належать постановка задач та загальні рекомендації щодо методів їх розв’язування. Співавтору С.В. Чопорову належить створення програмного продукту для виконання тестових розрахунків.

Апробація результатів дисертації. За основними результатами дисертації були зроблені доповіді на таких міжнародних конференціях: Міжнародная студентська наукова конференція «Прикладные задачи математики в механике, экономике, экологии» (м. Севастополь, 2003 р.), Міжнародна науково-практична конференція «Проблеми фінансово-економічного розвитку підприємництва та малого бізнесу в Україні (регіональний аспект)» (м. Чернівці, 2003 р.), «Dynamical System Modeling and Stability Investigation» (м. Київ, 2003, 2005, 2007 рр.), Кримська Міжнародна математична школа «Метод функций Ляпунова и его приложения» (м. Алушта, 2004, 2006 рр.), Воронезька зимова математична школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (м. Воронеж, 2005, 2007 рр.), Воронезька весняна математична школа «Современные методы теории краевых задач «Понтрягинские чтения – XVI» (м. Воронеж, 2005 р.); на таких всеукраїнських конференціях: «Всеукраїнська студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики» (м. Львів, 2001, 2002 рр.), Всеукраїнська студентська наукова конференція «Актуальные задачи прикладной математики» (м. Севастополь, 2002 р.); на Регіональних наукових конференціях молодих дослідників «Актуальні проблемі математики та інформатики» (м. Запоріжжя, 2003, 2004, 2007, 2008 рр.); на міжвузівському семінарі „Актуальні проблеми прикладної математики і механіки” (м. Запоріжжя, Запорізький національний університет, 2008 р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковані у 22 друкованих наукових роботах, з них 5 статей (4 – в наукових фахових виданнях), 10 – тез доповідей, 7 – матеріалів конференцій.

Структура роботи. Дисертаційна робота складається з вступу, 5 розділів, висновків, списку використаних літературних джерел, що містить 146 найменувань. Повний об’єм дисертації - 144 сторінки, з яких 129 сторінок основного змісту, 15 сторінок складає перелік посилань на літературні джерела.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, зазначено її зв’язок з науковими планами, темами; сформульовано мету і задачі дослідження; відображено наукову новизну, практичну й наукову цінності здобутих результатів та ступінь апробації роботи; визначено особистий внесок здобувача в публікаціях, виконаних у співавторстві. Розглянуто структуру дисертації, а також окреслено основні положення та результати, які виносяться на захист.

У першому розділі здійснено аналітичний огляд сучасного стану проблеми моделювання, керування, регулювання і спостереження позитивних динамічних систем. Наведено основні поняття з теорії позитивних систем та теорії конусів і операторів у напіввпорядкованому банановому просторі , а також деякі додаткові визначення та твердження, які використовуються у дисертаційній роботі.

Опукла замкнена множина дійсного нормованого простору називається конусом, якщо та для будь-яких і . Система називається -позитивною, якщо з випливає . Система позитивна, якщо вона -позитивна за будь-яких .

У класі позитивних систем (як статичних, так і динамічних) виділено підклас позитивних систем балансового типу, в основі побудови моделей якого лежать фундаментальні закони збереження. Дослідження в області позитивних статичних і динамічних систем балансового типу відтворено в працях С. Карліна, В.Ф. Кротова, Ф.У. Ланчестера, В.В. Леонтьєва, Т. Мальтуса, М.В. Міхалєвіча, М.М. Моісеєва, Дж. фон Неймана, В.С. Нємчінова, О.О. Петрова, І.Г. Поспелова, Р. Солоу, Ю.М. Черемных, О.О. Шананіна та ін. Поодиноким випадком позитивних систем балансового типу є складні економічні системи, які включають виробництв (чи галузей).

Проведено аналіз моделей позитивних систем балансового типу, на підставі якого виділено фактори, які дозволяють розширити повноту моделей. Вказано також на деякі невирішені проблеми у цьому напрямку дослідження й сформульовано основні завдання, пов’язані з темою дисертаційної роботи.

Другий розділ присвячено розробленню нових дискретної та неперервної математичних моделей позитивних динамічних систем балансового типу на прикладі складної економічної системи.

Здійснено аналіз існуючих підходів до опису складної економічної системи. На базі моделі С. Карліна й динамічної моделі В. В. Леонтьєва побудовано дискретну математичну модель функціонування позитивної динамічної системи балансового типу, яка описує поведінку n-галузевої економічної системи в заданий період часу (час припускається дискретним) і подається у вигляді

, , (1)

де мірні вектори валових випусків продукції відповідно в моменти часу і ;

матриці розмірності сталих коефіцієнтів;

мірний вектор невиробничого споживання, який є або заданим, або функціонально встановленим;

одинична матриця розмірності ;

мірний вектор-стовпець початкових умов системи.

Модель, яка описується системою (1), є розімкненою та зводиться до системи

, , (2)

де ; .

Модель, яка описується системою (2), є аналогом динамічної моделі С. Карліна. Справедлива наступна теорема.

Теорема 1. Модель (2) продуктивна тоді і тільки тоді, коли спектральний радіус матриці .

На основі теореми 1 формулюється наступна лема.

Лема 1. Якщо в моделі (2) матриці и є продуктивними, то для будь-якого вектора будуть продуктивними і матриці В, .

У моделі, яка описується системою (1) чи (2), для забезпечення невід’ємності одержуваних розв’язків діють прийняті В. В. Леонтьєвим умови невід’ємності і продуктивності матриці коефіцієнтів , а також виділено вперше додаткові умови невід’ємності і продуктивності матриць В, , , які забезпечують позитивність системи й асимптотичну стійкість розв’язків.

Несуперечність моделі, яка описується системою (1) визначається наступним:

1) при (де , для ) модель, що описується системою (1), співпадає з моделлю С. Карліна, а, отже, і з її розв’язком;

2) стаціонарний розв’язок , що визначає рівноважний стан системи (1) і є визначуваним при і для моделі, котра описується системою (1), моделі С. Карліна й динамічної моделі В. В. Леонтьєва, співпадає з розв’язком статичної моделі В. В. Леонтьєва, покладеної в основу їх побудови. Тип рівноваги являє собою стійкий вузол.

Одержаний неперервний аналог моделі, яка описується системою (1), і поданий у вигляді

, , (3)

де час припускається неперервним;

мірний вектор валових випусків продукції;

мірний вектор невиробничого споживання.

Дослідження показало, що в моделі, яка описується системою (3), умови невід’ємності та продуктивності матриць, що забезпечують позитивність моделі, накладаються на матриці і . Виконання цих умов у системах (1) і (3) забезпечує позитивність систем і асимптотичну стійкість їх розв’язків. Справедлива наступна теорема.

Теорема 2. Якщо в моделі (3) матриця продуктивна і , то для будь-якого вектора матриця та сама модель будуть продуктивними.

Проведено аналіз дискретної і неперервної моделей, які описуються відповідно системами (1) або (3), в залежності від виду завдань вектор-функцій (для дискретної моделі) або (для неперервної моделі). Розглянуто такі випадки:

1) Нехай (для дискретної моделі) або (для неперервної моделі). Тоді моделі, які описуються системами (1) або (3), набувають вигляду

, , (4)

, (5)

відповідно.

Моделі, що описуються системами вигляду (4) чи (5) прийнято називати моделями природного зростання. Такі моделі описують процеси розмноження бактерій, радіоактивного розпаду, зростання населення та ін.

Згідно з теоремами 1, 2 та лемою 1 моделі, які подаються системами (4) або (5), описують спад випуску з постійним темпом (для дискретної моделі) чи (для неперервної моделі).

Розв’язки систем (4), (5) являють собою траєкторії руху валових випусків і мають вигляд , відповідно. Тут матрична експонента. При елементи вектора (для дискретної моделі) або (для неперервної моделі) зі зростом часу асимптотично наближаються до нуля. Тип рівноваги – стійкий вузол.

2) Нехай елементи (для дискретної моделі) або (для неперервної моделі), де . Тоді моделі, яки описуються системами (1) або (3), набувають відповідно вигляду

, (6)

. (7)

Точки рівноваги систем (6), (7) визначаються з умов (для дискретної моделі) і (для неперервної моделі) та подаються в матричній формі у вигляді . Тип рівноваги зберігається. Розв’язки систем (6), (7) представляють собою траєкторії руху валових випусків і мають відповідно вигляд вид

, (8)

. (9)

Аналіз ситуацій при (для дискретної моделі) і (для неперервної моделі) показує, що якісний характер траєкторій валових випусків для них однаковий. Отримані розв’язки (8), (9) є асимптотично стійкими – значення (для дискретної моделі) і (для неперервної моделі) при збігається до стаціонарного значення . При цьому при або значення або збігаються до зверху або знизу, а при або – лише зверху, або будуть постійними при значеннях .

3) Нехай (для дискретного випадку) або (для неперервного випадку) є деякими заданими функціями часу. Тоді дискретна і неперервна моделі позитивної системи балансового типу описуються відповідно системами (1), (3). Розв’язки таких систем мають відповідно вигляд

, (10)

, (11)

де .

Точки рівноваги для моделей (1), (3) та тип рівноваги зберігаються.

Розглянуто окремі випадки дискретної та неперервної моделей, які описуються відповідно системами (1) або (3) – моделі одно- і двопродуктових виробництв (галузей економічної системи). Проведено аналіз моделей і отриманих розв’язків.

Зроблено порівняльний аналіз побудованих дискретної та неперервної моделей, які описуються системами (1), (3), з відомими моделями С. Карліна та В. В. Леонтьєва.

Третій розділ присвячено проблемі керування та регулювання позитивних систем балансового типу. Основним обмеженням у даному розділі є припущення, що повний вектор станів (для дискретних моделей) або (для неперервних моделей) об’єкта керування та регулювання може бути точно виміряний в будь-який момент часу та використаний для зворотного зв’язку. Будемо враховувати, що властивості об’єкта дослідження даного розділу задовольняють наступним теоремам.

Теорема 3: Нехай лінійний стаціонарний об’єкт керування описується векторно-матричним рівнянням , де , , , . Тоді , якщо матриця є продуктивною.

Теорема 4: Нехай лінійний стаціонарний об’єкт керування описується векторно-матричним рівнянням , де , , , . Тоді , якщо матриця є продуктивною.

Об’єкт керування, для якого виконуються умови теорем 3 або 4, називається повністю керованим.

На основі аналізу розімкнених дискретної і неперервної моделей позитивної динамічної системи балансового типу, які описуються системами (1) и (3) відповідно, визначено, що вихідні характеристики (для дискретного випадку) чи (для неперервного випадку) є асимптотично стійкими. Отже, зміна значень стаціонарних розв’язків призводить і до зміни розв’язків чи відповідно.

Встановлено, що матриця сталих коефіцієнтів (яка відповідає за виробництво у випадку розгляду складної економічної системи) істотно впливає на вихідні характеристики об’єкта дослідження. Тому будемо вважати дану матрицю керуючим впливом, який дозволяє покращувати в деякому розумінні зазначені характеристики об’єкта. У зв’язку з цим можливі наступні ситуації:

- якщо матриця є невід’ємною і продуктивною та при цьому її можливо змінювати, то покращення вихідних характеристик об’єкта здійснюється безпосереднім вибором елементів матриці так, щоб матриця залишалася продуктивною: для збільшення (зменшення) елементів вектора (для дискретного випадку) чи (для неперервного випадку) елементи матриці повинні наближатися до нуля (одиниці);

- якщо матриця А є непродуктивною або продуктивною, але її неможливо змінювати, то шляхом переходу до замкненої моделі за допомогою введення зворотного зв’язку (для дискретного випадку) або (для неперервного випадку), де матриця сталих коефіцієнтів посилення зворотного зв’язку, можливо зробити матрицю продуктивною або покращити динамічні властивості систем. В даному випадку за допомогою таких функцій (для дискретних моделей) або (для неперервних моделей) здійснюється регулювання в моделях, які описуються відповідно системами (1), (3).

Замкнені дискретна та неперервна моделі позитивних систем представляються відповідно у вигляді

, , (12)

, . (13)

Вид моделей (12), (13) аналогічний виду розімкнених дискретної і неперервної моделей (1), (3) відповідно. Тому згідно теоремам 1, 2 та лемі 1 визначені умови, які забезпечують позитивність складної системи: для того, щоб у системі (12) існував невід’ємний розв’язок (з конуса ), необхідно, щоб були невід’ємними і продуктивними матриці коефіцієнтів , , , , , тобто щоб їх спектральні радіуси були строго меншими за одиницю. Позитивність системи (13) визначають умови невід’ємності і продуктивності матриць , , . Стаціонарні розв’язки (стани рівноваги) систем (12), (13) мають вигляд , де . Тип рівноваги – стійкий вузол.

Для замкнених дискретної і неперервної моделей, що описуються відповідно системами (12) и (13), отримано розв’язки, які є асимптотично стійкими в смислі Ляпунова та мають відповідно вигляд

,

,

де ; – початковий стан системи; параметр інтегрування, що має розмірність часу.

В даному випадку коефіцієнти є невідомими. Для їх визначення та проведення якісного аналізу систем (12), (13) використовується критерій продуктивності, який є поодиноким випадком умови Брауера-Солоу та формулюється в термінах сум коефіцієнтів матриці : для продуктивності матриці достатньо виконання одного з тверджень:

, ; , . (14)

Виходячи з умов продуктивності матриць , , для дискретної моделі та матриці для неперервної моделі, з урахуванням (14) одержано наступні нерівності для визначення коефіцієнтів :

а) для системи (12):

чи ;

чи ;

чи ;

б) для системи (13):

чи .

З урахуванням (14) отримано наступні співвідношення між елементами вектора і коефіцієнтами :

- для збільшення елементів вектора , а отже, елементів вектора (для дискретного випадку) чи (для неперервного випадку), достатньо виконання умов

чи ,

причому у випадку продуктивної матриці коефіцієнти можуть приймати як додатні, так и від’ємні значення. В цьому випадку зворотний зв’язок може бути як від’ємним (якщо обираються додатними), так і додатною (якщо обираються від’ємними). У випадку непродуктивної матриці коефіцієнти приймають додатні значення (зворотний зв’язок є від’ємним);

- для зменшення елементів вектора , а отже, елементів вектора чи , достатньо виконання умов

чи ,

причому, якщо матриця є продуктивною, коефіцієнти (зворотний зв’язок є від’ємним). Якщо матриця непродуктивна, то (зворотний зв’язок є від’ємним);

- для забезпечення рівності елементів вектора , а отже, елементам вектора чи , елементам вектора , достатньо, щоб

чи .

На основі аналізу розімкнених дискретної і неперервної моделей позитивної динамічної системи балансового типу, які описуються системами (1) і (3) відповідно, також встановлено, що за допомогою матриці сталих коефіцієнтів В можливо прискорити процес збіжності вихідних характеристик (для дискретних моделей) чи (для неперервних моделей) до рівноважного стану (для розімкнених моделей) або (для замкнених моделей). Тому матрицю В будемо також називати керуючим впливом, який дозволяє покращувати у деякому смислі зазначені характеристики об’єкта.

Якщо задана бажана функція виходу позитивної динамічної системи балансового типу, то шляхом застосування методів теорії програмного керування можливо визначити такі керування, які дозволять досягнути бажаного виходу системи.

Дійсно, якщо для дискретної моделі (1) у просторі станів задана деяка траєкторія , то шуканий вектор програмних керуючих функцій виводить систему на бажану траєкторію руху. Аналогічно, для неперервної моделі, яка описується системою (3), при заданій шуканий вектор програмних керуючих функцій . Знайдені таким чином керуючі програмні функції змінюються відповідно до заданої вектор-функції (для дискретних моделей) або (для неперервних моделей). Даний підхід поширений на замкнуті моделі (12), (13) шляхом заміни матриці А матрицею , де матриця коефіцієнтів посилення зворотного зв’язку.

Розглянуті окремі випадки замкнених дискретної і неперервної моделей позитивної динамічної системи балансового типу, які описуються відповідно системами (12) або (13) – моделі одно- и двопродуктових виробництв (галузей економічної системи). Проведено аналіз моделей й отриманих результатів.

Четвертий розділ присвячено проблемі оцінки вектора станів в умовах неповної інформації за допомогою побудови повного спостерігача позитивної системи балансового типу.

Якщо для дискретної і неперервної моделей, які описуються системами (1) або (3) неможливо визначити повний вектор стану, однак можливо вимірити деяку лінійну комбінацію його змінних (для дискретного випадку) або (для неперервного випадку), за якими система є спостережуваною, то будується спостерігач повного порядку відповідно у вигляді

,

,

причому стійкість спостерігача визначається поведінкою відповідно матриць та .

Помилка відновлення стану при для всіх при асимптотичній стійкості спостережника. Тому матриця обирається таким чином, щоб зберегти продуктивність моделей, а також щоб і, отже , при всіх , .

Даний підхід поширений на замкнені моделі (12), (13) шляхом заміни матриці А матрицею , де матриця коефіцієнтів посилення зворотного зв’язку.

У п’ятому розділі подано методику визначення й дослідження змін вихідних характеристик модельованого об’єкта для розімкнених і замкнених дискретної та неперервної математичних моделей в умовах повної й неповної інформації про його стан.

У дисертації аналітичні викладки й чисельні розрахунки було здійснено й перевірено за допомогою математичних систем Matlab, Maple і Mathcad.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вирішенню важливої наукової проблеми, яка полягає в розробці нових та подальшому розвитку математичних моделей позитивних динамічних систем балансового типу, що дозволяють уточнювати існуючі моделі, покращувати динамічні властивості зазначених систем, проводити аналіз особливостей поведінки систем, та здійснювати керування і регулювання об’єктом дослідження в умовах як повної, так і неповної інформації про його стан.

Основні результати дисертаційної роботи полягають в наступному:

-

-

-

-

-

-

-

-

Достовірність здобутих результатів забезпечується коректністю математичних постановок задач, строгістю математичних викладок, доведенням теорем, математичним обґрунтуванням застосованих методів, порівнянням з вже відомими результатами.

Рекомендації до практичного застосування одержаних результатів визначаються комплексним підходом до розв’язання задач математичного моделювання, регулювання, програмного керування та спостереження позитивних динамічних систем балансового типу в умовах повної та неповної інформації про стан об’єкта дослідження. Запропоновані моделі можуть бути використані в практиці проектування, планування і прогнозування складних позитивних систем різної фізичної природи, зокрема, при аналізі макроекономічних систем.

Викладені в роботі принципи побудови лінійних моделей можуть бути основою для побудови нових як лінійних, так і нелінійних математичних моделей складних систем, які в дисертації не розглядалися. Одержані в роботі результати можуть бути основою для подальших досліджень в області теорії складних динамічних систем.

Теоретичні положення та моделі позитивних систем балансового типу, що складають наукову новизну дисертації впроваджено в навчальний процес Державного вищого навчального закладу „Запорізький національний університет” Міністерства освіти і науки України при викладанні дисциплін: „Моделювання економіки”, „Прогнозування соціально-економічних процесів”, „Диференціальні рівняння”, „Моделювання економічних, соціальних та екологічних процесів”, „Системний аналіз”; спеціальних курсів: „Основи теорії оптимальних процесів”, „Математичні моделі промисловості”, „Математичне моделювання виробничих процесів”, а також для виконання курсових та дипломних робіт фахівців зі спеціальності „Прикладна математика”.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

АНОТАЦІЯ

Леонтьєва В.В. Математичне моделювання позитивних динамічних систем балансового типу. – Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Державний вищий навчальний заклад «Запорізький національний університет» Міністерства освіти і науки України, Запоріжжя, 2008.

У дисертації розроблено нові дискретна й неперервна математичні моделі позитивної динамічної системи балансового типу, які описують поведінку складної системи з обмеженнями, що забезпечують одержання невід’ємних розв’язків на нескінченому інтервалі часу. Для названих моделей знайдено нові умови, які забезпечують позитивність и асимптотичну стійкість динамічної досліджуваної системи, виділена сукупність можливих керуючих впливів і зроблено аналіз їх впливів на вхідні й вихідні характеристики системи. Побудовано замкнуті дискретна та неперервна моделі, які дозволяють коригувати вхідні й вихідні параметри моделей, стабілізувати нестійкі системи й покращувати динамічні властивості позитивних систем. Для запропонованих моделей знайдено програмні керування, які виводять систему на бажану траєкторію руху. В умовах неповної інформації про стан об’єкта визначено оцінки стану шляхом побудови спостерігача повного порядку.

Ключові слова: позитивна система балансового типу, дискретна й неперервна математичні моделі, асимптотична стійкість, розімкнена й замкнена моделі, програмне керування, регулювання, спостереження.

АННОТАЦИЯ

Леонтьева В.В. Математическое моделирование позитивных динамических систем балансового типа. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности