НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР

ім. Б.І. ВЄРКІНА

МЕДИНЕЦЬ Костянтин Сергійович

УДК 517.938.5

АПРОКСИМАЦІЯ ПЕРЕТВОРЕНЬ СТАНДАРТНИХ БОРЕЛІВСЬКИХ

ПРОСТОРІВ ТА КАНТОРІВСЬКИХ МНОЖИН

01.01.01 – математичний аналіз

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харкiв-2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України.

Науковий керівник | доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Безуглий Сергій Іванович,

Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, старший науковий співробітник;

Офіційні опоненти | доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Островський Василь Львович,

Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник;

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Гефтер Сергій Леонідович,

Харківський Національний Університет ім. В.Н. Каразіна, заступник декана механіко-математичного факультету.

Захист відбудеться 03.06. 2008 р. о _14_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, пр. Леніна, 47.

Автореферат розіслано 30.04. 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.О. Горькавий

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Сучасна теорія динамічних систем з’явилась як наслідок взаємодії та взаємопроникнення двох математичних напрямків, що виникли наприкінці XIX століття: топологічної динаміки, основи якої було закладено у роботі Анрі Пуанкаре «Нові методи небесної механіки»; а також ергодичної теорії, яку було започатковано у роботах Больцмана, Максвелла та Гібса як результат статистичного вивчення складних динамічних систем.

Абстрагуючись від конкретних фізичних явищ, під абстрактною динамічній системою розуміють довільну дію автоморфізмами деякої групи (часу) G на множині (фазовому просторі) X. Природньо розглядати множину X з введеною додатковою структурою S чи з деякими структурами (такими як топологія, міра, у-алгебра та ін.) так, що дія групи G узгоджена з запровадженими структурами, наприклад, є неперервною.

Головним об’єктом вивчення в теорії динамічних систем є група всіх автоморфізмів Aut(X,S) простору X, які зберігають структуру S, а також індивідуальні динамічні системи (X,S,G), де група G діє на множині X автоморфізмами, що зберігають S.

Серед основних задач, які вивчає теорія динамічних систем, ми відзначимо наступні: (1) класифікація індивідуальних динамічних систем; (2) дослідження топологічних властивостей групи Aut(X,S) відносно різних групових топологій, а також встановлення топологічно-масивних класів динамічних систем, іншими словами, відокремлення типових динамічних систем. Варто зауважити, що встановлення типовості множини автоморфізмів з визначеними властивостями найчастіше дозволяє довести існування таких динамічних систем.

Один з головних підходів до побудови теорії динамічних систем полягає в відокремленні різних фазових просторів з фіксованою структурою та у вивченні динамічних систем на таких фазових просторах, які зберігають наведену структуру. При такому підході багато результатів є спільними для теорії, побудованих на у багатьох відмінних фазових просторах. Одночасно, є і такі результати, які істотно залежать від властивостей фазового простору. Відзначимо найбільш значимі розділи теорії динамічних систем: (1) топологічна динаміка, яка вивчає гомеоморфізми компактних метричних просторів; (2) гладка динаміка, яка вивчає дифеоморфізми гладких многовидів; (3) ергодична теорія, яка досліджує групи автоморфізмів стандартного простору з мірою, що зберігають міру м.

Починаючи з 80-х років минулого століття, в окремий підрозділ відокремилось вивчення автоморфізмів стандартного борелівського простору (X,B), які зберігають у-алгебру B. Іншими словами, відбулася відмова від фіксування на просторі якої-небудь інваріантної чи несингулярної міри відносно групи перетворень. Цей розділ теорії динамічних систем здобув назву борелівської динаміки.

Поряд з цим наприкінці 80-х років, через специфічність методів та отриманих результатів, з загальної топологічної динаміки виділяється в окремий напрямок вивчення гомеоморфізмів нуль-вимірних довершених компактних метричних просторів. Оскільки всі такі простори гомеоморфні один одному і, зокрема, стандартній канторівській множині відрізку [0,1], цей розділ топологічної динаміки здобув назву канторівської динаміки.

Зауважимо, що не зважаючи на безумовну відмінність ергодичної теорії, борелівської та канторівської динамік, вони мають багато спільного. Ця спільність проявляється у разючий схожості багатьох результатів, що відносяться до класифікації динамічних систем. Відзначимо перш за все видатні класифікаційні результати для мінімальних систем, які було отримано в роботах Вейса, Гласнера, Джиордано, Дюрана, Патнама, Скау, Оста; для борелівських автоморфізмів, які отримано в роботах Кехриса, Вейса, Хорта, а також для ергодичних динамічних систем, які здобуто в працях Дая, Кригера, Орнстейна та інших.

Актуальність теми. Вперше застосування топології для встановлення існування ергодичних перетворень на скінченновимірних компактних многовидах було здійснено в працях Окстобі і Улама (1941 р.). Після цього з’явилася новаторська робота Халмоша (1944 р.), в якій було введено дві топології (рівномірна та слабка) на групі перетворень Aut(X,м), що зберігають міру м. Зазначена робота зробила істотний вплив на розвиток всієї ергодичної теорії. Завдяки застосуванню топологічних методів було вирішено багато питань про існування динамічних систем з тими чи іншими властивостями, встановлена типовість багатьох класів перетворень. Зауважимо, що одним з найбільш важливих результатів ергодичної теорії є так звана лема Рохліна, яка стверджує, що множина періодичних перетворень є щільною серед усіх перетворень відносно рівномірної топології. Іншими словами, довільна динамічна система може бути наближена періодичними системами. Зазначимо, що велика кількість результатів ергодичної теорії в тій чи іншій мірі використовують лему Рохліна.

Зважаючи на те, що застосування топологічних методів в ергодичній теорії виявилось надзвичайно плідним, представляється актуальним застосувати ці ідеї в борелівській і канторівській динаміках та дослідити різні групові топології на групах Aut(X,B) і Homeo(Щ). Нещодавно з’явився цикл робіт Безуглого, Дулі і Квіатковського, де було вперше введено аналоги рівномірної та слабкої топологій на групах Aut(X,B) і Homeo(Щ), а також було запропоновано систематичний підхід до вивчення топологічних властивостей цих груп.

Дана дисертаційна робота присвячена вивченню топологічних властивостей груп Aut(X,B) і Homeo(Щ) відносно рівномірної та слабкої топологій. Ці дослідження дозволяють переосмислити багато конструкцій ергодичної теорії з нових позицій.

Зв'язок роботи з науковими програмами. Тема дисертаційної роботи затверджена на засіданні Вченої ради математичного відділення ФТІНТ ім. Б.І. Вєркина НАН України (протокол № 15 від 30.11.2006). Дослідження, виконанні в дисертаційній роботі, проведені в межах бюджетних тем НАН України «Аналітичні методи в теорії операторних алгебр, динамічних систем і теорії розсіювання» (№ державної реєстрації 0103U000313) і "Динамічні системи і спектральна теорія диференціальних і різницевих операторів" (№ державної реєстрації 0106U002558).

Мета і задачі дослідження. Об’єктом дослідження даної дисертаційної роботи є група всіх борелівських автоморфізмів Aut(X,B) стандартного борелівського простору (X,B) і група Homeo(Щ) всіх гомеоморфізмів канторівської множини Щ. Предметом дослідження є топологічні властивості цих груп та їх підмножин (підгруп), які визначаються різними динамічними характеристиками.

Мета дослідження полягає у розвитку теорії апроксимації динамічних систем на стандартному борелівському просторі та канторівській множині за допомогою більш простих систем та в застосуванні розвинутих методів до задач класифікації індивідуальних динамічних систем.

До задач дослідження відносяться: (1) встановлення топологічного варіанта леми Рохліна для канторівської динаміки, тобто доведення можливості апроксимації довільних гомеоморфізмів канторівської множини періодичними гомеоморфізмами; (2) класифікація мінімальних динамічних систем на канторівській множині в термінах їх повних груп; (3) встановлення алгебраїчних властивостей повних груп мінімальних гомеоморфізмів; (4) наближення гладкими автоморфізмамиАвтоморфізм називаеться гладким (ручним), якщо існує борелівська множина, що перетинає кожну орбіту рівно один раз. Клас гладких автоморфізмів є природнім розширенням класу періодичних автоморфізмів. довільних автоморфізмів стандартного борелівського простору; (5) встановлення лінійної зв’язності групи всіх автоморфізмів стандартного борелівського простору.

Серед основних методів дослідження ми наведемо наступні: методи теорії груп, методи загальної та алгебраїчної топології, методи теорії міри та вимірних функцій, методи дескриптивної теорії множин.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертації є новими.

1. Вперше отримано апроксимацію довільного гомеоморфізму канторівської множини періодичними гомеоморфізмами відносно рівномірної топології, що становить топологічний аналог відомої леми Рохліна. Також отримано узагальнення теореми Лузіна про апроксимацію борелівських автоморфізмів (з повної групи довільного гомеоморфізму) за допомогою гомеоморфізмів з топологічної повної групи. До цього часу подібне узагальнення теореми Лузіна існувало тільки для мінімальних гомеоморфізмів.

2. Вперше для довільного аперіодичного гомеоморфізму побудовано послідовність вкладених розбиттів Какутані-Рохліна, які породжують топологію канторівської множини Щ. Використовуючи розбиття Какутані-Рохліна вперше винайдена реалізація довільного аперіодичного гомеоморфізму канторівської множини у вигляді перетворення Вершика на просторі шляхів впорядкованої діаграми Браттелі. До цього часу подібна реалізація існувала тільки для мінімальних гомеоморфізмів.

3. Вперше встановлено, що комутатори повної групи і топологічної повної групи мінімальних гомеоморфізмів є повними інваріантами орбітальної еквівалентності та фліп-спряженості, відповідно. Більше того, вперше встановлено, що комутатори повних груп мінімальних гомеоморфізмів не містять нормальних дільників.

4. Вперше встановлено, що будь-який мінімальний гомеоморфізм канторівської множини може бути представлений як добуток трьох інволюцій з його повної групи.

5. Вперше встановлено щільність множини гладких борелівських автоморфізмів в групі Aut(X,B) відносно слабкої топології.

6. Вперше встановлено лінійну зв’язність групи всіх борелівських автоморфізмів в рівномірній топології, яку профакторізовано по підгрупі автоморфізмів з лічильним носієм.

7. Вперше отримано борелівські та топологічні варіанти теореми про щільность спряжених класів, тобто показано, що клас спряженості довільного аперіодичного автоморфізму (гомеоморфізму) з Aut(X,B) (з Homeo(Щ)) є щільним у множині всіх аперіодичних автоморфізмів (гомеоморфізмів) відносно рівномірної топології.

Практичне значення одержаних результатів. Робота має теоретичне значення. Одержанні результати можуть бути використанні для подальшої класифікації динамічних систем на канторівській множині і стандартному борелівському просторі, а також для вивчення -алгебр, асоційованих з динамічними системами через конструкцію схрещеного добутку.

Результати дисертації можуть бути використані в тих науково-дослідницьких центрах, де вивчаються різні аспекти теорії динамічних систем. Серед них зазначимо Інститут математики НАН України (м. Київ), Київський національний університет, Харківський національний університет, Московський державний університет, Університет Копенгагена, Норвежський Університет Наук і Технологій (Трондхайм, Норвегія), Університет М. Коперніка (Торунь, Польща) та інші.

Особистий внесок здобувача. Всі основні результати дисертації отримані автором самостійно. В роботах [] і [] С.І. Безуглому належать постановки задач. Теорема 2 і наслідок 5 в роботі [] було отримано спільно з С.І. Безуглим та А. Дулі. В роботі [] твердження 2.3 і наслідок 4.9 отримано спільно з С.І. Безуглим. В оглядовій праці [] автору належать всі нові результати.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на міжнародній конференції “Workshop on Algebraic and Topological Dynamics”, Інститут Макса-Планка (м. Бонн, Німеччина, липень 2004 р.); на міжнародній школі “Dynamique et Alea” (Мерлімонт-плаж, Франція, май 2006 р.); на міжнародній конференції “Visegrad Conference - Dynamical Systems” (Стребске-Плесо, Словаччина, червень 2007 р.), а також на семінарах по ергодичній теорії і теорії динамічних систем наступних математичних центрів: математичного відділення ФТІНТ НАН України, факультету математики і інформатики Університету ім. М. Коперніка (м. Торунь, Польща, 2004, 2005, 2006 рр.), факультету математичних наук Університету Копенгагена (Данія 2007 р.), факультету математичних наук Норвежського університету наук і технологій (м. Трондхайм, Норвегія, 2007 р.), і кафедри математики Віденського політехнічного університету (2007 р.).

Публікації. За темою дисертаційної роботи надруковано 6 статей в спеціалізованих наукових виданнях [, , , , , ].

Структура дисертації. Текст дисертації складається зі вступу та чотирьох розділів. Повний обсяг дисертацій 123 сторінки. Список використаної літератури включає 80 найменувань та розташований на 8 сторінках.

Автор висловлює подяку науковому керівникові Безуглому С.І. за постановки задач, увагу до дисертаційної роботи і численні цінні обговорення. Автор також вдячний своїй родині, без підтримки та витримки якої була би не можлива поява цієї праці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається обґрунтування теми дисертації, формулюються мета та завдання дослідження, висвітлюються питання науковою новизни, використання доведених результатів, їх теоретичне та практичне значення. Також у вступі міститься інформація про апробацію роботи та публікації, в яких було отримано основні результати дисертації.

У першому розділі подається огляд літератури за темою дисертації і висвітлюється вибір напрямків досліджень. Наводяться основні відомі на теперішній час топологічні властивості груп перетворень, які вивчаються в ергодичній теорії, борелівській та канторівській динаміках. Показано, що зазначені підрозділи теорії динамічних систем мають багато спільних результатів, особливо таких, які стосуються класифікації динамічних систем. Окремо зауважено про існування леми Рохліна в борелівській динаміці та ергодичній теорії, тобто відмічено, що множена періодичних перетворень є щільною в групі борелівських автоморфізмів стандартного борелівського простору та в групі автоморфізмів простору Лебега.

У другому розділі вивчаються топологічні властивості групи автоморфізмів стандартного борелівського простору відносно рівномірної та слабкої топології. Зазначенні топології є безпосередніми аналогами добре відомих топологій, запроваджених Халмошем в ергодичній теорії. В параграфі 2.1 визначаються рівномірна та слабка топології, а також наводяться необхідні відомості з теорії розбиттів Какутані-Рохліна для борелівських автоморфізмів.

Означення 2.9 Ми говоримо, що автоморфізм T Aut(X,B) є гладким, якщо існує борелівська множина, що перетинає кожну орбіту T рівно один раз.

Основний результат параграфу 2.2. це доведення наступної теореми.

Теорема 2.11 Множина гладких автоморфізмів є щільною в групі Aut(X,B) відносно слабкої топології. Більше того, показано, що в кожнім p-околі довільного аперіодичного автоморфізму існує гладкий аперіодичний автоморфізм.

Цей результат, зокрема, показує, що слабка топологія містить нетривіальні щільні підмножини, тобто значно відрізняється від дискретної.

В параграфі 3.7 визначене поняття діаграми Браттелі і побудована реалізація довільного аперіодичного гомеоморфізму у вигляді перетворення Вершика на просторі нескінчених шляхів діаграми Браттелі. Наведено декілька прикладів такої реалізації. Також наведено приклад діаграми Браттелі, для якої не існує гомеоморфізму Вершика. Таким чином, поставлено питання про опис діаграм Браттелі, на яких існує неперервний гомеоморфізм Вершика.

В розділі 4 вивчається питання класифікації динамічних систем відносно орбітальної еквівалентності в термінах їх повних груп.

Нагадаємо, що дві динамічні системи називаються орбітально еквівалентними, якщо існує гомеоморфізм між фазовими просторами, який відображає орбіти однієї системи на орбіти іншої. Гомеоморфізми T і S називаються фліп-спряженими, якщо T ізоморфний до S або до зворотнього до S.

В першому параграфі цього розділу встановлюються наступні дві теореми.

Теорема 4.2 Нехай і — мінімальні канторівські системи. Гомеоморфізми і орбітально еквівалентні тоді і тільки тоді, коли і ізоморфні як групи.

Теорема 4.12 Нехай і — канторівські мінімальні системі. Гомеоморфізми і фліп-спряжені тоді і тільки тоді, коли виконується одна з наступних умов:

(1) ;

(2) .

Таким чином, ми показали, що класифікація мінімальних гомеоморфізмів відносно орбітальної еквівалентності і фліп-спряженості може бути здійснена простими групами, а у випадку фліп-спряженості лічильними простими групами.

В другому параграфі четвертого розділу розглядаються аналогічні питання в борелівській динаміці.

Теорема 4.18 Нехай T і S — аперіодичні автоморфізми стандартного борелівського простору (X,B). Припустимо, що T і S мають однакові орбіти і, більш за те, відповідні орбітальні коцикли обмежені, тобто існує функція така, що і для всіх xX.

Тоді існують автоморфізм R і T-інваріантні борелівські підмножини A і B, які не перетинаються, такі, що і R здійснює ізоморфізм між T|A і S|A, а також між і .

Для автоморфізму TAut(X,B), позначимо через [[T]] множину всіх автоморфізмів S [T] (з борелівської повної групи), для яких відповідний орбітальний коцикл обмежений. Множина [[T]] є групою.

Теорема 4.19 Нехай T,SAut(X,B) — аперіодичні автоморфізми і — ізоморфізм груп. Тоді R просторово породжений, тобто , g [[T]] для деякого автоморфізма .

Ми скажемо, що автоморфізми R і S, з однаковими орбітами, фліп-спряжені, якщо існує розбиття простору X=A?B на інваріантні підмножини так, що S|A ізоморфний T|A і ізоморфний . Наведене відношення є відношенням еквівалентності на групі Aut(X,B).

Наслідок 4.20 Борелівські автоморфізми R і S фліп-спряжені тоді і тілько тоді, коли їх повні групи [[T]] і [[S]] ізоморфні.

ВИСНОВКИ

В дисертації побудовано теорію апроксимації гомеоморфізмів канторівської множини через періодичні гомеоморфізми. Це дозволило вирішити декілька проблем, зокрема, побудувати гомеоморфізм, клас спряженості якого є щільним в Homeo(Щ) відносно рівномірної топології.

Було винайдено реалізацію аперіодичних гомеоморфізмів у вигляді перетворення Вершика на просторі нескінчених шляхів діаграм Браттелі. Іншими словами, вдалося знайти відповідний аналог леми Рохліна (або, що теж саме, розбиттів Какутані-Рохліна) для аперіодичних гомеоморфізмів. Ця реалізація дозволить в подальшому використовувати методи діаграм Браттелі для вивчення аперіодичних динамічних систем і -алгебр асоційованих з ними.

Використовуючи техніку К-Р розбиттів, було показано, що кожен мінімальний гомеоморфізм належить до комутатора його повної групи. Було також встановлено, що комутатор повної групи є алгебраїчно простою групою і повністю визначає клас орбітальної еквівалентності мінімального гомеоморфізму. Таким чином питання класифікації динамічних систем відносно орбітальної еквівалентності зводиться до класифікації простих груп.

Аналогічно було показано, що комутатор топологічної повної групи є простою групою і визначає клас фліп-спряженості мінімального гомеоморфізму. Запропонований метод доведення є загальним і може бути використано для вивчення транзитивних гомеоморфізмів.

Встановлено, що кожен мінімальний гомеоморфізм може бути представлено як добуток трьох інволюцій з його повної групи. Подібні результати існували раніше тільки для автоморфізмів різних булевих алгебр і перетворень, що зберігають міру.

При вивченні борелівських автоморфізмів, було встановлено, що група

є лінійно зв’язною відносно рівномірної топології. Зауважимо, що подібна факторизація є природною також і для ергодичної теорії. В групі також виконується лема Рохліна і властивість Рохліна. Ці результати свідчать, що група є аналогом групи несингулярних автоморфізмів.

Слабка топологія на групі Aut(X,B) містить велику кількість відкритих множин, але, у той же час, не є дискретною. Було встановлено, що множина гладких борелівських автоморфізмів щільна в групі Aut(X,B).

Дана дисертаційна робота, у поєднані з роботами Безуглого, Дулі і Квіатковського, дозволяє розглядати ергодичну теорію, борелівську і канторівську динаміки з єдиних позицій. Такі дослідження відокремлюють найбільш загальні результати, які залежать тільки від структурних властивостей фазових просторів, а не від зафіксованого класу мір.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ

[1] BezuglyiMedynetsSmooth automorphisms and path-connectedness in Borel dynamicsIndag. Mathem., N.S. — 2004. — Vol. , no. . — Pp. 453–468.

[2] BezuglyiDooleyMedynetsThe Rokhlin lemma for homeomorphisms of a Cantor setProc. Am. Math. Soc. — 2005.— Vol. 133, no. .— Pp. – 2964.

[3] BezuglyiKwiatkowskiMedynetsApproximation in ergodic theory, Borel, and Cantor dynamicsContemporary Math. — 2005.— Vol. 385.— Pp. –64.

[4] MedynetsCantor aperiodic systems and Bratteli diagramsC. R., Math., Acad. Sci. Paris.— 2006.— Vol. 342, no. . — Pp. –46.

[5] MedynetsOn approximation of homeomorphisms of a Cantor setFund. Math. — 2007. — Vol. 194.— Pp. –13.

[6] BezuglyiMedynetsFull groups, flip conjugacy, and orbit equivalence of Cantor minimal systemsColloq. Math. — 2008.— Vol. 110, no. .— Pp. –429.

АНОТАЦІЯ

Мединець К.С. Апроксимація перетворень стандартних борелівських просторів та канторівських множин. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01. – математичний аналіз. Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України, Харків, 2008.

В дисертації вивчаються топологічні властивості групи всіх борелівських автоморфізмів стандартного борелівського простору та групи гомеоморфізмів канторівської множини. Встановлено топологічний аналог леми Рохліна для гомеоморфізмів канторівської множини, тобто доведено щільність множини періодичних гомеоморфізмів. Для аперіодичних гомеоморфізмів лема Рохліна може бути сформульована наступним чином: довільний аперіодичний гомеоморфізм є ізоморфним перетворенню Вершика, яке діє на просторі шляхів діаграми Браттелі. Досліджено питання про орбітальну еквівалентність та фліп-спряженість мінімальних гомеоморфізмів в термінах їх повних груп. Описанні замикання деяких класів автоморфізмів стандартного борелівського простору і гомеоморфізмів канторівської множини.

Ключові слова: борелівські автоморфізми, гомеоморфізми канторівської множини, діаграми Браттелі, повні групи, орбітальна еквівалентність, лема Рохліна.

АННОТАЦИЯ

Мединец К.С. Аппроксимация преобразований стандартных борелевских пространств и канторовских множеств. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01. – математический анализ. Физико-технический институт низких температур им. Б.И. Веркина НАН Украины, Харьков, 2008.

В диссертации изучаются топологические свойства группы борелевских автоморфизмов стандартного борелевского пространства и группы гомеоморфизмов канторовского множества. Первая глава очерчивает основные этапы развития эргодической теории, борелевской и канторовской динамик, касающиеся топологических свойств групп преобразований и орбитальной эквивалентности динамических систем. Также сформулированы те проблемы, решению которых посвящена диссертационная работа.

Во второй главе исследуются топологические свойства группы борелевских автоморфизмов. Топологии на группе автоморфизмов определяются аналогично равномерной и слабой топологий, изучаемых в эргодической теории. Эти топологии позволяют построить теорию аппроксимации автоморфизмов, как это было сделано в эргодической теории. Доказана плотность множества гладких автоморфизмов (естественное расширение множества периодических автоморфизмов) в слабой топологии. Показано, что группа автоморфизмов имеет свойство Рохлина в равномерной топологии, т.е. существует автоморфизм, класс сопряженности которого плотен во всей группе. Показано также, что класс сопряженности произвольного апериодического автоморфизма плотен в множестве апериодических преобразований относительно равномерной топологии. Установлено, что фактор группа группы борелевских автоморфизмов по подгруппе автоморфизмов, имеющих счетный носитель, является линейно связной в равномерной топологии. Описаны топологические свойства множеств, образованных периодическими и апериодическими автоморфизмами.

В третьей главе исследуются топологические свойства группы гомеоморфизмов канторовского множества относительно равномерной и слабой топологий (введенных аналогично группе борелевских автоморфизмов). Получен топологический аналог леммы Рохлина, т.е. установлена плотность множества периодических гомеоморфизмов относительно равномерной топологии. Как следствие, показано, что существует гомеоморфизм, класс сопряженности которого всюду плотен.

Получено обобщение теоремы Лузина об аппроксимации борелевских автоморфизмов (из полной группы произвольного гомеоморфизма канторовского множества) с помощью гомеоморфизмов из топологической полной группы в равномерной топологии. Доказано также, что класс сопряженности произвольного апериодического гомеоморфизма плотен в множестве апериодических гомеоморфизмов относительно равномерной топологии.

Построена теория разбиений Какутани-Рохлина и, как следствие, теория диаграмм Браттели для апериодических гомеоморфизмов канторовского множества. Другими словами, было показано, что каждый апериодический гомеоморфизм канторовского множества может быть реализован как преобразование Вершика на пространстве путей некоторой упорядоченной диаграммы Браттели. Исследованы свойства полных групп минимальных гомеоморфизмов. Показано, что коммутаторы полной и топологической полной групп являются алгебраически простыми группами. Найдено представление минимального гомеоморфизма в виде произведения инволюций из его полной группы.

В четвертой главе рассматривается понятие орбитальной эквивалентности и флип-сопряженности для минимальных гомеоморфизмов канторовского множества и апериодических автоморфизмов стандартного борелевского пространства. Показано, что коммутаторы полной и топологической полной групп минимального гомеоморфизма полностью определяют класс орбитальной эквивалентности и флип-сопряженности динамической системы, соответственно. Тем самым классификация минимальных гомеоморфизмов сводится к классификации простых групп. Доказательства этих результатов основываются на существовании разбиений Какутани-Рохлина для минимальных гомеоморфизмов и реализации инволюций из полной группы в виде произведения коммутаторов (установлено в третьем параграфе), а также на алгебраическом описании локальных подгрупп.

Показано, что если два апериодических борелевских автоморфизма орбитально эквивалентны и если орбитальный коцикл ограничен, то автоморфизмы флип-сопряженны. Как следствие показано, что для всякого апериодического борелевского автоморфизма подгруппа полной группы, состоящая из автоморфизмов с ограниченным орбитальным коциклом, является полным инвариантом флип-сопряженности.

Ключевые слова: борелевские автоморфизмы, гомеоморфизмы канторовского множества, диаграммы Браттели, полные группы, орбитальная эквивалентность, лемма Рохлина.

ABSTRACT

Medynets K.S. Approximation of transformations of standard Borel spaces and Cantor sets. – Manuscript.

Thesis for PhD degree’s by speciality 01.01.01. – Mathematical Analysis. B. Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkіv, 2008.

This thesis is devoted to the study of transformation groups arising in Borel and Cantor dynamics. The objects of the research are the group of Borel automorphisms of a standard Borel space and the group of homeomorphisms of a Cantor set. The topological and algebraic properties of these groups are given a detailed consideration. The closures of some natural families of homeomorphisms and Borel automorphisms are described. One of the main results is the Rokhlin lemma for homeomorphisms of a Cantor set. It is proved that the set of periodic homeomorphisms is dense in the group of all homeomorphisms. For aperiodic homeomorphisms, the Rokhlin lemma can be stated as follows: every aperiodic homeomorphism is isomorphic to the Vershik map acting on the path-space of a Bratteli diagram. Other results are focused on the study of orbit equivalence and flip-conjugacy for minimal homeomorphisms and aperiodic Borel automorphisms in the terms of their full groups.

Key words: Borel automorphisms, homeomorphisms of a Cantor set, Bratteli diagrams, full groups, orbit equivalence, the Rokhlin lemma.