НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

МУРАТОВ Мустафа Абдурешитович

УДК 517.98

ЗБІЖНОСТІ, ЕРГОДИЧНІ ТЕОРЕМИ

І ЗОБРАЖУВАЛЬНІСТЬ В АЛГЕБРАХ

ВИМІРНИХ ФУНКЦІЙ ТА ОПЕРАТОРІВ

01.01.01 — математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті

ім. В. І. Вернадського, м. Сімферополь.

Науковий консультант

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

САМОЙЛЕНКО Юрій Стефанович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу функціонального аналізу.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

АНТОНЕВИЧ Анатолій Борисович,

Білоруський державний університет (м. Мінськ),

професор кафедри функціонального аналізу;

доктор фізико-математичних наук,

ОСТРОВСЬКИЙ Василь Львович,

Інститут математики НАН України (м. Київ),

провідний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук

НЕССОНОВ Микола Іванович,

Фізико-технічний інститут низьких температур

ім. Б.І.Вєркіна НАН України (м. Харків),

старший науковий співробітник.

Захист відбудеться  “24” червня 2008 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий  “21” травня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк A.C.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження з теорії операторних алгебр були започатковані в роботах Дж. фон Неймана і Дж. Мюррея (1936, 1937, 1940, 1943 рр.), в яких вивчалися слабко замкнуті *-алгебри лінійних операторів в гільбертових просторах; пізніше вони були названі алгебрами фон Неймана.

Згодом було введено і почали вивчати рівномірно замкнуті операторні алгебри, так звані -алгебри (І. М. Гельфанд, М. А. Наймарк, 1943 р.).

Головними джерелами цих досліджень були:

1) застосування отриманих результатів до теорії унітарних зображень груп;

2) аналіз математичних аспектів квантово-механічного формалізму.

Плідна взаємодія математичних і фізичних ідей дозволила

побудувати, з одного боку, змістовну структурну теорію операторних алгебр, а з іншого, отримати важливі наслідки в квантовій фізиці. Докладний виклад фізичних питань наведено в монографії У. Браттелі, Д. Робінсона "Операторні алгебри і квантова

статистична механіка" (1982).

Уже на рівні канонічних комутаційних співвідношень квантової механіки з необхідністю виникають алгебри необмежених операторів. Відзначимо ґрунтовні монографії з алгебр необмежених операторів K. Schmudgen "Unbounded Operator Algebras and Representation Theory" (1990) та J. Р. Antoine, А. Inoue, C. Trapani "Partial *-Algebras and Their Operator Realizations" (2002). Сучасна теорія операторних алгебр, і зокрема алгебр необмежених операторів, активно розвивається та займає одне з чільних місць у

дослідженнях з алгебри, функціонального аналізу, теорії зображень тощо.

Нехай – гільбертів простір, а – алгебра всіх обмежених лінійних операторів, діючих в .

*-Підалгебра , яка містить тотожний оператор і, крім того, замкнута в слабкій операторній топології, називається алгеброю фон Неймана.

Зазначимо, якщо – комутант алгебри фон Неймана , то алгебра задовольняє наступну характеристичну рівність: .

З'ясувалось, що алгебри фон Неймана є природними некомутативними аналогами алгебр комплексних істотно обмежених вимірних функцій , де –

вимірний простір з повною локально скінченною мірою (див., наприклад, Sh. Sakai (1971), J. Dixmier (1981)). Цей факт привів до побудови природних некомутативних аналогів кільця усіх комплексних вимірних функцій на просторі .

Один з перших підходів до введення некомутативного варіанту кільця вимірних функцій був запропонований І. Сігалом (1953), який розглянув *-алгебру вимірних операторів, приєднаних до довільної алгебри фон Неймана . В подальшому, для цілей некомутативного інтегрування, вивчалися *-підалгебри в усіх -вимірних операторів, асоційовані з точним нормальним напівскінченним слідом на (див., наприклад, Е. Nelson (1974), F. J. Yeadon (1975), Т. Fack , Н. Kosaki (1986)). Алгебри і є *-алгебрами замкнутих, щільно визначених лінійних операторів, діючих у тому ж гільбертовому просторі , що й сама алгебра фон Неймана

. При цьому, всі ці оператори приєднані до , а алгебраїчні операції в цих *-алгебрах співпадають з операціями "сильної" суми "сильного" добутку, переходу до

спряженого оператора і звичайного добутку на скаляри. Сама алгебра фон Неймана є *-підалгеброю як у , так і в , і співпадає з множиною всіх обмежених операторів з із .

Інший важливий клас *-алгебр замкнутих операторів, діючих у гільбертовому просторі і приєднаних до алгебри фон Неймана , в яких *-підалгебра обмежених операторів задовольняє рівність:

був введений П. Діксоном \ (1973), який назвав їх -алгебрами. Крім зазначених вище

*-алгебр і , -алгебрами є *-алгебри локально вимірних

операторів, приєднаних до . У роботі Закірова Б.С., Чіліна В.І. (1991) було виявлено, що довільна -алгебра , у якої є *-підалгеброю в , що виділяє *-алгебри у класі -алгебр.

Дослідження алгебр , і були зв'язані передусім з побудовою некомутативної теорії міри та теорії не комутативного інтегрування для точних нормальних напівскінченних слідів, заданих на алгебрі фон Неймана . І. Сігал

дослідив банахові простори інтегровних й інтегровних з квадратом операторів, а також розглянув збіжність майже скрізь послідовностей вимірних операторів. Там же була введена і збіжність за мірою (як зірочна до збіжності майже скрізь). У цій роботі було отримано узагальнення таких основних результатів теорії міри, як теореми Фішера-Рісса,

Радона-Нікодима, теореми Лєбега про монотонну збіжність, певний варіант теореми Фубіні, а також запропонована ідея вивчення властивостей операторів і послідовностей операторів з алгебри фон Неймана або приєднаних до неї за допомогою методів теорії міри і теорії ймовірностей. У цьому напрямку було отримано цілий ряд нових результатів: W. F. Stinespring (1959), S. Sankaran (1959, 1964), А. R. Padmanabhan (1967), Е. Nelson (1974), F. J. Yeadon (1974, 1975), M. S. Goldstein (1981), А. Paszkiewicz (1985, 1986) та ін.

У роботах автора (2002) було запропоновано розглядати двосторонні аналоги збіжності майже скрізь і за мірою, що дозволило досліджувати порядкові властивості збіжних послідовностей.

Вивченню властивостей різних класів банахових просторів вимірних і локально вимірних операторів присвячено роботи багатьох авторів: Овчинніков В. І. (1970, 1971), F.~J.~Yeadon (1980), Чілін В. І. (1987, 1988, 1991), Сукочев Ф. О. (1987, 1988), Р. G. Dodds, Т. K. Dodds, В. Pagter (1989, 1990, 1992) та інших. Ці роботи знаходяться на стику теорії операторних алгебр і теорії бананових просторів.

Таким чином, вивчення *-алгебр вимірних і локально вимірних операторів, приєднаних до алгебри фон Неймана, їх ергодичних властивостей, зображувальності в цих алгебрах є важливою і актуальною задачею функціонального аналізу, теорії зображень, теорії некомутативного інтегрування та некомутативної теорії ймовірностей.

Дисертаційну роботу присвячено дослідженню структурних властивостей *-алгебр вимірних, -вимірних і локально вимірних операторів, вивченню різних збіжностей у цих алгебрах (за мірою, майже скрізь, порядкових), доведенню аналогів індивідуальної ергодичної теореми в просторах вимірних операторів, приєднаних до скінченної алгебри фон Неймана, аналогів домінантної ергодичної теореми в симетричних просторах вимірних операторів, приєднаних до комутативної алгебри фон

Неймана, а також дослідженню зображувальності в цих алгебрах.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати, що містяться в дисертації, пов'язані з плановими науковими дослідженнями кафедри математичного аналізу Таврійського національного університету ім. В.І. Вернадського: "Операторні методи в лінійній гідродинаміці і суміжні питання теорії оператор-функцій" (1996-2000 рр., номер державної реєстрації 0198U005792), "Математичний аналіз і його застосування" (2001-2005 рр., номер державної реєстрації 0101U005257), "Операторні методи в початково-краєвих спектральних і екстремальних задачах" (2006-2008 рр., номер державної реєстрації 0106U001753), а також пов'язані з науковою темою відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України "Спектральна теорія операторів і її застосування до задач математичної фізики", номер державної реєстрації 0101U000321.

Мета і завдання дослідження. Метою дисертації є побудова структурної теорії *-алгебр вимірних, -вимірних і локально вимірних операторів, приєднаних до алгебри фон Неймана, дослідження взаємозв'язку між різними збіжностями послідовностей операторів у цих *-алгебрах, доведення аналогів індивідуальної ергодичної теореми в просторах вимірних операторів, приєднаних до скінченної алгебри фон Неймана, і аналогів домінантної ергодичної теореми в симетричних просторах вимірних операторів, приєднаних до комутативної алгебри фон Неймана, а також дослідження зображувальності різних комутаційних співвідношень у цих алгебрах.

Завданнями дослідження є:

- знаходження необхідних і достатніх умов для попарних співпадінь *-алгебр , , і ;

- побудова прикладів алгебр фон Неймана, коли ці *-алгебри не співпадають;

- дослідження питання про існування алгебр фон Неймана, для яких наступні вкладення строгі:

- вивчення різних збіжностей послідовностей і сітей вимірних і локально вимірних операторів (за мірою, майже скрізь, локально за мірою, локально майже скрізь, порядкових) і встановлення взаємозв'язків між ними;

- доведення аналогів індивідуальної ергодичної теореми про порядкову збіжність середніх Чезаро для абсолютних стисків у некомутативних просторах вимірних операторів, приєднаних до скінченної алгебри фон Неймана;

- доведення аналогів домінантної ергодичної теореми для послідовностей абсолютних стисків симетричних просторів вимірних операторів, приєднаних до комутативної алгебри

фон Неймана;

- дослідження питання зображувальності в *-алгебрах і різних комутаційних співвідношень.

Об'єктом дослідження є *-алгебри вимірних, -вимірних і локально вимірних операторів, приєднаних до алгебри фон Неймана, а також симетричні простори вимірних операторів.

Предметом дослідження є структурні та топологічні властивості *-алгебр вимірних, ф-вимірних і локально вимірних операторів, різні збіжності послідовностей і сіток таких операторів, індивідуальна ергодична теорема в просторах , домінантна ергодична теорема в симетричних просторах.

Методика дослідження. При дослідженні структурних і топологічних властивостей *-алгебр вимірних, ф-вимірних і локально вимірних операторів і доведення аналогів індивідуальної ергодичної теореми в просторах , істотно використовуються методи функціонального аналізу, теорії алгебр фон Неймана, теорії некомутативного інтегрування, порядкова структура цих *-алгебр. При доведенні аналогів домінантної ергодичної теореми використовуються методи банахових просторів вимірних функцій,

теорії міри і ергодичної теорії. При дослідженні питання про зображувальність комутаційних співвідношень і сильної комутовності вимірних операторів використовуються методи теорії зображень і теорії груп Лі.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі вперше отримано такі результати:

- досліджено питання про співвідношення між алгеброю фон Неймана , *-алгеброю вимірних операторів, *-алгеброю ф-вимірних операторів й *-алгеброю локально вимірних операторів, зокрема доведено необхідні та достатні умови, за яких ці алгебри попарно рівні між собою;

- побудовано клас прикладів алгебр фон Неймана, для яких існують вимірні оператори, що не є ф-вимірними для жодного точного нормального напівскінченного сліду ;

- введено і детально вивчено поняття двосторонньої збіжності майже скрізь в *-алгебрах вимірних операторів, що дозволяє використовувати в дослідженнях порядкову структуру таких алгебр;

- досліджено взаємозв'язок між збіжностями за мірою, майже скрізь, локальною за мірою, локально майже скрізь і порядковими збіжностями в алгебрах вимірних операторів;

- доведено аналог індивідуальної ергодичної теореми про порядкову збіжність середніх Чезаро для абсолютних стисків просторів , , вимірних операторів, що приєднані до скінченної алгебри фон Неймана ;

- доведено ряд аналогів домінантної ергодичної теореми в перестановочно-інваріантних просторах вимірних операторів, що приєднані до комутативної алгебри фон Неймана, для різних типів ергодичних нерівностей; зокрема доведено аналог домінантної ергодичної теореми в просторах Орліча;

- досліджено питання про сильне комутування двох самоспряжених вимірних операторів і про зображувальність в алгебрах вимірних операторів різних типів комутаційних співвідношень.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані у функціональному аналізі, теоретичній фізиці, теорії зображень, некомутативному інтегруванні та некомутативній теорії ймовірностей.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані автором особисто і самостійно. З сумісних робіт на захист виносяться лише ті положення, що здобуті автором самостійно. Зокрема, з монографії [1] і робіт [10, 11, 14, 15, 19, 21, 26], написаних спільно з В.І. Чіліним, до дисертації ввійшли результати, що належать особисто автору: теореми про співвідношення між алгеброю фон Неймана , *-алгеброю вимірних операторів і *-алгеброю локально вимірних операторів, теореми про *-алгебри ф-вимірних операторів, теореми про двосторонню збіжність за мірою і майже скрізь, порядкові збіжності, локальні збіжності за мірою і майже скрізь, теорема про порядкову збіжність середніх Чезаро для абсолютних стисків просторів ; з робіт [9, 12, 13, 27], написаних спільно з Б.А. Рубштейном і Ю.С. Пашковою, до дисертації ввійшли теореми про симетричний простір , зокрема, для простору Орліча, і аналоги домінантної ергодичної теореми для послідовностей абсолютних стисків. У роботі [20], що написана в співавторстві з Ю.С. Самойленком, автору належать

твердження 1–5 і теорема 2. В роботі [23], написаній у співавторстві з Д.В. Галінським, автору належать твердження 2.1 і теорема 2.1.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційного дослідження доповідалися на засіданнях Київського міського семінару з функціонального анлізу (Інститут математики НАН України, керівники академік НАН України проф. Ю.М.Березанський, член-кор. НАН України проф. М.Л.Горбачук, член-кор. НАН України проф. Ю.С.Самойленко) та семінару "Алгебраїчні питання функціонального аналізу" (Інститут математики НАН України, керівник член-кор. НАН України проф. Ю.С. Самойленко), на Ташкентському міському семінарі з функціонального аналізу (керівники академік НАН Узбекистану проф. Ш.А. Аюпов, проф. В.І. Чілін, 1980–2007), на семінарі проф. Г.Р. Беліцького в університеті ім. Бен-Гуріона (Бєєр-Шева, Ізраїль, 2004), на математичному колоквіумі проф. Е.Х. Якубова в ХАІТ (Холон, Ізраїль, 2004), на семінарах кафедри математичного факультету Таврійського національного університету (1998–2008), на наступних наукових конференціях і в школах, а саме: на XV Всесоюзній зимовій математичній школі (Воронєж, 1981); на Міжнародній конференції з функціонального аналізу в рамках Українського математичного конгресу (Київ, 2001); на Воронєжській зимовій математичній школі – 2002 (Воронєж, 2002); на Міжнародної конференції з функціонального аналізу і його застосувань (Львів, 2002); на Міжнародній конференції "Теорія зображень, динамічні системи й асимптотична комбінаторика" (Санкт-Петербург, 2004); на Міжнародній конференції "Симетрія в нелінійній математичній фізиці" (Київ, 2005); на Міжнародній конференції "Операторні алгебри та квантова теорія ймовірностей" (Ташкент, 2005); на Міжнародній конференції "Сучасний Аналіз і застосування" (Одеса, 2007); на Міжнародній конференції, присвяченій 106-річчю з дня народження І. Г. Пєтровського (Москва, 2007); на Воронєжській зимовій математичній школі С. Г. Крейна – 2008 (Воронєж, 2008); на II–XVIII Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах: КРОМШ-2 – КРОМШ-18 (Севастополь, 1991–2007); на наукових конференціях професорсько-викладацького складу Таврійського національного університету (Сімферополь, 1991-2008).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано у 38 наукових працях, з них: 1 монографія ([1]), 20 статей в спеціалізованих наукових виданнях, занесених до переліку ВАК України ([2–7], [9–22]), 3 статті в працях Міжнародних конференцій ([8], [23], [24]), 3 статті в інших наукових виданнях ([25–27]) і 11 тез доповідей на міжнародних конференціях {[28–38]}.

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів і списку

літератури, що становить 181 найменування та займає 15 сторінок. Повний обсяг роботи - 289 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У розділі 1 наведено необхідні відомості з теорії алгебр фон Неймана, теорії локально вимірних операторів і теорії симетричних просторів вимірних функцій на півосі . Докладний виклад теорії алгебр фон Неймана можна знайти, наприклад, в монографіях: J. Dixmier "Von Neumann Algebras" (1981), M. Takesaki "Theory of operator algebras I" (1979), S. Struatiluа, L. Zsid'о "Lectures on von Neumann algebras" (1979), Sh. Sakai "-algebras and -algebras" (1971). Ми обмежуємося переліком тих результатів цієї теорії, які необхідні для подальшого викладення результатів дисертації, зокрема, фактів, що стосуються структури всіх проекторів алгебр фон Неймана та класифікації таких алгебр. Більш докладний виклад теорії симетричних (перестановочно-інваріантних) просторів міститься у працях: Крейн С. Г., Петунін Ю. І., Семенов Є. М. "Інтерполяція лінійних операторів" (1978), Lindenstrauss J. and Tzafriri L. "Classical Banach Spaces. function Spaces" (1979), Krengel U. "Ergodik Theorems" (1985).

У розділі 2 досліджуються порядкові властивості *-алгебр вимірних, – ф-вимірних і – локально вимірних операторів, приєднаних до алгебри фон Неймана .

У § 2.1 вивчається зв'язок між *-алгеброю вимірних операторів і алгеброю фон Неймана . Зрозуміло, що і якщо – алгебра фон Неймана типу , то . Якщо ж – алгебра фон Неймана типу , то . Основним результатом цього параграфа є теорема 2.1.3.

Теорема 2.1.3. Наступні твердження еквівалентні:

(і) .

(іі) розкладається в пряму суму

,

де – алгебра фон Неймана типу , а – фактори типу , , і – певне натуральне число (деякі з доданків можуть бути відсутніми).

У § 2.2 досліджується зв'язок між *-алгеброю локально вимірних операторів і *-алгеброю . *-Алгебра є *-підалгеброю в . Якщо – скінченна алгебра фон Неймана або – фактор, то . Якщо ж алгебра фон Неймана є -добутком нескінченного числа нескінченних алгебр фон Неймана, то . Основним результатом § 2.2 є теорема 2.2.16.

Теорема 2.2.16. Наступні твердження еквівалентні:

(і) .

(іі) розкладається в пряму суму

,

де – скінченна алгебра фон Неймана, а – фактори типу , , , , і – певне натуральне число (деякі з доданків можуть бути відсутніми).

Використовуючи частковий порядок, доводимо, що *-алгебра є заповненою підалгеброю в .

У § 2.3 розглядається прямий добуток алгебр вимірних і локально вимірних операторів. Конструкція алгебр локально вимірних операторів витримує взяття прямого добутку, а конструкція алгебри вимірних операторів - ні. Одним з основних результатів цього параграфа є теорема 2.3.4.

Теорема 2.3.4. Наступні умови еквівалентні:

(і) .

(іі) розкладається в пряму суму

,

де – фактори типу або , , і – певне натуральне число (деякі з доданків можуть бути відсутніми).

У § 2.4 досліджуються *-алгебри ф-вимірних операторів, асоційовані з різними точними нормальними напівскінченними слідами на алгебрі фон Неймана . Взагалі,

.

Якщо – фактор типу , то

.

Якщо – фактор типу , то

.

*-Алгебра є заповненою *-підалгеброю в . *-Алгебра залежить від заданого в алгебрі фон Неймана сліду . Якщо – множина всіх точних нормальних напівскінченних слідів , то

.

Будуються приклади, для яких ці включення є строгими.

У розділі 3 досліджуються односторонні та двосторонні збіжності за мірою, майже скрізь, локально за мірою, локально майже скрізь і порядкові збіжності послідовностей і сіток операторів з і та розглядаються співвідношення між ними.

У § 3.1, разом з односторонньою збіжністю за мірою, досліджується і двостороння збіжність за мірою послідовностей вимірних операторів, приєднаних до скінченної алгебри фон Неймана. Доводиться, що двостороння збіжність за мірою в співпадає зі збіжністю у векторній топології , базис околів оператора якої утворюють множини вигляду , де і - довільні додатні числа, а

відносно якої є хаусдорфовим топологічним векторним простором. Основним результатом цього параграфа є теорема про співпадіння топологій односторонньої і двосторонньої збіжності за мірою.

У § 3.2 досліджуються одностороння і двостороння збіжності майже скрізь, а також - питання про співвідношення між цими збіжностями та збіжністю за мірою. В цілому має місце наступна імплікація:

Основними результатами цього параграфа є теорема 3.2.13, в якій вказано необхідні й достатні умови співпадіння односторонньої і двосторонньої збіжності майже скрізь.

Теорема 3.2.13. Наступні умови еквівалентні:

(i) Якщо при , то для довільного існує така послідовність центральних проекторів що

(i1)

(i2)

(i3)

(ii) для довільної послідовності

(iii) для довільної послідовності

(iv) є алгеброю фон Неймана типу .

Теорема 3.2.14. являє собою аналог теореми Єгорова для двосторонньої збіжності майже скрізь.

Теорема 3.2.14. Для того, щоб послідовність операторів збігалась

до оператора двосторонньо майже скрізь, необхідно та достатньо, щоб для довільного існував такий проектор що

для будь-якого та

при .

Знайдено ряд властивостей двосторонньої збіжності майже скрізь, зокрема виявлено, що операції алгебри добутку на скаляр, суми, інволюції і множення зліва та справа на вимірні оператори неперервні щодо цієї збіжності.

У § 3.3 досліджуються порядкові збіжності (-збіжність і

-збіжність) в *-алгебрі вимірних операторів, приєднаних до скінченної алгебри фон Неймана знайдено властивості цих збіжностей і розглядається питання про співвідношення між цими збіжностями та збіжностями за мірою і майже скрізь. У теоремі 3.3.2 доводиться еквівалентність порядкової обмеженості й обмеженості у топології збіжності за мірою зростаючої послідовності позитивних вимірних операторів.

Теорема 3.3.2. Нехай – зростаюча послідовність операторів з . Наступні умови еквівалентні:

(i) порядково обмежена у ;

(ii) обмежена в топології збіжності за мірою;

(iii) Не існує ненульового проектора і зростаючої до нескінченності послідовності додатних чисел таких, що .

В загальному випадку має місце наступна імплікація:

Використовуючи ці результати, доведено, що одностороння збіжність майже скрізь, двостороння збіжність майже скрізь і збіжність за мірою збігаються тоді і лише тоді, коли алгебра фон Неймана атомічна. В теоремі 3.3.18 стверджується, що для алгебри фон Неймана типу -збіжність співпадає зі збіжністю майже скрізь.

Теорема 3.3.18. Нехай - скінченна алгебра фон Неймана, – точний нормальний скінченний слід на . Наступні умови еквівалентні:

(i) Алгебра фон Неймана має тип ,

(ii) Довільна -збіжна послідовність в збігається майже скрізь.

У § 3.4 досліджується топологія збіжності за мірою в *-алгебрі -вимірних операторів, приєднаних до напівскінченної алгебри фон Неймана. Основним результатом цього параграфа є теорема 3.4.12, в якій доводиться, що *-алгебри та

співпадають тоді і лише тоді, коли співпадають топології збіжності за мірою, визначені слідами і .

Теорема 3.4.12. Нехай та – два точних нормальних напівскінченних сліди на алгебрі фон Неймана . Тоді наступні умови еквівалентні:

(i) Топології збіжності за мірою та співпадають на ;

(ii) *-Алгебри і співпадають;

(iii) і .

У § 3.5 розглядаються топології збіжності локально за мірою і двосторонньо локально за мірою в *-алгебрі , а в § 3.6 – збіжності майже скрізь і локально майже скрізь у . Основними результатами цих параграфів є теореми 3.6.5 і 3.6.9.

Теорема 3.6.5. Наступні умови еквівалентні:

(i) Будь-яка збіжна локально майже скрізь послідовність операторів з є збіжною майже скрізь у

(ii) Алгебра фон Неймана розкладається в пряму суму

,

де – скінченна алгебра фон Неймана, а – фактори типу , або , , і – певне натуральне число (деякі з доданків можуть бути відсутніми).

Теорема 3.6.9. Наступні умови еквівалентні:

(i) Будь-яка збіжна локально майже скрізь послідовність операторів з є збіжною локально за мірою в ;

(ii) Алгебра фон Неймана розкладається в -добуток

,

де – фактори типу або , , де – деяка множина індексів.

У розділі 4 досліджуються аналоги індивідуальної ергодичної теореми в просторах , вимірних операторів, приєднаних до скінченної алгебри фон Неймана , а також аналоги домінантної ергодичної теореми в симетричних просторах вимірних операторів, приєднаних до комутативної алгебри фон Неймана. Зазначимо, що простори також є прикладами симетричних просторів.

У §4.1 наведено деякі факти з теорії некомутативного інтегрування, зокрема, означення просторів і .

У §4.2 доводиться аналог індивідуальної ергодичної теореми про порядкову збіжність послідовності середніх Чезаро для абсолютних стисків просторів для випадку, коли . Ця теорема являє собою часткове розв'язання проблеми Ф.Йедона (1977) про збіжність майже скрізь середніх Чезаро для довільного оператора .

Статистичні ергодичні теореми в алгебрах фон Неймана було отримано вперше в роботах I.Kovacs, J.Szucs (1966), Е.Lance (1975), Е.Radin (1971), індивідуальна ергодична теорема для перетворення зсуву в алгебрах локально спостережуваних – у роботі Я.Г. Синая і В.В. Аншельовича (1976). Е.Lance (1976) довів: якщо – автоморфізм довільної алгебри фон Неймана , що зберігає точний нормальний стан, то для довільного оператора послідовність середніх Чезаро

збігається майже скрізь.

F.Yeadon у роботі "Ergodic theorem for semifinite von Neumann algebras, I" (1977) довів індивідуальну ергодичну теорему в наступній ситуації: нехай – лінійне додатне відображення алгебри фон Неймана таке, що

,

де – точний нормальний напівскінченний слід. Тоді якщо – продовження відображення на , то для довільного оператора послідовність середніх Чезаро

збігається майже скрізь. Якщо ж – продовження відображення на , то

для довільного оператора послідовність середніх Чезаро збігається двосторонньо майже скрізь. Аналогічний результат було отримано М. Ш. Гольдштейном (1981) для випадку, коли – точний нормальний стан на .

Як вже було відмічено, збіжність майже скрізь і двостороння збіжність майже скрізь в алгебрах фон Неймана, що не мають тип , взагалі, не співпадають. Тому питання про збіжність майже скрізь послідовності середніх для всіх до цього часу залишається відкритим. У випадку, коли алгебра фон Неймана скінченна, збіжність майже скрізь сильніша ніж -збіжність, яка, в свою чергу, сильніша ніж двостороння збіжність майже скрізь. Для алгебр фон Неймана типу ці три збіжності співпадают. А загалом, це різні поняття.

Разом з -збіжністю в послідовності операторів з можна розглядати і -збіжність у просторах , коли сама послідовність і стискаючі її монотонні послідовності лежать у . Очевидно, що якщо послідовність -збігається в , то -збігається і в . Зворотне твердження, кажучи невірне навіть для комутативної алгебри фон Неймана. Тому, звичайно, виникає питання про -збіжності послідовності середніх Чезаро в для всіх . В даному параграфі дається позитивна відповідь на це питання для випадку .

Теорема 4.2.1. Нехай – точний нормальний скінченний слід на алгебрі фон Неймана і

- абсолютний стиск. Тоді для кожного послідовність -збігається в .

У §4.3 доведено ряд аналогів домінантної ергодичної теореми для послідовностей абсолютних стисків симетричних просторів вимірних функцій на піввісі, для яких виконуються різні типи ергодичних нерівностей. Зазначимо, що ці простори представляють собою простори вимірних операторів, приєднаних до комутативної алгебри фон Неймана.

Нехай – послідовність абсолютних стисків симетричного простору , і

,

де і . Позначимо

і вважатимемо, що .

Кажуть, що послідовність абсолютних стисків задовольняє наступну нерівність , якщо існує таке , що для довільної функції і для всіх

Теорема 4.3.22. Нехай – симетричний простір, послідовність абсолютних стисків задовольняє нерівність і . Тоді якщо , то .

Далі, нехай – простір Орліча, де – функція Орліча, то розглядаючи функцію

отримуємо, що – також функція Орліча, а отже має місце рівність:

Теорема 4.3.44. Нехай – простір Орліча і – абсолютний стиск. Тоді з випливає, що і

.

У розділі 5 досліджено сильне комутування самоспряжених вимірних і локально вимірних операторів і зображувальність в алгебрах і канонічних комутаційних співвідношень.

У §5.1 доведено простий критерій сильного комутування необмежених самоспряжених операторів і у гільбертовому просторі і критерій сильного комутування, що використовує інтегрування кососиметричного зображення групи Лі.

У §5.2 розглянуто інваріантні підпростори вимірних операторів. Основним результатом цього параграфа є теорема 5.2.8 про існування загального сильно щільного лінійного підпростору обмежених векторів двох вимірних самоспряжених операторів.

Теорема 5.2.8.

I) Нехай оператори , , . Тоді існують такі послідовності проекторів , , що

(і) , коли ;

(іі) Для довільного проектори , скінченні;

(ііі) і для довільного ;

(iv) для довільного , для довільного , ;

(v) , де , є сильно щільним підпростором в ;

(vi) Для довільного має місце та

(II). Нехай алгебра фон Неймана – напівскінченна, - точний нормальний напівскінченний слід на і , тоді і

У §5.3 доведено, що для того, щоб два самоспряжених вимірних оператора комутували як елементи алгебри , необхідно і достатньо, щоб вони сильно комутували. Аналогічний результат має місце і для двох самоспряжених локально вимірних операторів.

У §5.4 доведено, що не існує зображень канонічних комутаційних співвідношень у формі Г. Вейля і у формі В.Гейзенберга в жодній алгебрі локально вимірних операторів.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримано необхідні та достатні умови, за яких алгебра фон Неймана , *-алгебри вимірних операторів, *-алгебри -вимірних операторів і *-алгебри локально вимірних операторів попарно рівні між собою. Побудовано клас прикладів алгебр фон Неймана, для яких існують вимірні оператори, що не є -вимірними для жодного точного нормального напівскінченного сліду . Досліджено різні збіжності послідовностей і сіток операторів з і , та співвідношення між ними. Виявилося, що одностороння збіжність майже скрізь, двостороння збіжність майже скрізь і збіжність за мірою співпадають тоді і лише тоді, коли алгебра фон Неймана атомічна. Доведено, що для зростаючої послідовності позитивних вимірних операторів порядкова обмеженість і обмеженість у топології збіжності за мірою еквівалентні.

Доведено аналог індивідуальної ергодичної теореми про порядкову збіжність середніх

Чезаро для абсолютних стисків просторів , , вимірних операторів, приєднаних до скінченної алгебри фон Неймана . Ця теорема являє собою часткове розв'язання проблеми Ф.Йедона (1977) про збіжність майже скрізь середніх Чезаро для довільного оператора . Отримано ряд аналогів домінантної ергодичної теореми в симетричних просторах вимірних операторів, приєднаних до комутативної алгебри фон Неймана, для різних типів ергодичних нерівностей; зокрема, доведено аналог домінантної ергодичної теореми в просторах Орліча.

Доведено, що існує загальний сильно щільний лінійний підпростір обмежених векторів двох вимірних самоспряжених операторів і що два самоспряжених вимірних оператора комутують як елементи алгебри тоді і лише тоді, коли вони сильно комутують. Не існує зображень канонічних комутаційних співвідношень у формі Г. Вейля й у формі В.Гейзенберга в жодній алгебрі локально вимірних операторів.

Список опублікованих праць за темою дисертації :

1. Муратов М. А., Чилин В. И. Алгебры измеримых и локально измеримых операторов //

Праці Ін-ту математики НАН України. - Київ. - 2007. - 397 с.

2. Муратов М. А. Сходимость почти всюду и по мере в кольце измеримых операторов // Математический анализ и геометрия. Сборник научных трудов. - Вып. 623. - Ташкент. -

1980. - С. 47 - 52.

3. Муратов М. А. Условие фундаментальности идеальных подпространств измеримых операторов // Математический анализ и теория вероятностей. Сборник научных трудов. - Вып. 689. - Ташкент. - 1982. - С. 37 - 40.

4. Муратов М. А. Несимметричные идеальные подпространства измеримых операторов // Математический анализ и дифференциальные уравнения: Сборник научных трудов. - Ташкент. - 1984. - С. 56 - 60.

5. Муратов М. А. Топогенный порядок в группе сходи мости // Математический анализ и теория вероятностей. Сборник научных трудов. - Ташкент. - 1984. - С. 81 - 87.

6. M. A. Muratov Order properties of convergent sequences of unbounded measurable operators affiliated to a finite von Neumann algebra // Methods Funct. Anal. Topology. - 2002. - V. 8. - № 3.- P. 50 - 60.

7. Муратов М. А. Различные виды сходимости в кольцах измеримых операторов // Уч. записки ТНУ. Математика, механика, информатика и кибернетика. - 2002. - Т. 15 (54). - № 2. - с. 49 - 61.

8. Муратов М. А. Некоторые вопросы сходи мости последовательностей неограниченных операторов, присоединенных к конечной алгебре фон Неймана // Функ. Анализ: Труды Украинского Математич. Конгресса - 2001. - Киев: Ин-т математики НАН Украины - 2002. - C. 161 - 175.

9. Муратов М. А., Пашкова Ю. С. Рубштейн Б. А. Некоторые свойства последовательностей положительных сжатий в симметричных пространствах измеримых функций // Труды математического факультета. - Вып. 7. - Воронеж. - 2002. - С. 87 - 88.

10. Муратов М. А., Чилин В. И. Сходимость почти всюду и (o)-сходимость в кольцах измеримых операторов, присоединенных к конечной алгебре фон Неймана // Укр. мат. журнал. - 2003. - Т. 55, № 9. - С. 1196 - 1205.

11. Муратов М. А., Чилин В. И. Порядковая сходимость в индивидуальной эргодической теореме для некоммутативных пространств измеримых операторов // Уч. записки ТНУ. Математика, механика, информатика и кибернетика. - 2003. - T. 16 (55), № 1. -

С. 17 - 22.

12. Муратов М. А., Пашкова Ю.С., Рубштейн Б. А. Доминантная эргодическая теорема в симметричных пространствах измеримых функций для последовательностей абсолютних сжатий // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и

кибернетика. - 2003. - Т. 16(55), № 2. - C. 36 – 48.

13. Муратов М. А., Рубштейн Б. А. Аналоги доминантной эргодической теоремы в перестановочно-инвариантных пространствах измеримых функций // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. – 2004. – Т. 17(56). – № 1. –

C. 59 – 67.

14. Муратов М. А., Чилин В. И. *-Алгебры измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Доповiдi НАН України. – 2005. – № 9. – С. 28 –30.

15. Муратов М. А., Чилин В. И. *-Алгебры неограниченных операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Записки научных семинаров ПОМИ. – Санкт Петербург, 2005. – Т. 326. – С. 183 – 197.

16. Муратов М. А. *-Алгебры $\tau$-измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. – 2005. — Т. 18(57), № 1. – C. 64 – 72.

17. Muratov M. Convergences almost everywhere and locally almost everywhere in *-algebras of locally measurable operators // H.A.I.T. Journal of Science and Engineering. Series C: Mathematics and Computer Science. – Holon, 2007. – V.4. – Issue 1–2. – P. 203 – 220.

18. Муратов М. А. К вопросу о коммутируемости локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Інформатика и кибернетика. – 2006. – Т. 19(58), № 2. – C. 52 – 62.

19. Муратов М. А., Чилин В. И. К вопросу об определении некоммутативного пространства измеримых операторов, присоединенных к полуконечной алгебре фон Неймана // Динамические системы. Межведомственный научный сборник. – Симферополь, 2007. – Вып.22. – C. 115 – 139.

20. Муратов М. А., Самойленко Ю. С. О коммутируемости измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Ученые записки ТНУ. Математика. Механика. Информатика и кибернетика. – 2007. – Т. 20(59), № 1. – C. 70 – 79.

21. Muratov M. A., Chilin V. I. *-Algebras of Unbounded Operators Affiliated with a von Neumann Algebra // Journal of Mathematical Sciences. – 2007. – Vol.140, No 3. – P. 445 – 451.

22. Муратов М. А. О коммутируемости локально измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана // Динамические системы: Межведомственный научный сборник. – Симферополь, 2007. – Вып.23. – C. 73 – 86.

23. Muratov M. A., Galinsky D. V. On Representations of Algebras Generated by Sets of Three and Four Orthoprojections // Spectral and Evolutionary Problems. Proceedings of the Eighth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol.8. – Simferopol: Tavria, 1998. –P. 15 – 22.

24. Muratov M. A. Convergence Almost Eeverywhere in *-Algebras of Locally Measurable Operators // Spectral and Evolutionary Problems: Proceedings of the Fifteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. – Simferopol, 2004. – Vol.15. – P. 76 – 85.

25. Муратов М. А. Непрерывность алгебраических операций в кольце измеримых операторов, присоединенных к конечной алгебре фон Неймана, относительно двусторонней сходимости почти всюду // Таврический вестник информатики и математики. – 2003. – № 2. – С. 57 – 66.

26. Муратов