Національна академія наук України

ІНСТИТУТ ГЕОФІЗИКИ ім. С.І. СУББОТІНА

МИРОНЦОВ Микита Леонідович

УДК 550.832, 550.832.7

РОЗВ’ЯЗОК ПРЯМИХ ТА ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ

ЕЛЕКТРИЧНОГО ТА ІНДУКЦІЙНОГО КАРОТАЖУ

МЕТОДОМ ІНТЕГРАЛЬНИХ (ПОВНИХ) СТРУМІВ

Спеціальність 04.00.22 - Геофізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Інституті нафтогазової геології і геофізики ім. А.А. Трофімука, Сибірського відділення Російської академії наук (Російська федерація, м. Новосибірськ)

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор,

академік Російської академії наук

Епов Михайло Іванович

Інститут нафтогазової геології і геофізики ім. А.А. Трофімука, Сибірського відділення Російської академії наук (Російська федерація, м. Новосибірськ), директор

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Якимчук Миколай Андрійович

Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України, директор

кандидат фізико-математичних наук

Тупчієнко Анатолій Матвійович

Інститут геофізики ім. Субботіна НАН України, старший науковий співробітник

Захист відбудеться « 19 » червня 2008 р. о 10 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.200.01 в Інституті геофізики

ім. С.І. Субботіна НАН України за адресою: 03680, Київ-142, проспект Палладіна, 32; тел. (+38044) 424 23 40; факс: (+38044) 450 25 20

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту геофізики

ім. С.І. Субботіна НАН України

Автореферат розісланий « 15 » травня 2008 р.

Вчений секретар

Спеціалізованої вченої ради

Доктор геологічних наук М.І. Орлюк

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. При оцінці геофізичних властивостей порід-колекторів та інтерпретації даних каротажу використовуються в тому числі і електричні властивості порід. На вивченні цих властивостей засновані геофізичні методи документації розрізів свердловин, широко застосовувані на всіх етапах нафтопромислових робіт: при розвідці, бурінні, закінченні свердловин та оцінці запасів. Можливість точно розв’язувати пряму задачу для різних моделей свердловинних умов та для різної геометрії зонда дає можливість ефективно розв’язувати задачі науково-дослідницьких та дослідно-конструкторських робіт (НДДКР) створення геофізичної каротажної апаратури, що має необхідні для практичного застосування характеристики. В той же час можливість точно розв’язувати обернену задачу дозволяє кількісно інтерпретувати дані каротажу, що дає можливість при комплексній інтерпретації більш точно визначати необхідні для оцінки запасів корисних копалин величини. Тому розв’язання прямих та обернених задач є однією з важливих складових промислової геофізики.

Відсутність точних аналітичних розв’язків рівнянь електричного та електромагнітних полів для всього класу моделей, що реально зустрічаються на практиці, привела до необхідності використовувати числові методи або експерименти (наприклад, використовувати електроінтегратор). І, якщо можливість чисельного розв’язку прямої задачі з’явилась вже в 60-х, 70-х роках з появою перших обчислювальних машин, то розв’язання оберненої задачі довгий час не було автоматизовано, і цей процес представляв ручну обробку каротажних діаграм з використанням альбому палеток, які було отримано чисельно чи в ході експерименту.

В останнє десятиріччя минулого століття стало можливим автоматизувати і розв’язок оберненої задачі. Перші реалізації представляли собою автоматичній підбір найбільш «близької» палетки для заданих значень результатів вимірювань. З розвиненням обчислювальних можливостей в такі алгоритми стали вносити різні поправки, а згодом виникла можливість ставити питання про розв’язок оберненої задачі в режимі реального часу.

Сучасний стан обчислювальної техніки дозволяє створювати та застосовувати на практиці алгоритми розв’язку прямих та обернених задач, що використовують значні обчислювальні ресурси. Що, в свою чергу, дозволяє розширити клас можливих розв’язків, збільшити точність розв’язання та реалізувати розв’язок в режимі реального часу. Відповідно, використання подібних алгоритмів також необхідно ставить задачу оптимізації чисельних процедур з тим, щоб максимально можливо скоротити час розрахунку із збереженням необхідної точності.

Виявилось, що існуючі числові методи розв’язку задач математичної фізики при застосуванні на практиці мають недоліки. Так, при розв’язанні прямої задачі електричного каротажу (ЕК) при кусково-неперервному розподілі електричного питомого опору (ПО) області методом кінцевих різниць чи методом кінцевих елементів, при зміні моделі (кількості областей), змінюється кількість і тип рівнянь системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР), які розв’язується. Це ускладнює процес розв’язання та може суттєво збільшити час розрахунку і необхідні обчислювальні ресурси. Метод кінцевих елементів при розв’язанні задач індукційного каротажу (ІК) при взаємодії струмів в середовищі має низьку швидкість збіжності, а в деяких випадках непридатний для розрахунку реактивної складової поля. Напіваналітичні розв’язки отримані для обмеженого класу моделей та з використанням наближень, що суттєво обмежують застосування таких методів на практиці.

Методи розв’язання обернених задач також мають свої недоліки. Застосування ітераційного розв’язання оберненої задачі, в якому на кожному кроці ітерації, розв’язується пряма задача, потребує значного часу розрахунку. Застосування ж автоматизованої обробки за палетками, навіть після внесення необхідних виправлень (так звані поправки: “на свердловину”, “на ексцентриситет” тощо), може виявитись принципово невірним, якщо задача нестійка: значно різним моделям відповідають покази апаратури, що відрізняються не суттєво.

Враховуючи всі ці недоліки та розрахункові можливості, що постійно підвищуються, задача створення нових швидких та високоефективних методів та вдосконалення існуючих методів розв’язку прямих та обернених задач ЕК та ІК в жодному разі не втратила своєї актуальності.

Зв‘язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в інституті нафтогазової геології та геофізики ім. А.А. Трофімука, Сибірського відділення Російської академії наук при співпраці Інституту з дослідно-конструкторським бюро геофізичного приладобудування та безпосередньо торкається наукових тем в яких автор був співвиконавцем: Z82/6-07, Z149-04, Z41/01-07, Z41/02-07 (2007 р.), Z-20-06, Z151-04, Z37-06 (2006 р.) та тем відповідальним виконавцем яких був безпосередньо автор: Z146-04, Z174-05 (2006 р.).

Мета і завдання дослідження.

Головна мета дослідження: підвищення достовірності інтерпретації даних ЕК та ІК (встановлення геоелектричних параметрів розрізу: ПО неушкодженої частини пласта, ПО зони проникнення, діаметр зони проникнення, положення границь пластів та ін.) шляхом розробки та використання при розв’язанні оберненої задачі дискретних моделей взаємодії інтегральних струмів в середовищі.

Об’єкт дослідження: спосіб підвищення ефективності визначення геоелектричних властивостей порід методом інтегральних (повних) струмів.

Предмет дослідження: методи розв‘язання прямих і обернених задач ЕК та ІК.

Основне завдання дослідження: розробка, обґрунтування та чисельна реалізація швидкого розв’язку прямої та оберненої задач ЕК та ІК, побудованого на розв’язку системи рівнянь, що записана відносно повних струмів.

Етапи розв’язку:

1. Обґрунтування дискретної моделі прямої задачі ЕК.

2. Обґрунтування дискретної моделі прямої задачі ІК.

3. Програмна реалізація розв’язку системи рівнянь дискретних моделей ЕК та ІК. Порівняльний аналіз отриманих даних с даними отриманими іншими способами.

4. Чисельне моделювання характеристик просторової роздільної здатності багатозондових систем ЕК та ІК.

5. Обґрунтування та програмна реалізація способу розв’язання оберненої задачі ЕК та ІК, що враховує особливості СЛАР прямої задачі та особливості характеристик просторової роздільної здатності систем ЕК та ІК.

6. Аналіз розв’язків рівнянь електричного та електромагнітних полів, що вже існують, та чисельних методів, що дозволяють знайти максимально точний розв’язок для будь-яких свердловинних умов.

7. Аналіз можливих підходів до підвищення точності, покращення збіжності та ін.

Методи дослідження: Теоретичною основою розв’язку поставленої задачі є рівняння квазістаціонарної електродинаміки. Основний метод дослідження – математичне моделювання (розв’язання СЛАР прямої задачі, використання методу Ньютона при розв’язанні системи нелінійних рівнянь оберненої задачі, розрахунок характеристик просторової роздільної здатності багатозондових систем ЕК та ІК, заснований на точному розв’язанні оберненої задачі), що супроводжується оцінками точності розрахунків та тестуванням програм.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Вперше розроблено швидкий та високоефективній спосіб розв’язання прямих та обернених задач ЕК та ІК методом повних струмів.

2. На основі такого способу розроблені та реалізовані чисельно (чотири програми) алгоритми розв’язання прямої задачі ЕК, прямої задачі ІК, оберненої задачі ЕК, оберненої задачі ІК.

3. Вперше запропонована нова, оптимальна з точки зору конструкції і точності розв’язання оберненої задачі геометрія бокового каротажного зондування з симетричним розташуванням пар вимірювальних електродів відносно струмового.

4. Вперше розроблено спосіб визначення характеристик просторової роздільної здатності, що ґрунтується на точному розв’язанні оберненої задачі.

Теоретичне та практичне значення результатів. Розроблені автором алгоритми розв’язання задач ЕК та ІК дозволяють розв’язувати широке коло теоретичних і практичних задач та етапів НДДКР, які включають швидку розробку інтерпретаційного та методичного забезпечення апаратури, що вже існує та розроблюється.

Розроблені алгоритми розв’язання оберненої задачі дозволяють максимально точно розв’язувати актуальні для практики задачі кількісної інтерпретації: виділяти пласти з проникненням, визначати тип проникнення, розраховувати геоелектричні параметри колекторів необхідні для визначення, наприклад, коефіцієнт насичення пластового флюїду тощо.

Розв’язано ряд конкретних практичних задач розвитку геофізичних досліджень свердловин (ГДС) поставлених науково-виробничими підприємствами Росії та СНД: ЗСК «Тюменьпромгеофізика», Полтавська геофізична експедиція, Київське конструкторське бюро геофізичного приладобудування, Новосибірське конструкторське бюро геофізичного приладобудування.

Особистий внесок здобувача. Автором особисто запропоновані оригінальні підходи до розв’язання прямої та оберненої задач та побудови алгоритмів моделювання в ЕК та ІК:

1. З використанням рекурентного методу розрахунку визначників та формул Крамера створено швидкий алгоритм знаходження розв’язку прямої задачі без знаходження поля потенціалу (струму) в усьому просторі.

2. З використанням записаних в явному вигляді матриці СЛАР прямої задачі та матриці похідних її коефіцієнтів по ПО, чисельно реалізовано алгоритм швидкого розв’язання оберненої задачі методом Ньютона, що дозволяє на кожному кроці ітерації використовувати точний розв’язок прямої задачі.

3. Для розв’язання прямої задачі ЕК запропоновано модель електроінтегратора Альпіна-Кулинковіча, в якій кожен елемент середовища представляє собою резистор. Така модель дозволяє не змінювати тип СЛАР при зміні моделі середовища та знаходити розв’язок з будь-якою, як завгодно малою, наперед заданою похибкою.

4. Для розв’язання прямої задачі ІК запропоновано доповнення до методу Доля, засноване на розгляді взаємодії повних струмів елементарних кілець між собою, з струмами в котушках та з урахуванням реальних параметрів зондів. Така модель дозволяє не змінювати тип СЛАР при зміні моделі середовища та знаходити розв’язок з будь-якою, як завгодно малою, відомою наперед похибкою.

5. Запропоновано метод розрахунку характеристик просторової роздільної здатності, що ґрунтується на точному розв’язанні оберненої задачі. Розраховано характеристики просторової роздільної здатності деяких типів багатозондової апаратури ЕК та ІК.

6. Запропоновано метод розв’язання рівняння Фредгольма першого роду, показано що для умов ІК в деякому класі моделей метод дозволяє факторизувати за просторовими координатами обернену задачу ІК, що суттєво спрощує розв’язання із збереженням точності розв’язку.

7. Запропоновано геометрію бокового каротажного зондування, що дозволяє точно розв’язати обернену задачу при знаходженні зворотного струмового електроду на будь-якій скінченій відстані від вимірювальних електродів, що забезпечує можливість використання такої системи в горизонтальних свердловинах.

Фактичний матеріал. Для тестування процедур автоматичної інтерпретації було використано експериментальний матеріал, отриманий в Україні (5 свердловин, Веселовське та Яблунівське родовища, Полтавська геофізична експедиція, 2005-2006 р.р.) та Західного Сибіру (8 свердловин, Північно-Покурське родовище, ЗСК «Тюменьпромгеофізика», 2004-2006 р.р.), а також криві, отримані шляхом моделювання для актуальних моделей розрізів. Основним методом для порівняльного аналізу було обрано метод кінцевих елементів (програма FemLab 3.1, University of Florida).

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи доповідалися та були розглянуті на конференціях: «SPWLA European Symposium» 2002 (London, 2002) та «Геоінформатика: теоретичні та практичні аспекти» (м. Київ, 2008).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 6 робіт: 5 особистих статей в журналах за переліком ВАК (Доповіді НАНУ, Геофізичний журнал), та 1 особистої тези конференції.

Обсяг і структура роботи підпорядковані меті повного висвітлення результатів досліджень. Дисертація складається із вступу, 4 розділів, що складаються з 23 параграфів, висновків та списку літератури з 139 найменувань. Обсяг дисертації становить 144 сторінки основного тексту, 29 малюнків, 2 таблиці, бібліографію з 139 найменування.

Автор глибоко вдячний науковому керівнику академіку Російської академії наук Михайлу Івановичу Епову за постановку задачі, всебічний аналіз матеріалів дисертації та чисто людське ставлення.

Автор висловлює щиру вдячність к.ф.-м.н. Челок’яну Р.С., д.ф.-м.н. Шуману В.М., к.ф.-м.н. Тупчієнко А.М. за увагу до роботи та надану неоціниму допомогу.

Автор також щиро вдячний усім, чия допомога сприяла підготовці дисертації.

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРИЧНИХ ТА ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ПОЛІВ: СТАН ТА ПРИКЛАДНІ МОЖЛИВОСТІ

У розділі подано загальний огляд сучасних методів моделювання, розв’язання прямих та обернених задач ЕК та ІК, наведено різні підходи до розв’язання таких задач різними авторами.

Теоретичні задачі ЕК та ІК, в тому числі ті, що розв’язуються чисельно, умовно можна поділити на прямі задачі: задачі направлені на дослідження характеристик апаратури, таких як глибинність, вертикальна роздільна здатність, діапазон вимірювальних сигналів і т.п. Такі задачі в своїй основі містять крайову задачу для рівняння поля потенціалу чи вектор-потенціалу. На відміну від прямих задач обернені задачі дозволяють за даними каротажу встановлювати геометричні та електричні характеристики навколосвердловинного простору. При цьому, чим точніше встановлені геоелектричні параметри розрізу, тим точніше будуть встановлені коефіцієнти насичення пластового флюїду та ін., визначення яких, як правило, і є основною задачею ЕК та ІК як складової ГДС.

Початок системного розгляду задач ЕК був покладений академіком Фоком В.О. в 1933 р., який розв’язав задачу для точкового електроду, що міститься на вісі свердловини, обмеженої пластом нескінченної потужності. Роботи Бурсіана В.Р. дозволили отримати розв’язки для плоскопаралельних окремо однорідних пластів без свердловини, а також для пласту скінченої потужності із свердловиною. Таким чином виникнення аналітичних та напіваналітичних розв’язків для ряду конкретних моделей дозволило перейти до першої спроби обробки та кількісної інтерпретації даних ЕК (Комаров С.Г.). Створення електроінтегратора (Альпін Л.М., Кулинковіч А.Е.) – експериментальної установки, що дозволила на практиці моделювати будь-які аксіально-симетричні умови каротажу, дозволило значно розширити можливості та точність дослідження характеристик апаратури ЕК та інтерпретації її даних. Розвиток техніки дозволив створювати апаратуру з декількох зондів різної глибинності, інтерпретація даних якої надавала інформацію про радіальний розподіл ПО. Розвиток числових методів та обчислювальної техніки дозволив швидше і точніше моделювати електричні поля для складних свердловинних умов. Перші спроби автоматичної інтерпретації представляли собою автоматичний підбір найбільш близької до значень виміру палетки. Для розрахунку палеток чи дослідження характеристик апаратури використовувалися потужні чисельні методи кінцевих різниць чи кінцевих елементів (Колосов А.Л.) або напіваналітичні методи (Друскін В.Л., Книжнерман Л.А.)

Подальші кроки були спрямовані на створення програм які б використовували точний розв’язок прямої задачі на кожному кроці ітераційного процесу розв’язання оберненої задачі.

За початок системного розгляду задач ІК можна вважати створення Долем Г.Г. в 1953 р. лінійної теорії (без урахування взаємодії струмів в середовищі), яка знаходить своє широке застосування до цього часу. Після знайденого в 1960 (Кауфман А.А., Аксельрод С.М.) розв’язку для випадку нескінченого, однорідного середовища і точкових джерел та подальших робіт (Duesterhoeft W.C., Moran I.H., Kunz K.S. та ін.) для деяких простих випадків неоднорідних середовищ з урахуванням взаємодії струмів стало можливим створити необхідну базу для кількісної інтерпретації даних ІК.

Подальші кроки були направлені на технічне і конструктивне вдосконалення систем, на покращення їх характеристик: розробка багатозондових комплексів та багатозондових апаратурних комплексів дещо інших принципів індукційного каротажу, таких як високочастотне, ізопараметричне, каротажне, індукційне зондування (Антонов Ю.М., Епов М.І.).

Розвиток методики низькочастотного ІК був зумовлений розвитком обчислювальної техніки і йшов шляхом створення високоефективних методів розв’язку прямих задач ІК для складних свердловинних умов та створення ітераційних процесів розв’язання оберненої задачі (Кнеллер Л.Є., Потапов А.П).

В останні роки минулого століття, почали виникати автоматизовані системи комплексної інтерпретації даних ЕК та ІК.

МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ПРЯМИХ ТА ОБЕРНЕНИХ ЗАДАЧ ЕЛЕКТРИЧНОГО ТА ІНДУКЦІЙНОГО КАРОТАЖУ

Розділ присвячений вибору дискретної моделі ЕК та ІК та обґрунтування обраної моделі з точки зору коректності, зручності, точності та високої швидкості чисельної реалізації розв’язку системи рівнянь, що описують модель, та з точки зору зручності використання такої моделі в ітераційному процесі розв’язання оберненої задачі. За основу дискретної моделі ЕК була обрана модель електроінтегратора Альпіна-Кулинковіча. Тобто, рівняння, що пов’язує просторовий розподіл ПО з просторовим розподілом потенціалу електричного поля :

,

було замінено кінцево-різницевим аналогом:

, ,

де – потенціал у вузлі ; – кількість вузлів по вертикальній вісі; – кількість вузлів по горизонтальній вісі; , – опори між вузлами , та , відповідно:

,

,

( – крок апроксимації по координатах , відповідно, - радіус зонда).

Тотожність такої системи рівнянь рівнянню неперервності в циліндричних координатах:

,

випливає, якщо зв’язати компоненти повного струму , з густиною струму в циліндричних координатах:

,

,

та скористатись перетвореннями:

,

.

Остаточно можна отримати:

,

або:

,

що є еквівалентом рівнянь, що описують розглянуту дискретну модель.

Використання такої дискретної моделі дозволяє не змінювати систему рівнянь (їх кількість і тип) при зміні моделі середовища, як це відбувається при використанні методу кінцевих різниць чи кінцевих елементів, де при зміні кількості границь змінюється кількість рівнянь СЛАР прямої задачі. Крім того, така модель автоматично враховує граничні умови на поверхні ізоляторів та на нескінченності (в напрямку де відсутня ґратка струм не розповсюджується, отже його похідна дорівнює нулеві). Крім того, при використанні граничних умов на поверхні електродів, виявилося зручно використовувати формулу Крамера, яка дозволяє обчислити значення уявного питомого опору (УО) без знаходження значення поля потенціалу у кожному вузлі використаної ґратки за простою формулою:

,

де – визначник матриці коефіцієнтів системи; , – визначники матриць коефіцієнтів системи, в яких стовпець коефіцієнтів при невідомих , – замінено відповідно на вільний вектор системи. Враховуючи, що матриця коефіцієнтів СЛАР п’яти-діагональна, розрахунок УО через обчислення трьох визначників суттєво прискорює розв’язання.

Така модель має обмеження:

, ,

які виникають внаслідок необхідності вважати однорідним опір вздовж перерізу елементарної комірки моделі.

Для розв’язання оберненої задачі, було використано метод Ньютона. Враховуючи те, що СЛАР прямої задачі містить в явному вигляді значення ПО, які при розв’язанні оберненої задачі вважаються невідомими, ми записали в явному вигляді матрицю похідних коефіцієнтів за ПО, і отримали формулу методу Ньютона:

, (1)

де – ПО -ої області на -му кроці, - оператор розв’язку прямої задачі (кількість областей на які розділено простір, в межах кожної з яких ПО вважається постійною невідомою величиною, в нашому випадку дорівнює кількості зондів комплексу). При достатній кількості зондів комплексу, такий метод має важливу властивість: він не обмежений моделлю пласта, наприклад, якщо області обрано вздовж пласту достатньо щільно, то рівність між собою ПО всіх зон означатиме, що пласт не має проникнення, якщо ж значення ПО змінюється вздовж пласту, то це може означати існування проникнення, і, що радіальний розподіл ПО кількісно описує характер проникнення.

Приклади розв’язання прямих та обернених задач наведеним методом представлені для 7-и зондової апаратури бокового каротажного зондування зондами: А0.3M0.1N, А0.4M0.2N, А0.6M0.3N, А0.9M0.4N, А1.3M0.5N, А1.8M0.5N, А2.3M0.5N.

Наступна частина розділу присвячена вибору дискретної моделі ІК та її обґрунтуванню з точки зору коректності, зручності, точності та високої швидкості чисельної реалізації розв’язку системи рівнянь, що описують модель, та з точки зору зручності використання такої моделі в ітераційному процесі розв’язання оберненої задачі. За основу моделі взято модель елементарних кілець, що була запропонована Долем. Проте в систему рівнянь, яка описує таку дискретну модель, введено суттєве доповнення: члени, які враховують взаємну індукцію та самоіндукцію всіх елементарними кілець системи та котушок зонду. Це дозволило не тільки врахувати реальні параметри зонду (радіус обмотки котушки, переріз проводу обмотки, ПО обмотки та ін.) та взаємодію струмів в середовищі. Показано, що така система, при всіх інших рівних умовах має таку ж розмірність що і система в методі Доля, проте вона дозволяє знайти розв’язок прямої задачі з будь-якою, як завгодно малою, наперед заданою похибкою.

Відповідно до сказаного, використовуючи вирази, що пов’язують електрорушійну силу з похідною струму, та вираз для похідної квазістаціонарного струму, кінцева система, що описує дискретну модель елементарних кілець, буде мати вигляд:

,

,

де – коефіцієнти взаємної індукції, , – активна та реактивна складові струму в -му елементарному кільці, – частота. Додавши до правої частини рівнянь, що відповідають генераторним котушкам, величини Е.Р.С. генератора, ми отримаємо СЛАР прямої задачі ІК. Для подальшого використання такої системи рівнянь було проведено ретельний аналіз алгоритму розрахунку коефіцієнтів взаємної індукції елементарних кілець скінченого перерізу та показано, чому неможливо замінювати кожне кільце скінченого перерізу кільцем нульового перерізу того ж самого радіусу.

Показано, що знаходження розв’язку без знаходження поля струмів у всьому середовищі за допомогою формул Крамера не має такої переваги як при розв’язанні прямої задачі ЕК, тому що матриця не є строго п’яти-діагональною, проте було показано, що такий підхід з використанням формул Крамера та швидким обчисленням трьох визначників замість знаходження поля струму у всьому просторі може бути ефективно використано для будь-якого кінцево-різницевого методу (наприклад кінцевих елементів) з п’яти-діагональною матрицею (наприклад, диференційного рівняння відносно вектор-потенціалу).

Використана модель інтегральних струмів має обмеження:

(i) , ,

викликане необхідністю вважати опір однорідним по перерізу елементарного кільця;

(ii) розміри перерізу елементарних кілець повинні бути набагато менші товщини скін-шару , де – магнітна проникливість.

Для розв’язання оберненої задачі (аналогічно ЕК) було використано метод Ньютона. Враховуючи те, що СЛАР прямої задачі містить в явному вигляді значення ПО, які є невідомими при розв’язанні оберненої, задачі ми записали в явному вигляді матрицю похідних коефіцієнтів за ПО і отримали формулу методу Ньютона (в загальному записі аналогічно (1)).

Приклади розв’язання прямих та обернених задач наведеним методом представлено для 4-и зондової апаратури ІК з довжинами зондів, відповідно: 0.5, 0.86, 1.25, 2.05 [м].

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТОРОВОЇ РОЗДІЛЬНОЇ ЗДАТНОСТІ АПАРАТУРИ ІНДУКЦІЙНОГО КАРОТАЖУ. МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ ОБЕРНЕНОЇ ЗАДАЧІ ІНДУКЦІЙНОГО КАРОТАЖУ

Розділ присвячений послідовному розгляду розв’язання 2D оберненої задачі індукційного каротажу методом «вікна», можливості факторизації оберненої задачі ІК (незалежне розв’язання окремих 1D задач по двох різних просторових координатах) та методу встановлення характеристик просторової роздільної здатності.

Для встановлення характеристик просторової роздільної здатності було запропоновано наступний підхід: розглянемо простір параметрів досліджуваних об’єктів та простір можливих значень вимірів зондуючої апаратури . Щоб задача мала розв’язок, вимагалось, щоб кількість незалежних вимірів була більша чи рівна кількості шуканих параметрів моделі. Тоді існує однозначне відображення: ( також означає функцію відповідного відображення). Розглянемо особливості оберненого відображення , яке у випадку відображення одного елементу вважалося однозначним. Якщо об’єкт відображення не один елемент , а область , де приймає будь-які можливі значення в межах допустимої похибки – образом цього відображення також буде деяка область. Було розглянуто таке відображення: . Було зауважено, що оскільки обернена задача нелінійна, то величина залежить і від самої моделі, і від похибки виміру: . Похибка виміру в загальному випадку також залежить від моделі середовища: (цю залежність в загальному випадку підсилює той факт, що, як правило, похибка будь-якого вимірювального пристрою не однакова на всьому робочому діапазоні). Було відзначено, що така складна залежність не дозволяє ввести загальну просту характеристику просторової роздільної здатності конкретної апаратури не тільки для всього діапазону зміни параметрів всіх актуальних моделей розрізів, але також і для сукупності декількох окремих моделей, і вимагає вивчення кількісної залежності окремо для кожної моделі (для різних ). Відповідно, говорити про характеристики просторової роздільної здатності конкретної апаратури можна тільки для конкретної моделі розрізу. Використовуючи такий підхід було досліджено характеристики апаратури 4-х зондового ІК, а також 7-и зондового ІК (до розглянутих в п.2 зондів 4-х зондової апаратури додано 3-и зонди довжин: 0.15, 0.25, 0.35 [м]). Було показано, що для актуальних моделей пластів-колекторів методи 4-х та 7-и зондових ІК дозволяють достовірно встановлювати ПО неушкодженої частини пласту, проте 4-х зондовий ІК не дозволяє (з урахуванням реальних значень похибок виміру) в деяких моделях, що відповідають реальним умовам (підвищуюче проникнення, малий радіус зони проникнення), достовірно визначати ПО перехідної зони.

Було розглянуто два можливих підходи до швидкого розв’язання оберненої задачі ІК: ітераційне розв’язання 2D задачі (методом “вікна”), швидкість якого забезпечується швидким розв’язанням прямої задачі на кожному кроці ітерації та використанням методу Ньютона; а також метод факторизації задачі ІК з наступним незалежним розв’язанням задач по кожній з двох просторових координат. Для забезпечення можливості факторизації було проаналізовано процедуру деконволюції, яка не дала суттєвого покращання (покращання становило 5-10%). На наступному кроці було розглянуто можливість розв’язання кінцево-різницевого аналогу рівняння Фредгольма першого роду методом простих ітерацій, з нев’язкою на кроці :

.

Оскільки такий підхід не дав результату, було запропоновано використовувати метод Зейделя для системи рівнянь:

, .

Використання такого підходу з елементами регуляризації суттєво підвищило вертикальну роздільну здатність, наприклад, для зонду 0.5 [м] для актуальних моделей розрізів Західного Сибіру та Дніпровсько-Донецької западини у 3 рази. Після проведення такої процедури, вважалося, що розв’язок факторизовано, і в кожній точці вздовж свердловини розв’язувалась 1D задача.

Для розв’язання 2D оберненої задачі методом «вікна» було використано метод, описаний у розділі 2. Було досліджено особливості вибору системи елементарних кілець для збереження швидкості розв’язку у випадку пластів скінченої потужності.

При оцінці ступеню точності розв’язання оберненої 2D задачі, незалежно від методу, використовувалася мінімізація функціоналу:

, (2)

де , – отримані експериментально та розраховані теоретично ПО -го зонду, відповідно; – похибка виміру -м зондом.

Враховуючи попереднє, запропонований алгоритм розв’язку 2D задачі ІК складається з таких кроків:

1. вибір дискретної моделі задачі,

2. розрахунок коефіцієнтів системи прямої задачі, які залежать тільки від геометрії дискретної моделі і геометрії зонду,

3. встановлення диференційного профілю ПО,

4. розв‘язання оберненої 1D задачі для кожного пласту (в попластовому розв’язанні), або для кожної точки (в поточковому розв’язанні),

5. оцінка похибки отриманих геоелектричних параметрів з використанням характеристик просторової роздільної здатності.

В межах інтервалів, в яких похибка незадовільно велика:

6. розв‘язання оберненої 2D задачі методом «вікна»,

7. оцінка похибки отриманих геоелектричних параметрів з використанням характеристик просторової роздільної здатності.

Слід зауважити, що дослідження характеристик просторової здатності дозволило оцінити мінімальну потужність пластів та співвідношення значень ПО пласта до ПО сусідніх пластів, при яких можливо відокремити такий пласт в окремий об’єкт.

Також було показано, що використання так званих “синтетичних” зондів, кожен з яких (внаслідок лінійності теорії Доля) є лінійною комбінацією існуючих зондів комплексу, не дає жодної переваги. Більш того, похибка “синтетичних” зондів може бути суттєво більшою (внаслідок правила сумування похибок) ніж похибка фізичних зондів комплексу.

Було розглянуто особливості використання поправки «на скін-ефект», та показано, що метод розв’язання оберненої задачі, заснований на введенні такої поправки, є принципово наближеним, а в деяких випадках може давати принципово невірні результати.

На основі отриманих результатів та порівняльного аналізу характеристик просторової роздільної здатності був проведений кількісний аналіз переваги використання запропонованої 7-и зондової апаратури ІК перед 4-и зондовою апаратурою для типових моделей розрізів Західного Сибіру.

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРОСТОРОВОЇ РОЗДІЛЬНОЇ ЗДАТНОСТІ АПАРАТУРИ ЕЛЕКТРИЧНОГО КАРОТАЖУ. МЕТОД РОЗВ’ЯЗАННЯ ОБЕРНЕНОЇ ЗАДАЧІ ЕЛЕКТРИЧНОГО КАРОТАЖУ

У розділі було розглянуто розв’язання 2D оберненої задачі ЕК методом «вікна», можливість факторизації задачі ЕК та метод визначення характеристик просторової роздільної здатності.

Для запропонованої геометрії апаратури МЕК-М, що складається з зондів A0.3M0.1N, A0.4M0.2N, A0.6M0.3N, A0.9M0.4N, A1.3M0.5N, A1.8M0.5N, A2.3M0.5N, N0.5M2.3A, N0.5M1.8A, N0.5M1.3A, N0.4M0.9A, N0.3M0.6A, N0.2M0.4A, N0.1M0.3A, було досліджено характеристики просторової роздільної здатності. Показано, що МЕК-М розв’язує задачу надійного встановлення геоелектричних параметрів розрізу для деяких актуальних моделей свердловинних умов.

Було розглянуто можливість факторизувати обернену задачу. А саме, запропоновано алгоритм, який за даними виміру МЕК-М дозволяє «синтезувати» данні сімох зондів «псевдо-бокового» каротажу, кожен з яких має характеристики просторової роздільної здатності аналогічні характеристикам деякого зонду бокового каротажу (тобто зонду, на виміри значення ПО якого при будь-якому положенні зонду по вісі свердловини, значення ПО, що відповідають іншим положенням по вісі свердловини впливають мінімально).

У випадку використання інших типів апаратури, або у разі свердловинних умов які не дозволяють факторизувати задачу із збереженням точності, було запропоновано використовувати метод «вікна» з використанням рівнянь, описаних у розділі 2.

В оцінці ступеню точності розв’язання оберненої 2D задачі, незалежно від методу, використовувалася мінімізація функціоналу (2).

Таким чином, запропонований алгоритм розв’язку 2D задачі для МЕК-М складається з таких кроків:

1. вибір дискретної моделі задачі,

2. розрахунок коефіцієнтів системи прямої задачі, які залежать тільки від геометрії дискретної моделі і геометрії зонду,

3. «синтезування» сімох кривих різноглибинного «псевдо-бокового» каротажу.

4. розв‘язання оберненої 1D задачі для кожного пласту (кожної точки),

5. оцінка похибки отриманих геоелектричних параметрів з використанням характеристик просторової роздільної здатності.

В межах інтервалів, в яких похибка незадовільно велика (або для інших типів апаратури ЕК, що не дозволяють факторизувати задачу із збереженням точності):

6. розв‘язання оберненої 2D задачі методом «вікна»,

7. оцінка похибки отриманих геоелектричних параметрів з використанням характеристик просторової роздільної здатності.

Слід зауважити, аналогічно розв’язанню оберненої задачі ІК, що дослідження характеристик просторової здатності дозволило оцінити мінімальну потужність пластів та співвідношення значень ПО пласта до ПО сусідніх пластів, при яких можливо відокремити такий пласт в окремий об’єкт.

На основі отриманих результатів та порівняльного аналізу характеристик просторової роздільної здатності було зроблено висновок, що запропонована апаратура МЕК-М має кращі характеристики просторової роздільної здатності для актуальних моделей розрізів (де об’єктом вивчення є колектори та при значенні ПО пласта яке задовольняє умові , де значення ПО свердловини) Західного Сибіру та Дніпровско-Донецької западини, ніж розглянута в розділі 3 апаратура ІК.

ВИСНОВКИ

Основним результатом роботи є створення програмно-алгоритмічних засобів моделювання, аналізу, обробки, інтерпретації та візуалізації даних ЕК та ІК на основі методу повних струмів, направлене на підвищення достовірності, роздільної здатності та ефективності.

В роботі на базі оригінальних алгоритмів моделювання електричних та електромагнітних полів в 2D середовищах розв’язано комплекс задач для розвитку швидких методів кількісної інтерпретації.

Створена автоматизована система встановлення геоелектричних параметрів розрізу знімає проблему малоефективної та трудомісткої палеточної інтерпретації, а також неточної інтерпретації, що ґрунтується на введені поправок на вплив спотворюючих ефектів (свердловини, вміщуючих пластів, «скін-ефекту» в індукційному каротажі і т.п.). Широкий доступ до оперативного моделювання електромагнітних та електричних полів в свердловинах, а також до швидкого і точного розв’язання оберненої задачі ЕК та ІК відкриває нові можливості в плануванні та проведенні НДДКР. Розвиток засобів оцінки результатів інтерпретації та засобів визначення характеристик просторової роздільної здатності багатозондової апаратури збільшує надійність та підвищує обґрунтованість висновку про геоелектричну будову навколосвердловинного простору.

Розробка нового комплексу інтерпретації, що ґрунтується на розв‘язанні оберненої задачі математичної фізики, дозволяє уникнути похибки, що виникає при невірному виборі геоелектричної моделі для інверсії та дозволяє переглянути традиційні схеми інтерпретації. Такий підхід гармонійно об’єднує широкий спектр математичних алгоритмів обробки, мінімізацію похибки та високу швидкість моделювання.

Запропонований спосіб розв’язання, що використовує властивості характеристик просторової роздільної здатності апаратури, дозволяє вдосконалити вибір її оптимальних параметрів з точки зору розв’язання задач ГДС ще на стадії проектування.

Застосування ефективного методу факторизації оберненої задачі індукційного каротажу забезпечило знаходження стійкого розв’язку в тонкошарових розрізах.

Запропоновані засоби розв’язання прямої задачі ЕК та ІК засновані на використанні методу повних струмів можуть застосовуватись при виконанні НДДКР для проектування апаратури заданих характеристик просторової роздільної здатності.

Запропоновані засоби розв’язання оберненої задачі ЕК та ІК можуть застосовуватись для кількісної інтерпретації даних каротажу та підвищення ефективності визначення геоелектричних параметрів розрізів виробничих свердловин.

Подальший розвиток даної теми логічно випливає з отриманих результатів, а саме, доцільно:

- адаптовувати реалізовані чисельно способи до розвитку чисельних ресурсів застосовних на практиці обчислювальних машин (зростання частоти процесорів, збільшення оперативної пам’яті);

- перейти до обґрунтування та чисельної реалізації способу одночасного розв’язання оберненої задачі ЕК та ІК (на єдиній кінцево-різницевій ґратці), що дозволяє пом’якшати вимоги до характеристик просторової роздільної здатності окремо апаратури ЕК та ІК та підвищити точність кількісної одночасної інтерпретації;

- адаптувати запропонований спосіб розв’язання прямої та оберненої 2D задачі для 3D моделей. Цей аспект включає в себе також задачу методології визначення 3D характеристик просторової роздільної здатності;

- розробити нові типи апаратури ІК та ЕК, характеристики просторової роздільної здатності яких забезпечують точний розв‘язок для інших свердловинних умов.

СПИСОК ПРАЦЬ, ОПУБЛІКОВАНИХ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Myrontsov M.L. The equivalent-circuit method and method of partition for solutions of resistivity logging problem // SPWLA European Symposium 2002. London. 2002.

2. Миронцов М.Л. До розрахунку коефіцієнтів зондів електричного каротажу // Доповіді Національної академії наук України, – 2003. – №11. – 120-122 с.

3. Миронцов М.Л. Метод розв’язання прямої та оберненої задачі індукційного каротажу // Доповіді Національної академії наук України, – 2004. – №9. – 130-133 с.

4 Миронцов Н.Л. Влияние изменения расстояния между электродами на характеристики прибора электрического фокусированного каротажа // Геофизический журнал. – 2005. – №2. т.27. – 315-317 с.

5. Миронцов М.Л. Метод розв’язання прямої та зворотної задачі електричного каротажу // Доповіді Національної академії наук України, – 2007. – №2. – 128-131 с.

6. Миронцов М.Л. Метод швидкого розв’язання прямої та оберненої задачі індукційного каротажу // Геофизический журнал, – 2007. – №5. т.29. – 212-214 с.

АНОТАЦІЯ

М.Л. Миронцов «Розв’язок прямих та обернених задач електричного та індукційного каротажу методом інтегральних (повних) струмів». – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 04.00.22 – геофізика. Інститут геофізики ім. С.І. Субботіна НАН України, Київ, 2008. Дисертаційна робота присвячена способу підвищення ефективності визначення геоелектричних параметрів порід методом інтегральних (повних) струмів. Використавши модель електроінтегратора та елементарних кілець з урахуванням взаємної індукції та самоіндукції всіх кілець системи було створено високоефективний алгоритм розв’язання прямої задачі з як завгодно малою, наперед заданою похибкою. Використання особливостей систем рівнянь прямої задачі електричного та індукційного каротажу дозволило створити високоефективні алгоритми розв’язку відповідних обернених задач. Практичне використання цих програм суттєво спрощує науково-дослідну та дослідно-конструкторську роботи та дозволяє ефективно розв’язувати задачі кількісної інтерпретації. Запропоновано метод розрахунку характеристик просторової роздільної здатності і оцінена достовірність результатів апаратури, що вже використовується практично, а також запропоновано геометрію 7-и зондової апаратури індукційного каротажу та 14-и зондової електричного каротажу, характеристики просторової роздільної здатності яких дозволяють достовірно встановлювати геоелектричні параметри широкого спектру актуальних моделей.

Ключові слова: електричний каротаж, індукційний каротаж, пряма задача, обернена задача, метод інтегральних струмів, характеристики просторової роздільної здатності.

АННОТАЦИЯ

Н.Л. Миронцов «Решение прямых и обратных задач электрического и индукционного каротажа методом интегральных (полных) токов». – Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 04.00.22 – геофизика. Институт геофизики им. С.И. Субботина НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертационная работа посвящена способу повышения эффективности определения геоэлектрических параметров пород методом интегральных (полных) токов. Цель работы – повышение достоверности такого определения по данным электрического и индукционного каротажа путем разработки и использования при решении обратной задачи дискретных моделей взаимодействия токов в среде.

В качестве модели электрического каротажа была выбрана дискретная модель электроинтегратора, использование которой позволяет не изменять систему прямой задачи при изменении модели среды и автоматически учитывать граничные условия на изоляторах и на бесконечности. В качестве модели индукционного каротажа была выбрана дискретная модель элементарных колец, использование которой позволяет не изменять систему прямой задачи при изменении модели среды. Однако, в отличие от теории Долля, в систему уравнений прямой задачи были добавлены члены, соответствующие взаимной индукции между всеми кольцами модели, и члены, соответствующие самоиндукции колец. Было показано, что использование такого подхода позволяет решать прямые задачи электрического и индукционного каротажа с любой, сколько угодно малой, наперед заданной погрешностью.

Было показано также, что использование при решении прямой задачи как электрического так и индукционного каротажа формул Крамера и метода быстрого расчета определителей пяти-диагональных матриц позволяет находить значение кажущегося сопротивления без нахождения поля потенциала во всем пространстве, а использование записанных в явном виде матрицы коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений прямой задачи и матрицы производных ее коэффициентов (по удельному сопротивлению в любой области пласта) позволяет эффективно применять метод Ньютона для решения обратной задачи. Использование на каждом шаге итерационного алгоритма решения методом Ньютона быстрого и точного решения прямой задачи позволило создать и численно реализовать высокоэффективный алгоритм решения обратной задачи.

Разработанные и обоснованные способы решения прямой и обратной задач позволили создать и численно реализовать (четыре программы) алгоритмы решения прямой задачи электрического каротажа, обратной задачи электрического каротажа, прямой задачи индукционного каротажа и обратной задачи индукционного каротажа.

На основании описанных методов решения прямой и обратной задач был предложен и детально проанализирован способ расчета характеристик пространственного разрешения многозондовой аппаратуры,