НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ

МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

МАЛАНЧУК

Наталія Іванівна

УДК 539.3

ПЛОСКІ КОНТАКТНІ ЗАДАЧІ ДЛЯ ТІЛ З УЗГОДЖЕНИМИ

ПОВЕРХНЯМИ З УРАХУВАННЯМ ЗЧЕПЛЕННЯ

ТА ФРИКЦІЙНОГО ПРОКОВЗУВАННЯ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико–математичних наук

Львів – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико–математичних наук,
старший науковий співробітник
Мартиняк Ростислав Михайлович,
Інститут прикладних проблем механіки і математики
ім. Я.С. Підстригача НАН України,

провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор
Лобода Володимир Васильович,
Дніпропетровський національний університет,
завідувач кафедри теоретичної і прикладної

механіки;

доктор фізико-математичних наук, професор
Саврук Михайло Петрович,
Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка
НАН України, завідувач відділу механіки

композиційних матеріалів.

Захист відбудеться "__ 12 __" _травня_ __ 2008 р. о _ 1500_ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б).

Автореферат розіслано "__11__" _______квітня__________ 2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико–математичних наук Максимук О.В.

загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Сили тертя, що виникають на поверхнях спряження елементів конструкцій, вузлів машин та компонентів природних структур, можуть істотно впливати на їх напружено-деформований стан та контактну поведінку. Тому контактні задачі теорії пружності за наявності тертя є важливим розділом механіки деформівного твердого тіла і формують теоретичну основу для розрахунків на контактну міцність, жорсткість та зносостійкість рухомих і нерухомих з’єднань.

В науковій літературі контакт тіл з урахуванням сил тертя називають фрикційним та розрізняють два його види Джонсон К. Механика контактного взаимодействия. – М.: Мир, 1989. – 510 с.:

· ковзний контакт, за якого у всій області контакту дотичні зусилля, що зумовлені силами тертя, і контактний тиск зв’язані законом Кулона–Амонтона;

· контакт з частковим зчепленням, за якого область контакту розділяється на зону зчеплення та зону фрикційного проковзування, де виникає кулонівське тертя.

Контактні задачі теорії пружності у другому випадку є значно складніші, оскільки в цьому разі заздалегідь невідомими є область контакту, ділянки зчеплення і ділянки проковзування.

На сьогодні значного прогресу досягнуто в галузі дослідження контакту з частковим зчепленням тіл з неузгодженими поверхнями (за термінологією К. Джонсона 1). Для таких тіл властивий локальний контакт, область якого значно менша, ніж їх розміри. Водночас, відомі лише окремі публікації, що вивчають часткове зчеплення і проковзування тіл з узгодженими поверхнями, коли область безпосереднього контакту цілком охоплює ці поверхні або співмірна з ними.

Прикладні потреби природознавства, сучасної техніки і новітніх технологій, пов’язані із необхідністю прогнозування контактної поведінки широко розповсюд-же-них у живій природі та різноманітних конструкціях структур з узгодженими поверхнями, стимулювали розвиток в останні десятиліття математичних моделей і методів контактної механіки тіл узгодженої форми. Найвагоміші результати в цьому напрямі отримано під час вивчення гладкого і фрикційного ковзного контакту тіл, поверхні яких є плоскими, циліндричними або мають малі відхилення від них. Саме ці дослідження створюють передумови для системного вивчення взаємодії тіл з узгодженими поверхнями за зчеплення і проковзування. Ця важлива з погляду інженерних застосувань проблема визріла для розв’язання методами механіки твердого деформівного тіла.

Дисертаційна робота присвячена розробленню методики дослідження пружної взаємодії півнескінченних тіл з узгодженими поверхнями з урахуванням фрикційного проковзування в околі поверхневих виїмок, відшарувань, ділянок з контактним термоопором і пониженим коефіцієнтом тертя в умовах плоскої деформації та вивченню на цій основі особливостей впливу локального проковзування на контактну поведінку таких тіл за дії розподілених і зосереджених силових чинників та теплового потоку. Сформульоване завдання є актуальним для контактної механіки і відображає прикладні запити машинобудування, трибології, геофізики, будівельної індустрії, біомеханіки, тощо.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувались в межах держбюджетних наукових тем ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України за відомчими замовленнями НАН України: “Дослідження механотермодифузійної взаємодії тіл з урахуванням міжконтактного середовища та поверхневих і міжфазних неоднорідностей” (№ держреєстрації 0102U005096, 2002-2006 рр.), “Розвиток математичних методів контактної механіки складених тіл із геометричними і фізичними неоднорідностями границь за дії термодифузійних процесів та їх застосування в біомеханіці тканин” (№ держреєстрації 0106U006856, 2006-2010 рр.) та гранту НАН України для молодих вчених “Дослідження напружено-деформованого стану тіл з внутрішніми і поверхневими дефектами, зумовленого статичними навантаженнями та хвильовими полями” (№ держреєстрації 0105U005587, 2005-2006 рр.).

Метою дисертації є дослідження особливостей контактної взаємодії тіл з узгодженими поверхнями, що супроводжується локальним фрикційним проковзу-ванням в околі поверхневих виїмок, відшарувань, зон з пониженим коефіцієнтом тертя та контактним термоопором за умов плоскої деформації при механічному та тепловому навантаженні. Досягнення цієї мети передбачає:

-

-

-

-

Об’єктом дослідження є контактна взаємодія пружних ізотропних тіл з узгодженими поверхнями.

Предметом дослідження є пружний та термопружний контакт півбезмежних тіл з узгодженими поверхнями з урахуванням зчеплення та фрикційного проковзування в околі ділянок зі змінними геометричними і контактними параметрами за плоскої деформації.

Методи досліджень. Для досягнення сформульованої мети розвинуто методику розв’язання поставлених в роботі задач, що полягає у їх зведенні, з використанням методу комплексних потенціалів і теорії функцій комплексної змінної, до систем сингулярних інтегральних рівнянь. Для побудови аналітичних і аналітико-числових розв’язків цих рівнянь застосовано формули обернення сингулярних інтегральних рівнянь та кусково-лінійну апроксимацію їх правих частин. При числовому їх розв’язанні використано подання шуканих функцій рядами за ортогональними многочленами Чебишева та метод колокацій.

Наукова новизна роботи полягає в постановці задач пружної взаємодії тіл з узго-дженими поверхнями за локального фрикційного проковзування в умовах плоскої де-формації, запропонованій методиці їх розв’язання та отриманих результатах. В роботі

§

§

- комплексному поданні напружень, переміщень та температури в тілах через функції висоти міжповерхневого просвіту, відносного зсуву спряжених поверхонь в межах зазору і ділянок проковзування, перепаду температури між берегами просвіту;

- зведенні задач до систем сингулярних інтегральних рівнянь відносно цих функцій;

- формулюванні умов для визначення меж зазору та ділянок проковзування;

§

§

Практичне значення отриманих результатів. Отримані у роботі результати дають змогу прогнозувати вплив зчеплення і проковзування на контактну поведінку природних, технічних і біологічних структур з номінально плоскими узгодженими поверхнями зі змінними контактними параметрами і мають перспективу застосування в геофізиці, біомеханіці, енергетиці, трибології, машинобудуванні та будівельній індустрії для оцінювання контактної жорсткості, міцності, герметичності та зно-шування вузлів і з’єднань, що функціонують в умовах механічного та теплового навантаження. Окремі теоретичні і прикладні положення дисертації використано під час виконання держбюджетних тем і теми з Цільової наукової програми НАН України.

Вірогідність отриманих результатів та висновків роботи забезпечується викорис-танням положень лінійної теорії пружності, теплопровідності та термопружності; строгістю та коректністю математичного формулювання контактно-крайових задач; використанням апробованих аналітичних і числових методів; узгодженням часткових результатів із відомими в літературі.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 17 наукових праць, у тому числі 7 статей [1-7] у фахових журналах і збірниках з переліку ВАК України. Основні результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно. Науковому керівнику Мартиняку Р.М. належить визначення тематики досліджень про локальне проковзування тіл з узгодженими поверхнями, ідеї щодо постановки та розв’язання задач, участь у обговоренні результатів. У працях, написаних у співавторстві, дисертант брала участь у постановці задач, розробці методики розв’язання та інтерпретації результатів. Зокрема, у роботах [1–5, 7, 8, 10–12, 16, 17] автор звела контактні задачі до систем сингулярних інтегральних рівнянь, реалізувала аналітичні або аналітико-числові методи їх розв’язання, розробила числові алгоритми і провела числовий аналіз залежності контактних параметрів від вхідних даних задач, здійснила їх графічну візуалізацію. У праці [15] дисертанту належать результати, що стосуються локального проковзування від зосередженої сили. Результати робіт [6, 9, 13, 14] отримані автором самостійно.

Апробація результатів. Результати досліджень за темою дисертації доповідались і обговорювались на 10-тій та 11-тій Міжнародних наукових конференціях імені ака-деміка М. Кравчука (Київ, 2004, 2006), Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Львів, 2004, 2005), 4-тій Міжнародній науковій конференції „Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк, 2006), Міжнародній науковій конференції „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2006), Всеукраїнській науковій конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань (Донецьк, 2006), 7-му Міжнародному конгресі з термічних напружень “Thermal Stresses’2007” (Taipei, Taiwan, 2007), 8-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові МСУІМЛ–8 (Львів, 2007), Міжнародній науково-технічній конференції „Актуальні проблеми меха-ніки суцільного середовища і міцності конструкцій” (Дніпропетровськ, 2007).

Дисертація у повному обсязі доповідалась в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України на трьох семінарах: семінарі „Контактна механіка” відділу математичних методів механіки руйнування і контакт-них явищ, об’єднаному семінарі відділу математичних методів механіки руйнування і контактних явищ та відділу механіки тонкостінних елементів конструкцій, загально-інститутському семінарі „Математичні проблеми механіки руйнування та поверхневих явищ”; на науковому семінарі кафедри теоретичної і прикладної механіки Дніпропет-ровського національного університету, семінарі відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України та семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем меха-ніки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, які містять 62 рисунки, висновків та списку літератури, що налічує 207 найменувань. Загальний обсяг роботи складає 158 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи та її зв’язок із науковою тематикою установи, в якій працює автор; сформульовано мету та задачі досліджень; охарактеризовано новизну, вірогідність та практичну значимість отриманих результатів; наведено дані про їх апробацію; вказано кількість публікацій за темою дисертації та особистий внесок здобувача; викладено короткий зміст роботи.

У першому розділі наведено огляд наукових праць, в яких вивчаються питання, близькі за напрямком до теми дисертації; висвітлено стан проблеми дослідження контактної взаємодії пружних тіл з неузгодженими та узгодженими поверхнями з урахуванням зчеплення, проковзування і тертя; вказано місце роботи серед сучасних досліджень, що проводяться з даної проблематики.

У другому розділі здійснено гранично-інтегральне формулювання плоских контактних задач про локальне фрикційне проковзування півпросторів в межах поверхневих неоднорідностей за неповного та повного контакту поверхонь, записано умови для знаходження розмірів міжповерхневого зазору та ділянок проковзування.

Розглядається контактна взаємодія в умовах плоскої деформації двох пружних півнескінченних ізотропних тіл, матеріали яких однакові. Межа верхнього тіла плоска, а межа нижнього вздовж смуги шириною 2b має плитку, пологу, гладку (без кутових точок) циліндричну виїмку (рис. ), форму якої описує парна, неперервно-диференційована, моно-тонно зростаюча при 0 ? x ? b функція y = r(x), така що r(x)/(2b) << 1, r'(x) << 1, r(±b) = r'(±b) = 0. Зовні смуги |x| < b поверхня нижнього тіла плоска. В межах виїмки коефіцієнт кулонівського тертя тіл fK – змінний, залежний від координати x і заданий додатною функцією fK(x) = f + f1(x), де f = const > 0, f1(x) – неперервно-диференційована, парна функція, що досягає свого мінімуму в центрі виїмки, а на її краях рівна нулеві (f1(±b) = 0). Поза виїмкою коефіцієнт тертя сталий (fK(x) = f, |x| ? b). Зважаючи на плоску деформацію тіл, розглядатимемо контакт двох півплощин D1 і D2, що є перетинами нижнього та верхнього півпростору площиною Oxy, яка перпендикулярна до твірної виїмки. Коли ненавантажені півплощини торкаються, між ними вздовж виїмки буде початковий зазор (просвіт) висоти |r(x)|.

Тіла піддано послідовному на-вантаженню, історію якого зобра-жено на рис. . Спершу вони при-тискаються одне до одного прик-ладеними на нескінченності рів-номірно розподіленими моно-тонно зростаючими нормальними зу-силлями інтенсивності P. Внас-лідок гладкості виїмки довжина і висота міжконтактного зазору монотонно зменшуватимуться. На цьому етапі навантаження дотичні переміщення меж тіл однакові, а на поверхні контакту не виникають дотичні нап-руження. Це зумовлено ідентичністю матеріалів півпросторів. Тому контактні напруження є такими ж, як і при безфрикційній взаємодії півплощин з виїмками. Далі нормальне навантаження залишається сталим, а до тіл на нескінченності приклада-ються монотонно наростаючі рівномірно розподілені зсувні зусилля S, які зумовлю-ють виникнення на лінії спряження ділянок проковзування, де діють сили кулонівсь-кого тертя. Завдання полягає у визначенні області зазору, ділянок проковзування та дослідженні його впливу на напружено-деформований стан і контактні параметри тіл.

Залежно від величини стискального навантаження може відбуватися або неповний контакт тіл, за якого в межах виїмки між поверхнями буде зазор невідомої довжини 2a (a < b) та висоти h(x), береги якого вільні від навантажень, або повний контакт поверхонь. Перша ситуація реалізується, коли P < Pcls (рис. .а), друга – коли P > Pcls (рис. .б), де Pcls – навантаження, за якого зазор закриється повністю (у роботі розглянуто такі виїмки, що остаточне закриття просвіту відбувається в точці x = 0 в центрі виїмки). У кожному з цих випадків при навантаженні системи зсувними зусиллями S ділянки проковзування розвиваються за різним сценарієм. Тому спочатку розглянуто локальне проковзування за неповного контакту поверхонь (рис. ). У цьому разі контактний тиск Pc(x) = –уy(x, 0) рівний нулеві в крайніх точках зазору x = ±a: Pc(±a) = 0. Тому дія зсувних зусиль S, навіть як зав-годно малих, спричинить виникнення біля країв зазору ділянок фрикційного проковзування –c < x < –a та a < x < c, на яких діють сили тертя фxy(x, 0), що зв’язані з контактним тиском Pc(x) законом Кулона-Амонтона:

. (1)

Координата ділянки проковзування – параметр c – є невідома. На зазорі та ділянках проковзування |x| < c виникає відносний зсув поверхонь тіл U(x) = u–(x,0) – u+(x,0). Зовні ділянок проковзування |x| ? c поверхні перебувають у зчепленні і на них дотичні напруження менші за контактний тиск, помножений на коефіцієнт тертя:

. (2)

Контактно-крайові умови сформульованої задачі матимуть вигляд:

· на зазорі (y = 0, |x| ? a)

; (3)

· на ділянках проковзування (y = 0, a ? |x| ? c)

; (4)

· на ділянках зчеплення тіл (y = 0, |x| ? c)

(5)

Тут y, x, xy – компоненти тензора напружень; u, v – компоненти вектора переміщень в напрямках осей х та у відповідно; індексами “–“, “+” позначено граничні значення функцій на лінії спряження у півплощинах D1, D2.

Використовуючи метод комплексних потенціалів Мусхелішвілі, напруження та переміщення в тілах D1 і D2, враховуючи крайові умови на нескінченності, першу та третю умову з (3), першу, другу та четверту умову з (4) та умови (5), подано через похідні від функцій висоти виїмки r(x), висоти зазору h(x) та відносного зсуву границь півплощин U(x). Зокрема, контактні нормальні та дотичні напруження виражаються через ці функції у вигляді

, ,

де K (1 – ) G, G і – модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона матеріалів тіл.

Задовольнивши з допомогою цих подань другу і четверту умови з (3) та третю умову в (4), для визначення похідних від функцій висоти зазору h(x) та відносного зсуву меж U(x) отримаємо систему сингулярних інтегральних рівнянь (СІР)

, (6)

(7)

Шукані функції повинні задовольняти умови:

а) h(a) = 0, б) h'(a) = 0, в) U(c) = 0, г) U'(c) = 0. (8)

Умови (8a) та (8в) випливають з неперервності нормальних та поздовжніх перемі-щень границь півплощин відповідно. Умова (8б) вказує на плавне змикання берегів зазору і забезпечує обмеженість контактного тиску. Умова (8г) забезпечує обмеженість дотичних напружень. Умови (8б) і (8г) служать для визначення параметрів a та c.

Аналізуючи систему СІР (6), (7), бачимо, що висота просвіту h(x) не залежить від зсувного навантаження S, а лише від стискальних зусиль P. Натомість, відносний зсув поверхонь U(x) залежить від обох складових зовнішнього навантаження. Цей результат зумовлений тим, що матеріали тіл однакові, і збігається з відомим резуль-татом у випадку контакту тіл з неузгодженими поверхнями. Виходячи з цього, система СІР (6), (7) допускає поетапне розв’язання – спочатку з рівняння (6) та умов (8а), (8б) визначається висота просвіту h(x) та його довжина 2a, а потім, враховуючи їх, розв’я-зується рівняння (7) із урахуванням умов (8в), (8г) і визначається відносний зсув по-верхонь U(x) та довжина ділянок проковзування.

За іншим сценарієм відбувається проковзування при P > Pcls (рис. .б), коли по-верхні тіл повністю сконтактували. Тоді на другому етапі навантаження контактної пари зсувними зусиллями S тіла перебуватимуть у зчепленні, допоки виконуватиме-ться нерівність (2). Проковзування, згідно з умовами (1) та (2), зароджується в центрі виїмки, де контактний тиск мінімальний і рівний Pc(0) = P – Pcls, лише після досягнен-ня зсувними зусиллями критичної величини S0 = fK(0) [P – Pcls]. Для зсувних зусиль S > S0 сформульовано задачу про локальне фрикційне проковзування на ділянці x < c в межах виїмки, яку зведено до одного СІР на похідну функції відносного зсуву

(9)

Функція U(x), як і у випадку наявності зазору, задовольняє умови (8в), (8г).

Третій розділ присвячено дослідженню локального фрикційного проковзування за повного контакту тіл. Спершу розглянуто появу та розвиток ділянки проковзування в межах виїмки, коли її форма задана неперервно-диференційованою функцією

r(x) –r0(1 – x2 b2)3/2, x b, (10)

а коефіцієнт тертя є сталим вздовж всієї поверхні спряження тіл (fK f). Для такої виїмки навантаження повного закриття зазору і критичні зсувні зусилля рівні Pcls = 3r0 / (2bK), S0 = fP – 3fr0 / (2bK). Тому вважаємо, що прикладені нормальні і зсувні навантаження задовольняють умови P > 3r0 / (2bK) і
S > fP – 3fr0 / (2bK), за яких зазор закритий і відбувається проковзування на деякій симетричній відносно початку координат ділянці (–c, c). СІР (9) такої контактної задачі про локальне проковзування набуває вигляду

.

Застосовуючи до нього формулу обернення сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші першого роду та враховуючи умову (8в), визначено відносний зсув поверхонь тіл на ділянці проковзування

.

З умови (8г) знайдено край ділянки проковзування: .

На рис. 4 зображено залежність розмірів ділянки проковзування від зсувних зусиль . Горизонтальна ділянка графіка відповідає повному зчепленню тіл, коли зсувні зусилля менші за критичні (). Далі, зі збільшенням зсувних зусиль, розміри ділянки проковзування монотонно зростають. При досягненні ж зсувними зусиллями рівня нормальних, помножених на коефіцієнт тертя (), край ділянки проковзування сягає краю виїмки () і відбуватиметься глобальне проковзування по всій поверхні (вертикальна ділянка графіка), оскільки в цьому разі, як показав аналіз контактних напружень, умова (1) виконуватиметься в кожній точці поверхні контакту. Головні нормальні напруження 1(x, 0) за локального проковзування в межах фрикційної ділянки є розтягувальними і досягають максимуму в околі центру виїмки. Максимальні ж дотичні напруження max(x, 0) досягають свого найбільшого і найменшого значення на ділянці проковзування поблизу правого і лівого її краю відповідно.

Досліджено особливості контактної поведінки півплощин за локального проков-зу-вання в межах виїмки, форма якої задана більш гладкою (двічі неперервно-диферен-ці-йованою) функцією
r(x) –r0(1 – x2 b2)5/2. Виявлено, що після підростання ділян-ки проковзування понад певну величину дотичні напруження досягають максималь-ного значення не на краю цієї ділянки, а у деякій фіксованій точці поблизу краю виїмки.

Далі досліджується розвиток ділянки проковзування за послідовного навантажен-ня тіл з плоскими поверхнями (виїмка відсутня) з пониженим і локально змінним на ділянці –b < x < b коефіцієнтом тертя, який задано функцією

fK(x) = f [(1 – A)(x b)2 A], x b, (11)

де 0  A . Зовні цієї ділянки коефіцієнт тертя сталий (fK(x) = f, x  b) і його нази-ватимемо фоновим коефіцієнтом тертя. Стала A рівна відношенню мінімального зна-чення коефіцієнта тертя, яке досягається в точці x = 0 в центрі поверхневої неоднорід-ності, до фонового коефіцієнта тертя (A = fK(0) / f) і характеризує максимальне пониження коефіцієнта тертя. У цьому разі при перевищенні зсувними зусиллями S критичного значення S0 = fPA відбуватиметься проковзування поверхонь на деякій ділянці x < c. Розглянуто діапазон зміни S, за якого проковзування не поширюється за межі ділянки пониженого коефіцієнта тертя (c  b). СІР такої контактної задачі отримуємо з (9), поклавши в ньому r(x)  0 і врахувавши залежність (11). Відповідно до умови (8г) знайдено обмежений розв’язок цього рівняння, з якого, враховуючи умову (8в), визначено відносний зсув поверхонь на ділянці проковзування U(x) = fPK (A – 1)(c2 – x2)3/2 / (3b3). Максимальна його величина досягається в точці x = 0, де коефіцієнт тертя мінімальний. З умови існування обмеженого розв’язку СІР, що накладається на його праву частину, визначено розмір ділянки проковзування , який залежить від сталої A та відношення зсувного зусилля до стискального, помноженого на фоновий коефіцієнт тертя S / (fP), проте не залежить від пружних сталих матеріалів. Проковзування пошириться на всю ділянку пониження коефіцієнта тертя при S = (1 + A)fP .

У четвертому розділі вивчається неповний контакт тіл, одне з яких має поверх-неву виїмку, за різних типів навантаження.

Спершу розглядається фрикційна взаємодія тіл за їх послідовного навантаження. Форма виїмки задана формулою (10), а коефіцієнт тертя сталий вздовж всієї поверхні: (fK(x) = f, – < x < ). У цьому разі система СІР (6), (7) для визначення похідних функцій висоти зазору та відносного зсуву поверхонь тіл набуває вигляду

, (12)

(13)

Висота та півдовжина просвіту, що задовольняють рівняння (12) і умови (8а), (8б), мають вигляд

h(x) r0(a2 – x2)3/2 b3, . (14)

Для розв’язання рівняння (13) використовується числова процедура, яка поля-гає у його зведенні до системи алгебричних рівнянь шляхом подання шука-ної функції у вигляді , (Tm(x / c) – поліноми Чеби-шева першого роду) та наступного задоволення рівняння (13) в точках колокації xk = ccos(2k / (2L + 1)), k = 1,…,L. До отриманої таким чином системи долучається умова (8г), яка забезпечує обмеженість контактних дотичних напружень і використовується для визначення зв’язку між зсувним навантаженням і довжиною ділянки проковзування.

На рис. 5 зображено залежність координати краю ділянки проковзування від зсувних зусиль для різних стискальних зусиль (1–; 2–; 3–; 4–), яким відповідають такі півдовжини зазору: 1 – ; 2–; 3–; 4–. Для як завгодно ма-лого значення зовнішніх зсувних зусиль біля країв зазору виникає проковзування. Зі збільшенням величини зсувного зусилля ділянка проковзу-вання мо-нотонно зростає і при вона пошириться на всю виїмку (). У цьому разі рівність (1) виконується вздовж всієї поверхні контакту, що свідчить про глобальне проковзування півплощин після досягнення ділянкою проковзування країв виїмки. Цей висновок разом з аналогічним результатом третього розділу для повністю закритого просвіту свідчить про коректність формулювання за-дачі про лока-льне проковзування і вірогідність отриманих резу-льтатів, оскільки апріорі відомо, що в контактній парі відбуватиметься глобальне проковзування, якщо прикладене зсувне навантаження рівне стискальному, пом-ноженому на коефіцієнт тертя. Виявлено, що на краях ділянки проковзування контактні дотичні напруження можуть значно перевищувати задані на нескінченності дотичні напруження , що необхідно враховувати у розрахунках на міцність контактних пар з узгодженими межами. Наприклад, коли півдовжина просвіту , коефіцієнт концентрації дотичних контактних напружень для різних довжин ділянки проковзування і набуває значень N = 3 і N = 2.6 відповідно.

Далі розглянуто контакт тіл, одне з яких має поверхневу виїмку форми (10), за простого навантаження, історію якого зоб-ражено на рис. 6. Простим навантаженням тіл, що контактують, називають Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Роль истории нагружения в механике контактного взаимодействия при учете сил трения в зоне контакта // МТТ. – 2002. – № 4. – С. –25. одночасне навантаження моно-тон-но зростаючими нормальними і зсувними зусиллями, відно-шення між якими в кожен момент часу зберігається сталим. У нашому випадку до тіл на нескінченності одно-часно приклада-ються монотонно зростаючі стискальні P та зсувні S зусилля, між якими в кожен момент часу існує лінійна зале-жність S = kP (0 < k < f, f – сталий коефіцієнт тертя). За такого навантаження межі тіл в області виї-мки одночасно зближуються і зсуваються одна відносно іншої на діля-нці просвіту. Тому, вступаючи в контакт на нових ділян-ках, прилеглих до країв виїм-ки x = b, поверхні налягають, маю-чи попередній відносний зсув U(x). Він не змі-ню-ється на цих ді-лянках з подальшим зменшенням зазору, бо сконтакто-вані границі (a < x < b) перебувають у зчепленні і на них виникають дотичні напру-ження , які утримують їх від відносного про-ков-зування. Попе-редня поздовжня деформація сконтактованих по-вер-хонь, яка в процесі подальшого простого наванта-ження не змінюється, називаєть-ся „защемленою” деформацією 2.

Така контактна рівновага тіл на всій ділянці із „защемленою” деформацією реалі-зується, якщо контактні дотичні напруження залишаються обмеженими:

xy , a  x  b; (15)

і не перевищують контактного тиску, помноженого на коефіцієнт тертя:

xy(x, 0) f y(x, 0), a  x  b. (16)

Умова незмінності „защемленої” деформації меж тіл дає змогу записати від-нос-ний зсув поверхонь у вигляді U(x) = U0(x) + U(x), де U0(x) – відносний зсув за повного закриття зазору, а функція U(x) описує відхилення від U0(x) віднос-ного зсуву U(x) за наявності зазору. Задачу зведено до СІР (12) на висоту зазору та СІР на відносний зсув поверхонь тіл

(17)

Висота і довжина зазору мають вигляд (14). Враховуючи зв’язок між стискальним навантаженням і довжиною зазору P = 3r0 (1 – a2 / b2) / (2Kb) та умову простого навантаження S = kP, зсувне навантаження S у правій частині СІР (17) виражаємо через a: S = 3r0k (1 – a2 / b2) / (2Kb). Позначивши через дотичні напруження, які виникають при повному зак-ритті зазору, з рівняння (17) при a = 0 одержимо

. (18)

Віднявши рівняння (18) від рівняння (17), отримаємо СІР на функцію U'(x)

. (19)

Для виконання умови обмеже-ності дотичних напружень (15) необхідно, щоб функція U'(x) була рівна нулеві при x = a. З умови існування такого обмеженого розв’язку рівняння (19), отрима-ємо на функцію рівняння Абеля

, 0 < a < b.

Розв’язавши це рівняння, знайдемо . Далі, знаючи , знахо-димо розв’язки рівнянь (19) та (18), сума яких дає відносний зсув меж тіл

Дотичні напруження на ділянках контакту в межах виїмки a < x < b мають вигляд .

На рис. і рис. зображено розподіли відносного зсуву меж пів-площин на ділянці виїмки і контактних дотичних напру-жень для різних значень стискального навантаження (1–;
2–; 3–; 4–). З його збільшенням відносний зсув зростає, досягаючи максимуму в центрі виїмки (рис. 7). Крива 4 відповідає навантаженню, за якого зазор пов-ністю зак-риється. Для менших значень навантаження криві 1–3 склада-ються з трьох частин – центральної, що відповідає ділянці зазору для даного навантаження, та двох симетрич-них бічних, які лягають на криву 4 і відповідають сконтактованим поверхням, що відображає зак-ладений в поста-новці задачі принцип “защемленої” деформації. Дотичні контактні напруження зі збіль-шенням навантаження зростають, а їх максимум досягається на краю виїмки (рис. 8). З віддаленням від виїм-ки вони наб-лижаються асимптотично до значення зсувних зусиль на нескін-ченності. Виявилось, що контактні дотичні напруження в кож-ній точці пропор-ційні контактним нор-мальним напруженням з тим самим коефі-цієнтом пропорцій-ності k, що і зовнішні зу-силля між собою. Цей висновок узгод-жується з відповідним результатом для випадку локального кон-такту тіл за простого навантаження 2. Саме цей висновок, враховуючи, що k менший за коефі-цієнт тертя (k < f), засвідчує, що і друга умова фізичної коректності (16) побу-дованого розв’язку теж задоволена.

Знайдено аналітичний розв’язок задачі тоді, коли форма виїмки задається двічі не-перервно-диференційованою функцією r(x) = –r0(1 – x2 / b2)5/2, x < b.

У п’ятому розділі досліджується локальне проковзування тіл з плоскими поверх-нями під внутрішньою зосередженою силою.

Спершу розглянуто півплощини D1 та D2, матеріали яких мають неоднакові пружні ха-рактеристики (модулі зсуву G1, G2, коефіцієнти Пуассона 1, 2). Півплощини кон-тактують під дією рівномірно розподілених на нескінченності стискальних зусиль P, нормальних до лінії спряження, та пара-лельних до неї стискальних зусиль p1 і p2, прикладених відповідно до D1 і D2, таких що повздовжні переміщення обох меж од-накові і між ними не відбувається взаємне проковзування. Після цього у внутрішній точці (0, y0) верхньої півплощини прикладено довільно орієнтовану зосереджену си-лу F. Аналіз контактних нормальних та дотичних напружень пока-зав, що залежно від пружних характеристик матеріалів тіл, величини і напряму сили F та глиби-ни її прикладання y0, умова зчеплення (2) або справджуєть-ся на всій поверхні спря-ження, або порушується на одній чи двох ділянках. Є можли-вим і відшарування, коли умова одностороннього контакту y(x, 0) < 0 не виконуєть-ся на деякій ділянці. Вияв-лено, що проковзування передуватиме появі від-шарування. Сформульовано кон-такт-ну задачу про проковзуван-ня під внутрішньою силою вздовж двох діля-нок L1 = (a1, b1), L2 = (a2, b2), яку зведено до системи двох СІР другого роду на похідні від функцій відносного зсуву меж півплощин U1(x) на L1 і U2(x) на L2

де коефіцієнти M1 і M2 визначаються через пружні сталі матеріалів півплощин.

Для визначення ко-ординат ділянок проковзування використовуються умови U'j(aj) = 0, U'j(bj) = 0, j = 1,2, за виконання яких контактні дотичні напруження будуть обмеженими на краях цих ділянок.

Далі досліджується контакт півплощин, матеріали яких однакові, коли прикладена у внутрішній точці (0, y0) тіла D2 зосереджена сила F, перпендикулярна до лінії спряження, зумовлює відшарування і появу зазору висотою h(x), довжиною 2a та двох ділянок проковзу-вання (–c, –a), (a, c), на яких діють сили тертя. Задачу зведено до системи двох СІР на похідні функцій висоти зазору та відносного зсуву поверхонь

, (20)

, (21)

де

Функції h(x) та U(x) задовольняють умови (8).

Визначені аналітично з рівняння (20) та умов (8а), (8б) висота h(x) і півдовжина a зазору збігаються з відповідними величинами, отриманими під час розв’язання задачі про відшарування внутрішньою зосередженою силою взаємно притиснутих півплощин за безфрикційного кон-такту між ними. Довжина зазору залежить від зовнішнього наванта-жен-ня, величини сили та глибини її прикладання. Розв’язок рівняння (21) з викорис-тан-ням формули обернення СІР, запи-сано в квадратурах. Для числового визначен-ня від-повід-них інтегралів використано кусково-лінійну апроксимацію правої частини СІР (21).

На рис. 9 зображено відносний зсув поверхонь за фіксованого навантаження для трьох глибин прикладання сили : 1–; 2–; 3–, яким відповідають такі півдовжини зазору та координати ділянки про-ковзування: 1–, ; 2–, ; 3–, . Всі геометричні величини від-несено до a0 = F / (2P) – півдовжини зазору, який виникав би, коли б сила була прикладена до межі (при y0 = 0). Що ближче сила до поверхні, то більше максимальне значення , яке до-сягається на зазорі (криві 1, 2). З віддаленням сили від поверхні максимальне значення зменшується і досягається вже на ділянці проковзування (крива 3) поблизу прос-віту. Довжина ділянок проковзування в кілька разів перевищує довжину просвіту.

У шостому розділі досліджується проковзування тіл з однакових матеріалів, зу-мовлене дією теплового потоку. Два тіла, одне з них має виїмку форми (10), притис-каються одне до одного нормальними зусиллями P < Pcls, за яких між поверхнями бу-де зазор висоти h(x) та довжини 2a. Далі тіла зазнають дії стаціонарного теп-ло-во-го потоку q, нормально-го до лінії їх спряження. Береги зазору теплоізольовані, а поза ним реалізується ідеальний тепловий контакт тіл. Спочатку розв’язано задачу за пов-ного зчеплення на сконтактованих ділянках та виявлено, що тепловий потік не змінює контактного тиску, який залишається рівний нулю на краях зазору. Водночас, теплові деформації зумовлюють появу дотичних контактних напружень, які є необме-женими на краях зазору і заникають з віддаленням від нього. Це свідчить про пору-шення умо-ви зчеплення (2) на ділянках поруч з просвітом. Тому сформульовано зада-чу про тер-момеханічне локальне проковзування на ділянках, що приляга-ють до зазору, розв’язок якої подано через функції висоти зазору h(x), відно-сного зсуву поверхонь U(x) на зазорі і ділянках проковзування та перепаду темпера-тури г(x) = T–(x, 0) – T+(x, 0)  між берегами просвіту. Для їх визначення отримано систему трьох СІР

, , x  a,

де і – коефіцієнти теплопровідності та лінійного теплового розширення.

Визначені аналітично висота і довжина зазору мають вигляд (14), а перепад темпе-ратури між берегами просвіту . Відносний зсув поверхонь записано в квадратурах.

Рис. 0 ілюструє відносний зсув поверхонь на зазо-рі та ділянках проковзування за фіксованого на-вантаження , за якого півдовжина зазору , для різних величин теплового потоку : 1–; 2–; 3–; 4–, яким відповідають такі координати ділянки проковзування : 1–; 2– ; 3– ; 4– . Зі збільшенням величи-ни потоку зростають довжина ділянки проковзування та відносний зсув поверхонь, який свого максимуму дося-гає на зазорі поблизу його краю.

На рис. 1 зображено розподіл модифікованого кон-тактного тиску (штрихова крива) та дотич-них напружень (1–, ; 2–, ). На ділянці проковзування до-тичні напруження рівні модифікованому контактному тиску, з віддаленням від неї мо-нотонно спадають до нуля. Поза цією ділянкою криві дотичних нап-ружень лежать нижче кривої модифі-кованого тиску. Крива 1 відповідає випадку, коли ділянки проковзування лежать в межах виїмки і дотичні напруження досягають макси-муму на їх краях. Крива 2 відповідає тепловому потоку, за якого проковзування поширилось поза виїмку і максимум дотичних напружень досягається на краях виїмки.

Далі досліджено локальне проковзування, зумовлене локальним недосконалим теп-ловим контактом за дії силового і теплового навантаження. Між ті-лами, поверхні яких плоскі, на ділянці |x| < b відбувається неідеальний тепловий кон-такт з термо-опо-ром і відсутнє механічне зчеплення. Вважається, що зовні цієї ді-лянки реалізується повна адгезія (ідеальний тепловий і механічний контакт), яка не по-рушується під навантаженням, тому поверхні можуть проковзувати лише в межах зони термоопору |x| < b. Тіла навантажуються рівномірно розподіленими на нескін-ченності стискальними P та зсувними S зусиллями, такими що S < fP і проковзу-ван-ня не виникає. Далі контакт-на пара зазнає дії стаціонарного теплового потоку інтенсивності q, перпендику-лярного до лінії спряження. На основі аналізу розв’язку контактної задачі, отриманого за припущення про зчеплення поверхонь на ділянці з термоопором, виявлено, що в околі її лівого краю умова (2) порушується за тепло-вого потоку q, що перевищує величину qкр = K (fP – S) (2b + лR0) / (2бb(1 + н)R0). Для таких потоків задачу сформульовано з урахуванням фрикційного проковзування на ділянці (–b, –c), де –c < b, та зведено до системи сингулярних інтегро-диференціа-льних рівнянь на перепад температури і відносний зсув поверхонь:

,

Знайдено аналітичні розв’язки цієї системи. З умови U'(–c) = 0 визначено довжину ділянки проковзування d = 4b/3 + 2K(S – fP) (2b + лR0) / (3бq(1 + н)R0). Вона нелінійно залежить від теплового по-току q і зростає зі збільшен-ням потоку та термоопору. Це проілюстрова-но на рис. 2 для фіксованих навантажень та і таких зна-чень термоопору: 1–; 2–; 3– . Разом з ді-лянкою про-ковзуван-ня зростає і віднос-ний зсув, а його мак-симум зміщений у бік лівого краю ділянки з термоопором. Знай-дено граничне зна-чення dlim = 4b/3, понад яке ділянка відносного зсуву не може підрости зі збільшенням теплового потоку.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв’язано наукове завдання – розвинути методику дослід-ження пружної взаємодії півнескінченних тіл з узгодженими поверхнями за фрикційного проковзування в околі поверхневих виїмок, відшарувань та ділянок з контактним тер-моопором і пониженим коефіцієнтом тертя; вивчити особливості впливу локального проковзування на контактну поведінку таких тіл за дії розпо-ділених і зосереджених механічних навантажень та теплового потоку.

У роботі отримано такі основні результати:

1. Здійснено постановку нових плоских контактних задач теорії пружності й термо-пружності для півнескінченних тіл, матеріали яких однакові, з узгодженими поверх-нями з урахуванням фрикційного проковзування, що реалізується відповідно до за-кону Кулона–Амонтона в околі ділянок зі змінними контактно-поверхневими параметрами.

2. Запропоновано методику розв’язання сформульованих задач, що базується на ви-користанні методу комплексних потенціалів та сингулярних інтегральних рівнянь. Вона передбачає:

· подання напружень, переміщень та температури в тілах через функції висоти міжповерхневого просвіту, відносного зсуву поверхонь в межах зазору і ділянок проковзування, перепаду температури між берегами просвіту;

· зведення задач до систем сингулярних інтегральних рівнянь відносно цих функцій;

· формулювання додаткових умов для визначення ділянок зазорів і проковзування.

3. З використанням запропонованого підходу побудовано аналітичні та аналітико-чи-слові розв’язки низки нових контактних задач про локальне проковзування тіл в околі виїмок, відшарувань, ділянок неідеального теплового контакту і пониженого кое-фі-цієнта тертя за дії зсувних навантажень, зосереджених сил і теп-лового потоку.

4. На основі побудованих розв’язків досліджено еволюцію ділянок проковзування в околі поверхневих неоднорідностей за дії силових і термічних чинників, вивчено особли-вості розподілу контактних нап-ружень і відносного зсуву меж тіл, зумовлених фрикційним проковзування, та встановлено наступне:

· за повного контакту тіл, одне з яких має виїмку форми r(x) = – r0(1 – x2/b2)3/2 або
r(x) = – r0(1 – x2/b2)5/2, при послідовному навантаженні