НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ПОПОВИЧ Олександр Васильович

УДК 517.9

АСИМПТОТИЧНА ПОВЕДІНКА ТА БІФУРКАЦІЇ

РОЗВ'ЯЗКІВ ЛАНЦЮГІВ ЗВ'ЯЗАНИХ ОСЦИЛЯТОРІВ

01.01.02 -- диференціальні рівняння

А в т о р е ф е р а т

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ -- 1999

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відділі звичайних диференціальних рівнянь

Інституту математики НАН України

Науковий керівник: академік НАН України,

доктор фiзико-математичних наук, професор

САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович

директор Інституту математики НАН України

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук

САМОЙЛЕНКО Валерій Григорович

Київський університет ім.

Тараса Шевченка,

завідуючий кафедрою математичної фізики

механіко-математичного факультету

кандидат фiзико-математичних наук, доцент

ПРАЦЬОВИТИЙ Микола Вікторович

Національний педагогічний університет ім. М.П. Драгоманова,

завідуючий кафедрою вищої математики

Провiдна установа:

Одеський державний університет імені І.І. Мечникова,

кафедра оптимального управління та економічної кібернетики,

м. Одеса

Захист вiдбудеться 16 лютого 1999 року о 15 годинi на засiданнi спецiалiзованої ради Д. 26.206.02 при Iнститутi математики НАН України

за адресою: 252601 Київ - 4, вул. Терещенкiвська, 3.

З дисертацiєю можна ознайомитись у бiблiотецi Інституту.

Автореферат розiсланий 14 січня 1999 р.

Вчений секретар

спецiалiзованої ради ЛУЧКА А.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Робота присвячена дослідженню асимптотичної поведінки та біфуркацій розв'язків ланцюгів зв'язаних осциляторів (ЛЗО), що являють собою системи скінченої або зліченої кількості зв'язаних певним чином динамічних систем меншої розмірності — так званих базових осциляторів. Розглядається випадок, коли базовим осцилятором є одновимірне нелінійне відображення відрізка прямої в себе з регулярною або хаотичною динамікою. Основна увага приділяється дослідженню існування та стійкості періодичних розв'язків такого роду систем у випадку слабкого зв'язку, а також вивченню стійкості режиму повної та часткової хаотичної синхронізації (тобто синхронізації у випадку, коли динаміка базового осцилятора є хаотичною).

Ланцюги зв'язаних осциляторів широко використовуються при моделюванні складних нелінійних процесів в різних галузях науки і техніки. Їх динаміка є надзвичайно багатою і складною, разом із тим, їм притаманні властивості окремих елементів ланцюга, які, в свою чергу, є набагато простішими динамічними системами. Це дає змогу в деяких випадках дослідити асимптотичну поведінку розв'язків таких систем, використовуючи інформацію про системи меншої розмірності. Ланцюги зв'язаних осциляторів цікавлять математиків, а також дослідників із різних галузей фізики, біології, хімії, економіки та ін., в першу чергу, при вивченні проблеми утворення упорядкованих структур, виникнення та еволюції просторово-часового хаосу, явища синхронізації систем меншої розмірності (як періодичної так і хаотичної). Починаючи ще з робіт А.А. Андронова та А.А. Вітта, велика увага дослідженню цих питань приділяється багатьма математиками, відмітимо у цій області праці В.С. Афраймовича, Л.А. Бунімовича, О.М. Бєлих, Я.Г. Сіная, К. Гребожі, П. Ешвіна, Дж.А. Йорке, А. Ліхтенберга, І. Стюарта, Б.Р. Ханта та ін.

Дослідження стійкості режиму хаотичної синхронізації в ланцюгах зв'язаних осциляторів набуло бурхливого розвитку за останні 5 - 10 років. В першу чергу, це пов'язано із застосуванням цього явища

для розробки новітніх технологій у радіоінженерії з використанням хаотичної несучої для кодування сигналу (Л. Пекора, Т. Карролл, М. Хаслер та ін.), а також воно відкриває нові перспективи досліджень в біології та медицині (К. Канеко, Е. Мозекілде та ін.). Із іншого боку це цікава і перспективна математична задача, яка привертає увагу багатьох вчених із різних країн світу і активно обговорюється на міжнародних наукових конференціях.

Незважаючи на велику кількість робіт по даній тематиці, багато питань залишається нез'ясованими. Зокрема це стосується проблеми стійкості синхронізуючого аттрактора та його біфуркацій при повній хаотичній синхронізації (П. Ешвін, Е. Отт та ін.). На сьогоднішній день практично не існує математичної теорії явища часткової хаотичної синхронізації. Ось чому математичні дослідження цих питань є актуальними та перспективними.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень відділу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є дослідження асимптотичної поведінки розв'язків ланцюгів зв'язаних нелінійних відображень, а саме: виникнення та збереження стійких періодичних просторово-часових структур, стійкість режиму повної та часткової хаотичної синхронізації, трансверсальних біфуркацій циклів, які належать хаотичному синхронізуючому аттрактору і приводять до втрати ним асимптотичної стійкості.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну та виносяться на захист є такі:

1.

1.

них форм для вивчення трансверсальних біфуркацій циклів, що належать хаотичному синхронізуючому аттрактору і визначають момент втрати стійкості режиму хаотичної синхронізації.

1.

1.

1.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані результати узагальнюють та доповнюють відповідні дослідження систем зв'язаних нелінійних відображень. При визначенні просторової форми періодичних розв'язків у випадку слабкого зв'язку можуть бути використані результати першого розділу. Запропонований метод дослідження трансверсальних біфуркацій циклів, які належать синхронізуючому хаотичному аттрактору, може бути застосовуваний при дослідженні біфуркації втрати стійкості цим аттрактором. Результати третього розділу будуть корисними при розв'язанні конкретних прикладних задач із використанням явища сильної або слабкої часткової хаотичної синхронізації.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану та напрямок досліджень, постановка задач належать науковому керівнику — А.М. Самойленку та співавтору наукових праць -- Ю.Л. Майстренку. Всі результати дисертації, які виносяться на захист, належать автору.

Апробацiя результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на семінарах відділу зви-

чайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України; на міжнародному симпозіумі "Ergodic theory and dynamical systems" (червень-липень, 1995 р., Варшава, Польща); на міжнародних наукових конференціях "Nonlinear dynamics, chaotic and complex systems" (листопад, 1995 р., Закопане, Польща); "Contemporary problems in theory of dynamical systems" (липень, 1996 р., Нижній Новгород, Росія); "Applied chaotic systems" (вересень, 1996 р., Лодзь, Польща); на міжнародній школі "Chaotic synchronization and two-dimensional maps " (травень, 1998 р., Лінгбі, Данія); на спеціалізованому міжнародному семінарі "Nonlinear dynamics of electronic systems" (липень, 1998 р., Будапешт, Угорщина); на міжнародній науково-практичній конференції по динамічним системам (вересень, 1998 р., Трієст, Італія); на міжнародному симпозіумі "Nonlinear theory and its applications" (вересень, 1998 р., Кранс-Монтана, Швейцарія).

Публiкацiї. За темою дисертації опубліковано 10 наукових праць, із них 4 -- у наукових журналах, 1 -- у збірнику наукових праць, 2 -- у збірниках праць міжнародних наукових конференцій, 3 -- у збірниках тез міжнародних наукових конференцій.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, трьох розділів, розбитих на 6 параграфів, та списку цитованої літератури із 67 назв і викладена на 110 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступi обгрунтовано актуальність теми, проаналізовано сучасний стан проблеми, сформульовано задачі дослідження та коротко викладено основні результати.

У першому роздiлi дисертацiї досліджено стійкість періодичних розв'язків в системі зв'язаних одновимірних відображень вигляду
(1)

Система (1) задає дискретний закон зміни у часі початкового век-

тора так, що при відомому його положенні в довільний момент часу , однозначно знаходиться його положення в наступний момент часу .

Матриця розміру визначає форму зв'язку між елементами решітки, в той час як значення параметра визначає силу цього зв'язку. На матрицю зв'язку G накладено умови:

(2)

які гарантують збереження просторової однорідності вектору

при всіх і . Також вимагається, щоб система (1) була симетричною в тому сенсі, що зв'язок кожного осцилятора із іншими залежить лише від відхилення елементів ланцюга один від одного і не залежить від вибору осцилятора.

У § 1.1 доведено теорему про стійкіть розв'язків незв'язаної () системи (1) при малих збуреннях початкових даних та введенні малого зв'язку при досить загальних обмеженнях на функцію f та початкові дані. Також встановлено, що роз'язок системи (1) асимптотично (при) має таку ж просторову структуру як і розв'язок незбуреної системи. Ці факти мають місце при виконанні умов:

1.

1.

1.

для довільних 

1.

Позначимо через розв'язок системи (1) при . Розв'язок системи (1) при надалі позначається як .

ТЕОРЕМА 1.1.1. Нехай виконуються умови 1 — 4. Тоді розв'язок
, системи (1) при рівномірно за N = 1,2, ... стійкий стосовно малих збурень параметра та початкових даних, тобто , такі, що із виконання нерівності випливає нерівність

При цьому, збурений розв'язок є асимптотично m-періодичним, тобто існує періодичний розв'язок системи (1)
,

такий, що

. (6)

Крім того, якщо незбурений роз'язок є асимптотично просторово l-періодичним, тобто

,

то збурений розв'язок також є асимптотично просторово l-періодичним, тобто

.

Зазначимо, що при виконанні умов теореми 1.1.1, розглядуваний незбурений озв'язок є, очевидно, не тільки стійким, а й асимптотично стійким за Ляпуновим, але вже по відношенню до збурень лише початкових даних. Аналогічні властивості притаманні також і збуреному розв'язку , , що і стверджує наступний наслідок.

НАСЛІДОК 1.1.1. Нехай виконуються умови теореми 1.1.1. Тоді при достатньо малих збурений розв'язок , , системи (1) є рівномірно за N стійким по відношенню до малих збурень параметра і рівномірно за N асимптотично стійким по відношенню до малих збурень початкових даних.

Із теореми 1.1.1 також випливає близькість відповідних збуреного і незбуреного періодичних розв'язків і , що задовольняють співвідношення (6).

НАСЛІДОК 1.2.1. Нехай виконуються умови теореми 1.1.1. Тоді розглядуваний m-періодичний розв'язок системи (1) при збігається до відповідного m-періодичного розв'язку системи (1) (при ) , тобто

при

де норма означена як .

Ця властивість може бути проінтерпретована з точки зору виникнення, збереження та еволюції просторових структур під дією збурень, що діють в системі (1).

Нехай, для простоти викладу, множина містить лише один притягуючий цикл періоду m : , , , . Кожне відображення задає просторову структуру виду

, (7)

де компоненти вектора визначаються як

.

У випадку незбуреної () системи (1) будь-яка структура (7), якщо її взяти за початкові дані задачі, породжує m-періодичний розв'язок, а тому така структура може бути названа періодичною періоду m.

Отже, кожному початковому вектору , який задовольняє умови теореми, може бути поставлена у відповідність m-періодична структура, яка генерується сукупністю із m відображень , , таких що

,

Як легко бачити, із теореми 1.1.1 випливає, що аналогічні властивості притаманні також і збуреному розв'язку системи (1) для достатньо малого : при він породжує клас еквівалентних m-періодичних просторових структур виду . При цьому форма їх залежить вже не тільки від початкових даних, а й від значення параметра .

Теорема 1.1.1 дозволяє зробити висновок, що при виконанні умов 1 — 4 періодичні структури, які породжуються розв'язками незбуреної системи (1), зберігаються при малих збуреннях початкових даних, мало змінюючись при введенні слабкого зв'язку.

У другому розділі досліджується система двох симетрично зв'язаних одновимірних квадратичних відображень вигляду

, (8)

де — параметр одновимірного відображення і — параметр зв'язку.

Внаслідок симетрії, діагональ є інваріантною по відно-шенню до дії відображення F, а динаміка системи (8), звуженої на діагональ D, визначається одновимірним відображенням .

Нехай для відображення f існує точковий цикл періоду N. Тоді, очевидно, і для відображення F також буде існувати розташований на діагоналі N-періодичний цикл , , . При дослід-женні стійкості синхронізуючого хаотичного аттрактора важливе значення має вивчення трансверсальних (стосовно діагоналі) біфуркацій таких циклів.

У § 2.1 розглядається питання про біфуркацію нерухомої точки , де — нерухома точка відображення f.

Для довільної точки власні значення і відповідні їм власні вектори матриці Якобі відображення F обчислюються за формулами

де — похідна функції f.

Розглянемо власні значення в точці P: , , і нехай

. (9)

Для дослідження дії відображення (8) в околі нерухомої точки P розглянемо відображення , яке отримується із (8) при заміні

змінних ,

. (10)

Внаслідок умов (9) відображення є дифеоморфізмом в деякому околі нерухомої точки , більш того, в околі точки відображення має інваріантні многовиди і (що відповідають і ), які перетинаються в точці трансверсально. Має місце така теорема.

ТЕОРЕМА    2.1.1. Нехай виконуються умови (9). Тоді для відображення інва-ріантні многовиди і нерухомої точки перетинаються в точці перпендикулярно і в деякому її околі інваріантний многовид зображується у виді , причому

, де . (11)

ТЕОРЕМА 2.1.2. Нехай виконуються умови (9). Тоді дія відображення вздовж інваріантного многовиду в околі нерухомої точки може бути зображена за допомогою одновимірного відображення , причому

, де . (12)

В момент трансверсальної біфуркації нерухомої точки P, тобто коли (біфуркація подвоєння періоду), чи (біфуркація "вилки"), коефіцієт B в розкладі (12) буде додатним, якщо ми розглядаємо значення параметра (тобто коли ). Таким чином, в теоремі 2.1.3 стверджується, що трансверсальна біфуркація подвоєння періоду буде м'якою, а трансверсальна біфуркація "вилки" буде жорсткою.

У § 2.2 узагальнюються результати § 2.1 для точкового циклудовільного періоду N. Нехай відображення f має точковий цикл деякого періоду N: , , , .

Відповідний йому цикл для відображення буде мати вигляд , де , .

Переозначимо величини і :

, , де , .

ТЕОРЕМА 2.2.1. Нехай виконуються умови (9). Тоді для відображення в кожній точці циклу інваріантні многовиди і перетинаються перпендикулярно і в деякому її околі многовид може бути зображений у вигляді , , причому

, де (13)

де величина знаходиться із наступного рекурентного співвідношення:

, .

ТЕОРЕМА   .2.2. Нехай виконуються умови (9). Тоді дія відображення вздовж інваріантного многовиду в околі точки може бути зображена за допомогою одновимірного відображення , причому

, , (14)

де величини знаходяться із співвідношень

,

.

У теоремі 2.2.3 в термінах одержаних вище коефіцієнтів формулюються умови для знаходження типу трансверсальної біфуркації точкового циклу для відображення F.

У третьому розділі досліджується явище часткової синхронізації для деяких ланцюгів зв'язаних одновимірних хаотичних відображень.

Для N-вимірної динамічної системи явище часткової синхронізації полягає в тому, що деяка кількість із 1 < N' < N фазових змінних з часом починає коливатися синхронно, в той час як для всіх інших змінних ця властивість не виконується. Якщо до того ж сихронізовані змінні коливаються хаотично, то будемо говорити, що має місце часткова хаотична синхронізація.

У § 3.1 розглядається система трьох зв'язаних одновимірних відображень загального вигляду

, (15)

де і — параметри зв'язку. При частковій синхронізації асимптотично з часом динаміка системи реалізується в одній із діагональних площин

, ,

. (16)

які, очевидно, є інваріантними для відображення (15). Діагональ

належить кожній із площин (16) і також є інваріантною.

Будемо вимагати виконання наступних умов: 1) для двовимірного відображення (звуження F на площину виду (16) існує хаотичний аттрактор , який будемо називати синхронізуючим аттрактором; 2) синхронізуючий аттрактор A є також аттрактором і для відображення F. При виконанні умов 1 — 2 часткова хаотична синхронізація буде мати місце для множини додатної міри Лебега початкових даних. Будемо говорити, що часткова синхронізація є сильною, якщо відповідний синхронізуючий аттрактор є асимпто-

тично стійким за Ляпуновим для відображення F, і слабкою — в протилежному випадку. Необхідні умови сильної хаотичної часткової синхронізації для системи (15) формулюються у наступній теоремі.

ТЕОРЕМА  .1.1. Нехай одновимірне відображення f має хаотичний аттрактор I. Тоді для відображення (15) хаотичний аттрактор A, який належить одній із діагональних площин (16) такий, що і , є нестійким за Ляпуновим.

У § 3.1.2 необхідні умови сильної хаотичної часткової синхронізації узагальнюються для системи довільної скінченної кількості N > 3 зв'язаних одновимірних хаотичних відображень.

Нехай — деяка власна підмножина множини , яка містить принаймні два елементи. Підростір

(17)

називається синхронізуючим підпростором або, внаслідок його геометричної нату-ри, діагональним підпростором.

Розглянемо систему зв'язаних одновимірних відображень, для якої всі діагональні підпростори (17) є інваріантними:

, , (18)

, — параметри зв'язку.

Поруч із системою (18) розглядається система із зовнішнім зв'язком:

, , (19)

В теоремі 3.1.2 сформульовано умови на параметри зв'язку, що забез-печують топологічну спряженість систем (18) та (19).

Встановлено також таку теорему.

ТЕОРЕМА  .1.3. Для довільного скінченного в системах (18) та (19) асимптотична стійкість одного із діагональних підпросторів (17) означає асимптотичну стійкість діагоналі.

Із теореми 3.1.3 випливає узагальнення теореми 3.1.1.

ТЕОРЕМА 3.1.4. Нехай одновимірне відображення f має хаотичний аттрактор I. Тоді в системах (18) та (19) хаотичний аттрактор такий, що , але , є нестійким за Ляпуновим.

Іншими словами, часткова хаотична синхронізація із синхронізуючим

аттрактором, який містить частину діагоналі , може бути тільки слабкою. Таким чином, для сильної часткової хаотичної синхронізації в ланцюгах зв'язаних відображень необхідно розглядати системи, для яких або не всі діагональні підпростори є інваріантними, або синхронізуючий аттрактор не містить частину діагоналі. Як приклади застосування цього критерію у § 3.2 досліджено конкретну систему трьох зв'язаних хаотичних відображень, для якої тількі дві діагональні площини (16) є інваріантними. При поєднанні аналітичних та чисельних методів знайдено області в просторі параметрів для сильної та слабкої часткової синхронізації, а також області співіснування сильної часткової та слабкої повної синхронізації. У § 3.3 розглянуто аналогічну систему із симетричним зв'язком і досліджено сильну часткову синхронізацію для випадку синхронізуючого аттрактора, який не перетинається із діагоналлю.

ВИСНОВКИ

1.

1.

аттрактору і визначають момент втрати стійкості режиму хаотичної синхронізації.

1.

1.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1.

1.

1.

1.

1.

1.

Hasler M., Maistrenko Yu., Popovych O. An Example of Partial Synchronization // Proceedings of NDES'98. — Budapest (Hungary). — 1998. — P. 241-244.

1.

1.

1.

1.

Попович О.В. Асимптотична поведінка та біфуркації розв'язків

ланцюгів зв'язаних осциляторів. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 — диференціальні рівняння. — Інститут математики НАН України, Київ, 1998.

В дисертації досліджено стійкість періодичних розв'язків ланцюгів зв'язаних осциляторів у випадку, коли базовим осцилятором є одновимірне нелінійне відображення відрізку в себе. Запропоновано і обгрунтовано метод дослідження трансверсальних біфуркацій симетричних циклів, які належать синхронізуючому многовиду. Одержано умови для сильної та слабкої часткової хаотичної синхронізації, які застосовано при досліджені часткової синхронізації в конкретних системах із симетричним і несиметричним зв'язком.

Ключові слова: ланцюги зв'язаних осциляторів, нелінійне відображення, стійкість за Ляпуновим, біфуркація, синхронізація.

Попович А.В. Асимптотическое поведение и бифуркации решений цепочек связанных осцилляторов. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 — дифференциальные уравнения.— Институт математики НАН Украины, Киев, 1998.

В диссертации исследовано устойчивость периодических решений цепочек связанных осцилляторов в случае, когда базовым осцилятором является одномерное нелинейное отображение отрезка в себя. Предложен и обоснован метод исследования типа трансверсальных бифуркаций симметричных циклов, которые принадлежат синхронизующему многообразию. Получены условия для сильной и слабой частичной хаотической синхронизации, которые применены при исследовании частичной синхронизации в конкретных системах с симметричной и несимметричной связью.

Ключевые слова: цепочки связанных осцилляторов, нелинейное отображение, устойчивость по Ляпунову, бифуркация, синхронизация.

Popovych O.V. Asymptotic behavior and bifurcations of solutions of coupled oscillator lattices.- Manuscript.

Thesis for candidate degree by speciality 01.01.02 -- differential equations.- The Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 1998.

The thesis is devoted to the investigations of asymptotic behavior and bifurcations of solutions of coupled oscillator lattices. As a base oscillator a one-dimensional nonlinear map of an interval into itself with regular or chaotic dynamics is considered. The main attention is paid to the problem of stability of periodic solutions and the phenomenon of total and partial chaotic synchronization. The thesis consists of introduction, three chapters and references.

In the introduction the importance of the topic is justified, the current stage of the investigations in the field is analyzed and the main results

are briefly described.

In the first chapter a system of N coupled one-dimensional maps with a small coupling is considered. Under general conditions on the base map and initial data it is proved that periodic solutions are stable with respect to small perturbations of initial data and coupling parameter. It is also stated that regular spatio-temporal structures are preserving under small perturbations of initial data and change a little when a weak coupling is introduced.

The second chapter is devoted to the investigation of transversal bifurcations of symmetrical point cycles which belong to the synchronous state. The method of using the theory of normal form to the problem is proposed and justified. For the system of two coupled logistic maps explicit formulas to determine the type of the bifurcations are obtained for fixed point and period-2 cycle. For the cycles of higher period these formulas are obtained in the form of recurrent relations. Obtained formulas allow us to conclude whether transversal bifurcation of the cycle considered is supercritical or subcritical.

In the third chapter the problem of weak and strong partial chaotic synchronization is examined. For a system of coupled chaotic maps in general form necessary conditions for strong partial synchronization are stated. In particular it was proved that strong partial synchronization is impossible in the system having all invariant diagonal subspaces and with synchronizing attractor that contains a part of the diagonal. As an application of this result two systems of three coupled one-dimensional chaotic maps with symmetrical and non-symmetrical coupling are considered. With using analytical and numerical methods regions in parameter space of weak and strong partial synchronization as well as coexistence of strong partial and weak total synchronization are found.

The main results of the thesis have been published in 10 scientific publications and have been reported at a number of international scientific conferences and symposiums.

Key words: coupled oscillator lattices, nonlinear map, stability by Lyapunov, bifurcation, synchronization.