НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

ПЛАХТА Леонід Петрович

УДК 513.83

ІНВАРІАНТИ ВУЗЛІВ І ПОВЕРХНІ

В 3-ВИМІРНОМУ ПРОСТОРІ

01.01.04 —геометрія і топологія

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики НАН України

Науковий консультант

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Шарко Володимир Васильович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу топології.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук,

Ахметьєв Петро Михайлович ,

Інститут земного магнетизму, іоносфери і

розповсюдження радіохвиль ім.М.В.Пушкова

Російської Академії наук, провідний науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук, доцент

Пришляк Олександр Олегович

Київський національний університет

імені Т.Шевченка, професор;

доктор габілітований математики,

Павел Трачик

Варшавський університет, професор

Захист відбудеться  “24” червня 2008 р. о 15.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д .206.03 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий  “22” травня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Сергейчук В.В.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

Під сплетенням ми розуміємо образ PL- або гладкого вкладення диз'юнктних кіл в тривимірному просторі або тривимірній сфері. Сплетення, в яких кожна компонента має фіксовану орієнтацію, називається орієнтовним. В частковому випадку, образ PL- або гладкого вкладення орієнтованого кола в або називається вузлом.

Сингулярним вузлом називається образ PL- або гладкої імерсії кола в тривимірному просторі, в якій допускається скінченне число трансверсальних самоперетинів (сингулярностей). Вузол називається -сингулярним, якщо він містить рівно сингулярностей. Вузли і сплетення в або розглядаються з точністю до еквівалентності, яка задається об'ємною ізотопією простору. Сингулярні вузли розглядаються з точністю до еквівалентності, яка задається регулярною ізотопією простору (flat vertex isotopy).

Бірман і Лін(1993) дали аксіоматичне означення інваріантів скінченного порядку вузлів, яке є еквівалентним означенню Васильєва. Дане означення покладено в основу дисертаційної роботи.

Нехай позначає множину всіх орієнтовних вузлів в, -- вільну абелеву групу, породжену множиною класів еквівалентних вузлів, а -- підгрупу групи, породжену множиною -сингулярних вузлів. Сингулярність вузла розв'язується в малому околі стандартним способом. В результаті кожний -сингулярний вузол формально зображується як різниця двох звичайних вузлів і, які поза даним околом збігаються з. Далі, використовуючи рекурсію, кожний сингулярний вузол можна зобразити, згідно даного правила, у вигляді знакової суми звичайних вузлів.

Фільтрацією Васильєва--Гусарова називається наступна послідовність абелевих груп:

Інваріант ізотопії вузла із значеннями в абелевій групі (який розглядається також як гомоморфізм), називається інваріантом скінченого типу, якщо він є тотожним нулеві на підгрупі. Найменше натуральне число, для якого виконується дана умова, називається порядком інваріанта. Аналогічно визначуються (класичні) інваріанти скінченного порядку сплетень.

В Розділі 2 вивчаються комбінаторні та алгебраїчні властивості інваріантів Васильєва вузлів та асоційованих з ними вагових систем.

Описана також алгебраїчна структура простору(групи) тривалентних діаграм - комбінаторних об'єктів, асоційованих з сингулярними вузлами.

Тривалентною діаграмою називається зв'язний тривалентний мультиграф, в якому виділено простий цикл (зовнішнє коло) і обумовлено наступне. Вершини, які лежать на зовнішньому колі, називаються зовнішніми, а всі інші вершини - внутрішніми. Кожна внутрішня вершина є орієнтованою, тобто задана одна з двох циклічних перестановок трьох ребер, інцидентних даній вершині. Тривалентні діаграми розглядаються з точністю до еквівалентності, яка задається ізоморфізмами, які зберігають додаткову структуру на графі. Половина від числа вершин графа називається степенем даної тривалентної діаграми. В частковому випадку, коли всі вершини внутрішнього графа тривалентної діаграми містяться в зовнішньому циклі, називається хордовою діаграмою.

З кожним орієнтованим -сингулярним вузлом асоціюється деяка хордова діаграма степеня. Позначимо через сукупність всіх тривалентних діаграм степеня. Нехай позначає фактор-групу.

Значення інваріанта порядку на довільному -сингулярному вузлі залежить тільки від хордової діаграми, асоційованої з ним. Тривалентна діаграма називається простою гіллястою діаграмою степеня, якщо її внутрішній граф ізоморфний стандартному -дереву.

Інваріант вузлів називається адитивним, якщо для довільних вузлів і, де - операція зв'язної суми вузлів.

В теорії інваріантів скінченного степеня вузлів і сплетень в тривимірному просторі важливу роль відіграє градуйований простір тривалентних діаграм, асоційований з фільтрацією Васильєва-Гусарова вузлів (сплетень).

В розділі 2 описана комбінаторна конструкція вагових систем, асоційованих з інваріантами скінченного порядку. Градуйований векторний простір, асоційований з фільтрацією Васильєва-Гусарова вузлів, називається простором вагових систем і позначається. На градуйованому просторі можна ввести операції множення і комноження, які перетворюють в алгебру. Відомо, що первісні елементи степеня в відповідають адитивним раціональним інваріантам Васильєва порядку. Вагові системи степеня можна розглядати як лінійні функціонали на векторному просторі. Відомо також, що як для вузлів, так і для сплетень, над полем або, вагові системи підносяться до так званих канонічних інваріантів скінченного порядку. Таким чином, градуйований простір вагових систем повністю описує фільтрований простір інваріантів скінченного порядку, означених в класичному сенсі.

Бар Натан (1995) описав Лі-алгебраїчну конструкцію класу вагових систем, які походять з напівпростих алгебр Лі. Крім того, Бар Натан запропонував також комбінаторно-геометричну конструкцію вагових систем, які походять з класичних алгебр Лі з сімей і, використовуючи при цьому геометричну реалізацію уні-тривалентних діаграм. В розділі 2 дана інша комбінаторно-геометрична реалізація уні-тривалентних діаграм, яка використовує теорію топологічних графів, а точніше, графи напруг.

Нехай - довільна абелева скінченна група і. Далі, нехай позначає -градуйований векторний простір над діаграм з ребрами, маркованими елементами групи (діаграмами напруг), за модулем відповідних співвідношень (аналогів AS і IH-співвідношень для маркованих діаграм). Для кожної такої групи існує канонічний гомоморфізм градуйованих векторних просторів. Діаграми, марковані елементами групи, мають певну геометричну інтерпретацію. Точніше, кожна тривалентна діаграма зображується як накриваючий простір деякого топологічного графу. Дана реалізація уні-тривалентних діаграм задає раціональні вагові системи, які випливають з класичних алгебр Лі. Точніше, справедлива наступна

Теорема 2.2.4. Кожна вагова система, яка пропускається через гомоморфізм випливає з алгебр Лі із сімей і.

Бірман і Лін (1993) описали стандартний рекурсивний алгоритм обчислення інваріантів Васильєва вузлів (таблиці актуальності), який ґрунтується на методі спуску фіксованої діаграми вузла до діаграми тривіального вузла за допомогою операцій розвузлення (зміни самоперетину у діаграмі). Стенфорд (1995) описав і обґрунтував новий алгоритм для обчислення твірних групи(векторного простору) всіх інваріантів порядку. Запропонований алгоритм грунтується на процедурі зведення діаграм сингулярних вузлів за допомогою -рухів (аналогів рухів Райдемейстера для діаграм сингулярних вузлів) до канонічного вигляду і рекурсії.

В розділі 2 описані редукції діаграм сингулярних вузлів до стандартних діаграм в контексті обчислення інваріантів вузлів скінченного порядку. Для довільної хордової діаграми степеня конструктивно задається скінченний клас діаграм -сингулярних вузлів, для яких справджується наступна

Теорема 2.3.1. Довільну діаграму (сингулярного) вузла з асоційованою хордовою діаграмою степеня можна редукувати за допомогою операцій зміни самоперетину і комбінацій локальних рухів R1-R4 до деякої діаграми з классу таким чином, що жодна проміжна діаграма не містить більше самоперетинів, ніж дана діаграма.

На основі Теореми 2.3.1 описана нова (модифікована) версія стандартного алгоритму обчислення інваріантів порядку сингулярних та звичайних вузлів у тривимірному просторі. Відзначимо, що даний алгоритм допускає узагальнення на клас просторових графів для відповідних інваріантів скінченного порядку.

В розділі 2 вивчаються локальні рухи на діаграмах вузлів в контексті інваріантів Васильєва. Позначимо через стандартні твірні групи чистих кіс на струнах(смугах), де.

В роботі показано безпосередньо, що простий -рух Хабіро на вузлі(сплетенні) еквівалентний вставленню в вузол -комутаторів групи чистих кіс, де.

Теорема 2.4.1. Нехай і – два довільні вузли, такі що отримується з за допомогою простого гіллястого -руху. Тоді існує павутинне відображення, де, таке що і, де є -комутатором групи чистих кіс наступного вигляду,.

Крім того знайдено ефект вставлення в діаграму вузла -комутатора групи чистих кіс по відношенню до інваріантів скінченного порядку.

В Розділі 3 вивчаються співвідношення між сателітними операціями та інваріантами скінченного порядку вузлів і сплетень. Розглядається також спеціальні випадки -еквівалентності вузлів: -спряженість та перебудовна -тривіальність. Знайдено достатні умови, при яких сателітна операція переводить -еквівалентні вузли в -еквівалентні.

Зафіксуємо орієнтацію сфери. Позначимо через множину орієнтованих вузлів в. Нехай - нерозщіплюване двокомпонентне сплетення з компонентами і, де є тривіальним вузлом. Тоді задає модель для сателітної операції наступним чином. Для заданого вузла сателітним вузлом з моделлю називається вузол, який отримується в результаті викидання трубчатого околу навколо в і трубчатого околу навколо в і склеюванням двох доповнень до вузлів, залишаючи при цьому тільки, так що канонічна паралель вузла (тобто, паралель, яка має тривіальний індекс зачеплення з вузлом) приклеюється до меридіану і навпаки.

Теорема 3.1.1. Нехай - модель для сателітної операції, де є стандартним повнотором в, а є геометрично суттєвим вузлом в, таким що число обертання дорівнює нулеві. Тоді сателітне відображення переводить -еквівалентні вузли в -еквівалентні вузли.

Для довільного орієнтованого вузла позначимо через вузол, який отримується з вузла оберненням орієнтації в ньому. Для дво-компонентного сплетення, яке задає модель для сателітної операції, покладемо, і.

Наслідок 3.1.1. Нехай - дво-компонентне сплетення, таке що компонента є незавузлена. Припустимо, що або. Нехай і - довільні два вузли. Якщо і є -еквівалентними, то сателітні вузли і є також -еквівалентними.

В Розділі 3.2 описана конструктивна процедура, яка задає один клас перебудовно -тривіальних вузлів, а також встановлюються співвідношення між -тривіальністю та перебудовною -тривіальністю вузлів. Поняття перебудовної -тривіальності вузла та -спряженості вузлів було введено Кальфагіані і Ліном (2002). Перебудовна -тривіальність вузлів та -спряженість вузлів мають певний геометричний сенс. Як показали Кальфагіані і Лін (2006), -спряженість довільних вузлів і для довільного можлива тільки у випадку, коли дані вузли є еквівалентними. Останній факт був мотивацією для детальнішого вивчення відношень -тривіальності та -спряженості вузлів.

-колекцією для вузла називається набір перетинаючих дисків для і цілих чисел. -колекція називається неунітарною (відповідно, унітарною), якщо існує, таке що (відповідно, для кожного). Для заданого вузла і -колекції, для чисел нехай. Покладемо. Для заданого позначимо через вузол, отриманий з вузла відповідною хірургічною перебудовою степеня (відповідно,) вздовж при (відповідно, при) для кожного.

Означення 3.2.1. Вузол називається перебудовно -тривіальним, якщо для існує -колекція, така що є тривіальним вузлом для кожного. Сплетення називається тоді -тривіалізатором вузла. -тривіалізатор називається унітарним, якщо відповідна -колекція є унітарною. В супротивному випадку він називається неунітарним.

Вузол називається -спряженим до вузла, якщо він допускає колекцію (набір перетинаючих дисків і цілих чисел), таку що є еквівалентним для кожного і внутрішність кожного диска з колекції перетинає вузол в двох точках.

Відомо (Кальфагіані, 2002), що для довільного кожний перебудовно -тривіальний вузол є -тривіальним. Частковим випадком перебудовної -тривіальності вузла є його -спряженість тривіальному вузлу.

Теорема 3.2.1. Для кожного існують -тривіальні вузли, які не допускають неунітарних -тривіалізаторів.

Теорема 3.2.2. Нехай - повнотор, стандартно вкладений в, а - геометрично суттєвий вузол в. Припустимо, що вузол є тривіальним в і вкладеним в таким чином, що є -спряжений тривіальному вузлу всередині. Крім того, нехай є вузлом, який є -спряжений тривіальному вузлу. Тоді сателітний вузол є перебудовно -тривіальний.

Теорема 3.2.1 показує, що взагалі кажучи, -тривіальність і перебудовна -тривіальність вузлів - це різні поняття. Для доведення Теореми 3.2.1 суттєво використовується техніка підрозділу 2.4 результати Лакенбі (1997).

Теорема 3.2.2 задає конструктивну процедуру для побудови перебудовно -тривіальних вузлів. Теорему 3.2.2 можна розглядати як аналог відомої теореми Пшитицького для випадку -спряжених вузлів. Для доведення Теореми 3.2.1 суттєво використовуються результати підрозділу 3.1, а також результати Кальфагіані і Ліна (2002).

В розділі 3 вивчаються також інваріанти скінченного порядку Кірка-Лівінгстона сплетень в тривимірному просторі і їх зв'язок з деякими класичними інваріантами сплетень в контексті сателітних операцій.

Нехай (відповідно,) позначає підпростір топологічного простору лінк-відображень, де є довільне (відповідно, всі лінк-відображення з фіксованим), сингулярності яких є трансверсального типу, тобто подвійними точками. Відзначимо, що тільки сингулярності всередині однієї і тієї ж компоненти допускаються. Позначимо через (відповідно,) підпростір простору, який складається з лінк-відображень, число сингулярностей яких дорівнює (відповіно, є не менше, ніж). Далі, нехай - інваріант об'ємної ізотопії вкладених сплетень, який приймає значення в абелевій групі. Тоді можна продовжити на простір індуктивно за допомогою формули

де відрізняються між собою тільки одним самоперетином діаграми, і є проміжним лінк-відображенням з однією сингулярною точкою, яке визначується аналогічно до сингулярного вузла. Якщо є тотожним нулем на для деякого, тоді називається інваріантом скінченного типу в або інваріантом Кірка-Лівінгстона сплетень. Мінімальне число, для якого є тотожним нулеві на підпросторі, називається порядком інваріанта Кірка-Лівінгстона.

Два -компонентні сплетення і називаються -еквівалентними в сенсі Кірка і Лівінгстона, якщо вони не розрізняються інваріантами Кірка-Лівінгстона порядку.

Для означення інваріантів Кірка-Лівінгстона і інваріантів Васильєва (необрамлених) вузлів скінченного порядку співпадають. Для довільний інваріант типу в звичайному сенсі (тобто, в просторі всіх лінк-відображень) є інваріантом типу в, але не навпаки. Нехай -- модель для сателітної операції, а позначає сплетення, отримане із сплетення заміною його -компоненти на відповідний сателітний вузол.

Теорема 3.3.1. Якщо сплетення і є -еквівалентними в сенсі Кірка і Лівінгстона, то сплетення і є також -еквівалентними в сенсі Кірка і Лівінгстона. Крім того, якщо число обертання вузла в дорівнює нулеві, то сплетення і є -еквівалентними в сенсі Кірка і Лівінгстона.

Теорема 3.3.1 є аналогом Теореми 3.1.1 для випадку сплетень і інваріантів Кірка-Лівінгстона.

В Розділі 4 вивчаються геометричні аспекти інваріантів скінченного порядку, зокрема, їх зв'язок з такими класичними інваріантами як рід, канонічний рід вузла.

Описано для кожного клас геометричних вузлів, кожен з яких складається з -гіперболічних вузлів. Відомо, що для довільного, клас -гіперболічних вузлів не вичерпує класу всіх -тривіальних вузлів.

Кальфагіанні і Лін встановили (1998), що всі -гіперболічні (в сенсі нашого означення) вузли є -тривіальними. В контексті попереднього обговорення виникає наступне запитання. Чи виконується аналогічне твердження для всіх інших натуральних чисел, тобто, чи кожен -гіперболічний вузол є або -тривіальним? Основним результатом підрозділу є наступне твердження.

Теорема 4.1.1. Для довільного непарного натурального числа існує -гіперболічний вузол, який не є -тривіальним.

В розділі 4 вивчаються конструктивні множини вузлів для інваріантів скінченного порядку вузлів.

Множина вузлів називається конструктивною для інваріантів скінченного порядку, якщо довільний інваріант Васильєва порядку однозначно задається своїми значеннями на вузлах з і існує конструктивна процедура для задання цієї множини. Позначимо через рід вузла, а через канонічний рід вузла.

Запитання 4.2.1. Чи є інваріант Васильєва порядку, який приймає значення для всіх вузлів, канонічний рід яких не перевищує, тотожним нулеві?

Аналогічне запитання можна поставити для адитивних інваріантів скінченного степеня і вузлів обмеженого роду. В підрозділі 4.2 отримані часткові результати, які дають негативну відповідь на вказані запитання.

Для цього означується індуктивно послідовність конструктивних множин для раціональних інваріантів порядку вузлів. Для даних множин виконується наступне твердження.

Теорема 4.2.1. Довільний раціональний адитивний інваріант Васильєва порядку однозначно задається своїми значеннями на вузлах з множини.

Відзначимо, що аналогічні результати були отримані також Стоіменовим (1999).

В розділі 4 також показано, що рід вузла не може бути перешкодою для -еквівалентності зверху. Точніша, справджується наступна

Теорема 4.3.1. Для довільного вузла роду і для довільних натуральних чисел і існує простий вузол, який є -еквівалентний і має рід.

Теорема 4.3.1 є аналогом результатів Стоіменова, які стверджують, що такі інваріанти вузла, як число розвузлення, 4-вимірний рід і сигнатура, не можуть бути перешкодою для -еквівалентності вузлів для довільного.

Отримані також співвідношення між інваріантами скінченного порядку і канонічним родом вузла.

В Розділі 5 досліджуються редукційні операції на діаграмах сплетень і відповідних графах Зайферта в контексті класичних гіпотез про співвідношення між брейд-індексом сплетення і скрутом його діаграм, а також обчислення брейд-індексу.

В розділі 5 вивчаються редукційні операції на графах Зайферта і діаграмах сплетень. Редукційні операції на діаграмах сплетень і відповідних графах Зайферта були введені Мурасугі і Пшитицьким (1994) в контексті обчислення брейд-індексу сплетення і уточнення нерівноті Мортона-Френка-Вільямса для брейд-індексу. Пізніше Малешіч і Трачик (2005) ввели нові редукційні операції на діаграмах сплетень і графах Зайферта (S-графах) в контексті відомої гіпотези Джонса про те, що скрут діаграми сплетення з мінімальним числом циклів Зайферта є постійною величиною, тобто інваріантом сплетення. Дана гіпотеза була також узагальнена Малешічом і Трачиком. Крім того, Малешіч і Трачик (2005) сформулювали деякі додаткові гіпотези про редукційні операції, як на рівні діаграм, так і на рівні графів Зайферта, які тісно пов'язані з гіпотезою Джонса та її узагальненням (Гіпотези 5.1.2, 5.1.3 і 5.1.4).

Множина одиничних ребер(тобто, ребер кратності 1) в називається циклічно незалежною, якщо в кожному простому циклі число ребер з даної множини є менше, ніж половина довжини цього циклу. Циклічний індекс графа Зайферта, за означенням, є максимальне число циклічно незалежних ребер в. Позначимо через і максимальні числа циклічно незалежних додатних і від'ємних ребер, відповідно, в знаковому графі. Очевидно, що наступна нерівність

справджується для довільної діаграми сплетення і її графа Зайферта.

Гіпотеза 5.1.2. Нехай - діаграма деякого орієнтованого сплетення. Припустимо, що число циклів Зайферта в дорівнює, а скрут діаграми дорівнює. Тоді існує інша діаграма сплетення, для якої число циклів Зайферта дорівнює, а скрут дорівнює.

Гіпотези 5.1.3 і 5.1.4 стверджують, що редукцію, обумовлену Гіпотезою 5.1.2 можна виконати за допомогою спеціальних 4-х операцій на діаграмах (графах Зайферта, відповідно). Відзначимо, що перше твердження гіпотези 5.1.2, в якому замінено на, справджується (Мурасугі і Пшитицький, 1994).

В розділі 5 спростувються гіпотези Гіпотези 5.1.3 і 5.1.4 для графів Зайферта(знакових графів) і діаграм сплетень побудовою рядом контрприкладів.

Відзначимо, що Гіпотеза 5.1.2 залишається відкритою на даний час.

В Розділі 6 вивчаються нестискувані поверхні стандартного положення в доповненні до сплетень, які представляються замкненими косами. Моделі таких поверхонь і шарувань описуються в комбінаторних термінах.

Описана техніка шарувань на суттєвих (нестискуваних і непериферійних) поверхнях в доповненні до замкнених кіс, як основний інструмент приведення даних поверхонь в стандартне положення. Вивчаються також комбінаторні моделі суттєвих (нестискуваних і непериферійних) поверхонь стандартного положення в доповненні до замкнених кіс.

Нехай є нерозщіплюваним сплетенням, представленим деякою замкненою косою з віссю. Введемо в цилідричні координати. Позначимо через декомпозицію на півплощини, яка задає брейд-структуру простору (сфери). Нехай є суттєвим тором в, який виникає в декомпозиції Джако - Шаллена - Йогансона тривимірного многовиду. Бірман і Менаско показали (1994), що кожний такий тор може бути модифікований за допомогою послідовності контрольовних рухів на замкнених косах, які репрезентують, та ізотопій в доповненні до сплетення, так що результуючий тор буде в стандартному положенні в доповненні до нової замкненої коси, яка також репрезентує (див. підрозділ 6.1). Поняття тору в стандартному положенні в доповненні до сплетення відносно осі означується в термінах сингулярного шарування на даному торі, яке індукується брейд-структурою тривимірного простору або з віссю. Позначимо через відповідне шарування на суттєвому торі, а через -- комбінаторну модель даного шарування. Опис суттєвих торів стандартного положення розпадається на три випадки. Точніше, можна припустити, що кожний нестискуваний і непериферійний тор в доповненні до сплетення має або циркулярне шарування, або змішане шарування, або плиткове розбиття(покриття).

В першому випадку, тор є трансверсальним до кожного шару декомпозиції і перетинає його по меридіану повнотора, обмеженого. Кожний такий тор має тип. В другому випадку, тор допускає стандартну змішану декомпозицію. Як показали Бірман і Менаско(1994), після виконання послідовності ізотопій замкненої коси і перемінних рухів, кожний такий тор може бути замінений на стандартний вкладений тор типу. Повний геометричний опис вкладених торів типу був даний Бірман і Менаско (1994).

В третьому випадку, вкладений тор допускає стандартне плиткове покриття(a standard tiling). Тори із стандартним плитковим покриттям мають значно складнішу конфігурацію. Комбінаторні моделі таких торів були описані Бірман і Менаско (1994) і Нг (1998). Геометричні (вкладені в) тори типу є частковим випадком стандартних торів з плитковим покриттям, але вони не вичерпують клас останніх.

Нехай - суттєвий тор в доповненні замкненої коси, який допускає плиткове покриття. Будемо говорити, що плиткове покриття тору (плиткове розбиття) є стандартним, якщо кожна вершина графа розбиття має степінь і для довільної його вершини чотири плити покриття, суміжні з, появляються в циклічному порядку із знаками при обході довкола.

В розділі 6 дається опис торів із стандартним плитковим покриттям за допомогою так званих меридіально-паралелевих моделей. На відміну від інших комбінаторних моделей, вона містить в явному вигляді інформацію про відповідні вкладені тори і може бути використана для геометричного опису останніх.

Площина в, яка містить півплощину позначається через. Для кожного позначимо через зріз тора площиною. Довільний несингулярний зріз містить, взагалі кажучи, декілька компонент зв'язності, кожна з яких гомеоморфна колу.

Теорема 6.2.2. Нехай є комбінаторним тором із стандартним плитковим покриттям, який допускає вкладення в. Тоді існує і компонента несингулярного зрізу, така що коло обмежує меридіальний диск в повноторі, обмеженому тором.

Дане твердження є відправною точкою для побудови так званих мередіально-паралелевих моделей суттєвих торів, які мають стандартні плиткові покриття. Базуючись на доведенні Теореми 6.2.2, побудовано алгоритм знаходження меридіального диску на суттєвому (вкладеному) торі, який допускає плиткове покриття, або на відповідній комбінаторній моделі(плитковому торі).

Твердження 6.2.3 показує, що мінімальні(в комбінаторному сенсі) меридіани довільного плиткового тору задають його розбиття на стандартні блоки -- геометричні циліндри. Це дозволяє провести аналогію між загальним випадком і канонічним розбиттям на блоки стандартних торів типу, введених Бірман і Менаско (1994).

Виявляється, що всі комбінаторні стандартні плиткові тори, які мають вкладення, є "справжніми". Точніше, виконується наступна

Теорема 6.2.4 Довільний вкладений стандартний плитковий тор є суттєвим в доповненні до деякого нерозщіплюваного сплетення, зображеного у вигляді замкненої коси з віссю.

Показана також в явнову вигляді орієнтовність шарувань на нестискуваних замкнених поверхнях стандартного положення в тривимірному просторі, які досліджувались Підрозділах 6.1 та 6.2. Основним результатом підрозділу є

В Розділі 7 вивчається тополологічна класифікація потоків і шарувань Морса-Смейла без замкнених траєкторій (шарів) на замкнених поверхнях.

В розділі 7 описано новий повний топологічний інваріант (граф потоку) градієнтно-подібних потоків на орієнтовних і неорієнтовних поверхнях. Даний інваріант задається в теоретико-графових термінах. Граф потоку Морса-Смейла на замкненій поверхні задається сингулярними траєкторіями потоку - сингулярними елементами(критичними точками і замкненими орбітами) і сепаратрисами, які з'єднують сингулярні елементи із сідловими точками. Крім того, даний граф наділений додатковою структурою з інформацією про взаємне розташування сингулярних елементів і траєкторій потоку. Даний інваріант (граф струмів потоку) містить мінімальну топологічну інформацію про сингулярні елементи потоку, необхідну для відтворення його якісної структури і поведінки, і є досить зручним для користування в задачах комбінаторно-обчислювального характеру. Топологічний інваріант потоків Морса-Смейла на замкнених поверхнях вперше означив і дослідив Пейшото (1973). Повний топологічний інваріант потоків заданого типу був побудований Ошемковим і Шарком в 1998р.

Означення 7.1.1. Потоки і на поверхні називаються топологічно еквівалентними, якщо існує гомеоморфізм, який переводить траєкторії з на траєкторії з із збереженням їхніх напрямків.

Твердження 7.1.3.Два довільні градієнтно-подібні потоки і на орієнтовній замкненій поверхні є топологічно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли графи обертання і або графи обертання і є ізоморфними.

Твердження 7.1.3 зводить проблему топологічної класифікації градієнтно-подібних потоків на орієнтовній замкненій поверхні до комбінаторної проблеми класифікації відповідних графів обертань з точністю до ізоморфізму.

Побудовано також новий топологічний інваріант градієнтно-подібних потоків на замкнених неорієнтовних поверхнях. Даний інваріант, який називається схемою вкладення, є топологічним графом, утвореним сингулярними елементами потоку і його сепаратрисами. Показано, що схема вкладення є повним топологічним інваріантом градієнтно-подібних потоків на замкненій неорієнтовній поверхні.

В розділі 7 побудовано новий повний інваріант для градієнтно-подібних шарувань на орієнтовних поверхнях, які задані як поля лінійних елементів на цих поверхнях.

Нехай - гладкий 2-вимірний многовид без краю і нехай - його дотичне розшарування. Задамо на відношення еквівалентності наступним чином: тоді і тільки тоді, коли і. Позначимо через фактор-простір, а через - природну проекцію. Кожний шар розшарування над є конусом над, тобто, гомеоморфний простору. Довільне неперервне відображення, яке задовольняє умові, називається полем лінійних елементів на многовиді. В роботі розглядаються поля лінійних елементів із скінченним числом особливостей.

Шарування Морса--Смейла було сформульовано Бронштейном і Ніколаєвим в термінах -антисиметричних векторних полів на поверхні (1997р). Бронштейн і Ніколаєв отримали аналог відомої теореми Андронова-Понтрягіна-Пейшото для шарувань. Шарування Морса--Смейла відіграють в цьому контексті важливу роль. Якщо шарування Морса--Смейла не містить замкнених орбіт, воно називається градієнтно-подібним шаруванням. Бронштейн і Ніколаєв (1997) побудували топологічний інваріант шарування Морса-Смейла на замкненій орієнтовній поверхні (граф Пейшото шарування) в термінах -антисиметричних векторних полів.

В даній роботі побудовано топологічний інварінт градієнтно-подібних шарувань (граф струмів шарування), заданих як поля лінійних елементів. Граф струмів шарування на поверхні задається сингулярностями поля лінійних елементів і траєкторіями, які їх з'єднують, а також містить додаткову інформацію про вкладення даного графа в поверхню. Основним результатом підрозділу 7.2 є наступна

Теорема 7.2.4. Два градієнтно-подібні шарування і на поверхні є топологічно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли їхні графи струмів еквівалентні між собою.

Результати, які стосуються класифікації градієнтно-подібних шарувань на поверхнях, а також техніка їх доведень використовуються для побудови комбінаторних моделей шарувань на поверхнях вкладених в.

Отримана нижня оцінка для числа градієнтно-подібних потоків на орієнтованій поверхні роду із заданим числом джерел і сідлових точок і певними обмеженнями на степінь вершин у відповідному топологічному графі. Для заданого натурального числа отримано також верхню і нижню оцінки для числа різних (з точністю до топологічної еквівалентності) полярних потоків на орієнтованій замкненій поверхні роду. Отримані також результати про реалізацію комбінаторних об'єктів у вигляді інваріантів (топологічних моделей) градієнтно-подібних потоків і шарувань на поверхнях. Основними результатами підрозділу є Теореми 7.3.2 і 7.3.3.

ВИСНОВКИ

Дана геометрична інтерпретація

уні-тривалентних маркованих діаграм, яка дозволяє побудувати клас

вагових систем,

що походять з класичних алгебр з Лі сімей so і gl. Запропонований модифікований алгоритм обчислення інваріантів вузлів порядку

n, який допускає узагальнення на клас просторових графів. Показано в явному вигляді, що простий гіллястий рух Хабіро степеня n на діаграмах сплетень еквівалентний

вставленню n-комутатора групи чистих кіс. Для кожного n побудовано n-конструктивні множини

для інваріантів скінченного порядку n вузлів з обмеженням на канонічний та класичний рід цих вузлів.

Рід (канонічний рід, відповідно) вузлів з кожної n-конструктивної множини має верхню оцінку, яка

лінійно (квадратично, відповідно) залежить від n.

Описано

властивості n-гіперболічних вузлів. Показано, що перебудовна

n-тривіальність вузлів відрізняється від звичайної n-тривіальності вузлів.

Встановлено зв'язок між інваріантами скінченного порядку вузлів і

сплетень та сателітними операціями. Показано, що рід вузла не

може бути перешкодою для n-еквівалентності вузлів. Отримані

результати дають нову інформацію про геометричні властивості

інваріантів скінченого порядку вузлів і сплетень в тривимірному

просторі. Крім того, вони показують, що такі відомі класичні інваріанти вузлів,

як рід і канонічний рід, слабо зв'язані з інваріантами

скінченного порядку вузлів. З іншого боку, відомо, що такі класичні

інваріанти ізотопії сплетень як mu-інваріанти Мілнора і beta-інваріанти Кохрана тісно пов'язані з інваріантами квазі-ізотопії і інваріантами Кірка-Лівінгстона сплетень, коректно означеними з точністю до ізотопії сплетень.

Описано редукційні операції на діаграмах сплетень в контексті

гіпотез про співвідношення між числом циклів Зайферта та скрутом

діаграми. Дані операції можна використати для оцінки і обчислення

брейд-індексу сплетень.

Дано геометричний опис класу суттєвих торів, які допускають

плиткове покриття. Дана геометрична інтерпретація відповідного

класу комбінаторних плиткових торів. Отримані результати є важливими для класифікації суттєвих торів стандартного положення в

доповненні до сплетень в тривимірному просторі. Для

геометричного опису поверхонь стандартного положення суттєво

використовується техніка сингулярних шарувань на цих поверхнях.

Відзначимо, що опис стандартних геометрично вкладених торів в доповненні до сплетень використовується для обчислення брейд-індексу і оцінок для брейд-індексу сателітних вузлів.

Дана комбінаторно-топологічна класифікація градієнтно-подібних

потоків і шарувань на замкнених поверхнях. Побудовано повні

топологічні інваріанти таких потоків та шарувань у вигляді

комбінаторних схем та графів. Дані інваріанти використовуються

суттєво у комбінаторних задачах, які виникають при досліджені

потоків і шарувань вказаного вище типу на поверхнях (Бірман і Менаско, 1994).

Результати роботи носять теоретичний характер. Однак, вони можуть

бути також використані в деяких областях фізики, де топологічні інваріанти вузлів і сплетень несуть інформацію про характеристики досліджуваних процесів і явищ, і в генетиці і біології, де вузло-подібні структури використовуються для моделювання багатьох об'єктів і явищ в даній області. Результати, які містяться в дисертації, були використані в роботах Кальфагіані і Ліна, Малешіча і Трачика, Стоіменова, Пришляка та ін.

Я щиро вдячний своєму науковому консультанту, член-кореспонденту НАН України, професору Володимиру Васильовичу Шарку за допомогу і постійну підтримку в процесі виконання дисертаційної роботи, а також за змістовні дискусії, які стимулювали мою наукову роботу.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Plachta L. C_n-moves, braid commutators and Vassiliev knot

invariants}// J. Knot Theory Ramifications.-- 2004.-- Vol.13.--

P.809--828.

Plachta L. Voltage graphs, weight systems and odd

Symmetry// Discrete Mathematics.-- 2001.-- Vol.236.-- 287-313.

Plachta L. Marked diagrams and surfaces//Мат. Методи і

Фіз.-Мех. Поля. -- 2000.-- Том 43, N.1.-- С.9-16.

Plachta L. On Stanford's questions concerning singular

knots// Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica.-- 2000.-- Vol.

38.-- P.41-65.

Plachta L. A modified version of the algorithm for

computing Vassiliev invariants of knots// Нелінійні коливання.--

2000.-- Том 13, N.1.-- С.57-62.

Plachta L. n-trivial knots and the Alexander polynomial//

Вісник Львівського університету (Серія А).-- 2003.--

Том 61, С.156-165.

Plachta L. Double trivalent diagrams and $n$-hyperbolic

knots// Methods Func. Anal. Topol.-- 2004.-- Vol.10, N.2.-- P.43-56.

Плахта Л. Рід вузлів, конструктивні множини та інваріанти

Bасильєва// Доповіді НАН України.(Сер. A).-- 2005.-- N.10.-- С.29-34.

Plachta L. Genera, band sums of knots and Vassiliev invariants//Topology Appl.-- 2007.-- Vol. 154.-- P.2880-2887.

Plachta L. Geometric aspects of invariants of finite type of

knots and links in S^3// Мат. студії.-- 2002.-- Том 18, N.2.--

С.213-222.

Plachta L . Knots, satellite operarions and invariants of

finite order// J. Knot Theory Ramifications.-- 2006.-- Vol.15, N.8.

-- P.1061-1067.

Plachta L. Essential tori admitting a standard tiling//

Fund. Math. -- 2006.-- Vol.189.-- P.195-226.

Плахта. Л.П. Редукції діаграм сплетень і графів Зайферта

// Мат. Методи і Фіз.-Мех. Поля. -- 2007.-- Том 50, N.2.-- С.7-16.

Plachta L. Chord diagrams in the classification of

Morse-Smale flows on 2-manifolds // Banach Center Publications, PAN,

Warszawa.-- 1998.-- Vol.42, P.255-273.

Plachta L. On orientability of singular foliations of surfaces in

closed braid complements// Maт. Студії.-- 2005.-- Том 24, No.2.--

P.192-196.

Plachta L. The combinatorics of gradient-like flows and foliations on closed

surfaces: I.Topological classification//Topology Appl.-- 2003.--

Vol. 128, N.1.-- P.63-91.

Plachta L. The combinatorics of gradient-like flows and foliations on closed surfaces: II. The problem of realization and some estimates// Мат.

Методи і Фіз.-Мех. Поля.-- 2001.-- Том 44, N.2.-- С.7-16.

Plachta L. The combinatorics of gradient-like flows and

foliations on closed surfaces: III. The problem of realization and

some estimates// Мат. Методи і Фіз.-Мех. Поля.-- 2001.-- Том 44,

N.3.-- С.7-16.

Плахта Л.П. Гомології перетинів псевдомноговидів з локальними гомотопічними умовами на лінки страт// Нелінійні коливання.-- 2003.-- Том 6, N.4.- С.475-481.

Plachta L. Remarks on invariants of finite order of knots and links in 3-space// Мат. Методи і Фіз.-Мех. Поля. -- 2006.-- Том 51, N.4.-- С.7-16.

Плахта Л.П. Інваріанти вузлів, поверхні в R^3 і

шарування// Укр. Мат. Журнал . -- 2007.--Том 59, N.9.-- С.1239-1252.

Plachta L. On orientibility of singular foliations on standard tori

in closed braid complements// Праці міжнародної конференції,

присвяченій академіку Я.С.Підстригачу "Сучасні проблеми математики і механіки", Львів, 2003, С.549-550.

Plachta L. The study of incompressible

surfaces in link complements via foliations on them

//The minisemester "Foliations: geometry and dynamics revisited",

Stefan Banach Mathematical Center, 2000, Abstracts, P.25-27 .

Plachta L. Geometric aspects of invariants

of finite type of knots in S^3//in: 4th Conference "Geometry and

topology of manifolds.- Institute of Mathematics, University of

Lodz.- 2002.- P.67-68.

Plachta L. Combinatorial methods in the study of finite type invariants of knots and links// 4th Cracow conference on graph theory, Czorsztyn, 2002, Abstracts, - P. 44.

Plachta L. Essential tori in link complements in standard position: geometric aspects// in: 5th Conference "Geometry and topology of manifolds.- Institute of Mathematics, University of Lodz.- 2003.- P.55-57.

Plachta L. n-similiarity and n-adjacency of knots and satellite operations

// The first Lviv Conference on Geometric Topology: Infinite dimensional topology, absolute Extensors and Applications.- Book of Abstracts, Lviv, 2004.- P.5.

Plachta L. Genera of knots and Vassiliev invariants// The 5th International Siegen Topology Symposium "Manifolds and their mappings", Siegen, 2005, Abstracts, P.11.

Plakhta L. On the n-equivalence of knots and two-componebt links

in 3-space// International Conference "The algebra and geometry

around knots and braids", St Petersburg, 2007, Abstracts, P.15.

АНОТАЦІЇ

Плахта Л.П. Інваріанти вузлів і поверхні в 3-вимірному просторі. - Рукопис. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора

фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія і

топологія.- Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

В дисертації вивчаються комбінаторні та геометричні

властивості інваріантів Васильєва вузлів і таких класичних

інваріантів вузлів як рід, канонічний рід, брейд-індекс, а також співвідношення між ними. Знайдені співвідношення між інваріантами скінченного порядку вузлів і сплетень та сателітними операціями. Зокрема, встановлено зв'язок між n-тривіальністю і перебудовною n-тривіальністю вузлів. Вказано на роль спеціальних поверхонь Зайферта при дослідженні геометричних аспектів інваріантів скінченного порядку вузлів. Дано комбінаторно-геометричний опис суттєвих торів стандартного положення в доповненні до замкнених кіс, які допускають плиткові покриття. В термінах сингулярних шарувань описано також їх комбінаторні моделі. Побудавано в комбінаторних термінах повний топологічний інваріант градієнтно-подібних шарувань на орієнтовних поверхнях. Даний інваріант дає топологічну класифікацію шарувань вказаного типу і може бути використаний

в задачах комбінаторного і обчислювального характеру.

Ключеві слова: інваріант скінченного порядку, вагова

система, рід вузла, брейд-індекс, n-еквівалентність вузлів,

сателітна операція, замкнена коса, суттєвий тор, градієнтно-подібне

шарування.

Плахта Л.П. Инварианты узлов и поверхности в трехмерном

пространстве. - Рукопись. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и топология.- Институт математики НАН Украины, Киев, 2007. В диссертации исследуются комбинаторные и геометрические

свойства инвариантов Васильева узлов и таких классических инвариантов узлов как род, канонический род, брейд-индекс, а также соотношения между ними.

Описан алгоритм вычисления инвариантов конечного порядка узлов,

который распространяется на класс зацеплений и пространственных

графов. Описана также комбинаторно-геометрическая конструкция

одного класса весовых систем, которые происходят из классических

алгебр Ли.

Показано в явном виде, что простое C_n-движение Хабиро на узлах и зацеплениях эквивалентно операции включения в диаграмму n-коммутатора группы чистых кос. Найден эффект простого C_n-движения Хабиро на узле в терминах инвариантов порядка n. Данный результат используется при исследовании геометрических и комбинаторных свойств инвариантов Васильева и их связей с классическими числовыми инвариантами узлов в трехмерном пространстве.

Получены соотношения между инвариантами конечного порядка

узлов и зацеплений и сателлитными операциями. В алгебраических терминах, найдено достаточное условие для того, чтобы сателитная операция отображала n-эквивалентные узлы в (n+1)-эквивалентные. Если сателлитная операция определяется двух-компонентным зацеплением, в котором одна выделенная компонента является незаузленной, и которая обладает обычной симметрией, данное условие выполняется. Получен также аналог данного результата для инвариантов Кирка-Ливингстона зацеплений и сателлитных операций. Найдены соотношения между n-тривиальностью, n-сопряженностью и перестроечной n-тривиальностю узлов. В частности, показано, что по модулю унитарных n-тривиализаторов, перестроечная n-тривиальность и обыкновенная n-тривиальность узлов - это разные понятия. Кроме того, найден способ построения перестроечно n-тривиальных узлов.

Построены n-конструктивные множества узлов для инвариантов конечного порядка, для которых род и канонический род ограничены сверху линейной функцией от n (квадратической функцией от n, соответственно). Показано также, что род и канонический род узла не являются препятствием сверху для n-эквивалентности произвольных узлов. Точнее, любой узел рода g можно заменить на простой узел с наперед заданным родом >g, который является n-эквивалентным данному узлу.

Указано на роль специальных поверхностей Зейферта при исследовании геометрических аспектов инвариантов конечного порядка узлов. Исследованы свойства n-гиперболических узлов в контексте их связи с n-тривиальными узлами.

Изучены редукционные операции на диаграммах зацеплений в контексте определения брейд-индекса