КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

ПОГОРІЛЯК Олександр Олександрович

УДК.519.21

МОДЕЛЮВАННЯ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

КОКСА

01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор

КОЗАЧЕНКО Юрій Васильович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

професор кафедри теорії ймовірностей та

математичної статистики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

ПРАЦЬОВИТИЙ Микола Вікторович,

національний педагогічний університет

імені М.П. Драгоманова,

завідувач кафедри вищої математики.

кандидат фізико-математичних наук

РОЗОРА Ірина Василівна,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

асистент кафедри прикладної статистики.

Захист відбудеться “25” лютого 2008р. о 1400 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м.Київ-22, просп. академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитися в науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка (01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58).

Автореферат розісланий “22” січня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Моклячук М.П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У зв’язку з стрімким розвитком електронно-обчислювальної техніки, теорія моделювання випадкових процесів дедалі ширше знаходить застосування в різних галузях, і не тільки, природничих наук. Однією із найактуальніших задач залишається побудова математичної моделі описуваного нею процесу та дослідження її властивостей. Активно розробляються методи чисельного моделювання, зростає сфера застосування стохастичних моделей в різних областях природничих та соціальних наук, таких, як метеорологія, соціологія, фінансова математика, теорія масового обслуговування, стохастична геометрія, радіотехніка та ін.

Над розробкою теорії моделювання випадкових процесів та полів працювали багато науковців, серед них Єрмаков С.М., Ядренко М.Й., Козаченко Ю.В., Войтишек А.В., Палагін Ю.І., Шалигін Ю.С. та інші. Окремо потрібно відмітити Михайлова Г.О. та його учнів. Ними були запропоновані ряд нових напрямків в моделюванні випадкових процесів та полів. Це спектральні моделі гауссових процесів та полів, моделі випадкових процесів на точкових потоках, теорія збіжності числових моделей випадкових функцій, метод подвійної рандомізації.

Оскільки більшість фізичних явищ залежать від багатьох факторів, то при їх моделюванні намагаються відтворити процеси, що є сумою великого числа випадкових чинників, тобто згідно центральною граничною теоремою є гауссовими або близькими до них процесами. Тому найбільш широко розроблені методи моделювання гауссових випадкових процесів та полів. Але в більшості робіт, присвячених комп’ютерному моделюванню випадкових процесів, не вивчались питання точності та надійності.

Але як показує практика, часто, особливо на виробництві, виникає задача якомога точнішого прогнозу деякого технологічного процесу, тобто, іншими словами, задача побудови моделі цього процесу з певною точністю. Методи моделювання гауссових процесів, при яких модель наближає процес з даною точністю та надійністю в різних функціональних просторах вперше розглядались в роботах Козаченка Ю.В., Козаченко Л.Ф., Пашка А.О. Козаченком Ю.В., Тегзою А.М. досліджувались надійність та точність моделі гауссового випадкового процесу, побудованого методом Михайлова Г.О., в просторах та деяких просторах Орлича. В працях Розори І.В. розглядалось моделювання гауссових стаціонарних процесів з дискретним спектром з урахуванням виходу процесу на фільтрі, а також гауссових ізотропних випадкових полів на одиничній сфері.

Але майже не вивчались і зовсім не будувались моделі з заданою наперед точністю та надійністю подвійно стохастичних випадкових процесів які не є гауссовими, але певні характеристики яких є гауссові або породжуються гауссовими процесами чи полями. Прикладом таких процесів є процеси Кокса, які власне і є об’єктом дослідження даної дисертаційної роботи.

Основним завданням дисертаційної роботи є дослідження точності та надійності побудованих моделей випадкового процесу Кокса.

Оскільки, такі процеси широко використовуються для опису моделей в актуарій математиці, стохастичній геометрії та інших галузях природничих наук, то зрозуміло, що побудова моделей таких процесів є актуальною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми № 01БФ03806 „Розвиток теорії випадкових полів та динамічних систем на алгебраїчних структурах”, яка входить до програми „Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації № 0101U002472).

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є подальший розвиток теорії моделювання просторово-точкових випадкових процесів, деякі характеристики яких породжуються гауссовими процесами чи полями, а також розширення кола теоретичних і практичних застосувань даної теорії, зокрема, до задач стохастичної геометрії, фінансової математики, теорії масового обслуговування та ін. В роботі ставляться наступні завдання:

розвиток теорії моделювання точкових випадкових процесів;

розробка методів чисельного моделювання випадкових процесів Кокса;

побудова моделей випадкового процесу Кокса, керованого стаціонарним логарифмічно гауссовим процесом або однорідним чи неоднорідним логарифмічно гауссовими полями;

побудова моделей випадкового процесу Кокса, керованого стаціонарним квадратично гауссовим процесом або однорідним чи неоднорідним квадратично гауссовими полями;

дослідження точності та надійності побудованих моделей вище згаданих процесів Кокса;

В роботі використовуються методи теорії моделювання випадкових процесів та полів, аналітичний апарат теорії випадкових процесів з просторів Орлича.

Наукова новизна одержаних результатів.

Розроблено та обґрунтовано два методи моделювання випадкових процесів Кокса.

Побудована модель випадкового процесу Кокса для випадків, коли інтенсивність породжується стаціонарним логарифмічно гауссовим процесом, однорідним та неоднорідним логарифмічно гауссовими полями.

Побудована модель випадкового процесу Кокса для випадків, коли інтенсивність породжується стаціонарним квадратично гауссовим процесом, однорідним та неоднорідним квадратично гауссовими полями.

Отримані достатні умови наближення процесів вище згаданими моделями з наперед заданою точністю та надійністю.

Практичне значення одержаних результатів. Всі отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичне значення та практичне застосування в стохастичній геометрії, теорії масового обслуговування, фінансовій математиці, статистиці випадкових процесів та в різних областях природничих та соціальних наук, у яких використовуються методи теорії моделювання випадкових процесів.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно. За результатами дисертації здобувач опублікував п’ять робіт, дві з яких разом з науковим керівником професором Козаченком Ю.В., в яких Козаченку Ю.В. належить постановка задач та загальне керівництво роботою. Три роботи є авторськими.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи неодноразово доповідались та обговорювались на наукових семінарах кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету КНУ імені Тараса Шевченка, науковому семінарі при відділі теорії ймовірностей та математичної статистики Інституту Прикладної Математики та Механіки НАН України, науковому семінарі кафедри теорії ймовірностей та математичного аналізу математичного факультету Ужгородського національного університету, науковому семінарі при відділі фрактального аналізу Інституту Математики НАН України. Основні результати роботи доповідались на міжнародних наукових форумах: четвертій міжнародній науково-практичній конференції студентів, аспірантів та молодих вчених „Шевченківська весна. Сучасний стан науки: досягнення, проблеми та перспективи розвитку” (м. Київ, 2006р.); міжнародній науковій конференції „Сучасна стохастика: теорія і застосування”, присвяченій 60-річчю кафедри теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного ф-ту Київського нац. університету імені Тараса Шевченка та пам’яті проф. М.Й. Ядренка (м. Київ, 2006р.); дев’ятій міжнародній Вільнюській конференції по теорії ймовірностей та математичній статистиці (м. Вільнюс, 2006р.); міжнародній літній школі „Страхування та фінанси: наука, практика й освіта”(м. Форос, 2006р.); міжнародній конференції „Простір Скорохода. 50 років по тому” (м. Київ, 2007р.)

Публікації. За результатами дисертаційної роботи опубліковано 5 статей в фахових виданнях [1--–5], а також надруковано 5 тез доповідей на конференціях [6–10].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, дев’яти розділів, висновків та списку використаних джерел. Основний зміст дисертації становить 116 сторінок, список використаних джерел займає 14 сторінок і включає в себе 117 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і завдання дослідження, виділено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою даної роботи та спорідненими питаннями. Також висвітлені деякі результати щодо схожих проблем, отримані іншими авторами.

Другий розділ присвячений теоретичним відомостям про процеси Кокса. Вводяться всі необхідні означення та властивості, які будуть необхідні для подальшого моделювання процесів Кокса.

Нехай – вимірний простір,

Означення 2.1. Нехай невід’ємний випадковий процес. Якщо ^ при фіксованій реалізації ^ є пуассонівським процесом з функцією інтенсивності то називається випадковим процесом Кокса керованим процесом ^.

Нехай – стаціонарний, гауссовий, неперервний в середньому квадратичному випадковий процес,. Якщо то будемо називати логарифмічно гауссовим процесом Кокса або процесом Кокса керованим логарифмічно гауссовим процесом ^ Якщо ж ^ то ^ будемо називати квадратично гауссовим процесом Кокса або процесом Кокса керованим квадратично гауссовим процесом.

Якщо ^, то ^ будемо називати випадковим процесом Кокса керованим полем.

Означення 2.2. Пуассонівським ансамблем ^ на ^ називається такий точковий процес, що таких, що якщо, випадкові величини є незалежними в сукупності та мають пуассонівський розподіл з параметром

Нехай незалежні однаково розподілені випадкові елементи такі, що для будь-якої множини

Нехай пуассонівська випадкова величина, що не залежить від ^ Розглянемо сім’ю випадкових елементів Позначимо – число елементів з, що попали в

Теорема 2.1. є пуассонівським ансамблем з функцією інтенсивності

Іншими словами, теорема 2.1. стверджує, що при фіксованій реалізації процесу, що породжує інтенсивність, процесс Кокса є пуассонівським ансамблем. Цей результат суттєво використовуватиметься при моделюванні процесів Кокса.

В розділі 3 описано та обгрунтовано методи побудови моделей гауссових стаціонарних процесів та гауссових однорідних і неоднорідних полів.

В першому підрозділі будується модель для стаціонарного гауссового процесу та однорідного гауссового поля.

Нехай – спектральна функція стаціонарного, гауссового, дійсного, неперервного в середньому квадратичному, центрованого процесу ^ Коваріаційна функція ^ такого процесу може бути зображена у вигляді

Тоді, за теоремою Карунена, стаціонарний, центрований процес ^ допускає зображення

де та центровані випадкові процеси з некорельованими приростами такі, що

За модель такого процесу братимемо суму ^ виду

де

а – точки деякого розбиття відрізку

Всі вище наведені викладки мають місце і для випадку поля, тому за модель однорідного випадкового поля ^ прийматимемо суму вигляду

де та – некорельовані випадкові міри підпорядковані мірі ^ (аналог спектральної функції для векторного випадку), – скалярний добуток, точки деякого розбиття

відрізку.

В другому підрозділі даного розділу будується модель для неоднорідного гауссового поля.

Для коваріаційної функції ^ ^ такого поля розглядається однорідне інтегральне рівняння Фредгольма другого роду

^

Множина власних значень ^ такого рівняння для неперервного та невід’ємно визначеного ядра (яким є коваріаційна функція) не більш як зліченна, самі власні значення невід’ємні, а власні функції ^ неперервні. Власні значення ^ нумеруємо в порядку зростання: ^ а відповідні їм власні функції вважаємо ортонормованими, тобто

Має місце зображення

причому ряд в правій частині збігається рівномірно по ^ а також ряд є збіжним.

Тоді саме поле ^ допускає зображення

де ^ незалежні, гауссові випадкові величини такі, що– символ Кронекера, причому ряд збігається в середньому квадратичному (це випливає з теореми Карунена).

За модель такого поля прийматимемо суму

В наступних двох підрозділах даного розділу наведені оцінки розподілів супремумів випадкових процесів з просторів ^ та квадратично гауссових процесів. Вони використовуватимуться для оцінювання близькості побудованих моделей та реальних логарифмічно та квадратично гауссових процесів Кокса.

В четвертому розділі описується перший із запропонованих в роботі методів моделювання та наводяться достатні умови наближення логарифмічно гауссового процесу Кокса його моделлю, побудованою даним методом.

Модель логгауссового процесу Кокса будується в три кроки. На першому кроці моделюється гауссовий випадковий процес На другому кроці моделюється пуассонівська випадкова величина з інтенсивністю В результаті отримується значення Оскільки, при реалізації процесу, який породжує інтенсивність, логарифмічно гауссовий процес Кокса ^ є пуассонівським ансамблем, то на третьому кроці залишається змоделювати ^ незалежних випадкових величин з функцією розподілу

Оскільки моделлю неперервоної випадкової величини з функцією розподілу є де – рівномірно розподілена на випадкова величина, а модель логарифмічно гауссового процесу Кокса потрібно будувати таким чином, щоб вона якомога менше відрізнялася від справжнього процесу, то зрозуміло, що модель процесу буде “хорошою”, якщо різниця при будь-якому значенні буде якомога меншою. Іншими словами розміщення кожної окремої точки логарифмічно гауссового процесу від її змодельованого аналога повинно майже не відрізнятись.

Означення 4.1. Скажемо, що модель процесу Кокса керованого логарифмічно гауссовим процесом ^ наближає його з точністю та надійністю, якщо виконується нерівність

Теорема 4.1. Нехай ^ стаціонарний, центрований, сепарабельний, неперервний в середньому квадратичному, гауссовий процес зі спектральною функцією ^ Нехай існує спектральний момент а розбиття відрізку таке, що тоді модель процесу Кокса керованого логарифмічно гауссовим процесом наближає його з точністю ^ та надійністю якщо виконуються умови:

Розглянутий в даному розділі метод моделювання є ідеальним з теоретичної точки зору, але щодо його технічної реалізації на комп’ютері можуть виникати труднощі. Якщо модель логарифмічно гауссового процесу Кокса наближатиме його при досить великих ^ (як це часто буває при хорошій точності та великій надійності), то моделювання випадкових величини з функцією розподілу (якщо не вдається знайти аналітичне задання оберненої) є досить трудомісткий за часом процес.

В п’ятому розділі пропонується дещо інший підхід до моделювання, який не вимагатиме моделювати випадкові величини з вище згаданою функцією розподілу.

Модель логгауссового процесу Кокса будуємо в два кроки. Спочатку моделюємо гауссовий процес Далі розглядаємо розбиття відрізку ^ на ^ відрізків довжиною. Нехай. На другому кроці для кожного ^ будуємо модель логгауссового процесу Кокса ^, тобто модель пуассонівської випадкової величини з середнім. Оскільки ^ це число точок моделі, що належать області ^ а ми не знаємо справжнього їхнього розташування, то розміщуємо їх в довільно. Якщо ж, то точку розміщуємо в центрі області.

Зрозуміло, що модель можна вважати допустимою, якщо умовні ймовірності ^ та відрізняються мало, а також ймовірність того, що число точок (відповідно і буде більше одиниці також мала. Отже, задача моделювання логгауссового процесу Кокса полягає в виборі розбиття області моделювання та побудові моделі на вже вибраному розбитті.

Розбиття області ^ (тобто ^ або ^) вибираємо так, щоб виконувалась нерівність

де ^ певне наперед задане число (наприклад, ^.

Теорема 5.1. Нехай процес Кокса, керований логарифмічно гауссовим стаціонарним процесом ^ Для того, щоб виконувалась нерівність

досить вибрати так, щоб виконувалась нерівність

Оскільки потрібно будувати модель процесу так, щоб умовні ймовірності та для будь-якого з ймовірністю близькою до одиниці відрізнялись мало, то природнім є наступне означення.

Означення 5.1. Скажемо, що модель процесу Кокса керованого логарифмічно гауссовим процесом наближає його з точністю ^ та надійністю, якщо виконується нерівність

Теорема 5.2. Нехай стаціонарний, центрований, сепарабельний, неперервний в середньому квадратичному, гауссовий процес зі спектральною функцією Нехай існує спектральний момент а розбиття відрізку таке, що тоді модель процесу Кокса керованого логарифмічно гауссовим процесом наближає його з точністю ^ та надійністю якщо виконуються умови:

де

такі числа, що

В шостому розділі, використовуючи метод моделювання описаний в розділі 5, отримуються достатні умови наближення логарифмічно гауссового процесу Кокса, керованого однорідним полем, побудованою моделлю.

Нехай, розбиття ^ вибираємо наступним чином:

Теорема 6.1. Нехай процес Кокса, керований логарифмічно гауссовим однорідним полем ^ Для того, щоб виконувалась нерівність

досить вибрати так, щоб виконувалась нерівність

Теорема 6.2. Нехай – однорідне, центроване, неперервне в середньому квадратичному випадкове поле, тоді модель процесу Кокса, керованого логгауссовим однорідним полем наближає його з точністю ^ та надійністю, якщо виконуються умови:

де–

будь-яке додатне дійсне число більше одиниці,.

В розділі 7 моделюється логарифмічно гауссовий процес Кокса для випадку коли інтенсивність породжується неоднорідним полем. Використовується метод моделювання із розділу 5. Pозбиття області ^ залишається таким як в розділі 6.

Теоерма 7.1. Нехай процес Кокса, керований логарифмічно гауссовим неоднорідним полем ^ власні функції інтегрального рівняння

обмежені,

Для того, щоб виконувалась нерівність

досить вибрати так, щоб виконувалась нерівність

Теорема 7.2. Нехай– гауссове, центроване, неперервне в середньому квадратичному випадкове поле, власні функції інтегрального рівняння

обмежені

тоді модель процесу Кокса ^ керованого логарифмічно гауссовим однорідним полем ^, наближає його з точністю ^ та надійністю ^, якщо виконуються умови:

де–

будь-яке додатне дійсне число більше одиниці.

В восьмому розділі моделюється процес Кокса, керований стаціонарним квадратично гауссовим процесом. Використовується метод моделювання описаний в розділі 5. розбиття області розглядається таке саме як в розділі 5.

Теорема 8.1. Нехай ^ процес Кокса, керований квадратично гауссовим процесом ^ Для того, щоб виконувалась нерівність

досить вибрати так, щоб виконувалась нерівність

Теорема 8.2. Нехай стаціонарний, центрований, сепарабельний, неперервний в середньому квадратичному, гауссовий процес зі спектральною функцією Нехай існує спектральний момент а розбиття відрізку таке, що тоді модель процесу Кокса, керованого квадратично гауссовим процесом ^ наближає його з точністю ^ та надійністю якщо

де

В розділі 9 моделюється квадратично гауссовий процес Кокса, керований випадковим полем. Використовується метод моделювання введений в розділі 5. В першому підрозділі розглядається випадок коли поле є однорідним, а в другому неоднорідним. Розбиття області ^ розглядається таке саме як в розділі 6.

Теорема 9.1. Нехай процес Кокса, керований квадратично гауссовим однорідним полем ^. Для того, щоб виконувалась нерівність

досить вибрати так, щоб виконувалась нерівність

Теорема 9.2. Нехай – однорідне, центроване, неперервне в середньому квадратичному гауссове поле, тоді модель випадкового процесу Кокса, керованого квадратично гауссовим однорідним полем, наближає його з точністю ^ та надійністю, якщо виконуються умови:

де–

такі числа, що

Теорема 9.3. Нехай процес Кокса, породжений квадратично гауссовим неоднорідним полем ^, власні функції інтегрального рівняння

обмежені,

Для того, щоб виконувалась нерівність

досить вибрати ^ так, щоб виконувалась нерівність

Теорема 9.4. Нехай – центроване, неперервне в середньому квадратичному гауссове поле, власні функції інтегрального рівняння

обмежені

тоді модель процесу Кокса, керованого квадратично гауссовим неоднорідним полем наближає його з точністю ^ та надійністю ^, якщо виконуються умови:

ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена подальшому розвитку теорії моделювання просторово-точкових процесів певні характеристики яких породжуються гауссовими процесами або полями.

Описано та обгрунтовано два методи моделювання процесів Кокса керованих випадковою інтенсивністю.

Отримані достатні умови наближення процесу Кокса побудованими моделями для випадків, коли інтенсивність породжується логарифмічно гауссовим стаціонарним процесом або логарифмічно гауссовим однорідним чи неоднорідним полем, а також квадратично гауссовим стаціонарним процесом або квадратично гауссовим однорідним чи неоднорідним полями.

Всі вище згадані моделі випадкових процесів Кокса будуються з певною точністю та надійністю заданими наперед.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Погоріляк О.О. Моделювання логгауссових процесів Кокса // Вісник Київського національного університету ім. Шевченка. Сер. матем., мех. – 2006. – №15-16. – С. 94-100.

2. Козаченко Ю.В., Погоріляк О.О. Моделювання процесів Кокса керованих випадковим полем // Доповіді НАН України. – 2006. – №10. – С. 20-23. (Козаченку Ю.В. належить постановка задачі.)

3. Козаченко Ю.В., Погоріляк О.О. Моделювання логарифмічно гауссових процесів Кокса з заданою надійністю та точністю // ТВіМС. – 2007. – №76. – С. 58-71. (Козаченку Ю.В. належить постановка задачі.)

4. Погоріляк О.О. Моделювання квадратично гауссових процесів Кокса у випадку коли інтенсивність породжена однорідним полем // Науковий вісник Ужгородського університету. Сер. матем. і інформ. – 2007. – №14. – С. 95-102.

5. Погоріляк О.О. Моделювання подвійно стохастичних процесів Пуассона з певною точністю та надійністю // Вісник Київського національного університету ім. Шевченка. Сер. фіз.-мат. науки. – 2007. – № 2. – С. 29-32.

6. Погоріляк О.О. Про моделювання логгауссових процесів Кокса. // Шевченківська весна. Сучасний стан науки: досягнення, проблеми та перспективи розвитку: міжнародна науково-практична конференція. Київ, 2-3 березня. 2006. К.: – Логос, 2006. – С. 317-319.

7. Погоріляк О.О. Про моделювання процесів Кокса керованих випадковим логарифмічно гауссовим полем. // Сучасна стохастика: теорія і застосування: міжнародна конференція присв. 60-ій річниці каф. теор. ймов. та матем. стат. та пам’яті проф. М.Й.Ядренка. Київ, 19-23 червня. 2006. – С. 68-69.

8. Pogoriliak O.O. Simulation of Cox processes with given accuracy and reliability // 9th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Vilnius, june 25-30. 2006. – P. 265.

9. Козаченко Ю.В., Погоріляк О.О. Моделювання процесу надходження вимог як логгауссового процесу Кокса в класичній моделі резервного процесу ризику // Страхування та фінанси: наука, практика та освіта: міжнародна літня школа. Форос, 25 червня – 1 липня. 2006. – С. 6. (Козаченку Ю.В. належить постановка задачі.)

10. Pogoriliak O.O. Simulation of Cox process with a random intensity generated by a Log Gaussian process // Skorokhod Space. 50 years on: international conference. Kyiv, june 17-23. 2007. – Kyiv: Institute of mathematics of National academy of Sciences of Ukraine, 2007. – Part II. – P. 135.

АНОТАЦІЯ

Погоріляк О.О. Моделювання випадкових процесів Кокса. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.05 – теорія ймовірностей і математична статистика. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена моделюванню процесів Кокса керованих випадковою інтенсивністю. Розроблені та обґрунтовані два методи моделювання вище згаданих процесів. Побудована модель випадкового процесу Кокса, коли інтенсивність породжується стаціонарним логарифмічно гауссовим процесом, однорідним та неоднорідним логарифмічно гауссовими полями. Побудована модель випадкового процесу Кокса, коли інтенсивність породжується стаціонарним квадратично гауссовим процесом, однорідним та неоднорідним квадратично гауссовими полями. Отримані достатні умови наближення процесів вище згаданими моделями з наперед заданою точністю та надійністю, які дають змогу будувати чисельні моделі процесу Кокса.

Ключові слова: процеси Кокса керовані випадковою інтенсивністю, моделювання випадкових процесів Кокса, оцінка близькості побудованої моделі та процесу, точність, надійність.

АННОТАЦИЯ

Погориляк А.А. Моделирование случайных процессов Кокса. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05 – теория вероятностей и математическая статистика.– Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.

В связи с тем, что теория случайных процессов все чаще используется в разных областях, и не только естественных наук, одной из наиболее актуальных остается задача построения математической модели случайного процесса и исследования ее свойств. Вследствие быстрого развития электронно-вычислительной техники активно разрабатываются методы численного моделирования случайных процессов. Увеличивается область применения стохастических моделей в разных областях естественных и социальных наук, таких, как метеорология, радиотехника, социология, финансовая и актуарная математика, стохастическая геометрия, электроника и др.

Диссертационная работа посвящена дальнейшему изучению теории моделирования пространственно-точечных случайных процессов, некоторые характеристики которых порождаются гауссовскими процессами или полями. А именно, рассматриваются процессы Кокса управляемые случайной интенсивностью. Пусть ^, ^ неотрицательный случайный процесс. Если ^ (^ – ^-алгебра на ^) при фиксированной реализации ^ есть пуассоновским процессом с функцией интенсивности ^ тогда ^ называется случайным процессом Кокса управляемым процессом ^.

Описано два возможных подхода к моделированию выше упомянутых процессов. Первый метод моделирования является идеальным с точки зрения точности. Он может быть использован, например, для моделирования процесса поступления требований ^ в резервном процессе риска ^, где ^ – начальный капитал, ^ – размер премии за единицу времени, ^ – неотрицательные, независимые, одинаково распределенные случайные величины. Ведь, как известно, часто обычный пуассоновский процесс не является адекватной моделью процесса поступления требований. Часто ^ приходится рассматривать как процесс Кокса. Эта модель может быть интуитивно понятной если интенсивность ^, например, описывает погодные условия в страховании машин или эпидемии в страховании жизни. Также эта модель может быть использована если эмпирически установлено, что требования более пульсирующие чем те, что предусматривает обычный пуассоновский процесс.

Второй метод моделирования немного хуже с точки зрения точности, однако, часто, его применение на практике предпочтительней в силу большей скорости численного моделирования процесса Кокса. Более того, он может быть применим для моделирования более широкого подкласса процессов Кокса.

Построена модель случайного процесса Кокса, когда интенсивность порождается стационарным логарифмически гауссовским процессом, однородным и неоднородным логарифмически гауссовскими полями. Построена модель случайного процесса Кокса, когда интенсивность порождается стационарным квадратично гауссовcким процессом, однородным и неоднородным квадратично гауссовскими полями.

Получены достаточные условия приближения выше упомянутых процессов их моделями с наперед заданными точностью и надежностью.

Ключевые слова: процессы Кокса управляемые случайной интенсивностью, моделирование случайных процессов Кокса, оценка близости построенной модели и процесса, точность, надежность.

ANNOTATION

Pogoriliak O.O. Simulation of random Cox Processes. – Manuscript.

The thesis is for obtaining a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in specialty 01.01.05 – Probability Theory and Mathematical Statistics. – Kyiv National Taras Shevchenko University, 2007.

The thesis is devoted to the simulation of random Cox Processes, driven by random intensity. Two approaches to simulation of processes above are described and argued. Cox process models when intensity is generated by stationary Log Gaussian process and homogeneous or inhomogeneous Log Gaussian fields are constructed. Cox process models when intensity is generated by stationary square Gaussian process and homogeneous or inhomogeneous square Gaussian fields are constructed. Sufficient approximation conditions of Cox processes by models above with accuracy and reliability given in advance are obtained. These conditions can be used for construction numerical Cox processes models.

Key Words: Cox processes driven by random intensity, simulation of random Cox processes, approximation estimation of constructed model and process, accuracy, reliability.