ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ

ім. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

РОСТУН

Микола Йосифович

УДК 539.3

ГРАНИЧНА РІВНОВАГА НЕОДНОРІДНИХ ЦИЛІНДРИЧНИХ ТА СФЕРИЧНИХ ОБОЛОНОК З ТРІЩИНАМИ

01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Львів – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник | доктор фізико-математичних наук, професор

Кушнір Роман Михайлович

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України,
директор Інституту.

Офіційні опоненти: | доктор фізико-математичних наук, професор

Довбня Катерина Миколаївна,

Донецький національний університет МОН України, м. Донецьк, професор кафедри прикладної механіки і комп’ютерних технологій;

доктор фізико-математичних наук, професор

Саврук Михайло Петрович,

Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, м. Львів, завідувач відділу механіки композиційних матеріалів.

Захист відбудеться " 12 " травня 2008 року о 1500 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України за адресою: 79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

Автореферат розіслано " 10 " квітня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

доктор фізико-математичних наук О.В. Максимук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У сучасній техніці широке застосування знаходять вироби та елементи конструкцій з неоднорідних матеріалів, зокрема, кусково-однорідні (з різними фізико-механічними властивостями складових), неоднорідні за товщиною. Під час їх виготовлення та функціонування на них діють різні зовнішні чинники, у всій структурі чи у її окремих частинах внаслідок протікання процесів різноманітної фізичної природи можуть виникати певні дефекти. Все це необхідно враховувати при оцінці міцності та надійності таких технічних систем – як на етапі їх розробки і проектування, так і для прогнозування їх довготривалої та безпечної експлуатації.

Розробці теорії та методів розв’язування задач механіки руйнування для тіл з дефектами значну увагу приділено у працях В.М.Александрова, О.Є.Андрейківа, Л.Т.Бережницького, В.В.Божидарніка, Н.Д.Вайсвельд, П.М.Вітвіцького, Д.В.Грилі-цького, В.Т.Грінченка, В.С.Гудрамовича, О.М.Гузя, О.П.Дацишин, К.М.Довбні, С.О.Калоєрова, А.О.Камінського, В.І.Кир’яна, Г.С.Кіта, О.С.Космодаміанського, А.Я.Красовського, Р.М.Кушніра, А.О.Лебедєва, М.Я.Леонова, О.М.Лінькова, Л.М.Ло-банова, В.В.Лободи, Т.Л.Мартиновича, Р.М.Мартиняка, В.В.Мелешка, В.В.Миха-ськіва, Є.М.Морозова, М.Ф.Морозова, З.Т.Назарчука, М.М.Николишина, О.В.Оні-щука, В.К.Опанасовича, І.В.Ориняка, В.А.Осадчука, В.В.Панасюка, В.З.Партона, Я.С.Підстригача, В.Г.Попова, Г.Я.Попова, Н.Б.Ромаліса, Г.М.Савіна, М.П.Саврука, В.П.Силованюка, Л.І.Слепяна, М.М.Стадника, М.Г.Стащука, Г.Т.Сулима, В.П.Таму-жа, В.Т.Трощенка, А.Ф.Улітка, М.В.Хая, Г.П.Черепанова, І.С.Чернишенка, В.М.Че-хова, О.М.Шаблія, В.А. Шалдирвана, І.П.Шацького, В.І.Шваб’юка, М.Ю.Швайка, В.П.Шевченка, С.Я.Яреми, П.В.Яснія, F. Delale, D.S.Dugdale, F.Erdogan, J.D.Eshelby, E.S.Folias, G.R.Irwin, N.M.Wang та інших.

Дослідження напружено-деформованого стану і граничної рівноваги тонких оболонок з тріщинами відображені у низці робіт вітчизняних і зарубіжних авторів. Достатньо повний аналіз цих робіт наведено, зокрема, у монографіях В.В.Панасюка, М.П.Саврука, О.П.Дацишин; М.П.Саврука; Я.М.Григоренка; В.А.Осадчука; Р.М.Ку-шніра, М.М.Николишина, В.А.Осадчука; у двохтомнику під редакцією Муракамі, а також в оглядових статтях Я.С.Підстригача, В.А.Осадчука; В.В.Панасюка, М.П.Сав-рука; В.П.Шевченка, К.М.Довбні; Р.М.Кушніра, М.М.Николишина; E.S., F. Erdogan. Значна частина досліджень граничної рівноваги оболонок проводиться на основі критеріїв крихкого руйнування, а при пружно-пластичному деформуванні вико-ристовують деформаційний критерій міцності – критичне розкриття тріщин (–мо-дель). На основі різних теорій та методів були розв’язані задачі для пологих та замкну-тих однорідних оболонок з тріщиною (наскрізною, внутрішньою чи поверхневою) у пружній та пружно-пластичній постановці числовими або аналітико-числовими мето-дами. На даний час є незначна кількість робіт, в яких розглядаються неоднорідні обо-лонки з системою довільно орієнтованих тріщин, зокрема, неоднорідні за товщиною.

Тому актуальною є потреба розробки методики отримання у пружній та пруж-но-пластичній постановці розв’язків задач про граничну рівновагу неоднорідних оболонок з тріщинами, зокрема, кусково-однорідних та неоднорідних за товщиною, яка ґрунтується на методі дисторсій та аналозі – моделі з використанням узагаль-нених функцій, а також розвитку аналітико-числового підходу до розв’язування отриманих на цій основі відповідних систем інтегральних рівнянь.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у рамках науково-дослідних тем відділу термомеханіки ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України “Розробка методів розв’язування задач термопружності при імпульсних режимах навантаження термочутливих тіл неод-норідної структури” (№ держреєстрації 0198U002530) у 2001-2002 роках, “Розробка аналітико-чисельних методів дослідження напруженого стану неоднорідних тіл з залишковими та тепловими деформаціями і дефектами структури” (№ держреє-страції 0103U000131) у роках, “Розробка моделей та методів розрахунку теплового і напружено–деформованого стану структурно-неоднорідних елементів конструкцій з урахуванням фізичної нелінійності матеріалу” (№ держреєстрації 0107U000357) у 2007 році, а також за проектом “Моделювання та розрахунок напруженого стану та граничної рівноваги трубопроводів з дефектами під дією експлуатаційних чинників” (№ держреєстрації 0104U004523) цільової комплексної програми НАН України „Ресурс” у 2004-2006 роках.

Внесок здобувача як виконавця цих науково-дослідних тем полягає у розробці та апробації аналітико-числового підходу до розв’язування пружних та пружно-пла-стичних задач про граничну рівновагу неоднорідних оболонок з тріщинами.

Метою дисертаційної роботи є розвиток аналітико-числового методу розв’язу-вання задач про напружений стан та граничну рівновагу неоднорідних оболонок з тріщинами, який базується на використанні методу дисторсій, аналогу – моделі, апарату узагальнених функцій та побудова на цій основі розв’язків нових задач і дослідження впливу геометричних та механічних параметрів на їх напружений стан та граничну рівновагу.

Досягнення мети передбачає розв’язання таких задач:

·

·

·

Об’єкт досліджень є кусково-однорідні та неоднорідні за товщиною, пружні та пружно-пластичні сферичні та циліндричні оболонки з наскрізними та поверх-невими тріщинами.

Предмет досліджень є напружений стан і параметри тріщиностійкості оболо-нок з тріщинами.

Методи дослідження: інтегральне перетворення Фур’є, апарат узагальнених функцій, метод інтегральних рівнянь, метод механічних квадратур, метод граничних елементів, метод послідовних наближень, метод Гауса для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Достовірність отриманих результатів забезпечується використанням при пос-тановці задач відомих математичних методів; застосуванням до розв’язування сис-тем інтегральних рівнянь апробованих для однорідних оболонок числових методів; співпадінням деяких результатів розв’язків задач у часткових випадках з відомими у літературі, отриманими іншими методами і авторами.

Наукова новизна отриманих результатів. У роботі:

· розвинуто метод зведення до інтегральних рівнянь задач про напружений стан пружних та пружно-пластичних неоднорідних оболонок з системою тріщин, який базується на методі дисторсій в теорії тонких оболонок з тріщинами, аналозі моделі та використанні апарату узагальнених функцій;

· для низки нових задач про напружений стан і граничну рівновагу неоднорідних оболонок з тріщинами отримано системи СІР щодо похідних стрибків переміщень і кутів повороту на лініях тріщин та поверхнях поділу складових оболонки; в отриманих системах інтегральних рівнянь можуть бути невідомі границі інтегрування та розривні праві частини, що містять невідомі величини;

· використовуючи метод механічних квадратур, умови пластичності для тонких оболонок і умови обмеженості напружень біля вершин тріщин запропоновано модифікований алгоритм числового розв’язування отриманих систем СІР;

· проаналізовано вплив навантаження, врахування наявності пластичних зон, взаємодії тріщин, неоднорідності матеріалу, геометричних та механічних параметрів на напружений стан та граничну рівновагу оболонок з тріщинами.

Теоретичне значення роботи полягає в розробці аналітико-числового методу розв’язування пружних і пружно-пластичних задач про напружений стан та гранич-ну рівновагу неоднорідних оболонок з тріщинами, який грунтується на використанні методу дисторсій, аналозі  моделі та апараті узагальнених функцій. Отримано системи СІР для низки нових задач і запропоновано підхід до їх розв’язання. Досліджено залежність параметрів тріщиностійкості від навантаження, геометрії оболонки, розмірів тріщин та неоднорідності матеріалу.

Практичне значення отриманих результатів роботи полягає в можливості застосування запропонованої методики до дослідження напруженого стану та гранич-ної рівноваги тонкостінних елементів конструкцій, які можна моделювати цилін-дричною або сферичною оболонкою, і використання отриманих результатів та висно-вків для розрахунку оболонкових конструкцій з тріщинами в судно-, авіа-, і машино-будуванні та нафтогазовій промисловості. Розвинута в роботі методика передана для використання у ФМІ ім. Г.В. Карпенка НАН України при визначенні напружено-деформованого стану труб з поверхневими тріщинами (відповідний акт додається).

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи до-повідалися та обговорювалися на 14-ій Європейській конференції з руйнування (Кра-ків, Польща, 2002 р.), 6-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-меха-ніків (Львів, 2003 р.), 6-ій та 7-ій Міжнародних наукових конференціях “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2003 р., 2006 р.), 3-ій Міжнародній науковій конференції “Механіка руйнування матеріалів і міцність конструкцій” (Львів, 2004 р.), 3-ій Міжнародній науково-практичній конференції “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк, 2005 р.), 8-ій конференції “Оболон-кові структури: Теорія і застосування” (Гданськ-Юрата, Польща, 2005 р.), Міжнарод-ній науковій конференції “Сучасний аналіз і застосування” (Одеса, 2007 р.).

У повному обсязі робота доповідалась на розширеному науковому семінарі відділу термомеханіки та проблемному семінарі за напрямком “Математичні проб-леми механіки руйнування та поверхневих явищ” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, об’єднаному науковому семінарі кафедр прикладної механіки і комп’ютерних технологій, теорії пружності й обчислювальної математики та математичної фізики Донецького національного університету і науковому семінарі відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 12 наукових праць [1-12], у тому числі 5 статей [1-5] у фахових наукових журналах з переліку ВАК України, 5 статей у збірниках матеріалів міжнародних конференцій [6-10] та 2 тез доповідей [11-12].

У публікаціях, що висвітлюють результати досліджень та написані у співавтор-стві, дисертанту належить участь у постановці задач [1, 3, 4, 6-10], розвиток та поширення запропонованої методики для отримання систем сингулярних інтег-ральних рівнянь [1-4, 6-9, 11-12] відповідних задач та числовий аналіз отриманих результатів досліджень граничної рівноваги неоднорідних сферичних та цилін-дричних оболонок з тріщинами [1, 3, 5-7, 10-12].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, п’яти роз-ділів і додатку, які містять 23 рисунки і списку літератури з 177 назв. Повний обсяг роботи 125 с., з них: 110 с. основного тексту, 14 с. списку використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи: обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету та завдання досліджень; висвітлено наукову новизну, теоретичне та практичне значення отриманих результатів; надано відомості про апробацію роботи та її зв’язок з науково-дослідними темами установи, де вона виконана; охарактеризовано наукові праці, у яких висвітлено основні резуль-тати досліджень, і окреслено особистий внесок здобувача у публікаціях, підготов-лених за участю співавторів; тезисно викладено основні положення роботи.

У першому розділі за літературними джерелами проаналізовано методи визначення і результати дослідження напружено-деформованого стану та граничної рівноваги пружних і пружно-пластичних тіл однорідної та неоднорідної (кусково-однорідної, за товщиною) структур з тріщинами. Обґрунтовується вибір теми дисертації та методики розв’язування поставлених задач для неоднорідних оболонок обертання з тріщинами (наскрізними, внутрішніми чи поверхневими).

У другому розділі сформульовано постановки задач про напружений стан півбезмежної складеної та неоднорідної за товщиною оболонок з тріщинами за пружного і пружно-пластичного деформування, використовуючи при цьому апарат узагальнених функцій, метод дисторсій та аналог  моделі, а також описано методику побудови їх розв’язку.

Для моделювання півбезмежної, складеної з частин, оболонки з тріщинами як єдиної структури та опису її механічної поведінки використаємо подання

, , (1)

де і – шукані та задані функції, а також фізико-механічні характе-ристики всієї оболонки та її -ї складової; – асиме-трична одинична функція, – крайова поверхня оболонки.

Зокрема, система частково-вироджених диференціальних рівнянь пружної рівноваги в переміщеннях із розривними коефіцієнтами для складеної циліндричної оболонки з тріщинами за умови ідеального механічного контакту на поверхнях поділу її складових, яка отримана шляхом продовження, згідно з поданням (1), системи відповідних рівнянь для однорідної оболонки, має вигляд

. (2)

Тут , , – такі ж диференціальні оператори, як і для однорідної обо-лонки, але тепер з розривними коефіцієнтами; містять зосереджені на лініях тріщин функціонали, які отримані шляхом моделювання тріщин компонентами деформацій серединної поверхні оболонки за допомогою методу дисторсій, з густинами, що є комбінаціями невідомих стрибків переміщень , та кутів повороту ; функції мають вигляд

,, ,

де , , , – радіус сере-динної поверхні, – товщина оболонки, – коефіцієнт Пуасона -ої складової.

У системі рівнянь (2) враховано лише неперервність компонент вектора переміщень та кута повороту на межі оболонки і поверхнях поділу її складових, а функції стрибків похідних від переміщень на цих поверхнях будемо визначати з граничних умов та решти умов ідеального механічного контакту

. (3)

Якщо у поданні (1) покласти , , , , то система диференціальних рівнянь (2) буде описувати напружено-деформований стан скінченної однорідної циліндричної оболонки, для якої

, (4)

де – характеристична функція оболонки, а функції містять лише стрибки похідних від компонент переміщень при переході через поверхні .

Далі розглянута неоднорідна за товщиною оболонка з тріщинами, пружні характеристики якої модуль пружності та коефіцієнт Пуассона , є функціями нормальної до серединної поверхні координати ().

Система ключових диференціальних рівнянь у переміщеннях такої оболонки подається у вигляді

. (5)

Тут диференціальні оператори з усередненими характеристиками пружних констант, а функції також відображають дію диференціальних операторів на стрибки переміщень та кути повороту на лініях тріщин; , , .

Як приклад, приведено диференціальні оператори системи (5) для виготовленої з функціонально-градієнтного матеріалу (ФГМ) циліндричної оболонки, для якої коефіцієнт Пуассона є постійним, а модуль пружності змінюється за законом

, , , (6)

де   модулі пружності на зовнішній та внутрішній поверхнях оболонки відповідно.

Отримані системи диференціальних рівнянь (2) чи (5) доповнюємо також умовами на лініях тріщин, які характеризують, як їх вигляд (наскрізні чи внутрішні або поверхневі), так і напружений стан оболонки в результаті її навантаження. Побудову розв’язків цих систем здійснюємо за допомогою розробленої Я.С. Підстригачем, В.А. Осадчуком та їх учнями методики, яка полягає в отриманні інтегральних подань параметрів напруженого стану у будь-якій точці серединної поверхні оболонки, спричиненого довільним розподілом густин стрибків переміщень та кутів повороту на лініях розташування тріщин, а також у зведенні до систем інтегральних рівнянь щодо лінійних комбінацій похідних від функцій цих стрибків, шляхом задоволення зазначених умов на берегах тріщин і граничних чи контактних поверхнях оболонки.

Зокрема, розв’язуючи систему диференціальних рівнянь (5) операторним методом і враховуючи вирази зусиль та моментів у довільній точці оболонки, для визначення компонент переміщень отримаємо формули

, (7)

де диференціальні оператори не вище сьомого порядку, а функції , задовольняють рівняння

, (8)

- диференціальний оператор восьмого порядку; , , ; , .

Ці рівняння є ключовими рівняннями неоднорідної за товщиною оболонки, напружений стан якої зумовлений тензором несумісних деформацій і через які подаються невідомі стрибки переміщень та кути повороту.

При навантаженні реальної оболонки з тріщинами біля її вершин можуть виникати і пластичні деформації. У цьому випадку використовуємо аналог – мо-делі Леонова-Панасюка-Дагдейла, який проілюстровано для тонкої оболонки обер-тання з системою наскрізних тріщин, що не перетинаються і довільно розміщені вздовж координатних ліній.

Оболонка знаходиться під дією зовнішнього навантаження і до протилежних, не контактуючих між собою, берегів тріщин прикладені самозрівноважені (рівні за величиною і протилежно направлені) зусилля та моменти. Розміри тріщини, наван-таження та властивості матеріалу оболонки вважаємо такими, що пластичні дефор-мації розвиваються вузькою смугою на продовженні тріщини по всій товщині оболонки. Згідно з аналогом – моделі замінимо смуги пластичності поверхнями розриву пружних узагальнених переміщень, а їх реакцію на пружний об’єм – дією неві-домих зусиль і моментів. Отже розглянемо фіктивну тріщину, довжина якої склада-ється з довжини реальної тріщини та не-відомих довжин пластичних зон (рис. 1).

Це дає можливість пружно-пластичну задачу про граничну рівновагу оболонки з системою тріщин заданих довжин звести до задачі про пружну рівновагу такої ж оболонки з фіктивними тріщинами неві-домих довжин , на бе-регах яких виконуються умови:

на лініях тріщин

; (9)

на лініях тріщин

, (10)

де

, , , , , , , .

Тут індексами 0 і 1 позначено компоненти відповідно основного напруженого стану і напруженого стану в оболонці з тріщиною при дії зовнішнього наванта-ження; знаками + і – – граничні значення функцій на берегах тріщин ; та ; відповідно; – невідомі зусилля і моменти в пластичних зонах, які задовольняють певні умови пластичності; , ,   узагальнені зсувні і перерізуючі зусилля.

Із отриманої системи ключових диференціальних рівнянь у переміщеннях, яка враховує наявність стрибків переміщень та кутів повороту в оболонці з тріщинами, на основі побудованого часткового розв’язку ключових рівнянь, отримуються фор-мули для визначення переміщень у будь-якій точці серединної поверхні оболонки, спричинені довільним розподілом густин стрибків переміщень та кутів повороту на всіх тріщинах. Задовольняючи тепер умови (9), (10) на берегах кожної тріщини та відповідні граничні умови на контурі для ослабленої тріщинами оболонки отримаємо систему СІР з невідомими границями інтегрування (довжини фіктив-них тріщин), оскільки невідомі розміри пластичних зон. У конкретних випадках ця система СІР, ядра якої складаються із сингулярного ядра Коші і регулярної частини, доповнюється умовами обмеженості зусиль та моментів, умовами пластичності Треска та однозначності переміщень і кутів повороту біля вершин тріщин.

Прямі числові методи розв’язування отриманої системи СІР дають значну по-хибку в точках розриву функцій, що характеризують навантаження на тріщині, тому шукані функції подають як суми двох функцій, перша з яких є розв’язком кано-нічних СІР з розривною правою частиною (знаходимо за допомогою формул обер-нення інтеграла типу Коші), а для знаходження другої отримуємо систему інте-гральних рівнянь з неперервною правою частиною. Алгоритм числового розв’язання такої системи з врахуванням умов пластичності, умов обмеженості напружень та умов однозначності узагальнених переміщень будується на основі методу механіч-них квадратур. Невідомі розміри пластичних зон, що входять в систему рівнянь нелінійно, визначаються за допомогою методу послідовних наближень.

У третьому розділі побудовано розв’язки і проведено дослідження задач про граничну рівновагу складеної пружної циліндричної оболонки з поздовжньою нас-крізною тріщиною, скінченої пружно-пластичної циліндричної оболонки із регу-лярною системою ненаскрізних тріщин, а також пружно-пластичної трансверсально-ізотропної сферичної оболонки, ослабленої поверхневою тріщиною.

Розглянуто тонку циліндричну кусково-однорідну оболонку, яка складена з двох зістикованих півбезмежних оболонок з різних матеріалів. Одна із складових оболонки ослаблена поздовжньою тріщиною, береги якої навантаженні сталими нормальними зусиллями . На поверхні спряження складових оболонки виконуються умови іде-ального механічного контакту. Використовуючи описану у другому розділі методику для визначення напруженого стану такої кусково-однорідної структури та викори-стоуючи фундаментальний розв’язок системи диференціальних рівнянь (2), задачу зведено до системи інтегральних рівнянь. Досліджено вплив довжини тріщини на зміну коефіцієнтів інтенсивності нормальних зусиль і згинних моментів. Встановлено, що неоднорідність матеріалу оболонки (алюміній - епоксидна смола) є більш відчутною із збільшенням цієї довжини.

Далі розглянуто віднесену до ортогональної системи координат скінчену, завдовжки і завтовшки , замкнуту циліндри-чну оболонку (рис. ), яка ослабле-на регулярною системою парале-льних періодично розміщених внутрішніх тріщин ; ; (). Приймаємо, що напружений стан оболонки без тріщин осесиметричний та їх береги однаково завантажені, тому розглядаємо, внаслідок циклічної симетрії, циліндричну панель з тріщиною , , .

Відповідно до аналога – моделі, зону пластичних деформацій замінимо поверхнею розриву пружних переміщень і кутів повороту, а реакцію матеріалу пластичної зони на пружний об’єм – відповідними зусиллями та моментами. Вважаємо, що на продовженні тріщини в глибину до зовнішньої та внутрішньої поверхонь оболонки діють постійні напруження ( – межа міцності, а  – поріг текучості матеріалу оболонки). У пластичних зонах на продовженні тріщини по її довжині діють невідомі нормальне зусилля та згинний момент , які задовольняють умови пластичності тонких оболонок.

У рамках прийнятої моделі пружно-пластичну задачу про ненаскрізну тріщину заданих розмірів зводимо до пружної задачі про наскрізну тріщину невідомої довжини (– невідома довжина пластичної зони), на берегах якої для компонент збуреного напруженого стану виконуються умови

(11)

де ,  – нормальне зусилля та згинний момент, які є реакцією матеріалу на розрив внутрішніх зв’язків над та під тріщиною і згідно з прийнятими припущеннями визначаються як , ;  і , – зусилля та момент на лінії тріщини в суцільній оболонці, зумовлені зовнішнім навантаженням, і прикладені до берегів реальної тріщини.

За допомогою описаної у другому розділі методики на основі системи рівнянь (2), з урахуванням подання (4), отримаємо систему шести інтегральних рівнянь

;, ,, (12)

де та   невідомі функції стрибків похідних від узагальнених перемі-щень на кінцях оболонки () та на лінії тріщини; , ,   непе-рервні функції, які є лінійними комбінаціями похідних від фундаментального розв’язку системи диференціальних рівнянь (8);   неперервні функції, що характеризують граничні умови на лініях ;   розривні функції, які, з огляду на (11), містять невідомі величини та .

У системі СІР (12) також є невідомою довжина фіктивної тріщини (границі інтегрування). Тому її розв’язуємо сумісно з умовами обмеженості зусиль і момен-тів біля вершин тріщини (відповідні коефіцієнти інтенсивності дорівнюють нулю) та умовами пластичності для тонких оболонок, зокрема, для ідеально пружно-пластич-них матеріалів з умовою Треска (пластичний шарнір) у вигляді

, (13)

а для матеріалів зі зміцненням - цією ж умовою у вигляді

, . (14)

Тут ;   невідомі сталі, які повинні задовольняти умову , де .

За допомогою методу механічних квадратур і методу граничних елементів систему інтегральних рівнянь (12) зводимо до системи алгебраїчних рівнянь, яку розв’язуємо методом Гауса.

Проінтегрувавши розв’язки системи (12), розкриття тріщини в довільній її точці визначаємо за формулою

. (15)

Для жорстко закріпленої на обох кінцях оболонки (; ; ), яка знаходиться під дією внутрішнього тиску інтенсивності (, , ), провели числовий аналіз при . Матеріал оболонки вважався ідеально пружно-пластичним, тобто перевіряли умову (13). На рис. 3 показано результати аналізу залежності відносного розкриття тріщини від її відносної довжини при . Крива 1 відповідає зовнішній поверхневій тріщині (, ), а крива 2 – внутрішній (, ). Розкриття тріщини визначалось у точці , , для зовнішньої тріщини та – для внутрішньої тріщини. Для порівняння штриховими лініями зображено результати для безмежної оболонки за таких самих значень параметрів , , з тріщиною відповідної довжини . Залежність довжини пластичних зон від довжини тріщини показано на рис. 4. Залежність відносного розкриття зовнішніх поверхневих тріщин від їх відносної довжини , кількості та навантаження показано на рис. 5 (числами відмічено, якій кількості тріщин відповідає крива). Аналогічний числовий аналіз проведено для оболонок, матеріалу яких притаманне зміцнення, тобто перевіряли виконання умови пластичності (14). Встановлено, що врахування зміцнення матеріалу приводить до зменшення розкриття тріщини та довжини пластичних зон. Так для макси-мальне розкриття тріщини зменшилось на 20%.

У цьому ж розділі розглянуто пружно-пластичну трансверсально-ізотропну сфе-ричну оболонку, ослаблену прямолінійною в плані поверхневою тріщиною завдовжки і завглибшки . Тут за вихідну взято систему ключових рівнянь десятого порядку уточненої теорії оболонок типу Тимошенка, що дозволяє задовільнити всі пять природних граничних умов на лінії тріщини. За допомогою запропонованої методики отримано систему п’яти СІР для знаходження невідомих стрибків узагальнених переміщень , , , яка розпадається на дві системи з двох та трьох рівнянь, що відповідають симетричному та антисиметричному щодо лінії тріщини розподілу напружень.

Для оболонки, що знаходиться під дією внутрішнього тиску інтенсивності (симетричне навантаження, , ) проведено числовий аналіз з вико-ристанням умови пластичності Треска (13), коли , , . На рис. 6 показано залежність відносного розкриття наскрізної () тріщини від її відносної довжини . Обчислення проводились для таких значень пара-метрів: ; ; ; ; ( – модуль зсуву в площадках, перпендикулярних до серединної поверхні, – введений для перерізуючих зусиль коефіцієнт зсуву). Як бачимо зі збільшенням довжини тріщи-ни вплив параметра на розкриття тріщини зменшується.

У четвертому розділі розглянуто пружно-пластичну ізотропну безмежну по-логу оболонку, ослаблену системою довільно орієнтованих ненаскрізних прямо-лінійних в плані тріщин завдовжки , які не перетинаються. Приймаємо, що мате-ріал оболонки є ідеально пружно-пластичним або зі зміцненням. Згідно з аналогом – моделі пружно-пластичну задачу про напружений стан пологої оболонки з системою тріщин заданої довжини зведено до задачі про пружну рівновагу ана-логічної оболонки з системою фіктивних тріщин невідомої довжини , до бере-гів яких, крім заданих, прикладені невідомі зусилля та моменти, що задовольняють відповідні умови пластичності для тонких оболонок. Тут , де , – довжини пластичних зон біля лівої і правої вершин -ої тріщини.

Віднесемо серединну поверхню розглядуваної оболонки до декартової системи координат . На кожній тріщині введемо локальну систему координат , початок якої помістимо у центрі тріщини, а вісь спрямуємо вздовж лінії тріщини. Оскільки береги реальних тріщин, а значить, і фіктивних, завантажені самозрівноваженими зусиллями та моментами, то на контурі тріщини для компо-нент збуреного напруженого стану повинні виконуватись умови

(16)

Тут , , , .

На основі методики, наведеної у другому розділі, запишемо СІР для пологої оболонки з системою прямолінійних в плані довільно орієнтованих тріщин у вигляді

, . (17)

Тут – лінійні комбінації похідних від стрибків переміщень на лінії тріщин; – неперервні для всієї множини дійсних значень і функції; – задані постійні величини.

Як приклад розглянуто граничну рівновагу сферичної оболонки, ослабленої чо-тирма рівновіддаленими від початку координат тріщинами однакової довжини , які утворюють з віссю кути , . Нехай оболонка перебуває під дією внутрішнього тиску інтенсивності . Береги тріщин вільні від наванта-ження ( ). Відмінним від нуля з компонент основного напруженого стану в умовах (16) буде тільки , усі тріщини перебувають в однакових умовах. Тому невідомі зони пластичних деформацій біля ближчих (до початку координат) вершин тріщин рівні і біля віддалених . Із зусиль і моментів, що діють у пластичній зоні, відмінними від нуля будуть , , , . Тому із (17) отримуємо систему двох СІР для знаходження невідомих стрибків переміщення та кута повороту , яку розв’язано методом приведеним в другому розділі.

На рис. 7 показано залежність відносного розкриття вершин тріщини від параметра та приведеного навантаження. Суцільні криві відповідають вершинам тріщин, що розміщені ближче до початку коор-динат, а штрихові віддаленим вершинам. Розкриття вер-шин тріщин обчислювали на серединній поверхні при , . Результати, отримані для , відрізняються від наведених не більше ніж на 2%.

З аналізу графіків випливає, що початок взаємодії чотирьох тріщин, симетрично розміщених у сферичній оболонці, залежить як від довжини тріщин чи віддалі між ними , так і від рівня внутрішнього тиску . Зокрема, для взаємодія починається при , а для – при . На початку взаємодії розкриття ближчих до початку координат вершин тріщин дещо зменшується, а з подальшим їх зближенням - швидко зростає. Використання різних умов пластичності незначно впливає на отримані результати (в межах 5). Урахування зміцнення матеріалу оболонки приводять до зменшення розкриття вершин тріщин. Так при розкриття тріщин для зменшилось на 10%, а для – на 14%.

Аналогічні дослідження проведені для циліндричної оболонки зі системою чоти-рьох тріщин. У цьому випадку задача, на відміну від сферичної оболонки, зведена до системи чотирьох інтегральних рівнянь (пластичні зони біля поперечних та поздовжніх тріщин різні). Залежність розкриття вершин тріщин від їх довжини та навантаження якісно така ж, як і для сферичної оболонки з аналогічною системою тріщин. Зокрема, за однакового навантаження та рівних геометричних і механічних параметрах найбільше розкриття відповідних вершин тріщин у сферичній оболонці і найменше – у поперечних тріщинах циліндричної оболонки. Різниця між ними не перевищує 10

Також числовий аналіз показав, що врахування зміцнення матеріалу оболонки (умова (14)) приводить до зменшення розкриття вершин тріщин та довжини пластичних зон. Так для при розкриття тріщин зменшилось на 10%.

У п’ятому розділі досліджено граничну рівновагу циліндричної неоднорідної за товщиною оболонки з поздовжньою поверхневою тріщиною завдовжки та зав-глибшки і береги якої завантажені лише симетричними відносно площини трі-щини зусиллями та моментами. Під час деформації береги тріщини не контактують.

Тріщина може виходити як на зовнішню, так і на внутрішню поверхню оболонки. Відповідно до методики викладеної у другому розділі задачу зведено до системи двох СІР, яку розв’язано числово. Дослідження проведено для виготовленої з ФГМ оболонки, зовнішня поверхня якої має фізико-механічні характеристики алюмінію (МПa), а внутрішня – германію (МПa), за таких значень її параметрів: ; ; ; . За товщиною модуль пружності змінюється за законом (6), а коефіцієнт Пуассона . Оболонка знаходиться під дією внутрішнього тиску інтенсивності .

На рис. 8 показано залежність відносного роз-криття фронту тріщини від при-веденого навантаження . Суцільна лі-нія відповідає ненаскрізній тріщині, що виходить на зовнішню поверхню ( – береги реаль-ної тріщини вільні від навантажень), а штрихова – тріщині, що виходить на внутрішню поверхню (, – дія внутрішнього тиску на береги реальної тріщини). Розкриття зовнішньої тріщини визначалось у точці , , а внутрішньої – у точці .

Розкриття тріщини визначалось також у точках , , відповідно для зовнішньої та внутрішньої поверхневої тріщини. Зазначимо, що в цьому випадку характер залежності від такий же, як і на рис. 8, але величина значень , в середньому, на 20менша. Числовий аналіз показав, що “” – показник у поданні (6) – мало впливає на розкриття фронту тріщини на відміну від відношення .

У цьому розділі також досліджено граничну рівновагу виготовленої з ФГМ та ослабленої зовнішньою чи внутрішньою поверхневою тріщиною сферичної обо-лонки, що знаходиться під дією внутрішнього тиску інтенсивності (, ) за таких значень параметрів: ; ; ; ; . Проведено числовий аналіз залежності відносного розкриття фронту тріщини від приведеного навантаження , яке для зовнішньої тріщини визначалось у точці , , а для внутрішньої – у точці . Розкриття тріщини визначалось також у точках , у залежності від її виду. Якісно залежність від така ж як на рис.8.

На рис. 9 показано залежність відносної довжини пластичної зони біля вершин тріщин від навантаження . Суцільна лінія відповідає ненаскрізній тріщині, що виходить на зовнішню поверхню ( – береги реальної тріщини вільні від навантаження), а штрихова – тріщині, що виходить на внутрішню поверхню (,  – дія внут-рішнього тиску на береги реальної тріщини).

Числовий аналіз залежності розкриття тріщини від навантаження проводився і для випадку, коли невідомі зусилля та момент (реакція пластичної зони на пружний об’єм) задовольняють умову Треска у вигляді умови пластичності поверхневого шару чи умови пластичного шарніру і залишаються при цьому сталими (матеріал ідеально пружно-пластичний), а також, коли та змінюються вздовж пластичної зони відповідно за квадратичним чи кубічним законом, а координата нейтрального волокна – за лінійним законом. Результати, отримані за різних умов пластичності для однакових інших параметрів, відрізняються не більше 10 %.

Якщо за критерій руйнування вибрати критичне розкриття фронту тріщини, то руйнування як циліндричної, так і сферичної оболонки з неоднорідного матеріалу, для розглянутих геометричних і механічних параметрів та навантаження, почнеться на продовженні тріщини у глибину, тобто в точках , .

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

При вирішенні наукового завдання – розробити аналітико-числову методику визначення граничної рівноваги неоднорідних пружних і пружно-пластичних обо-лонок з наскрізними та поверхневими тріщинами з використанням аналога – мо-делі в теорії тонких оболонок, а також побудувати на цій основі розв’язки нових відповідних задач та дослідити вплив геометричних і механічних параметрів на характеристики тріщиностійкості оболонок – в дисертації отримано такі результати.

1. За допомогою методу узагальнених задач спряження сформульовано нові математичні моделі стосовно дослідження напруженого стану кусково-одно-рідної півбезмежної та скінченої однорідної циліндричних оболонок з тріщинами як без, так і з урахуванням пластичного деформування.

2. Аналог – моделі та метод дисторсій в теорії тонких оболонок з тріщинами поширено на неоднорідні пружно-пластичні сферичні та циліндричні оболонки, що дало можливість розробити єдину методику зведення задач про напружений стан і граничну рівновагу таких оболонок з наскрізними та поверхневими тріщинами до систем СІР з невідомими границями інтегрування та розривними функціями в правих частинах, які містять невідомі величини зусиль і моментів, що задовольняють умови пластичності тонких оболонок.

3. Запропоновано модифікований алгоритм числового розв’язування отриманих систем інтегральних рівнянь з використанням методу механічних квадратур, методу граничних елементів, умов пластичності та умов обмеженості зусиль і моментів біля тріщин.

4. Проведено числовий аналіз розв’язаних в роботі нових задач стосовно впливу навантаження, неоднорідності та зміцнення матеріалу, геометричних парамет-рів, взаємодії тріщин на граничну рівновагу неоднорідних циліндричних і сферичних оболонок з наскрізними та поверхневими тріщинами.

5. На основі числового аналізу зроблені висновки, які можуть бути викорис-тані під час проектування, виготовлення та оцінки надійної експлуатації елементів конструкцій сучасної техніки, серед яких відзначимо:

– жорстке защемлення країв скінченої циліндричної оболонки приводить до немо-нотонної залежності розкриття тріщин від їх довжини, кількість паралельних поверхневих тріщин немонотонно впливає на її граничний стан;

– початок взаємодії чотирьох тріщин, симетрично розміщених у сферичній оболон-ці, залежить як від їх довжини чи віддалі між ними, так і від рівня внутрішнього тиску. На початку взаємодії розкриття ближчих вершин тріщин дещо зменшу-ється, а з подальшим їх зближенням - швидко зростає;

– для циліндричної оболонки з системою чотирьох тріщин залежність розкриття вершин тріщин від їх довжини та навантаження якісно така ж, як і для сферичної оболонки з такою ж системою тріщин. При цьому для однакового навантаження і за рівних геометричних та механічних параметрів найбільше розкриття відповід-них вершин тріщин є у сферичній оболонці і найменше – у поперечних тріщинах циліндричної оболонки, різниця між ними не перевищує 10;

– критичне розкриття фронту тріщини у неоднорідних за товщиною сферичної або циліндричної оболонки, для розглянутих геометричних і механічних параметрів та навантаження, спочатку досягається на продовженні тріщини в глибину, а отже, тут за критерієм почнеться і руйнування. На граничний стан виго-товленої з ФГМ оболонки найсуттєвіше впливає відношення граничних значень її модуля пружності ;

– розкриття тріщини та розміри пластичних зон практично не залежать від вибраних умов пластичності, а врахування зміцнення матеріалу приводить до їх зменшення.

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.