НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

РОБОЧИЙ ПЕТРО ПЕТРОВИЧ

УДК 532.5.032

ГІДРОДИНАМІЧНІ ЕФЕКТИ
ПРИ НАПРАВЛЕНІЙ КРИСТАЛІЗАЦІЇ РОЗПЛАВІВ ДВОКОМПОНЕНТНИХ СИСТЕМ

01.02.05 – Механіка рідини, газу та плазми

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Київ–2008

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті космічних досліджень НАН та НКА України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

Черемних Олег Костянтинович,

Інститут космічних досліджень НАН та НКА України,

заступник директора з наукової роботи

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор,

член-кореспондент НАН України

Нікішов Володимир Іванович,

Інститут гідромеханіки НАН України,

заступник директора з наукової роботи;

кандидат технічних наук, доцент

Шквар Євген Олексійович,

Національний авіаційний універсітет,

доцент кафедри вищої та обчислювальної математики

Захист відбудеться 20.03.2008 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.196.01 в Інституті гідромеханіки НАН України за адресою: 03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту гідромеханіки
НАН України за адресою: 03680, м. Київ, вул. Желябова, 8/4

Автореферат розісланий 13.02.2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради

д.т.н., професор С.І. Кріль

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Направлена кристалізація розплавів широко використовується на практиці, а також є предметом наукових досліджень. Важливим промисловим застосуванням процесів твердіння цього типу є їхнє використання для одержання легованих напівпровідників і очищення речовин від шкідливих домішок. При цьому гідродинамічні процеси в розплаві суттєво впливають на структуру матеріалів, які одержують у результаті кристалізації. Зокрема, гравітаційна конвекція, котра практично завжди виникає в рідкій фазі речовини при вирощуванні кристала в земних умовах, істотно впливає на розподіл домішки в твердій фазі. У більшості випадків цей вплив виявляється негативним, оскільки кінцевою метою є, як правило, одержання максимально однорідного за складом зразка. Конвекція ж призводить до неконтрольованого перерозподілу домішки в розплаві, зокрема, поблизу фронту кристалізації, що, у свою чергу, може призводити до появи небажаних неоднорідностей у розподілі домішки в кристалі. Зазначена обставина, а також широке практичне застосування матеріалів, властивості яких залежать від ступеня їхньої однорідності, спонукали до проведення багатьох досліджень, спрямованих на пошук методів, що дозволяють послабити негативний вплив конвекції.

Пошук альтернативи наземним методикам одержання однорідних матеріалів став однією з причин виникнення наукового напрямку, який отримав назву космічне матеріалознавство (space materials science). У його основі лежить ідея використання умов космічного польоту в якості технологічного середовища для одержання матеріалів з необхідними властивостями, у тому числі речовин з однорідним розподілом домішки. Очікувалося, що в силу послабленої у багато разів сили гравітації зниження інтенсивності гравітаційної конвекції дозволить одержувати більш однорідні, ніж у земних умовах, матеріали. Проте, результати космічних експериментів виявилися досить неоднозначними. Деякі з них дали результат, котрий можна назвати позитивним. Однак у більшості випадків отримані на борту космічних апаратів зразки містили значні неоднорідності. В даний час вважається встановленим, що зазначені неоднорідності пов’язані з дією на експериментальний зразок малих сил гравітаційної й інерційної природи, зокрема, різного роду вібраційних впливів.

Незважаючи на успіхи, досягнуті в розробці теоретичних моделей для опису процесів в умовах мікрогравітації, а також у використанні їх для інтерпретації результатів космічних експериментів, задачі, спрямовані на вивчення керуючих впливів, які б дозволили послабити негативну дію факторів, що викликають появу концентраційної неоднорідності в матеріалах, отриманих у космічних умовах, практично не розглядалися. Це обумовлює актуальність задачі, розглянутої в дисертаційній роботі. В ній досліджується можливість впливу на викликані вібрацією конвекційні процеси в розплаві швидким рівномірним обертанням експериментального зразка.

Однією з умов, що забезпечують якість кристала, є стійкість фронту кристалізації. Під час вирощування плоска форма поверхні розділу фаз у результаті впливу різних факторів може спотворюватися, що призводить до утворення матеріалу із дуже неоднорідною структурою. Крім того, характер процесів тепломасопереносу для випадків плоского і викривленого фронту може бути істотно різним. Стосовно космічного матеріалознавства, зазначені обставини роблять актуальними задачі, спрямовані на дослідження впливу на стійкість фронту кристалізації факторів, котрі діють в умовах космічного експерименту. Зокрема, викликає практичний інтерес задача про вплив на стійкість фронту кристалізації вібрацій.

Питання стійкості фронту кристалізації в земних умовах досліджуються досить давно. У перших роботах, присвячених цій темі, було показано, що нестійкість фронту може викликатися суто дифузійними процесами в розплаві та кристалі. Такий тип нестійкості одержав назву морфологічної моди. Пізніше було показано, що дія на систему сили тяжіння призводить до появи додаткової конвекційної моди збурень, обумовленої гравітаційною конвекцією в розплаві. Якщо говорити про вібраційний вплив, то можна відзначити роботи, у яких розглядалася взаємодія поверхні розділу фаз кристал–рідина з різними осцилюючими течіями, що виникають при періодичному русі кристала відносно рідкої фази. Однак навряд чи можна вважати, що моделі, використані в цих роботах, адекватно описують процеси, котрі мають місце в реальних експериментах на борту космічних апаратів. Так, наприклад, вважалося, що густина рідини не залежить від температури і концентрації домішки, тобто градієнт густини відсутній. У той же час, оскільки в реальних експериментах кристалізація здійснюється в замкнутих об’ємах (при вібрації рідка фаза рухається разом із кристалом), причиною виникнення конвекції в розплаві може бути тільки сила плавучості, що обумовлена саме наявністю градієнта густини рідини. Таким чином, можна вважати, що питання про вплив вібрацій на стійкість фронту кристалізації в умовах космічного експерименту на даний момент залишається відкритим. У дисертаційній роботі ця задача розглядається для систем з малим числом Прандтля.

Направлена кристалізація розплавів речовин використовується також для їхньої очистки від шкідливих домішок. При цьому актуальними є задачі, спрямовані на пошук способів підвищення ступеня очистки. У дисертаційній роботі запропоновано методику, яка дозволяє підвищити ступінь очистки, використовуючи додаткове імпульсне нагрівання розплаву.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася в Інституті космічних досліджень НАН і НКА України:

· за контрактом №1–05/03 від 09.04.03 (“Аналіз”) між Інститутом космічних досліджень НАН і НКА України і Національним космічним агентством України за напрямками “Дослідження конвекційних течій рідини в умовах мікрогравітації”, “Вивчення впливу вібрацій на гідродинамічні течії розплаву в циліндричній області в умовах мікрогравітації”, “Наукове обґрунтування можливості проведення КЕ “Вібро” на РС МКС”, “Розробка програми КЕ “Вібро””;

· за контрактом №1–09/9–04 від 03.11.04 (“Прискорення”) між Інститутом космічних досліджень НАН і НКА України і ВАТ НПК “Курс” за напрямком “Дослідження впливу вібрацій на теплові і гідродинамічні поля розплаву при кристалізації за методом Бріджмена”;

· за контрактом №1–45/07 від 15.06.07 (“Інформація-1”) між Інститутом космічних досліджень НАНУ–НКАУ і Національним космічним агентством України за напрямком “Інформаційно-аналітичний супровід Програми. Інформаційно-аналітична підтримка створення системи “GEO-Ukraіne”” відповідно до пункту календарного плану “Моделювання вібраційних впливів, характерних для умов проведення КЕ “Морфос–В” на РС МКС”.

Задачі дослідження. У роботі вирішувалися наступні задачі:

· дослідити вплив процесів конвекційного тепломасопереносу в розплаві, викликаних вібраційною дією, на характер розподілу домішки в кристалі;

· вивчити можливість застосування швидкого рівномірного обертання розплаву в якості керуючого впливу, що дозволяє зменшити ступінь концентраційної неоднорідності;

· дослідити вплив вібрацій на стійкість фронту кристалізації в умовах космічного експерименту;

· визначити умови стійкості фронту кристалізації в залежності від основних параметрів вирощування кристалу;

· вивчити можливість додаткового очищення речовин за допомогою імпульсного нагрівання розплаву.

Об'єктом дослідження є процеси, що супроводжують направлену кристалізацію розплавів двокомпонентних систем.

Предметом дослідження є процеси конвекційного тепломасопереносу в розплаві, а також вплив цих процесів на структуру матеріалів, які отримують в умовах космічного польоту й у результаті процесу очищення в земних умовах.

Метод дослідження полягає в теоретичному аналізі на основі рівнянь Нав’є–Стокса в наближенні Буссінеска з використанням векторного аналізу, чисельних методів, наближених методів розв’язку диференціальних рівнянь у частинних похідних, зокрема, методу малого параметра і методу багатьох масштабів.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що в роботі вперше було:

· проведено моделювання процесів конвекційного тепломасопереносу в розплаві речовини, обумовлених одночасним впливом на систему поступальної вібрації і швидкого рівномірного обертання;

· показано, що для систем з малими числами Прандтля поступальна вібрація вздовж напрямку вирощування кристала призводить до появи довгохвильової нестійкості фронту кристалізації, пов’язаної з обумовленими вібрацією гідродинамічними ефектами в розплаві;

· встановлено, що між максимальним значенням критичної швидкості вирощування для вібраційної моди і мінімальним значенням критичної швидкості морфологічної моди збурень існує інтервал оптимальних швидкостей вирощування, за яких фронт кристалізації залишається плоским;

· проведено чисельне моделювання конвекційних процесів, що супроводжують очищення речовини методом направленої кристалізації, за наявності імпульсного нагрівання розплаву.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що в роботі:

· показано, що швидке рівномірне обертання розплаву може бути використано в якості керуючого впливу, який дозволяє зменшити ступінь викликаної вібрацією концентраційної неоднорідності в кристалі;

· визначено умови стійкості фронту кристалізації в залежності від основних параметрів вирощування кристалу;

· запропоновано методику, що дозволяє за рахунок імпульсного нагрівання розплаву підвищити ступінь очищення речовини, котре здійснюється методом направленої кристалізації.

Особистий внесок здобувача. У роботах [1–3, 5–8] автором виконані всі роботи з чисельного моделювання. Решта результатів отримані на паритетних засадах з іншими авторами робіт. Робота [4] виконана автором самостійно.

Апробація результатів роботи. Результати дисертації доповідалися на 3-й Українській конференції з перспективних космічних досліджень (Кацивелі, Крим, 2003), International Symposium on Physical Sciences in Space (Toronto, Canada, 2004), 5-й (НЦУВКЗ, Євпаторія, Крим, 2005) і 6-й (НЦУВКЗ, Євпаторія, Крим, 2006) Українських конференціях з космічних досліджень, а також обговорювалися на наукових семінарах Інституту космічних досліджень НАНУ–НКАУ і Інституту гідромеханіки НАНУ.

Публікації. Усього по темі дисертації опубліковано 8 робіт: 4 [1–4] –
у наукових журналах, що входять до списку ВАК фахових видань з фізико–математичних наук, 1 [6] – у збірнику статей, 3 [5, 7, 8] – у збірниках тез наукових конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, 5 розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи складає 125 сторінок. Робота містить 34 рисунки й одну таблицю. Список використаних джерел нараховує 101 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обґрунтована актуальність теми, відзначений зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами, сформульовані мета і задачі дослідження, показані наукова новизна і практичне значення отриманих результатів.

У розділі 1 проаналізований сучасний стан проблеми та наводиться загальна постановка задачі.

Припускається, що направлена кристалізація здійснюється шляхом створення двох зон – гарячої і холодної – і поступового переміщення ємності з

Рис. 1

розплавом із гарячої зони в холодну. При цьому швидкість, з якою рухається ємність, дорівнює швидкості руху границі розділу твердої та рідкої фаз (фронту кристалізації), а температура охолоджувача та нагрівача підібрана таким чином, що фронт кристалізації розташований у адіабатичній зоні, яка знаходиться між охолоджувачем і нагрівачем (Рис. 1).

Для опису процесів тепломасопереносу в розплаві використовуються безрозмірні рівняння Нав’є–Стокса в наближенні Буссінеска і рівняння переносу тепла і пасивної домішки, що у рухомій системі відліку мають вигляд:

(1)

, (2)

, (3)

, (4)

де , , і –-поле швидкостей, тиск, температура і концентрація домішки в розплаві відповідно,- – число Тейлора, , – кутова швидкість рухливої системи координат, – коефіцієнт температурного розширення розплаву, і – характерні довжина і різниця температур, – вільний параметр, величина якого змінюється в межах від 1 (умови наземного експерименту) до 0 (невагомість), – прискорення вільного падіння, , – прискорення, пов’язане з поступальним рухом системи відліку, – одиничний вектор у напрямку поступального руху, – радіус–вектор, проведений з початку координат, , , – коефіцієнт концентраційного розширення розплаву, – характерна різниця концентрацій, – число Прандтля, – число Шмідта, – кінематична в’язкість розплаву,  – температуропровідність розплаву, – коефіцієнт дифузії домішки в розплаві, а в якості характерних масштабів швидкості та часу обрані величини і відповідно.

У циліндричній системі координат за наявності в задачі симетрії відносно осі у рівняннях (1) – (4) можна перейти до змінних вихор–функція струму, що визначаються виразами

, , .

У результаті система (1) – (4) перепишеться в такий спосіб:

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

де , – вектор діючих на розплав масових сил.

У розділі 2 обґрунтовано вибір і приводиться опис різницевої схеми, яка використовується для чисельного розв’язку системи рівнянь (5) – (8), а також наводиться розв’язок тестової задачі.

У підрозділі 2.1 описується методика чисельних розрахунків.

У пункті 2.1.1 в області , , вводиться рівномірна прямокутна сітка

, (9)

де – вузли сітки, , і – кроки по координатах , і часу відповідно, – номер часового шару.

Рівняння переносу (5) – (7) записуються в загальному вигляді

, (10)

де ,

, ,

, ,

а , і – параметри, що приймають наступні значення:

.

Для рівняння (10) на сітці (9) будується неявна двошарова схема типу змінних напрямків з використанням монотонної апроксимації О. А. Самарського:

, (11)

, (12)

де

,

,

, ,

, .

У пункті 2.1.2 описується використаний для розв’язку рівняння Пуассона (8) метод “рахування на встановлення”.

У пункті 2.1.3 описується методика розв’язку різницевих рівнянь (11), (12) за допомогою послідовних одномірних прогонок уздовж координатних напрямків.

У пункті 2.1.4 показано, що при виконанні умови

розглянута різницева схема задовольняє принципові максимуму і стійка по нормі .

У пункті 2.1.5 описується спосіб апроксимації граничних умов за допомогою методу “фіктивних точок”.

У підрозділі 2.2 приводяться результати розв’язку тестової задачі.

Рис. 2

У розділі 3 розглядається задача про вплив вібрації і рівномірного обертання на процеси тепломасопереносу в розплаві в умовах мікрогравітації.

У підрозділі 3.1 наводиться постановка задачі. Вважається, що ємність з розплавом (ампула) має циліндричну форму, , вісь циліндричної системи координат спрямована вздовж осі ампули (Рис. 2), а в якості характерної відстані обраний радіус ампули . Вібраційний вплив моделюється силою, що спрямована вздовж осі ампули і змінюється з часом по гармонійному закону з частотою й амплітудою :

,

де – вібраційне число Грассгофа,  – безрозмірна частота вібрації.

Рис. 3

Також розглядається обертання ампули з постійною кутовою швидкістю так, що вісь обертання перпендикулярна осі (рис. 3). При цьому вважається, що виконано співвідношення

,

де – плече обертання. Крім того, вважається, що фронт кристалізації залишається плоским, рухається з постійною швидкістю і має температуру , градієнт концентрації на фронті кристалізації визначається умовою збереження загальної кількості домішки

,

де – коефіцієнт сегрегації, температура на верхньому торці ампули постійна і дорівнює температурі , а на бічній поверхні задані умови

, , , ,

де – безрозмірна довжина розплавленої зони.

За зроблених припущень рівняння (1) приймає вигляд:

, (13)

де – обертальне число Грассгофа, . Якщо або , то членом, пов’язаним з дією сили Коріоліса, у рівнянні (13) можна знехтувати. У цьому наближенні задачу можна вважати симетричною відносно осі , а рівняння (13) записати у змінних вихор–функція струму:

. (14)

У підрозділі 3.2 за допомогою чисельного моделювання на основі системи рівнянь (6) – (8), (14) досліджуються процеси в розплаві при суто вібраційному впливі (). Розрахунки показали, що вібраційний вплив призводить до виникнення в розплаві конвекційної вихрової течії, напрямок якої змінюється з періодом близьким до періоду вібрації. При цьому конвекційний рух захоплює весь розплав, включаючи прифронтову область усередині адіабатичної зони . Така періодична зміна напрямку течії призводить до появи просторової концентраційної неоднорідності в кристалі, що також має періодичний характер. На рисунку 4 (ліворуч) показані ізолінії концентрації домішки в кристалі, отримані в результаті чисельного моделювання процесу вирощування за наявності суто вібраційного впливу. Можна побачити, що структура кристала є неоднорідною. Періодичний характер неоднорідності добре видний на рисунку 5 (верхня лінія), де показаний вигляд залежності концентрації домішки в кристалі від координати при .

У підрозділі 3.3 розглядається можливість використання рівномірного обертання розплаву в якості керуючого впливу, що дозволяє зменшити ступінь викликаної вібрацією концентраційної неоднорідності в кристалі.

Як випливає з рівняння (14) при членом, пов’язаним із впливом вібрації можна знехтувати.
У цьому випадку характер конвекційного тепломасопереносу в розплаві буде визначатися тільки обертальним рухом. Таким чином, якщо знайти умови, за яких концентраційна неоднорідність, обумовлена обертальним рухом, менше неоднорідності, викликаної суто вібраційним рухом, при виконанні цих умов рівномірне обертання буде шуканим керуючим впливом.

Для того щоб з’ясувати, за яких умов обумовлені обертанням гідродинамічні процеси в розплаві не призводять до значних концентраційних неоднорідностей у кристалі, в пункті 3.3.1 була розглянута наступна задача. Передбачалося, що вібрація відсутня (), обертання є досить швидким, так що виконуються співвідношення , , а на бічній поверхні ампули задані граничні умови

де – ділянки бічної поверхні, на яких задані теплові потоки , . Крім того, використовувалося припущення, що виконуються співвідношення , , , за яких рівняння (14) набуває вигляду

. (15)

Використовуючи в якості малого параметру величину , було отримано наступний наближений стаціонарний розв’язок системи (6) – (8),):

, (16)

, (17)

де , , а і – z-та компонента швидкості і температура поблизу ділянки бічної поверхні відповідно. Вирази (16), (17) означають, що конвекційне перемішування здійснюється тільки поблизу тих ділянок бічної поверхні, де тепловий потік не дорівнює нулеві, а поблизу теплоізольованих ділянок конвекція відсутня.

У пункті 3.3.2 досліджується залежність інтенсивності конвекції поблизу фронту кристалізації від ширини адіабатичної зони. Очевидно, що на структуру кристала найбільший вплив здійснюють конвекційні процеси, що відбуваються безпосередньо поблизу фронту кристалізації. Якщо ж конвекційна течія локалізована в розплаві досить далеко від границі розділу фаз, то можна очікувати, що така течія не буде призводити до значного перерозподілу домішки поблизу фронту кристалізації, а, отже, впливати на структуру одержуваного матеріалу. При конвекційне перемішування поблизу теплоізольованих ділянок бічної поверхні відсутнє. Це означає, що, розширюючи адіабатичну зону поблизу фронту кристалізації за великих значень , можна очікувати послаблення впливу конвекції на фронт кристалізації.

На рисунку 6 показана залежність логарифму відношення

,

де

,

від величини для трьох різних значень ширини адіабатичної зони , отримана в результаті чисельного роз’вязання системи рівнянь (6), (8), (15). На рисунку видно, що, починаючи з , збільшення призводить до зниження інтенсивності конвекції поблизу фронту кристалізації. При цьому ширина області, у якій інтенсивність конвекції зменшується зі збільшенням , зростає зі збільшенням .

У пункті 3.3.3 наводяться результати чисельного моделювання одночасного впливу вібрації і швидкого рівномірного обертання на розподіл домішки в одержуваному в результаті вирощування кристалі.

Вище було показано, що вібраційний вплив призводить до неоднорідного розподілу домішки в кристалі. Це пов’язано з тим, що конвекційні течії, котрі розвиваються під дією вібрації, захоплюють весь розплав, включаючи прифронтову зону. Останнє призводить до перерозподілу домішки поблизу фронту кристалізації і, як наслідок, до неоднорідності у кристалі.

Також було показано, що, з одного боку, при виконанні співвідношення вібрація практично не впливає на характер конвекції в розплаві, котрий цілком визначається обертальним рухом, а з іншого – при за рахунок збільшення ширини адіабатичної зони можна локалізувати конвекційну течію вдалині від фронту кристалізації, тим самим, мінімізувавши її вплив на структуру кристала. Таким чином, обертання розплаву, що задовольняє цим умовам, може розглядатися як шуканий керуючий вплив, який з одного боку дозволяє позбавитися від шкідливого впливу вібрацій, а з іншого – не призводить до появи значних неоднорідностей у кристалі. На рисунку 4 (праворуч) показані ізолінії концентрації в кристалі, отримані в результаті чисельного розв’язання системи рівнянь (6)–(8), (14) при , . Як видно на рисунку, у розглянутому випадку розподіл домішки є більш однорідним, ніж для випадку суто вібраційного впливу. Цей результат підтверджується також виглядом залежності концентрації домішки в кристалі (при ) від координати (рис. 5).

У розділі 4 запропоновано і проаналізовано методику додаткового очищення речовин за рахунок імпульсного нагрівання розплаву.

У підрозділі 4.1 наводиться постановка задачі. Розглядається заповнена розплавом циліндрична ампула радіусом з висотою розплавленої зони , на яку діє сила тяжіння (), спрямована вздовж осі . Вважається, що граничні умови симетричні відносно цієї осі, а на твердих поверхнях виконуються умови “прилипання”. Температура на фронті кристалізації () і верхньому торці ампули () постійна і дорівнює і відповідно, а на бічній поверхні граничні умови мають вигляд

(18)

де – функція часу, вигляд котрої показаний на рисунку 5.

Граничні умови (18) відображають наступну схему нагрівання бічної поверхні: протягом інтервалу часу (див. рис. 7) відбувається інтенсивне нагрівання ділянки бічної поверхні (подається тепловий імпульс), потім нагрівання припиняється і відсутнє протягом часу , після чого знову відбувається нагрівання, і так далі.

У підрозділі 4.2 наводяться результати чисельних розрахунків на основі рівнянь (5) – (8), що проводилися за наступних значень безрозмірних параметрів: , , , , , , , , , .

Розрахунки показали, що при подачі теплового імпульсу поблизу ділянки бічної поверхні утворюється конвекційна вихрова течія, температура якої по мірі нагрівання зростає. У результаті гарячий вихор опиняється в більш холодному середовищі. Це викликає при “вимиканні” нагрівання дрейф течії у верхню частину області розплаву (спливання вихору). Після того, як вихор досягає верхнього торця ампули, подається новий тепловий імпульс,
і процес повторюється знову.

По мірі руху фронту кристалізації довжина розплавленої зони зменшується. Коли довжина розплавленої зони стає менше деякого значення, спливання конвекційного вихору не відбувається. Замість цього відбувається його розпад, при цьому винос домішки у верхню частину області розплаву припиняється.

Утворення і спливання конвекційного вихору призводить до захоплення домішки і виносу її у верхню частину розплавленої зони. Оскільки рух фронту кристалізації, а, отже, захоплення домішки, відбувається повільно, то за кілька періодів нагрівання загальна кількість домішки в розплаві залишається практично постійною. При цьому за рахунок виносу домішки конвекційним вихором у верхню частину розплавленої зони її концентрація в цій області зростає. Нерівномірний розподіл домішки викликає процеси дифузії, що прагнуть вирівняти концентрацію домішки у всьому розплаві. В результаті такого вирівнювання концентрація домішки у верхній частині розплавленої зони поступово зростає, а поблизу фронту кристалізації зменшується.

Процес захоплення домішки конвекційною вихровою течією і винос її у верхню частину розплавленої зони, що має місце при імпульсному нагріванні, призводить до відмінностей у розподілі домішки в кристалі в порівнянні з випадком, коли імпульсне нагрівання відсутнє. На рисунку 8 показаний вигляд залежності концентрації домішки в кристалі від координати () за відсутності (тонка лінія) і наявності (жирна лінія) імпульсного нагрівання. Легко бачити, що в більшій частині кристала, отриманого за наявності імпульсного нагрівання концентрація домішки менше, ніж у кристалі, отриманому за його відсутності. Це пояснюється зменшенням концентрації домішки в розплаві поблизу фронту кристалізації за рахунок виносу домішки конвекційним вихром у верхню частину розплавленої зони.

Таким чином, застосування імпульсного нагрівання дозволяє одержувати більш чисту речовину в більшій частині кристала. Той факт, що в частині кристала (меншій) концентрація домішки більше, пов’язаний з описаним вище розпадом конвекційного вихору, що обумовлений зменшенням довжини розплавленої зони в процесі росту кристала. Очевидно, що при збільшенні початкової довжини розплавленої зони довжина частини кристала з меншою концентрацією домішки також буде зростати.

У розділі 5 розглядається задача про вплив вібрації на стійкість фронту кристалізації в умовах мікрогравітації.

У підрозділі 5.1 наводиться постановка задачі. Розглядається система, показана на рисунку 9. Вона складається з твердої – I (кристал) і рідкої – II (розплав) фаз, розділених поверхнею (фронтом кристалізації), і здійснює зворотно–поступальний рух уздовж напрямку вирощування по гармонійному закону з амплітудою і частотою . задається формулою:

,

де – швидкість вирощування кристала. Для опису гідродинамічних процесів у розплаві використовуються безрозмірні модифіковані рівняння Буссінеска

,

,

,

,

де , , , записані в системі координат, що рухається зі швидкістю уздовж осі системи відліку, яка здійснює коливання разом із твердою і рідкою фазами:

, , .

Дифузія домішки в кристалі відсутня, а теплоперенос описується рівнянням

,

де . Передбачається, також, що на фронті кристалізації виконуються: умови рівності температур твердої і рідкої фаз з урахуванням кривизни фронту і залежності температури плавлення від концентрації домішки

,

де , , – коефіцієнт нахилу лінії ліквідусу, , – коефіцієнт поверхневого натягу,  – прихована теплота плавлення, – середня кривизна поверхні ; умови збереження потоків тепла і домішки

,

,

де – нормаль до поверхні , – відношення теплопровідностей рідкої і твердої фаз, ; а також умови “прилипання” для поля швидкостей

.

Крім того, вважається, що період вібрації набагато менший за характерний гідродинамічний час , а число Прандтля мале:

, .

У підрозділі 5.2 за допомогою методу багатьох масштабів, де в якості малого параметру використовується величина , записуються основне і нульове наближення по для вихідних рівнянь.

У підрозділі 5.3 описується незбурений стан системи:

, ,

, , ,

де .

У підрозділі 5.4 у припущенні, що збурення поверхні розділу фаз має вигляд

,

отримані рівняння і граничні умови для збурень функцій , , і .

У підрозділі 5.5 отримане дисперсійне рівняння, що пов’язує з параметрами задачі.

У підрозділі 5.6 приводяться результати чисельного розв’язання дисперсійного рівняння. Розрахунки проводилися для суміші Ge-Si (Германій з домішкою Кремнію): , , , , , .

Аналіз спектру збурень показав, що за відсутності вібрації () спостерігається тільки короткохвильова морфологічна мода збурень (рис. 10). Вібраційний вплив викликає такий же ефект, як і сила тяжіння в земних умовах, призводячи до появи довгохвильової нестійкості (вібраційної моди), пов’язаної з гідродинамічними ефектами в розплаві. При цьому збільшення призводить до розширення спектру вібраційної моди (рис. 11, 12).

Рис. 10 Рис. 11

Встановлено, що збільшення концентрації домішки сприяє розвитку як морфологічної нестійкості, так і нестійкості, обумовленої вібрацією. В той же час, збільшення швидкості вирощування стабілізує вібраційну нестійкість і дестабілізує морфологічну нестійкість. У результаті стійкість фронту кристалізації можлива тільки у вузькому інтервалі значень швидкості вирощування між максимальною критичною швидкістю для вібраційної моди і мінімальною критичною швидкістю для морфологічної моди (рис. 13).

Рис. 12 Рис. 13

Остання обставина дозволяє використовувати швидкість вирощування кристала як керуючий параметр для стабілізації фронту кристалізації.

ВИСНОВКИ

У роботі на основі чисельних та аналітичних методів проведено аналіз впливу гідродинамічних процесів у рідкій фазі речовини, що супроводжують направлену кристалізацію двохкомпонентних розплавів, на розподіл домішки в кристалі і стійкість фронту кристалізації за наявності вібраційних впливів, характерних для умов проведення космічних експериментів. Також розглянута задача про вплив процесів конвекційного тепломасопереносу в розплаві речовини при її очищенні методом направленої кристалізації на склад одержуваного в результаті очищення матеріалу.

У роботі отримані наступні результати:

1. Показано, що вібрація, що здійснюється вздовж напрямку вирощування, може призводити до появи періодичної концентраційної неоднорідності в кристалі.

2. Встановлено, що швидке рівномірне обертання розплаву може використовуватись як керуючий вплив, що дозволяє зменшити ступінь викликаної вібрацією концентраційної неоднорідності в кристалі.

3. Показано, що для систем з малими числами Прандтля поступальна вібрація вздовж напрямку вирощування кристала призводить до появи довгохвильової нестійкості фронту кристалізації (вібраційної моди), пов’язаної з обумовленими вібрацією гідродинамічними ефектами в розплаві.

4. Визначено умови стійкості фронту кристалізації в залежності від початкової концентрації домішки і швидкості вирощування кристала.

5. Встановлено, що між максимальним значенням критичної швидкості вирощування для вібраційної моди і мінімальним значенням критичної швидкості морфологічної моди збурень існує інтервал оптимальних швидкостей вирощування, за яких фронт кристалізації залишається плоским.

6. Запропоновано методику, яка дозволяє за рахунок імпульсного нагрівання розплаву поліпшити ступінь очищення речовини, здійснюваного методом направленої кристалізації.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Шпак А. П., Ладиков–Роев Ю. П., Рабочий П. П., Сальников Н. Н, Черемных О. К. Исследование стационарных режимов в установке кристаллизации по методу БриджменаКосмiчна наука i технологiя. – 2003. – Т. , № 5-6. – С. .

2. Ладиков Ю. П., Рабочий П. П., Черемных О. К. О структуре конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена прибольших числах ГрассгофаПрикладна гiдромеханiка. – 2006. – Т. , № . – С. .

3. Ладиков Ю. П., Рабочий П. П., Черемных О. К. Влияние поступательной вибрации и равномерного вращения на процессы тепломассопереноса в расплаве вещества при выращивании кристаллов методом Бриджмена в условиях микрогравитации // Прикладна гiдромеханiка. – 2007. – Т. , № . – С. .

4. Рабочий П. П. Влияние вибраций на устойчивость поверхности раздела твердой и жидкой фаз при направленной кристаллизации расплава бинарной металлической системы в условиях космического экспериментаМеталлофизика и новейшие технологии. – 2007. – Т. , № . – С. 23-841.

5. Ладиков Ю. П., Рабочий П. П., Сальников Н. Н, Черемных О. К. Исследование стационарных режимов для температурных и гидродинамических полей в ампуле Бриджмена // Сб. тезисов Третьей Украинской конференции по перспективным космическим исследованиям. Кацивели (Крым), 14–22 сентября 2003 г. – К.: ИКИ НАНУ–НКАУ, 2003. – С. 62.

6. Клименко Ю. А., Ладиков Ю. П., Рабочий П. П., Сальников Н. Н, Черемных О. К. Исследование конвекции в условиях микрогравитации // Космічні дослідження в Україні 2002–2004: Сб. – К.: НКАУ, 2004. – С. .

7. Ладиков Ю. П., Рабочий П. П., Черемных О. К. Структура конвективных течений в установке кристаллизации Бриджмена при наличии поступательной вибрации и равномерного вращения расплава // Сб. тезисов Пятой Украинской конференции по перспективным космическим исследованиям. НЦУИКС, Евпатория (Крым), 4–11 сентября 2005 г. – К.: ИКИ НАНУ–НКАУ, 2005. – С. 104.

8. Рабочий П. П. Численное моделирование влияния вибраций на распределение примеси в расплавах и кристаллах веществ в условиях космического эксперимента // Сб. тезисов Шестой Украинской конференции по перспективным космическим исследованиям. НЦУИКС, Евпатория (Крым), 3–10 сентября 2006 г. – К.: ИКИ НАНУ–НКАУ, 2006. – С. 86.

АНОТАЦІЇ

Робочий П.П. Гідродинамічні ефекти при направленій кристалізації розплавів двокомпонентних систем. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.05 – Механіка рідини, газу та плазми. – Інститут гідромеханіки НАН України, Київ 2008.

Дисертація присвячена моделюванню процесів у рідкій фазі речовини, що супроводжують направлену кристалізацію розплавів двокомпонентних систем.

Проведено чисельне моделювання впливу поступальної вібрації на конвекційні процеси в розплаві і розподіл домішки в кристалі.

Запропоновано методику, яка дозволяє за рахунок імпульсного нагрівання розплаву поліпшити ступінь очищення речовини, що здійснюється методом направленої кристалізації.

Розглянуто задачу про вплив поступальної вібрації вздовж напрямку вирощування кристала на стійкість фронту кристалізації в умовах мікрогравітації. Показано, що збільшення швидкості вирощування кристала стабілізує вібраційну нестійкість і дестабілізує морфологічну нестійкість. У результаті стійкість фронту кристалізації можлива тільки у вузькому інтервалі значень швидкості вирощування між максимальною критичною швидкістю для вібраційної моди і мінімальною критичною швидкістю для морфологічної моди.

Ключові слова: направлена кристалізація, розплав, домішка, мікрогравітація, вібрація, конвекція, чисельне моделювання, фронт кристалізації, стійкість.

Рабочий П.П. Гидродинамические эффекты при направленной кристаллизации расплавов двухкомпонентных систем. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.05 – Механика жидкости, газа и плазмы. – Институт гидромеханики НАН Украины, Киев 2008.

Диссертация посвящена моделированию процессов в жидкой фазе вещества, сопровождающих направленную кристаллизацию расплавов двухкомпонентных систем.

В рамках подхода, связанного с использованием переменных вихрь–функция тока, на равномерной прямоугольной сетке построена разностная схема, позволяющая находить численные решения системы уравнений Навье–Стокса в приближении Буссинеска в цилиндрической области при наличии осевой симметрии задачи. Для дискретизации уравнений переноса использовалась монотонная аппроксимация Самарского с последующим применением метода переменных направлений для решения разностных уравнений. Для решения уравнения Пуассона применялся “счет на установление”, где на каждой итерации также использовалась схема переменных направлений.

Проведено численное моделирование влияния поступательной вибрации на конвективные процессы в расплаве и распределение примеси в кристалле. Показано, что вибрационное воздействие может приводить к появлению периодической пространственной неоднородности в кристалле. Предложено в качестве управляющего воздействия на конвективные процессы использовать быстрое равномерное вращение расплава. Проведенное численное моделирование показало, что при достаточно интенсивном вращении внутри адиабатической зоны вблизи фронта кристаллизации конвективное перемешивание отсутствует, что позволяет получать более однородные по составу образцы.

Предложена методика, позволяющая улучшить степень производимой методом направленной кристаллизации очистки вещества за счет импульсного нагрева расплава. В соответствии с этой методикой периодически производится интенсивный нагрев участка боковой поверхности ампулы с расплавом вблизи фронта кристаллизации. Проведенное численное моделирование показало, что такой способ нагрева приводит к образованию конвективного вихрового течения, температура которого выше температуры окружающей жидкости. В результате действия архимедовых сил происходит всплывание вихря, что приводит к захвату примеси и выносу ее верхнюю часть расплавленной зоны. Вызванное этим процессом уменьшение концентрации примеси вблизи фронта кристаллизации приводит к уменьшению концентрации примеси в большей части полученного в результате выращивания кристалле, то есть получению в этой части кристалла более чистого вещества.

Рассмотрена задача о влиянии поступательной вибрации вдоль направления выращивания кристалла на устойчивость фронта кристаллизации расплава бинарной смеси в условиях космического эксперимента. Предполагалось, что период вибрации намного меньше характерного гидродинамического времени, а число Прандтля бинарной системы мало. Расчеты, проведенные для смеси Ge-Si показали, что вибрация оказывает такой же эффект, как и сила тяжести в земных условиях, приводя к появлению длинноволновой неустойчивости, связанной с вызываемой вибрацией конвекцией в расплаве. Показано, что увеличение концентрации примеси способствует развитию, как морфологической неустойчивости, так и неустойчивости, обусловленной вибрацией, а увеличение скорости выращивания оказывает стабилизирующие действие на вибрационную неустойчивость и дестабилизирующее – на морфологическую неустойчивость. Установлено, что между максимальным значением критической скорости выращивания для вибрационной моды и минимальным значением критической скорости морфологической моды существует интервал оптимальных скоростей выращивания, при которых фронт кристаллизации остается плоским. Последнее обстоятельство позволяет использовать скорость выращивания кристалла в качестве управляющего параметра для стабилизации фронта кристаллизации.

Ключевые слова: направленная кристаллизация, расплав, примесь, вибрация, конвекция, численное моделирование, фронт кристаллизации, устойчивость.

Rabochiy P.P. Hydrodynamical effects accompanying the directional solidification of the binary melts. – Manuscript.

The thesis for Ph.D. degree (physical and mathematical sciences) in specialty 01.02.05 – Mechanics of fluid, gas and plasma. – Institute of hydromechanics NAS of Ukraine, Kyiv, 2008.

The thesis deals with modeling of processes in a liquid phase of the substance accompanying the directional solidification of the binary melts.

Numerical modeling of influence of vibration on convective processes in melt and the distribution of a dopant in a crystal is carried out. It is shown that vibrating influence can result in occurrence of periodic spatial concentration inhomogeneity in a crystal. It is also shown that fast rotation of the melt can be used to control concentration inhomogeneity in a crystal.

The technique, which allows to improve the refinement of substance due to additional impulsive heating of the melt, is offered.

The problem of influence of a translational vibration along the direction of crystal growth on the stability of a solid–liquid interface is considered for microgravity conditions. It is shown that vibration leads to the same effect as the gravity in terrestrial conditions, resulting in occurrence of the long–wave instability (vibrational mode) caused by hydrodynamical effects in the melt. The increase in concentration of a dopant promotes development of both morphological and vibrational instabilities. The increase in the velocity of crystal growth stabilizes vibrational instability and destabilizes morphological instability. As a result, stability of crystallization front is possible only in a narrow interval of growth velocity values between the maximal critical velocity for a vibrational mode and the minimal critical velocity for a morphological mode.

Keywords: directional solidification, melt, dopant, vibration, convection, numerical modeling, crystallization front, stability.