МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ

СИДОРОВ МАКСИМ ВІКТОРОВИЧ

УДК 517.95 : 519.63

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛІЗ ТЕЧІЙ В’ЯЗКОЇ РІДИНИ У ОДНОЗВ’ЯЗНИХ ТА
БАГАТОЗВ’ЯЗНИХ ОБЛАСТЯХ МЕТОДОМ R-ФУНКЦІЙ

01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харків – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті радіоелектроніки, м. Харків, Міністерство освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор

Тевяшев Андрій Дмитрович,

Харківський національний університет радіоелектроніки, завідувач кафедри прикладної математики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Чапля Євген Ярославович,

Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів, директор, завідувач відділом математичного моделювання нерівноважних процесів;

доктор фізико-математичних наук, професор

Руткас Анатолій Георгійович,

Харківський національний університет ім. В.Н. Каразіна, завідувач кафедри математичного моделювання і програмного забезпечення.

Захист відбудеться «_12_»__червня__ 2008 р. о 13 годині на засіданні Спеціалізованої вченої ради К 64.052.07 при Харківському національному університеті радіоелектроніки: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки: 61166, м. Харків, пр. Леніна, 14.

Автореферат розісланий «_08_»_травня_ 2008 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради,

доктор технічних наук Гребеннік І.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В’язкі течії становлять важливий клас прикладних задач. Необхідність моделювати в’язкі течії виникає, наприклад, у гідроаеродинаміці літальних апаратів (обтікання аеродинамічних профілів і крил) і підводних суден, у теплоенергетиці (течії біля перешкод, обтікання пучків труб у теплообмінниках), під час вивчення руху риб і підводних тварин, під час розрахунку штучних серцевих клапанів тощо.

Відповідні задачі можуть бути досліджені теоретичним шляхом або за допомогою фізичного експерименту. Для розрахунку течій в’язкої рідини найбільш поширеним є використання чисельних методів математичного моделювання. Існує чимало чисельних методів, які застосовуються для розрахунку в’язких течій. В основному ці чисельні методи використовують метод скінченних різниць і метод скінченних елементів. Вони є простими в реалізації, але не мають необхідної властивості універсальності – під час переходу до нової області (особливо некласичної геометрії) необхідно генерувати нову сітку, а часто й заміняти складні ділянки межі простими, складеними, наприклад, з відрізків прямих.

Істотною особливістю рівнянь Нав’є-Стокса, що описують ці течії, є їх нелінійність, а також наявність малого параметра при старшій похідній. Крім того, задачі для рівнянь Нав’є-Стокса часто доводиться розв’язувати в областях складної геометрії, область може бути багатозв’язною. Важливий клас течій становлять плоскі течії, коли область, у якій вивчається течія, є циліндричною і крайові та початкові дані не залежать від координати вісі циліндру.

Ряд фундаментальних результатів, пов’язаних з теоретичним обґрунтуванням коректності початково-крайових задач для рівнянь Нав’є-Стокса, були отримані В. Гіро, М.Д. Копачевським, С.Г. Крейном, О.О. Ладиженською, Ж._Л. Ліонсом, Р. Темамом та іншими.

Значний вклад у розробку чисельних методів розрахунку гідродинамічних полів, зокрема сіткових методів та методу фіктивних областей, внесли праці П.М. Вабіщевича, О.А. Білоцерківського, Т.В. Кускової, О.О. Самарського, Л.А. Чудова та інших. Оригінальні підходи до розв’язання рівнянь гідродинаміки для областей складної геометрії базуються на використанні теорії R_функцій, яка була запропонована академіком НАН України В. Л. Рвачовим та розвинута в своїх застосуваннях у працях В.М. Колодяжного, С.В. Колосової, О.М. Литвина, К.В. Максименко-Шейко, В.А. Рвачова, А.П. Слесаренка, І.Г. Суворова, Л.Й. Шклярова та інших. Проте, в основному, з використанням методу R_функцій розглядалися задачі динаміки ідеальної рідини або в’язкої для випадків, коли можна побудувати розв’язок за рахунок вдалого вибору координат (вісесиметричні течії, течії, що мають гвинтову симетрію тощо). В’язкі течії в багатозв’язних областях з урахуванням умови однозначності тиску за допомогою методу R-функцій не моделювалися, хоча ці задачі становлять важливий клас прикладних задач. Тому розробка нових, а також удосконалення існуючих методів математичного моделювання плоских стаціонарних задач динаміки в’язкої нестисливої рідини методом R_функцій є актуальною науковою проблемою.

Зв’язок з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційні дослідження здійснювалися відповідно до плану науково-дослідних робіт кафедри прикладної математики Харківського національного університету радіоелектроніки в рамках держбюджетних тем ”Розробка теорії, методів, моделей та алгоритмів для створення інтелектуальних інформаційно-аналітичних систем управління в енергетиці” (ДР U001718) і “Розробка теорії інформаційних технологій системного аналізу і управління розвитком систем енергетики в умовах невизначеності” (ДР U001569).

Мета і задачі дослідження. Метою досліджень дисертаційної роботи є розробка, обґрунтування та програмна реалізація методів математичного моделювання плоских стаціонарних течій в’язкої нестисливої теплопровідної рідини в однозв’язних і багатозв’язних областях некласичної геометрії з кусково-гладкою межею.

Для досягнення поставленої мети у роботі розв’язуються наступні задачі:–

розробка та обґрунтування методу розрахунку плоских стаціонарних течій Стокса (лінеаризована задача Нав’є-Стокса) в однозв’язних і багатозв’язних областях некласичної геометрії з кусково-гладкою межею в змінній «функція струму»;– 

розробка та обґрунтування методу розрахунку плоских стаціонарних течій Нав’є-Стокса для в’язкої нестисливої рідини в однозв’язних і багатозв’язних областях некласичної геометрії з кусково-гладкою межею в змінній «функція струму»;– 

розробка та обґрунтування методу розрахунку плоских стаціонарних течій теплопровідної в’язкої рідини в однозв’язних і багатозв’язних областях некласичної геометрії з кусково-гладкою межею в змінних «функція струму – температура» (наближення Бусінеска);– 

застосування розроблених чисельних методів для розв’язання модельних задач розрахунку течії в’язкої нестисливої рідини в однозв’язних і багатозв’язних областях за різних чисел Рейнольдса та чисел Грасгофа й Пекле.

Об’єкт дослідження. Об’єктом дослідження є стаціонарні гідродинамічні процеси у в’язкій нестисливій теплопровідній рідині в однозв’язних і багатозв’язних плоских областях довільної геометрії з кусково-гладкою межею, що описуються нелінійними рівняннями відносно функцій струму й температури.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є математичні моделі стаціонарних плоских течій в’язкої нестисливої теплопровідної рідини в однозв’язних і багатозв’язних областях довільної геометрії з кусково-гладкою межею та методи їх чисельного аналізу.

Методи дослідження. У роботі використовуються методи функціонального аналізу та математичної фізики для доведення збіжності запропонованих методів; варіаційний метод Рітца та метод послідовних наближень для розв’язання нелінійних рівнянь; квадратурні формули Гауса для чисельного інтегрування; методи лінійної алгебри для розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, математичний апарат теорії R-функцій для побудови нормалізованих рівнянь меж областей, у яких розглядаються течії; метод R-функцій для побудови повних структур розв’язку крайових задач; методи сплайн-апроксимації для наближеного подання невизначених компонентів структур розв’язку.

Наукова новизна отриманих результатів. Проведені в дисертаційній роботі дослідження дозволили одержати такі нові наукові результати:–

вперше розроблено метод розв’язання лінійної стаціонарної задачі Стокса (у змінній «функція струму») у багатозв’язних областях довільної геометрії з кусково-гладкою межею, який відрізняється від відомих тим, що використовує принцип суперпозиції, методи R_функцій та Рітца; для визначення функції струму на межі використовується додаткове інтегральне співвідношення – умова однозначності тиску;–

вперше розроблено ітераційний метод розв’язання нелінійного рівняння для функції струму та системи нелінійних диференціальних рівнянь для функції струму і температури в однозв’язних областях некласичної геометрії з кусково-гладкою межею, який відрізняється від відомих тим, що базується на спільному застосуванні методів послідовних наближень, R-функцій та Рітца; отримано умови та оцінки швидкості збіжності в нормах просторів і до узагальнених розв’язків відповідних задач;–

вперше розроблено ітераційний метод розв’язання нелінійного рівняння для функції струму та системи нелінійних диференціальних рівнянь для функції струму і температури в багатозв’язних областях некласичної геометрії з кусково-гладкою межею, який відрізняється від відомих тим, що базується на спільному застосуванні принципу суперпозиції, методів послідовних наближень, R_функцій та Рітца і такий, що на кожному кроці ітераційного процесу враховується умова однозначності тиску;–

дістала подальший розвиток математична модель стаціонарної течії в’язкої нестисливої теплопровідної рідини в багатозв’язній області в частині урахування додаткових інтегральних співвідношень, які дозволяють забезпечити однозначність визначення тиску в розглянутій багатозв’язній області.

Використання методів R-функцій та Рітца дозволило отримати наближені розв’язки у аналітичному вигляді, що дозволяє розв’язувати широкий клас крайових задач розрахунку в’язких течій у областях з кусково-гладкою межею.

Практичне значення отриманих результатів. Розроблені в дисертаційній роботі методи розрахунку плоских течій в’язкої рідини в однозв’язних і багатозв’язних областях дозволяють здійснити ефективне чисельне моделювання течій в’язкої нестисливої теплопровідної рідини в областях складної геометрії. Запропоновані методи є більш універсальними порівняно з багатьма відомими, оскільки при переході від однієї області до іншої в моделі потрібно лише змінити рівняння межі. Отримані результати дозволяють проводити обчислювальні експерименти під час математичного моделювання різних фізико-механічних, біологічних течій (течії в інжекторах, форсунках, соплах, обтікання підводних тіл тощо). Розроблені засоби математичного моделювання впроваджено в навчальний процес у Харківському національному університеті радіоелектроніки в курсовому й дипломному проектуванні, у дисциплінах “Варіаційне числення”, “Конструктивні засоби математики”, “Рівняння математичної фізики” й “Чисельні методи” при проведенні лабораторних робіт та практичних занять.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи отримані дисертантом особисто. В роботах, опублікованих у співавторстві, дисертанту належать наступні результати. В статті [5] автором запропоновано ітераційний метод розв’язання нелінійного рівняння відносно функції струму та проведено обчислювальні експерименти. В статті [6] автором запропоновано і обґрунтовано ітераційний метод розв’язання системи Нав’є-Стокса у змінних «функція струму» та проведено обчислювальні експерименти. В [12, 13, 15] автором модифіковано математичну модель багатозв’язної в’язкої течії, що враховує умову однозначності тиску, запропоновано метод розв’язання цієї задачі та проведено обчислювальні експерименти. В [14, 16] автором запропоновано метод розв’язання задачі про розрахунок течії в’язкої теплопровідної рідини та проведено обчислювальні експерименти.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи були апробовані на Міжнародній молодіжній науковій конференції «XXVIII Гагаринские чтения» (Москва, 2002); П’ятій Всеукраїнській студентській науковій конференції з прикладної математики та інформатики СНКПМІ-2002 (Львів, 2002); XXXI науково-технічній конференції викладачів, аспірантів і співробітників Харківської державної академії міського господарства (Харків, 2002); Міжнародній молодіжній науковій конференції «XXIX Гагаринские чтения» (Москва, 2003); Третя міжнародна науково-технічна конференція «Проблеми інформатики та моделювання» (Харків, 2003); 10th International Conference Mathematical Modelling and Analysis & 2nd International Conference Computational Methods in Applied Mathematics (Trakai, Lithuania, 2005); Міжнародній молодіжній науковій конференції «XXIX Гагаринские чтения» (Москва, 2004); Міжнародній молодіжній науковій конференції «XXXII Гагаринские чтения» (Москва, 2006); Конференції молодих вчених та спеціалістів «Сучасні проблеми машинобудування» (Харків, 2006); Другій Міжнародній науковій конференції «Сучасні інформаційні системи. Проблеми та тенденції розвитку» (Харків – Туапсе, 2007); наукових семінарах кафедри математичного моделювання та програмного забезпечення Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна (2007 р.), кафедри прикладної математики Харківського національного університету радіоелектроніки (2003, 2006 рр.), кафедри вищої математики Харківської національної академії міського господарства (2007 р.), кафедри прикладної математики Української інженерно-педагогічної академії (2007 р.), Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (2008 р.).

Публікації. Основні результати за темою дисертаційної роботи опубліковано в 16 друкованих працях, в тому числі 6 статті у виданнях, які включені до переліку ВАК України, 10 доповідей та тез, опублікованих у матеріалах наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п’яти розділів, висновків, чотирьох додатків на 26 сторінках, 4 таблиць, 96 рисунків та списку використаних джерел з 174 найменувань на 17 сторінках. Повний обсяг дисертації 202 сторінки, з них 145 сторінок основного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, показано її наукову спрямованість, сформульовано мету роботи та задачі дослідження, які потрібно розв’язати для її досягнення. Надано стислу характеристику результатів дослідження, ступеня їх апробації та опублікування.

В першому розділі наведено огляд літератури за темою дисертаційної роботи, розглянуто основні відомі математичні моделі теорії в’язкої рідини та методи і засоби їх математичного моделювання. Зазначено, що значний внесок в розробку методів математичного моделювання течій в’язкої рідини внесли такі вчені, як О.А. Білоцерківський, П.М. Вабіщевич, В.Т. Гринченко, Т.В. Кускова, В.В. Мелешко, В.Л. Рвачов, О.О. Самарський, В.П. Сіроченко, Л.А. Чудов та інші. Певні проблеми пов’язані з континуально-термодинамічним моделюванням в’язкої поведінки середовищ розглянуті в роботах Я.Й. Бурака, І.Т. Селєзова, Є.Я. Чаплі, О.Ю. Чернухи та інших. У результаті зробленого аналізу відзначаються недоліки та проблеми існуючих методів розв’язання задач, що розглядаються в дисертаційній роботі, обґрунтовується необхідність розробки нових методів математичного моделювання з використанням апарату теорії R-функцій, сформульовано задачі дослідження.

В другому розділі наведено основні відомості про конструктивний апарат теорії R-функцій. Проведено аналіз постановок основних крайових задач, що виникають при математичному моделюванні в’язких течій нестисливої теплопровідної рідини та побудовано структури розв’язку цих крайових задач. Зокрема, коли розглядається в’язка течія в області з рухомими твердими стінками, задача для функції струму має вигляд

в,

, , ,

де – бігармонічний оператор; – число Рейнольдса;; – оператор Лапласа; – ротор вектора зовнішніх сил, – межа області, – зовнішня нормаль до, , – деякі розподіли нормальної та дотичної складових швидкості потоку відповідно, ,. Побудована відповідно до методу R-функцій структура розв’язку цієї крайової задачі має вигляд

,

де и – відповідно продовження и у (,);– нормалізоване рівняння (на, в, на);; – невизначена компонента структури. Вважаємо, що – кусково-гладка замкнена лінія.

В третьому розділі проведено аналіз плоских стаціонарних в’язких течій Стокса у постановці задачі відносно функції струму для однозв’язних та багатозв’язних областей з твердими стінками.

Нехай – вектор швидкості в’язкого потоку. Функція струму задається співвідношеннями, та у випадку однозв’язної області є розв’язком крайової задачі

в , (1)

, , . (2)

У задачі (1), (2) зробимо заміну, де. Тоді для функції матимемо задачу з однорідними крайовими умовами

в ,

, .

Теорема 1. Якщо, , то послідовність збігається при в нормі простору до єдиного узагальненого розв’язку задачі (1), (2), де – мінімізуюча послідовність для функціонала

.

Для побудови мінімізуючої послідовності було використано метод Рітца. Проведено обчислювальний експеримент для областей, що мають форму прямокутника, трапеції та напівеліпса. Лінії рівня функції струму та завихореності для прямокутника та трапеції наведено на рис. 1.

Рис. 1. Лінії рівня функції струму і завихореності

Нехай область, у якій розглядається течія є -зв’язною, її межа складається із зовнішнього контуру і внутрішніх контурів, , …,;, , ,. Математична модель течії має вигляд

в , (3)

, , ; , (4)

Числа – фіксовані, але невідомі; вони визначаються з умови однозначності тиску:

, , (5)

де – довільний контур, який охоплює (або співпадає з) і цілком знаходиться в, , – нормалізоване рівняння .

Розв’язок задачі (3) – (5) подамо у вигляді

,

де, , ..., – розв’язки задач

в ,
, ,; | в,
, ,. | (6)

Сталі, , знайдемо з системи

, .

Нехай, , …, такі, що:

1) на,; 2) в;

3) на,.

Структура розв’язку задачі для з (6) має вигляд

,

де, , , , – невизначена компонента. Структура розв’язку задач для з (6) має вигляд

,

де – невизначені компоненти,.

Для апроксимації невизначених компонент скористаємося методом Рітца. Нехай, , – наближені за Рітцем розв’язки задач (6).

Теорема 2. Якщо, , , , де, , – розв’язки відповідних задач, то послідовність, , збігається, коли, в нормі простору до єдиного узагальненого розв’язку задачі (3) – (5).

Таким чином, розроблено метод розв’язання стаціонарної задачі Стокса у багатозв’язній області довільної геометрії з кусково-гладкою межею, який відрізняється від відомих тим, що зводить розв’язання вихідної задачі з невідомими граничними значеннями функції струму до набору більш простих допоміжних підзадач із відомими граничними умовами. Для цього використовується принцип суперпозиції та метод R_функцій. Значення функції струму на межі знаходяться за допомогою додаткового інтегрального співвідношення, яке забезпечує однозначність тиску.

Обчислювальні експерименти було проведено для прямокутної області з прямокутною вставкою та однією і двома вставками у формі кола (рис. 2).

В четвертому розділі розроблено методи розрахунку плоских течій Нав’є-Стокса. Математична модель має вигляд

в, (7)

, , . (8)

Рис. 2. Лінії рівня функції струму і завихореності для

багатозв’язної області (, ,)

Для розв’язання задачі (7), (8) будуємо такий ітераційний процес. Нехай є розв’язок задачі

в, , , .

У задачі (7), (8) зробимо заміну, де – нова невідома функція:

в, (9)

, . (10)

Нехай початкове наближення задане. Тоді при відомому значенні функції на -й ітерації наступне -е наближення знаходиться як розв’язок лінійної задачі

в, (11)

, , . (12)

Теорема 3. При досить малому числі Рейнольдса послідовні наближення, що формуються за схемою (11), (12), збігаються до єдиного узагальненого розв’язку задачі (9), (10). Умова належної малості для формулюється у вигляді нерівності

,

причому сталі, залежать тільки від області, , , – деяка стала з. Оцінка швидкості збіжності дається формулою

.

Для розв’язання задач (11), (12) використано методи Рітца та R_функцій. Результати обчислювального експерименту для різних чисел Рейнольдса наведено на рис. 3. Графіки збіжності, , , до нуля наведені на рис. 4.

Рис. 3. Лінії рівня функції струму і завихореності

а) б) в) г)

Рис. 4. Графіки збіжності (а), (б),

(в), (г) до нуля при

В табл. 1 наведено координати “вихоревого центру” (точки, де швидкості дорівнюють нулеві:), а також відповідні йому значення функції струму та завихореності в залежності від числа Рейнольдса для прямокутної області.

Таблиця 1

Характеристики течій за різних чисел Рейнольдса |

Кількість

Ітерацій

0 | 0,5000 | 0,7646 | 0,1001 | 3,3374

50 | 9 | 0,4230 | 0,7599 | 0,1009 | 3,2379

100 | 14 | 0,3789 | 0,7417 | 0,1035 | 2,8224

200 | 20 | 0,3945 | 0,6620 | 0,1093 | 2,5493

300 | 25 | 0,4206 | 0,6265 | 0,1127 | 2,4887

400 | 36 | 0,4351 | 0,6163 | 0,1143 | 1,9096

Для багатозв’яних областей математичною моделлю в’язкої течії є

в, (13)

, ,; , , (14)

сталі визначаються з умов

, , (15)

де – довільний контур, який охоплює (або співпадає з) і цілком знаходиться в, , – нормалізоване рівняння .

Якщо внутрішні межі нерухомі та, то (15) приймає вигляд

, , (16)

Ітераційний процес розв’язання задачі (13), (14), (16) формується за схемою

в, (17)

, ,; (18)

, , (19)

,; . (20)

Для розв’язання задачі (17) – (20) на кожній ітерації використовується принцип суперпозиції та метод R-функцій. Функцію подамо у вигляді

, (21)

де, , – сталі з (18); функція – розв’язок задачі

в ,

, ,;

а функції, , – розв’язки задач

в,

, , .

При такому виборі функцій, , , функція вигляду (21) задовольняє рівнянню (17) і крайовим умовам (18), (19). Підставивши далі (21) в кожне з співвідношень (20), для визначення сталих, , отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь. З лінійної незалежності функцій, , випливає існування єдиного розв’язку цієї системи.

Структури розв’язку крайових задач, умови збіжності ітераційного процесу мають вигляд, аналогічний наведеним у розділі 3 та теоремі 2. Зазначимо, що крайові задачі для визначення функцій, , від номера ітерацій не залежать, а тому при реалізації ітераційного процесу розв’язуються лише один раз.

В п’ятому розділі розроблено ітераційний метод розв’язання системи нелінійних рівнянь для функції струму і температури, яка є математичною моделлю в’язкої течії у наближенні Бусінеска

, в , (22)

, , , , (23)

де – число Рейнольдса; – число Грасгофа; – число Пекле.

Для розв’язання задачі (22), (23) будуємо такий ітераційний процес. Нехай є розв’язок задачі

, в, (24)

, , , . (25)

У задачі (22), (23) зробимо заміну, , де, – нові невідомі функції. Це призводить до задачі

,

в, (26)

, , . (27)

Нехай початкові наближення задано. Тоді при відомих значеннях функції на -й ітерації наступне -е наближення знаходиться як розв’язок лінійної задачі

в, (28)

в, (29)

, , . (30)

Теорема 4. При досить малих числах Рейнольдса, Грасгофа и Пекле, які задовольняють умову

,

послідовні наближення, що формуються за схемою (28) – (30), збігаються до єдиного узагальненого розв’язку задачі (26), (27). Умови належної малості для, и мають вигляд

, ,

,

причому сталі, і залежать тільки від області, , , , ,. Оцінка швидкості збіжності дається формулою

При реалізації обчислювального процесу за схемою (26) – (28) функції и можуть бути знайдені за допомогою методів Рітца та R-функцій. Структури розв’язку задач (26), (27) і (28) – (30) мають вигляд

, , , ,

де, ,; – нормалізоване рівняння;, , , – невизначені компоненти структур,.

Обчислювальний експеримент було проведено для прямокутної області за різних значень чисел Рейнольдса, Грасгофа и Пекле. На рис. 5 наведено ізотерми та лінії рівня функції струму.

Для багатозв’язних областей було побудовано та обґрунтовано ітераційний процес на основі методів послідовних наближень, R-функцій та принципу суперпозиції. На кожному кроці ітераційного процесу використовуються умови

,

, що забезпечують єдність тиску у багатозв’язній області. Структури розв’язку, умови збіжності мають вигляд, аналогічний наведеним у розділах 3 і 4 та теоремі 2.

Рис. 5. Ізотерми і лінії струму та лінії завихореності

для, и ().

На рис. 6 наведено лінії рівня температури, функції струму та завихореності для прямокутної області з прямокутною вставкою (на зовнішньому контурі підтримується нульова температура, а на внутрішньому – одинична).

Для апроксимації невизначених компонент структур варіаційними методами було використано фінітні сплайни Шенберга. Отримані наближені розв’язки задач було порівняно з відомими чисельними розв’язками, що отримані іншими методами. Розбіжності склали 3-5%.

Рис. 6. Ізотерми (а), лінії струму (б), лінії рівня завихореності (в)

для, ,

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі одержано результати, які в сукупності є подальшим узагальненням і розвитком чисельних методів математичного моделювання стаціонарних плоских течій в’язкої рідини. Результати роботи містять теоретичне обґрунтування вирішення проблеми розв’язання задач розрахунку в’язких течій у однозв’язних і багатозв’язних областях з кусково-гладкою межею.

1. У роботі проведено аналіз сучасного стану існуючих засобів математичного моделювання та чисельних методів розрахунку плоских в’язких течій.

2. На основі методів послідовних наближень і _функцій вперше побудовано ітераційний чисельний метод розрахунку стаціонарних течій в’язкої нестисливої рідини у однозв’язних областях складної геометрії. Доведено збіжність побудованого ітераційного процесу при малих числах Рейнольдса, отримано оцінки швидкості збіжності в нормі простору.

3. Вперше на основі методів послідовних наближень і _функцій побудовано ітераційний чисельний метод розрахунку стаціонарних течій в’язкої нестисливої теплопровідної рідини у однозв’язних областях складної геометрії. Доведено збіжність побудованого ітераційного процесу при малих числах Рейнольдса, Пекле й Грасгофа, отримано оцінки швидкості збіжності в нормі простору.

4. Модифіковано математичну модель течій Стокса, Нав’є-Стокса та вільно-конвективних течій (наближення Бусінеска) в багатозв’язних областях щодо функції струму та температури в частині урахування умови однозначності тиску за допомогою додаткових інтегральних співвідношень. Розроблено й обґрунтовано ітераційний чисельний метод знаходження розв’язку цих задач, що враховує умову однозначності тиску на кожному кроці ітераційного процесу. При цьому використовуються методи Рітца й _функцій.

5. Вірогідність отриманих результатів забезпечується строгістю математичних постановок задач з використанням основних положень математичної фізики. Коректність чисельних результатів підтверджується їх збіжністю з ростом номеру ітерації та при збільшенні вимірності апроксимаційного простора, а також порівнянням з відомими в літературі чисельними розв’язками.

6. Результати досліджень дисертаційної роботи впроваджено в навчальний процес у Харківському національному університеті радіоелектроніки.

7. Отримані результати є теоретичною і практичною основою для розв’язання інженерних задач, які зводяться до моделювання плоских стаціонарних течій в’язкої теплопровідної рідини в областях складної геометрії. Також розроблені методи можна використати як складові при реалізації напівдискретних та проекційних методів розв’язання нестаціонарних задач.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇЇ

1. Сидоров М.В. О построении структур решений задачи Стокса // Радиоэлектроника и информатика. – №3. – 2002. – С. 52 – 54.

2. Сидоров М.В. Применение метода R-функций к расчету течения Стокса в квадратной каверне при малом числе Рейнольдса // Радиоэлектроника и информатика. – №4. – 2002. – С. 77 – 78.

3. Сидоров М.В. Приближенный метод расчета многосвязных вязких течений // Радиоэлектроника и информатика. – №1. – 2003. – С. 42 – 44.

4. Сидоров М.В. Об одном подходе к численному моделированию конвективных вязких течений в односвязных и многосвязных областях // Радиоэлектроника и информатика. – № 4. – 2003. – С. 55 – 57.

5. Колосова С.В., Сидоров М.В. Применение метода R–функций к расчету плоских течений вязкой жидкости // Вісн. ХНУ. Сер. Прикл. матем. і мех. – № 602. – 2003. – С. 61 – 67.

6. Тевяшев А.Д., Гибкина Н.В., Сидоров М.В. Об одном подходе к математическому моделированию плоских стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости в конечных односвязных областях// Радиоэлектроника и информатика, № 2, 2007.– С. 50 – 57.

7. Сидоров М.В. Применение метода R-функций к расчету вязких течений // Международная молодежная научная конференция «XXVIII Гагаринские чтения». – Москва. – 2002. – С. 87 – 88.

8. Сидоров М.В. Про один варіант методу послідовних наближень та його застосування до розв’язання рівнянь Нав’є-Стокса // П’ята Всеукраїнська студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики СНКПМІ-2002. – Львів. – 2002. – С. 76 – 77.

9. Сидоров М.В. О движении вязкой жидкости в прямоугольной каверне при малых числах Рейнольдса // XXXI научно-техническая конференция преподавателей, аспирантов и сотрудников Харьковской государственной академии городского хозяйства. – Часть 2. – Харьков. – 2002. – С. 115 – 116.

10. Сидоров М.В. Применение метода R-функций для расчета многосвязных вязких течений // Международная молодежная научная конференция «XXIX Гагаринские чтения». – Москва. – 2003. – Т. 2. – С.  – 1.

11. Сидоров М.В. Численное моделирование свободноконвективных вязких течений на основе метода R-функций // Третья международная научно-технической конференция «Проблемы информатики и моделирования». – Харьков. – 2003. – С. 40.

12. Semerich Yu., Sidorov M.. The R-function method for solution of multiconnected Stokes flows in domains of complicated geometry // Abstracts of the 10th International Conference Mathematical Modelling and Analysis & 2nd International Conference Computational Methods in Applied Mathematics, June 1-5, 2005,Trakai, Lithuania – 115 p.

13. Semerich Yu., Sidorov M.. The R-function method for solution of multiconnected Stokes flows in domains of complicated geometry // Proc. of the 10th International Conference Mathematical Modelling and Analysis & 2nd International Conference Computational Methods in Applied Mathematics, June 1-5, 2005, Trakai, Lithuania. – 2005. – P. 519 – 524.

14. Семерич Ю.С., Сидоров М.В. Численное моделирование свободноконвективных течений вязкой жидкости с помощью метода R-функций // Международная молодежная научная конференция «XXXII Гагаринские чтения». – Москва. – 2006. – Т. 1. – С.  – 1.

15. Семерич Ю.С., Сидоров М.В. Математическое моделирование плоских течений Стокса методом -функций // Современные проблемы машиностроения. Тезисы докладов конференции молодых ученых и специалистов. Харьков, 4 – 7 декабря 2006 г. – С. 32.

16. Тевяшев А.Д., Сидоров М.В. Математическое моделирование течений вязкой теплопроводной жидкости в односвязных и многосвязных областях // Материалы 2-й Международной научной конференции «Современные информационные системы. Проблемы и тенденции развития». Харьков – Туапсе, 2 – 5 октября, 2007 г. – Харьков: ХНУРЭ, 2007. – С. 305 – 306.

АНОТАЦІЯ

Сидоров М.В. Математичне моделювання та чисельний аналіз течій в’язкої рідини у однозв’язних та багатозв’язних областях методом R_функцій. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. – Харківський національний університет радіоелектроніки, Харків, 2008.

Дисертаційна робота присвячена математичному моделюванню течій в’язкої рідини у однозв’язних та багатозв’язних областях на основі методу R_функцій. Розглянуто лінійну задачу (течія Стокса), нелінійні задачі відносно функції струму та функції струму та температури.

Для моделювання течій в’язкої теплопровідної рідини у однозв’язних областях на основі спільного використання метода послідовних наближень та структурно-варіаційного метода побудовано та обґрунтовано новий чисельний метод; отримано умови і оцінки швидкості збіжності. Для моделювання течій в’язкої теплопровідної рідини у багатозв’язних областях на основі спільного використання принципу суперпозиції, метода послідовних наближень та структурно-варіаційного метода побудовано та обґрунтовано новий чисельний метод; отримано умови і оцінки швидкості його збіжності. Математична модель модифікована за рахунок введення додаткових інтегральних співвідношень, що забезпечують однозначність тиску у багатозв’язній області. Ці інтегральні співвідношення використано при побудові чисельних методів.

Ефективність розроблених методів проілюстрована багатьма обчислювальними експериментами та порівнянням з відомими чисельними розв’язками, що отримані іншими методами.

Ключові слова: в’язка рідина, рівняння Нав’є-Стокса, функція струму, ітераційний процес, метод R-фукнцій, математичне моделювання.

АННОТАЦИЯ

Сидоров М.В. Математическое моделирование и численный анализ течений вязкой жидкости в односвязных и многосвязных областях методом R-функций. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Харьковский национальный университет радиоэлектроники, 2008.

Диссертационная работа посвящена разработке численных методов математического моделирования стационарных течений вязкой теплопроводной жидкости в односвязных и многосвязных областях на основе метода R_функций. Рассмотрены линейные (приближение Стокса) и нелинейные задачи. Течения вязкой жидкости описываются нелинейным уравнением четвертого порядка относительно функции тока и системой нелинейных уравнений относительно функции тока и температуры (приближение Буссинеска).

Для математического моделирования течений вязкой теплопроводной жидкости в односвязных областях предложен новый численный метод, основанный на совместном использовании метода последовательных приближений и структурно-вариационного метода (метода R-функций). Доказана сходимость предложенного метода для малых чисел Рейнольдса, Грасгофа и Пекле, получены оценки скорости сходимости метода.

Для течений вязкой жидкости в многосвязных областях модифицировано математическую модель за счет введения дополнительных интегральных соотношений, обеспечивающих однозначность давления и позволяющих определить неизвестные постоянные, входящие в краевые условия для функции тока. На основании принципа суперпозиции, метода последовательных приближений и структурно-вариационного метода построен и обоснован новый численный метод математического моделирования течений вязкой теплопроводной жидкости в многосвязных областях, использующий на каждом шаге итерационного процесса условие однозначности давления.

Предложенные численные методы проиллюстрированы многочисленными вычислительными экспериментами. Для аппроксимации неопределенных структур решения соответствующих краевых задач использован метод Ритца, в качестве базисных функций были выбраны финитные сплайны Шенберга. Полученные приближенные решения тестовых задач сравнивались с приближенными решениями, полученными другими авторами, результаты хорошо согласуются, что подтверждает достоверность полученных результатов.

Ключевые слова: вязкая жидкость, уравнения Навье-Стокса, функция тока, итерационный процесс, метод R-функций, математическое моделирование.

ABSTRACT

Sidorov M.V. Mathematical modeling and numerical analysis of viscous flow in simply and multiply connected domains by the R-functions method. – Manuscript.

A thesis of the scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical sciences by specialty 01.05.02 – mathematical modeling and computational methods. – Kharkov National University of Radioelectronics, Kharkov, 2006.

The thesis is devoted to mathematical modeling of viscous fluids flows in simply and multiply connected areas based on the R-functions method.

Linear problem (Stock’s flow), nonlinear problems as regard to stream function and stream and temperature functions were considered.

For the modeling of truss transparent flows in simply connected areas based on the joint use of principle of superposition, method of successive approximations, and structured-variation method a new numerical method has been built and substantiated, new conditions and estimation of convergence order have been achieved.

Mathematical model has been modified at the cost of additional integral relations, which provide pressure uniqueness in multiply connected area. These integral relations have been used when numerical methods building.

Effectiveness of the methods developed is illustrated by a number of computational experiments and comparisons with known computational solutions received with help of other methods.

Key words: viscous fluid, Navier-Stokes equations, stream function, method of successive approximations, mathematical modeling, R-functions method.