ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ШАВРОВА Оксана Борисівна
УДК 517. 5
ЗАГАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ ЗГОРТКИ
ТА НАЙКРАЩІ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
01.01.01. – математичний аналіз
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Дніпропетровськ – 2008
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана на кафедрі вищої математики Дніпропетровського державного аграрного університету Міністерства аграрної політики України (м. Дніпропетровськ)
Науковий керівник
доктор фізико-математичних наук, професор
ТІМАН Майор Пилипович,
Дніпропетровський державний аграрний університет,
завідувач кафедри вищої математики.
Офіційні опоненти:
доктор фізико-математичних наук, професор
ВАКАРЧУК Сергій Борисович,
Академія митної служби України,
проректор з наукової роботи;
доктор фізико-математичних наук, професор
ЗАДЕРЕЙ Петро Васильович,
Київський Національний університет технології та
дизайну, завідувач кафедри вищої математики.
Захист відбудеться „ 11 ” квітня 2008 р. о „ 14.30 ” годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 08.051.06 при Дніпропетровському національному університеті за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ-50, вул. Козакова, 18, корп. 14.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ-50, вул. Козакова, 8.
Автореферат розісланий „ 6 ” березня 2008 року
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради М.Б.Вакарчук
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Робота присвячена одержанню оцінок загальних інтегральних перетворень типу згортки функцій, які задані на всій дійсній прямій за допомогою їх найкращих наближень тригонометричними поліномами та цілими функціями скінченого ступеня в метриці простору .
Однією з важливих характеристик конструктивної теорії функцій є найкращі наближення функції в повному лінійному нормованому просторі тими чи іншими добре відомими своїми властивостями простішими елементами простору, що розглядається.
Початок та важливість дослідження властивостей функцій за допомогою відомої для них послідовності найкращих наближень тригонометричними поліномами належить П.Л.Чебишеву, який ще в середині ХІХ сторіччя розглянув такі задачі для неперервних функцій.
Після робіт П.Л.Чебишева такого типу задачі інтенсивно досліджувались багатьма відомими математиками. такими як К.Вейєрштрасс, Д.Джексон, С.Н.Бернштейн, Вале-Пуссен, А.Зігмунд, А.М.Колмогоров, С.М. Нікольський, Н.І.Ахієзер, С.Б.Стечкін, П.Л.Ульянов, О.П.Тіман, В.К. Дзядик, М.П.Корнєйчук та інші.
Роботи цих вчених в подальшому спонукали багатьох математиків до дослідження такого роду питань в тих чи інших конкретних просторах в більш узагальненому вигляді. Досить нагадати важливі роботи С.Н.Бернштейна, Н.І.Ахієзера, А.Зігмунда, С.М.Нікольського, С.Б.Стечкіна, О.П. та М.П.Тіманів, Ю.А.Брудного, Р.М.Тригуба, О.В.Бесова, В.Ф.Бабенко, В.П.Моторного, А.О.Лигуна, Жука В.В. та інших.
Поступово задача вивчення властивостей функцій за допомогою заданих послідовностей їх найкращих наближень в загальних випадках стала і зараз продовжує бути однією з важливих в розвитку самої конструктивної теорії функцій як самостійної науки, так і в багатьох її застосуваннях для прикладних задач.
В дисертації наводяться дослідження автора по одержанню точних за порядком оцінок властивостей функцій, які задаються в основному загальними інтегральними перетвореннями типу згортки, за допомогою заданих послідовностей найкращих наближень цих функцій в просторах та просторах . За останні роки вони інтенсивно вивчаються в Інституті математики НАН України під керівництвом О.І.Степанця та в інших наукових центрах України і за її межами.
Важливі результати для просторів одержані О.І.Степанцем, В.І. Рукасовим, А.С.Сердюком, С.Б.Вакарчуком та іншими математиками.
Наведений аналіз літератури, яка стосується теми дисертації, демонструє актуальність обраної теми та її теоретичне значення для конструктивної теорії функції в цілому.
Зв’язок роботи з програмами, планами, темами. Робота проводилась згідно з загальним планом досліджень кафедри вищої математики Дніпропетровського державного аграрного університету, в межах науково-дослідної роботи на тему «Конструктивні характеристики функцій однієї та багатьох змінних». Дисертаційне дослідження та наукові результати мають зв'язок з науково-дослідною темою «Структурні та апроксимаційні властивості функціональних множин» (номер державної реєстрації 0198U001990), яка виконується у відділі теорії функції Інституту математики НАН України.
Мета і задачі дослідження. Метою роботи є одержання результатів, які характеризують загальні перетворення функцій в основному в просторах . Знаходження нових оцінок для випадків, коли міри множин на дійсній прямій характеризують ті чи інші апроксимаційні властивості лінійних середніх рядів та інтегралів Фур’є функцій однієї та багатьох змінних. Крім того, порівняння одержаних результатів для просторів з аналогічними в просторі .
Об’єкт і предмет дослідження. Об’єктом дослідження виступають різноманітні властивості функцій, які визначаються загальними інтегральними перетвореннями типу згортки в просторах та в залежності від їх найкращих наближень в цих просторах.
Методи дослідження. В роботі використані важливі положення та сучасні методи теорії функцій, функціонального аналізу та багатьох джерел конструктивної теорії функцій, які стосуються оцінок властивостей функцій в залежності від їх найкращих наближень в просторах, що розглядаються. Маються на увазі методи одержання загальних точних порядкових оцінок, розроблених в роботах Д.Джексона, С.Н.Бернштейна, С.М.Нікольського, С.Б. Стечкіна, П.Л.Ульянова, О.П. та М.П.Тіманів, О.І.Степанця, С.Б. Вакарчука та інших.
Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, що визначають наукову новизну і виносяться на захист, є такі:
- встановлено оцінки зверху і знизу для загальних перетворень типу згортки в просторах для періодичних функцій з монотонно спадними коефіцієнтами Фур’є в залежності від їх найкращих наближень в цьому просторі;
- знайдено точні порядкові оцінки для загальних перетворень типу згортки для періодичних функцій в залежності від їх найкращих наближень в просторах ;
- одержано оцінку відхилень функції від бігармонічної функції (для якої функція є граничною) за допомогою найкращих наближень цих функцій тригонометричними поліномами в метриці ;
- одержано оцінку загальних перетворень типу згортки функцій, які належать простору, на всій дійсній прямій за допомогою їх найкращих наближень цілими функціями скінченого ступеня в метриці простору ;
- для періодичних функцій багатьох змінних та розглянутих для них лінійних операторів типу Марцинкевіча (Фейера – Марцинкевіча, Зиґмунда – Марцинкевіча, Бернштейна – Рогозинського – Марцинкевіча та інших) отримано оцінки зверху відхилень вказаних функцій від середніх їх рядів Фур’є типу Марцинкевіча в метриці простору ;
- для вказаних вище методів підсумовування кратних рядів Фур’є одержано оцінки зверху відхилень вказаних функцій від середніх їх рядів Фур’є типу Марцинкевіча в просторах ;
- порівняно оцінки розглянутих відхилень в метриці з аналогічними їм оцінками в метриці .
Практичне значення отриманих результатів. Дана робота є теоретичним дослідженням і може мати практичне застосування в подальших дослідженнях структурних та інших властивостей функцій, в залежності від відомої послідовності їх найкращих наближень в різних банахових просторах.
Особистий внесок здобувача. Постановка всіх задач, розв’язаних в дисертаційній роботі, належить науковому керівнику М.П.Тіману. Доведення результатів проведені безпосередньо автором дисертації.
Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на:
- 12-й Саратовській зимовій школі „Сучасні проблеми теорії функцій та їх застосування”, Саратов, 27 січня – 3 лютого 2004 року;
- ІІ-й Міжнародній науково-практичній конференції “Освіта без границь – 2005 ”, Дніпропетровськ, 19 – 27 грудня 2005 року;
- ІІ-й Міжнародній науково-практичній конференції „Дні науки – 2006”, Дніпропетровськ, 17 – 28 квітня 2006 року;
- ХІ-й міжнародній науковій конференції ім. акад. М.Кравчука, Київ, 18 –20 травня 2006 року;
- міжнародній науковій конференції “Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування”, Ужгород, 18 – 23 вересня 2006 року;
- міжнародній науково-практичній конференції „Наука и образование – 2007”, Дніпропетровськ, 3 – 15 січня 2007 року;
- на теоретичних семінарах по теорії функцій кафедри вищої математики ДДАУ (керівник професор Тіман М.П.).
Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано три статті в наукових фахових виданнях [1], [2], [3], також в наукових журналах і матеріалах конференцій [4], [5], [7], [10], [11] та тезах доповідей, що були представлені на міжнародних наукових конференціях [6], [8], [9].
Структура та обсяг дисертації. Робота складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 74 найменування. Повний обсяг роботи складає 114 сторінок.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ
В першому розділі дисертації обґрунтовано актуальність теми дослідження, визначено об’єкт, предмет, мету і завдання дослідження, проведено огляд літератури по темі роботи, а також наведено відомості щодо апробації результатів та список опублікованих робіт автора. Крім того, розглянуто нові результати, в яких наведено оцінки загальних перетворень типу згортки в залежності від найкращих наближень періодичних функцій з монотонними коефіцієнтами Фур’є в просторах , які стосуються тематики, розглянутої дисертації. Вони доповнюють раніше відомі дослідження для просторів , розглянутих в роботах Шапіро, Бомана – Шапіро (Shapiro H.S., Boman J.), Тімана М.П.
В другому підрозділі першого розділу наведено наступні твердження.
Теорема 1.2.1. Нехай – періодична функція належить простору. Тоді
(1.2.1)
де, , , , , , .–
найкращі наближення функції тригонометричними поліномами порядку в метриці , .
Ця теорема узагальнює на випадок аналогічний результат М.П. Тімана, отриманий лише для.
Теорема 1.2.2. Нехай функція має ряд Фур’є
,
з монотонно спадаючими коефіцієнтами Фур’є .
Тоді справедлива оцінка
, (1.2.2)
де , ,
, , .
Оцінка (1.2.2) показує, що для функцій з монотонними коефіцієнтами Фур’є в оцінці для всіх функцій з простору .
,
яка міститься в роботі М.П. Тімана, замість вдається поставити показник для усіх .
Теорема 1.2.3. Нехай коефіцієнти Фур’є – періодичної функції монотонно спадають та при, задовольняє умовам:
, . Тоді справедлива оцінка
, (1.2.3)
де константа не залежить від і функції .
Оцінка (1.2.3) також показує, що для функцій з монотонними коефіцієнтами Фур’є в оцінці для всіх функцій з простору
яка міститься в роботі М.П. Тімана, замість вдається поставити показник .
В другому розділі дисертації у підрозділі 2.1 наводяться нові оцінки зверху та знизу загальних перетворень типу згортки в просторі .
Теорема 2.1.1. Нехай функція , а послідовність цілих чисел така, що . Тоді при має місце оцінка
. (2.1.1)
Теорема 2.1.2. При виконанні умов тереми 2.1.1 справедлива оцінка ()
. (2.1.2)
В теоремах 2.1.1. та 2.1.2.,
,– найкращі наближення функції тригонометричними поліномами порядку в метриці .
У підрозділі 2.2 другого розділу дисертації розглядаються апроксимаційні властивості лінійних методів підсумовування рядів Фур’є в просторах . В цьому підрозділі доведені наступні твердження.
Теорема 2.2.1. (Метод Фейера). Нехай , а система чисел ); . Тоді
, (2.2.1)
де – члени ряду Фур’є.
Теорема 2.2.2. (метод Зігмунда). Нехай , а ) и для .
Тоді справедливі оцінки
. (2.2.2)
Теорема 2.2.3. (Бернштейна – Рогозинського). Нехай ,
а); .
Тоді
. (2.2.3)
Теорема 2.2.4. (метод Абеля-Пуассона). Нехай , а . Тоді
. (2.2.4)
Теорема 2.2.5. Якщо, , а, (), то
. (2.2.5)
Для просторів встановлюються теореми, які показують, що в багатьох випадках оцінки величини в просторах та підпросторах функцій з монотонними коефіцієнтами Фурґє з просторів мають за порядком схожі значення.
Теорема 2.2.6. Нехай періодична періоду функція має монотонно спадні коефіцієнти Фур’є, а система чисел задовольняє умовам теореми 2.2.2. Тоді
. (2.2.6)
Теорема 2.2.7. Нехай , а.
Тоді
. (2.2.7)
В підрозділі 2.3 розділу 2 розглядаються перетворення типу згортки функцій, заданих на всій дійсній осі в просторах – сукупність функцій, інтегрованих по Лебегу на, в яких існує перетворення Фур’є, таке, що. За норму в просторі приймають величину. Для цих просторів наводиться наступне нове твердження.
Теорема 2.3.1. Нехай, а послідовність цілих чисел така, що
, тоді для деякого цілого при має місце оцінка
, (2.3.1)
де , а– найкраще наближення функції цілими функціями ступеняв просторі.
В третьому розділі досліджуються питання наближення періодичних функцій багатьох змінних лінійними операторами типу Марцинкевіча в просторах та.
В підрозділі 3.1 третього розділу розглядаються - періодичні по кожній змінній функцій, які інтегровані по Лебегу на кубі періодів та мають ряд Фур’є вигляду:
, (3.1.1)
де
,
( l – кількість індексів, які дорівнюють нулю),
,
Позначаючи, крім цього, через ,
простором назвемо сукупність таких функцій, для яких ряд збігається.
Нормою функції в цьому просторі є величина
.
Далі для довільної трикутної матриці чисел ;;, коли лінійним оператором Марцинкевіча названо оператор вигляду:
(3.1.2)
де – частинні суми ряду (3.1.1) порядку по кожній з змінних. Аналогічно для випадку нескінченної матриці;; – приймає значення з деякої множини дійсних чисел) такий оператор має вигляд:
(3.1.3)
Мається на увазі, що при кожному ряд (3.1.3) збігається.
Для таких операторів Марцинкевіча мають місце наступні твердження.
Теорема 3.1.1. Якщо , то має місце оцінка
, (3.1.4)
де – повне найкраще наближення функції тригонометричними поліномами порядку по кожній з змінних в метриці простору .
Теорема 3.1.2. Якщо, а - нескінченна матриця чисел, то для лінійних операторів (3.1.3) справедлива оцінка
. (3.1.5)
В третьому розділі наведено деякі наслідки, які випливають з теорем 3.1.1 та 3.1.2.
Теорема 3.1.3. Якщо , а система чисел така, що
) і для , то
, (3.1.6)
де – ціле число, а .
Теорема 3.1.4. Нехай, а ; );. Тоді
. (3.1.7)
Теорема 3.1.5. Нехай , а система чисел така, що
. Тоді
. (3.1.8)
Для порівняння оцінок, вказаних в підрозділі 3.1 для просторів, з оцінками аналогічного характеру в просторах, в підрозділі 3.2 наводиться нерівність типу (3.1.6) для випадку операторів Зігмунда – Марцинкевіча в метриці простору.
Теорема 3.2.1. Нехай, а оператор Марцинкевіча має вигляд
,
в якому
Тоді
, (3.2.1)
де, а – повні найкращі наближення в метриці простору.
Теорема 3.2.2. Нехай , а
), .
Тоді
, (3.2.2)
де , – константа, яка не залежить від та.
Теорема 3.2.3. Нехай , а система чисел , така що
,
тоді
, (3.2.3)
де , – константа, яка не залежить від та.
ВИСНОВКИ
Однією з важливих задач конструктивної теорії функцій є задача дослідження тих чи інших властивостей функцій з заданою послідовністю їх найкращих наближень в тому просторі, до якого вони належать.
Об’єднуючою характеристикою багатьох властивостей функції є її інтегральне перетворення типу згортки, яке має наступний загальний вигляд, де – дійсний параметр, а– довільна функція обмеженої варіації на числовій осі.
Дисертаційна робота присвячена одержанню оцінок норм інтегральних перетворень типу згортки функцій однієї та багатьох змінних в просторах та в залежності від їх найкращих наближень.
Основні наукові результати дисертації полягають у наступному:
1. Встановлено оцінки зверху і знизу для загальних перетворень типу згортки в просторах для періодичних функцій однієї змінної з монотонними коефіцієнтами Фур’є в залежності від їх найкращих наближень тригонометричними поліномами в цьому просторі. Наведені в роботі оцінки доповнюють дослідження, які проведені раніш Шапіро, Боманом – Шапіро та М.П.Тіманом для всього простору. Вони показують, що, коли функція має монотонні коефіцієнти Фур’є, то оцінки М.П.Тімана вдається покращити за порядком (т. 1.2.2, 1.2.3);
2. Знайдено точні порядкові оцінки загальних перетворень типу згортки для періодичних функцій в залежності від їх найкращих наближень тригонометричними поліномами в просторах (т. 2.1.1, 2.1.2). Наведені в роботі результати для просторів є аналогами результатів М.П.Тімана, одержани ним раніш для просторів ;
3. Для конкретних лінійних операторів, які відносяться до методів підсумовування рядів Фур’є (Фейєра, Зігмунда, Бернштейна – Рогозінського, Абеля – Пуассона) одержані нові оцінки норм відхилень функцій від середніх їх рядів Фур’є в просторах. Порівняння оцінок для вказаних лінійних операторів в просторах з аналогічними відомими оцінками у просторах , показує, що в деяких випадках вони за порядком кращі. Крім того, одержано нову оцінку (т. 2.2.5) відхилення функції від бігармонічної функції (для якої функція є граничною) за допомогою найкращих наближень цих функцій тригонометричними поліномами в метриці . Цей результат є аналогом результатів, що одержані раніше в роботах С.Канієва та М.П.Тімана для простору;
4. Наведено нову оцінку (т. 2.3.1) норм загальних інтегральних перетворень типу згортки для функцій, які задані на всій дійсній осі за допомогою їх найкращих наближень цілими функціями експоненційного типу в просторах . Цей результат дисертації є аналогом досліджень М.П. Тімана для випадку просторів ;
5. Одержано нові результати для періодичних функцій –змінних, які належать до простору . Встановлено оцінки відхилень функцій від лінійних середніх типу Марцинкевіча їх кратних рядів Фур’є в метриці цих просторів, за допомогою повних найкращих наближень таких функцій тригонометричними поліномами. Такі оцінки одержані для наступних методів підсумовування кратних рядів Фур’є: Зиґмунда – Марцинкевіча (т.3.1.3), Бернштейна – Рогозинського – Марцинкевіча (т.3.1.4) та Абеля – Пуассона – Марцинкевіча (т. 3.1.5);
6. Результати підрозділу 3.2 суттєво доповнюють дослідження, які проводились раніш для лінійних операторів типу Марцинкевіча у випадку функцій двох змінних в рівномірній метриці та метриці Марцинкевічєм, Л.В.Жижіашвілі, Р.Таберським, В.Г.Пономаренко, М.П.Тіманом та іншими. В підрозділі 3.2 для вказаних вище методів підсумовування кратних рядів Фур’є такі результати одержано в просторах. Вони надають можливість зробити порівняння та вказати різницю в оцінках розглянутих відхилень в метриці з аналогічними їм оцінками в метриці.
Основні результати дисертації опубліковані в наступних роботах:
1. Шаврова О.Б. О некоторых свойствах преобразований типа свертки в пространствах // Вісник Дніпропетровського університету. – Математика, № 11. – Дніпропетровськ, 2006. – С. 128-134;
2. Шаврова О.Б. Преобразования типа свертки и наилучшие приближения функций, заданных на всей вещественной оси // Вісник Донецького університету. – Серія А. Природничі науки. № 2. – Донецьк, 2006. – С.23-26;
3. Тіман М.П., Шаврова О.Б. Лінійні оператори типу Марцинкевіча для періодичних функцій багатьох змінних в просторах та // Збірник праць інституту математики НАН України (математика). – Том 4, № 1 – Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання. – Київ, 2007. – С. 352-375 (особисто: доведення теорем про наближення функцій багатьох змінних сумами Марцинкевіча);
4. Шаврова О.Б. Линейные операторы типа Марцинкевича для периодических функций многих переменных // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. – Математика и кибернетика. Том № 6/2 (24). – Харків, 2006. – С. 39-42;
5. Шаврова О.Б. Перетворення типу згортки для функцій з монотонними коефіцієнтами Фур’є в просторі // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. – Математика и кибернетика. № 2/6 (26) – Харків, 2007. – С. 49-51;
6. Тиман М.Ф., Шаврова О.Б. Некоторые оценки решений полигармонических уравнений // Материалы ХІІ Международной математической школы. – Саратов, 2004. – С. 180-181;
7. Тиман М.Ф., Шаврова О.Б. Приближение функций и преобразование типа свертки // Материалы ІІ Международной научно-практической конференции “Образование без границ – 2005 ”. – Математика, № 13. – Дніпропетровськ, 2005. – С. 41-43 (особисто: отримані оцінки перетворень типу згортки для періодичних функцій однієї змінної);
8. Тиман М.Ф., Шаврова О.Б. О некоторых свойствах преобразований типа свертки для функций, заданных на всей действительной оси // Тези ХІ міжнародної наукової конференції ім. акад. М.Кравчука. – Київ, 2006. – С. 617;
9. Timan M., Shavrova O. The best approximation and transforms of convolution type // Тези міжнародної наукової конференції “Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування”. – Ужгород, 2006. – С.173-174;
10. Шаврова О.Б. Об аппроксимативных свойствах линейных методов суммирования рядов Фурье в пространствах // Материалы ІІ Международной научно-практической конференции “Дни науки – 2006”. – Математика, № 35. – Дніпропетровськ, 2006. – С. 41-44;
11. Шаврова О.Б. Перетворення типу згортки для функцій з монотонними коефіцієнтами Фур’є в просторі // Материали міжнародної науково-практичної конференции „Наука и образование – 2007”. – Математика, № 11 – Дніпропетровськ, 2007. – С. 16-19.
Користуючись нагодою, висловлюю Щиру вдячність моєму науковому керівникові професору Тіману Майору Пилиповичу за увагу, яку він приділив даній роботі, за корисні поради та допомогу.
АНОТАЦІЇ
Шаврова О.Б. Загальні перетворення типу згортки та найкращі наближення функцій. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01. – математичний аналіз. – Дніпропетровський національний університет, Дніпропетровськ, 2008.
Дисертаційна робота присвячена одержанню оцінок норм інтегральних перетворень типу згортки функцій однієї та багатьох змінних в просторах та в залежності від їх найкращих наближень.
В роботі встановлені оцінки зверху і знизу для загальних перетворень типу згортки в просторах для періодичних функцій однієї змінної з монотонними коефіцієнтами Фур’є в залежності від їх найкращих наближень тригонометричними поліномами в цьому просторі.
Для просторів, які широко досліджуються в Інституті математики НАН України під керівництвом О.І.Степанця, знайдено точні порядкові оцінки загальних перетворень типу згортки для періодичних функцій в залежності від їх найкращих наближень тригонометричними поліномами.
Для періодичних функцій –змінних, які належать просторам або , встановлено оцінки відхилень таких функцій від лінійних середніх типу Марцинкевіча їх кратних рядів Фур’є в метриці цих просторів, за допомогою повних найкращих наближень таких функцій тригонометричними поліномами.
Ключові слова: найкращі наближення; перетворення типу згортки; норма простору; апроксимація; ряди Фур’є; лінійні середні типу Марцинкевіча; тригонометричні поліноми.
Шаврова О.Б. Общие преобразования типа свертки и наилучшие приближения функций. – Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01. – математический анализ. – Днепропетровский национальный университет, Днепропетровск, 2008.
Диссертация посвящена получению оценок норм интегральных преобразований типа свертки функций одной и многих переменных в пространствах и в зависимости от их наилучших приближений.
В работе рассматриваются общие интегральные преобразования интегрируемых по Лебегу функций вида
,
где – произвольная функция ограниченной вариации на всей действительной оси, а – некоторый действительный параметр. В случае, когда периодическая периода функция принадлежит пространству и ее коэффициенты Фурье монотонно убывают, устанавливаются оценки сверху и снизу норм указанных преобразований через наилучшие приближения функций тригонометрическими полиномами в метрике пространства. Такого рода результаты для произвольных функций из пространства ранее получены в работах Шапиро Г., Шапиро Г.- Бомана Д. и Тимана М.Ф.
Для пространств, которые широко исследуются в Институте математики НАН Украины под руководством А.И.Степанца, найдены точные порядковые оценки общих преобразований функций типа свертки для периодических функций в зависимости от их наилучших приближений тригонометрическими полиномами.
Для классических методов суммирования рядов Фурье (Фейера, Зигмунда, Бернштейна – Рогозинского, Абеля – Пуассона) получены новые оценки норм отклонения функций от средних их рядов Фурье в пространствах. Приведено также сравнение полученных оценок в пространстве с аналогичными оценками из пространств.
Для пространств , состоящих из функций, у которых существует преобразование Фурье такое, что приведена новая оценка норм общих преобразований типа свертки функций, заданных на всей действительной оси с помощью их наилучших приближений целыми функциями экспоненциального типа. Этот результат диссертации есть аналог исследований М.Ф.Тимана для случая пространств .
Для периодических функций - переменных, которые принадлежат пространствам или , устанавливаются оценки отклонений таких функций от линейных средних типа Марцинкевича их кратных рядов Фурье в метрике рассматриваемых пространств с помощью полных наилучших приближений кратными тригонометрическими полиномами. В случае пространств получены новые результаты, для методов суммирования: Зигмунда – Марцинкевича, Бернштейна – Рогозинского – Марцинкевича; Абеля – Пуассона – Марцинкевича.
Аналогичные исследования проведены и для пространств, которые существенно дополняют ранее полученные результаты для линейных операторов типа Марцинкевича в случае периодических функций двух переменных в равномерной метрике и в метрике Марцинкевичем, Л.В.Жижиашвили , Р.Таберским, В.Г.Пономаренко.
Полученные результаты позволили установить сравнение и указать разницу в оценках, рассмотренных отклонений в метрике с аналогичными им оценками в пространстве.
Одним из таких результатов является следующее утверждение.
Теорема 1.2.2. Пусть функция имеет ряд Фурье
,
с монотонно убывающими коэффициентами Фурье .
Тогда справедлива оценка
, (1.2.2)
где , ,
, , .
Оценка (1.2.2) показывает, что для функций с монотонными коэффициентами Фурье в оценке для всех функций из пространства
,
которая содержится в работе М.Ф. Тимана, вместо удалось получить показатель для всех .
Ключевые слова: наилучшие приближения; преобразования типа свертки; нормы пространства; аппроксимация; ряды Фурье; методы суммирования; линейные средние типа; тригонометрические полиномы.
SUMMARY
Shavrova O.B. General transforms of type packages and the best approximation of functions. – Manuscript.
Dissertation on the receipt of scientific degree of Candidate of physical and mathematical sciences by the speciality 01.01.01 – mathematical analysis. It is the Dnepropetrovsk national university, Dnepropetrovsk, 2008.
Dissertation work is devoted the receipt of estimations of norms of integral transformations of type packages of functions to one and many variables in spaces and depending on their best approaching.
In work estimations are set from above and from below for general transformations of type packages in spaces for the periodic functions of one variable with the monotonous coefficients of Fourier depending on their best approaching by trigonometric polynomials in this space.
For spaces which are widely probed in Institute of mathematics of NAS of Ukraine under the direction of O.I.Stepanets, the exact index estimations of general transformations of type are found packages for periodic functions depending on their best approaching by trigonometric polynomials.
For periodic functions – variables which belong to spaces or the estimations of rejections of such functions are set from linear middle type of Marcinkiewicz of their multiple rows of Furier in the birth-certificate of these spaces, by the complete best approaching of such functions by trigonometric polynomials.
Key words: the best approximation; transforms of type is packages; space norm; approximation; rows of; linear Furier middle type of Marcinkiewicz; trigonometric polynomials.
Шаврова Оксана Борисівна
ЗАГАЛЬНІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ТИПУ ЗГОРТКИ
ТА НАЙКРАЩІ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
01.01.01. – математичний аналіз
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата фізико-математичних наук
Підписано до друку 03.03.2008. Формат 8460 1/16. Папір друкарський.
Умов. друк. арк. 0,9. Обл..-вид.арк.0,9 Тираж 120 примірників.
Віддруковано: ПП Тевелєв Є.О.
Свідоцтво про внесення до державного реєстру
Серія ВОО № 677317 від 11.01.2007р.
52005, с. Ювілейне, вул.Фрунзе,8/11
Замовлення № 2034
