Харківський національний університет радіоелектроніки

ТИХОНОВ ВЯЧЕСЛАВ АНАТОЛійоВИЧ

УДК 621.391: 519.246.8

РОЗРОБКА МОДЕЛЕЙ ЛІНІЙНОГО ПЕРЕДБАЧЕННЯ НЕГАУСОВИХ ВИПАДКОВИХ ПРОЦЕСІВ

01.04.03 – Радіофізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків – 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Харківському національному університеті радіоелектроніки.

Науковий консультант:

доктор технічних наук, професор Кравченко Микола

Іванович, Харківський національний університет

радіоелектроніки, професор кафедри основ

радіотехніки

Офіційні опоненти:

Ківва Фелікс Васильович, доктор фізико-математичних наук,

професор, Інститут радіофізики та електроніки

ім. О.Я. Усикова НАН України (м. Харків), завідувач відділу

поширення радіохвиль у природних середовищах

Ващенко Володимир Миколайович, доктор фізико-

математичних наук, Київський національний університет

ім. Т.Г. Шевченка МОН України (м. Київ), провідний

науковий співробітник

Костенко Павло Юрійович, доктор технічних наук, професор,

Харківський університет повітряних сил МО України

(м. Харків), професор кафедри авіаційних радіотехнічних

систем навігації та посадки

Захист відбудеться “27” лютого 2008 р. о 15-й годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.052.03 Харківського національного університету радіоелектроніки, м. Харків, пр. Леніна, 14.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Харківського національного університету радіоелектроніки, м. Харків, пр. Леніна, 14.

Автореферат розіслано “24” січня 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради проф. Безрук В.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Аналіз розвитку сучасної радіофізики показує, що багато випадкових процесів і сигналів в океанографії, геофізиці, науках про Землю, пасивній гідролокації, біомедицині, електрозв’язку, часових рядів в економіці є негаусовими та характеризуються більш складними статистичними зв'язками, ніж кореляційними. Негаусовими є атмосферні, модульовані, хаотичні імпульсні завади, деякі види пасивних завад, зокрема від земної та морської поверхні, імпульсні та зосереджені завади в каналах зв'язку. За наявності негаусових завад більшість оптимальних алгоритмів обробки стають неоптимальними, тому що їх отримано в припущенні гаусових завад. На сучасному етапі розвитку радіолокації, радіонавігації, космічного зв'язку, телеметрії, радіовимірювальної техніки під час розв’язання практичних задач впроваджуються методи оптимальної оцінки параметрів сигналу, що оброблюється за наявності мультиплікативно-адитивних завад з довільним характером розподілів.

В останні роки дослідження негаусових моделей випадкових процесів призвели до формування самостійного наукового напрямку. Істотний внесок у ці дослідження внесли Г. Крамер, Д. Міддлтон, Р.Л. Стратонович, Ю.Г. Сосулін, Б.Р. Левін, М. Кендалл, А. Стьюарт, Я.З. Ципкін, В.С. Пугачов, В.Г. Валеєв, А.Ф. Фомін, В.Я. Конторович, Ш.М. Чабдаров, К.К. Васильєв, О.І. Шелухін.

Негаусові процеси повністю описуються або набором одновимірних та багатовимірних густин імовірностей, або наборами моментних або кумулянтних функцій. Методи досліджень негаусових процесів можна поділити на два напрямки. До першого належать ті напрямки досліджень, які використовують одновимірні та багатовимірні функції розподілу, наприклад, для знаходження функції правдоподібності або аналізу марковських негаусових процесів. До другого напрямку належать дослідження негаусових процесів на основі моментних та кумулянтних функцій, які визначають спектри вищих порядків. Значний внесок у цей напрямок внесли А.Н. Ширяєв, В.П. Леонов, Д. Бриллінджер, М. Розенблатт, А.М. Колмогоров, О.Н. Малахов, І.Г. Журбенко, Ю.П. Кунченко.

Незважаючи на певні успіхи, ці напрямки мають недоліки та обмеження. До них, зокрема, належать: складності оцінювання багатовимірних розподілів, великі розмірності моментних та кумулянтних функцій, неспроможність спектральних оцінок вищих порядків, наявність бічних пелюсток у спектральних оцінках та їхня багатовимірність. Таким чином, виникає протиріччя між необхідністю врахування негаусових характеристик процесів для оптимальної обробки та складністю їхнього опису багатовимірними статистичними характеристиками. Тому необхідні нові методи та моделі негаусових процесів, що дозволяють синтезувати ефективні, досить прості пристрої обробки. Прикладами таких методів служить полігаусівська модель процесів (Ш.М. Чабдаров), застосування функційних поліномів для оцінки параметрів негаусових сигналів (Ю.П. Кунченко). Однак вирішення проблеми подання негаусових процесів цими методами не вичерпується і тому необхідні нові статистичні моделі, що дозволяють розв’язувати прикладні задачі статистичної радіофізики.

Відомі моделі лінійного передбачення, параметри яких розраховуються за кореляційними функціями, не описують негаусові властивості випадкових процесів. Тому актуальною є задача узагальнення моделей лінійного передбачення для того, щоб вони описували негаусові характеристики випадкових процесів. Узагальнені моделі лінійного передбачення, маючи конструктивні властивості, дозволять створювати на їхній базі ефективні та практичні методи обробки випадкових процесів, що враховують не тільки кореляційні зв'язки, але й більш складні статистичні зв'язки вищих порядків.

Таким чином, актуальним стає вирішення науково-прикладної проблеми створення моделей лінійного передбачення негаусових процесів для їх використовування у прикладних задачах.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами та темами. Дисертаційна робота виконана в рамках пріоритетних напрямків науково-технічної діяльності Міністерства освіти і науки України: “Перспективні інформаційні технології, пристрої комплексної автоматизації, системи зв’язку”, “Охорона навколишнього середовища” і пов’язана з наступними НДР Харківського національного університету радіоелектроніки (ХНУРЕ), які виконувалися протягом 1992–2004 років, зокрема: “Розробка і дослідження статистичних моделей і алгоритмів ехосигналів всепогодних аеродромних акустичних локаторів” (№ державної реєстрації (ДР) UA0100330P), “Розробка експериментального зразка бістатичного акустичного локатора для вимірювання вертикального зсуву вітру (№ДР 01934039093)”, “Синтез та аналіз моделі авторегресії складних інформаційних процесів у техніці, біології та її використання у навчальному процесі” (№ДР 0194U021698), “Розвиток теорії та методів проектування засобів радіодоступу до інформаційних мереж (№ДР 0102U003741)”, “Розробка програми та методики передачі даних “Вега”” № 04-01(№ДР 0104U002111).

Мета роботи – розробка узагальнених моделей лінійного передбачення статистично пов’язаних негаусових процесів, а також дослідження можливостей їх застосування для підвищення ефективності різноманітних радіоелектронних систем (систем розпізнавання, спектрального аналізу, пристроїв заглушення завад, коректорів викривлень тощо).

Задачі дослідження

1. Визначення принципів побудови узагальнених моделей лінійного передбачення.

2. Розробка узагальнених моделей лінійного передбачення: авторегресії, ковзного середнього, авторегресії-ковзного середнього. Виведення формул для оцінки параметрів цих моделей за моментними та кумулянтними функціями корельованих негаусових процесів.

3. Розвиток узагальнених моделей лінійного передбачення для комплексних негаусових процесів.

4. Побудова узагальнених моделей лінійного передбачення негаусових імітаційних і реальних випадкових процесів.

5. Розробка елементів теорії лінійних операторів моделей лінійного передбачення.

6. Створення ефективних методів параметричного спектрального оцінювання негаусових випадкових процесів на основі узагальнених моделей лінійного передбачення. Дослідження параметричних спектрів вищих порядків імітаційних і реальних негаусових процесів.

7. Розробка методів статистичного моделювання негаусових імітаційних випадкових процесів із заданими видами кореляційної або моментної функції, або параметрами спектра.

8. Розвиток теорії неадаптивних та адаптивних рекурсивних та нерекурсивних, авторегресійних, вінеровських та решітчастих фільтрів на основі узагальнених моделей лінійного передбачення.

9. Розробка методів розпізнавання випадкових сигналів з використанням узагальнених моделей лінійного передбачення та моментних функцій.

10. Розробка підходів до розв’язання деяких прикладних задач статистичної радіотехніки для негаусових процесів: виділення корисних сигналів на фоні завад, розпізнавання негаусових процесів, корекції каналів зв'язку.

Об'єкт дослідження – негаусові випадкові процеси і сигнали та їхня

статистична обробка.

Предмет дослідження – узагальнені моделі лінійного передбачення негаусових процесів, розроблені на основі моментних та кумулянтних функцій та їх застосування у радіофізичних задачах.

Методи дослідження. У роботі використано методи теорії лінійних систем, різницевих лінійних рівнянь, лінійних операторів, методи статистичного моделювання, чисельні методи аналізу, прикладний аналіз випадкових процесів.

Наукова новизна отриманих результатів

1. Вперше розроблено нові узагальнені моделі лінійного передбачення негаусових статистично пов’язаних випадкових процесів на основі моментних та кумулянтних функцій: узагальненої авторегресії, узагальненого ковзного середнього та узагальненої авторегресії-ковзного середнього. На відміну від класичних моделей лінійного передбачення, нові моделі враховують статистики вищих порядків негаусових процесів. Це дає змогу більш повно описувати випадкові процеси, а також отримати нові методи їх обробки.

2. Вперше отримано:–

рівняння для визначення параметрів узагальнених моделей лінійного передбачення за моментними або кумулянтними функціями та знайдено їхні розв’язання. В існуючих моделях параметри визначаються тільки за кореляційними функціями; –

вирази для параметричних оцінок спектрів вищих порядків негаусових процесів на основі оцінок параметрів узагальнених моделей лінійного передбачення, розрахованих за моментними або кумулянтними функціями. Сучасні параметричні методи оцінок спектрів дозволяють отримувати тільки спектри другого порядку. Лише набір спектрів усіх порядків повністю описує негаусові процеси. Спектри вищих порядків дають змогу отримувати нову інформацію про випадкові процеси. Враховуючи різницю між спектрами вищих порядків сигналу та завади, є можливість підвищити точність оцінок спектрів сигналів на фоні завад; –

власні функції та власні значення операторів лінійного передбачення, які дозволяють визначати вирази параметричних спектрів негаусових процесів вищих порядків. Це дає змогу подальшого розвитку операторного аналізу радіотехнічних систем, а також підтвердити введені принципи побудови узагальнених моделей та отримані на їх основі співвідношення.

3. Розвинуто:–

основи теорії синтезу узагальнених вінерівських фільтрів, решітчастих структур, призначених для відбілювання статистично пов'язаних процесів та знаходження параметрів випадкових процесів для заданих реалізацій негаусових випадкових процесів. Хоча структура таких фільтрів збігається з існуючими, їхні параметри розраховуються за іншими співвідношеннями. Застосування таких фільтрів дає нові можливості під час розв’язання задач боротьби з завадами; –

адаптивні методи розрахунку параметрів узагальнених моделей лінійного передбачення, вінерівських та решітчастих фільтрів. Деякі існуючі методи адаптації поширені для розрахунку коефіцієнтів підсилення у запропонованих узагальнених фільтрах; –

методи синтезу компенсаторів міжсимвольних викривлень на основі статистик вищих порядків, що підвищують ефективність існуючих компенсаторів при зміні завадової обстановки, параметри яких розраховують за статистиками другого порядку.

4. Вперше запропоновано та випробувано методи розпізнавання негаусових сигналів з використанням узагальнених моделей лінійного передбачення. Від існуючих методів вони відрізняються застосуванням нових ознак класів сигналів та методів прийняття рішень. Це дало змогу підвищити вірогідність розпізнавання класів сигналів, особливо на фоні завад.

5. Розвинуто досить прості та ефективні методи статистичного моделювання гаусових та негаусових випадкових процесів із заданими параметрами спектрів другого та вищих порядків з використанням моделей авторегресії, ковзного середнього та авторегресії-ковзного середнього. На відміну від існуючого методу моделювання на основі формуючого фільтра, вони дають змогу отримати випадкові процеси з досить точними частотами мод та їх смугами багатомодових спектрів.

6. Вперше запропоновано метод розрахунку коефіцієнтів авторегресії та ковзного середнього за заданими відліками спектральної густини потужності (СГП). Для розрахунку коефіцієнтів авторегресії та ковзного середнього зараз використовують відліки процесів або кореляційні функції. Застосування методу дає змогу моделювати процеси з досить різноманітними формами спектрів.

Практичне значення отриманих результатів

1. Розроблені узагальнені моделі лінійного передбачення істотно розширюють можливості їхнього застосування для розв’язання різних задач статистичної радіотехніки, дозволяють використовувати додаткову інформацію про негаусові властивості процесів.

2. Використання методів статистичного моделювання випадкових процесів на основі моделей авторегресії та ковзного середнього дозволяє генерувати гаусові та негаусові імітаційні процеси із заданими параметрами спектральної густини.

3. Методи побудови узагальнених моделей лінійного передбачення та основні формули для оцінки параметрів цих моделей однаково справедливі при використанні як моментних, так і кумулянтних функцій, для яких статистичне усереднення ускладнене. Це особливо важливо для кумулянтного аналізу негаусових випадкових процесів, що вважається більш корисним, ніж моментний аналіз.

4. Поширення теорії узагальненої моделі авторегресії на комплексні негаусові процеси розширює клас моделей процесів у радіотехніці.

5. Застосування теорії лінійних операторів для моделей лінійного передбачення дозволяє по – новому, з більш загальних математичних позицій підійти до розв’язання задач статистичного аналізу випадкових процесів, зокрема в спектральному аналізі.

6. На основі теорії узагальнених моделей лінійного передбачення отримано ефективні методи параметричного оцінювання спектральних густин вищих порядків негаусових процесів.

7. Показано, що розвиток узагальнених моделей лінійного передбачення призводить до синтезу неадаптивних та адаптивних рекурсивних і нерекурсивних, авторегресійних, вінерівських і решітчастих фільтрів, широко застосовуваних у різних областях радіотехніки.

8. Проведено аналіз та розроблено пропозиції щодо практичного використання моделей під час аналізу негаусових властивостей процесів на різних частотах, для створення методів розпізнавання випадкових сигналів, моделювання та корекції каналів зв'язку, виділення спектрів корисних сигналів на фоні завад.

9. Розроблені методи, моделі та методики впроваджені у провідного виробника апаратури цифрового ущільнення в Україні ВАТ “Прожектор”

(м. Малин, Житомирська обл.), що підтверджується актом впровадження.

10. Результати дисертації також використовуються в навчальному процесі на кафедрі “Радіоелектронні системи” ХНУРЕ, зокрема в курсі “Апаратура службового та комерційного зв'язку”, “Мобільний радіозв'язок”, а також студентами радіотехнічного факультету при виконанні курсових, магістерських та дипломних робіт.

Особистий внесок здобувача. Всі теоретичні положення та основні результати дисертації розроблено та опубліковано автором самостійно [3, 4, 11, 13, 15, 23, 26, 35]. З робіт, що опубліковані автором разом із співавторами, використані у дисертації лише ті матеріали, в одержанні яких автор брав безпосередню участь. Особистий внесок автора в спільних роботах полягає в теоретичних дослідженнях, розробці теоретичних моделей негаусових випадкових процесів [1, 22, 29, 41-43]. У роботах [8-10, 12, 38] автор брав участь у постановці задач, аналізі отриманих результатів. Ідеї методів [41-43, 51-54] та їх теоретичне обґрунтування належать авторові. У статтях, опублікованих як правило спільно зі студентами та аспірантами [2, 5-7, 14, 16-21, 24, 25, 27, 28, 30-34, 36, 37, 39, 40, 44-50, 55], авторові належать: постановка задачі, основні ідеї, теоретичні дослідження, методики експериментів, узагальнення результатів, формулювання висновків. Співавтори здійснювали комп’ютерне моделювання, розробку та перевірку деяких методів, розв’язання поставлених задач, числові розрахунки й обробку результатів експериментів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та висновки дисертації доповідалися й обговорювалися на 12-и міжнародних, всесоюзних та республіканських конференціях і семінарах.

Публікації. Результати дисертації опубліковано в 55 наукових працях, з яких: 27 статей у фахових журналах, включених до списку ВАК України за фахом 01.04.03.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, 7-и розділів, висновків, переліку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації складає 378 сторінок, у тому числі: 105 рисунків, 13 таблиць, перелік використаних джерел з 232 найменувань на 21 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертації обґрунтовано актуальність розв’язуваних задач, сформульовано наукову проблему, мету і задачі досліджень, наукову новизну та практичну значущість роботи. Наведено відомості про особистий внесок автора, апробації, публікації, впровадження, зв'язки з науковими програмами.

Перший розділ є оглядовим. Він містить аналітичний огляд методів обробки негаусових процесів, а також аналіз розвитку та сучасний стан теорії лінійного передбачення.

Гаусові моделі випадкових процесів відіграли важливу роль у розвитку методів статистичної радіотехніки. Їхнє застосування дозволяє істотно спростити теоретичний аналіз випадкових процесів і знайти розв’язання багатьох практичних задач статистичної радіотехніки. Разом з тим, дослідження випадкових процесів показує, що багато з них не можна віднести до гаусових. В аналітичному огляді наукової літератури подано моделі негаусових процесів, що застосовуються в прикладних задачах обробки сигналів. У першій частині огляду розглядаються випадкові процеси, які зустрічаються в статистичній радіотехніці, описувані негаусовими розподілами. Результати численних досліджень показують, що врахування негаусових властивостей випадкових процесів призводить до зростання ефективності обробки інформації. Складність обробки та аналізу негаусових процесів, а також широкі дослідження в цій області, підтверджують актуальність дисертаційної роботи. Тому природно виникає проблема вдосконалення методів обробки випадкових процесів з урахуванням їх негаусових властивостей.

Останнім часом теорія негаусових процесів формується в самостійний науковий напрямок. Академік А.М. Колмогоров відзначав важливість досліджень негаусових процесів, їхню практичну значущість. Розвитку методів аналізу негаусових процесів та розробці їх застосування для розв’язання ряду задач присвячені роботи багатьох вітчизняних та зарубіжних вчених.

Розв’язання прикладних задач статистичної радіотехніки ґрунтується на використанні деякої конструктивної моделі оброблюваного випадкового процесу. Математична модель замінює фізичний об'єкт, зберігаючи важливі для даного дослідження деякі його властивості. У широкому розумінні під моделлю випадкового процесу розуміють будь-яку вказівку на клас або вид імовірнісних або статистичних характеристик. У більш вузькому розумінні під моделлю випадкового процесу розуміють спосіб формування його реалізацій, що забезпечує одержання заданих імовірнісних або статистичних характеристик. Подібні моделі використовуються в багатьох задачах синтезу та аналізу оптимальних і квазіоптимальних алгоритмів обробки сигналів на фоні негаусових завад.

Негаусовими випадковими процесами є багато фізичних явищ природи. У статистичній радіофізиці випадкові процеси часто мають негаусовий розподіл. Негаусові моделі, описувані одновимірною густиною розподілу ймовірності (ГРЙ), широко використовуються для опису корисних сигналів та завад у радіотехніці. Найпоширеніший при передачі інформації мовний сигнал для більшості фонем має виражені негаусові властивості. В астрономії, геофізиці під час вивчення турбулентності рідини та газу виникає необхідність статистичної оцінки спектрів вищих порядків стаціонарних випадкових послідовностей.

У другій частині огляду аналізуються методи обробки негаусових процесів, засновані на використанні одновимірної або багатовимірної ГРЙ негаусових процесів. У більшості робіт для опису негаусових процесів застосовуються одновимірні або двовивимірні ГРЙ, а також характеристичні функції. Застосування багатовимірних густин імовірності для розв’язання прикладних задач статистичної радіофізики пов'язане із проблемою виведення їхніх аналітичних виразів або одержання оцінки за наявними вибірками сигналів чи завад. У реальних системах умови передавання та поширення сигналів, а також закони формування завад і способи їхнього впливу на пристрої обробки сигналів досить різноманітні. У таких умовах адекватне подання вхідного сигналу приймача одним розподілом імовірності можливе у виняткових випадках. Значні можливості для опису реальних негаусових сигналів і завад дають імовірнісні суміші стандартних розподілів, які називають рандомизованими розподілами. Найбільш зручними в таких задачах виявляються суміші, що складаються з гаусових розподілів – так звані полігаусові моделі.

Виявлення та розпізнавання сигналів у негаусових завадах раціональне при відомій апріорній інформації про густину розподілу імовірностей. Застосування додаткової інформації про статистичні характеристики завад призводить до зростання вірогідності приймання інформації. Підхід до розв’язання задачі розпізнавання сигналів на фоні негаусових завад аналогічний алгоритмам виявлення сигналів. При цьому ухвалення рішення про наявність сигналів стає багатоальтернативним. Найбільше уваги в дослідженнях приділялося питанням розпізнавання дискретних сигналів у вигляді послідовностей нулів та одиниць при когерентному та некогерентному прийомі в умовах гаусових завад. Однак лінійний приймач, оптимальний у випадку гаусової завади, стає неоптимальним при впливі негаусової завади. Значна кількість робіт у теорії негаусових процесів присвячена задачі фільтрації сигналів на фоні негаусових шумів та завад. Увага до проблеми фільтрації на фоні негаусових шумів та завад останнім часом набула більшої актуальністі, що викликано в першу чергу необхідністю розв’язання прикладних задач.

Для спрощення опису негаусових процесів використовують, зокрема, марковські моделі. При цьому використовується лише двовимірний розподіл, що природно спрощує задачу. Похибки застосовуваної моделі можна знизити використанням узагальнених марковських процесів, при якому необхідно знати густину розподілу більшої розмірності. Основним недоліком імовірнісних методів обробки випадкових процесів є необхідність знання їхніх розподілів. У зв'язку з цим ведеться пошук нових моделей і основаних на них методів обробки негаусових процесів, що дозволяють більш повно та ефективно використовувати негаусові характеристики випадкових процесів. Під час розв’язання ряду задач обробки негаусових процесів віддають перевагу моделям, що не вимагають знання законів розподілів. Саме такі моделі негаусових процесів розроблялися автором дисертаційної роботи.

У третій частині огляду розглядаються методи моментного та кумулянтного аналізу негаусових процесів, а також спектральний аналіз вищих порядків. Практичне застосування методів обробки з використанням густин розподілу пов'язане з певними труднощами. Оцінка або аналітичне завдання багатовимірних густин розподілу не завжди можливі або відповідні функції надмірно громіздкі. Використання одновимірних та двовимірних густин імовірності часто не дає досить повного подання негаусових процесів. Як показують дослідження, багато задач статистичної радіотехніки успішно розв’язуються методами, що базуються на використанні кумулянтних і моментних функцій. У статистичній радіотехніці та радіофізиці кумулянтні та моментні функції широко застосовуються для опису радіосигналів або гідросигналів. Ю.П. Кунченко запропонував новий метод знаходження оцінки параметрів у випадку, коли спостережувані негаусові процеси описуються кінцевою параметричною послідовністю моментних або кумулянтних функцій. Метод грунтується на застосуванні стохастичних функційних поліномів і названий автором методом максимізації функційного поліному. Кумулянтний аналіз застосовується також в алгоритмах виявлення імпульсного сигналу із флуктуючою амплітудою під час некогерентного приймання, для досягнення прихованості інформації в широкосмугових сигналах, під час аналізу перетворення негаусових випадкових процесів лінійними диференційними системами. Відзначимо, що запропоновані автором дисертації моделі лінійного передбачення дозволяють отримати досить повний опис процесу, використовуючи невелику кількість оцінок значень моментної або кумулянтної функцій.

Спектри високих порядків необхідні під час вивчення властивостей негаусових процесів. Негаусовий випадковий процес повністю описується набором моментних або кумулянтних функцій, або набором спектрів усіх порядків. Як і моментні функції, спектри більш високих порядків можуть містити додаткову інформацію про негаусовий випадковий процес. Застосування спектрів вищих порядків для дослідження негаусових процесів поки що не набуло широкого розвитку внаслідок ряду труднощів. Автором запропоновано параметричні методи оцінки спектрів вищих порядків, що мають певні переваги.

У четвертому підрозділі наведено стислий огляд історії розвитку теорії лінійного передбачення, основних напрямків застосування цих моделей у задачах статистичної радіотехніки. У рамках кореляційної теорії гаусові та негаусові процеси можна описувати моделями лінійного передбачення. Конструктивність моделей лінійного передбачення знайшла своє відображення в численних застосуваннях у наукових дослідженнях і технічних додатках. Істотним обмеженням існуючих моделей лінійного передбачення негаусових процесів є використання тільки моментних функцій другого порядку для знаходження параметрів цих моделей. Тому актуальною задачею розвитку теорії негаусових процесів є розробка узагальнених моделей лінійного передбачення на основі кумулянтних та моментних функцій вищих порядків. Розв’язанню цієї задачі присвячена дана дисертаційна робота. Для цього необхідно узагальнити принципи побудови моделей лінійного передбачення, знайти вирази для розрахунку параметрів моделей, вивести формули параметричної оцінки спектрів вищих порядків, розробити принципи синтезу фільтрів прямої реалізації та решітчастих фільтрів. Значна частина дисертаційної роботи присвячена дослідженням застосування запропонованих моделей для розв’язання практичних задач статистичної радіотехніки.

Аналіз наукової літератури показує, що запропоновані автором узагальнені моделі лінійного передбачення негаусових процесів раніше не розроблялися.

Другий розділ присвячений розробці узагальнених моделей авторегресії (УАР), ковзного середнього (УКС), авторегресії-ковзного середнього (УАРКС).

Залежно від властивостей негаусових випадкових процесів їх можна моделювати процесами УАР, УКС або УАРКС. На відміну від звичайних моделей лінійного передбачення параметри узагальнених моделей визначаються не кореляційними функціями, а моментними функціями деякого порядку . Принципи побудови нових моделей більш загальні, ніж для звичайних моделей лінійного передбачення. Узагальнена теорія лінійного передбачення відповідає принципу відповідності, згідно з яким простіші випадки теорії природно випливають із загальної теорії. За моментними функціями -го порядку будуються моделі УАР, УКС, УАРКС -го рангу. Вектори параметрів моделей УАР, УКС, УАРКС обчислюються за допомогою моментних функцій деяких порядків. При побудові УАР, УКС, УАРКС моделей спиратимемось на наступні положення, запропоновані автором дисертації, що є узагальненням принципів, які лежать в основі побудови звичайних моделей АР, КС, АРКС.

1. Стаціонарні негаусові процеси описуються різницевими рівняннями лінійного передбачення з постійними коефіцієнтами, що відповідають моделям УАР, УКС, УАРКС, розрахованими за моментними функціями.

2. Передбачене поточне значення процесу, отримане у вигляді зваженої суми попередніх значень процесу або попередніх помилок передбачення, відрізняється від істинного деякою помилкою передбачення, характерної тільки для даної моментної функції з певним набором зсувів.

3. Помилки передбачення не мають статистичних зв'язків заданого порядку рівного рангу моделей, описуваних відповідною моментною функцією.

Для стаціонарного негаусового статистично пов'язаного випадкового процесу з нерівною нулю моментною функцією -го порядку, модель УАР -го рангу описується різницевим рівнянням

,

де – коефіцієнти УАР, – порядок моделі, –помилки передбачення, індекси є фіксованими зсувами моментної функції, а їхня кількість дорівнює . Щоб отримати рівняння для знаходження коефіцієнтів УАР, помножимо ліву та праву частину цього рівняння на та візьмемо математичне очікування. Таким чином, коефіцієнти УАР знаходять, розв’язуючи рівняння

,,(1)

де моментна функція визначається виразом . Для одержання рівняння (1) використовується умова оптимальності моделі, що полягає в статистичній незалежності -го порядку помилок передбачення

при . Цей критерій використовується також для оцінки порядку моделі УАР. Моменти негаусового процесу та помилок передбачення пов'язані рівнянням

. (2)

Для знаходження рівняння (2) використано співвідношення для моментів

, .

Рівняння (1) може бути наведено в матричному вигляді

, (3)

де – вектор, компонентами якого є значення моментних функцій, – моментна матриця, – вектор невідомих коефіцієнтів УАР. Розв’язання рівняння (3) можна записати через зворотну моментну матрицю

.

У дисертації розглянуто приклади побудови моделей УАР для третього й четвертого рангів.

Широкосмугові статистично пов'язані негаусові випадкові процеси описуються моделлю УКС. Для стаціонарного негаусового випадкового процесу із нерівною нулю моментною функцією третього порядку різницеве рівняння, що описує модель УКС третього рангу, має вигляд

,

де — коефіцієнти, а — порядок моделі УКС, — помилки передбачення, що є випадковими відліками, які мають нульову моментну функцію третього порядку для зсувів . Вільний індекс в означає, що помилки передбачення отримано за моделлю УКС із коефіцієнтами УКС із індексом .

Рівняння для розрахунку параметрів моделі отримують за умови статистичної незалежності помилок передбачення. Вираз, що зв'язує треті моменти випадкових процесів та , має вигляд

,

де третій момент процесу , третій момент помилки передбачення . Систему рівнянь для розрахунку коефіцієнтів УКС отримують із виразу

де , нормована моментна функція визначається співвідношенням . Порядок моделі можна визначати за наближенням до нуля моментної функції третього порядку помилки передбачення для заданого зсуву . У дисертації розглянуто також приклади побудови моделей УКС для четвертого та довільного рангів.

Змішана модель лінійного передбачення УАРКС найбільш точно описує випадкові процеси, спектри яких містять гострі піки та глибокі западини. Якщо процес являє собою стаціонарний негаусовий випадковий процес зі змішаним спектром із нерівною нулю моментною функцією третього порядку, тоді узагальнена модель УАРКС третього рангу описується різницевим рівнянням

(4)

Помилка передбачення є стаціонарним випадковим негаусовим процесом типу білого шуму, що відповідає умові статистичної незалежності другого порядку. Вираз для розрахунку параметрів моделі УАРКС третього рангу має вигляд

де — взаємна моментна функція третього порядку випадкових процесів й , для якої справедливі співвідношення

при .

Запропоновані принципи узагальнення дозволяють вирішити проблему побудови моделей лінійного передбачення за моментними функціями будь-якого порядку. Аналіз отриманих виразів показує їхню подібність зі звичайними моделями передбачення, які є окремими випадками узагальнених моделей. Відмінність в тому, що узагальнені моделі розраховуються за моментними функціями і можуть мати інші порядки та коефіцієнти, що відображують негаусові характеристики процесів. Використання негаусових моделей дозволяє істотно доповнити результати, отримані в рамках кореляційної теорії. Застосування запропонованих узагальнених моделей також дає можливість розв’язувати задачі, які неможливо розв’язати з використанням звичайних моделей лінійного передбачення. Правильність запропонованої теорії підтверджена статистичними експериментами, під час яких побудовано узагальнені моделі лінійного передбачення негаусових процесів і знайдено моментні функції помилок передбачення.

Аналіз перетворення кореляційних та моментних функцій системами, описуваними моделями лінійного передбачення, показує, що вирази для розрахунку параметрів моделей лінійного передбачення збігаються з рівняннями перетворення кореляційних та моментних функцій у лінійних системах, описуваних моделями УАР та УКС. Доведено, що рівняння Юла-Уокера є наслідком перетворення кореляційної функції білого шуму дискретною лінійною системою, описуваною моделлю АР. Це також підтверджує вірогідність отриманих рівнянь узагальнених моделей лінійного передбачення.

У багатьох випадках для аналізу негаусових властивостей випадкових процесів доцільніше використовувати кумулянтні функції. Це пов'язано в основному з тим, що, на відміну від моментних функцій, кумулянтні функції -го порядку описують статистичні зв'язки тільки -го порядку. Відмінність властивостей кумулянтних та моментних функцій має призводити до певних відмінностей у відповідних моделях лінійного передбачення. Запропоновано рівняння та отримано вирази для розрахунку узагальнених моделей лінійного передбачення третього й четвертого рангів за кумулянтними функціями. Як показали експериментальні дослідження, під час розв’язання деяких задач, моделі лінійного передбачення, побудовані за кумулянтними функціями, виявляються ефективнішими аналогічних моделей, розрахованих за моментними функціями.

Цікавою задачею є побудова УАР моделі негаусових комплексних процесів. На основі отриманих автором статистик вищих порядків негаусових комплексних процесів побудовано комплексну УАР модель.

У третьому розділі розроблено теорію параметричної оцінки спектрів за моделями УАР, УКС та УАРКС. Вперше отримано формули параметричної оцінки спектрів вищих порядків на основі узагальнених моделей лінійного передбачення довільного рангу. З виведенням цих формул використовувалися властивості перетворення моментних функцій білого шуму та його спектрів вищих порядків під час проходження його через лінійні ланки, описувані моделями УАР, УКС й УАРКС. Знайдені параметричні оцінки спектрів вищих порядків процесу УАРКС для фіксованих зсувів моментних функцій , описуються комплексними багатовимірними функціями

. (5)

З (5) легко отримати вираз для параметричної спектральної густини УАРКС третього порядку при

(6)

У багатьох випадках виявляються корисними перетини параметричних спектрів вищих порядків, які є позитивними та залежать від однієї частоти. Наприклад, замість двовимірної спектральної густини в деяких випадках можна користуватися одновимірною

де . Вираз для спектрів УАР можна отримати із загального співвідношення (6). УАР спектр третього порядку визначається знаменником (6)

.

Спектр КС третього порядку визначається чисельником виразу (6) і має вигляд

Використання параметричних спектрів вищих порядків на основі моделей УАР, УКС й УАРУКС дозволяє отримати додаткові характеристики негаусових випадкових процесів, які неможливо виявити на спектрах другого порядку. Форми спектрів вищих порядків можуть помітно відрізнятися від спектрів другого порядку, що пов’язується з наявністю статистичних зв'язків вищих порядків. У четвертому розділі дисертації показано, що залежність спектрів вищих порядків від характеристик густини розподілу дозволяє розв’язувати ряд практичних задач.

Використовуючи дискретне частотне подання операторів авторегресії та ковзного середнього можна отримати вирази для параметричного оцінювання спектрів другого та вищих порядків. Оператори авторегресії та ковзного середнього , і , мають власні функції у вигляді комплексної експоненти

, ,

, ,

а їхні власні значення рівні відповідно

, ,

, .

У теорії операторів набори власних значень операторів називаються його спектром. У дисертації показано, що спектри операторів , дозволяють визначити спектри процесів лінійного передбачення всіх порядків. Використовуючи властивості операторів, що описують дискретну лінійну систему, можна переходити від перетворення сигналів, їхніх кореляційних та моментних функцій до перетворення спектрів сигналів у цих системах. За допомогою цього методу отримано рівняння для перетворення спектральних густин будь-якого порядку в лінійних системах, а також вирази для параметричних оцінок спектрів вищих порядків. Такий підхід дозволяє не тільки висловити новий погляд на такі методи аналізу випадкових процесів, як перетворення Фур'є, спектральний аналіз, але й наочним чином отримати деякі більш загальні рівняння та вирази статистичної радіотехніки.

Конструктивні властивості моделі УАР дають можливість порівняно простими способами отримати моделі випадкових процесів із заданими статистичними характеристиками. Як такі характеристики можна використати ширину смуги та частоту піків спектральної густини моделювального процесу, через які виражаються дійсні та комплексні корені характеристичного рівняння , , .

Отримано вирази, що дозволяють у явному вигляді виразити коефіцієнти авторегресії через корені характеристичного рівняння. Чисельними експериментами доведена можливість генерації випадкових процесів із багатомодовим спектром із заданими характеристиками. Показано, що модель УКС також дозволяє отримувати широкосмугові випадкові процеси із заданими спектральними характеристиками. Визначено співвідношення, що пов'язують коефіцієнти УКС та зазначені параметри спектральної густини. Запропоновано також спосіб розрахунку параметрів моделей АР та КС за заданою вибіркою функції спектральної густини випадкового процесу або за амплітудно-частотною характеристикою лінійної системи.

Під час проектування систем обробки випадкових процесів методом математичного моделювання необхідно вміти моделювати вибірки комплексних сигналів і полів. На основі комплексної моделі УАР можна побудувати генератор комплексних негаусових процесів із заданими параметрами спектра вищих порядків. У дисертації запропоновано спосіб одержання комплексних процесів з одномодовим та двомодовим спектром. Для цього знайдено неявний зв'язок коренів характеристичного рівняння та коефіцієнтів УАР.

Всі отримані теоретичні результати перевірялися методом статистичного моделювання, а також під час обробки реальних сигналів і процесів. У наступних розділах показано приклади практичного використання запропонованих узагальнених моделей лінійного передбачення під час розв’язання ряду практичних задач статистичної радіотехніки.

У четвертому розділі розглянуто деякі задачі спектрального аналізу, розв’язання яких здійснюється із застосуванням спектрів вищих порядків.

Точність оцінок параметричних спектрів вищих порядків негаусових процесів залежить від трьох основних факторів: точності використовуваної моделі лінійного передбачення вищих рангів, ступеня негаусовості аналізованих процесів, потужності та густини розподілу завад і шумів. Точність моделі лінійного передбачення залежить від правильності вибору адекватної моделі (УАР, УКС або УАРКС), від точності оцінки порядку моделі, від точності оцінок коефіцієнтів моделі, що залежить від стійкості оцінок кореляційних або моментних функцій. Стійкість оцінок моментних функцій, а отже й точність моделі залежать від того, наскільки сильно в процесі виражені негаусові властивості. Про ступінь негаусовості процесу можна судити з величини коефіцієнтів асиметрії та ексцесу.

Аналіз та обробка випадкових процесів, як правило, здійснюється в обмеженій смузі частот. Якщо в цій смузі частот його моментна функція буде відмінна від нуля, то можна будувати узагальнені моделі лінійного передбачення. Застосовуваний метод визначення ступеня негаусовості процесу за оцінками коефіцієнтів асиметрії та ексцесу дає інтегральну характеристику процесу, незалежну від частоти. У роботі запропоновано метод дослідження гаусових і негаусових процесів шляхом оцінювання коефіцієнтів асиметрії й ексцесу в різних смугах частоти процесу. Застосування цього методу дозволяє проводити більш тонкий частотний аналіз процесів та шумів, визначати адекватність узагальнених моделей лінійного передбачення, якісно оцінювати потенційну точність параметричних спектрів вищих порядків. Порівняння із графіками спектрів показує, що на частотах піків, як правило, спостерігаються екстремуми коефіцієнта асиметрії та ексцесу . Вивчення подібних закономірностей може сприяти більш глибокому розумінню досліджуваних гаусових та негаусових процесів.

Особливий інтерес під час дослідження спектрів вищих порядків становить вивчення впливу корельованих завад і шумів на точність параметричних оцінок спектрів. У розділі теоретично обґрунтовано можливість застосування статистик вищих порядків для зниження впливу завад та шумів на точність оцінювання СГП і спектрів вищих порядків. Наведено ряд прикладів, що пояснюють та доводять підвищення точності оцінки спектрів.

Розглянуто випадок, коли параметри моделей лінійного передбачення негаусового процесу оцінюються за сумішшю корисного сигналу і корельованої завади

. (7)

Моментна функція довільного порядку суміші незалежних процесів (7) визначається виразом

, (8)

де — моментна функція завади, що залежить від зсувів , порядку моментної функції , виду розподілу, ступеня негаусовості. Наприклад, для гаусового та рівномірного розподілу центральні моменти та моментні функції третього порядку дорівнюють нулю. Якщо моментна функція завади дорівнює нулю, вираз (8) матиме вигляд

і вплив завади на вибіркову моментну функцію буде значно меншим.

Оцінювання СГП аналізованого корисного сигналу на фоні корельованої завади, спектр якої “накриває” спектр корисного сигналу або частково перекривається з ним, може виявитися важкорозв'язною задачею. При оцінюванні СГП сигналу наявність такої завади може привести до викривлення форми СГП корисного сигналу, зсуву на осі частот його центральної частоти або піків спектра, розширення смуги спектра сигналу. Попереднє заглушення завади в таких випадках не призводить до підвищення точності оцінки спектра корисного сигналу, тому що при цьому губиться також СГП сигналу. У розділі розглянуто задачу знаходження оцінки спектра негаусового сигналу з відмінною від нуля моментною функцією третього порядку за наявністю адитивної гаусової корельованої завади. Вважається, що завада має спектр, який повністю перекриває спектр корисного сигналу та має потужність, що перевищує або дорівнює потужності корисного сигналу. Негаусовий сигнал був отриманий з використанням процесу типу білого шуму з розподілом Парето з параметром масштабу . На рис. 1,а показано вибіркові оцінки спектра імітаційного негаусового сигналу для перетину , отримані за допомогою параметричної оцінки, для зсувів (крива 1) і (крива 2) моделі УАР(2) 3-го рангу. СГП завади, показаний на рис. 1,б, оцінювався на основі моделі АР(6).

Використовуючи оцінки спектральної густини на основі моделі УАР третього рангу, можна отримати досить достовірну оцінку спектра третього порядку сигналу в суміші з гаусовою корельованою завадою. На рис. 2 а, б наведено графіки, отримано оцінки спектра УАР(2) третього рангу для 100 реалізацій суміші при різних відношеннях сигнал/завада (ВСЗ). Аналіз графіків показує, що використання перетинів параметричних оцінок спектрів вищих