Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського

"Харківський авіаційний інститут"

УБИЙВОВК АРТЕМ ВОЛОДИМИРОВИЧ

УДК 539.3

СТІЙКІСТЬ НЕОДНОРІДНИХ ПЛАСТИН

З ТРІЩИНАМИ ТА ОТВОРАМИ

Спеціальність 01.02.04 – механіка деформівного твердого тіла

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Харків-2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському державному технічному університеті будівництва та архітектури Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник:

кандидат технічних наук, професор

Воблих Віталій Олександрович

Харківський державний технічний університет будівництва та архітектури,

професор кафедри будівельної механіки.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук

Євзеров Ісаак Данилович,

Державний науково-дослідний інститут

автоматизованих систем у будівництві, м. Київ,

провідний науковий співробітник;

доктор технічних наук, професор

Доценко Павло Данилович,

Національний аерокосмічний університет

ім. М.Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут”, м. Харків,

професор кафедри теоретичної механіки та машинознавства.

Захист відбудеться "_04_" _____04______ 2008 р. о__14___ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.062.04 у Національному аерокосмічному університеті ім. М.Є.Жуковського “Харківський авіаційний інститут” за адресою: 61070, м. Харків, вул. Чкалова, 17.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національного аерокосмічного університету ім. М.Є. Жуковського “Харківський авіаційний інститут” за адресою: 61070, м. Харків, вул. Чкалова, 17.

Автореферат розісланий "_26_" _____02______2008 р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої ради Застела О.М.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми.

Удосконалення методів розрахунку конструкцій, покращення характеристик міцності конструкційних матеріалів та застосування сучасних композитних матеріалів є передумовами використання легких та економічних тонкостінних конструкцій у будівництві, машинобудуванні та ін. галузях, невід’ємно пов’язаних з інженерною діяльністю. Для подібних конструкцій суттєво зростає роль розрахунків на стійкість, оскільки втрата стійкості початкової форми рівноваги для більшості конструкцій є причиною вичерпання їх працездатності (при цьому втрата стійкості навіть другорядним елементом конструкції може виявитись катастрофічною для всієї конструкції в цілому).

Дослідження стійкості таких пластин є складною задачею. Потреби практики не можна задовольнити лише за допомогою аналітичних методів. У розрахунках багатьох конструкцій доводиться застосовувати чисельні методи, на сьогоднішній день добре розроблені і реалізовані в багатьох програмних комплексах. Однак не всі програмні комплекси працюють з необхідними для розв’язку задачі стійкості геометрично нелінійними скінченними елементами, або, якщо і працюють, то не завжди дозволяють врахувати фізично нелінійні властивості матеріалу.

В будівельній галузі для розрахунку конструкцій використовуються програмні комплекси, які не містять в своїх бібліотеках геометрично нелінійних скінченних елементів, необхідних для аналізу стійкості. Разом з тим часто виникає потреба в розрахунках будівельних конструкцій на стійкість. Особливо актуальною є проблема оцінки стійкості цегляних стін при реконструкції будівель, оскільки після тривалої експлуатації в конструкціях з’являються дефекти (тріщини), а впродовж виконання робіт з реконструкції змінюється розрахункова схема. Застосування в таких випадках програмних комплексів, які дозволяють виконувати аналіз стійкості пластин, але не адаптовані для розрахунків та проектування конструкцій, є недоцільним. З іншого боку, спеціалізовані програмні комплекси дозволяють розв’язання широкого спектру задач в геометрично лінійній постановці. Такі можливості в поєднанні з інженерними методами можуть бути використані в задачах, які потребують геометрично нелінійного аналізу.

Таким чином потреба в методиці дослідження конструкцій на предмет забезпеченості їх несучої здатності робить актуальними дослідження, спрямовані на створення чисельних методик аналізу стійкості пластин.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертаційна робота виконана у рамках державної програми кафедри основ, фундаментів та інженерної геології ХДТУБА (№ держреєстрації 0107U001648, обліковий № 0207U004456).

Мета і завдання дослідження.

Метою даної роботи є створення методики визначення критичних навантажень для довільних пластин з використанням програмних комплексів, в яких не передбачено використання геометрично нелінійних скінченних елементів.

Для досягнення мети були поставлені наступні завдання:

1. Обрати теоретичні основи методики на основі аналізу аналітичних залежностей для стійкості та згину пластин.

2. Визначити загальний порядок дослідження стійкості пластин у відповідності з основами методики.

3. Розглянути різні варіанти реалізації методики в залежності від типу скінченних елементів та вихідних даних для розрахунку.

4. Одержати залежності для використання в дослідженні стійкості скінченних елементів прямокутної, довільної трикутної та довільної полігональної форми.

5. Створити програми для чисельного аналізу стійкості пластин, який виконується на основі результатів розв’язання плоскої задачі і задачі згину плити за допомогою програмних комплексів.

6. Провести аналіз точності розрахунків на стійкість, виконаних за методикою.

7. Дослідити вплив врахування фізичної нелінійності матеріалу на значення критичного параметру навантаження.

Об’єкт дослідження – пластини довільної форми змінної товщини (або жорсткості), в тому числі з матеріалу, що має нелінійний зв’язок між напруженнями та деформаціями.

Предмет дослідження – загальна стійкість пластин довільної форми при простому навантаженні.

Методи дослідження.

1. Аналітичні – для обґрунтованості вказаного метода визначення критичних навантажень та форм втрати стійкості.

2. Чисельні з використанням метода скінченних елементів – для використання програмних комплексів, які не дозволяють розв’язувати задачі стійкості.

3. Експериментальні (чисельні) – для перевірки надійності одержаних результатів.

Наукова новизна одержаних результатів.

На основі аналітичних залежностей теорії стійкості та теорії згину розроблено чисельну методику для аналізу стійкості пластин з використанням матриці Гріна.

Використовуючи характеристики напружено-деформованого стану та матрицю Гріна, одержано залежності для визначення матриці стійкості (матриці коефіцієнтів при переміщеннях в системі лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь відносно переміщень вузлів) при використанні прямокутної та довільної сітки. Розглянуто використання систем алгебраїчних рівнянь для лінійних та кутових переміщень вузлів сітки.

При реалізації методики розглянуто використання скінченних елементів різної форми.

Одержані залежності дозволяють використовувати геометрично лінійні скінченні елементи для аналізу стійкості пластин.

За розробленою методикою проведено розрахунки на стійкість, в тому числі й для пластини з нелінійного матеріалу.

Виконано аналіз точності й достовірності результатів, одержаних за допомогою розробленої методики.

Досліджено вплив тріщин різного розташування та довжини на значення критичного навантаження для квадратних пластин з шарнірно опертим контуром.

Практичне значення одержаних результатів.

Розроблена методика дозволяє виконувати чисельний аналіз стійкості пластин, використовуючи ті спеціалізовані програмні комплекси, в яких не реалізовані геометрично нелінійні скінченні елементи. Така необхідність виникає при проектуванні елементів жорсткості будівель, перевірці несучої здатності експлуатованих конструкцій, оскільки застосовувані при проектуванні програмні комплекси не дозволяють виконувати геометрично нелінійний аналіз подібних конструкцій.

Запропонована в роботі методика розширює можливості програмних комплексів і дозволяє розв’язувати актуальні інженерні задачі (оцінювати ступінь зносу існуючих стінових конструкцій та елементів жорсткості будівель після їх тривалої роботи, при наявності пошкоджень (тріщин) та при реконструкції).

Чисельний аналіз за описаною в дисертаційній роботі методикою може проводитись як у фізично лінійній, так і в фізично нелінійній постановці, що необхідно для одержання найбільш достовірних результатів.

На основі методики створено програму, яка використовує дані числових розрахунків плоскої задачі та задачі згину і дозволяє визначати критичні параметри навантаження пластин.

Особистий внесок здобувача.

Усі результати дисертаційної роботи одержані особисто автором:

На основі аналітичних залежностей теорії стійкості та теорії згину розроблено чисельну методику для аналізу стійкості пластин з використанням матриці Гріна.

Використовуючи характеристики напружено-деформованого стану та матрицю Гріна, одержано залежності для визначення матриці стійкості (матриці коефіцієнтів при переміщеннях в системі лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь відносно переміщень вузлів) при використанні прямокутної та довільної сітки. Розглянуто використання систем алгебраїчних рівнянь для лінійних та кутових переміщень вузлів сітки.

Для розробленої методики розглянуто використання скінченних елементів різної форми.

За розробленою методикою проведено чисельні розрахунки критичних навантажень для різних пластин, в тому числі й для пластини з нелінійного матеріалу.

Виконано аналіз точності й достовірності одержаних результатів.

Досліджено вплив тріщин різного розташування та довжини на значення критичного навантаження для квадратних пластин з шарнірно опертим контуром.

Результати дисертаційної роботи застосовані на практиці для перевірки стійкості консольної частини діафрагми жорсткості 9-поверхового будинку.

Апробація результатів дисертації.

Головні положення роботи доповідались та обговорювались на:–

науково-технічних конференціях Харківського державного технічного університету будівництва та архітектури 2001-2007 рр.;–

5-ій міській конференції молодих вчених і спеціалістів м. Харкова, 2002р.;–

міжнародній науково-технічній конференції, м. Бєлгород, 26-28 листопада 2002р.

Публікації.

За матеріалами дисертації опубліковано 8 самостійних статей, 7 з яких у виданнях, що входять у затверджений ВАК України перелік наукових видань, де можуть публікуватись основні результати дисертаційних робіт.

Структура та обсяг дисертації.

Дисертація викладена на 109 сторінках, містить вступ, сім розділів, висновки та список літератури з 131 джерела, а також два додатки на 10 сторінках. Робота ілюстрована 4 таблицями та 39 рисунками.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність, сформульовано цілі й завдання дослідження, наукову новизну роботи. Наведено дані, що свідчать про практичне значення одержаних результатів, особистий внесок дисертанта. Стисло викладений зміст роботи за розділами, структуру й обсяг роботи.

В першому розділі наведено огляд досліджень стійкості пластин, постановки задачі стійкості, розглянуто підходи до її розв’язку та відповідні критерії стійкості; приведено огляд досліджень із стійкості пластин. Оглядова частина містить аналіз теоретичних та експериментальних робіт, що присвячені як безпосередньо аналізу стійкості пластин, так і створенню методик дослідження стійкості.

Проблемам дослідження стійкості пластин присвячена велика кількість публікацій, серед яких роботи Александрова А.В., Алфутова Н.А., Антонова Б.І., Баратова А., Безухова Н.І., Бідермана В.Л., Блохова В.Г., Вайнберга Д.В., Валєєва Г.Ш., Веселкова С.Ю., Вольміра А.С., Воровича І.Й., Губанової І.І., Гузя А.Н., Дащенкоа А.Ф., Дишеля М.Ш., Жигуна В.І., Жукова Е.А., Зеленського В.С., Зубханінова В.Г., Іванова С.П., Каменських І.В., Коломієць Л.В., Коханенка Ю.В., Логінова І.Н., Матвєєва К.А., Мовчана А.А., Моховнєва Д.В., Налоєва В.Г., Немировського Ю.В., Оробей В.Ф., Пустового Н.В., Работнова Ю.Н., Ржаніцина А.Р., Сафронова В.С., Сільченка Л.Г., Субботіна С.Л., Тарасова В.Н., Тимошенка С.П., Туркіна І.К., Хітрова В.В. та ін.

Класичні постановки задач стійкості пластин, використання різних критеріїв докладно описані в монографіях, серед яких можна виділити роботи Алфутова Н.А., Вольміра А.С., Работнова Ю.Н.

Результати досліджень стійкості пластин з отворами аналітичними методами містяться в роботах Алфутова Н.А., Баратова А., Валєєва Г.Ш., Григолюка Е.І., Ковріжних А.М., Козлова В.Я. та ін.

Дослідження стійкості пластин складного обрису, зі складними граничними умовами, пластин з отворами та тріщинами зручно виконувати з допомогою чисельних методів, реалізованих на ЕОМ. Дослідженням стійкості на підставі метода скінченних елементів присвячені роботи Блохова В.Г., Каменських І.В., Козлова В. Я., Паутова А. Н. та ін..

Існує багато програмних комплексів, які не дозволяють виконувати чисельні дослідження стійкості пластин. Разом з цим такі комплекси, як правило, дозволяють окремо розв’язувати плоску задачу теорії пружності (визначати напружений стан) та задачу згину (визначати деформований стан при згині).

На основі проведеного аналізу стану питання визначені завдання дослідження.

В другому розділі розглядаються теоретичні основи методики; описана її реалізація для прямокутних скінченних елементів і наведено приклади розрахунків для суцільної пластини та пластини з отвором.

Вихідними залежностями методики є рівняння стійкості пластин:

(1)

та інтегральне рівняння для функції прогинів:

, де (2)

- функція Гріна.

Ненульовий (відносно функції нормальних прогинів ) розв’язок рівняння (1) дозволяє знаходити точки біфуркації та критичні навантаження.

У рівнянні (1) доданок можна трактувати як розподілене навантаження, що діє перпендикулярно до серединної площини пластини в суміжному рівноважному стані. При цьому пластина працює як плита відповідно до своїх граничних умов.

Використовуючи цей доданок замість функції навантаження в рівнянні (2), можна записати:

. (3)

Рівняння (3) використовується для побудови системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду:

. (4)

У випадку прямокутної регулярної сітки одержано вираз для коефіцієнтів при переміщеннях:

(5)

Визначення критичного навантаження таким чином зводиться до визначення власного числа матриці:

. (6)

Для визначення власного числа матриці застосовувався ступеневий метод.

Загальний порядок дослідження стійкості пластин за даною методикою складається з наступних етапів, які виконуються в такій послідовності:

1. Розв'язання плоскої задачі методом скінченних елементів та визначення зусиль початкового рівноважного стану в кожному елементі.

2. Визначення матриці Гріна (матриці переміщень вузлів від одиничного навантаження, що прикладається окремо в кожному вузлі) з урахуванням граничних умов.

3. Визначення елементів матриці стійкості (матриці коефіцієнтів при переміщеннях для системі лінійних алгебраїчних рівнянь).

4. Визначення коренів рівняння (6) та відповідних їм критичних параметрів навантаження.

З використанням прямокутних скінченних елементів та одержаного виразу (5) для визначення матриці стійкості виконано розрахунки для пластин, розрахункові схеми яких наведені на рис.1.

а) б)

Рис. 1. Розрахункові схеми: а) пластина без отвору; б) пластина з отвором

Розрахунки виконано для товщини пластин h=0.005м. Матеріал – сталь, =0.3, Е=2·1011 Па. Одержані результати наведені в таблиці 1.

Таблиця 1

Результати розрахунків критичного навантаження для суцільної пластини

№ | Умови розбивки пластини | Значення критичного навантаження,

кН/м

Розміри скінченних елементів, м | Кількість скінченних елементів | Кількість вузлів

Вздовж оХ | Вздовж оY

1 | 0.333 | 0.267 | 9 | 16 | 56.23

2 | 0.250 | 0.267 | 12 | 20 | 57.30

3 | 0.200 | 0.200 | 20 | 30 | 57.44

За аналітичними залежностями величина критичного навантаження становить:

.

В чисельному розрахунку для пластини з отвором одержано значення критичного навантаження: .

В третьому розділі Розглядається використання методики у випадку трикутних скінченних елементів.

Сітка трикутних скінченних елементів як правило не є регулярною. Кількість елементів, які спираються на вузол, може бути різною. У зв’язку з цим використовується система рівнянь відносно переміщень у наступному вигляді:

. (7)

Коефіцієнти , що складають матрицю стійкості , визначаються з допомогою системи, побудованої на основі метода сил:

, де (8)

- навантаження, що діє перпендикулярно до серединної площини пластини в j -му вузлі в суміжному рівноважному стані (при втраті стійкості);

- переміщення вузла s внаслідок прикладення перпендикулярно до серединної площини пластини одиничного навантаження в вузлі j. перпендикулярно до серединної площини пластини (елементи матриці Гріна).

Для переходу від системи (7) до системи (8) навантаження виражаються через переміщення вузлів та величини, що визначають напружений стан пластини. В якості характеристик напруженого стану виступають реакції та , які діють з боку елементу К на вузол елементу j. Кількість реакцій, що діють на вузол, дорівнює подвоєній кількості елементів.

Кожному елементу відповідає матриця вузлових навантажень , визначити яку можна з рівняння:

, де (9)

– матриця жорсткості скінченного елемента;

– матриця переміщень вузлів скінченного елемента в площині пластини.

Для визначення додаткового навантаження на вузол в суміжному рівноважному стані від елемента, розглядається трикутний елемент у відхиленому стані (рис.2)

Рис. 2. Скінченний елемент К пластини в суміжному рівноважному стані

Положення скінченного елементу в суміжному рівноважному стані визначається нормальними переміщеннями вузлів. При цьому три опорних вузла скінченного елементу утворюють площину, вектор нормалі якої в суміжному рівноважному стані буде відхиленим від свого початкового положення. Оскільки реакції та у вузлах знаходяться в площині елемента, для визначення навантаження у вузлах в суміжному рівноважному стані використовується вектор нормалі. Він визначається через координати та прогини:

(10)

Додаткове навантаження визначається так:

; (11)

або, з урахуванням (10):

(12)

Для визначення сумарного вузлового навантаження розглянуто елементи, що спираються на вузол (рис.3)

Рис. 3. Довільні трикутні скінченні елементи, що спираються на спільний вузол

Сумарне навантаження визначається як сума навантажень від елементів, що спираються на даний вузол:

. (13)

Для коефіцієнтів одержано вираз:

(14)

Таким чином, визначення матриці дає можливість досліджувати стійкість, використовуючи рівняння: .

В четвертому розділі для побудови матриці стійкості замість умови використовуються умови існування кутів повороту вузлів в суміжному рівноважному стані: , .

Система лінійних алгебраїчних рівнянь для кутових переміщень записується у вигляді:

. (15)

Для визначення матриці стійкості, яка відповідно до (15) має вид , з використанням метода сил записується система рівнянь для та :

, (16)

де – елементи матриці Гріна ,

а – додаткове навантаження на елемент К у суміжному рівноважному стані

Для його визначення розглянуто трикутний скінченний елемент (рис.4)

Рис. 4. Скінченний елемент пластини у відхиленому стані

В силу малості кутів повороту вузлів додаткове навантаження для трикутного елементу складає:

;

для довільного елементу (і пробігає номери всіх вузлів, на які спирається скінченний елемент К)

Для елементів матриці стійкості одержані формули:

; ;

; . (17)

Підсумовування в (17) ведеться по елементах К, що спираються на вузол j.

В розділі також приводяться результати чисельних розрахунків для тестових задач, розрахункові схеми яких наведені на рис. 5.

Рис. 5. Розрахункові схеми

У таблиці 2 наведені значення критичних параметрів для навантаження при =0.3, Е=2·1011Па і товщині пластин h=0.005м.

Таблиця 2

Значення критичного параметру навантаження для схем на рис. 5

№ схеми | за описаною методикою | за розрахунками у програмі NASTRAN | за аналітичними залежностями

1 | 36.127 | 35.146 | 31.58

2 | 26.599 | 26.011 | 25.77

3 | 21.621 | 21.363 | 20.62

4 | 21.114 | 20.881 | 20.65

5 | 16.653 | 15.027 | 14.65

6 | 5.138 | 4.881 | 4.942

7 | 3.906 | 3.713 | 3.706

8 | 2.256 | 2.149 | 2.471

П’ятий розділ присвячено дослідженню стійкості пластин з тріщинами та отворами. Тріщини розглядається як математичний розрізи (задачі механіки тріщин в роботі не розглядаються). Приводяться вимоги щодо розбивки пластин при моделюванні тріщин.

В наведених прикладах розрахунків розглянуто чотири варіанти розташування тріщини в пластині (розрахункові схеми на рис. 6). Для всіх схем прийнято: товщина – 0.005м, =0.3, Е=2·1011Па.

а) б)

в) г)

Рис. 6. Розрахункові схеми пластин з тріщинами: а) центрально розташована тріщина; б) симетрично розташовані тріщини; в) діагональна тріщина, що починається від центру пластини; г) діагональна тріщина, що починається від вершини

При моделюванні тріщин для схем а), б) на рис. 6 було враховано симетрію, що дозволило розглядати чверть пластини з відповідними граничними умовами. Розрахунки для схем в), г) виконувались без врахування симетрії.

Результатами чисельного дослідження стали залежності критичного навантаження від довжини а тріщин (рис. 7).

Рис. 7. Графіки залежностей критичного навантаження від довжини тріщини а (приводяться в порядку відповідності розрахунковим схемам на рис. 6)

У розрахунку на стійкість пластини з отвором розглядається пластина, завантажена зосередженими силами (рис.8).

Рис.8. Розрахункова схема пластини з отвором

Розташування зосередженої сили враховувалось при розбивці на скінченні елементи. Окрім повної розрахункової схеми було розглянуто три розрахункові схеми, які враховували симетрію: дві утворювались відсіканням частин, симетричних відносно вертикальної та горизонтальної осі симетрії; одна схема враховувала вертикальну та горизонтальну симетрію. Результати чисельного моделювання приводяться в таблиці 3.

Таблиця 3

Значення критичного параметра навантаження для пластини з отвором

Врахування симетрії | Кількість скінченних елементів в схемі * | Значення критичного навантаження Р, кН

без врахування | 480 | 45.73

вертикальна та горизонтальна | 121 | 43.84

вертикальна | 242 | 44.11

горизонтальна | 242 | 44.01

* Кількість скінченних елементів обумовлена врахуванням симетрії.

Одержані результати порівнюються з результатами, одержаними за допомогою метода сіток та в програмі NASTRAN.

В шостому розділі розглядається використання методики для розрахунків на стійкість з урахуванням фізичної нелінійності.

Приведено ітераційний алгоритм дослідження, який полягає у визначенні критичного параметру після кожного прикладеного кроку навантаження. При цьому для кожного кроку навантаження виконується коригування модуля пружності для кожного скінченного елемента в залежності від досягнутого рівня напружень та обраної апроксимації фізичного закону. Критичним навантаженням вважається навантаження після прикладення наступного кроку, якщо критичний параметр при цьому дорівнює одиниці.

В якості можливих апроксимацій фізичного закону розглянуто найчастіше застосовувані нелінійні залежності між напруженнями і деформаціями:

Ступенева залежність

Комбіновані ступеневі залежності

Дрібно-лінійна залежність

Діаграма Соколовського

Наведено приклад розрахунку для пластини розмірами 4х4м, товщиною – 0.12м. Матеріал – цегляна кладка: , . Залежність між напруженнями і деформаціями прийнято відповідно діаграмі Соколовського. У розрахунках використовувався дотичний модуль деформації:

.

При кожному послідовному завантаженні крок навантаження обирався так, щоб модуль пружності у будь-яких двох ближчих ітераціях відповідав співвідношенню: .

Результати розрахунку наведені в таблиці 4.

Таблиця 4

Результати чисельного розрахунку з урахуванням фізичної нелінійності

Навантаження,

кН/м | Критичний параметр навантаження | Рівень завантаження відносно критичного навантаження, визначеного без врахування фізичної нелінійності, %

77.47 | 4.39 | 22.32

108.83 | 3.06 | 31.35

132.40 | 2.47 | 38.14

151.88 | 2.11 | 43.75

168.69 | 1.86 | 48.60

183.58 | 1.68 | 52.89

196.99 | 1.53 | 56.75

209.23 | 1.41 | 60.28

220.49 | 1.31 | 63.52

230.92 | 1.23 | 66.52

240.64 | 1.16 | 69.32

249.74 | 1.09 | 71.95

258.29 | 1.03 | 74.41

266.35 | 0.98 | 76.73

Відповідно до чисельного розрахунку без врахування фізичної нелінійності значення критичного навантаження становить:

.

За інтерполяцією критичне навантаження для розглядуваної схеми з урахуванням фізично нелінійних властивостей матеріалу складає:

.

Також для розглядуваної задачі завдяки рівномірному напруженому стану було можливим визначення критичного навантаження з урахуванням фізичної нелінійності з допомогою залежностей, графіки яких наведені на рис. 9.

Рис. 9. Залежності з урахуванням фізично нелінійних властивостей матеріалу

Критичне навантаження, визначене за залежностями на рис. 9, складає 251.66 кН/м.

В сьомому розділі представлено впровадження методики при дослідженні стійкості консольної діафрагми жорсткості 9-ти поверхової каркасної будівлі. Аналіз стійкості виконувався з урахуванням фізичної нелінійності з використанням результатів розрахунку каркаса будівлі методом скінченних елементів. Розрахункова схема діафрагми наведена на рис. 10.

Рис. 10. Розрахункова схема консольної діафрагми жорсткості

Врахування нелінійних залежностей матеріалу діафрагми виконувалось за двохлінійною та трьохлінійною діаграмами (рис. 11).

а) б)

Рис. 11. Залежності для бетону класу В20:

а) двохлінійна діаграма; б) трьохлінійна діаграма

Значення модулів пружності складають: =4.12·103 Мпа; =2.75·104 МПа; =1.46·103 МПа.

Напружений стан від розрахункового навантаження визначався з допомогою ітераційного алгоритму, в кожній ітерації якого виконувалось коригування модулів пружності для скінченних елементів схеми. Виходячи з визначеного напруженого стану та матриці Гріна, одержаної для відповідного розподілу жорсткостей були визначені критичні параметри навантаження. За результатами чисельних розрахунків вони становлять при врахуванні залежності :

- за двохлінійною діаграмою – К=20.57;

- за трьохлінійною діаграмою – К=30.33.

зАгальні висновки

1. Запропонована чисельна методика дослідження стійкості пластин не потребує використання геометрично нелінійних скінченних елементів.

2. Одержано залежності для визначення матриці стійкості при використанні різних скінченних елементів.

3. Порівняння результатів тестових задач з теоретичними та результатами інших програмних комплексів свідчать про достатню точність, надійність та достовірність результатів, одержуваних за допомогою запропонованої методики.

4. Методика дозволяє оцінювати вплив тріщин на значення критичного навантаження та може використовуватись для оцінки несучої здатності пошкоджених будівельних конструкцій і при реконструкції будівель та споруд.

5. З використанням розробленої методики запропоновано алгоритм дослідження стійкості пластин з урахуванням фізично нелінійних властивостей матеріалу.

6. Результати чисельного розрахунку для пластини, матеріал якої проявляє фізично нелінійні властивості, свідчать про необхідність врахування фізично нелінійних властивостей матеріалів у розрахунках на стійкість.

7. Впровадження розробленої методики при розрахунках каркасу 9-ти поверхової будівлі дозволило виконати оцінку значення критичного параметру навантаження і підтвердити можливість використання конструктивного рішення несучих конструкцій у вигляді консольних діафрагм жорсткості.

ПУБЛІКАЦІЇ

1. Убийвовк А.В. Чисельний метод розв’язку задачі стійкості пластин з використанням функції Гріна // Науковий вісник будівництва. – Харків: ХДТУБА, ХОТВ АБУ, 2001.–Вип.12. – С.253–258.

2. Убийвовк А.В. Стійкість пластин // Науковий вісник будівництва. – Харків: ХДТУБА, ХОТВ АБУ, 2002.–Вип.16. – С.166–169.

3. Убийвовк А.В. Методика розрахунку стійкості пластин методом скінченних елементів з використанням функції Гріна // Вісник Харківського національного університету №551. – Харків 2002.–№551.Ч.1. – С.89–94.

4. Убийвовк А.В. Расчет устойчивости пластин методом конечных элементов с использованием функции Грина. – сб. научн. тр. Международной научно-практич. конф. "Рациональные энергосберегающие конструкции, здания и сооружения в строительстве и коммунальном хозяйстве" – Белгород, изд-во БелГТАСМ, 2002. ч.1. с.255-262.

5. Убийвовк А.В. Методика розв’язку задачі стійкості пластин з використанням функції Гріна // Науковий вісник будівництва. – Харків: ХДТУБА, ХОТВ АБУ, 2003.–Вип.23. – С.79–82.

6. Убийвовк А.В. Чисельні розрахунки пластин на стійкість методом скінченних елементів з використанням функції Гріна // Науковий вісник будівництва. – Харків: ХДТУБА, ХОТВ АБУ, 2004.–Вип.29. – С.71–75.

7. Убийвовк А.В. Стійкість пластин з тріщинами // Науковий вісник будівництва. – Харків: ХДТУБА, ХОТВ АБУ, 2006.–Вип.35. – С.266–270.

8. Убийвовк А.В. Дослідження стійкості пластин з врахуванням фізично нелінійної роботи матеріалу // Науковий вісник будівництва. – Харків: ХДТУБА, ХОТВ АБУ, 2007.–Вип.40. – С.35–40.

Анотація

Убийвовк А.В. Стійкість неоднорідних пластин з тріщинами та отворами. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 – механіка деформованого твердого тіла. – Національний аерокосмічний університет ім. М.Є. Жуковського "ХАІ". Харків, 2008.

Дисертація присвячена створенню методики визначення критичних навантажень для пластин при простому завантаженні.

На основі відомого розподілу напружень (розв’язок плоскої задачі) та матриці Гріна (розв’язок задачі згину пластини) методика дозволяє досліджувати стійкість пластин різної форми з різними граничними умовами.

При виконанні чисельних розрахунків можна використовувати програмні комплекси, в бібліотеках яких відсутні геометрично нелінійні скінченні елементи.

Розглядаються різні варіанти реалізації методики при використанні різних скінченних елементів для визначення матриці стійкості.

Надійність і достовірність одержуваних з допомогою методики результатів підтверджується порівнянням результатів чисельних розв’язків з відомими аналітичними (точними) та чисельними (одержаними в програмному комплексі NASTRAN) розв’язками.

Проведені чисельні дослідження і наведені результати розрахунків для пластин з отворами, тріщинами та пластин, матеріал яких має нелінійний зв'язок між напруженнями і деформаціями.

Ключові слова: стійкість пластин, функція Гріна, методика, чисельний розрахунок, тріщина, фізично нелінійна залежність.

АнНотация

Убийвовк А.В. Устойчивость неоднородных пластин с трещинами и отверстиями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 – механика деформируемого твердого тела. - Национальный аэрокосмический университет им. М.Е. Жуковского "ХАИ", Харьков, 2008.

Диссертационная работа посвящена созданию методики определения критических нагрузок для пластин при простом нагружении. Основой методики является линеаризованное уравнение устойчивости в декартовой системе координат.

На основании известного распределения напряжений (решение плоской задачи) и матрицы Грина (решение задачи изгиба пластины) с помощью полученных зависимостей вычисляется матрица устойчивости (матрица коэффициентов при перемещениях в системе линейных алгебраических уравнений). Вычисление собственных значений матрицы устойчивости дает возможность исследовать устойчивость пластин разной формы с различными граничными условиями.

Разработанная методика позволяет использовать для исследования устойчивости пластин программные комплексы, библиотеки которых не содержат геометрически нелинейных конечных элементов.

При реализации методики рассмотрено использование регулярной прямоугольной сетки конечных элементов, а также треугольных и конечных элементов произвольной формы.

Зависимости для вычисления матрицы устойчивости при регулярной прямоугольной сетке получены с использованием конечно-разностных операторов. При использовании разбивки области пластины на прямоугольные и треугольные конечные элементы для построения матрицы устойчивости используется система линейных алгебраических уравнений для линейных перемещений (нормальных к серединной плоскости) узлов сетки конечных элементов. При разбивке области пластины с использованием конечных элементов произвольной формы для построения матрицы устойчивости используется система линейных алгебраических уравнений для угловых перемещений узлов сетки конечных элементов.

Для вычисления собственных чисел матрицы устойчивости использовался степенной метод, реализованный в итерационном процессе на ЭВМ.

Надежность и достоверность получаемых с помощью методики результатов подтверждается сравнением результатов численных решений с известными аналитическими (точными) и численными (полученными в программном комплексе NASTRAN) решениями.

Предложен итерационный алгоритм для вычисления критического параметра нагрузки с учетом физической нелинейности.

Проведены численные исследования и приведены результаты расчетов для пластин с отверстиями, трещинами и пластин из материала, проявляющего физически нелинейные свойства. В приведенных задачах для пластин с трещинами рассмотрены различные варианты расположения и длины трещин в квадратной пластине, опирающейся по контуру и находящейся под действием равномерной распределенной нагрузки, сжимающей пластину в двух направлениях. Результаты представлены в виде графиков зависимости величины критической нагрузки от длины трещин.

Представлены результаты внедрения методики при оценке несущей способности консольной диафрагмы жесткости 9-ти этажного каркасного здания. Результаты получены с учетом физической нелинейности.

Ключевые слова: устойчивость пластин, функция Грина, методика, численный расчет, трещина, физически нелинейная зависимость.

ABSTRACT

Ubiyvovk A.V. Buckling of non uniform plates with cracks and holes. - Manuscript.

A thesis for obtaining Candidate of Technical Sciences degree in specialty 01.02.04 - mechanics of deformed rigid body. – The National Aerospace University named after N.Y. Zhukovsky “Kharkov aviation institute”, Kharkov, 2008.

The thesis is devoted to creation of the technique of calculation of critical loads for the compressed plates under simple load.

The technique allows researching the buckling of plates of any form with any border conditions on the grounds of known distribution of tensions (the decision of the two-dimensional problem for plate) and Green's function (the decision of bend problem of plate).

The offered technique can be used for study of buckling of the plates with the programs, which libraries does not have geometric nonlinear finite elements.

The functions for using the regular mesh of rectangular finite elements, of triangular and finite elements of any shape are received.

The accuracy and validity of the offered technique calculations are confirmed through comparison with the decisions of known analytical methods and numerical calculations in software complex NASTRAN.

The numerical calculations of buckling of plates with holes and cracks, of buckling of plates from physically nonlinear material are executed. The results and analysis of calculation is described.

The Keywords: buckling of the plates, Green’s function, technique, the numerical calculation, crack, physically nonlinear dependency.