Національний технічний університет

«харківський політехнічний інститут»

Ульєв Леонід Михайлович

Удк 66.021:(532.515.2+536.24)

Ламінарні течії та теплообмін у співвісних конічних каналах хіміко-технологічного обладнання

Спеціальність 05.17.08 – Процеси та обладнання хімічної технології

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

Харків 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі інтегрованих технологій, процесів та апаратів Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут», Міністерство освіти та науки України, г. Харків.

Науковий консультант:

доктор технічних наук, професор ТОВАЖНЯНСЬКИЙ ЛЕОНІД ЛЕОНІДОВИЧ, Національний технічний університет «Харківський політехнічний інститут», завідувач кафедри інтегрованих технологій, процесів та апаратів, лауреат Державної премії України в галузі науки і техніки.

Офіційні опоненти:

академік НАН України, доктор технічних наук, професор Мацевитий Юрій Михайлович, Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, директор;

доктор технічних наук, професор Склабінський Всеволод Іванович, Сумський державний університет, завідувач кафедри процесів та обладнання хімічних та нафтопереробних виробництв;

доктор технічних наук, професор Камбург Володимир Григорович, Хмельницький національний університет, завідувач кафедри прикладної математики.

Захист відбудеться: «24» «квітня» 2008 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.050.05 у Національному технічному університеті «Харківський політехнічний інститут», за адресою: 61002, м. Харків, вул. Фрунзе, 21.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут», за адресою: 61002, м. Харків, вул. Фрунзе, 21.

Автореферат розісланий «21» «березня» 2008 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 64.050.05 Тимченко В.К.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дослідження ламінарних течій та теплообміну рідини в каналах різної форми відноситься до фундаментальних наукових проблем гідромеханіки й теорії процесів теплопередачі, оскільки на їхній основі проводиться рішення інших наукових та технічних проблем, що виникають при створенні проточних деталей в апаратах хімічної технології. Наприклад, при проектуванні встаткування для синтезу й переробки полімерних матеріалів з'являється необхідність розрахунку плину і теплообміну розплавів полімерів у коаксіальних конічних каналах формуючих пристроїв. Аналіз параметрів плину та теплообміну в таких каналах, точна оцінка перепаду тиску дозволяють створювати ресурсо- й енергозберігаюче встаткування, що стало працює в оптимальних технологічних режимах, але в цей час немає простих аналітичних виразів для виконання інженерних розрахунків течії та теплообміну в співвісних конічних каналах.

Важливість розвитку аналітичних методів і одержання аналітичних рішень крайових задач, що виникають при моделюванні сучасних хіміко-технологічних процесів обумовлена ще й тим, що існуючі програмні пакети не завжди забезпечують необхідну точність й надійність результатів. Крім того, аналітичні рішення служать тестовими завданнями при створенні й налагодженні чисельних моделей. У зв’язку з цим тема дисертації має важливе наукове та практичне значення, оскільки вона спрямована на вирішення актуальної науково-прикладної проблеми, сутність якої полягає в створенні теоретичної основи опису гідромеханічних і теплових процесів при ламінарному русі в’язких течив у співвісних конічних каналах хіміко-технологічного обладнання і науково обґрунтованих методів розрахунку основних технологічних параметрів, що визначають ці процеси.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Робота виконана на кафедрі інтегрованих технологій, процесів і апаратів НТУ «ХПІ». Робота виконувалася в рамках госпдоговірних і держбюджетних тем.

Здобувач був науковим керівником у г/д темі «Створення методу розрахунку потужності, яка необхідна для підтримки течії в’язкої рідини в спеціальних каналах змінного перерізу», № ДР 0107U004892 на замовлення АТ «Співдружність – Т». У г/д темах «Дослідження течії розплавів ТПУ-12К и розробка методу розрахунку фільєри», № ДР 01840019624; «Визначення оптимальних конструкторських і технологічних параметрів фільєри для виробництва гранул ТПУ-12K», № ДР 01850021856; «Дослідження процесів течії й гранулювання розплаву термопластичних поліуретанів ТПУ-14МЭ й розробка методу розрахунку фільєри», № ДР 01860013289; «Дослідження плину й гранулювання ТПУ «ВИТУР- 0433-85» і розробка методу розрахунку фільєр гранулятора для термопластичних поліуретанів», № ДР 01870015984 які виконувались відповідно до постанов РМ СРСР №654 від 15.16.83 р., №888 від 19.09.85 р., №1129-332 від 20.11.85 р., №65 від 14.01.87 р. здобувач був відповідальним виконавцем, а при виконанні робіт з держбюджетних тем МОН України «Розробка фундаментальних основ створення нових екологічно чистих енерго- та ресурсозберігаючих технологій, впровадження їх в енергоємні галузі промисловості України», № ДР 0399U003348, «Розвиток системних енергозберігаючих методів із застосуванням інтенсивного теплообмінного встаткування для промислово-енергетичного комплексу України», № ДР 0197U001930; «Визначення енергозберігаючого потенціалу промислово-енергетичного комплексу України, розробка й створення ефективних енергозберігаючих методів і встаткування промислового, сільськогосподарського й побутового призначення на основі системного підходу із прогнозуванням скорочення шкідливих викидів», № ДР 0100U1689; «Теоретичні основи енергозберігаючої інтеграції процесів і технології зменшення шкідливих викидів для промислових підприємств» № ДР 0103U001521; «Розвиток теорії синтезу інтегрованих теплоенергетичних процесів підприємств промислових регіонів України для суттєвого зменшення енергоспоживання», № ДР 0106U001497 здобувач був та є автором ідей і відповідальним виконавцем.

Мета і завдання досліджень. Метою роботи є розроблення теоретичних основ гідродинаміки та ламінарно-конвективного теплообміну в’язкої рідини в співвісних конічних каналах хіміко-технологічного обладнання, визначення впливу особливостей геометрії цих каналів на процеси ламінарної течії та теплообміну в них і створення науково обґрунтованих інженерних та аналітичних методів розрахунку ламінарної течії та конвективного теплообміну в’язких рідин у співвісних конічних каналах.

Для досягнення цілей, поставлених у роботі, вирішуються наступні задачі:

1

2

3

4

5

6

7

Об'єктом дослідження є процеси ламінарного плину ньютонівських рідин та їх ламінарно-конвективного теплообміну в співвісних конічних каналах різної геометричної конфігурації.

Предметом дослідження є математичні моделі ламінарної течії та ламінарно-конвективного теплообміну в співвісних конічних каналах хіміко-технологічного обладнання. Дослідження зазначеного напрямку включає постановку й рішення сукупності задач ламінарного плину та теплообміну, як у співвісних конічних дифузорах, так і конфузорах, аналіз цих плинів за допомогою рішень та одержання важливих параметрів цих течій.

Методи дослідження. В основі всіх положень і висновків дисертації лежать закони механіки й теплообміну рідких середовищ. Для вирішення задач ламінарного плину в’язких і псевдов’язких течив було використовувано методи рішення диференціальних рівнянь у частинних похідних. Для розв’язку диференціальних рівнянь, які пов’язані з розвитком ламінарного плину течива, використовувались методи перетворень Лапласа-Карсона та розкладання по власних функціях задачі. Для розв’язку проблем ламінарного теплообміну рідини використовувались методи розкладання по власних функціях задач. При отриманні виразів довжини початкової термічної ділянки використовувались статистичні методи обробки даних численних експериментів.

Наукова новизна отриманих результатів. Вперше:

§ виконано класифікацію співвісних конічних каналів та отримано систему гідродинамічних рівнянь у напругах, які описують ламінарний плин у біконічній системі координат, яка потім спрощена для практично важливих випадків;

§ отримано й досліджено аналітичні рішення задач ламінарного дифузорного і конфузорного плину у співвісних конічних каналах із загальною вершиною границь та урахуванням характерної інерційної сили;

§ отримано й досліджено аналітичні рішення задач повзучого плину та ламінарного плину із урахуванням характерної інерційної сили в співвісних конічних дифузорах і конфузорах із постійною та змінною шириною уздовж плину;

§ отримано й досліджено аналітичні рішення задач ламінарного плину ньютонівської із урахуванням характерної інерційної сили та повзучого плину псевдо пластичної рідини в секториальних дифузорах і конфузорах сталої та змінної ширини;

§ вирішено й досліджено задачу розвитку ламінарного плину в співвісному конічному дифузорі постійної ширини із однорідним та неоднорідним початковими розподілами швидкості;

§ отримано й досліджено рішення задач ламінарного плину із урахуванням характерної інерційної сили в співвісних конічних конфузорах і дифузорах постійної й змінної ширини й із урахуванням розходження в кривизні їхніх поверхонь та визначені умови, при яких можна нехтувати розходженням у кривизні границь каналів;

§ вирішено й досліджено задачі ламінарного конвективного теплообміну при дифузорному й конфузорному плині в співвісних конічних каналах постійної ширини із граничними умовами, заданими кусково-диференційованимі функціями;

§ вирішено й досліджено задачі ламінарного конвективного теплообміну при дифузорному плині в співвісних конічних каналах постійної та змінної ширини із температурними умовами третього роду на стінках;

§ вирішено й досліджено задачу ламінарного конвективного теплообміну в співвісному конічному конфузорі постійної ширини із урахуванням теплоти дисипації механічної енергії;

§ отримано вирази для визначення довжини початкових термічних ділянок при ламінарному теплообміні в співвісних конічних дифузорах та конфузорах постійної ширини.

Практична значимість результатів. На основі вирішених у дисертації наукових проблем розроблено методі інженерних розрахунків сталої течії та теплообміну у коаксіальних конічних каналах, які можуть бути використані і використовуються для аналізу та розрахунку при створенні нових процесів та при розробці конструкцій апаратів хімічної технології, що підтверджено актом впровадження результатів на ЗАТ «УкрНДІхіммаш». Розроблені наукові положення використовуються у курсах лекцій на кафедрі інтегрованих технологій, процесів та апаратів НТУ «ХПІ» при викладанні дисциплін «Гідрогазодинамика», «Теплофізика», «Процеси та апарати хімічних виробництв», «типові технологічні об'єкти та процеси виробництв», «Процеси та апарати хімічних технологій» та «Процеси та апарати харчових виробництв», що також підтверджено довідкою про використання.

Особистий внесок здобувача полягає в аналізі стану проблеми, обґрунтуванні і розробленні основної ідеї і теми дисертації, створенні математичних моделей повзучого та ламінарного плину в’язкої та в’язкопластичної рідини у співвісних конічних каналах та ідей їх вирішення, створенні математичних моделей ламінарного конвективного теплообміну у співвісних конічних каналах та їх розв’язку, а також в порівнянні винайдених даних з експериментальними.

Здобувач висловлює глибоку подяку науковому консультанту д.т.н., професору Товажнянському Л.Л. за надану допомогу в розв’язанні наукової проблеми.

Апробація. Результати, викладені в дисертації, були представлені здобувачем на 13 міжнародних конференціях: 5-й, 6-й, 7-й, 8й, 9-й Міжнародних науково-практичних конференціях «Информационные технологи: наука, техника, технология, образование, здоровье» (м. Харків, Україна, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001); 10-й Міжнародній конференції по інформаційним технологіям (м. Харків, Україна, 2002); 4-ому конгресі двигунобудівників України із іноземною участю «Наука й Практика» (Харків-Рибаче, Україна, 1999); 4-ому Мінському Міжнародному форумі по тепло- і масообміну MIF-2000 (м. Мінськ, Білорусь, 2000); Міжнародній науково-практичній конференції «Інтегровані технології й енергозбереження» - «ІТЭ-2003» (с. М. Маяк, Крим, Україна, 2003); Міжнародній науково-практичній конференції «Інтегровані технології й енергозбереження» - «ІТЭ-2005» (м. Алушта, Крим, Україна, 2005); 14-ому, 15-ому й 16-ому Міжнародному конгресах по хімічній технології й технології виробництва - CHISA'2000 (м. Прага, Чехія, 2000); CHISA'2002 (м. Прага, Чехія, 2002); CHISA'2004 (м. Прага, Чехія, 2004).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 48 наукових праць, в тому числі 1 монографія (у 2-х томах загальним обсягом 1420 с.). 40 робіт опубліковано у провідних фахових виданнях ВАК України. Всі зазначені роботи виконані особисто здобувачем.

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається із вступу, 9 розділів, висновків, списку літературних джерел й додатків. Матеріал основної частини роботи викладено на 523 с. (з них ілюстрації 158 с., список використаних джерел 20 с.), ілюстрацій 276, додатків 32, зібраних в окремому томі, список використаних джерел – 225 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність роботи, сформульовано мету й завдання досліджень, наукову новизну та практичну цінність отриманих результатів.

У першому розділі дисертації виконана класифікація співвісних конічних каналів по геометричним ознаках. Такі канали можна розділити на два види. До першого віднесено канали, у яких конічні поверхні, що утворюють границі каналу, мають загальну вершину. До другого виду співвісних конічних каналів віднесено канали, у яких вершини круглих конусів, що утворюють границі каналу, рознесені. Серед таких каналів можуть бути канали із постійною та змінною шириною уздовж плину. У класі каналів змінної ширини можна виділити канали, границі яких розкриті в одну сторону і у різні, тобто назустріч один одному або в протилежні сторони, а також канали, у яких внутрішня поверхня є циліндричною. У всіх геометричних класах каналів існує два види плинів: дифузорні - плини спрямовані від вершини зовнішньої поверхні каналу й конфузорні - плини, спрямовані убік вершини зовнішньої поверхні каналу. Аналіз плину ньютонівської рідини в практично цікавих випадках показав незначну величину чисел Рейнольдса та Наме-Грифіта: Re Ј o(1), Gn, що дозволяє вважати плини ізотермічними.

Осесиметричний плин ньютонівської рідини в кільцевих конічних каналах із загальною вершиною границь розглядається в сферичних координатах, що дозволяє за допомогою рівняння нерозривності одержати співвідношення порядку між кутовою та радіальною складовими швидкості Vq-DqVR=o(VR), де Dq – різниця між напівкутами розкриття конічних границь є досить мала в практично цікавих випадках. Незважаючи на малі значення чисел Рейнольдса, будемо враховувати інерційний член у рівняннях руху через те, що в розглянутих каналах, у більшості випадків, середня по поверхні поперечного перерізу каналу швидкість, змінюється уздовж плину. Тому рівняння плину для стаціонарного осесиметричного ламінарного дифузорного плину у формі Озеєна із урахуванням зроблених оцінок запишуться у вигляді:

(1)

(2)

(3)

З умовами прилипання на границях каналу

(4)

(5)

та заданим на вході в канал середньому по площі поперечного його перетину тиском

(6)

де , q1, q2 – напівкути розкриття границь, град; R0 – радіальна координата входу в канал, м; m – коефіцієнт динамічної в'язкості, ПаЧс.

Виконуючи в рівняннях (1)-(6) заміну змінних

(7)

одержуємо систему, що описує ламінарний стаціонарний осесиметричний плин у співвісних конічних конфузорах із загальною вершиною границь.

Ламінарний плин у співвісних конічних каналах постійної та змінної ширини, але без загальної вершини границь розглядається в системі біконічних координат (рис. 1), пов'язаної із декартовими координатами перетворенням

Рис. 1. Геометрія співвісного конічного каналу і її зв'язок з декартовими й біконічними координатами: h – ширина каналу; L – довжина утворюючих границь каналу.

Yў= Rcosa-Csina.; (8)

Zў=( Rsina-Ccosa)sinj=Wsinj; (9)

Xў=( Rsina-Ccosa)cosj=Wcosj;, (10)

де W=Rsina-Ccosa.

Перетворення (8)-(10) дозволили одержати систему диференціальних рівнянь у частинних похідних, що описують стаціонарний ламінарний плин рідини в біконічних координатах в напругах:

(11)

(12)

(13)

де r – густина рідини, кг/м3. Рівняння нерозривності запишеться як:

(14)

Компоненти тензора напруги записуються так:

Оцінка величини членів у рівняннях гідродинаміки для практично цікавих випадків дозволила редуцирувати систему рівнянь гідродинаміки (11)-(14) до двох рівнянь

(15)

(16)

для яких граничними умовами є умови прилипання:

(17)

(18)

а початковою умовою – заданий тиск на вході в канал

(19)

Рівняння, що описують практично цікаві конфузорні плини в співвісних конічних каналах, виходять із (15)-(19) за допомогою заміни, аналогічної (7).

У другому розділі вирішені задачі дифузорного й конфузорного ламінарного плину в співвісних конічних каналах із загальною вершиною границь.

При рішенні задачі дифузорного плину (1)-(6) використані безрозмірні координати та параметри:

(20)

де V0=Q/[2pR02(cosq1-cosq2)]; Q – об'ємна витрата, м3/с; а також умова сталості витрати через будь-який поперечний переріз каналу, записана в сферичній системі координат

(21)

а в інерційному члені рівняння руху враховувалася тільки інерційна сила, що виникає внаслідок зміни середньої швидкості рідини уздовж.

Рішення задачі записується у вигляді:

(22)

(23)

де –

функції Лежандра першого і другого роду та другого порядку.

Якщо в знайденому рішенні спрямувати Re ® 0, то одержимо рішення задачі повзучого дифузорного плину в співвісному конічному каналі із загальною вершиною границь, а при q1 = 0 запишеться рішення для задачі дифузорного плину між площиною та конусом із вершиною лежачою на площині і віссю перпендикулярною останній. Якщо ж покласти q2 > 90°, а q1 < 90°, то можна одержати рішення задачі ламінарного та повзучого плину між співвісними конічними конусами із загальною вершиною, але розкритими в різні сторони.

Розподіл швидкості (22) буде однаковим як для рішення задачі повзучого плину, так і для рішення задачі із обліком характерної інерційної сили. Цей розподіл є несиметричним щодо серединної поверхні каналу, а локалізація максимуму швидкості в поперечному перерізі визначається зі співвідношення du/dt=0.

Розподіл безрозмірного тиску (23) та його градієнту складаються із двох складових: дисипативної, що є рішенням задачі повзучого плину і інерційної або динамічної, що визначається числом Рейнольдса. Характерною рисою розподілу середнього по поперечному перерізі безрозмірного тиску при ламінарному плині в співвісному конічному дифузорі із загальною вершиною границь є його кінцева величина при x®Ґ:

(24)

звідки виходить, що при Re = 8x0 , а безрозмірний тиск при наближенні x ® Ґ у випадку повзучого плину буде прагнути до величини . Дані результати дозволяють оцінити значення координат, аж до яких відбувається 99всієї можливої зміни тиску в даній геометрії каналу. Для повзучого плину одержали

x=4.64x0, (25)

а для плину, коли характерною інерційною силою нехтувати не можна

x=3.16x0, (26)

тобто 99падіння тиску відбуваються на безрозмірній довжині Dx=4.64x0-x0= 3.64x0 в першому випадку і на довжині Dx=2.16x0 – в другому.

У випадку повзучого плину розподіл середнього по поперечному перекрою безрозмірного тиску є негативнозначною монотонно спадною функцією (рис. 2).

Рис. . Розподіл середнього тиску при q1= 3°, q2 =15°.

У плині із істотними числами Рейнольдса значна частина кінетичної енергії при зменшенні середньої по перетині швидкості уздовж плину буде переходити в потенційну енергію напруженого стану рідини. Спочатку зі збільшенням Re модуль зменшується, залишаючись негативною величиною, але, починаючи з деякого значення числа Рейнольдса величина стає позитивною поблизу входу в канал, а потім це поширюється на все більшу частину каналу (рис. 2). Це означає, що рідина починає текти убік збільшення тиску. Значення числа Рейнольдса починаючи із якого це відбувається, визначимо з умови, т.е.

(27)

У випадку плину з перевагою характерної інерційної сили на початку каналу функція розподілу є немонотонною.

Отримане рішення дозволило визначити величину числа Рейнольдса аж до якого можна нехтувати інерційною складовою тиску при його обчисленні для ламінарного плину в співвісному конічному дифузорі із загальною вершиною границь з точністю до n

(28)

а також значення числа Рейнольдса, починаючи з якого можна при розрахунку тиску нехтувати дисипативною компонентою з точністю до n

(29)

У даному розділі також отримані й досліджені рішення задач повзучих та ламінарного плинів у співвісних конічних конфузорах із загальною вершиною границь. Досліджена витратно-напірна характеристика для дифузорного плину:

(30)

де h0 – ширина каналу на вході, м; тобто для дифузора при R = R0. Також отримана й досліджена витратно-напірна характеристика конфузорного плину.

Залежність (30) має явні екстремальні властивості (рис. 3), а залежність у конфузорі монотонно спадна у всій області визначення. По відомих залежностях визначається потужність, необхідна для підтримки заданої витрати рідини в співвісному конічному каналі, де для дифузорного плину є тільки дисипативною складовою зміни тиску в каналі, а для конфузорного плину є повною зміною середнього по перекрою тиску в каналі.

Рис. . у залежності q2 при q2  q1 °, R1/R0 і h0 .01 м – ; 2 – лінія, на якій 0; 3 – лінія із мінімальними.

У третьому розділі вирішені задачі дифузорного та конфузорного ламінарного плину в співвісних конічних каналах постійної ширини. У практично цікавих випадках плину виконується умова h<<Rtga, яка обговорюється розділі 7 й дозволяє рівняння, котрі описують рух рідини в безрозмірних змінних та параметрах:

(31)

записати в вигляді

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

де V0=Q/[ph(2R0sina-hcosa)], s=xsina-ccosa, а замість рівняння нерозривності (16) тут використано його інтегральний аналог – умова сталості витрати рідини через будь-який поперечний переріз каналу (33). Припускаючи плин розвиненим, одержуємо рішення задачі (32)-(36):

(37)

(38)

Якщо у виразах (37), (38) покласти a °, то одержимо рішення задачі радіального розбіжного ламінарного плину рідини між паралельними площинами, а якщо спрямувати Re ® 0, то одержимо рішення задачі повзучого дифузорного плину.

При дифузорному плині в каналах, що розглядаються зараз, на відміну від плину в каналах із загальною вершиною границь. У випадку повзучого плину, безрозмірний тиск є монотонно спадною функцією для будь-яких параметрів каналу і рідина тече убік зменшення тиску. Зі збільшенням Re, починаючи з деякого значення Re, рідина починає поблизу входу в канал текти убік збільшення тиску. Це значення визначається виразом

(39)

При подальшому збільшенні Re даний режим плину поширюється на все більшу частину каналу, але уздовж плину динамічна складова тиску падає швидше, ніж модуль дисипативної складової. Тому при деякому значенні x тиск, досягнувши максимуму, починає далі знижуватися, тобто функція P(x) немонотонна із випуклістю нагору. Координата максимального значення тиску визначається значенням

(40)

Для дослідження перепаду тиску в каналі в залежності від напівкута розкриття використано масштаб швидкості, який не залежить від a

(41)

й тоді число Рейнольдса в даному масштабі запишеться у вигляді

(42)

При Re* ® ми одержуємо залежність для повзучого плину (рис. 4). Залежність P(Re*) – лінійна. Найбільш сильна залежність від Re* спостерігається при малих a, що пов'язане з більшими середніми швидкостями плину при малих a та однакових Re*. Функцію P(Re*) можна розглядати, як безрозмірну витратно-напірну характеристику. В розмірному виді залежність від витрати на рис. 4 – залежність від Re* буде квадратичною й в області визначення немонотонною. Дійсно, переходячи до розмірних величин, одержуємо залежність

(43)

яка дозволяє визначити величину витрати, котра забезпечує максимальне падіння тиску в каналі

(44)

Знайдено рішення задачі ламінарної конфузорної течії в співвісному конічному каналі постійної ширини й побудовано витратно-напірну характеристику.

Рис.  Залежність P(a, Re*) у каналі із параметрами x0 і x1 = .

Отримане рішення також дозволило визначити величину числа Рейнольдса аж, до якого можна нехтувати інерційною складовою тиску при його обчисленні, як для дифузорного, так і для конфузорного ламінарного плину в співвісному конічному каналі постійної ширини з точністю до n

(45)

а також значення числа Рейнольдса, починаючи з якого можна при розрахунку тиску нехтувати його дисипативною компонентою із точністю до n

(46)

У розділі також наведено додаткову верифікацію отриманого рішення. Спочатку рівняється строге рішення, отримане у розділі 2, зі східчастою апроксимацією співвісного конічного каналу із загальною вершиною границь співвісними конічними каналами постійної ширини. При 60 східцях максимальна відмінність у тисках ~ 2для всього діапазону напівкутів розкриття. Східчаста апроксимація співвісного конічного каналу коаксіальними циліндричними каналами, як прийнято в цей час, дає відхилення ~ 20для малих a й більш 100для великих. Це відбувається тому що при апроксимації плину в співвісних конічних каналах плином у наборі коаксіальних циліндричних каналів плин, що розходиться або сходиться, заміняється прямолінійним, й зрозуміло, чим більше a, тим менше точність цього наближення.

У четвертому розділі вирішено проблеми дифузорного та конфузорного ламінарного плину в співвісних конічних каналах змінної ширини. Рішення отримане в тім же наближенні. На зовнішній границі, тобто при c , залишається умова (34), а на внутрішній границі умова прилипання запишеться у вигляді

v , c  b(x - x0). (47)

Початковою умовою для безрозмірного тиску залишається умова (36), і далі із огляду на умову сталості витрати в поперечному перекрою одержуємо рішення задачі ламінарного дифузорного плину у вигляді:

(48)

(49)

(50)

(51)

Тут залежність визначає зміну безрозмірної ширини уздовж каналу. Якщо в (48)–(51) спрямувати Re ® 0, то буде одержано рішення задачі повзучого дифузорного плину в співвісному конічному каналі із лінійно змінною уздовж течії шириною. Якщо ж покласти b = 0, можна прийти до раніше розглянутої задачі ламінарного дифузорного плину в співвісному конічному каналі постійної ширини. Треба помітити, що при a ° запишуться рішення задач повзучого та ламінарного розбіжного плину ньютонівської рідини між площиною й конусом із вершиною, що не лежить на площині, і віссю, перпендикулярною до неї.

Якщо при b > 0 спрямувати x > ?, то можна одержати, що перепад тиску в нескінченно довгому каналі має кінцеву величину та дорівнює

(52)

У розділі також представлені безрозмірні значення x, на яких відбувається 99всієї можливої зміни тиску, як для повзучого плину, так і для обчислень тиску із обліком характерної інерційної сили. Показано, що всі параметри плину визначаються полем швидкості в каналі. При позитивних значеннях b швидкість плину рідини уздовж каналу зменшується інтенсивніше, ніж у каналах постійної ширини (рис. 5), тому й модуль дисипативної складової тут менше, ніж у каналах постійної ширини (рис. ). При негативних значеннях b швидкість уздовж каналу зменшується на меншу величину, а розподіл середньої швидкості по перетину в межах каналу може бути немонотонним. Тому і дисипативна складова тиску тут змінюється на більшу величину, чим у каналах постійної ширини (рис. 6).

Рис. 5. Розподіл v у співвісному конічному каналі з розмірами: x0 = 10, x1 = 40 , a = 15°; а – для b = 0:1 – x = 10; 2 –x = 25; 3 –x = 40 і при b = 0.087: 1–при x = 10, 4 – x = 25, 5 – x = 40; б – для b = -0.017: 1 –x = 10, 2 – x = 25, 3 – x = 40.

Рис. 6. Розподіли P при x0 = 10, x1 = 40, a = 15°: а –без обліку інерційних сил – суцільна лінія, із обліком при Re = 150 – штрихова лінія. б – їхні відносні відхилення.

Для плинів при більших Re у каналах з b > 0 вплив характерної інерційної сили буде значніше, ніж у каналах постійної ширини, внаслідок більш інтенсивного зменшення середньої по перетину швидкості (рис. 6).

Плин на початку каналів із зменшуваною шириною також може відбуватися убік збільшення тиску, але внаслідок меншого зниження середньої швидкості уздовж плину, стає переважною дисипативна компонента тиску й плин відбувається вже убік його зменшення (рис. 6). А із деякої довжини каналу динамічна складова тиску також стає негативною, що приводить до більш інтенсивного падіння тиску із урахуванням інерційної складової, ніж без неї.

Знайдено значення Re, починаючи з якого рідина поблизу входу в канал тече убік збільшення тиску

(53)

Визначено діапазони зміни чисел Рейнольда, в яких можна нехтувати інерційною складовою тиску для дифузорного ламінарного плину в співвісному конічному каналі змінної ширини із точністю до 5

(54)

та дисипативною складовою

(55)

Досліджені також «безінерційні» плини, тобто течії, перепад тиску в яких визначається тільки дисипативною складовою.

Отримане рішення існує для всього можливого діапазону зміни параметра b, за винятком одного значення, при якому вираз (50) перетворюється в нескінченність. Це значення b /x0 відповідає дифузорному плину в співвісному конічному каналі із загальною вершиною границь. У розділі також отримано рішення цієї задачі в біконічних координатах

(56)

(57)

Розподіли безрозмірних швидкостей (22) та (56) які обчислені на координатних сферичних поверхнях перетину, відкладені в єдиному масштабі швидкості, показують дуже добрий збіг.

Порівняння розподілів безрозмірних тисків (23) і (57) також показує добру згоду між ними у всьому можливому діапазоні зміни параметрів задачі, що дає метод простого обчислення постійної відокремлення змінних l у рішенні (22), (23), яке отримано в сферичних координатах

(58)

У розділі також отримано рішення задачі ламінарного плину в співвісному конічному конфузорі змінної ширини. Визначені умови, котрі дозволяють нехтувати однією із складових тиску.

Проведено детальний аналіз отриманого рішення, розглянуто рішення задачі ламінарного конфузорного плину в співвісному конічному каналі із загальною вершиною границь у біконічних координатах. Показано гарну згоду із рішенням, отриманим у сферичних координатах, і наведено простий спосіб обчислення змінної відокремлення для рішення в сферичних координатах.

Вивчені також витратно-напірні залежності як для дифузорного:

(59)

так і для конфузорного плину

(60)

Витратно-напірні залежності (59) і (60) при позитивних значеннях параметру b можуть мати немонотонну залежність від витрати Q (рис. 7, рис. 8). Тому при обчисленні потужності, необхідної для підтримки ламінарного плину в каналі, інерційна складова враховується, якщо вона негативна й не враховується, якщо вона позитивна. Параметрами каналу являються R0 .1 м, R1 .4 м, a ° у дифузорі та a ° у конфузорі.

Рис. 7. DP(Q) у співвісному конічному дифузорі змінної уздовж плину ширини залежно від параметра b. m ПаЧз, r кг/м3.

Рис. 8. DP(Q) у співвісному конічному конфузорі змінної ширини залежно від b: m ПаЧс, r кг/м3.1 – із урахуванням інерційних властивостей плину; 2 – дисипативна компонента; 3 – Re (31) – на вході в канал.

У п'ятому розділі вирішено задачі дифузорного та конфузорного ламінарного плину в секториальних каналах постійної й змінної ширини. Під шириною тут розуміється відстань між границями каналу. Дослідження плину в таких каналах дає як додаткові можливості аналізу плину в проточних каналах промислових апаратів, так і можливість застосування аналітичних методів для вивчення режимів плину, котрі недоступні для цього в каналах більш складної геометрії.

Плин у зазначених каналах розглядається як апроксимація течії в співвісних конічних каналах, й інтерпретувати їх можна як розрізані уздовж твірної і розгорнуті на площину співвісні конічні канали, а розглядати його зручно в циліндричній системі координат (рис. 9). За допомогою рівняння нерозривності для практично цікавих випадків плину показано, що Vz = o(Vr), а використовуючи безрозмірні змінні та параметри:

Рис. 9. Геометрія секториального каналу.

(61)

де Vf0=Q/(pr0h0sina), можна записати математичне формулювання задачі, користуючись рівнянням руху у формі Озеена:

(62)

(63)

(64)

(65)

. (66)

При рішенні задачі (62)-(66) в інерційному члені враховувалася тільки характерна інерційна сила після чого рішення можна записати у вигляді:

(67)

(68)

де

(69)

(70)

Якщо в (67)–(70) спрямувати Re ® , то можна одержити рішення задачі повзучого дифузорного плину в секториальному каналі змінної ширини. Якщо покласти b = , то одержимо рішення задачі ламінарного дифузорного плину в секториальному каналі постійної ширини.

Аналогічним способом вирішена задача ламінарного конфузорного плину в секториальному каналі змінної ширини.

Знайдено значення числа Рейнольдса, аж до якого можна нехтувати інерційними силами при дифузорному плині з точністю до 5Цей крітерий визначається виразами:

(71)

(72)

а силами тертя - нерівністю

(73)

Подібні результати отримані й для конфузорного плину.

Для дифузорного плину визначено витратно-напірна залежність, яка має вигляд:

(74)

де

Отримана витратно-напірна характеристика й для конфузорного плину.

При порівнянні результатів, отриманих для плину в співвісних конічних каналах і в секториальних апроксимуючих каналах виявлено, що добрий збіг рішень спостерігається не у всьому діапазоні зміни параметрів задачі, що видно по розподілу витратно-напірних характеристик (рис. 10). Це пов'язане з розходженням у швидкостях плину рідини в секториальному та конічному каналах. Швидкість плину в секториальному каналі менша внаслідок більшої площі поверхні поперечного перерою каналу, що добре видно на прикладі конфузорного плину (рис. 11).

Рис. 10. DP(Q) для дифузорного плину рідини із параметрами: m ПаЧз; r кг/м3:1 – у співвісному конічному каналі; 2 – у секториальному каналі; 3 – значення Re* (42); 4 – число Re (61).

Рис. 11. Розподіл v: 1 – у секториальному конфузорі при b .23; 2 – у співвісному конічному конфузорі з a ° і b .23,. cў=c/(1+bt).

Тому в цьому розділі був визначений критерій, при виконанні якого відносне відхилення між тисками, обчисленими в співвісному конічному каналі та у секториальному каналі, буде свідомо менше n %. Для дифузора і конфузора він виглядає однаково

(75)

На закінчення розділу наведено рішення завдання повзучого плину рідини Оствальда - де Виля в співвісному конічному дифузорі:

(76)

(77)

де n - індекс плину (показник нелінійності кривій плину) і конфузові:

(78)

(79)

Помітимо, що у виразах (76), (78) безрозмірна поперечна координата c змінюється в межах [0, 0.5].

У шостому розділі наведено дослідження розвитку ламінарного плину в співвісному конічному дифузорі постійної ширини. Спочатку розглядається плин на початковій гідродинамічній ділянці в секториальному каналі сталої ширини. Рішення задачі проводиться в циліндричній системі координат, але при цьому вона розташована так, щоб радіальна вісь перебувала на серединній поверхні каналу. Використовуючи оцінки, виконані у розділі 5, записано наближену систему рівнянь, котра описує плин рідини на початковій гідродинамічній ділянці. Із допомогою методу лінеаризації Тарга було одержано рівняння, яке описує еволюцію однорідного профілю швидкості до розподілу швидкості в розвиненому плині, котре у безрозмірних змінних та параметрах:

(80)

записується у вигляді

(81)

із граничними умовами:

(82)

(83)

(84)

За допомогою методу Лапласа-Карсона одержано рішення системи (81)-(84)

(85)

де nk.– корінь рівняння tgn n, а безрозмірний тиск P=[(P-P0)h2]/(4mV0r0) визначається із виразу

(86)

Помітимо, що перший член у розподілі (85) збігається з (67) при b = 0 і записаному в масштабі швидкості (80)

(87)

Розподіл швидкості (87) є граничним розподілом, до якого буде наближатися до розподіл швидкості при збільшенні координати x для плинів із будь-якими можливими значеннями числа R. Вищесказане означає, що автомодельний дифузорний плин рідини із розподілом швидкості (87) є аналогом сталого плину в прямолінійному каналі із постійним поперечним перерізом. Отже, незважаючи на те, що при ламінарному дифузорному плині швидкість буде змінюватися уздовж каналу, можна вважати такий плин стабілізованим, оскільки до нього будуть прагнути всі ламінарні плини при будь-якому значенні числа R (рис. 12).

а б

Рис. 12. Розподіл безрозмірної швидкості в співвісному конічному дифузорі: 1 – у випадку плину, що розвивається; 2 - у випадку стабілізованого плину. а – R = 5; б – R = 50.

У цьому розділі сформульована вище задача також найшла вирішення методом розкладання по власних функціях відповідної задачі Штурма-Ліувілля. Результати двох рішень добре погоджуються між собою (рис. ).

Рис. 13. а – зміна безрозмірної швидкості на серединній поверхні каналу при R = 5:1 – (87); 2 – залежність (85); 3 – залежність, отримана в методом власних функцій: б – відносне відхилення: 1 – швидкості (85) від швидкості (87) на серединній поверхні; 2 – швидкості на серединній поверхні (85) від розподілу, отриманому методом власних функцій.

Методом власних функцій вирішені також задачі розвитку ламінарного плину в співвісному конічному дифузорі постійної ширини та у секториальному дифузорі із неоднорідним початковим розподілом швидкості, тобто для тих випадків, коли операційний метод рішення важко застосувати.

На основі виразів (85) та (87) відповідно до визначення Прандтля, одержано рівняння для визначення довжини початкової гідродинамічної ділянки:

(88)

Формули для наближеного обчислення безрозмірних значень координат стабілізації плину і довжини початкової гідродинамічної ділянки знаходяться вирішенням рівняння (88):

xн.г=1+0.179R, Dxн.г =0.179R, 0<RЈ0.95, (89)

xн.г=1.354R0.5, Dxн.г =1.354R0.5-1, 0.95<RЈ170. (90)

У випадку коли відома довжина початкової гідродинамічної ділянки, можна знайти входову поправку тиску при плині, що розвивається, інтегруванням першого члена під знаком інтеграла в (86):

(91)

де перший і другий члени є динамічною та дисипативною складовими тиску при стабілізованому плині (68) при b =0, котрі представлені у безрозмірних змінних (80). Третій член (91), по суті, також є дисипативним, але він визначає добавку до безрозмірного тиску в стабілізованому плині, котра виникає внаслідок непараболічності профілю швидкості в межах початкової гідродинамічної ділянки. Спрощуючи перший підінтегральний вираз в (91), утримуючи тільки головні члени ряду та виконуючи інтегрування в зовнішньому інтегралі в межах від 1 до xн.г , знаходимо вираз для обчислення безрозмірного тиску з обліком входової поправки

, (92)

де безрозмірна входова поправка визначається співвідношеннями:

(93)

(94)

(95)

Вирази (92)-(95) дають добре наближення до (91) (рис. 14) й представляють простий аналітичний метод розрахунку перепаду тиску в співвісних конічних та секториальних дифузорах із обліком входових поправок тиску.

Рис. 14. Безрозмірний тиск при ламінарному плині в секториальному дифузорі постійної ширини: 1 – стабілізований плин 2 – наближення із використанням (92); 3 - розподіл (91) 4 – відносне відхилення 2 і 3. а – R = ; б – R = .

У багатьох випадках промислового застосування співвісних конічних каналів рідина в них надходить із коаксіальних циліндричних каналів із неоднорідним профілем швидкості несиметричним щодо серединної поверхні каналу. Тому в даному розділі вирішено задачу розвитку ламінарного плину в секториальному дифузорі постійної ширини із неоднорідним початковим профілем швидкості.

Для цього було розглянуто плин у безрозмірних змінних, що використовувалися при рішенні задачі стабілізованого ламінарного плину в секториальному каналі. Математична постановка задачі аналогічна постановці (62)–(66) при b = 0 та із неоднорідним початковим профілем v=-8(c7-c)/3, x=x0.

Рішення задачі виконано методом власних функцій. Помітимо, що при розкладанні в ряд по власних функціях істочникового члену рівняння було зроблене припущення про сталість градієнту тиску, котре не сильніше припущення про заздалегідь відомий перепад тиску в методі встановлення. Потім після знаходження розподілу швидкості, градієнт тиску визначався виходячи із балансу імпульсу для елементарної ділянки каналу. У підсумку одержуємо

(96)

(97)

де

Розподіл (96) дозволяє одержати простий вираз для оцінки координати стабілізації плину, для якого визначення Прандтля не є основою. Для цього зроблено припущення, що стабілізація плину наступає на відстані, де зникає вплив розподілу швидкості на вході в канал. Очевидно, це відбудеться там, де суми, які входять у вираз (96), стануть близькими до нуля. Виразом для наближеного обчислення безрозмірної координати стабілізації плину є рівняння:

(98)

яке дає цілком прийнятний результат при Ref Ј 250 як при плині