ВОЛОСОВА НАТАЛІЯ МИКОЛАЇВНА

УДК 517.9:539.3

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСУ ТЕПЛОВИДІЛЕННЯ В ПРУЖНО-ПЛАСТИЧНИХ ЦИЛІНДРИЧНИХ ТІЛАХ ПРИ ЦИКЛІЧНОМУ НАВАНТАЖЕННІ

01.05.02 – Математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Дніпропетровськ

2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі вищої математики Дніпродзержинського державного технічного університету Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор,

Стеблянко Павло Олексійович,

Дніпродзержинський державний технічний університет,

завідувач кафедрою вищої математики.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, старший науковий співробітник,

Попович Василь Степанович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я.С. Підстригача НАН України, м. Львів,

заступник директора з наукової роботи;

доктор технічних наук, професор,

Дзюба Анатолій Петрович,

Дніпропетровський національний університет, м. Дніпропетровськ,

завідувач кафедрою обчислювальної механіки і міцності конструкцій.

Захист відбудеться « 14 » травня 2008 року о 12.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.084.01 при Національній металургійній академії України за адресою: 49635, м.Дніпропетровськ, пр.Гагаріна, 4.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Національної металургійної академії України за адресою: 49635, м.Дніпропетровськ, пр.Гагаріна, 4.

Відгук на автореферат просимо надсилати за адресою:

49635, м.Дніпропетровськ, пр.Гагаріна, 4, Національна металургійна академія України, вченому секретарю спеціалізованої вченої ради Д 08.084.01.

Автореферат розісланий « 11 » квітня 2008 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради,

кандидат технічних наук, доцент О.І. Дерев’янко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Визначення реальної теплової обстановки в елементах металургійних та машинобудівних конструкцій в процесі створення, необхідне для визначення їх термонапруженого стану, надійності при подальшій експлуатації та інших цілей, в більшості випадків являє собою складне і трудомістке завдання. Це пов’язано з впливом на температурний стан тіла складного, в тому числі і циклічного, навантаження, коли в ньому можуть виникнути та розвиватися пластичні деформації. Наявні чисельні методи, що застосовуються в таких задачах, приводять, як правило, до великих обчислювальних труднощів, що обумовлено розв’язанням систем великої кількості алгебраїчних рівнянь, і не завжди бувають ефективними. Підходи до побудови термомеханічних моделей суцільного середовища, які враховують взаємодію температурних та механічних полів, достатньо повно висвітлені в науковій літературі, але в ній практично відсутні роботи, що присвячені розробці економічних чисельних методів підвищеної точності визначення термонапруженого стану пружно-пластичних тіл при циклічному навантаженні.

Зважаючи на це, в дисертації досліджено методами математичного моделювання наступні науково-практичні питання:

- розробка методу підвищеної точності розв’язання нестаціонарних температурних задач для пружно-пластичних циліндричних тіл, що працюють в умовах осесиметричного циклічного навантаження (на базі методу покомпонентного розщеплення повної системи рівнянь в частинних похідних);

- розробка методу підвищеної точності розв’язання нестаціонарних температурних задач для пружно-пластичних циліндричних оболонок, що працюють в умовах циклічного навантаження (на базі моделі плоского напруженого стану тіла та методу покомпонентного розщеплення повної системи рівнянь в частинних похідних).

Таким чином, у даний час визначення нестаціонарного температурного поля та пов’язаного з ним напружено-деформованого стану циліндричних тіл з урахуванням зазначених факторів шляхом застосування ефективних чисельних методів підвищеної точності, є актуальним.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дисертаційна робота була виконана за індивідуальним планом роботи та в рамках досліджень, які проводились в Дніпродзержинському державному технічному університеті за держбюджетними темами “Розробка чисельного методу підвищеної точності для дослідження напружено-здеформованого стану нових технічних об’єктів в умовах нестаціонарного силового і температурного навантаження”, № держреєстрації 0104U000816 (2004-2005 р.р.) і “Створення ефективного чисельного методу дослідження термоміцності елементів нової техніки неканонічної форми”, № держреєстрації 0106U000740 (2006-2007 р.р.); ( дисертант – виконавець).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є розробка мето-ду підвищеної точності дослідження взаємодії процесів теплопровідності та дефор-мування в циліндричних тілах при циклічних навантаженнях з урахуванням пружно-пластичного характеру деформування для побудови теоретичних основ раціонального проекту-вання елементів металургійних та машинобудівних конструкцій, у створенні нових чисельно-аналітичних підходів, які містять в собі переваги методу покомпонентного розщеплення, до визначення термомеханічних полів.

Досягнення мети передбачає:

· формулювання моделі кількісного опису нестаціонарних механічних і теплових процесів в циліндричних тілах за дії циклічного навантаження з врахуванням залежностей теорії теплопровідності та неізотер-мічної термо-пружно-пластичності;

· розробку з використанням методу покомпонентного розщеплення, теорії сплайн-апроксимації і різницевих алго-ритмів ефективного чисельного методу розв’язування сформульованих нелінійних задач математичної фізики;

· побудову на основі запропонованого чисельного методу раціонального за критеріями точності і тривалості обчислень алгорит-му з ефективним поєднанням числових схем визначення термомеханічних полів в циліндричних тілах та циліндричних оболонках за дії циклічних навантажень та створеного відповідного програмного забезпечення;

· проведення досліджень точності й збіжності запропонованого чисельного методу шляхом порівняння числових розв’язків модельних задач з відомими в літературі аналітичними розв’язками, отриманими іншими авторами, а також на основі обчислювальних експериментів з використанням критерію практичної збіжності (через порівняння розв’язків, знайдених на різних за густиною кінцево-елемент-них поділах і кроках інтегрування за часом відповідних рівнянь, що описують параметри теплових і механічних процесів, що розглядаються);

· знаходження на основі розробленого підходу розв’язків нових практично важли-вих задач про визначення зв’язаних нестаціонарних температурних і механічних полів у пружно-пластичних тілах та вивчення на цій основі закономірностей термомеханічної поведінки циліндричних тіл в широкому температурному діапазоні.

Об’єктом дослідження є нестаціонарні процеси поширення температурного поля та нелінійне деформування в здатних до пружно-пластичного дефор-мування циліндричних тілах, які зумовлені дією циклічного навантаження.

Предметом дослідження є розвиток математичних моделей і чисельних методів термо-механіки для дослідження у взаємозв’язку механічних та теплових процесів в деформівних тілах з урахуванням пружно-пластичного характеру деформування при вказаних вище процесах.

Методи дослідження. При побудові математичної моделі кількісного опису термомеханічних процесів в циліндричних тілах при дії циклічного навантаження використано відомі моделі теорії теплопровідності, механіки суцільного середовища, неізотермічної термопружно-пластичності, теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними та теорії наближення функцій сплайнами. При розв’язуванні отриманої зв’язаної повної нелінійної системи диференціаль-них рівнянь зі сформульованими початковими та крайовими умовами використано метод покомпонентного розщеплення. При апроксимації фізико-механіч-них характеристик матеріалу, кривих деформування та при аналізі пружно-пластичного стану циліндричних тіл використано інтерполяційні кубічні В-сплайни та напружені сплайни.

Наукову новизну одержаних результатів становлять:

· вперше розроблена орієнтована на використання чисельних методів підвищеної точності математична модель кількісного опису та дослідження термомеханічних процесів в циліндричних тілах з урахуванням пружно-пластичного характеру деформування; модель базується на загальній теорії теплопровідності й неізотермічної термо-пружно-пластичності;

· побудований метод чисельного моделювання нестаціонарних термомеханічних процесів в циліндричних тілах за циклічних навантажень із застосуванням різних за величиною кроків числового інтегрування за часом рівнянь, що описує в запропонованій математичній моделі температуру й напружено-деформований стан у тілі з використанням методу покомпонентного розщеплення та теорії наближення функцій сплайнами (кубічні В-сплайни і напружені сплайни);

· вперше отримані розв’язки важливих класів зв’язаних задач про визначення та дослідження термо-механічної поведінки конкретних тіл циліндричної форми та циліндричних оболонок за умов нестаціонарного навантаження та виявлені при цьому нові дані й закономірності, зокрема пов’язані з еволюцією параметрів тер-момеханічного стану тіл в процесі циклічного навантаження у зв’язку зі змінами температурного поля при пружно-пластичному деформуванні;

· отримані різницеві схеми підвищеної точності для апроксимації перших похідних та мішаних похідних другого порядку, які призводять до методик отримання результатів при істотно менших обсягах обчислень;

· отримані оцінки меж застосовності запропонованих методик та розрахункових схем визначення температурного і механічного полів.

Обґрунтованість і достовірність основних наукових засад і отриманих результатів забезпечено фізичною обґрунтованістю вихідних положень математичної моделі, строгістю постановки сформульованих задач та методів їх розв’язування, використанням експериментально обґрунтованих співвідношень теорії термо-пружно-пластичності, узгодженістю чисельних розв’язків окремих задач з відомими в літературі аналітичними розв’язками, проведеними дослідженнями достовірності розв’язків кожної із розглянутих в роботі задач через порівняльний аналіз розв’язків на різних за густиною поділах області інтегрування по координатах та доведеною теоремою збіжності.

Практичне та теоретичне значення отриманих результатів. Теоретичне зна-чення отриманих результатів полягає в розширенні кола моделей термомеханіки пружно-пластичних тіл на випадок врахування температурного поля, обумовленого дією циклічних навантажень. Практичне значення отриманих результатів полягає у розробці варіанту мето-ду математичного і числового моделювання зв’язаних процесів тепло-провідності та деформування в пружно-пластичних циліндричних тілах. Використаний при цьому апроксимаційний апарат сплайн-функцій (кубічні В-сплайни, напружені сплайни) дозволяє враховувати складні за-лежності властивостей матеріалів від наявних фізико-механічних процесів, а також створювати нові різницеві схеми підвищеної точності. Побудовані раціональні режими термообробки конкретних еле-ментів металургійних конструкцій, зокрема з метою забезпечення мінімізації часу обробки при обмеженнях на напруження, рівномірності нагрівання виробів чи їх заданих областей тощо; результати, що отримано, використані при розробці теоретичних основ технології виконання регламентних ремонтних робіт на діючому обладнанні з метою зміцнення та подовження термінів його експлуатації.

Розроблене програмне забезпечення дає можливість адекватного моделювання та дослідження термомеханічної поведінки циліндричних тіл та оболонок при їх нагріванні. Створене програмне забезпечення може бути основою розробки раціональних режимів термообробки конкретних еле-ментів металургійних та машинобудівних конструкцій за різними критеріями, зокрема з метою забезпечення мінімізації часу обробки при обмеженнях на напруження, рівномірності нагрівання виробів чи їх заданих областей тощо (за керування амплітудою чи частотою циклічних навантажень).

Практичним результатом дисертаційної роботи є впровадження розроблених моделей і методів з метою удосконалення існуючих і створенні нових технологій, а також при виконанні ремонтних робіт на відкритому акціонерному товаристві Нижньодніпровський трубопрокатний завод.

Наукові розробки дисертації використовуються також в навчальному процесі Дніпродзержинського державного технічного університету при викладанні курсу лекцій та практичних занять з дисципліни „Математичне моделювання технологічних процесів” для студентів та магістрантів механічного факультету.

Апробація результатів дисертації. Основні концепції, ідеї, положення і результати досліджень доповідались і обговорювались на наукових семінарах і конференціях: на І, ІІ ІІІ та ІV Всеукраїнських наукових конференціях „Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпродзержинськ, 2001, 2002, 2003, 2004); Міжнародних наукових конференціях „Математичні проблеми технічної механіки – 2005, 2006, 2007” (Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ, 2005, 2006, 2007), Міждержавній науково-методичній конференції „Комп’ютерне моделювання” (Дніпродзержинськ, 2000), на VIII та Х1 Міжнародних конференціях імені академіка М.Кравчука, (Київ, 2000, 2003), Міждержавній науково-методичній конференції „Проблеми математичного моделювання” (Дніпродзержинськ, 2002, 2005), на Міжнародній конференції GAMM 2003 (Abano-Terme – Padua, 2003), на V Міжнародній конференції „Nowe technologie i osi№gniкcia w metalurgii i inzynerii materailowej” (Chкstochowa, Poland, 2004), Міжнародній конференції „Актуальные проблемы прикладной математики и механики” (Харків, 2006).

У повному обсязі робота доповідалася та обговорювалася на загальноміському семінарі „Математичне моделювання, проблеми управління і прикладна інформатика” (Дніпропетровськ, 2005, 2007) та на розширеному науковому семінарі „Математичні проблеми технічної механіки” кафедри вищої математики Дніпродзержинського державного технічного університету (Дніпродзержинськ, 2007).

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації викладено в 23 наукових працях [1-23], у тому числі в 8 статтях у фахових виданнях, які входять до Переліку фахових видань ВАК України в галузі технічних наук [1-8], у 2 матеріалах міжнародних конференцій, у 13 тезах доповідей національних і міжнародних конференцій. Результати, що складають основний зміст дисертаційної роботи, отримано автором самостійно. У роботах, написаних у співавторстві, здобувачу належить розробка і реалізація підходів, що ґрунтуються на застосуванні методу покомпонентного розщеплення, а також класичних скінчених різниць, до моделювання фізичних процесів у пружно-пластичних циліндричних тілах та оболонках. Зокрема у статтях [1-3] автору належить розвиток варіанту методу покомпонентного розщеплення для розв’язання нестаціонарних двовимірних зв’язаних задач термомеханіки, коли невідомі величини розшукуються у вигляді сплайн-функцій; у статтях [4-7] розроблено варіант методу покомпонентного розщеплення для розв’язання нестаціонарних двовимірних зв’язаних задач термомеханіки, де використовується модель плоского напруженого стану (циліндричні оболонки), а невідомі величини розшукуються у вигляді кубічних В-сплайнів та напружених сплайнів; у роботі [8] проведено співставлення деяких результатів з відомими в науковій літературі чисельними та аналітичними розв’язками. Постановка розглянутих задач, вибір методів досліджень та аналіз отриманих результатів проведено разом з науковим керівником.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, основної частини з п’яти розділів, які містять 9 рисунків, висновків, додатків і списку використаних джерел із 150 найменувань. Загальний обсяг дисертації становить 147 сторінок (обсяг основного тексту – 127 сторінок).

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подано загальну характеристику роботи і аналіз стану досліджень з наукової проблеми; обґрунтовано актуальність дисертаційної роботи та її зв’язок з науковими програмами; сформульовано мету і задачі дослідження; окреслено новиз-ну отриманих результатів та їх практичне значення; наведено дані про апробацію ре-зультатів роботи та публікації її основного змісту, а також особистий внесок здобува-ча в публікаціях у співавторстві; зроблено короткий опис структури дисертації.

У першому розділі наведено огляд літератури за близькими за напрямком робо-тами з моделювання нестаціонарних процесів термомеханіки зв’язаних полів. Проаналізовано математичні моделі, які описують взаємозв’язок процесів різної фізичної природи.

Важливий вклад у розробку сучасних уявлень про закономірності взаємо-впливу нестаціонарних процесів різної фізичної природи внесли Я.Й. Бурак, Е.І. Григолюк, Я.М. Григоренко, О.М. Гузь, В.Г. Карнаухов, Г.С. Кіт, А.Д. Коваленко, В.Д. Кубенко, І.О. Луковський, І.А. Мотовиловець, Ю.В. Немировський, В.В. Панасюк, Г.С. Писаренко, Я.С. Підстригач, Б.Є. Победря, В.Г. Попов, Ю.C. Постольник, В.Б. Поручиков, Ф.А. Улітко, І.І. Федик, Ю.М. Шевченко, W.H.аrcus та ін.

Загальні підходи до побудови термомеханічних моделей суцільного сере-довища з врахуванням взаємовпливу процесів різної фізичної природи достатньо повно висвітлені в працях С.А. Амбарцумяна, В.Т. Грінченка, О.А. Іллюшина, І.Ф. Киричка, Ф.Г. Махорта, В.З. Партона, Л.І. Сєдова, М.О. Шульги, S. Кaliski, C. та ін.

Розробці конкретних моделей визначення, дослідження й оптимізації ме-ханічної поведінки тіл при комплексних зовнішніх навантаженнях присвячені роботи С.А. Амбарцумяна, О.Є. Андрейківа, В.Г.Баженова, О.З.Галішина, О.Р. Гачкевича, Д.В. Грілицького, В.С. Гудрамовича, А.П.Дзюби, Ю.М. Коляна, В.Ф. Кондрата, В.І.Кузьменка, В.В. Лободи, Л.В. Мольченка, О.К. Морачковського, В.В.Москвітіна, В.С. Поповича, В.Л. Рвачова, М.П. Саврука, В.С. Саркісяна, І.К. Сенченкова, В.І. Сторожева, Г.Т. Сулима, В.А. Осадчука, Р.Ф. Терлецького, Л.П. Хорошуна, Ю.А.Чернякова, О.М. Шаблія, П.Р. Шевчука та ін.

Ефективні числові та числово-аналітичні методи розв’язування нестаціонарних задач механіки запропоновані в працях М.Є.Бабешко, В.А.Баженова, Я.М. Григоренка, О.Я. Григоренка, В.С. Гудрамовича, В.І.Кондаурова, В.Н.Кукуджанова, П.З.Лугового, В.Л. Макарова, В.Ф.Мейша, В.В.Пискуна, І.В. Прохоренка, В.Л. Рвачова, Я.Г. Савули, В.Г. Савченка, І.К. Сенченкова, П.О. Стеблянка, М.Г. Угодчикова, В.П. Шевченка, Ю.М. Шевченка, Г.А. Шинкаренка, T.Agyris, P.Di.J.R.Hatchinson, D.Malone, O.C.Zienkiewicz, M.L.Wilkins та ін.

Звертають на себе увагу методи розщеплення та сплайн-колокації, що дозволяють будувати більш точні розв’язки, як за часом, так і за координатами. Розвиток таких методів пов’язують з іменами К.А.Багріновського, С.К.Годунова, Ю.С.Зав’ялова, Б.І.Квасова, Т.В.Крилової, А.О.Лигуна, Г.І.Марчука, В.Л.Мірошніченка, О.О.Самарського, Н.Н.Яненка, J.Douglas, M.Fortin, D.W.Peaceman, H.H.Jr.Rachford, R.Temam та ін.

Таким чином, з приведеного огляду випливає, що стосовно нау-кової проблеми, яка розглядається, в науковій літературі мало звертається уваги на математичні моделі і методи підвищеної точності визначення та дослідження нестаціонарного зв’язаного термомеханічного стану циліндричних тіл при циклічному навантаженні. Це зумовило вибір теми дослідження та дозволило сформулювати і обґрунтувати його мету.

У другому розділі запропоновано варіант математичної моделі кількісного опису та дослід-ження термомеханічних процесів в пружно-пластичних тілах циліндричної форми та циліндричних оболонок за дії неізотермічних та циклічних навантажень.

Температурне поле описує рівняння теплопровідності, в якому врахована можливість виділення тепла за рахунок циклічних навантажень за межею пружності, а термо-напружено-деформований стан тіла – співвідношення неізотермічного термопружно-пластичного протікання теорії процесів малої кривизни.

В п.2.1 отримано визначальні співвідношення для кількісного опису нестаціонарних процесів теплопровідності в циліндричному тілі. Розглянуто рівняння теплопровідності

(1)

де (2)

рівняння руху елемента тіла та геометричні співвідношення для швидкостей деформацій та фізичні співвідношення теорії процесів малої кривизни, що зв’язують складові тензорів напруги та деформації,

. (3)

Вирази для G* та мають різний вигляд в залежності від співвідношень пластичності, що застосовуються: співвідношення теорії простих процесів навантаження чи співвідношення процесів малої кривизни,

Повну систему рівнянь запропонованої моделі записано в векторній формі

(4)

де - вектор, компонентами якого будуть швидкості зміщень, компоненти тензорів напруги та деформації. Розв’язок системи розшукується на основі методу покомпонентного розщеплення (МПР).

У п. 2.4 даються основні поняття про сплайн-функції, які використовуються, та оцінки точності обчислень, отримані шляхом порівняння кількості елементарних операцій, які треба виконати для отримання розв’язку задачі за допомогою МПР, та класичного різницевого методу.

У третьому розділі розглянуті питання чисельного визначення розв’язку нестаціонарної задачі термомеханіки для циліндричних тіл. Система (4) зводиться до послідовного розв’язання системи двох одновимірних нестаціонарних задач на кожному кроці за часом

(5)

Еквівалентність розщепленої системи (5) рівнянню (4) має місце, якщо 1+2 = 1.

Вводиться сітка за часом з поділом на дробові кроки інтегрування за часом

(6)

Через позначено вектор , обчислений для моменту часу t=tp+n/2 (n=0, 1, 2).

Аналогічні позначення введено і для вектора . При переході від рівнянь (5) до різницевої схеми їх розв’язання похідні за часом замінюються різницевими відношеннями, а похідні за координатами представляються у вигляді різницевої комбінації підвищеної точності, яка отримана за допомогою сплайн-апроксимації невідомих величин..

Розрахункові формули в результаті записано у вигляді

(7)

де + = 1, а диференціальні оператори введено наступним чином

(8)

Тут –різницевий оператор підвищеної точності, – кроки інтегрування за координатами (n = 1, 2).

У випадку, коли = 0, = 1, схема (7) є явною. При =1, = 0 формули (7) дають неявну схему. Якщо = =1/2, то має місце схема Кранка–Ніколсона, яка на відміну від двох попередніх схем першого порядку апроксимації за , має другий порядок апроксимації

Процес розв’язання системи (7) на повному кроці за часом складається з двох кроків. Спочатку на основі першого рівняння розшукується допоміжний вектор . При цьому вектор вже відомий або з попереднього кроку за часом або з початкових умов. Після цього з другого рівняння визначається вектор . Для здійснення описаної процедури побудови розв’язку системи (7) на повному кроці за часом необхідно апроксимувати диференціальні оператори (8). З цією метою вводиться сітка за координатами

(9)

Інтерполяція розв’язку Wm, m = 1, 2, …, М між вузлами сітки і апроксимація різницевих операторів у вузлах цієї сітки здійснена, як за допомогою кубічних В-сплайнів, так і на основі напружених сплайнів. Для підвищення до третього порядку апроксимації методу за часом розроблена збіжна ітераційна процедура, початковим наближенням для якої є результати, обчислені за допомогою рекурентних формул МПР. Записана повна система диференціальних рівнянь в частинних похідних, відповідна різницева схема та розрахункові формули підвищеної точності, до якої зводиться розв’язання нестаціонарних задач для пружно-пластичних циліндричних оболонок. Ці рівняння мають вигляд (4), але компонентами вектора будуть швидкості зміщень точок серединної поверхні оболонки, погонні зусилля та моменти, деформації, кривизни та кручення.

Для розрахунку поля температур у двохвимірних тілах в п. 3.1 дисертації розв’язується нестаціонарне рівняння теплопровідності (1). При цьому його розв’язання повинно задовольняти початковим умовам, що виконуються у всіх точках досліджуваного тіла V

при t =0, (10)

та граничним умовам

, (11)

які виконуються на поверхні тіла S.

Для розв’язання рівняння (1) вводиться сітка за часом , яка повністю узгоджується з сіткою (6), введеної при розв’язанні векторного рівняння (4), а також сітку (9) за координатами. Згідно методу покомпонентного розщеплення замість двохвимірного рівняння (1) на повному кроці інтегрування за часом послідовно розв’язується два еквівалентних йому одновимірних рівняння, кожне на своєму дробовому кроці за часом, які мають вигляд

(12)

При переході від розщепленої системи (12) до різницевої схеми її розв’язання похідні за часом замінюються різницевими відношеннями, а похідні за координатами представляються у вигляді лінійної комбінації похідних, заданих на попередньому шарі за часом tp+(n-1)/2 і на тому, на якому розшукується розв’язок tp+n/2. Розрахункова формула методу покомпонентного розщеплення для рівняння теплопровідності запишеться наступним чином

(13)

Тут введено диференціальні оператори

(14)

Алгоритм розв’язання полягає в наступному: –

на першому дробовому кроці за часом (n=1) визначається величина . При цьому значення у вузлах сітки відомі або з початкових умов, або з розв’язку задачі на попередньому дробовому кроці;–

на другому кроці знаходиться розв’язок на повному кроці за часом Далі вказана процедура повторюється. У випадку, коли схема (18) стає явною і одразу можна записати її розв’язок для кожного дробового кроку за часом у вигляді

(15)

Розв’язання неявної схеми () або схеми Кранка-Ніколсона () вже суттєвим чином залежить від способу апроксимації операторів.

Для здійснення описаної вище процедури побудови розв’язку нестаціонарного двохвимірного рівняння теплопровідності необхідно апроксимувати диференціальні оператори (14). Дана математична задача здійснена як при допомозі кубічних В-сплайнів, так і на основі напружених сплайнів. Розглянута інтерполяція температури та апроксимація диференціальних операторів як за допомогою кубічних В-сплайнів, так і напружених сплайнів. Отримані формули дозволяють записати розрахункові формули явної схеми методу покомпонентного розщеплення. Далі виведені рекурентні формули явної схеми розв’язання рівняння теплопровідності для внутрішніх та граничних точок тіла і розглянуте питання збіжності нестаціонарного розв’язання рівняння теплопровідності.

За отриманими формулами у п. 3.2 розглянута задача термомеханіки із застосуванням ітераційної процедури методу покомпонентного розщеплення у випадку циклічного деформування циліндра. Ізотропний циліндр довжиною L та радіусом R в початковий момент часу t=0 знаходиться в ненапруженому стані при , де z – вісь циліндра. Потім циліндр навантажують осьовою силою Р, в результаті чого виникають пластичні деформації, а потім циклічно до торців прикладається крутячий момент. Визначається нестаціонарне температурне поле і напружено-деформований стан циліндра (рис.1). При цьому враховується вплив тепловиділення на напружено-деформований стан.

Зміна температурного поля за часом для вузла r=R, z=0 при h=R/10, де циклічно змінюється крутячий момент за межами пружності і сприяє його появі (), показана на рис. 2.

Далі в п. 3.3 проводиться аналіз термопластичного напружено-деформованого стану в околі кругового розрізу труби при аналогічному за характером нестаціонарному циклічному навантаженні.

Розглядається задача на визначення нестаціонарного термо-пружно-пластичного стану в околі кругового розрізу попередньо розтягнутої труби , на границі якої задано , і на границі задано , де Тут – const. Для визначення компонент тензорів напруги і деформації, компонент вектора швидкості переміщень на кожному кроці за часом використовуються розрахункові формули методу покомпонентного розщеплення. А температура в кожний момент часу визначається на основі розв’язання рівняння теплопровідності з урахуванням отриманих значень , які були отримані на попередньому кроці за часом.

Задача була розв’язана у двохвимірній постановці при початкових умовах на поверхні розрізу , задані та для .

На першій стадії навантаження () значення інтенсивності напруги досягає межі пластичності матеріалу. Потім дотична напруга в околі розрізу змінюється. На початку другої стадії навантаження – активне навантаження, а потім розвантаження за пружним законом. Результати чисельного розв’язання задачі представлені у вигляді графіків на рис. 3, де подана залежність температури від часу біля розрізу (z=0).

Номерами 1,2,3 позначені графіки температур, отримані для при (розріз) відповідно.

На рис. 4 показаний розподіл температури вздовж z для фіксованого моменту часу , де зображено поле інтенсивності напруги в області розрізу трубки в фіксований момент часу . Суцільні лінії отримані для незв’язаної задачі термопластичності (). Пунктирні лінії отримані для випадку, коли враховується тепловиділення.

Одержані результати обчислень показують, що врахування тепловиділення у процесі циклічного навантаження просторових тіл за межею пружності матеріалу може впливати на напружено-деформований стан.

У четвертому розділі розглядаються питання чисельного визначення розв’язку нестаціонарної задачі термомеханіки для циліндричних оболонок.

При чисельному розв’язанні нестаціонарних задач для пружно-пластичних оболонок методом покомпонентного розщеплення при скороченні числа невідомих шляхом їх виключення, на відміну від аналогічних задач для трьохвимірних тіл, виникає проблема, пов’язана з обчисленням змішаних похідних від деяких шуканих величин. Відомі різницеві формули дозволяють обчислювати змішані похідні з точністю О(h), де h - максимальний крок інтегрування за координатами. Для підвищення точності обчислень, як мінімум до О(h2), в п. 4.1 отримані різницеві формули, що апроксимують змішані похідні при чисельному розв’язанні нестаціонарних задач для циліндричних оболонок

i,j=3,4,5… N2-2, (16)

де у випадку застосування кубічних В-сплайнів та при застосуванні напружених сплайнів.

Отримано такі чисельні результати. Для функції f=sin (4x)sin(6y) у точці х=0,5; y=0 точне значення змішаної похідної дорівнює 236,871. В табл. 1 дані результати розрахунку цієї похідної за відомою схемою (2 стовпчик) та за отриманою уточненою схемою (3 стовпчик) для різних кроків h.

Аналізуючи ці результати, можна сказати, що для отримання необхідного за точністю значення змішаної похідної в запропонованому методі можна обрати крок інтегрування h у п’ять раз більший, ніж для класичного методу кінцевих різниць.

У п. 4.2 розв’язувалась задача про нестаціонарне циклічне навантаження крутячим моментом з амплітудою, що росте за лінійним законом, попередньо стиснутої циліндричної оболонки.

На рис. 5 показано, як змінюється за часом інтенсивність напруги у вузлі, де циклічно змінюється крутячий момент. Суцільна лінія побудована з урахуванням тепловиділення, а пунктирна без такого урахування.

У п’ятому розділі проведено порівняння результатів розрахунку температурного стану деталей металургійного обладнання, отриманих за допомогою різних методів. На прикладі валка прокатного стану у п. 5.1 було виконане співставлення різних методів обчислення його нестаціонарного термонапруженого стану. Розрахунки показали, що температурна напруга на поверхневому шарі валків прокатного стану значно перевищує за величиною межу текучості матеріалу і тому є чинником появи сітки поверхневих тріщин. Валки витримують великі напруги тому, що вони є стискуючими і спрямовані вздовж вісі валка, а також діють у досить тонкому поверхневому шарі. Температура поверхні валка при найбільшому часі контакту (=0,164 с) досягає 450С.

Порівняння результатів, отриманих за допомогою методу покомпонентного розщеплення підвищеної точності з аналогічними результатами кінцево-різницевого методу, показало задовільний збіг результатів (розходження у температурі до 3,5%) в околі середини валка, а по мірі наближення до краю, де стан є завідомо не одновимірним за осьовою та радіальною координатам, результати можуть суттєво відрізнятися. В околі краю валка для розрахунків температурного напружено-деформованого стану доцільно застосовувати метод покомпонентного розщеплення підвищеної точності оскільки він дає більш точні результати у вузлах просторової сітки ніж кінцево-різницевий метод.

Отримані рекурентні формули неявної схеми методу розщеплення для визначення швидкостей зміщень, напруг і деформацій, що дозволяють одержати відповідно третій та четвертий порядок апроксимації методу за координатами. Отримано чисельне потвердження того, що ітераційна процедура збігається. Після трьох ітерацій результати по Т у точці відрізнялись менше ніж на 1%.

У п. 5.2 наведено оцінки кількості елементарних операцій, які треба провести при отриманні розв’язків відповідної нестаціонарної задачі термомеханіки, як за допомогою методу покомпонентного розщеплення підвищеної точності, так і кінцево-різницевого методу.

В додатках наведені довідки про використання результатів дисертаційної роботи.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ РОБОТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертації розв’язано актуальну науково-прикладну задачу математичного моделювання: розроблено метод дослідження у взаємодії нестаціонарних тепло-вих і механічних процесів у циліндричних тілах та циліндричних оболонках за дії нестаціонарних циклічних навантажень з урахуванням пружно-пластичного характеру деформування та побудові на цій основі теоретичних основ раціонального проектування елементів металургійних та машинобудівних інженерних конструкцій.

У роботі отримано такі основні результати:

1. Запропоновано орієнтовану на використання чисельних методів підвищеної точності математичну модель кількісного опису та дослідження термомеханічних процесів в циліндричних тілах з урахуванням пружно-пластичного характеру деформування; модель базується на загальній теорії теплопровідності й неізотермічної термо-пружно-пластичності.

2. Розроблено з використанням методу покомпонентного розщеплення та теорії наближення функцій сплайнами (кубічні В-сплайни і напружені сплайни) метод чисельного моделювання нестаціонарних термомеханічних процесів в циліндричних тілах за циклічних навантажень із застосуванням різних за величиною кроків інтегрування за часом рівнянь, що описують в запропонованій математичній моделі температуру й напружено-деформований стан у тілі.

3. Створено проблемно-орієнтоване програмне забезпечення для розв’язування нестаціонарних термомеханічних задач для циліндричних тіл з урахуванням пружно-пластичного характеру деформування.

4. Отримано розв’язки важливих класів зв’язаних задач про визначення та дослідження термо-механічної поведінки конкретних тіл циліндричної форми та циліндричних оболонок за умов нестаціонарного навантаження та виявлені при цьому нові дані й закономірності, зокрема пов’язані з еволюцією параметрів тер-момеханічного стану тіл в процесі циклічного навантаження у зв’язку зі змінами температурного поля при пружно-пластичному деформуванні.

5. Розроблено різницеві схеми підвищеної точності для апроксимації перших похідних та мішаних похідних другого порядку, які призводять до методик отримання результатів за істотно менших обсягах обчислень.

6. Отримано оцінки меж застосовності запропонованих методик та розрахункових схем визначення температурного і механічного полів.

7. Запропоновано раціональні режими термообробки конкретних еле-ментів металургійних конструкцій, зокрема з метою забезпечення мінімізації часу обробки при обмеженнях на напруження, рівномірності нагрівання виробів чи їх заданих областей тощо; результати, використані при розробці теоретичних основ технології виконання регламентних ремонтних робіт на діючому обладнанні з метою зміцнення та подовження термінів його експлуатації.

Основний зміст дисертаційної роботи відображено у публікаціях:

Статті у наукових фахових виданнях

1. Steblyanko P., Volosova N. Non-stationary 2D and 3D coupled problems of the theory of thermoplasticity // Системні технології. Математичні проблеми технічної механіки. Спеціальний випуск 2 (13). – Дніпропетровськ: “Сист. техн.”, 2001. – С. 174-181.

2. Стеблянко П.О., Волосова Н.М. Звґязана задача для попередньо стиснутого циліндра при крутячому моменті, що змінюється циклічно // Системні технології. Математичні проблеми технічної механіки. – Випуск 2 (19). –– Дніпропетровськ: “Сист. техн.”, 2002. – С.94-102.

3. Стеблянко П.О., Волосова Н.М. Урахування ефекту тепловиділення у двохмірній нестаціонапрній задачі теорії термопластичності для товстостінного циліндру //Вестник Кременчужского государственного политехнического университета. Выпуск 3/2002 (14). – Кременчуг: 2002.– С.133-135.

4. Стеблянко П.А., Крылов В.А., Волосова Н.Н. Особенности применения метода покомпонентного расщепления в нестационарных задачах теории упругих пластин и оболочек // Математичне моделювання. – Дніпродзержинськ, ДДТУ, 2002. – С. 69-73.

5. Стеблянко П.А., Волосова Н.Н. О новой разностной схеме вычисления смешанных производных при численном решении нестационарных задач для упругих оболочек // Системні технології. Математичні проблеми технічної механіки. Випуск 5 (22). – Дніпропетровськ: “Сист. техн.”, 2002. – С. 138-145.

6. Стеблянко П.А., Крылов В.А., Волосова Н.Н., Якимчук С.С., Викторов В.В. Определение нестационарного термоупругопластического состояния пологих оболочек при помощи метода покомпонентного расщепления // Системні технології. Математичні проблеми технічної механіки. – Випуск 4 (27). – Днепропетровск: “Сист. техн.”, 2003. – С. 142-151.

7. Стеблянко П.А., Волосова Н.Н. Итерационная процедура метода покомпонентного расщепления при определении нестационарного термоупругопластического состояния круговой цилиндрической оболочки // Системні технології. Математичні проблеми технічної механіки. Випуск 6 (29). – Дніпропетровськ: “Сист. техн.”, 2003.– С.79-85.

8. Волосова Н.Н., Сарандачев В.И., Стеблянко П.А. Сопоставление методов расчета нестационарного термоупругопластического состояния на примере некоторых деталей металлургического оборудования // Сучасні проблеми металургії.–Т.ІХ. – 2006. – Національна металургійна академія України, Дніпропетровськ. – С. 152-160.

Матеріали і тези доповідей

9. Стеблянко П.А., Волосова Н.Н., Еременко П.А. Численное определение температурных напряжений в заготовке с использованием двумерной модели растущего цилиндрического тела// V Miedzynarodowa conferencja nowe technologie w metalurgii i inzynyrii, Czestohovwa, 2004, GZESC1. – P. 251-253.

10. Steblyanko P., Volosova N. Non-stationary tasks of theory thermal-elastic-plasticity for complete plates and shells// Book of Abstracts GAMM 2003, Abano Terme– Padua, March 24-28. – P. 96-97.

11. Стеблянко П.А., Крылова Т.В., Волосова Н.Н. Нестационарная двумерная задача теории термопластичности для полупространства //Тези доповідей Міждержавної науково-методичної конференції “Компґютерне моделювання”, Дніпродзержинськ, 2000. – С.54.

12. Стеблянко П.О., Крилова Т.В., Волосова Н.М. Наближені методи розвґязання неоднорідного рівняння дифузійного типу //Тези доповідей VШ Міжнародної конференції імені академіка М.Кравчука, Київ, 2000. – С. 191.

13. Steblyanko P., Volosova N. Non-stationary 2D and 3D coupled problems of the theory of thermal-plasticity // Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції “Математичні проблеми технічної механіки”, 23-25 квітня 2001, ДДТУ, Дніпродзержинськ. – С. 35.

14. Steblyanko P., Volosova N. Non-stationary two-dimensional coupled problems of the theory thermal-plasticity for the tube with circular-fronted notch // Тези доповідей Другої Всеукраїнської наукової конференції “Математичні проблеми технічної механіки”, 22-24 квітня 2002, ДДТУ, Дніпродзержинськ. – С. 32.

15. Стеблянко П.А., Крылова Т.В., Крылов В.А., Волосова Н.Н., Еременко П.А. Двумерные нестационарные задачи термоупругопластичности для растущих тел с инородными включениями при циклическом нагружении // Тези доповідей Х1 Міжнародної конференції імені академіка М.Кравчука, Київ, 2003.– С. 191.

16. Стеблянко П.А., Крылова Т.В., Крылов В.А., Волосова Н.Н., Еременко П.А. Нестационарные задачи термоупругости для пластин и оболочек вращения // Тези доповідей Міждержавної науково-методичної конференції “Проблеми математичного моделювання”, Дніпродзержинськ, 2002. – С. 128.

17. Стеблянко П.А., Волосова Н.Н. Применение метода покомпонентного расщепления при определении нестационарного температурного поля цилиндрической оболочки //Тези доповідей Третьої Всеукраїнської наукової конференції “Математичні проблеми технічної механіки”, 21-23 квітня 2003, ДДТУ, Дніпродзержинськ. – С.135-137.

18. Стеблянко П.А., Волосова Н.Н. Итерационная процедура метода покомпонентного расщепления при определении термоупругопластического состояния цилиндрической оболочки//Тези доповідей Четвертої Всеукраїнської наукової конференції “Математичні проблеми технічної механіки”,19-21 квітня 2004, НметаУ, Дніпропетровськ. – С.50.

19. Стеблянко П.А., Волосова Н.Н. К вопросу моделирования процесса теплообразования в телах при циклическом нагружении// Тези доповідей Міжнародної наукової конференції “Математичні проблеми технічної механіки”,18-21 квітня 2005, НметаУ, Дніпропетровськ. – С. 96.

20. Стеблянко П.О., Волосова Н.М. Математичне моделювання процесу тепловиділення в пружно-пластичних тілах при циклічному навантаженні //Тези доповідей Міждержавної науково-методичної конференції “Проблеми математичного моделювання”, 25-27 травня 2005, ДДТУ, Дніпродзержинськ.– С.110.

21. Стеблянко П.А., Волосова Н.Н. Математическое моделирование процесса тепловыделения в упруго-пластических телах при циклических нагружениях //Тези доповідей Міжнародної наукової конференції “Математичні проблеми технічної механіки – 2006”, 17-20 квітня 2006, Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ. – С.83 –86.

22. Steblyanko P., Volosova N. The method of definition of the non-stationary temperature stress-strained condition of shells with 3D elements // Тези доповідей Міжнародної конференції “Актуальные проблемы прикладной математики и механіки”, 23–26 жовтня 2006, Харків. – С.110.

23. Стеблянко П.А., Волосова Н.Н. Моделирование напряженного состояния в полых осях при циклическом нагружении с учетом возможного теплообразования//Тези доповідей Міжнародної наукової конференції “Математичні проблеми технічної механіки –2007”, 23-26 квітня 2007, Дніпродзержинськ, Дніпропетровськ. – С.121.

Анотації

Волосова Н.М. Математичне моделювання процесу тепловиділення в пружно-пластичних циліндричних тілах при циклічному навантаженні. – Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. - Національна металургійна академія України, Дніпропетровськ, 2008.

Дисертація присвячена математичному моделюванню процесу тепловиділення в пружно-пластичних циліндричних тілах при циклічному навантаженні та розробці ефективного чисельного методу розв’язання нестаціонарних зв’язаних двохвимірних задач теорії термо-пружно-пластичності.

Розроблено спрямовану на використання чисельних методів дослідження математичну модель кількісного опису нестаціонарних термомеханічних процесів в тілах циліндричної форми та циліндричних оболонках за дії циклічних навантажень з урахуванням пружно-пластичного характеру поведінки матеріалу. Розроблено з використанням методу покомпонентного розщеплення та теорії наближення функцій сплайнами (кубічні В-сплайни і напружені сплайни), що описують в запропонованій математичній моделі температуру й напружено-деформований стан у тілі, метод чисельного моделювання нестаціонарних термомеханічних процесів в циліндричних тілах за циклічних навантажень.

Отримано розв’язки важливих класів зв’язаних задач про визначення та дослідження термо-механічної поведінки конкретних тіл циліндричної форми та циліндричних оболонок за умов нестаціонарного навантаження та виявлено при цьому нові дані й закономірності, зокрема пов’язані з еволюцією параметрів тер-момеханічного стану тіл в процесі циклічного навантаження у зв’язку зі змінами температурного поля при пружно-пластичному деформуванні. Розроблено різницеві схеми підвищеної точності для апроксимації перших похідних та мішаних похідних другого порядку, які призводять до методик отримання результатів при істотно менших обсягах обчислень. Отримано оцінки меж застосовності запропонованих методик та розрахункових схем визначення температурного і механічного полів.

Обрано раціональні режими термообробки конкретних еле-ментів металургійних та машинобудівних конструкцій з метою забезпечення мінімізації часу обробки при обмеженнях на напруження, рівномірності нагрівання виробів чи їх заданих областей тощо; одержані результати, використані при розробці теоретичних основ технології виконання регламентних ремонтних робіт на діючому обладнанні з метою зміцнення та подовження термінів його експлуатації.

Ключові слова: математичне моделювання; нестаціонарна зв’язана задача; метод покомпонентного розщеплення; температурне поле; ітераційна процедура; кубічні В-сплайни; напружені сплайни.

Волосова Н.Н. Математическое моделирование процесса тепловыделения в упруго-пластичных цилиндрических телах при циклическом нагружении. – Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. – Национальная металлургическая академия Украины, Днепропетровск, 2008.

Диссертация посвящена математическому моделированию процесса тепловыделения в упруго-пластичных цилиндрических телах при циклическом нагружении и разработке эффективного численного метода решения нестационарных связанных задач теории термоупругопластичности.

Предложена направленная на использование численных методов исследования математическая модель количественного описания нестационарных термомеханических процессов в телах цилиндрической формы и цилиндрических оболочках при действии циклических нагрузок с учетом упруго-пластического характера